UNIVERSIDADE ESTCIO DE S ESTATSTICA PROF.: NEYDE MARIA ZAMBELLI
MARTINS
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MODELOS TERICOS CONTNUOS
De modo geral, as variveis aleatrias cujos valores resultam de
algum processo de mensurao so contnuas. Ex.: - peso e altura das
pessoas de uma cidade; - tempo de vida de uma lmpada; - o dimetro
de rolamentos de esferas.
1 Distribuio Normal Curva normal unimodal, em forma de sino, em
que o valor da mdia igual a moda e mediana. A mdia o centro da
curva. Caracterstica do modelo: i. A distribuio normal
completamente determinada por dois parmetros: - Mdia da populao = -
Desvio padro da populao =
ii. iii. iv. v.
A distribuio simtrica em relao mdia. A curva assinttica, se
prolonga de - + A rea total sob a curva igual a 1, ou 100%, com
exatos 50% distribudos esquerda da mdia e 50% sua direita. A rea
sob a curva normal contida entre... igual a: 1 2 3 68,26% 95,44%
99,74% (a) (b) (c)
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X ~N
f ( x)
1 22
( x )2 2 2
e
2 - Distribuio Normal Padro Todas as curvas normais podem ser
transformadas em uma curva normal padro, usando o desvio padro ()
como unidade de medida indicativa dos desvios dos valores da
varivel em estudo ( X ), em relao mdia ( ). A varivel aleatria Z
caracterizada pela mdia = 0 e 2 = 1.
Z ~ N(0 ; 1)
Z
X
3 - A Aproximao da Binomial Curva Normal Quando uma amostra tem
n > 30 uma curva binomial tende a se assemelhar a uma curva
normal.
X ~ B(n; p ) E ( X ) n. p DP( X ) n. p.q Z X 0,5
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EXERCCIOS 1) 2) Calcule a probabilidade de se obter menos de 45
caras em 120 lanamentos de uma moeda. Uma empresa produz um
equipamento cuja vida til admite distribuio normal com mdia 300h e
desvio padro 20h. Se a empresa garantiu uma vida til de pelo menos
280h para uma das unidades vendidas, qual a probabilidade de ela
ter que repor essa unidade? 3) Um candidato, pela ltima pesquisa,
detm 20% dos votos de uma regio. Calcule a probabilidade de que em
um conjunto de 200 eleitores selecionados ao acaso nesta regio ele
obtenha: a) entre 30 e 80 votos; 4) b) no mximo 20 votos; c)
exatamente 45 votos.
Os balancetes semanais realizados em uma empresa mostram que o
lucro realizado distribui-se normalmente com mdia 48.000u.m. e
desvio padro 8.000u.m.. Qual a probabilidade de que: a) na prxima
semana o lucro seja maior que 50.000 u.m.? b) na prxima semana o
lucro esteja entre 40.000 u.m. e 45.000 u.m.?
5)
As alturas de 10.000 alunos de um colgio tem distribuio
aproximadamente normal com mdia 170cm e desvio padro de 5cm. a)
Qual o nmero esperado de alunos com altura superior a 165cm? b)
Qual o intervalo simtrico em torno da mdia que conter 75% das
alturas dos alunos?
6)
Suponha que as amplitudes de vida de dois aparelhos eltricos, D1
e D2, tenham distribuies N(42; 36) e N(45; 9), respectivamente. Se
os aparelhos so feitos para serem usados por um perodo de 45 horas,
qual aparelho deve ser preferido? E se for por um perodo de
49h?
7) 8)
De um lote de produtos manufaturados, extramos 100 itens ao
acaso; se 10% dos itens do lote so defeituosos, calcule a
probabilidade de 12 itens serem defeituosos. Use a aproximao
normal. A confiabilidade de um mecanismo eletrnico a probabilidade
de que ele funcione sob as condies para as quais foi planejado. Uma
amostra de 1.000 desses itens escolhida ao acaso e os itens so
testados, obtendo-se 30 defeituosos. Calcule a probabilidade de se
obter pelo menos 30 itens defeituosos, supondo que a confiabilidade
de cada item 0,95.
9)
Suponha a altura de 800 estudantes com altura mdia de 1,68m e
desvio padro de 0,13m. Encontre o nmero n de estudantes com as
alturas: a) entre 1,65m e 1,91m; b) maior ou igual 1,83m.
10) Suponha que a temperatura durante um ms normalmente
distribuda com mdia 20O C e desvio padro 2o C. Encontre a
probabilidade em que a temperatura est entre 21o C e 27o C. 11) Em
indivduos sadios, o consumo renal de oxignio tem distribuio normal
de mdia 13 cm3/min e desvio padro 1,5cm3/min. a) Determinar a
proporo de indivduos sadios com consumo: inferior a 10cm3/min
superior a 8cm3/min entre 9,4 e 13,2cm3/min igual a 11,6cm3/min
entre 10 e 13cm3/min ou entre 12,5 e 14 cm3/min b) Determinar o
valor do consumo renal que superado por 98,5% dos indivduos
sadios.
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12) Uma mquina produz parafusos, dos quais 10% so defeituosos.
Usando a aproximao da distribuio binomial pela normal, determinar a
probabilidade de uma amostra formada ao acaso de 400 parafusos
produzidos pela mquina, serem defeituosos: a) no mximo 30. c) mais
de 35 e menos de 45. b) entre 30 e 50 (inclusive os extremos). d)
mais de 55.
13) Numa regio, a altura das pessoas tem distribuio praticamente
normal com desvio padro de 8 cm e tal que 20% da populao constituda
de pessoas com menos de 168cm de altura. Calcule a proporo de
pessoas com altura a) superior a 190cm. b) igual a 175cm. c) entre
170 e 185cm.
14) Uma mquina de empacotar determinado produto apresenta
variaes de peso com desvio padro de 20g. Em quanto deve ser
regulado o peso mdio do pacote para que apenas 10% tenham menos de
400g? Supor distribuio normal dos pacotes. 15) Num determinado
processo industrial, as peas com mais de 22kg e menos de 18kg so
consideradas defeituosas. O processo atual tem 30% de defeituosas.
Foi proposta a troca por um processo com mdia de 21kg e varincia de
0,81kg2. Deve ser feita a troca? 16) Seja um teste de inteligncia
aplicado a um grupo de 50 adolescentes do 3. ano colegial.
Obteve-se uma distribuio normal com mdia 50 e desvio padro 6.
Pergunta-se: a) qual a proporo de alunos com notas superiores a 60?
b) qual o nmero de alunos com notas entre 35 e 45? c) qual a nota
abaixo da qual esto 75% dos alunos? 17) Um teste padronizado de
escolaridade tem distribuio normal com mdia 100 e desvio padro 25.
Determine a probabilidade de um indivduo submetido ao teste ter
nota: a) maior que 120 b) entre 75 e 125 c) entre 115 e 125 d) qual
a nota abaixo da qual esto 70% dos alunos 18) Os salrios dos
funcionrios de uma escola tm distribuio normal com mdia de
R$1.500,00, e desvio padro de R$200,00. Qual a proporo de
funcionrios que ganham: a) entre R$1.400,00 e R$ 1.600,00? c) acima
de R$1.400,00? b) acima de R$1.500,00? d) abaixo de R$1.400,00? e)
acima de R$1.650,00?
19) Seja um teste de inteligncia aplicado a um grupo de 1000
alunos de uma escola superior. Obteve-se uma distribuio normal, com
mdia de 32 e desvio padro de 4. Pergunta-se. a) Qual o nmero de
alunos com notas superiores a 38? b) Qual o nmero de alunos com
notas inferiores a 35? c) Qual o nmero de alunos com notas
compreendidas entre 27 e 31? 20) A renda anual mdia de uma grande
comunidade pode ser aproximada por uma distribuio normal com mdia
de R$ 7.000,00 e desvio padro de R$ 3.000,00. a) Que porcentagem da
populao ter renda superior a R$ 13.000,00? b) Abaixo de qual renda
temos 15% da populao?
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21) Os resultados de um concurso de habilitao tiveram distribuio
normal com mdia 50 e desvio padro 10. Os candidatos sero
classificados conforme o seguinte critrio decrescente: A - 10 % das
notas B - 15 % das notas C - 50 % das notas D - 15 % das notas E -
10 % das notas. Determine as notas limites para a classificao dos
candidatos. 22)Suponha que uma distribuio normal para o ms de
janeiro em uma certa localidade seja caracterizada por =22,2C e
=4,4C. a) Qual a probabilidade de que certo ms de janeiro tenha
temperaturas menores ou iguais a 21,4C? b) Qual a probabilidade de
que a temperatura naquela localidade esteja entre 20 e 25C? c) Qual
a temperatura que corresponde aos primeiros 10%? 23) Calcular a rea
compreendida entre os seguintes pares de pontos, para uma curva
normal: a) z = 0 e d) z = 0 e z= 1,40 b) z = 0 e z = 1,75 z = 1,60
z = 2,00 c) z = 0 e z = 0,75 e e z = 1,30 z = 3,00
z = -0,75 z = 1,00
e) z = -1,20 e h) z = -2,00 e k) z = 0 e n) z = 0 e
f) z = 0,70 i) z = -3,00 l) z = 0 o) z = 0 e e
g) z = -1,00 e j) z = 0 e m) z = 0 e p) z = 0 e
z = 1,20 z = 1,46 z = 2,01 z = 1,85 z = 1,74
z = -0,90 z = -0,42 z = 1,56 z = 1,63
z = 1,60 z = -1,44 e e z = -0,20 z = 1,75
q) z = 0,30 e t) z = 0,31 e
r) z = 0,20 u) z = 1,21
s) z = 0,88 e v) z = 1,30 e
24)Ache o ponto z0 tal que: a) P(Z>z0) = 0,025 d) P(- z0
