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Escola Secundria de Francisco Rodrigues Lobo

MACS - 10 Ano Outubro / 2010Trabalho de Grupo sobre Sistemas de Votao

Proposta de Trabalho:

L o seguinte texto e vai respondendo s questes que te vo sendo propostas.

No fim da leitura, elabora em grupo, um pequeno relatrio que contemple as respostas s questes

referidas (sempre devidamente justificadas) e uma reflexo sobre a importncia do mtodo

matemtico escolhido na eleio de um candidato.

Bom trabalho!

AS REGRAS DA MINORIA

Era um desses sbados frios e claros de Fevereiro em que mesmo os Nova-Iorquinos ficam em casa,

rendendo-se ao tempo. Ecco veio receber-me porta.

- No quer uma chvena de ch? - perguntou-me, indicando o bule sobre a mesa. - Ento leu as

notcias sobre o escndalo na votao do Congresso da Patagnia? - acrescentou, enquanto eu enchia a

chvena.- Por alto - respondi-lhe. - No dei muita importncia a esse Congresso.

O Congresso da Patagnia uma associao internacional de cientistas, burocratas do governo e

executivos empresariais consultores das Naes Unidas.

- Mas, meu caro professor - retorquiu Ecco -, um exemplo gritante da falta de lgica da imprensa;

foi noticiado como tal, mas, na verdade, no houve qualquer escndalo.

- Quem lhe disse isso? - perguntei, surpreendido por Ecco poder ter alguns contactos no mundo da

poltica.

- c uma ideia - disse ele. - Olhe o que diz o Times: Havia trs candidatos presidncia do

Congresso, Guarez, Swenson e Libretti. Segundo fontes seguras, antes das eleies tanto Guarez como o

seu inimigo mortal Swenson eram ambos apoiados por mais de 40% dos membros do Congresso, o que

deixava a Libretti menos de 20% de apoiantes. Libretti era, assim, penalizado pela impresso que d de

ingenuidade e de falta de viso. Contudo, Libretti ganhou as eleies. Observadores exteriores levantam a

hiptese de ter havido alguma manobra suja, mas os membros do Congresso recusam-se a comentar

estas opinies. Depois outros jornais pegaram na histria e relataram-na como se os rumores de

corrupo na eleio fossem um facto assente. Acontece que tenho comigo o regimento interno do

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Congresso e estou convencido de que a eleio decorreu inteiramente de acordo com as regras. Veja,

professor, o regimento interno define que a disputa da presidncia deve ser feita segundo uma srie de

eleies, cada uma delas entre apenas dois candidatos. Assim, a primeira eleio pode ter oposto Guarez

a Swenson e a segunda o vencedor da primeira a Libretti, ou ento a primeira eleio foi disputada por

Swenson e Libretti e a segunda ops o vencedor da primeira a Guarez, ou, finalmente, Libretti e Guarezconfrontaram-se na primeira eleio. Em qualquer dos casos, houve duas eleies de um contra um.

1. Antes de continuar a ler, capaz de explicar como que Libretti poderia ter ganho as eleieshonestamente?

- O regimento muda todo o panorama - continuou Ecco. - Devido inimizade entre Guarez e

Swenson, Libretti ganha sempre, qualquer que seja a ordem por que ocorram as eleies. Os apoiantes de

Swenson preferem-no a Guarez. Os apoiantes de Guarez preferem-no a Swenson. - Alguns dias depois o

Times publicava uma carta ao editor que expressava este mesmo argumento: era assinada, simplesmente,

por K. Arrow. A carta foi mesmo citada pelos novos servios telegrficos. Pareceu-me ver nela o estilo de

Ecco. - No, o mrito todo de Arrow - disse simplesmente.

- Pressinto uma confisso na sua negativa - disse-lhe. - Bem, talvez seja - replicou, rindo. - Lembra-

se de como Kenneth Arrow abalou o mundo das cincias sociais com o to citado teorema das

possibilidades? Entre outras coisas, o teorema mostra que as preferncias da maioria podem ser

subvertidas por eleies em que mais de dois candidatos se defrontem simultaneamente. Arrow mostrou,por exemplo, que, com certos esquemas eleitorais, um candidato que pudesse derrotar qualquer outro

numa eleio de um contra um - por vezes, chamado candidato de Condorcet - poderia, no obstante,

perder. Suponha que so trs os candidatos, A, B e C; A est posicionado direita, C esquerda e B ao

centro. Se for utilizado um sistema de votao simultnea, os dois candidatos mais votados na primeira

volta defrontar-se-o na segunda. Se o eleitorado estiver muito polarizado, como acontecia no Congresso

da Patagnia, B pode ser vencido na primeira volta. Contudo, B poder vencer tanto A como C numa

disputa de um contra um. O protocolo eleitoral do Congresso da Patagnia foi estabelecido de forma a

garantir a vitria do candidato de Condorcet, se este existir. evidente que se pressupe que em cada

uma das eleies os eleitores votam de acordo com as suas preferncias. A imprensa analisou os factos de

acordo com as regras de eleies em que os diferentes candidatos so votados simultaneamente, quando

no era esse o caso. Foi por isso que Libretti foi considerado como seguramente vencido.

Mal Ecco acabara de pronunciar estas palavras, ouvimos bater porta.

Antnio Libretti, o novo presidente do Congresso da Patagnia, no me provocou nada a impresso

de ser um homem de viso estreita. Pelo contrrio, pareceu-me um homem com objectivos claros,

convincentemente justificados.

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- Assim, meus senhores - concluiu Libretti -, o que est em risco o futuro da Amaznia e,

possivelmente, do nosso planeta. O projecto de lei que defendo, e que gostaria que fosse aprovado pelo

Congresso, limita o desenvolvimento nessa zona, enquanto as propostas alternativas conduzem todas

invaso da floresta, invaso que dificilmente poder ser detida.

Ecco aquiesceu com a cabea, embora sem entusiasmo. - Sr. Libretti, esses objectivos so muitovlidos, e at os aprovo, mas o senhor disse que precisava dos meus servios. Ora, sou tudo menos

angariador de votos.

- Eu sei, Dr. Ecco. No se trata de angariar votos, mas de um problema lgico, que gostaria de

discutir consigo. Para comear, vamos designar todas as propostas por letras: A, B, C e D. A minha

proposta a C. Das outras, prefiro A a D e D a B. O Congresso da Patagnia tem 100 membros, dos quais

17 partilham exactamente as minhas preferncias, 32 preferem A a B, B a D e D a C, 34 preferem D a B, B

a C e C a A e os outros 17 preferem B a A, A a C e C a D.

- Resumindo, Sr. Libretti - disse Ecco -, o senhor acaba de descrever as preferncias da seguinte

forma:

C, A, D, B: 17 apoiantes; A, B, D, C: 32 apoiantes; D, B, C, A: 34 apoiantes; B, A, C, D: 17 apoiantes.O primeiro grupo representa o senhor e os seus 17 apelantes, que preferem C a A, A a D e D a B, e

analogamente para os outros grupos.

- Sim, exactamente - disse Libretti. - Portanto, como pode ver, a minha posio tem pouco apoio

entre os membros do Congresso. Alm disso, nem sequer posso votar. Mas tenho um privilgio que

espero usar a meu favor. O nosso sistema estipula que a proposta vencedora tem de ser determinada por

uma srie de eleies de um contra um. Por exemplo, a primeira eleio deve opor A a B, a segunda o

vencedor a C, ou C a D, etc. Como evidente, s o vencedor de uma eleio pode participar nas eleies

subsequentes, vencendo a proposta que resistir a este processo sucessivo de eliminaes. Contudo, a

forma como decorrerem as eliminatrias pode afectar o resultado, como o senhor j concluiu da anliseque fez da minha eleio. - Ecco sobressaltou-se. Afinal, como teria Libretti sabido que era ele o

responsvel pela anlise da sua eleio? - Como presidente, tenho a prerrogativa - continuou Libretti - de

escolher a ordem pela qual sero efectuadas as eleies de um contra um.

- E o senhor pensa que h uma forma que dar a vitria sua proposta? - perguntei eu. - Se

representasse a proposta B, poderia admitir que tivesse alguma esperana. Mas C? Numa eleio entre B

e C, B obter 83 votos e ganhar. A proposta C no , com certeza, um candidato de Condorcet.

- Se o senhor e o Dr. Ecco pensarem nisto, tenho a certeza de que descobriro uma forma - disse,

voltando-se para mim e franzindo o sobrolho.

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2. Partindo da hiptese de que em cada eleio de um contra um todas as pessoas votam de acordocom as suas preferncias, haver alguma sequncia de eleies que assegure a vitria de C? Se houver,

qual ?

- Bem, Sr. Libretti, aqui tem a resposta - disse Ecco, entregando-lhe uma sequncia de eleies deum contra um. - Pode fazer aprovar a resoluo para salvar a Amaznia. A justificao para esta resposta

reside no facto de no haver um candidato de Condorcet, sendo, assim, a ordem determinante.

- ptimo - disse Libretti. - S mais uma questo sobre este assunto: neste tipo de eleies

tradio que seja o presidente a escolher os dois oponentes na primeira eleio, mas a oposio que

escolhe o par que disputa a segunda. Neste caso, a oposio constituda pelas pessoas cuja primeira

escolha B ou D. A pergunta a seguinte: se escolher o primeiro par e a oposio escolher o segundo,

posso garantir a vitria de uma das minhas duas primeiras escolhas, C ou A?

3. Pode assegurar a vitria de C ou de A se escolher o primeiro par de propostas e a oposio osegundo? Recorde que as eleies subsequentes s podem ser disputadas por propostas vencedoras nas

eleies anteriores. Se a resposta for sim, diga que propostas devem ser oponentes na primeira eleio.

Tem de demonstrar que C ou A vencero, qualquer que seja o par que dispute a segunda eleio. Se a

resposta for no, diga porqu.

- A tradio ainda uma coisa maravilhosa - disse Libretti depois de ouvir a resposta de Ecco. Comum sorriso nos lbios, apertou-nos as mos e partiu.

- Bem - disse Ecco, virando-se para mim depois de Libretti ter sado -, ser que os fins justificam os

meios, professor? Acabmos de fazer com que Libretti e a sua pequena minoria ganhem, subvertendo,

assim, o que deveria ser um processo democrtico. Mas, no fundo, a causa de tudo isto a regra singular

que rege as eleies de um contra um.

4. Mostre que tanto A como B, C ou D podem ganhar desde que escolha a ordem adequada.

- As pessoas, sem dvida, subestimaram Libretti ao chamarem-lhe ingnuo - disse eu. - Ele est

disposto a recorrer astcia para obter o que quer, ainda que seja bom.

- Ou talvez eles atribuam um sentido mais profundo a ingnuo - disse Ecco. - Imagine o que

pensaro quando virem que Libretti usou uma vez mais o sistema de votao a seu favor. Poder ento

perder a sua frgil base de apoio. - Ecco deteve-se, com o queixo enfiado na palma da mo e os olhos

fixos no cho. - As pessoas podem pensar que est a abusar do poder e, assim, poder perder a

popularidade. - Ecco sorriu e suspirou. - Se, pelo menos, a poltica fosse to fcil de entender como amatemtica. (As regras da minoria, As Enigmticas Aventuras do Dr. Ecco; Dennis Shasha, Gradiva, 1992)