Sistemas lineares - Sistemas de equações

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SISTEMAS LINEARES

Professor Bonelli

Equao Linear toda equao que possui variveis e apresenta na seguinte forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + ...+ anxn = b, em que a1, a2, a3, ....., so os coeficientes reais e o termo independente e representado pelo nmero real b. Exemplos: x + y + z = 20 2x 3y + 5z = 6

Sistema Linear Um conjunto de p equaes lineares com variveis x1, x2, x3,....,xn formam um sistema linear com p equaes e n incgnitas. Exemplos: Sistema linear com duas equaes e duas variveis. x+y=3 xy=1

Sistema linear com trs equaes e trs variveis. x + 10y 12z = 120 4x 2y 20z = 60 x + y + 5z = 10

Soluo de um sistema linear Dado o sistema: x+y=3 xy=1 Dizemos que a soluo deste sistema o par ordenado (2,1), pois ele satisfaz as duas equaes do sistema linear. Observe: x=2ey=1 2+1=33=3 21=11=1

CLASSIFICAO DE UM SISTEMA LINEARTodo sistema linear classificado de acordo com o nmero de solues apresentadas por ele. SPD Sistema Possvel e Determinado possui apenas uma soluo. SPI Sistema Possvel e Indeterminado possui infinitas solues. SI Sistema Impossvel no possui soluo.

Sistema possvel : Quando tem pelo menos uma soluo.

a) Se tem uma nica soluo, o sistema determinado. b) Se tem mais que uma soluo, o sistema indeterminado.

Sistema impossvel : Se no admite qualquer soluo.

Sistema com infinitas solues:

Ex: 4x + 2y = 100 8x + 4y = 200 (20,10), (10,30), etc Sistema com nenhuma soluao Ex: x + 3y = 4 x + 3y = 5

SISTEMAS EQUIVALENTESPodemos, para facilitar algumas contas, multiplicar (ou dividir) uma linha (equao) do sistema por um nmero. Se a equao for 4x 8y = 16 podemos escrever 2x 4y = 8 ou 8x 16y = 32

RESOLUO DE UM SISTEMA LINEARMtodo da Substituio Esse mtodo consiste em escolher uma das equaes, isolar uma das variveis ( geralmente x ou y), colocar esse valor parcial na outra equao e por fim achar ambos os valores desconhecidos.

Ex:

x+y=5 xy=1

Vamos escolher primeiro a equao 1 e isolar o X. x=5y (valor parcial)

Agora colocamos esse valor parcial de X na outra equao: x y=1 5yy=1 -2y = 1 5 y = - 4/ - 2 y=2 Coloque o valor de y na equao do valor parcial, conseguindo o valor de x. x=5y x=52 x=3

EXERCCIO

x + y = 10 xy=2

EXEMPLO COM MULTIPLICAO

3x + y = 9 y = 9 3x 2x + 3y = 13 2x + 3(9 3x) = 13 2x + 27 9x = 13 - 7x = 13 -27 x = -14/ -7 x=2y = 9 3.2 y=96 y=3

EXERCCIO

2x + y = 12 3x + 3y = 15

EXERCCIOSEm um estacionamento h carros e motos, num total de 20 veculos. Sendo o total de rodas igual a 66, determine o nmero de carros e motos no estacionamento. Quem voc chamar de x? Quem ser o y?

Num estacionamento existem 22 veculos, totalizando um nmero de 64 rodas. Qual o nmero de carros e de motos?

Em uma fazenda havia galinhas e porcos, num total de 30 animais. Se o total de patas eram de 60, quantos animais de cada espcie haviam?

Eustaquio comeu na tera feira, entre doces e salgados um total de 8 itens. Sabendo que o preo do salgado 2 reais e o doce sai por 50 centavos, quantos doces e salgados ele comeu esse dia?

Em uma lanchonete o consumo de 3 sanduiches e 7 refrigerantes totalizou um valor de R$24,50. Em outra mesa o consumo de 4 sanduiches e 1 refrigerante totalizou R$16,00. Ento o consumo de 1 sanduiche e 2 refrigerantes totalizaria o valor de:

Em uma festa comunitria, uma barraca de tiro ao alvo d um prmio ao cliente de R$ 30,00, cada vez que o mesmo acerta a rea central do alvo. Caso contrrio, o cliente paga R$ 10,00. Um indivduo deu 50 tiros e pagou R$ 100,00. Nessas condies, o nmero de vezes que ele ERROU o alvo foi a) 10 b) 20 c) 25 d) 35 e) 40

Um teste composto por 50 questes, sendo que por cada questo certa voc ganha 3 pontos e por cada questo errada voc perde 2 pontos. Se ao terminar essa prova voc fez 75 pontos, quantas questes certas e erradas voc fez?

Uma pessoa consumiu na segunda-feira, no caf da manh, 1 pedao de bolo e 3 pezinhos, o que deu um total de 140 gramas. Na tera-feira, no caf da manh, consumiu 3 pedaos de bolo e 2 pezinhos (iguais aos do dia anterior e de mesma massa), totalizando 210 gramas.