CONHECIMENTOS SOBRE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES …

CONHECIMENTOS SOBRE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

POR ALUNOS DO 1º ANO DE MATEMÁTICA: O CASO DO ALUNO

RAFAEL

Veridiana Rezende1

Unespar – Câmpus de Campo Mourão

[email protected]

Wilian Barbosa Travassos2


[email protected]

Wellington Hermann3


[email protected]

Mariana Moran 4


[email protected]

Resumo: O presente trabalho fundamenta-se principalmente na teoria dos registros de representação

semiótica de Raymond Duval, e tem como objetivo analisar tratamentos e conversões realizadas na

resolução de sistemas de equações lineares, bem como a atribuição de significados por um aluno do

primeiro ano do Curso de Matemática de uma Universidade pública do interior do Paraná. Trata-se de

um recorte da parte preliminar de um estudo a respeito dos conhecimentos dos alunos sobre resolução

e interpretação de sistemas de equações lineares. Para coletar os dados foram elaboradas e

disponibilizadas aos alunos quatro questões sobre sistemas de equações lineares: duas que tratam da

resolução de atividades e duas dissertativas. Além desse instrumento de coleta, utilizou-se também

uma entrevista semiestruturada. As análises foram guiadas pela teoria de Raymond Duval no que diz

respeito a variação dos registros de representação semiótica e apontam para a ausência de atribuição de

significado por parte do aluno acerca da resolução dos sistemas.

Palavras-chave: Educação Matemática. Sistemas de equações lineares. Registros de

representação semiótica.

1 Professora do Colegiado de Matemática da Universidade Estadual do Paraná – Campus de Campo Mourão.

2 Acadêmico do Curso de Matemática da Universidade Estadual do Paraná – Campus de Campo Mourão. Aluno

de Iniciação Científica NUPEM - bolsista da Fundação Araucária. 3 Professor do Colegiado de Matemática da Universidade Estadual do Paraná – Campus de Campo Mourão.

4 Professora do Colegiado de Matemática da Universidade Estadual do Paraná – Campus de Campo Mourão.

mailto:[email protected]

XII EPREM – Encontro Paranaense de Educação Matemática Campo Mourão, 04 a 06 de setembro de 2014

ISSN 2175 - 2044

Introdução

Neste trabalho apresentamos os resultados preliminares de uma pesquisa qualitativa

que está sendo desenvolvida com alunos do primeiro ano do Curso de Licenciatura em

Matemática, de uma Universidade pública do interior do Paraná, que cursam a disciplina de

Geometria Analítica e Álgebra Linear. O objetivo principal da pesquisa, que encontra-se em

fase de desenvolvimento, é identificar e analisar os conhecimentos que alunos do primeiro

ano do Curso de Matemática trazem do Ensino Médio, acerca da resolução de Sistemas de

Equações Lineares e suas diferentes representações. Para este trabalho, porém, apresentamos

apenas parte dos resultados obtidos até o momento.

O interesse principal por essa investigação surgiu da experiência de três autores desse

trabalho, como professores do primeiro ano do Curso de Licenciatura em Matemática,

perceberem que a cada ano alunos ingressam no Curso sem domínio de diversos conceitos

presentes no currículo da Educação Básica, entre eles o conceito de sistemas de equações

lineares.

De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN (BRASIL, 1998) para a

disciplina de Matemática, os sistemas de equações lineares envolvendo duas equações e duas

incógnitas devem ser estudados no 8º ou no 9º ano do Ensino Fundamental. Esses estudos

devem ser ampliados no Ensino Médio, considerando um maior número de incógnitas e

equações.

Além disso, os PCN preconizam o uso de diferentes representações no ensino da

Matemática, e mencionam a importância de proporcionar aos alunos o desenvolvimento da

capacidade de transcrever proposições da linguagem corrente (língua natural) para a

linguagem simbólica - algébrica, gráfica, diagramas, tabelas, etc. É nesse sentido que

enfatizamos a importância de estudos envolvendo sistemas de equações lineares e suas

diferentes representações, pois esse conteúdo favorece o uso de diferentes registros, tais como

o registro da língua natural (situações problemas), gráfica, algébrica, matrizes e numérica,

justificando, portanto, a pertinência da presente investigação.

Para Duval (2012), a compreensão de um conceito se dá quando um sujeito é capaz de

articular suas diferentes representações semióticas. Sendo assim, e considerando o exposto

acima que se refere ao fato que os sistemas de equações lineares favorecem o uso de


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diferentes representações, consideramos que esta seria uma teoria adequada para fundamentar

nosso trabalho.

De acordo com Duval (2009; 2012), os sistemas semióticos5 cumprem basicamente

três atividades cognitivas inerentes a toda representação:

1. a formação de uma representação identificável como uma representação de um

registro dado: deve respeitar regras de utilização, de identificação, de

reconhecimento da representação e a possibilidade de sua utilização para tratamentos;

constitui um traço ou um ajuntamento de traços perceptíveis com fim em identificar

uma representação de alguma coisa num determinado sistema;

2. o tratamento: transformar a representação inicial em outra, obedecendo as regras do

próprio sistema constituindo uma relação de conhecimento;

3. a conversão: converter a representação produzida em um sistema para outro sistema,

sem perda de conceitos, de modo a explicar outras significações relativas ao que está

sendo representado.

O tratamento é uma transformação que ocorre internamente ao registro, ou seja,

realizam-se operações necessárias para resolver/responder uma questão ou um problema, sem

sair do registro inicial. Como exemplos de tratamentos têm-se: a paráfrase e a inferência que

são formas de tratamento em língua natural, que cumprem o papel de reformular um

determinado enunciado com o objetivo de explicá-lo ou substituí-lo; a reconfiguração, que é

um tipo particular de tratamento para as figuras geométricas, possibilitando sua exploração

heurística; a anamorfose, uma forma de tratamento figural, que consiste em modificações

óticas da figura e o cálculo, que é um tratamento feito sobre a escrita simbólica de algarismos

e de letras (DUVAL, 2009; 2012a; 2012b).

Obviamente, para cada registro existem regras de tratamento para expandir uma

representação. Essas regras “uma vez aplicadas, resultam em uma representação de mesmo

registro que a (representação) de partida” (DUVAL, 2009, p.57).

Com relação à conversão, Duval (2009) afirma que “Converter é transformar a

representação de um objeto, de uma situação ou de uma informação dada num registro em

uma representação desse mesmo objeto, dessa mesma situação ou da mesma informação num

outro registro” (p. 58). A conversão é uma transformação externa ao registro de partida que

conserva a totalidade ou somente uma parte do conteúdo da representação inicial.

5 Um sistema semiótico é formado por registros de representação – línguas, figuras, gráficos etc. – e por códigos

– código binário, alfabetos etc. (DUVAL, 2011).


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Duval (2009; 2012b) exemplifica que: a ilustração é a conversão de uma

representação linguística em uma figura; a tradução é sair de uma representação em uma

língua dada para outro tipo de língua; a descrição (interpretação) é a descrição de uma

representação não verbal na forma de esquemas, figuras, gráficos em uma representação

linguística; a codificação significa transcrever uma representação em outro sistema semiótico

diferente do inicial; dentre outras. É possível pensar também, na transformação dos dados do

enunciado de um problema (língua natural) para a forma de equação ou sistema de equações

(escrita simbólica). Este último, é o caso de uma das questões propostas aos alunos no

presente trabalho.

Para esta pesquisa foram elaboradas quatro questões relacionadas aos Sistemas de

Equações Lineares, com a intenção de analisar o que sabem alunos calouros que ingressam no

curso de Matemática e, ainda, se as ideias de Duval, relacionadas à tratamento e conversão se

fazem presentes nas respostas dos alunos. Pois, consideramos que ao identificarmos

conversões nas respostas dos alunos, de acordo com os pressupostos de Duval (2012),

podemos indicar possível aprendizagem por parte dos alunos, referente ao conceito em

questão.

Procedimentos metodológicos

A coleta preliminar de dados foi realizada por meio de quatro questões: a primeira

envolve uma situação problema que exige em sua resolução, além da interpretação, a

utilização de alguma técnica para solucionar sistemas de equações lineares. Na segunda

questão foram apresentados dois sistemas: o primeiro (item a) é um sistema6 com duas

equações e duas incógnitas e o segundo (item b) é um sistema com três equações e três

incógnitas. As duas últimas questões são dissertativas e têm como objetivo a obtenção de

dados a respeito do conhecimento que os alunos têm sobre a resolução de sistemas e se

haviam aprendido esse conteúdo na Educação Básica.

Para a realização das atividades foram utilizadas duas aulas da disciplina de Geometria

Analítica e Álgebra Linear. No dia da aplicação estavam presentes quarenta e sete alunos

entre calouros (36 calouros) e não calouros (11 não calouros). Explicamos se tratar de uma

6 Para simplificar a escrita utilizamos a palavra sistema para indicar um sistema de equações lineares.


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pesquisa e que manteríamos o anonimato dos participantes. Para isso, criamos um código: de

A1 a A36 para designar os calouros e de AA37 a AA47 para os não calouros.

Para as análises dos dados fizemos a leitura das respostas de cada uma das questões e,

conforme avançamos nas leituras, foram surgindo padrões que nos ajudaram a atribuir

significados mais gerais em relação às respostas dos sujeitos. Isso aconteceu com cada uma

das três primeiras questões e, para cada questão, elaboramos quadros que serviram para guiar

nossas análises. A seguir apresentamos os quadros referentes à questão 1 e ao item a da

questão 2, que serão o foco das análises desse trabalho:

Quadro 1: Organização das respostas referentes à primeira questão

Acertaram:

24 alunos

Método de Resolução

Realizaram a conversão

da resposta para língua

natural

Não realizaram a conversão

da resposta para língua

natural

Adição:

15 alunos

A7, A12, A14, A16,

A18

A24, A34, A36, AA39

AA41, AA44, AA46,

AA47

A17

Substituição:

7 alunos A2, A11, A27, AA40 A19, A22, A35

Tentativa e erro:

2 alunos A4 A3

Não fizeram:

12 alunos

Interpretaram mas não

resolveram:

6 alunos

A8, A9, A20, A21, A23, A28

Não Interpretaram:

6 alunos A1, A5, A6, A10, A29, A30

Erraram

11 alunos

Interpretaram errado:

4 alunos

Método de Resolução

Realizaram

a conversão

para língua

natural

Não

realizaram

a conversão

para língua

natural

Adição:

2 alunos AA37 AA45

Substituição:

2 alunos A15, A26

Erraram os cálculos:

7 alunos

Adição:

1 alunos AA43

Substituição:

6 alunos A31

A13,A25,A32

A33, AA38

Fonte: autores deste trabalho

Quadro 2: Organização das respostas referentes à questão 2 item a.


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Acertaram:

14 alunos

Encontraram uma solução particular:

13 alunos

A3, A4, A7, A12, A14, A15, A16

A18, A19, A24, A35, AA45, AA46

Acertou, porém não

expressou a solução:

1 aluno

AA47

Não fizeram:

13 alunos

A1, A5, A6, A9, A10, A20

A21, A28, A29, A30, A31, A32

Erraram:

20 alunos

Resolveram o sistema e

chegaram em 0 = 0 mas não

interpretaram a solução:

9 alunos

A2, A11, A25, A34, A36

AA39, AA40, AA41, AA43

Consideram x = 0 e y = 0:

2 alunos A22, AA37

Tentaram resolver, mas

erraram o procedimento:

9 alunos

A13, A17, A23, A26, A27

A33, AA38, AA42, AA44


Na questão 4, dentre os 47 alunos que participaram da pesquisa, apenas 9 alunos

disseram que se lembravam de ter estudado o conteúdo sistemas de equações lineares na

Educação Básica. Não temos condições de saber se o conteúdo não foi trabalhado ou se os

alunos simplesmente não se lembram dos estudos. Mas, de todo modo, essa informação causa

preocupação devido à importância deste conteúdo para que os alunos possam dar sequência

aos estudos em nível Superior em diversas áreas do conhecimento. Nos Parâmetros

Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998) e nas Diretrizes Curriculares Estaduais para a

disciplina de Matemática (PARANÁ, 2008), encontram-se recomendações para o ensino de

sistemas de equações lineares no Ensino Fundamental e no Ensino Médio.

Para o Ensino fundamental 3º e 4º ciclos, os PCN (BRASIL, 1998), no que diz respeito

à conceitos e procedimentos, indicam que os alunos devem realizar a

[...] resolução de situações-problema por meio de um sistema de equações do

primeiro grau, construindo diferentes procedimentos para resolvê-lo, inclusive o da

representação das equações no plano cartesiano, discutindo o significado das raízes

encontradas em confronto com a situação proposta (p.88).

Já para o Ensino Médio, as DCE (PARANÁ, 2008, p.52) salientam que é necessário

“[...] aprofundar os estudos dos números, de modo a ampliar o conhecimento e o domínio

deste conteúdo para que o aluno [...]”, dentre outras coisas, “identifique e resolva equações,

sistemas de equações e inequações – inclusive as exponenciais, logarítmicas e modulares”

(PARANÁ, 2008, p.52).


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Embora o problema salientado pelas análises da questão 4 seja um importante ponto

de investigação, para esse trabalho optamos por tratar apenas da resolução da questão 1 e do

item a da questão 2, realizadas por um dos alunos.

A partir do estudo guiado pela organização dos quadros que apresentamos,

percebemos que alguns alunos repetiam procedimentos semelhantes para resolver os sistemas

e isso acabou por ocasionar alguns problemas em suas resoluções. Destes alunos, escolhemos

o aluno codificado por AA37 para que pudéssemos esclarecer alguns pontos que não ficaram

evidentes nas suas respostas às quatro questões. Preparamos uma entrevista semiestruturada, a

qual foi realizada com o aluno. A entrevista foi gravada em áudio e vídeo, o que nos

proporcionou novas compreensões a respeito de suas resoluções. Para o texto a seguir,

denominamos o aluno entrevistado e codificado por AA37 como Rafael, por considerarmos

que tornaria a leitura mais agradável.

Apresentação e análise dos dados: o caso do aluno Rafael

Apresentamos, na sequência deste texto, as análises dos registros escritos e da

entrevista realizada com o aluno Rafael7, do primeiro ano do Curso de Matemática de uma

instituição pública do interior do Paraná. Reiteramos que este aluno cursa pelo segundo ano

consecutivo a disciplina de Geometria Analítica e Álgebra Linear, ofertada à alunos do 1° ano

do Curso, com o mesmo professor, um dos autores deste trabalho. Portanto, ele já possui

alguns conhecimentos a respeito do conteúdo: sistema de equações lineares.

A opção por analisar os registros escritos e a entrevista desse aluno deve-se ao fato

dele apresentar erros semelhantes a outros colegas da turma, que consideramos pertinente

divulgá-los à professores de Matemática da Educação Básica e professores de Matemática do

Ensino Superior, com a intenção de alertá-los a respeito dos possíveis erros de seus alunos,

tanto da Educação Básica quanto do Ensino Superior. Afinal, conhecendo esses erros os

professores podem buscar a desestabilização dos mesmos.

A primeira atividade apresentada aos alunos refere-se a uma situação problema

configurando o registro em língua natural. Tínhamos a intenção de perceber como os alunos

resolveriam a situação problema, qual registro seria utilizado – algébrico, numérico, matricial

- e se eles apresentariam resposta coerente à pergunta indicada no problema, na forma de

7 Nome fictício atribuído ao aluno entrevistado AA37, para preservar seu anonimato.


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registro em língua natural, fazendo o uso de conversões entre os registros, assim como sugere

Duval (2012). Também tínhamos interesse em saber se as respostas estavam coerentes com o

problema proposto, assim como alerta D‟Amore (2005).

A seguir, apresentamos a situação problema:

Situação problema: Numa turma do 1º ano do Curso de Matemática, a professora de geometria analítica

enviou para o grupo de e-mails da turma uma lista de exercícios relacionados à determinantes e multiplicações

de matrizes. Sabe-se que o número de exercícios relacionados a determinantes mais três vezes o número de

exercícios contendo multiplicações de matrizes, totaliza 29 exercícios. No entanto, quatro vezes o número de

exercícios de determinantes menos o dobro da quantidade de exercícios de multiplicação é igual a 18.

Considerando estas informações, especifique a quantidade de exercícios relacionados a determinantes e a

quantidade de exercícios relacionados a multiplicação de matrizes presentes na lista enviada pela professora.

Representando por x o número de exercícios relacionados a determinantes, e por y o

número de exercícios referentes a multiplicação de matrizes, Rafael converteu o problema da

língua natural para o registro algébrico e o resolveu pelo método da Adição, conforme

indicam seus registros na figura 1.

Figura 1: Registro algébrico do aluno Rafael


Nota-se que o aluno realizou uma interpretação errada ao converter da língua natural

para o registro algébrico, pois a segunda equação do sistema deveria ser: 1824 yx para

corresponder adequadamente o que o exercício indicou: quatro vezes o número de exercícios

de determinantes menos o dobro da quantidade de exercícios de multiplicação é igual a 18.

Por consequência, o resultado do sistema foram os números fracionários 3

38x e

9

49y , que

não fazem sentido como solução do problema proposto, afinal, não podemos ter números

fracionários como quantidade de exercícios.


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Contudo, Rafael não deu atenção ao fato de os números encontrados fazerem ou não

sentido como solução do problema, e realizou a conversão do registro algébrico para o

registro numérico, com a intenção de conferir se seus cálculos estavam corretos, conforme

indica a figura a seguir:

Figura 2: Registro numérico do aluno Rafael


O registro de Rafael indica que ele realizou conversão do registro algébrico para o

numérico, na busca pelo equilíbrio da igualdade. Este fato pode ser confirmado no fragmento

de diálogo entre professor e aluno, durante a entrevista:

Rafael: [...] Aqui eu acho que eu substitui os valores pra ver se dava a igualdade, se permanecia a

igualdade, permaneceu! 29 = 29.

Professor: Qual igualdade você diz?

Rafael: É, peguei uma equação, substitui os valores que achei para x, substitui os valores que achei pra

y, isso igual a 29, ai, os valores de x mais 3 vezes o valores de y é igual a 29, isso resultou em 29 = 29.

Então são 38/3 exercícios relacionados a determinantes e 49/9 exercícios relacionados a multiplicação

de matrizes.

Assim, nota-se que conscientemente Rafael verificou seus cálculos matemáticos,

passando do registro algébrico para o numérico. Podemos inferir que, do ponto de vista de

Duval (2012), o aluno fez conversão do registro algébrico para o registro numérico, fato que é

positivo para a aprendizagem matemática, pois o processo cognitivo realizado para

compreender a matemática mobiliza sempre, pelo menos, dois registros (Duval 2011).

No entanto, Rafael não faz reflexões a respeito dos valores encontrados, se eles são

coerentes com a pergunta do enunciado do problema, fato indicado na figura 3:

Figura 3: resposta na língua natural dada pelo aluno Rafael


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Desse modo, percebe-se que o aluno não se preocupou em refletir sobre a pergunta do

enunciado do problema, mas apenas com os dados matemáticos. Este fato é alertado por

D‟Amore (2005), no qual o pesquisador menciona que “[...] o sentido da pergunta contido nos

problemas de Matemática, não é levado em conta; o que vale mesmo é utilizar dos dados

numéricos explícitos que aparecem” (p. 79).

Continuando a entrevista com a intenção que o aluno percebesse que sua resposta não

estava coerente com a pergunta proposta no enunciado do exercício, o professor prossegue o

diálogo:

Professor: Você acha que sua resolução está correta?

Rafael: Eu acho que sim.

Professor: E a resposta também?

Rafael: Aham, sim... teve algum erro?

Professor: Não sei, mas você acha que sua resposta é coerente com o problema proposto?

Rafael: É... que na verdade deu fração né? Mas eu peguei os valores de x e y.... Não, deixa eu ver..., os

valores de x e y deu certo, eu acredito que está tudo certo!

Professor: Você acha que está certo! A gente poderia ter como resposta esses valores para o problema

proposto?

Rafael: Verificando o problema, é meio difícil né, ter um número quebrado como exercícios, eu não

tinha pensado nisso. Será que eu fiz conta errada, para a igualdade ter sido válida?

Professor: Não sei, você pode conferir?

Rafael: (confere os cálculos) O resultado bateu! Só que se for analisar, o problema não pode estar

correto.

Professor: Por quê?

Rafael lê novamente o enunciado o exercício, e diz:

Rafael: Porque eu acredito que não tem como a professora me enviar 38,3 exercícios, você vai enviar

metade de um exercício? Isso que eu estou querendo especificar.

Professor: Mas você acha que tem algum erro?

Rafael: Não, na resolução do exercício eu acredito que não.

Professor: E o que você acha que aconteceu, você está achando estranho a resposta?

Rafael: Certo! Pela equação que foi dada, os únicos valores que vai satisfazer a equação são 3

38x e

9

49y .

Nesse fragmento de diálogo, nota-se certo desconforto do aluno ao perceber que o

resultado fracionário (o qual o aluno se refere à número quebrado, e menciona de modo

incorreto 38,3 no lugar de 3

38). No entanto, sua preocupação prioritária continua sendo com

os cálculos matemáticos. Pois, o aluno confere novamente seus cálculos, e afirma que a


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resposta ao problema são os números fracionários, conforme indica sua frase: Certo! Pela

equação que foi dada, os únicos valores que vai satisfazer a equação são 3

38x e

9

49y .

Assim como menciona D‟Amore (2005), o aluno não se atenta ao problema que lhe foi

proposto. Ele não percebe que a interpretação do enunciado poderia estar incorreta. Com a

intenção de favorecer Rafael a perceber que sua interpretação estava incoerente, o professor

prossegue com a entrevista:

Professor: Ou seja, de acordo com o sistema que você interpretou, os seus cálculos estão corretos e sua

resposta está correta?

Rafael: Estão corretos!

Professor: Mas, em relação à interpretação do problema para o sistema na representação algébrica,

você pode conferir pra mim, se ele está correto ou não?

Rafael: Posso, vamos ver aqui.

Rafael realiza a leitura do problema, e percebe seu erro na interpretação da segunda equação:

Rafael: [...] 4x-6y, é..., será que é aqui o erro? Vou conferir de novo. Quatro vezes o número de

exercícios de determinante, menos o dobro, é menos 2y mesmo, e não 6y! Eu peguei o 3y da outra

equação, então não seria 6, seria 2.

Professor: E vai dar outro resultado?

Rafael: Vai dar outro resultado bem diferente.

Professor: E quando você resolveu, você chegou a refletir sobre isso?

Rafael: Não, não pensei no que propunha o exercício, que tinha que ser exercícios e não apenas uma

conta. Não liguei que tinha que dar um número inteiro, que não podia dar um número irracional.

[...]

Rafael: Acho que agora a gente tem que estar mais ligado em todas as informações que tem no texto, se

tem uma informação você não acha que não vai usar ela, todas as informações você vai ter que usar uma

hora.

Notamos a resistência do aluno em perceber que o erro poderia estar na interpretação

do enunciado. Somente após as indagações do professor, com a intenção de favorecer

reflexões do aluno a respeito de sua resposta e da interpretação do enunciado do exercício,

que Rafael reconheceu seu erro de interpretação. Segundo D‟Amore (2005), o motivo de

comportamento como esse apresentado por alunos, deve-se a uma cláusula do contrato

didático, que o autor denomina por cláusula de delega formal:

O estudante lê o texto, decide qual operação deve efetuar com os números

fornecidos; nesse instante dispara a cláusula de delega formal: o estudante não

precisa mais raciocinar ou verificar [...] o compromisso do estudante terminou,

agora é a responsabilidade do algoritmo de trabalhar com ele. A tarefa seguinte do

estudante será a de transcrever o resultado, qualquer que seja ele, não importando o

significado no contexto do problema (D‟AMORE, 2005, p. 80 - 81).

Assim, a cláusula de delega formal, pode ser indicada nas respostas de Rafael e

exemplificada em sua frase: Não, não pensei no que propunha o exercício, que tinha que ser

exercícios e não apenas uma conta. Não liguei que tinha que dar um número inteiro, que não

podia dar um número irracional.


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Nota-se, ainda, outro equívoco na resposta de Rafael, ao afirmar que os números 3

38 e

9

49 são irracionais. Este erro em classificar frações como números irracionais tem sido

evidenciado em algumas pesquisas. Como exemplo, mencionamos a pesquisa de Rezende

(2013) na qual, dentre os 7 alunos entrevistados do Ensino Fundamental, 5 alunos

classificaram o número racional 3

2 como irracional. Além disso, os resultados de sua

pesquisa, juntamente com os resultados de Fichbein, Jehian e Cohen (1995), levaram a

pesquisadora a indicar um possível teorema em ação falso8 implícito nas respostas dos alunos

investigados nestas pesquisas: Se x não é um número inteiro, então x é irracional. Rezende

(2013) mostra em sua pesquisa que a natureza dos números é um ponto delicado no ensino da

Matemática que merece atenção por parte dos educadores.

A atividade 2 consistiu na apresentação de dois sistemas de equações lineares na

representação algébrica para os alunos resolverem – o primeiro sistema tratava-se de um

sistema linear de ordem dois, compatível e indeterminado. Enquanto o segundo sistema era de

ordem 3, compatível e determinado. Para o caso do sistema de ordem três, compatível e

determinado, Rafael o resolveu corretamente pelo método de Cramer. Por isso, a análise

apresentada na sequência deste texto, refere-se ao sistema de equações lineares

, cujo registro de resolução de Rafael está disponibilizado a seguir:

Figura 4: registro algébrico de Rafael

Fonte: autores desta pesquisa

Notamos um erro na solução apresentada por Rafael. Ao multiplicar a primeira

equação por 4 e diminuir os respectivos termos das equações, ele obtém como resultado

8 Teorema em ação falso é um termo divulgado pelo pesquisador francês Gérard Vergnaud, e refere-se a uma

categoria de conhecimento implícito nas respostas dos alunos (VERGNAUD, 1990).


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000 . A partir desta igualdade, ele conclui que 0x e 0y . Contudo, notamos que esta

resposta é incorreta e não é nem ao menos uma solução particular do sistema, pois ao

substituirmos 0x e 0y em qualquer uma das equações obtemos uma contradição.

Durante a entrevista, ao ser solicitado que explicasse como resolveu este sistema,

Rafael responde:

Rafael: Hum, deixe eu ver... multipliquei a primeira linha por 4, pra zerar o x, -12x -4y=20, 4 vezes 5

igual a 20, zerou aqui, zerou aqui e zerou aqui, então x=0 e y=0, o sistema é incompatível e

indeterminado, tem muitas soluções, infinitas soluções!

Professor: Mas por que você fez os cálculos e falou que terá infinitas soluções, o que te levou a pensar

nisso?

Rafael: Porque se a gente montar o gráfico dessa equação aqui, a gente vai obter uma reta, sobre a

mesma reta, e sobre uma reta, passa infinitos pontos.

Professor: Por que que você sabe que vai acontecer isso?

Rafael: Porque a gente chegou que 0 é igual a 0!

A análise deste fragmento de diálogo entre professor e Rafael mostra o quanto o

registro escrito deixa oculto os conhecimentos dos alunos. Ao dar voz a Rafael, percebemos a

presença do registro gráfico como parte da interpretação da solução do sistema, o que não é

possível identificar no registro escrito. Provavelmente, por se lembrar das aulas da disciplina

de geometria analítica já vivenciadas no Curso de Matemática, ele associa corretamente a

solução do sistema indeterminado com a representação gráfica de uma única reta. Rafael

percebe que quando chega numa igualdade verdadeira, mas que não é possível determinar

valores de x e y, o sistema não pode ser incompatível, como pode ser conferido em sua fala:

Porque eu cheguei que 0 é igual a 0, então, não tem nada de absurdo nisso!

O fato de Rafael associar a solução do sistema indeterminado com o registro gráfico

de uma única reta é um ponto positivo para a compreensão do conteúdo sistemas de equações

lineares, sobretudo do ponto de vista de Duval (2012), que defende que para se compreender

um conceito matemático é necessário conhecer e articular suas diferentes representações. De

acordo com Duval (2012), a compreensão de um conceito limitada a apenas um registro “[...]

conduz a um trabalho às cegas, sem possibilidade de controle do „sentido‟ daquilo que é feito”

(p. 283).

Mas o professor, querendo ouvir de Rafael justificativas para apresentar como a

solução nula para o referido sistema, questiona se 000 é ou não solução do sistema, e

Rafael responde:

Rafael: Que eu dei aqui é uma solução né.

Professor: É uma solução do sistema?

Rafael: Não, não é uma solução do sistema. 3 vezes 0 dá 0, menos 0 dá 0 e não é igual a 5, é diferente

de 5! Uma solução do sistema seria 6 e 1! Ops, 2 e 1! É porque eu já fiz a conta direto.

Professor: Então, você está de acordo ou não, com a sua solução?

Rafael: Não.


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Novamente, percebe-se que o aluno não havia refletido a respeito da resposta

apresentada. Assim, como menciona D‟Amore (2005) ao se referir à cláusula de delega

formal, Rafael não faz reflexões sobre a solução apresentada, ele se preocupa apenas com o

algoritmo e cálculos matemáticos. Mas, ainda querendo saber a respeito da solução do

sistema, o professor questiona e Rafael responde:

Rafael: A solução seria... infinito.

Professor: A solução seria infinito? O que significa a solução igual ao infinito?

Rafael: Que ela tem infinitas soluções! Não estou certo? Eu não sei se eu vou cometer um erro mas, eu

acho que a solução é (o aluno escreve S = R, representando o conjunto dos números reais), é isso?

Professor: Qualquer número real é solução?

Rafael: Sempre um vai estar dependendo do outro né? Se eu atribuir um valor pra x eu vou ter que

pensar num valor para atribuir pra y, porque se não, não vai dar. Então, não é qualquer número real?

Não sei definir qual seria a solução.... Sempre que atribuir um valor, vou conseguir outro valor que seja

compatível à ele, mas não posso colocar qualquer número real ali... teria que ter uma restrição pra isso...

Não, não sei definir uma solução para esse exercício não.

Professor: E vai existir solução?

Rafael: Vai, sempre vai existe solução.

Professor: Tem alguns sistemas que não tem solução?

Rafael: Incompatível.

Professor: E esse não é um caso de sistema incompatível?

Rafael: Não. Não é um sistema incompatível.

Professor: Por quê?

Rafael: Porque eu cheguei que 0 é igual a 0, então, não tem nada de absurdo nisso.

Com este fragmento de diálogo podemos inferir que houve momentos de

aprendizagem para Rafael durante a entrevista, favorecendo ao aluno refletir a respeito de sua

resposta. Embora ele não consiga exibir a solução do sistema, ele percebe que não é qualquer

número real que satisfaz as equações do sistema, como ele mesmo afirma: Sempre que

atribuir um valor, vou conseguir outro valor que seja compatível à ele, mas não posso

colocar qualquer número real ali...teria que ter uma restrição pra isso.

Considerações

Conforme mencionamos, a pesquisa ainda encontra-se em fase de desenvolvimento.

Pretendemos entrevistar outros alunos do primeiro ano de Matemática com a intenção de

adquirir outras informações a respeito dos conhecimentos desses alunos sobre sistemas de

equações lineares. No entanto, como os registros escritos já foram agrupados,

disponibilizados nos quadros 1 e 2, percebemos que alguns dados são, no mínimo,

preocupantes, pois na primeira atividade relacionada a uma situação problema com apenas

duas equações e duas incógnitas, apenas 24 dentre os 47 alunos acertaram o resultado do

problema. Já na questão 2, item a, que se tratava de um sistema indeterminado de duas


ISSN 2175 - 2044

equações e duas incógnitas, um único aluno apresentou a solução geral adequadamente, treze

alunos apresentaram uma solução particular e vinte alunos erraram a resolução.

Contudo, ao entrevistarmos o aluno Rafael percebemos em seu diálogo conhecimentos

implícitos que foram transparecendo no decorrer da entrevista. Podemos inferir que a

entrevista favoreceu momentos de aprendizagem para o aluno, como exemplo, podemos citar

o momento em que ele percebeu que suas respostas nas duas questões apresentadas não

faziam sentido para as questões propostas e que ele não havia refletido a respeito de suas

respostas. Além disso, dialogando com Rafael pudemos perceber as ideias de tratamento e

conversão propostas por Duval (2012), que indicam que, em alguns momentos, Rafael

apresenta indícios de aprendizagem do conceito de sistema de equações lineares.

Esperamos que os resultados deste trabalho possam favorecer docentes da Educação

Básica e de Cursos de Matemática a refletirem a respeito da aprendizagem de seus alunos

sobre os sistemas de equações lineares e, sobretudo, em relação à importância de se explorar

as diferentes representações semióticas em suas aulas de Matemática.

Referências

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação. Parâmetros Curriculares

Nacionais: Matemática. Brasília, 1998.

D‟AMORE, B. Epistemologia e Didática da Matemática. Trad. Ana Cristina Bonomi

Barufi. São Paulo: Escrituras Editora, 2005.

DUVAL, Raymond. Ver e ensinar a matemática de outra forma: entrar no modo

matemático de pensar: os registros de representação semióticas. Org.: Tânia M. M. Campos;

tradução: Marlene Alves Dias. 1ed. São Paulo: PROEM, 2011.

______. Registros de Representação Semiótica e Funcionamento Cognitivo do

pensamento. Revemat. Florianópolis, v. 07, n. 2, p.266-297, 2012.

PARANÁ, Diretrizes Curriculares de Matemática para as séries finais do Ensino

Fundamental e para o Ensino Médio: Matemática – Curitiba: Secretaria de Estado da

Educação, 2008.

REZENDE, Veridiana. Conhecimento sobre números irracionais mobilizados por alunos

brasileiros e franceses: um estudo com alunos concluintes de três níveis de ensino. Tese de

doutorado. Programa de Pós-graduação em Educação para a Ciências e a Matemática, UEM,

Maringá, 2013.

VERGNAUD, Gérard. La théorie des champs conceptuels. Recherche en Didactique des

Mathématiques. Grenoble : La Pensée Sauvage, vol. 10, n. 2.3, pp. 133 a 170, 1990.

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CONHECIMENTOS SOBRE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES …