PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DE SO PAULO PUC/SP

Wagner Marcelo Pommer

EQUAES DIOFANTINAS LINEARES:

Um Desafio Motivador para Alunos do Ensino Mdio

MESTRADO EM EDUCAO MATEMTICA

SO PAULO 2008

PONTIFCIA UNIVERSIDADE CATLICA DE SO PAULO PUC/SP

Wagner Marcelo Pommer

EQUAES DIOFANTINAS LINEARES: Um Desafio Motivador para Alunos do Ensino Mdio

MESTRADO EM EDUCAO MATEMTICA

Dissertao apresentada Banca Examinadora da Pontifcia Universidade Catlica de So Paulo, como exigncia parcial para a obteno do ttulo de MESTRE EM EDUCAO MATEMTICA, sob a orientao da Prof Dr Silvia Dias Alcntara Machado.

SO PAULO 2008

Banca Examinadora

_________________________________

_________________________________

_________________________________

Autorizo, exclusivamente para fins acadmicos e cientficos, a reproduo total ou

parcial desta Dissertao por processos de fotocopiadoras ou eletrnicos.

Assinatura: _______________________________________ Local e Data: ______________

Dedico este trabalho a meus pais (in memoriam)

e, especialmente, a minha esposa.

MEUS AGRADECIMENTOS

Desejo expressar meus agradecimentos a todos que contriburam para que este

trabalho se realizasse.

A Deus, nosso pai, guia que viabiliza nossas opes de vida, ilumina nossos

caminhos e nos d foras para prosseguir nossa existncia.

Aos meus pais, que nesta vida sempre observavam a importncia e me

incentivaram a prosseguir nos estudos.

A minha esposa Clarice, pela compreenso e pacincia nesta etapa, assim como

pelas leituras e reflexes que permeiam este trabalho.

minha orientadora, Prof Dr Silvia Dias de Alcntara Machado, pelo constante

incentivo, dedicao, pacincia, conhecimentos e competncia nos esclarecimentos

nos passos que me guiaram nesta jornada.

Ao Prof Dr Nilson Jos Machado e a Prof Dr Cristiana Abud da Silva Fusco,

pelos comentrios e orientaes presentes no Exame de Qualificao, que

possibilitaram a correo dos caminhos trilhados, assim como permitiram focar,

esclarecer e delimitar os contornos deste trabalho.

Aos professores do Programa de Mestrado em Educao Matemtica da

PUC/SP, pelos conhecimentos to necessrios minha formao.

Aos colegas de Mestrado, pela troca de experincias e discusses

enriquecedoras. Em particular, ao Prof Paulo Csar Queiroz, pela disponibilidade e

prontido na colaborao da aplicao desta pesquisa.

Aos alunos que participaram desta pesquisa, instrumento e motivo pelo qual a

pesquisa em Educao Matemtica se faz necessria.

A CAPES, pela bolsa de estudos que me permitiu seguir adiante no Programa de

Ps-Graduao da PUC/SP.

A todos vocs, muito obrigado.

RESUMO

Neste trabalho apresento um estudo qualitativo orientado pela questo possvel a

alunos do Ensino Mdio explicitar conhecimentos sobre equaes diofantinas

lineares?, cuja relevncia se justifica a partir de pesquisas como a de Lopes Junior

(2005), revelando que alunos de Ensino Mdio no distinguem e no compreendem

quando a varivel assume valor discreto ou contnuo, assim como pelo fato da

Matemtica Discreta ser uma rea relativamente esquecida no Ensino Bsico,

conforme relatam Brolezzi (1996) e Jurkiewicz (2004). Este estudo particulariza como

recorte a Teoria Elementar dos Nmeros no Ensino Mdio, onde pesquisadores como

Campbell e Zazkis (2002), Ferrari (2002) e Resende (2007) ressaltam que atividades

de resoluo de problemas, num enfoque de re-utilizao de conceitos como divisores

e mltiplos, so propcias para o desenvolvimento de heursticas, numa abordagem

complementar e inter-relacionada com a lgebra, em conformidade com Maranho,

Machado e Coelho (2005). Como referencial metodolgico foi utilizada a Engenharia

Didtica, descrita em Artigue (1996), para elaborar, aplicar e analisar uma seqncia

didtica. As manifestaes escritas e orais indicaram que os alunos do Ensino Mdio

desenvolveram estratgias, operacionalizando os conceitos de mltiplos e divisores,

assim como utilizaram a escrita algbrica para a busca de solues inteiras nas

situaes-problema propostas, explicitando assim conhecimentos envolvendo

equaes diofantinas lineares.

Palavras-Chave: Matemtica Discreta, Teoria Elementar dos Nmeros, Equaes Diofantinas Lineares, Engenharia Didtica, Educao Algbrica.

ABSTRACT

This work presents a qualitative study guided by the question Is it possible High

School students to make explicit knowledge on linear diofantine equations?', whose

relevance is justified from researches as met in Lopes Junior (2005), revealing that

High School students do not distinguish and they do not understand when the variable

assumes discrete or continuous value, as well as for the fact that Discrete

Mathematics are a relatively forgotten area on Pre-Universitary School, according to

Brolezzi (1996) and Jurkiewicz (2004). This study particularizes Elementar Number

Theory on High School, where researchers as Campbell and Zazkis (2002), Ferrari

(2002) and Resende (2007) emphasizes that problem resolution activities, in an

approach of concepts re-use as divisors and multiples, are propitious for heuristical

development, in a complementary and interrelated approach to Algebra, in compliance

with Maranho, Machado e Coelho (2005). As methodological reference it was used

Didactical Engineering, described in Artigue (1996), to elaborate, to apply and to

analyze a didactical sequence. The written and oral manifestations indicated that

High School students had developed strategies, operacionalizing the concepts of

multiples and divisors, as well as had used the algebraic equation to search the whole

solutions on the proposed problem situations, thus making explicit knowledge involving

linear diofantine equations.

Keywords: Discrete Matemhatics, Elementar Number Theory, Linear Diofantine Equation, Didactical Engineering, Algebric Education.

SUMRIO

APRESENTAO .................................................................................................... 12

CAPTULO I - JUSTIFICATIVA E OBJETIVO

Justificativa e Objetivo .................................................................................... 14

CAPTULO II - FUNDAMENTOS TERICOS: LEITURAS E ESCOLHAS

Desenvolvimento Histrico das Equaes Diofantinas Lineares .................... 24

Consideraes Matemticas Envolvendo as Equaes Diofantinas Lineares

em Z ................................................................................................................ 26

Fundamentos Didticos: Leituras e Escolhas ................................................. 33

CAPTULO III METODOLOGIA E PROCEDIMENTOS

A Metodologia da Engenharia Didtica ........................................................... 38

Alguns Recursos Didticos Empregados na Elaborao das Atividades ....... 42

A importncia dos Jogos ................................................................................. 42

A Resoluo de Situaes-problema e a Importncia do Contexto ............... 44

Os Contextos Discretos da Microeconomia ................................................... 47

Procedimentos Metodolgicos da Engenharia Didtica ................................. 50

CAPTULO IV A EXPERIMENTAO

Critrios e Procedimentos para a Etapa da Coleta de Dados ........................ 52

Concepo da Seqncia Didtica ................................................................ 55

Da Anlise a Priori, Experimentao e Anlise a Posteriori das Sesses ..... 57

1 Sesso ....................................................................................................... 59

Anlise a Priori ............................................................................................... 59

Descrio e Anlise a Posteriori Local ........................................................... 64

Anlise a Posteriori da 1 sesso ................................................................... 76

2 Sesso ....................................................................................................... 78

Institucionalizao .......................................................................................... 80

Anlise a Priori ............................................................................................... 81

Descrio e Anlise a Posteriori Local ........................................................... 90

Anlise a Posteriori da 2 sesso .................................................................. 100

3 Sesso ....................................................................................................... 102

Institucionalizao .......................................................................................... 102

Anlise a Priori ............................................................................................... 108

Descrio e Anlise a Posteriori Local ........................................................... 112

Anlise a Posteriori da 3 sesso ................................................................... 117

Institucionalizao Final ................................................................................. 118

CAPTULO V CONSIDERAES FINAIS .......................................................... 121

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ......................................................................

ANEXO A ...............................................................................................................

ANEXO B ...............................................................................................................

125

130

147

LISTA DE ANEXOS

Anexo A Instrumento de Pesquisa

Sesso Atividade Descrio

1 1 parte A Jogo do Sorvete - Regras

1 parte B Jogo do Sorvete - Resultados da dupla

1 parte C Jogo do Sorvete - Verificao dos Resultados da dupla

2 Situao-problema Quantos pacotes de caf?

3 Situao-problema Qual sua escolha: CD ou DVD?

2 Jogo do Stop - Regras

4 JOGO DAS COMPRAS NA QUITANDA

5 JOGO DOS SAQUES NO CAIXA ELETRNICO item a

6 JOGO DOS SAQUES NO CAIXA ELETRNICO item b

7 JOGO DOS SAQUES NO CAIXA ELETRNICO item c

8 JOGO DOS SAQUES NO CAIXA ELETRNICO item d

9 DINARLNDIA item a

10 DINARLNDIA item b

3 11 Situao-problema Quantos pacotes de caf?

12 Situao-problema Saques no banco

13 Situao-problema CDs ou DVDs?

14 Sntese

Anexo B Documentos da Pesquisa

Breve caracterizao dos alunos

Autorizao

Carta convite

Termo de compromisso

Relao de alunos por agrupamento nas trs sesses

12

APRESENTAO

Este trabalho se insere na linha de pesquisa A Matemtica na Estrutura Curricular

e Formao de Professores do Programa de Estudos Ps-Graduados em Educao

Matemtica da PUC-SP e dentro da problemtica do Grupo de Pesquisa Educao

Algbrica (GPEA), que articula pesquisas em questes do projeto O que se entende por

lgebra?.

Dentre as vrias ramificaes desenvolvidas por este projeto, me interessei por

pesquisas j em andamento envolvendo o sub-projeto A Teoria dos Nmeros no Ensino

Bsico e na Licenciatura.

A relevncia deste tema se justifica em pesquisas em Educao Matemtica que

apontam para a importncia do re-investimento de conceitos da Teoria dos Nmeros

como divisores e mltiplos no Ensino Mdio, assim como pela pertinncia e necessidade

de estudos envolvendo as grandezas discretas neste nvel de ensino, que articuladas

com a lgebra permitem ampliar a abrangncia do desenvolvimento do pensamento

matemtico.

Deste modo, direcionei esta pesquisa a alunos do Ensino Mdio, objetivando

verificar se, como e em que medida os alunos do Ensino Mdio explicitam conhecimentos

envolvendo as equaes diofantinas lineares.

Apresento a seguir a organizao do presente texto em cinco captulos.

No Captulo I, esto discriminadas sinteticamente as argumentaes que justificam a

proposta deste estudo, que visou investigar as equaes diofantinas lineares com alunos

do Ensino Mdio. Delineei assim, os motivos que levaram a escolha deste tema,

pertencente a Teoria Elementar dos Nmeros, possibilitada pela importncia e pertinncia

de estudos da Matemtica Discreta, dentro do Ensino Bsico, numa proposta de

complementaridade com a lgebra. Deste modo, a justificativa apresentou a relevncia, o

problema, as hipteses e o objetivo desse estudo.

No Captulo II, apresentei as consideraes didticas e matemticas baseadas em

pesquisas que permitiram situar, embasar e encaminhar este trabalho. Assim, delineei o

desenvolvimento histrico das equaes diofantinas lineares, assim como os resultados

mais importantes advindos de autores da epistemologia deste objeto matemtico. Inclui,

ainda, os trabalhos de pesquisadores em Educao Matemtica ligados a Teoria dos

Nmeros e, mais particularmente, as Equaes Diofantinas Lineares, dentro de uma

perspectiva da importncia e pertinncia de estudos da Matemtica Discreta, que

permitiram uma melhor compreenso da temtica abordada nesta pesquisa.

13

No Captulo III, descrevi os fundamentos metodolgicos, justificando as razes para

a utilizao da Engenharia Didtica, descrita em Artigue (1996), como procedimento

metodolgico para a elaborao, aplicao e anlise de uma seqncia didtica, em

conformidade com a Teoria das Situaes Didticas de Brousseau (1996a). Destaquei,

ainda, as consideraes envolvendo os recursos didticos empregados neste trabalho,

caracterizando a importncia da utilizao dos jogos associados a resoluo de

situaes-problema contextualizadas, assim como os motivos para a escolha de

contextos baseados em aproximaes de temas da Microeconomia, que possibilitaram

condies para a ambientao de uma situao a-didtica, conforme Brousseau (1996a).

Finalizei o captulo descrevendo os procedimentos que me permitiram configurar os

elementos da pesquisa.

No Captulo IV, apresentei a etapa da Experimentao, onde foram expostos os

preparativos e os critrios para a concepo da seqncia didtica, utilizada como

procedimento metodolgico, a fim de investigar o desenvolvimento de conhecimentos

sobre as Equaes Diofantinas Lineares em alunos do Ensino Mdio. Tambm, neste

captulo foi realizada a anlise a priori e a descrio dos dados obtidos na fase da

experimentao, que permitiram a realizao da anlise a posteriori local, representada

pela avaliao horizontal relativa s respostas de cada grupo de alunos em cada

atividade da Engenharia Didtica, assim como a anlise a posteriori de cada sesso,

representada pela avaliao vertical das manifestaes/aes dos alunos frente ao

conjunto de atividades propostas, em relao s caractersticas delineadas na anlise a

priori.

Por ltimo, apresentei no Captulo V as consideraes e concluses deste trabalho,

baseadas nas deliberaes anteriores, que permitiram responder as questes levantadas,

assim como as indicaes e reflexes para pesquisas nesta rea de estudo.

14

CAPTULO I

JUSTIFICATIVA E OBJETIVO

Meu interesse em lecionar teve incio durante as atividades de monitoria exercidas

na minha primeira graduao em Engenharia Mecnica. Tendo concludo este curso em

1983, decidi me dedicar ao exerccio da atividade docente, nas disciplinas de Matemtica

e Fsica no Ensino Bsico, atuando tanto na rede particular como na pblica, da cidade

de So Paulo.

Nas reunies pedaggicas destas escolas, as discusses de textos envolvendo

educadores que propunham um repensar sobre o ensino encontraram eco em mim e em

alguns colegas. Tendo realizado meus estudos de escolaridade bsica nos moldes da

Matemtica Moderna, decidi freqentar algumas palestras, cursos e oficinas para melhor

compreenso das questes cuja tnica principal se centrava num ensino onde o aluno

assumiria um papel mais ativo e com nfase em situaes-problema contextualizadas,

com o intuito de propiciar uma aprendizagem significativa.

Da minha mobilizao inicial pela rea educacional, senti a necessidade de estudos

freqentes, a fim de melhor compreender a mudana de paradigmas defendidos por

diferentes educadores. Ento, por volta de 1985, decidi ingressar na Licenciatura em

Matemtica, a fim de complementar a minha formao tcnica e conhecer as

especificidades da Educao em Matemtica. As discusses promovidas por esses

estudos acadmicos, concomitantemente ao exerccio profissional no magistrio,

permitiram iniciar uma nova compreenso do processo de ensino e de aprendizagem em

Matemtica. Deste modo, analisei diferentes abordagens de ensino atravs da leitura de

livros e textos, as quais me nortearam e incentivaram na elaborao e aplicao em sala-

de-aula de atividades baseadas na explorao de situaes-problema contextualizadas.

Em 1990, comecei a lecionar em uma instituio particular do Ensino Superior, em

disciplinas bsicas da Licenciatura em Matemtica. Para melhor compreender a formao

dos licenciandos em relao ao ensino de Matemtica, decidi ento aprofundar meus

estudos, ingressando em 1993 num curso de Ps-Graduao ao nvel de especializao

em Educao Matemtica. Este curso, alm de oficializar a permisso necessria para a

atuao profissional no Ensino Superior, ampliou meus conhecimentos em Matemtica,

assim como desenvolveu reflexes para o aprimoramento das relaes destes com o

ensino. Para finalizar o curso, escrevi meu primeiro trabalho acadmico na rea da

Educao, desenvolvendo consideraes sobre um tema da lgebra as Progresses

Aritmticas.

15

Observo que, em virtude de lecionar concomitantemente Matemtica e Fsica no

Ensino Bsico e Superior e, pelo fato de haver, at ento, privilegiado os estudos em

Matemtica, em 1995 ingressei no Curso de Bacharelado em Fsica. Esta deciso em

aprimorar os conhecimentos desta rea para lecionar teve motivao, em grande parte, a

partir das dificuldades que percebia nos alunos quanto ao entendimento dos tpicos

desta disciplina no meu ofcio de professor. Neste curso, pude constatar a utilizao da

ferramenta algbrica como essencial para a descrio e compreenso dos vrios

fenmenos fsicos, tanto no domnio das grandezas discretas, quanto nas contnuas.

Aps vinte anos no magistrio do Ensino Bsico e alguns anos no Ensino Superior,

atuando majoritariamente no ensino de Matemtica e, tendo percebido limitaes das

sugestes dos livros didticos do Ensino Fundamental e Mdio, assim como das

vivncias de cursos de aprimoramento de professores e de minha formao acadmica,

decidi continuar os estudos a fim de melhor entender a problemtica do ensino e da

aprendizagem, na especificidade da rea de Matemtica. Deste modo, ingressei no

Programa de Estudos de Ps-Graduao do Mestrado Acadmico em Educao

Matemtica, da Pontifcia Universidade Catlica de So Paulo, no 2 semestre de 2005.

Aps tomar contato com as linhas de pesquisa desenvolvidas no Programa de

Mestrado da PUC/SP e aliando minha formao acadmica, minhas experincias

profissionais e meus interesses, decidi desenvolver meus estudos na rea da lgebra.

Assim, comecei a freqentar as reunies do Grupo de Pesquisa em Educao Algbrica

(GPEA), a fim de conhecer os trabalhos desenvolvidos neste grupo.

O GPEA articula pesquisas em questes do Projeto O que se entende por

lgebra?, descrito no texto de Maranho, Machado e Coelho (2005). Este projeto

desenvolve estudos de cunho documental, diagnstico e interventivo, analisando as

interaes entre os professores, os estudantes e os programas curriculares.

Nas primeiras reunies que freqentei do GPEA, dentre as investigaes em

andamento, me interessei particularmente por duas pesquisas de mestrado, envolvendo o

objeto equao diofantina linear, um tpico de estudo da Teoria dos Nmeros.

Este grupo concebe a Teoria Elementar dos Nmeros como parte integrante da lgebra do Ensino Bsico, conforme resultado de seus estudos. O objetivo das pesquisas desse projeto investigar o estatuto que esse assunto tem no campo institucional (PCN1, Programas, etc), no campo docente (professores do Ensino Superior, mdio, fundamental e

1 Os Parmetros Curriculares Nacionais, Brasil (1997a), foram desenvolvidos pelo Ministrio de Educao e Desporto para servir de referncia curricular no obrigatria para o Ensino Bsico, tendo como objetivo garantir a todas as crianas e jovens brasileiros o direito de usufruir o conjunto de conhecimentos reconhecidos como necessrios para o exerccio da cidadania.

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infantil) e no campo discente (alunos de todos os segmentos). Os resultados dessas pesquisas visam contribuir para a sensibilizao sobre a contribuio dos estudos sobre o tema no desenvolvimento do fazer matemtico como demonstrar, conjecturar e diversificar estratgias para resoluo de problemas que envolvam nmeros inteiros (MARANHO; MACHADO; COELHO, 2007).

Assim, me dispus a realizar estudos envolvendo as equaes diofantinas lineares no

mesmo subprojeto das duas dissertaes de mestrado j referidas, denominado A Teoria

dos Nmeros no Ensino Bsico e na Licenciatura. A motivao para esta escolha surgiu

a partir das discusses por mim vivenciadas no GPEA, as quais relacionei a algumas

prticas do meu percurso profissional. Numa destas ocasies, por volta do ano de 2003,

tive a oportunidade de lecionar no Ensino Fundamental numa instituio que elabora o

prprio material didtico. No livro da 7 srie, dentro do caderno de lgebra, havia um

captulo intitulado Duas incgnitas e muitas solues, contendo uma srie de situaes-

problema envolvendo contextos acessveis a alunos do Ensino Fundamental e

apresentando variado nmero de solues inteiras, que implicitamente representavam

equaes diofantinas lineares do tipo c,byax =+ com Zcb,a, e solues inteiras.

Isso me chamou a ateno por no ser comum esse tipo de abordagem no Ensino

Bsico.

Mais recentemente, um outro aspecto contribuiu para meu interesse pelo enfoque

neste subprojeto do GPEA. Lecionando Fundamentos de Matemtica junto a calouros do

curso de graduao da rea de Cincias Sociais, uma das recomendaes didticas aos

professores era a utilizao de contextos e aplicaes dos temas curriculares envolvidos

nos respectivos cursos, associando-os aos contedos de Matemtica. Ocasionalmente,

pude perceber que, ao abordar as relaes entre alguns temas elementares da

Matemtica e assuntos especficos da rea de Cincias Sociais, houve uma maior

motivao por parte dos alunos, evidncia manifestada na fala de alguns alunos quando

citavam algo prximo expresso agora eu entendo para que serve a Matemtica. Em

um desses cursos, dentro da proposta da integrao dos conceitos matemticos com os

temas especficos, necessitei aprofundar meus estudos em Economia, tendo encontrado

por meio de diversos livros e textos vrias situaes bsicas desta rea em interface com

a Matemtica.

Assim, relacionando os resultados dessa investigao s discusses no GPEA,

observei a existncia de uma forte relao envolvendo os conceitos bsicos presentes em

alguns temas da rea de Economia com grandezas discretas, mais particularmente, em

situaes que envolviam solues inteiras, as quais esto associadas ao objeto

matemtico equao diofantina linear.

17

Ao recuperar essas memrias, contribuies das instituies em que trabalhei como

professor, onde havia incentivo e oportunidade para desenvolver propostas com foco na

autonomia e tomada de decises do aluno, aliadas s discusses proporcionadas pelo

meu ingresso no Programa de Ps-graduao em Educao Matemtica, e em particular,

no GPEA, pude ento questionar se, como e em que medida os alunos do Ensino Mdio

poderiam se beneficiar de conhecimentos envolvendo as equaes diofantinas lineares.

Os pesquisadores do GPEA ressaltam a importncia de ser trabalhada a Teoria dos

Nmeros e a lgebra de modo articulado e complementar, pois so campos que se

entrelaam permitindo que se formulem questes cuja soluo completa requer manejo

de conceitos de forma integrada (MARANHO; MACHADO; COELHO, 2005, p. 11).

Com relao pertinncia de estudos, a lgebra um ramo do conhecimento

matemtico presente e predominante no Ensino Bsico, conforme observei no programa

oficial. Os pesquisadores do grupo GPEA consideram que esta rea imprescindvel

para o desenvolvimento de idias matematicamente significativas, sendo necessria a

articulao com a prpria Matemtica e com outros campos da atividade humana.

Alm disso, o projeto que direciona as pesquisas do grupo GPEA levanta algumas

questes importantes que provocam uma demanda por investigao: - A lgebra verdadeiramente til para a maioria? - Quais mudanas no montante e na natureza do que ensinado em lgebra so adequadas para torn-la acessvel a mais estudantes? (MARANHO; MACHADO; COELHO, 2005, p. 11).

Esse texto pondera que, apesar da valorizao da lgebra pelo tratamento

axiomtico da dcada de 60, iniciado pela reforma conhecida como Matemtica

Moderna2, tal modelo de ensino contribuiu para as dificuldades de aprendizagem

algbrica apresentadas pelos alunos. Isto gerou graves conseqncias, pois: (...) o ensino da lgebra vem apresentando tantos fracassos que passou a ser tambm um elemento de excluso social, uma vez que, os que no conseguem aprend-la, vem formar-se diante de si barreiras intransponveis para a ascenso do conhecimento (CASTRO, 2005, p. 2).

Em consonncia com as preocupaes expostas, Fiorentini, Miorim e Miguel (1993)

propem um repensar na Educao Algbrica, pois o pensamento algbrico pode ser

expresso, dentre suas vrias formas, atravs de linguagem natural, linguagem aritmtica

e linguagem algbrica. Deste modo, o pensamento algbrico se potencializa a medida

que, gradativamente, o estudante desenvolve uma linguagem mais apropriada a ele

(FIORENTINI; MIORIM; MIGUEL, 1993, p. 89).

2 Segundo os PCN, Brasil (1997a), este movimento organizou o conhecimento matemtico de modo axiomtico, utilizando elementos da Teoria dos Conjuntos, da Lgica Clssica, das Estruturas Algbricas e da Topologia, pretendendo aproximar a Matemtica escolar do modo como era vista pelos matemticos.

18

Ainda, no desenvolvimento progressivo do aluno ao longo da sua Educao

Algbrica, o papel desempenhado pela linguagem simblica determina: (...) um papel fundamental na constituio do pensamento algbrico abstrato, uma vez que ela fornece um simbolismo conciso por meio do qual possvel abreviar o plano de resoluo de uma situao-problema, o que possibilita dar conta da totalidade e da estrutura da organizao (FIORENTINI; MIORIM; MIGUEL, 1993, p. 89).

Posto desta forma, os autores Fiorentini, Miorim e Miguel (1993) acreditam que uma

primeira etapa do trabalho desenvolvido em Educao Algbrica deve se sustentar em

situaes-problema, de modo a garantir o funcionamento dos elementos

caracterizadores do pensamento algbrico, uma habilidade imprescindvel aos

estudantes do Ensino Bsico.

Passo agora a delinear contribuies do pesquisador Nlson Jos Machado, na

ocasio do Exame de Qualificao, quando chama a ateno para um desequilbrio

existente no programa da escola bsica entre a Matemtica Discreta e a Matemtica do

Contnuo. Este autor ressalta que existem questes interessantes e simples envolvendo

nmeros inteiros, mas no abordadas na Escola Bsica, pois geralmente so resolvidas

no conjunto dos nmeros reais e ajusta(m)-se a(s) soluo(es) particular(es) para os

nmeros inteiros. Deste modo, a pertinncia de problemas envolvendo equaes

diofantinas lineares no ensino de Matemtica do ciclo bsico fica vinculada valorizao

e importncia de questes envolvendo nmeros inteiros.

De modo geral, pode-se considerar que a parte quantitativa3 do conhecimento

matemtico pode ser subdividida em duas correntes: a Matemtica Discreta e a

Matemtica do Contnuo. Brolezzi (1996), em sua tese de doutorado, aponta que o par

discreto/contnuo se refere, respectivamente, a duas aes fundamentais da Matemtica,

quais sejam: contar e medir. Assim, para introduzir a caracterizao do par

discreto/contnuo, fao meno ao estudo etimolgico presente no trabalho desse autor. De modo geral, discreto aquilo que exprime objetos distintos, que se revela por sinais separados, que se pe parte. Vem do latim discretus, particpio passado do verbo discernere (discernir), que significa discriminar, separar, distinguir, ver claro. (...) J contnuo vem de com-tenere (ter junto, manter unido, segurar). Contnuo o que est imediatamente unido outra coisa (BROLEZZI, 1996, p. 1).

Numa linguagem formal, uma grandeza discreta quando ela for contvel, ou seja,

possvel estabelecer uma relao biunvoca entre os elementos de um dado conjunto e

o conjunto dos nmeros naturais. Em oposio a uma grandeza discreta, Brolezzi (1996)

nos diz que uma grandeza contnua quando for passvel de ser medida. 3 Alm da parte quantitativa do conhecimento matemtico, Brolezzi (1996) argumenta que na Matemtica existe uma parte qualitativa que se manifesta, por exemplo, no estudo das leis da lgica e na topologia.

19

Apesar desta caracterizao proposta em Brolezzi (1996), distinguir a Matemtica

Discreta e a Matemtica do Contnuo no implica em uma diviso em duas partes

disjuntas. Este autor defende que entre essas duas correntes h uma importante

interao, a ser explorada no ensino da Matemtica Elementar.

Quanto aos PCN, Brasil (1997a), constatei uma breve recomendao para a

explorao do par discreto/contnuo. Este documento considera que a Matemtica se

desenvolve: (...) mediante um processo conflitivo entre muitos elementos contrastantes: o concreto e o abstrato, o particular e o geral, o formal e o informal, o finito e o infinito, o discreto e o contnuo. Curioso notar que tais conflitos encontram-se tambm no mbito do ensino dessa disciplina (BRASIL, 1997a, p. 20, grifo meu).

Assim, a Matemtica Discreta envolve apenas estruturas matemticas discretas ou

finitas. Haetinger (2007) aponta que ela ferramenta utilizada em reas cientficas, como,

por exemplo, nas Cincias da Computao e em Economia, assim como na prpria

Matemtica, em particular com relao aos estudos de temas da Teoria dos Nmeros,

permitindo desenvolver habilidades de contagem, estimao e previsibilidade. Atualmente,

uma grande nfase da Matemtica Discreta se encontra no estudo dos algoritmos

aritmticos: mximo divisor comum, teste de nmeros primos, modularidade e

criptografia4.

Veloso et. al. (2005), ao relatar que a Matemtica Discreta uma rea pouco

valorizada no Ensino Bsico, sugere que se desenvolvam estratgias de clculo e de

resoluo de problemas no contexto da Teoria dos Nmeros, permitindo estabelecer ponte

com a lgebra.

Ainda com relao a pouca nfase na Matemtica Discreta, Jurkiewicz (2004)

esclarece que o processo de apropriao de temas para o Ensino Bsico tem sido

acarretado mais por fatores scio-econmicos do que acadmicos, culminando no

estabelecimento do currculo de Matemtica de forma seqencial e cumulativo5. Um

aspecto crucial para entender o atual desequilbrio em favor do contnuo no currculo atual

de Matemtica da escola bsica, se deve ao papel histrico desencadeado pelo

surgimento do clculo diferencial e integral.

4 Alm dos temas citados, a Matemtica Discreta contribui com estudos na Teoria dos Conjuntos, Teoria dos Grafos, Anlise Combinatria, Probabilidade Discreta, lgebra Linear, lgebra Booleana, Estruturas Algbricas, na modelagem matemtica e nos mtodos de provas e demonstraes. 5 Por seqencial e cumulativo, o autor credita o currculo montado de modo que o aluno da Escola Bsica percorra passo a passo o desenvolvimento das idias matemticas desenvolvidas ao longo da linha do tempo, que aumenta medida que a sociedade acumula mais conhecimentos.

20

A seqncia nmeros naturais; nmeros inteiros; nmeros racionais; nmeros reais (...) aponta de forma decisiva para uma matemtica do contnuo. (...) A geometria analtica e o estudo de conjuntos e funes preparam o esprito dos estudantes para as ferramentas da continuidade. O programa claro, explcito e bem sucedido. Nunca demais reforar que esse sucesso merecido. A quantidade e a qualidade dos resultados de matemtica do contnuo possibilitou ao mundo ser o que hoje. Essa matemtica soube responder, com louvor, aos desafios pela cincia dos sculos XIX, XX e ainda vai nos oferecer muito mais (JURKIEWICZ, 2004, p. 2-3).

Contrapondo esta tendncia, Jurkiewicz (2004) aponta a era ps-industrial do sculo

XX como um momento de retomada da Matemtica Discreta, essencial para o

desenvolvimento das cincias da computao, assim como na modelagem6, permitindo a

resoluo de problemas logsticos imprescindveis para a administrao de recursos e

servios da sociedade como um todo. Neste sentido, o autor prope a incluso de alguns

de seus tpicos na sala de aula, citando-a como ferramenta pedaggica poderosa por

proporcionar problemas de compreenso acessvel, complementando os de concepo

mais clssica, abordados pela Matemtica do Contnuo.

Observando a indissocivel relao entre o currculo de Matemtica e o material

utilizado no ensino vigente, a dissertao de Moura (2005) reafirma as concluses

delineadas acima, ao analisar livros didticos no Ensino Bsico, apontando que a partir

do 2 ciclo do Ensino Fundamental e at o Ensino Mdio, prevalece a Matemtica do

Contnuo. A autora conclui que o livro didtico poderia encaminhar propostas que

possibilitassem um maior aproveitamento tanto da via do discreto quanto da via do

contnuo, de modo a propiciar uma melhor apresentao e discusso dos conceitos

matemticos.

Ainda com relao ao par discreto/contnuo, encontrei meno na dissertao de

mestrado de Lopes Jnior (2005), que investigou a compreenso do conceito de funo

de 1 grau. Ao aplicar e analisar uma seqncia didtica, o autor constatou que os alunos

de Ensino Mdio pesquisados no distinguem e no compreendem quando a varivel

assume valor discreto ou contnuo, em questes envolvendo a soluo com nmeros

inteiros.

Assim, com base nas ponderaes apresentadas que realam a pertinncia e

necessidade de propostas envolvendo nmeros inteiros no currculo do Ensino Bsico,

me propus a desenvolver uma pesquisa que contribua para o entendimento das questes

da Matemtica Discreta junto a alunos do Ensino Mdio.

6 Segundo DAmbrosio (2006), a modelagem se caracteriza pela natureza dos parmetros envolvidos, sendo estes quantificveis e sujeitos a um tratamento matemtico.

21

Neste ponto, posicionando o lugar das equaes diofantinas lineares na Matemtica

Discreta, referencio a tese de doutorado de Resende (2007), do GPEA, que desenvolveu

sua pesquisa orientada pela questo: Qual a Teoria dos Nmeros ou poderia ser

concebida como um saber a ensinar na licenciatura em Matemtica, visando a prtica

docente na escola bsica?. O objetivo da pesquisa foi compreender a Teoria dos

Nmeros enquanto saber a ensinar e buscar elementos para re-signific-la na licenciatura

em Matemtica. A autora desenvolveu a anlise epistemolgica e histrica, a anlise de

livros didticos no Ensino Superior e fez entrevistas com educadores matemticos e

matemticos especialistas.

Deste modo, Resende (2007) delimitou os assuntos bsicos a serem tratados num

curso inicial de Teoria Elementar dos Nmeros:

Nmeros Inteiros: evoluo histrica e epistemolgica do conceito de nmeros naturais e inteiros; representaes dos nmeros naturais, operaes, algoritmos e propriedades; definio por recorrncia (potncias em N, seqncias, progresses aritmticas e geomtricas), princpio da boa ordem e princpio da induo finita. Divisibilidade: algoritmo da diviso, mximo divisor comum, mnimo mltiplo comum, algoritmo de Euclides, nmeros primos, critrios de divisibilidade, o Teorema Fundamental da Aritmtica. Introduo congruncia mdulo m: definio, propriedades, algumas aplicaes. Equaes Diofantinas Lineares (RESENDE, 2007, p. 228).

Assim, com base em Resende (2007), considero pertinente ressaltar nesta pesquisa

as equaes diofantinas lineares como pertencente ao recorte designado como Teoria

Elementar dos Nmeros, que aborda temas exclusivamente voltados aos nmeros

inteiros, inseridos no contexto mais amplo da Matemtica Discreta.

A descrio de Resende (2007) est de acordo com Campbell e Zazkis (2002), que

caracterizam a Teoria dos Nmeros como o estudo dos temas usuais - nmeros inteiros,

mltiplos e divisores, decomposio em fatores primos, estudo da divisibilidade, mximo

divisor comum e mnimo mltiplo comum - assuntos pertencentes ao currculo de

Matemtica do Ensino Bsico.

Os autores Campbell e Zazkis (2002) questionam os motivos da falta do estudo da

Teoria dos Nmeros dentro da Matemtica, ressaltando a necessidade de mais

pesquisas. Estas ponderaes esto em conformidade com os PCNEM7, Brasil (1998),

que enfatizam a necessidade de contemplar estudos matemticos envolvendo os

nmeros, suas operaes e propriedades, tanto na Aritmtica, como na lgebra.

7 Os Parmetros Curriculares Nacionais do Ensino Mdio, Brasil (1998), foram elaborados tendo como objetivo propiciar ao sistema de ensino subsdios para a re-elaborao do currculo nesta faixa de ensino, em face a construo da cidadania do aluno e do projeto pedaggico.

22

Ainda, Ferrari (2002) refora que o trabalho com tpicos da Teoria dos Nmeros

necessita de conceitos bsicos simples. O autor aponta que a atividade de resoluo de

problemas de Teoria dos Nmeros no envolve, necessariamente, a aplicao direta de

algoritmos, mas necessita do desenvolvimento de habilidades como interpretar e

conjecturar, assim como incentiva a busca de heursticas8.

Dessa forma, os membros do GPEA acreditam que pesquisas envolvendo Teoria

dos Nmeros podero revelar caminhos promissores para a Educao Algbrica. Dentre as investigaes de Educao Matemtica mundiais, aquelas sobre o ensino e aprendizagem da lgebra e da Teoria Elementar dos Nmeros em nveis de ensino superiores e entre professores do Ensino Bsico tm tido uma ateno crescente por parte dos pesquisadores. A importncia desses estudos repousa no fato de que a lgebra e a Teoria dos Nmeros so subjacentes a quase todos os domnios da Matemtica, e at mesmo de outras reas (...) (MARANHO; MACHADO; COELHO, 2005, p. 11).

Dentre os trabalhos recentemente desenvolvidos envolvendo equaes diofantinas

lineares relacionadas ao Ensino Bsico, dois deles foram recentemente apresentados por

integrantes do grupo GPEA do Programa de Educao Matemtica da PUC/SP,

nomeadamente as pesquisas desenvolvidas por Oliveira (2006) e por Costa (2007),

inseridas no subprojeto A Teoria dos Nmeros no Ensino Bsico e na Licenciatura.

A pesquisa de Oliveira (2006) almejou verificar se o objeto matemtico equao

diofantina linear se encontra presente em documentos oficiais e no livro didtico do

Ensino Mdio. O autor observou no haver referncia explcita e poucas situaes

implcitas nas duas colees de livros didticos analisadas. Considerando-se a pesquisa

com docentes realizada por Costa (2007), este constatou que embora os professores

afirmem trabalhar com seus alunos situaes-problema que recaem em equaes do tipo

das diofantinas lineares, ainda utilizam o mtodo de tentativa e erro como ferramenta de

resoluo, aliada a uma concepo da escrita algbrica como mera formalizao, sem

explorao de sua capacidade resolutiva.

Estas constataes de Oliveira (2006) e de Costa (2007) revelam que o objeto

equao diofantina linear tratado esporadicamente de forma implcita, nunca

explicitamente, no Ensino Mdio. Tais concluses configuraram uma motivao para o

levantamento de situaes-problema que possibilitassem a alunos do Ensino Mdio

encontrar estratgias eficientes para a busca de solues em questes envolvendo

equaes diofantinas lineares.

8 Segundo Pozo (1998), procedimentos heursticos ou estratgias so os planos e metas desenvolvidos pelos alunos que os guiam, de forma global, busca de soluo de problemas. Em oposio, os procedimentos algortmicos so baseados em regras e operaes pr-determinadas, que viabilizam a soluo de forma direta e especfica.

23

Aliada a essa motivao e atento s experincias de meu percurso profissional,

observei que alguns conceitos bsicos abordados em livros de Economia apresentam

questes de contexto prximo realidade do cidado comum, permitindo uma

modelagem utilizando grandezas discretas, e em particular, as equaes diofantinas

lineares. Entre essas situaes econmicas, destaco quelas direcionadas ao

comportamento econmico individual de consumidores e relacionadas s escolhas e s

possibilidades de aquisio de bens ou servios ligados ao convvio dirio, situaes

estas naturalmente envolvendo grandezas discretas.

No ensino, a discriminao de todas possibilidades de aquisio de produtos ou

servios, alm de favorecer reflexes relativas s questes referentes cidadania,

envolvendo alunos do Ensino Mdio, uma operao de pensamento importante, pois

proporciona oportunidade de vnculo com um tema matemtico relativo a valores

monetrios associados realidade cotidiana. Nesse sentido, as equaes diofantinas

lineares possibilitam o desenvolvimento deste tipo de competncia, no campo dos

nmeros inteiros, atravs da busca de todas as solues inteiras.

As ponderaes feitas at o presente momento me nortearam a tecer as seguintes

questes:

- Os alunos do Ensino Mdio podem desenvolver conhecimentos sobre equaes

diofantinas lineares?

- Como os alunos do Ensino Mdio explicitam as solues de problemas envolvendo

equaes diofantinas lineares a partir de uma situao a-didtica9 proposta, utilizando

suas prprias estratgias?

Tendo como base as consideraes delineadas, estabeleci como objetivo deste

trabalho verificar se, como e em que medida os alunos do Ensino Mdio explicitam

conhecimentos envolvendo as equaes diofantinas lineares.

9 De acordo com Brousseau (1996a), a situao a-didtica aquela que permite provocar no aluno uma interao o mais independente e fecunda possvel, atravs da adaptao do aluno a um meio com intenes didticas, que lhe impe dificuldades, contradies e desequilbrios. Dessa forma, permite provocar o aparecimento de novas respostas, que representam a maneira como o aluno aprende o conhecimento almejado. Para provocar estas adaptaes, Brousseau (1996a) prope que seja realizada uma escolha judiciosa de problemas ou jogos, cujas resolues sejam permitidas pela prpria lgica interna da situao, de modo que o aluno os aceite, levem-no a agir, a refletir e a evoluir por si prprio, sem qualquer transmisso explcita de conhecimentos.

24

CAPTULO II

FUNDAMENTOS TERICOS: LEITURAS E ESCOLHAS

Neste captulo apresento os fundamentos tericos, tanto as consideraes

matemticas como os argumentos didticos, que embasaram esta pesquisa. Inicialmente,

delineio um breve percurso histrico para evidenciar a origem e desenvolvimento das

equaes diofantinas lineares, descrevendo assim os conceitos matemticos envolvidos

neste estudo.

Saliento tambm que a proposta desta pesquisa, envolvendo situaes-problema

que representam equaes diofantinas lineares, pode causar estranheza ao leitor, pelo

fato de tal tema matemtico no constar do Programa Oficial do Ensino Mdio. Dessa

forma, foram tecidas consideraes didticas acerca da necessidade e pertinncia de tal

assunto no ciclo bsico, embasadas em estudos envolvendo a Matemtica Discreta e,

mais especificamente, a Teoria Elementar dos Nmeros.

Desenvolvimento Histrico das Equaes Diofantinas Lineares

Para a compreenso das equaes diofantinas lineares quanto ao seu significado,

surgimento e desenvolvimento histrico, inicialmente fao referncia a Diofante10,

matemtico grego que tem seu nome ligado a este objeto, possibilitando assim,

esclarecer seu papel e importncia dentro de tal tema.

Encontramos meno em Rocque e Pitombeira (1991) que as obras de Diofante de

Alexandria no seguem a tradio clssica grega para os textos matemticos, no se

assemelhando e nem formando a base da lgebra elementar dos nossos dias.

Sua obra aproximava-se mais da lgebra babilnica no que se refere a determinar

as solues numricas de uma equao. Porm, enquanto que: (...) os matemticos babilnicos se ocupavam principalmente com solues aproximadas de equaes determinadas (...), [a obra de]11 Diofante de Alexandria quase toda dedicada resoluo exata de equaes, tanto determinadas como indeterminadas (BOYER, 1974, p. 132).

Conforme Zerhusen, Rakes e Meece (2005), o trabalho mais conhecido de Diofante,

Arithmetica, um tratado que originalmente continha 13 livros, dos quais somente seis se

preservaram. Estes pesquisadores no consideram tal coletnea um texto algbrico, mas

sim uma coleo de problemas resolvidos de aplicao da lgebra. 10 Supe-se que Diofante tenha vivido e nascido em Alexandria, no Egito, por volta de 250 a.C. 11 Nesta citao, assim como nas demais, a insero colocada entre colchetes visa articular o recorte.

25

Ainda com relao a Arithmetica, Lins e Gimenez (2005) apontam que Diofante

solucionava os problemas expostos utilizando aplicaes numricas especficas,

introduzindo diversas tcnicas de resoluo, porm sem recorrer teorizao. Estes

problemas envolviam equaes representando expresses na forma polinomial,

subdivididas em dois grupos: as equaes determinadas e as equaes indeterminadas.

Porm, ocorre que no feita uma distino clara entre problemas determinados e

indeterminados, e mesmo para os ltimos, para os quais o nmero de solues

geralmente infinito, uma s resposta dada (ROCQUE; PITOMBEIRA, 1991, p. 46).

Para compreendermos o papel da obra de Diofante e situ-la dentro das fases

evolutivas da linguagem algbrica, relato trs momentos no desenvolvimento da lgebra:

- a primeira, conhecida como lgebra pr-diofantina, constituda da fase retrica ou

verbal, onde no se fazia uso de smbolo nem de abreviaes para expressar o

pensamento matemtico (FIORENTINI; MIORIM; MIGUEL, 1993, p. 79);

- a segunda etapa, denominada fase sincopada, iniciou-se com a obra Arithmetica,

de Diofante, que fez uso de um smbolo para a incgnita - a letra sigma do alfabeto

grego - e utilizou uma forma mais abreviada e concisa para expressar suas equaes

(ibidem, p. 80). Posteriormente, os hindus utilizaram esta forma sincopada;

- a terceira, denominada fase simblica, corresponde ao momento em que as idias

algbricas passam a ser expressas somente atravs de smbolos, sem recorrer ao uso de

palavras (FIORENTINI; MIORIM; MIGUEL, 1993, p. 80). Assim, Vite (1540-1603)

introduziu novos smbolos na lgebra e Descartes (1596-1650) consolida esta fase

introduzindo as ltimas letras do alfabeto z,...) y,(x, como as quantidades desconhecidas

(incgnitas), sendo as letras iniciais do alfabeto c...) b, (a, utilizadas para as quantidades

conhecidas (parmetros).

Apesar do grande mrito de Diofante pela introduo do estilo sincopado, muitos

historiadores, de acordo com Zerhusen, Rakes e Meece (2005), atribuem a este estilo o

fato de Diofante nunca ter desenvolvido um mtodo geral de soluo para os problemas

envolvendo equaes indeterminadas.

Porm, estes autores fazem reflexo sobre este tema, mencionando o livro

Diophantus and Diophantine Equations, de Isabella Bashmakova (s/d), afirmando que: (...) muitas das tcnicas eram mais gerais do que os crticos pensam, mas no so reconhecidas como tais devido a limitaes em sua notao. Por exemplo, Diofante no introduz variveis adicionais num problema, mas prefere introduzir um inteiro arbitrrio. (...) [Num] problema encontrado no Livro Arithmetica, tomo 2, pode ser visto que ele [Diofante] est ciente que qualquer inteiro servir (ZERHUSEN; RAKES; MEECE, 2005, p. 3).

26

Milies e Coelho (2003) apontam que na Arithmetica, Diofante buscava encontrar as

solues inteiras ou racionais no negativas de equaes indeterminadas12, que

atualmente so conhecidas como equaes diofantinas. Ainda, segundo Milies e Coelho

(2003), foi Fermat o primeiro a tratar questes envolvendo as equaes indeterminadas

estritamente no mbito do conjunto dos nmeros inteiros.

Apesar de muitos problemas tratados no livro Arithmetica estarem relacionados s

equaes diofantinas, Zerhusen, Rakes e Meece (2005) afirmam que a obra no contm

problemas envolvendo as equaes indeterminadas de primeiro grau, pois Diofante no

lhes atribua qualquer importncia.

Deste modo, Hefez (2005) aponta que Diofante teve seu nome atribudo s

equaes diofantinas lineares como uma homenagem pstuma, dada por sua importncia

dentro do desenvolvimento da Matemtica.

Vale observar que problemas envolvendo aplicaes de equaes diofantinas

lineares a duas variveis, do tipo cbyax =+ , assim como as de segundo grau a trs

variveis, do tipo 222 zyx =+ , j tinham sido abordados num perodo anterior a Diofante,

pelos babilnios, conforme citam Zerhusen, Rakes e Meece (2005).

Historicamente, porm, foi Brahmagupta, um matemtico hindu que viveu em

d.C. 628 , na ndia central, o primeiro a explicitamente:

(...) dar uma soluo geral da equao linear diofantina [do tipo] ax + by = c, onde a, b e c so inteiros. Para que essa equao tenha solues inteiras, o mximo divisor comum de a e b deve dividir c; e Brahmagupta sabia que se a e b so primos entre si, todas as solues da equao so dadas por x = p + mb; y = q ma, onde m um nmero inteiro arbitrrio [sendo p e q uma soluo inteira particular]. (...) Brahmagupta merece muito louvor por ter dado todas as solues inteiras da equao linear diofantina, enquanto que Diofante de Alexandria tinha se contentado em dar uma soluo particular de uma equao indeterminada (BOYER, 1974, p. 161).

Consideraes Matemticas Envolvendo as Equaes Diofantinas Lineares em Z

O estudo a seguir, abordando o objeto matemtico equao diofantina linear,

pautado nas leituras e discusses proporcionadas pelo grupo GPEA e desenvolvido nas

pesquisas de Oliveira (2006) e de Costa (2007), assim como nos resultados presentes em

Rocque e Pitombeira (1991), Milies e Coelho (2003), Universidade de Minho (2003) e

Hefez (2005).

12 O mtodo utilizado na Arithmetica para a resoluo dos problemas indeterminados tornou-se mais tarde conhecido como Anlise Diofantina.

27

Como introduo, destaco a equao diofantina definida como: (...) uma equao algbrica com uma ou mais incgnitas e coeficientes inteiros, para a qual so buscadas solues inteiras. Uma equao deste tipo pode no ter soluo, ou ter um nmero finito ou infinito de solues (COURANT; ROBBINS, p.59, 2000).

Esta investigao assumiu um recorte ao considerar somente problemas

envolvendo a busca de solues inteiras da forma ax + by = c, com a, b e c inteiros, conhecida como equao diofantina linear a duas incgnitas.

Observando a definio de equao diofantina e a delimitao do objeto de estudo

escolhido, emergem algumas questes: possvel antever se problemas envolvendo

uma dada equao diofantina linear tm ou no soluo? E, caso possua um nmero

finito, quantas e quais so estas solues inteiras? Ainda, caso existam infinitas

solues, como possvel express-las?

As respostas a estas questes foram solucionadas ao longo do desenvolvimento

histrico da Matemtica, sendo apresentadas pela Teoria Elementar dos Nmeros,

embasadas em resultados advindos do tpico divisibilidade.

A seguir, apresento trs exemplos que ilustram situaes que recaem em equaes

diofantinas lineares, cujas resolues possibilitam introduzir e situar os critrios de

existncia de soluo, o processo para a busca de soluo e a representao algbrica,

que permite expressar, de modo genrico, as respostas aos questionamentos pontuados.

Situao 1: O problema das quadras Quantas quadras de basquete e quantas de vlei so necessrias para que 80 alunos joguem simultaneamente? E se forem 77 alunos? (ROCQUE; PITOMBEIRA, 1991, p. 39).

Para que 80 alunos joguem simultaneamente, a situao pode ser descrita pela

equao diofantina linear 10x + 12y = 80, pois atuam em cada time de basquete cinco

jogadores e em cada time de vlei seis atletas. Esta situao apresenta duas solues,

que correspondem aos pares ordenados (2;5) ou (8;0), onde a coordenada x representa

a quantidade de quadras de basquete e y representa a quantidade de quadras de vlei.

A variao da situao para um nmero mpar de alunos, representada pela equao

10x + 12y = 77, no apresenta soluo.

Situao 2: O Problema do laboratrio Um laboratrio dispe de 2 mquinas para examinar amostras de sangue. Uma delas examina 15 amostras de cada vez, enquanto [que] a outra examina 25. Quantas vezes essas mquinas devem ser acionadas para examinar exatamente 2 mil amostras? (ROCQUE; PITOMBEIRA, 1991, p. 39).

28

A situao 2, que pode ser descrita pela equao ,20002515 =+ yx ou pela

equivalente ,40053 =+ yx apresenta vinte e sete solues naturais, onde x e y

representam a quantidade de vezes que cada uma das mquinas acionada.

Situao 3: O Problema das moedas

Suponhamos que s existam moedas de 15 e 7 escudos e que eu queira pagar uma certa quantia em escudos. Ser que sempre possvel? E se existirem moedas de 12 e 30 escudos? (UNIVERSIDADE DE MINHO, 2003, p.1).

A situao 3 deixa em aberto a quantia total disponvel a ser paga. Isto requer a

interpretao que qualquer quantidade expressa por um nmero inteiro pode ser paga,

desde que seja possvel pagar 1 escudo, bastando repetir o pagamento at a quantia

necessria. Assim sendo, a equao diofantina linear que representa este problema

,1715 =+ yx sendo x e y respectivamente as quantidades de moedas de 15 e 7 escudos

utilizadas. Deste modo, existem infinitas solues inteiras, pois na troca de moedas, o ato

de pagar pode se associar operao de adio e o ato de receber a operao de

subtrao. E para o caso das moedas de 12 e 30 escudos, com equao descrita por

,3012 cyx =+ existem tambm infinitas solues, desde que c seja mltiplo de 6.

Ressalto que situaes-problema como as apresentadas acima, com nmero

diverso de solues inteiras e at mesmo com soluo vazia, permitem aflorar variadas

estratgias de resoluo, como a da tentativa e erro, a utilizao dos mltiplos ou

divisores, assim como a utilizao da escrita algbrica.

Cada uma destas estratgias tem uma certa abrangncia para resolver parcialmente

ou na totalidade as situaes delineadas acima. Este fato permite entender a

necessidade de critrios matemticos que possibilitam prever e determinar todas as

solues inteiras, caso existam, envolvendo as equaes diofantinas lineares a duas

incgnitas.

Apresento a seguir um critrio que permite verificar a existncia de soluo de uma

equao diofantina linear a duas incgnitas, assim como um algoritmo que possibilita

determinar todas as solues inteiras e uma expresso algbrica representando, de

forma concisa, todas as solues a partir de uma soluo particular.

Condio de existncia de uma equao diofantina linear

Existe um critrio que estabelece se uma equao diofantina linear tem ou no

solues inteiras, utilizando conceitos bsicos presentes no currculo do Ensino Bsico.

29

Inicialmente, abordo o caso das solues triviais, que ocorre quando a=0 ou b=0. Se a=0 e b0, ento existe soluo se b divide c. Nesse caso, a soluo geral dada

por x qualquer e .bc

y = Analogamente, se a0 e b=0, ento existe soluo se a divide c e

a soluo ser obtida por ac

x = e y qualquer.

Para os casos no-triviais, isto , quando os coeficientes so inteiros no nulos,

necessrio recorrer a algumas propriedades da divisibilidade de nmeros inteiros. Sejam

a, b e d nmeros inteiros. Propriedade 1- Se d divide a, ento dividir a.m, para qualquer inteiro m. Propriedade 2- Se d divide a e d divide b, ento d divide a + b. Propriedade 3 (Teorema de Bzout)- Seja d = m.d.c. (a,b). Ento, existem inteiros r

e s tais que . sbrad +=

A partir das propriedades 1 e 2, a condio necessria para existir soluo inteira da

equao ax + by = c, com a, b e c inteiros expressa por: se a equao dada tiver uma soluo representada pelo par de inteiros x0 e y0, e se d for um divisor comum de a e b, ento d dividir c. Ainda, se d for o mximo divisor comum de a e b, ento d deve dividir c.

Utilizando a propriedade 3, possvel verificar a condio como suficiente, pois se d for o mximo divisor comum de a e b e d dividir c, ento c = d.m. Assim, existem inteiros r e s tais que ar + bs = d. Ao se multiplicar por m os membros desta ltima igualdade, resulta a(rm) + b(sm) = c, onde surge que x = rm e y = sm a soluo procurada.

Ento, vale o seguinte teorema:

Teorema 1: Sejam a, b e c inteiros (com a e b no nulos) e d = m.d.c. (a,b). A equao diofantina ax + by = c tem solues inteiras se e somente se d/c.

Como ilustrao deste teorema, retomei o problema das quadras apresentado

anteriormente. No caso inicial de 80 alunos jogarem simultaneamente, a equao dada

por .08y2110x =+ Assim, o m.d.c.(10,12) = 2, que divide 80, garante a existncia de

soluo. No caso da situao relativa a 77 alunos, representada pela equao

,77y2110x =+ a inexistncia de soluo ocorre pelo fato do m.d.c.(10,12) = 2 no dividir

77. Neste caso, possvel verificar a inexistncia de soluo, considerando-se que o 1

membro da ltima equao sempre par, diferindo em paridade13 com o 2 membro.

13 Dois nmeros inteiros tm mesma paridade, quando so ambos pares ou ambos mpares.

30

Algoritmo para encontrar as solues de uma equao diofantina linear

Neste segmento, sintetizo as consideraes sobre o algoritmo para a resoluo de

uma equao diofantina linear ax + by = c, ampliando os resultados do Teorema 1. Isto possvel, pois se existir soluo e o mximo divisor comum entre os coeficientes a e b for d 1, ento basta dividir os membros da equao por d, de modo a obter novos coeficientes relativamente primos, com um segundo membro ainda inteiro.

Assim, o Corolrio do Teorema 1 expresso por: Se mdc (a,b)= 1, ento a equao ax + by = c, com a, b, c inteiros sempre tem solues inteiras, para qualquer c.

Com base no Corolrio do Teorema 1, resolver uma equao diofantina linear do tipo ax + by = c, com a, b, c e solues inteiras, onde m.d.c. (a,b) = 1, equivale a encontrar inteiros r e s tais que ar + bs = 1. Um dos modos de se obter estes inteiros r e s atravs do algoritmo de Euclides ou algoritmo das divises sucessivas.

Sejam a e b inteiros, com b > 0. Pelo algoritmo da diviso, existem inteiros q e r,

com ,0 br

31

Exemplifico a busca de uma soluo particular atravs da equao diofantina linear

7, 932x =+ y presente no artigo de Rocque e Pitombeira (1991). Sendo, a = 32; b = 9 e

c = 7, o algoritmo de Euclides para o clculo do mdc (32,9) dado por:

3 3 1 3 1 1 4

32 9

(.) 32 9 5 32 9 5 4 1

3.9=27 27 1.5=5 27 5 4 4 (-)

32-27=5

5 9-5=4

(.)

5 4 1 0

Este algoritmo resume as seguintes divises:

32 = (3.9) + 5 (A) 9 = (1.5) + 4 (B) 5 = (1.4) + 1 (C) Verifica-se que o mdc (32,9) = mdc (9,5) = mdc (5,4) = mdc (4,1) = 1. Portanto,

existe soluo, garantida pela aplicao do Corolrio do Teorema 1.

A prxima etapa consiste em escrever as equaes (A), (B) e (C) em funo do

resto das divises euclidianas. Assim:

5 = 32 - (3.9) (A) 4 = 9 - (1.5) (B) 1 = 5 - (1.4) (C)

Combinando-se as equaes, substitui-se (B) em (C):

)9.1()5.2(1)5.1()9.1(51)]5.1(9.[151)4.1(51 =+=== (D).

Substituindo a equao (A) em (D), obtm-se:

)()9).(7()32.(21)9.7()32.2(1)9.1()9.6()32.2(1)9.1()]9.3(32.[21)9.1()5.2(1

E+=====

A partir de (E), os valores de r e s so 2 e -7, verificados abaixo por simples

inspeo:

) 163-64 9.(-7) 32.(2) (1)9y (32x ==+=+

Agora, para se obter os valores de x0 e y0, basta multiplicar a expresso (E) pelo coeficiente c, que, neste caso, vale 7. Ento:

7).9.(-49)2(14)3(7.1) 7.9.(-7) 32.(2).7() 1 9.(-7) (32.(2) =+=+=+

Assim, a soluo particular almejada dada pelo par (x0; y0) = (14; -49). Para a obteno do algoritmo que exprima todas as possveis solues de uma

equao diofantina linear ax + by = c, com a, b, c inteiros, a partir da soluo particular

(x0, yo), a idia consiste em adicionar e subtrair o nmero a.b.k, onde Zk .

32

Deste modo:

].ca.k)-y().[a(xc) a.b.k-a.b.kby ax(c) by (ax 000000 =++=++=+ bkb

Assim, o par (x0 + bk , y0 - ak) soluo da equao diofantina linear. Para provar a

unicidade desta soluo, deve-se supor a existncia de outra soluo, representada por

(x1;y1). Deste modo, existiriam duas solues dadas por c, by axec by ax 1100 =+=+ que

igualadas resultariam em:

).y-b(y) xa(x by ax by ax 10011100 =+=+

No 1 caso, considerando a = 1 e denominando k = y0 - y1, tem-se:

b.k.xxb.kxxb.k)x(x1)y-b(y)xa(x 0101011001 +====

Tambm, k,-yyky-y 0110 == com a =1.

Logo, (x1;y1) da forma (x0 + bk , y0 - ak).

No 2 caso, considerando-se 1a e sendo a e b relativamente primos, ento a

divide y0- y1, ou seja, y0 - y1= a.k, sendo k um nmero inteiro. Ento:

b.k.xx0apoisb.k,xxb.a.k)x(x)y-b(y)xa(x 0101011001 +==== a

Provada a soluo e sua unicidade, o Teorema 2, enunciado abaixo, garante o algoritmo para a busca de soluo de uma equao diofantina linear:

Teorema 2: Se (x0;y0) for uma soluo da equao diofantina linear ax + by = c, com m.d.c.(a;b)=1, ento (x;y) ser soluo se, e somente se, existir um inteiro k tal que

b.kxx 0 += e .a.kyy 0 = .

Por ltimo, para a equao c,byax =+ caso 1,b)(a,m.d.cd = as solues gerais

so dadas por: k.dbxx 0 += e k,.d

ayy 0 = onde .Zk

Para efeito de ilustrao, retomarei a equao 32x + 9y = 7, descrita anteriormente.

A partir da soluo particular dada pelo par (14; - 49), a soluo geral expressa por:

kkbxx 914.0 +=+= e .,3249.0 Zkcomkkayy ==

Desta forma, observo que pesquisas poderiam ser encaminhadas envolvendo a

resoluo de equaes diofantinas lineares, a fim de permitir ao aluno construir o

algoritmo expresso no Teorema 2, atravs da observao e generalizao de padres,

apesar do algoritmo de Euclides no ser o mtodo utilizado usualmente no ensino do

m.d.c. no ciclo bsico, conforme descrito em Rama (2005).

33

Fundamentos Didticos: Leituras e Escolhas

Aponto, a seguir, estudos envolvendo a Matemtica Discreta e a Teoria dos

Nmeros, enfocando, em particular, as equaes diofantinas lineares, que contriburam

para o desenvolvimento do presente trabalho.

Inicialmente, considero relevante estudos voltados para as equaes diofantinas

lineares no Ensino Mdio, pelo fato de sua resoluo envolver conhecimentos usuais do

programa oficial de Ensino Bsico, como o conceito de mltiplo, divisor e o mximo

divisor comum entre dois nmeros inteiros. Ainda, a busca das solues inteiras de

situaes-problema contextualizadas que representam equaes diofantinas lineares

possibilita uma oportunidade de explorao de um tpico da Matemtica Discreta.

Esta posio est de acordo com Jurkiewicz (2004) e Moura (2005), ao verificarem

que no Ensino Bsico atual ocorre a predominncia da Matemtica do Contnuo e

defendem a incluso de tpicos da Matemtica Discreta neste nvel de escolaridade.

Ainda, Veloso et. al. (2005), em documento apresentado pela Associao de Professores

de Matemtica (APM) e Sociedade Portuguesa de Matemtica (SPM), reforam a posio

dos autores citados anteriormente, ao traar consideraes sobre pressupostos bsicos

envolvendo o ensino da Matemtica Discreta em todos os nveis da escolaridade bsica

portuguesa. Este documento particulariza, dentre os tpicos de Matemtica Discreta, a

necessria explorao de temticas envolvendo a Teoria dos Nmeros.

A escolha de situaes que representam equaes diofantinas lineares teve suporte

em um estudo recente de Lopes Junior (2005), quando ao analisar a seqncia didtica

aplicada a um grupo de alunos do Ensino Mdio, concluiu que os alunos no percebem a

especificidade de problemas algbricos que envolvem somente a soluo com nmeros

inteiros.

O autor, ao investigar a compreenso da funo de 1 grau pelos alunos, realizou o

levantamento de aspectos epistemolgicos e anlise de alguns livros didticos do ciclo

bsico referente ao tema, concluindo que os materiais analisados no contribuem para o

esclarecimento da questo da varivel discreta e contnua.

Como pudemos contemplar em nossa anlise de materiais didticos, a noo de varivel discreta e contnua no vem sendo explorada no Ensino Fundamental, e, assim, acreditamos que muitos alunos tratem a varivel x como grandeza discreta ou que pensem que a letra da expresso algbrica serve apenas para indicar um valor desconhecido (uma incgnita) (LOPES JUNIOR, 2005, p. 81).

34

Nesta perspectiva, a pesquisa de Lopes Junior (2005) fornece subsdios importantes

para enriquecer o estudo deste tema e reala a validade de pesquisas que contribuam

para discusso destes problemas. Assim, acredito que a proposio de atividades

envolvendo equaes diofantinas lineares possibilita aos alunos a percepo e distino

da varivel quando assume um valor discreto na busca das solues inteiras.

Como integrante do grupo de pesquisa do subprojeto denominado A Teoria dos

Nmeros no Ensino Bsico e na Licenciatura, os resultados dos estudos e discusses

com os colegas desse mesmo projeto foram importantes para o encaminhamento deste

trabalho. Passo ento a tecer consideraes sobre as contribuies destas pesquisas.

Inicialmente, me remeto tese de doutorado de Resende (2007) do GPEA, cuja

questo central foi pesquisar Qual a Teoria dos Nmeros ou poderia ser concebida

como um saber a ensinar na Licenciatura em Matemtica, visando a prtica docente na

sala de aula? Assim, a autora objetivou verificar quais so as concepes de Teoria dos

Nmeros, enquanto saber a ensinar, voltado para a formao do professor da escola

bsica e a buscar elementos que possam re-signific-la, neste contexto (RESENDE,

2007, p. 16).

A autora ressalta que, o fato da Teoria dos Nmeros ter elementos de interseo

com a lgebra e a Aritmtica tem trazido algumas interpretaes indevidas e com

implicaes no ensino e na aprendizagem. Segundo Resende (2007), tal ocorrncia

devido concepo vigente em tratar os inteiros simplesmente como subconjuntos dos

nmeros reais, podendo conduzir a simplificaes que desprezam aspectos

fundamentais dos nmeros inteiros.

Resende (2007) ainda destaca que a interface com a lgebra tm justificado a

pouca nfase dada Teoria dos Nmeros nos currculos dos diferentes nveis de ensino.

Em particular, na escola bsica, alguns temas de Teoria Elementar dos Nmeros, por

uma falta de compreenso mais ampla, vo sendo esvaziados nos currculos, por no ter

uma aplicao imediata (RESENDE, 2007, p. 73).

Desse modo, a tese de Resende (2007) aponta potencialidades para explorar este

tpico na Educao Bsica, dentre as quais destaco a possibilidade de desenvolvimento

de situaes-problema envolvendo o uso dos mltiplos, divisores e o mximo divisor

comum de nmeros inteiros, permitindo que se formulem questes de fcil compreenso

aos estudantes do Ensino Bsico e passveis de desenvolver habilidades tais como

observar, conjecturar e generalizar.

35

Em decorrncia, Resende (2007) delimita como Teoria Elementar dos Nmeros a

rea que utiliza os mtodos elementares da aritmtica no conjunto dos nmeros inteiros,

incluindo neste nterim temas algbricos como as equaes diofantinas lineares. Ao

delimitar os tpicos a serem desenvolvidos num curso de Teoria Elementar dos

Nmeros, a autora possibilita situar as equaes diofantinas lineares como objeto de

estudo dentro desta rea, numa perspectiva de interface com a lgebra.

Ainda, Oliveira (2006) e Costa (2007), do grupo GPEA, desenvolveram estudos

envolvendo a Teoria Elementar dos Nmeros, mais particularmente sobre as equaes

diofantinas lineares.

Oliveira (2006) inicialmente direcionou sua pesquisa para a anlise de documentos

oficiais da Educao Bsica, especificamente no PCNEM e PCN+14, buscando meno

sobre o tema equaes diofantinas lineares. No encontrando registro, explcito ou

implcito, e a partir dessa constatao, o autor decidiu buscar em livros didticos a

meno desejada e analisou duas colees dedicadas ao Ensino Mdio, escolhidas a

partir de uma lista fornecida pela Secretaria de Educao Profissional e Tecnolgica

(Setec/MEC), em 2004, ao Programa Nacional do Livro Didtico do Ensino Mdio.

Nessas duas colees, o autor encontrou somente quatro problemas envolvendo

implicitamente o tema. Nas resolues dos problemas, os autores no mencionavam o

fato de se tratar de equaes diofantinas lineares, sugerindo, ento, abordagens que

envolviam: a) o emprego de busca por tentativas organizadas numa tabela em ordem

crescente de valores de x, de modo a obter somente valores naturais para y;

b) a resoluo mista de conceitos aritmticos, conceitos algbricos e o mtodo da

tentativa e erro. Dessa forma, as colees no atentaram para o fato de haver outras

formas de resolver tais questes.

Ainda, Oliveira (2006) questionou a pouca nfase no desenvolvimento de tpicos de

Teoria dos Nmeros na Educao Bsica.

Quem seriam os responsveis: Os professores? Os livros didticos? Os programas? A falta de situaes-problema que necessitam desses conhecimentos para sua resoluo e que sejam acessveis aos alunos? (OLIVEIRA, 2006, p. 15).

A pesquisa de Oliveira (2006) oportunizou elementos para minha reflexo sobre se

existiriam situaes-problema, em alguma rea do conhecimento, que fossem acessveis

aos alunos do Ensino Mdio e que necessitariam da aplicao de conhecimentos

envolvendo as equaes diofantinas lineares para sua resoluo.

14 PCN+: Parmetros Curriculares Nacionais em Ao.

36

Uma importante constatao para a elaborao desta pesquisa foi o fato de Oliveira

(2006) no ter encontrado meno do uso do m.d.c. como condio de existncia de

soluo das equaes diofantinas lineares. Isso abriu espao para um dos aspectos

desta proposta de re-investimento de conceitos da Teoria dos Nmeros, como os

mltiplos, divisores e o mximo divisor comum de nmeros inteiros, no Ensino Mdio.

Farei agora consideraes a respeito da pesquisa de mestrado realizada por Costa

(2007), que objetivou estudar a concepo de professores do Ensino Mdio acerca do

objeto matemtico equao diofantina linear. O autor, atravs de entrevistas semi-

estruturadas, concluiu que alguns deles trabalham em suas aulas problemas que recaem

em equaes diofantinas lineares, porm no demonstram ter conscincia desse fato.

Ao propor problemas que envolvem a resoluo de equaes diofantinas lineares

com vrias solues e nenhuma soluo, Costa (2007) verificou que os professores

entrevistados: a) escrevem explicitamente a equao, porm no a utilizam como

ferramenta para a resoluo dos problemas propostos, o que levou o autor a concluir que

os professores no concebem a sua utilidade na resoluo de problemas; b) em sua

maioria, crem que a estratgia mais adequada para a resoluo de problemas

envolvendo as equaes diofantinas lineares a do ensaio e erro.

Ressalto que, tanto Costa (2007) como Oliveira (2006) observaram a utilizao do

mtodo da tentativa e erro como estratgia dominante na resoluo de problemas que

envolvem, em sua resoluo, as equaes diofantinas lineares.

Outra contribuio a este trabalho foi o artigo apresentado pelos pesquisadores

Gilda de La Rocque e Joo Bosco Pitombeira, na Revista do Professor de Matemtica de

1991, que discute alguns problemas envolvendo equaes diofantinas lineares aplicadas

em algumas situaes contextualizadas, luz da Didtica da Matemtica.

A exposio apresenta trs problemas contextualizados em situaes diversificadas,

onde os pesquisadores identificam as variveis didticas15 que permitem a escolha de

diferentes quantidades de solues inteiras. Ressaltam que, na proposio de problemas

envolvendo equaes diofantinas lineares do tipo ,cbyax =+

(...) a escolha dos coeficientes a, b, c importa, no s para maior ou menor dificuldade nos clculos, como tambm para a existncia de uma, vrias ou nenhuma soluo (desde que sejam inteiras ou inteiras positivas) (ROCQUE; PITOMBEIRA, 1991, p. 40).

15 Nas situaes do referido texto, as variveis didticas correspondem aos valores numricos intrnsecos aos problemas. De acordo com Glvez (1996), a escolha adequada dos intervalos destas variveis deve estimular nos alunos, de forma controlada, a necessidade de busca por novas estratgias para a resoluo dos jogos ou problemas, fomentando condies para surgir o conhecimento almejado.

37

Ao ressaltar estas diferentes possibilidades de resultados, os autores desenvolvem o

critrio matemtico para prever se uma equao diofantina linear tem solues e, em

caso afirmativo, o processo para determin-las.

O artigo de Rocque e Pitombeira (1991) foi importante para este trabalho ao

evidenciar como realizar escolhas de situaes-problema em conexo com variveis

didticas, o que muito me auxiliou nas decises para a composio da seqncia didtica

desta pesquisa.

Observei em Schin (2005), a utilizao de diversos procedimentos de resoluo num

problema-desafio proposto num frum junto a seus alunos de licenciatura em Matemtica

da UFMG. Destaco a utilizao do mtodo da tentativa e erro na resoluo da situao,

evidenciando sua importncia ligada prtica dos alunos, inclusive neste nvel de

escolaridade.

Em outro artigo, problema semelhante ao apresentado por Schin (2005) foi

encontrado em Pereira e Watanabe (2005), na Revista do Professor de Matemtica, onde

notria a preocupao dos autores em apresentar a soluo utilizando conceitos da

Teoria Elementar dos Nmeros - nmeros primos, divisor, mltiplo - associado ao mtodo

da tentativa e erro.

As atividades presentes no frum promovido por Schin (2005), assim como no artigo

de Pereira e Watanabe (2005), contriburam para a minha pesquisa na medida em que

apresentaram uma diversidade de abordagens envolvendo as equaes diofantinas

lineares, seja atravs do mtodo da tentativa e erro, seja pela utilizao de conceitos da

Teoria dos Nmeros como paridade, divisibilidade e algoritmo de Euclides, que

configuram a riqueza possibilitada pela explorao de estratgias diversificadas, em

conjuno com situaes-problema contextualizadas.

Finalizando este captulo, as leituras sintetizadas permitiram uma sustentao

terica ao situar os recentes avanos em relao ao objeto matemtico equao

diofantina linear e as dificuldades apontadas por alunos em compreender e distinguir

grandezas discretas.

No prximo captulo sero encaminhados os fundamentos metodolgicos que

embasaram a concepo, a aplicao e a anlise de uma seqncia didtica, a fim de

observar e caracterizar as manifestaes orais e escritas dos alunos, permitindo verificar

o objetivo deste estudo.

38

CAPTULO III

METODOLOGIA E PROCEDIMENTOS

A Metodologia da Engenharia Didtica

Para atingir o objetivo desta pesquisa qualitativa16, que se prope a verificar se,

como e em que medida os alunos do Ensino Mdio explicitam conhecimentos envolvendo

equaes diofantinas lineares, elaborei e apliquei uma seqncia didtica embasada na

Engenharia Didtica, metodologia descrita em Artigue (1996).

Segundo esta autora, a Engenharia Didtica surgiu no bojo das questes levantadas

pela Didtica da Matemtica Francesa17, em meados da dcada de 80, com a inteno

de facilitar os estudos sobre as relaes entre a investigao e a ao no sistema de

ensino. Essa metodologia foi criada por inspirao do trabalho didtico comparvel

realizao de um projeto pelo engenheiro, que se apia e aceita o controle cientfico, mas

tambm est ciente da maior complexidade dos problemas didticos.

A Engenharia Didtica possui uma dupla funo, a qual pode ser compreendida

tanto como um produto resultante de uma anlise, caso da metodologia de pesquisa,

quanto como uma produo para o ensino (Machado, S., 2002, p. 198).

Na concepo da Engenharia Didtica como metodologia de pesquisa, utilizei para a

elaborao da seqncia de atividades alguns elementos das quatro fases descritas por

Artigue (1996): a 1 fase, das anlises preliminares, a 2 fase, da concepo e da anlise

a priori, a 3 fase, da experimentao e a 4 e ltima fase, da anlise a posteriori e

validao.

importante salientar que as quatro fases no ocorrem, geralmente, de forma linear

e estanque. A elaborao da Engenharia Didtica necessita, em alguns momentos, da

articulao, da antecipao e at da superposio dos elementos caracterizadores destas

quatro fases.

16 Ldke; Andr (1986), referenciam Bogdan e Biklen (1982), que concebem a pesquisa qualitativa como tendo as seguintes caractersticas: coleta de dados descritivos, obtidos diretamente na fonte (ambiente), atravs no contato do pesquisador com a situao pesquisada, preocupando-se mais com o processo do que com o produto, de modo a retratar as perspectivas dos participantes. 17 De acordo com Glvez (1996), a proposta da Didtica da Matemtica se originou a partir da dcada de 60 na Frana, ambientada em reformas educativas levadas a cabo pelo IREM (Institutos de Investigao acerca do Ensino das Matemticas). Um dos idealizadores e pesquisador do IREM Guy Brousseau, que ressalta na Didtica da Matemtica a preocupao em desenvolver estudos relativos a comportamentos cognitivos dos alunos, atravs de situaes propcias para lhes ensinar.

39

Segundo Artigue (1996), as anlises preliminares levam em considerao o quadro terico didtico geral e os conhecimentos didticos j adquiridos envolvendo o campo de

domnio a ser estudado, assim como: a- a anlise epistemolgica dos contedos visados pelo ensino; b- a anlise do ensino habitual e dos seus efeitos; c- a anlise das concepes dos alunos, das dificuldades e obstculos que marcam a sua evoluo; d- a anlise do campo de constrangimentos no qual vir a situar-se a realizao didtica efetiva (ARTIGUE, 1996, p. 198).

Machado, S. (2002), acrescenta que as anlises preliminares permitem embasar a

concepo da Engenharia Didtica, podendo ser retomadas e aprofundadas no percurso

do trabalho, de acordo com os objetivos da investigao.

Na segunda fase, denominada concepo e anlise a priori, de acordo com Artigue (1996), o investigador identifica e toma a deciso sobre um determinado nmero

de variveis didticas pertinentes ao sistema.

Segundo Glvez (1996), as variveis didticas so aquelas para as quais as

escolhas de valores provocam modificaes nas estratgias de resoluo de problemas.

Essa autora ressalta a importncia da determinao dessas variveis e de seus intervalos

para fundamentar a construo das seqncias didticas, que permitiro o surgimento do

conhecimento almejado.

Dentre as variveis didticas, Machado, S. (2002) indica que a pesquisa deve

delimitar as variveis de comando, que so as variveis consideradas pelo pesquisador

de modo a fazer evoluir o desempenho dos alunos, sendo descritas e delimitadas nas

vrias sesses ou fases da Engenharia Didtica. A anlise desta considera dois tipos de

variveis de comando: - as variveis macro-didticas ou globais, que dizem respeito organizao global da engenharia; - e as variveis micro-didticas ou locais, que dizem respeito organizao local da engenharia, isto , organizao de uma sesso ou de uma fase, podendo umas e outras ser, por sua vez, variveis de ordem geral ou variveis dependentes do contedo didtico cujo ensino visado (ARTIGUE, 1996, p. 202).

Artigue (1996) afirma que um dos pontos essenciais desta segunda fase reside no

fato que a Engenharia Didtica concebida para provocar, de forma controlada, a

evoluo das concepes dos alunos.

Para isso, a anlise a priori dever prever: (...) os comportamentos possveis e mostrar no que a anlise efetuada permitir controlar o sentido desses comportamentos; alm disso, deve-se assegurar que, se tais comportamentos ocorrerem, resultaro no desenvolvimento do conhecimento visado pela aprendizagem (Machado, S., 2002, p. 207).

40

Deste modo, Artigue (1996) ressalta que a anlise a priori deve comportar um

carter descritivo e preditivo, sendo a anlise vinculada s caractersticas da seqncia

didtica a ser desenvolvida e aplicada aos alunos.

Em vista destas caractersticas, a autora salienta que a anlise a priori dever

ponderar qual o grau de investimento que esta situao ter para o aluno em decorrncia

de suas opes de escolhas, de ao e de deciso que surgem na experimentao.

Neste ponto, saliento que tais consideraes esto de acordo com a situao de

ao descrita em Brousseau (1996a,b), onde o aluno reflete e simula tentativas, elegendo

um procedimento de resoluo, dentro de um esquema de adaptao, atravs da

interao com o milieu18, tomando as decises que faltam para organizar a resoluo do

problema. J nas situaes de formulao, conforme Brousseau (1996a,b), ocorre troca

de informao entre o aluno e o milieu, atravs da utilizao de uma linguagem mais

adequada, sem a obrigatoriedade do uso explcito de linguagem matemtica formal,

podendo ocorrer ambigidade, redundncia, uso de metforas, criao de termos

semiolgicos novos, falta de pertinncia e de eficcia na mensagem, dentro de retro-

aes contnuas. Assim, nas situaes de formulao, os alunos procuram modificar a

linguagem que utilizam habitualmente, adequando-a as informaes que devem

comunicar.

Inserida na metodologia de Engenharia Didtica e vista como paradigma

metodolgico bem definido, a Teoria das Situaes Didticas de Brousseau (1996a),

contribui para esta pesquisa na medida em que permite prever quais condies devem

ocorrer para a efetivao da aprendizagem pelo aluno. Assim sendo, para fazer funcionar

um conhecimento, numa situao de aprendizagem: (...) necessrio que a resposta inicial que o aluno pensa frente pergunta formulada no seja a que desejamos ensinar-lhe; se fosse necessrio possuir o conhecimento a ser ensinado para poder responder, no se trataria de uma situao de aprendizagem. A resposta inicial s deve permitir ao aluno utilizar uma estratgia de base com a ajuda de seus conhecimentos anteriores; porm, muito rapidamente, esta estratgia deveria se mostrar suficientemente ineficaz para que o aluno se veja obrigado a realizar acomodaes quer dizer, modificaes de seu sistema de conhecimentos para responder situao proposta (BROUSSEAU, 1996b, p. 49).

18 O termo milieu, oriundo da Didtica da Matemtica, indica o meio que pode abranger, dentre outros, situaes-problema, jogos, os conhecimentos prvios do aluno e os do(s) colega(s). Brousseau (1996a) coloca que o milieu deve ter como caracterstica uma inteno didtica no-explcita do professor, que possibilita a interao autnoma do aluno em relao s situaes que interage e em relao ao professor. Para este autor, o milieu deve ser organizado para a aprendizagem numa interao feita de assimilaes e acomodaes, permitindo ao aluno a reflexo sobre suas aes e retroaes, impondo restries atravs de regras que devem ser respeitadas. Assim, o aluno aprende adaptando-se a um meio que um fator de contradies, de dificuldades, de desequilbrios (...) Este saber, fruto da adaptao do aluno, manifesta-se atravs de respostas novas, que so a prova da aprendizagem (BROUSSEAU, 1996a, p. 49).

41

A terceira fase da Engenharia Didtica corresponde experimentao e, de acordo com Machado, S. (2002), consiste basicamente no desenvolvimento da aplicao da

Engenharia Didtica, concebida a um grupo de alunos, objetivando verificar as

ponderaes levantadas na anlise a priori. Assim, a experimentao pressupe: - a explicitao dos objetivos e condies de realizao da pesquisa a populao de alunos que participar da experimentao; - o estabelecimento do contrato didtico19; - a aplicao do instrumento de pesquisa; - o registro das observaes feitas durante a experimentao (MACHADO, S., 2002, p. 206).

Segundo Brousseau (1996a), no contrato didtico essencial a conscincia da no-

interferncia explcita de conhecimentos, evitando-se explicaes ou dicas que facilitem

as resolues dos alunos, propiciando assim condies que permitam a mobilizao do

aluno em enfrentar o problema e em resolv-lo, pelo menos em parte, atravs da lgica

interna e dos conhecimentos anteriores. Assim, o entendimento mtuo dos papis - da

no-interveno do pesquisador e da ao independente do aluno - e o respeito a estas

condies, garantem condies para se caracterizar o contrato didtico nesta pesquisa.

Complementando, importante