Capítulo 2.1: Equações Lineares; Método dos Fatores ?ões-Diferenciais-Ordinárias-de-1ª-Ordem.pdf ·

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Captulo 2.1: Equaes Lineares;

Mtodo dos Fatores Integrantes

Uma EDO de primeira ordem tem a forma geral

onde f linear em y. Exemplos incluem equaes com coeficientes constantes,

ou equaes com coeficientes variaveis:

),( ytfdtdy =

)()( tgytpdtdy =+

bayy +=

Captulo 2.1: Caso dos Coeficientes Constantes

Para uma EDO linear com coeficientes constantes,

observe que podemos usar mtodos de clculo para resolver:

Cat ekkeaby

Ctaaby

dtaaby

dy

aaby

dtdy

=+=

+=

=

=

,/

/ln/

//

,bayy +=

Captulo 2.1: Caso dos Coeficientes variveis: Mtodo dos Fatores Integrantes

Nos agora vamos considerar uma EDO linear de primeira ordem com coeficientes variveis:

O mtodo dos fatores integrantes envolve a multiplicao desta equao por uma funo (t), escolhida de modo que a equao resultante seja integrada fcilmente.

)()( tgytpdtdy =+

Captulo 2.1: Exemplo 1: Fator de Integrao

Concidere a seguinte equao:

Multiplicando ambos os lados por (t), nos obtemos

Ns escolheremos (t) de modo que o lado esquerdo seja facil de identificar a derivada. Considere a regra do produto :

Escolha (t) tal que

2/2 teyy =+

[ ] ydt

tddtdytyt

dtd )()()( +=

tettt 2)()(2)( ==

)()(2)( 2/ teytdtdyt t =+

Captulo 2.1: Exemplo 1: Soluo Geral

Com (t) = e2t, nos resolvemos a equao original da seguinte forma:

[ ]

tt

tt

tt

ttt

t

t

Ceey

Ceye

eyedtd

eyedtdye

etytdtdyt

eyy

22/

2/52

2/52

2/522

2/

2/

52

52

2

)()(2)(

2

+=

+=

=

=+

=+

=+

Captulo 2.1: Mtodo dos Fatores Integrantes:

Varivel do lado direito (g(t))Em geral, para varivel do lado direito g(t), a soluo pode ser encontrada da seguinte forma:

[ ]

atatat

atat

atat

atatat

Cedttgeey

dttgeye

tgeyedtd

tgeyaedtdye

tgtytadtdyt

tgayy

+=

=

=

=+

=+

=+

)(

)(

)(

)(

)()()()(

)(

Captulo 2.1: Exemplo 2: Soluo Geral

Nos podemos resolver a seguinte equao

usando a formula anterior onde nos conhecemos a e g(t):

Integrando por partes,

Temos

tyy =+ 551

5/5/5/ )5()( tttatatat CedtteeCedttgeey +=+=

[ ]5/5/

5/5/5/

5/5/5/

550

5525

5)5(

tt

ttt

ttt

tee

dtetee

dttedtedtte

=

=

=

( ) 5/5/5/5/5/ 550550 ttttt CetCeteeey +=+=

Captulo 2.1: Exemplo 2: Grfico das Solues

O grfico da esquerda mostra o campo de direes junto com diversas curvas integrais. O grfico na direita mostra diversas solues, e uma soluo particular (vermelho) cujo o grfico contem o ponto (0,50).

5/550551 tCetytyy +=+=

Captulo 2.1: Exemplo 3: Soluo Geral

Nos podemos resolver a seguinte equao

usando a formula anterior onde nos conhecemos a e g(t):

Integrando por partes,

Temos

tyy = 551

5/5/5/ )5()( tttatatat CedtteeCedttgeey +=+=

[ ]5/

5/5/5/

5/5/5/

5

5525

5)5(

t

ttt

ttt

te

dtetee

dttedtedtte

=

+=

=

[ ] 5/5/5/5/ 55 tttt CetCeteey +=+=

Captulo 2.1: Exemplo 3: Soluo Geral

O grfico da esquerda mostra o campo de direes junto com diversas curvas integrais. O grfico na direita mostra diversas solues, e uma soluo particular (vermelho) cujo o grfico contm a origem, o eixo-y separa as solues que crescem para + daquelas que decrescem para - com t .

5/555/ tCetytyy +==

Captulo 2.1: Mtodo dos fatores integrantes para

EDO Lineares de primeira ordem geralVamos considerar uma EDO Linear de 1a ordem geral

Multiplicamos ambos os lados por (t), obtemos

Agora, precisamos encontrar (t) tal que '(t) = p(t)(t), para isto basta fazer

)()( tgytpy =+

[ ] yttpdtdytyt

dtd )()()()( +=

)()()()()( ttgyttpdtdyt =+

Captulo 2.1: Fator Integrante para

EDO Lineares de primeira ordem geralAssim ns escolhemos (t) tal que '(t) = p(t)(t). Assumindo (t) > 0, segue que

Tomando k = 0, obtemos

e note (t) > 0 como queriamos.

ktdtpttdtpttd +== )()(ln)()()(

,)( )( tdtpet =

Captulo 2.1: Soluo para

EDO Lineares de primeira ordem geralAssim ns temos o seguinte :

Ento

tdtpettgtyttpdtdyt

tgytpy

==+

=+

)()( onde ),()()()()(

)()(

[ ]

tdtpetndet

cdttgty

cdttgtyt

tgtytdtd

=+

=

+=

=

)()( o,)(

)()(

)()()(

)()()(

Captulo 2.1: Exemplo 4: Soluo Geral

Para resolver o P.V.I.

primeiro tome a forma padro:

Ento

e onde

( ) ,21,52 2 == ytyyt

0for ,52 = ttyt

y

222

2

2ln551

51

)(

)()(CtttCdt

tt

t

Ctdtt

tCdttgt

y +=

+=

+=

+=

2

1lnln22

)( 1)( 2t

eeeet ttdt

tdttp =====

Captulo 2.1: Exemplo 4: Soluo Particular

Usando a condio inicial y(1) = 2 e a soluo geral

segue que

ou equivalente,

22 2ln52)1( tttyCy +===

,ln5 22 Cttty +=

( )5/2ln5 2 += tty

Captulo 2.1: Exemplo 4: Grfico da Soluo

Os grficos abaixo mostram diversas curvas integrais para a equao diferencial, e uma soluo particular (em vermelho) cujo o grfico contm o ponto inicial (1,2).

( )

22

22

2

2ln5 :Particular Soluo

ln5 :Geral Soluo21,52 :PVI

ttty

Ctttyytyyt

+=

+===

Captulo 2.2: Equaes Separveis

Nesta seo ns examinamos uma subclasse das EDOs no-lineares e de 1a ordem.

Nos podemos reescreve-la da seguinte forma:

Por esemplo, seja M(x,y) = - f (x,y) e N (x,y) = 1. Pode haver outras maneiras tambm. Na formula diferencial,

Se M uma funo de x somente e N uma funo de y somente, ento

Neste caso, a equao chamada separvel.

0),(),( =+dxdyyxNyxM

0),(),( =+ dyyxNdxyxM

0)()( =+ dyyNdxxM

),( yxfdxdy =

Captulo 2.2: Exemplo 1: Resolvendo uma equao separvel

Resolvendo a seguinte equao no linear de primeira ordem:

Separando as variveis, e usando clculo, obtemos

A equao acima define a soluo y implicitamente. Um grfico que mostra o campo de direes e os pontos implcitos de diversas curvas integrais para a equao diferencial dado acima .

11

2

2

+=

yx

dxdy

( ) ( )( ) ( )

Cxxyy

Cxxyy

dxxdyy

dxxdyy

++=

++=

+=

+=

3331

31

11

11

33

33

22

22

Captulo 2.2: Exemplo 2:

Solues Implicitas e ExplicitasResolvendo a seguinte EDO No-Linear:

Separando as variveis, e usando clculo, obtemos

A equao acima define a soluo y implicitamente. Uma expresso explcita para a soluo pode ser encontrada neste caso:

( )12243 2

++=

yxx

dxdy

( ) ( )( ) ( )

Cxxxyy

dxxxdyy

dxxxdyy

+++=

++=

++=

222

24312

24312

232

2

2

( ) ( )

Cxxxy

CxxxyCxxxyy

+++=

++++==+++

2212

224420222

23

23232

Captulo 2.2: Exemplo 2: PVI

Supondo que ns procuramos uma soluo que satisfaz y(0) = -1. Usando a expresso implcita de y, ns obtemos

Assim a equao implcita que define y

Usando a expresso explcita de y,

Segue que411

221 23

==

+++=

CC

Cxxxy

3)1(2)1(222

2

232

==+++=

CCCxxxyy

3222 232 +++= xxxyy

4221 23 +++= xxxy

Captulo 2.2: Exemplo 2: Condio Inicial y(0) = 3

Note que se a condio inicial for y (0) = 3, ento ns devemos escolhemos o sinal positivo, em vez do sinal negativo, no termo da raiz quadrada :

4221 23 ++++= xxxy

Captulo 2.2: Exemplo 2: Domnio

Assim as solues ao problema do valor inicial

so dados por

Da respresentao explcita de y, segue que

e daqui o domnio de y (- 2, ). Note x = -2 temos y = 1, que faz o denominador de dy/dx ser zero (tangente vertical). Inversamente, o domnio de y pode ser estimado encontrando tangents verticais no grfico (til para solues implicitas).

)(explicita 4221

)(implicita 322223

232

+++=

+++=

xxxy

xxxyy

( ) ( ) ( ) ( )2212221 22 ++=+++= xxxxxy

( ) 1)0(,12243 2 =

++= y

yxx

dxdy

Captulo 2.2: Exemplo 3: Solues Implicitas de PVI

Concidere o seguinte PVI:

Separando as variveis, e usando clculo, obtemos

Usando as condioes iniciais, segue que

1)0(,31

cos3 =+

= yyxyy

Cxyy

xdxdyyy

xdxdyy

y

+=+

=

+

=+

senln

cos31

cos31

3

2

3

1senln 3 +=+ xyy

Captulo 2.2: Exemplo 3: Grfico da soluo