PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS

Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática

Célio Moacir dos Santos

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES:

uma análise de livros didáticos publicados no Brasil (1930 a 1970)

Belo Horizonte

2017

Célio Moacir dos Santos

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES:

uma análise de livros didáticos publicados no Brasil (1930 a 1970)

Dissertação de Mestrado, apresentada ao Programa

de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e

Matemática da Pontifícia Universidade Católica de

Minas Gerais, como requisito parcial para a

obtenção do Grau de Mestre em Ensino de Ciências

e Matemática.

Orientadora: Profª. Dr.ª Elenice de Souza Lodron

Zuin

Área de concentração: Ensino de Matemática

Belo Horizonte

2017

FICHA CATALOGRÁFICA

Elaborada pela Biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais

Santos, Célio Moacir dos

S237s Sistemas de equações lineares: uma análise de livros didáticos publicados no

Brasil (1930 a 1970) / Célio Moacir dos Santos. Belo Horizonte, 2017.

214 f. : il.

Orientadora: Elenice de Souza Lodron Zuin

Dissertação (Mestrado) – Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.

Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática.

1. Sistemas lineares. 2. Matemática - Estudo e ensino. 3. Livros didáticos. 4.

Brasil - Séc XX. 5. Determinantes (Matemática) I. Zuin, Elenice de Souza Lodron.

II. Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. Programa de Pós-Graduação

em Ensino de Ciências e Matemática. III. Título.

CDU: 517.91

Dedico esse trabalho a toda a minha família, em

especial a Naná (in memoriam) e a Daliene.

AGRADECIMENTOS

Primeiramente a Deus, por todas as bênçãos concedidas.

A minha orientadora, Profª. Drª. Elenice de Souza Lodron Zuin, pela paciência, pelo apoio

nos momentos mais difíceis e por sempre ter um biscoitinho para me oferecer nos nossos

encontros para orientação.

Aos meus familiares e amigos, pelo apoio e incentivo.

A Jailson, pelo incentivo e apoio em todos os momentos.

Ao meu amigo Saulo, por ajudar a divulgar o minicurso e também as minhas amigas, Gisele e

Rosimere, pelo incentivo e por me prestigiar na apresentação da dissertação.

A minha amiga Gilmere, por me ajudar nas correções dos textos.

A minha nova família constituída em BH, Aparecida e Vander pela acolhida e pela

hospitalidade.

A Banca Examinadora, pelas contribuições.

Aos professores e estudantes de Matemática que participaram do minicurso.

A todos os meus colegas de trabalho da escola EEEM Misael Pinto Netto e da EEEFM Baixo

Quartel.

Aos professores da UFES, Dr. Tercio Girelli Kill e Ms. Hellen Castro Almeida Leite pelo

apoio, incentivo e empréstimo de materiais.

A Alessandra do Lamati – UFES pela atenção e ajuda.

Aos meus colegas da turma 10, pelos momentos de aprendizagem e trocas de experiências.

Ao pessoal da secretaria da PUC Minas, Karla, Pablo e Walace, pela atenção.

A Secretaria de Estado da Educação do Espírito Santo – SEDU.

Enfim, a todos que de alguma forma contribuíram, direta ou indiretamente, para que eu

pudesse concluir meu trabalho.

“Poucos têm o tempo ou mesmo a índole, de

mergulhar nas profundas águas geladas do passado

a fim de trazer à tona um pedacinho do tesouro ali

submerso”.

John Andrew Fossa

RESUMO

O objetivo principal dessa pesquisa foi analisar o conteúdo de sistemas lineares com duas

equações e duas incógnitas, por meio de um estudo em livros didáticos, publicados e adotados

no Brasil, no período compreendido entre 1930 e 1970. O aporte teórico metodológico

fundamentou-se em Laurence Bardin, no campo da análise de conteúdo, e em André Chervel,

no que tange à história das disciplinas escolares. Foram analisados oito livros didáticos, nos

quais buscou-se identificar, de acordo com o período das publicações, se os mesmos seguiam

alguma tendência pedagógica, as normativas da legislação escolar e os preceitos do

Movimento da Matemática Moderna. Constatou-se, em todos os livros, a ausência de

abordagens históricas no tópico referente aos sistemas lineares. Foi verificado que, nos livros

mais antigos, não se dava ênfase aos exercícios ou problemas de sistemas sem solução,

havendo predominância nas resoluções algébricas. As variações, em relação aos métodos de

resolução, foram diminuindo com a chegada da Matemática Moderna. A utilização simbólica

excessiva com enfoque na teoria de conjuntos ficou evidenciada nos autores que aderiram ao

Movimento da Matemática Moderna. Como produto, foi elaborado um material, para a

formação inicial e continuada de professores de Matemática e áreas afins, abordando aspectos

históricos dos sistemas de equações lineares, tendências pedagógicas em voga no período

estudado, legislação escolar e apresentação de seis dos oito livros analisados.

Palavras-chave: Sistemas de equações lineares. História da Educação Matemática. Livros

didáticos. Brasil. Século XX.

ABSTRACT

The main objective of this research was to analyze the content of linear systems with two

equations and two unknowns, through a study in didactic books, published and adopted in

Brazil, between 1930 and 1970. The theoretical methodological contribution was based on

Laurence Bardin, in the field of content analysis, and André Chervel, regarding the history of

school subjects. Eight didactic books were analyzed, which sought to identify, according to

the period of the publications, if they followed some pedagogical tendency, the norms of the

school legislation and the precepts of the Modern Mathematics Movement. It was verified, in

all the books, the absence of historical approaches in the topic referring to linear systems. It

was verified that, in the older books, the exercises or problems of systems without solution

were not emphasized, being predominant in the algebraic resolutions. The variations, in

relation to the methods of resolution, were diminishing with the arrival of Modern

Mathematics. Excessive symbolic use focused on set theory was evidenced in the authors who

joined the Modern Mathematics Movement. As a product, a material was developed for the

initial and continuous training of Mathematics teachers and related areas, addressing historical

aspects of linear equation systems, pedagogical trends in the period studied, school legislation

and presentation of six of the eight books analyzed.

Keywords: Systems of linear equations. History of Mathematics Education. textbooks. Brazil.

20th century.

LISTAS DE FIGURAS

Figura 1 – Capa do Livro Algebra Elementar.................................................................. 55

Figura 2 – Definições livro de Trajano............................................................................ 57

Figura 3 – Regra para resolução de equação do primeiro grau........................................ 59

Figura 4 – Problemas....................................................................................................... 62

Figura 5 – Problemas resolvidos...................................................................................... 63

Figura 6 – Método de redução ao mesmo coeficiente..................................................... 64

Figura 7 – Problemas com abordagem do cotidiano........................................................ 65

Figura 8 – Problemas com abordagem matemática......................................................... 65

Figura 9 – Folha de rosto do livro Segundo ano de Matemática..................................... 66

Figura 10 – Figura 10 - Capítulo XIII.............................................................................. 67

Figura 11 – Processos de eliminação............................................................................... 69

Figura 12 – Comparação ente as formas de resolução..................................................... 70

Figura 13 – Regra do método de substituição.................................................................. 71

Figura 14 – Regra para o método por comparação.......................................................... 71

Figura 15 – Gráfico representando solução única............................................................ 72

Figura 16 – Exercícios propostos..................................................................................... 74

Figura 17 – Exercícios com aplicação do teorema fundamental da proporção............... 75

Figura 18 – Exercícios orais............................................................................................. 75

Figura 19 – Sistemas fracionários.................................................................................... 76

Figura 20 – Exercícios literais......................................................................................... 76

Figura 21 – Problemas de sistemas com equações fracionárias....................................... 77

Figura 22 – O problema da coroa..................................................................................... 77

Figura 23 – Capa do livro Curso de Matemática – 4ª série Curso Ginasial..................... 78

Figura 24 – Capítulo I...................................................................................................... 82

Figura 25 – Uma equação com duas incógnitas............................................................... 82

Figura 26 – Exemplo algébrico........................................................................................ 84

Figura 27 – Discussão entre numerador e denominador.................................................. 85

Figura 28 – Representação gráfica de um sistema com solução única........................... 85

Figura 29 – Representação gráfica................................................................................... 86

Figura 30 – Exercícios..................................................................................................... 87

Figura 31 – Exercícios algébricos.................................................................................... 87

Figura 32 – Exercícios sobre determinação de variáveis................................................. 88

Figura 33 – Capa do Livro Matemática Curso Ginasial Segunda Série.......................... 89

Figura 34 – Equações lineares com duas incógnitas........................................................ 91

Figura 35 – Sistemas de equações simultâneas................................................................ 92

Figura 36 – Discussão de um sistema linear de duas equações com duas incógnitas...... 93

Figura 37 – Hipóteses para discussão da solução............................................................ 93

Figura 38 – Exercícios algébricos.................................................................................... 94

Figura 39 – Exercícios sobre sistemas de equações......................................................... 95

Figura 40 – Capa do Livro Matemática Segunda Série Ginasial..................................... 97

Figura 41 – Soluções individuais das equações............................................................... 100

Figura 42 – Exemplo algébrico........................................................................................ 101

Figura 43 – Discussão de um sistema de forma algébrica............................................... 101

Figura 44 – Quatro primeiros exercícios.......................................................................... 103

Figura 45 – Quatro últimos exercícios............................................................................. 103

Figura 46 – Resolver e discutir os sistemas..................................................................... 104

Figura 47 – Capa do livro Matemática Ginasial 2ª Série................................................. 106

Figura 48 – Informação sobre acréscimos de conteúdos................................................. 106

Figura 49 – Fórmula de Cramer....................................................................................... 108

Figura 50 – Resolução de sistema utilizando Regra de Cramer...................................... 109

Figura 51 – Capa do livro Matemática curso moderno ................................................... 112

Figura 52 – Lembrete....................................................................................................... 115

Figura 53 – Exemplo de um sistema linear...................................................................... 116

Figura 54 – Resolução de problemas incompatíveis........................................................ 117

Figura 55 – Esquema sobre discussão de sistemas.......................................................... 118

Figura 56 – Capa do livro Matemática Moderna 2ª Série Ginasial................................. 119

Figura 57 – Representação de um exercício sem solução................................................ 121

Figura 58 – Primeira hipótese.......................................................................................... 123

Figura 59 – Segunda hipótese.......................................................................................... 123

Figura 60 – Exercícios com atribuição de linguagem de conjuntos................................ 124

Figura 61 – Representação de todos os pares ordenados................................................. 125

Figura 62 – Representação gráfica solução única............................................................ 126

Figura 63 – Representação gráfica infinitas soluções...................................................... 126

Figura 64 – Representação gráfica conjunto vazio.......................................................... 127

Figura 65 – Resumo......................................................................................................... 127

Figura 66 – Exercício sobre sistema................................................................................ 129

Figura 67 – Exercício proposto........................................................................................ 130

Figura 68 – Esquema sobre os métodos........................................................................... 134

Figura 69 – Esquema de apresentação............................................................................. 143

LISTA DE QUADROS

Quadro 1 – Definições Trajano (1932)............................................................................. 58

Quadro 2 – Definições sobre sistemas.............................................................................. 59

Quadro 3 – Definições trazidas por Stávale (1941).......................................................... 68

Quadro 4 – Distribuição de exercícios e problemas.......................................................... 74

Quadro 5 – Problemas por métodos de eliminação (adição e substituição)...................... 76

Quadro 6 – Sistemas fracionários...................................................................................... 78

Quadro 7 – Programa de ensino de 1942.......................................................................... 79

Quadro 8 – Programa livro Maeder (1948)....................................................................... 80

Quadro 9 – Prefácio do livro Curso de Matemática – 1ª Série Curso Ginasial................. 80

Quadro 10 – Definições Maeder (1948)............................................................................ 82

Quadro 11 – Caracterização dos exercícios...................................................................... 88

Quadro 12 – Definições Sangiorgi (1959)........................................................................ 91

Quadro 13 – Problemas com algum tipo de contextualização.......................................... 96

Quadro 14 – Problemas que necessitam de algum conhecimento prévio de Matemática. 96

Quadro 15 – Definições Quintella (1961)......................................................................... 99

Quadro 16 – Tipos de problemas...................................................................................... 104

Quadro 17 – Comparativo entre índices de 1959 e 1963.................................................. 107

Quadro 18 – Comparação entre os índices de 1959 e 1966.............................................. 114

Quadro 19 – Definições sobre teoria de conjuntos no livro de Bethlem (1969)............... 121

Quadro 20 – Definições sobre sistemas............................................................................ 122

Quadro 21 – Problemas característicos............................................................................. 129

Quadro 22 – Quantidade de páginas sobre o assunto de sistemas.................................... 131

Quadro 23 – Tipos de soluções......................................................................................... 132

Quadro 24 – Apresentação das resoluções........................................................................ 133

Quadro 25 – Principais processos..................................................................................... 135

Quadro 26 – Métodos de resolução................................................................................... 135

Quadro 27 – Introdução do conteúdo................................................................................ 136

Quadro 28 – Ilustrações..................................................................................................... 136

Quadro 29 – Unidades do material.................................................................................... 139

Quadro 30 – Formação dos participantes.......................................................................... 142

Quadro 31 – Tempo de atuação como docentes dos participantes.................................... 142

Quadro 32 – Considerações do Grupo I............................................................................ 144

Quadro 33 – Considerações do Grupo II........................................................................... 144

Quadro 34 – Considerações do Grupo III......................................................................... 144

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

BBTD

CAPES

GEEM

GEMPA

GEPEM

GRUEMA

INRP

MMM

PCN

PNLEM

PUC Minas

UFLA

UFRRJ

Biblioteca Brasileira de Teses e Dissertações

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior

Grupo de Estudos do Ensino da Matemática

Grupo de Estudos em Matemática em Porto Alegre

Grupo de Pesquisas em Educação Matemática

Grupo de Estudos de Matemática

Institut National de Recherche Pédagogique

Movimento da Matemática Moderna

Parâmetros Curriculares Nacionais

Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio

Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais

Universidade Federal de Lavras

Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO.............................................................................................................. 15

2 APORTE TEÓRICO METODOLÓGICO.................................................................. 23

2.1 Sobre os livros didáticos no Brasil............................................................................. 28

2.2 A estrutura da análise................................................................................................. 32

3 ASPECTOS DA LEGISLAÇÃO E PROPOSTAS EDUCACIONAIS DA

DÉCADA DE 30 À DÉCADA DE 70 DO SÉCULO XX NO BRASIL.........................

36

3.1 Método Intuitivo.......................................................................................................... 36

3.2 Escola Nova.................................................................................................................. 38

3.3 A Reforma Francisco Campos................................................................................... 40

3.4 A Reforma Gustavo Capanema................................................................................. 43

3.5 O Movimento da Matemática Moderna.................................................................... 45

3.6 Os percalços do Movimento da Matemática Moderna............................................ 51

4 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES COM DUAS INCÓGNITAS NOS

LIVROS DIDÁTICOS......................................................................................................

54

4.1 Algebra Elementar, de Antonio Trajano................................................................... 55

4.2 Segundo ano de Matemática, de Jacomo Stávale..................................................... 65

4.3 Curso de Matemática 4ªsérie Ginasial, de Algacyr Munhoz Maeder..................... 78

4.4 Matemática Curso Ginasial 2ª série, de Osvaldo Sangiorgi................................... 89

4.5 Matemática Segunda Série Ginasial de Ary Quintella............................................ 96

4.6 Livros de Sangiorgi, anos 1963 e 1965....................................................................... 105

4.6.1 Matemática Ginasial 2ª Série, de Osvaldo Sangiorgi(1963)............................... 106

4.6.2 Matemática curso moderno, de Osvaldo Sangiorgi(1965)..................................... 112

4.7 Matemática Moderna, de Agrícola Bethlem............................................................. 119

4.8 Análise global............................................................................................................... 130

5 DO PRODUTO E SUA APLICAÇÃO......................................................................... 139

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS......................................................................................... 149

REFERÊNCIAS................................................................................................................ 152

APÊNDICE A.................................................................................................................... 159

APÊNDICE B.................................................................................................................... 162

15

1. INTRODUÇÃO

Rememorando o meu tempo de adolescência, quando ingressei na sexta série do Ensi-

no Fundamental, agora sétimo ano, me deparei com os primeiros contatos com a Álgebra,

com as equações e sistemas de equações de primeiro grau. Nesse momento, passei por gran-

des dificuldades para compreender essa “mistura entre letras e números”, mas, mesmo a difi-

culdade momentânea, nessa parte da Matemática, não ofuscou o meu fascínio em relação à

matéria.

A Matemática sempre foi uma disciplina que me desafiava e eu gostava desse desafio,

ficava disputando com os colegas, quem tirou a maior nota nas avaliações. No Ensino Médio,

cursei o Técnico em Contabilidade, a Matemática continuava se fazendo presente, agora, nu-

ma forma mais contextualizada, voltada para o mercado de trabalho.

Em mim, surgiu o desejo de fazer um curso superior e a escolha foi motivada pela

vontade de aprender um pouco mais da disciplina que sempre me encantou, a Matemática. A

minha formação inicial ocorreu na Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro (UFRRJ), no

curso de Licenciatura em Matemática. Foi um período de muita aprendizagem e de perceber

que a Matemática perpassa por vários ramos e que suas aplicações são inúmeras.

No Rio de Janeiro, comecei a lecionar em uma fundação localizada em uma comuni-

dade, o trabalho era voluntário, o que me proporcionou uma bagagem muito positiva. Depois

de terminada a graduação, iniciei como profissional de educação, em uma escola agrotécnica,

situada em São Gabriel da Palha, no Espírito Santo. Essa escola funcionava no regime de in-

ternato, com crianças da antiga quinta série até o quarto ano do ensino técnico, sendo, para

mim, uma experiência riquíssima, possibilitando-me acompanhar e tentar minimizar as difi-

culdades das crianças de entenderem a linguagem matemática que se apresentava de forma tão

abstrata para elas.

Depois de algumas de minhas experiências profissionais, percebi a importância de

continuar os estudos e cursei uma especialização em Matemática e Estatística pela Universi-

dade Federal de Lavras (UFLA), onde tive a oportunidade de dialogar com vários professores

de Matemática e, assim, ampliar minha visão no estudo da mesma.

Trabalhei na escola de São Gabriel da Palha por dois anos e, logo depois, mudei para

outro município para ingressar em uma escola de Ensino Fundamental da prefeitura de Pinhei-

ros, também no Espírito Santo. Lecionando por três anos nessa outra instituição, percebi que a

16

dificuldade de entender o tópico sistemas de equações lineares não era algo que só ocorria

com os alunos da instituição anterior, ela perpassava por vários estudantes da escola atual, o

livro didático também não contribuía para essa compreensão.

A partir dessa preocupação e vendo a necessidade de uma formação que me ajudasse a

entender a dificuldade que os estudantes têm sobre o assunto, comecei a me perguntar como

poderia contribuir para a formação do aluno, de modo que pudesse encontrar alternativas que

os ajudassem a terem uma melhor compreensão da Matemática.

Toda essa dificuldade vivida pelos estudantes com relação ao entendimento de siste-

mas, bem como, compreender a sua solução utilizando os diversos métodos de resolução me

inquietava, o que me fez buscar novos estudos. E veio a oportunidade de ingressar no mestra-

do na Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais – PUC Minas. O Mestrado em Ensi-

no de Ciências e Matemática me permitiu ampliar o leque de discussões relativamente às

questões da educação e métodos que visam facilitar o ensino da Matemática em todos os seus

níveis. A escolha desse mestrado se fez importante dentro desse cenário, na medida em que,

me fazia refletir sobre as práticas voltadas ao ensino de Matemática.

Desde que iniciei o meu trabalho como professor no Ensino Fundamental, tanto da re-

de pública estadual quanto na municipal, me questionava: por que os alunos tinham tanta difi-

culdade em aprender Álgebra? Esse questionamento advinha da minha concepção de que essa

matéria deveria se apresentar mais facilmente para os estudantes do que a Geometria, mas,

mesmo assim, ela seguia apresentando obstáculos para os alunos.

Outros pontos importantes a serem considerados é que a Álgebra passou a ocupar, nos

currículos, um lugar privilegiado no ensino da Matemática, contudo, infelizmente, a dificul-

dade persiste nos trabalhos realizados dentro da sala de aula. Essa percepção vem de conver-

sas informais com outros colegas que verificam que seus alunos não apreendem os conteúdos

algébricos, demandando um trabalho mais efetivo.

Estas inquietações levaram-me a voltar para a universidade e pesquisar sobre o tema

sistemas de equações lineares. Se, em um primeiro momento, me preocupava com as dificul-

dades dos alunos, passei a ver como uma pesquisa importante enveredar pela História das

Disciplinas Escolares, focalizando aspectos históricos da matemática escolar dos sistemas de

equações do primeiro grau, de modo a contribuir com a formação inicial e continuada dos

professores de Matemática e áreas afins. Esse novo olhar surgiu pela minha certeza de que

existe uma lacuna na formação docente, que, na maioria das vezes, desconhece a história da

sua própria disciplina. Essa constatação se dá pela minha própria formação e conversas in-

formais com outros professores da área. Esse fato ficou reforçado, quando ofertei um minicur-

17

so para professores e alunos de licenciatura em Matemática, em outubro de 2016. Verifiquei

que o desconhecimento de aspectos históricos dos sistemas lineares e, deste tópico, como sa-

ber escolar se faziam presentes para todos os participantes.

Durante a realização desta pesquisa, muitos nos indagaram o porquê de não se trazer

esse estudo para o presente. Não foi meu objetivo fazer um estudo comparativo com os livros

do século XXI. A proposta era realizar uma análise de livros didáticos, fazendo um recorte

para um conteúdo escolar no período de 1930 a 1970 – décadas que trazem modificações na

matemática escolar.

Na revisão de literatura, encontrei teses e dissertações sobre sistemas de equações li-

neares com duas equações e duas incógnitas. Minha pesquisa se baseou em um levantamento

feito no Banco de Teses da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior

(Capes) e na Biblioteca Brasileira de Teses e Dissertações (BDTD).

Fiz um levantamento dos trabalhos dentro dessa temática a partir de 2001 até 2015.

Trabalhos anteriores a 2001 não foram elencados pelo fato de não constarem dos bancos de

dados pesquisados. O critério adotado, para tal levantamento, foi o termos “sistemas lineares”

no título ou busca de palavras e termos relacionados com o assunto.

Apresento uma breve descrição dos trabalhos encontrados em ordem cronológica,

acompanhada de uma descrição sobre as suas abordagens e, ao final, aponto quais serão as

contribuições que a presente pesquisa irá proporcionar sobre o tema.

O primeiro trabalho é o de Battaglioli (2008), em sua dissertação “Sistemas lineares na

segunda série do ensino médio: um olhar sobre os livros didáticos”, o qual, com uma aborda-

gem qualitativa, analisa três livros didáticos do Ensino Médio aprovados pelo Programa Na-

cional do Livro Didático para o Ensino Médio (PNLEM), com proposta de verificar nos

mesmos, em quais registros de representações semióticas os sistemas lineares são apresenta-

dos e quais as conversões de registros propostas em seus exercícios. Baseando-se na teoria de

representação semiótica de Raymond Duval (2003), foi observado que os registros predomi-

nantes nos três livros didáticos, tanto na abordagem do conteúdo como nos exercícios é o re-

gistro algébrico. O trabalho da autora perpassou entre sistemas lineares com duas e três equa-

ções e duas ou três incógnitas. Foi verificado, também, que na pesquisa o registro gráfico apa-

rece com maior frequência em sistemas lineares de duas equações e duas incógnitas.

Outro trabalho é o de Reis (2010), com a dissertação “O estudo de Sistemas de equa-

ções do primeiro grau em livros didático utilizados em escolas brasileiras”. O autor tem como

proposta analisar livros didáticos, em particular um livro utilizado no Colégio Pedro II (Trata-

do e Álgebra Elementar de José Adelino Serrasqueiro) e um livro contemporâneo (Matemáti-

18

ca Paratodos de Imenes e Lelis), além dos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática

(PCN), as resenhas do Guia do Livro Didático do Plano Nacional do Livro Didático e pro-

gramas de estudos do Colégio Pedro II. Essa pesquisa teve como aporte teórico a Teoria An-

tropológica do Didático de Yves Chevallard e uma abordagem metodológica de Laurence

Bardin. O objetivo foi mostrar como era proposto o assunto de sistemas no livro analisado,

publicado durante o período da Primeira República, fazendo uma comparação com o que é

proposto hoje. Foi percebido que, apesar de estar sendo analisado livros em épocas tão distan-

tes, encontrou-se elementos similares. Uma consideração importante é que se percebeu uma

valorização do assunto.

Outra dissertação encontrada foi a de Rocha (2010), intitulada “Aprendizagem da re-

solução de Sistemas de equações do 1º grau por alunos do 8º ano do ensino fundamental: mé-

todo da substituição.” Essa pesquisa teve como intenção analisar como ocorre a aprendizagem

da resolução de Sistemas de equações do 1º grau pelo método da substituição, usando lápis e

papel e o software Aplusix. Como pretensão inicial desse trabalho, houve a intenção de inves-

tigar como se dá a aprendizagem de Sistemas de equações do 1º grau por meio de uma pers-

pectiva construtivista de acordo com a Teoria das Situações Didáticas. Com a ajuda do sof-

tware, os estudantes fizeram reflexões sobre seus erros e assim foram acontecendo progressos

na realização da sequência didática. Segundo o autor, além do software ter propiciado um

trabalho diferenciado com os estudantes, também contribuiu para que houvesse uma efetiva

aprendizagem com o ajustamento dos erros mostrados pelo programa, permitindo ao aluno

rever constantemente a sua resolução. É importante lembrar que o Aplusix mostra que a reso-

lução está errada, mas não aponta onde está o erro. Cabe, então, ao estudante, descobrir e fa-

zer os ajustes necessários para se chegar à resposta correta.

Uberti (2011), em sua dissertação intitulada “Avaliação da aplicação de jogos na 6ª sé-

rie: equações, inequações e Sistemas de equações do 1º grau”, investigou o uso de jogos como

recurso de aprendizagem no Ensino Fundamental. O trabalho foi realizado em uma escola

municipal do Rio Grande do Sul com 24 alunos da 6ª série. Os jogos foram construídos a par-

tir da revisão de literatura de autores que trabalham com essa temática e da análise de livros

didáticos. A pesquisa realizada foi de caráter qualitativo e nela foi empregado um pré-teste,

anotações e observações feitas em um diário de campo. Percebeu-se que, quando era anuncia-

da uma atividade matemática com o uso de jogos, os alunos logo se empolgavam e já ficavam

atentos para as suas regras. Durante a realização da atividade, foi constatado que a concentra-

ção era muito maior se comparada à uma atividade que era baseada, por exemplo, em listas de

exercícios. Outro ponto relevante foi relativo aos jogos realizados em dupla; esse momento

19

propiciou uma interação e, segundo o autor, despertou o coleguismo. Com os jogos, Uberti

concluiu que as aulas de matemática ficaram mais criativas, menos enfadonhas e asseguraram

melhores aprendizagens. Na aplicação dessa metodologia, foi possível aos alunos sanarem as

suas dúvidas de uma forma mais descontraída e que os conceitos matemáticos fossem melhor

assimilados por eles.

Temos Chiari (2011) com o trabalho “A utilização do escalonamento na resolução de

sistemas lineares por alunos do ensino médio”, no qual o objetivo principal foi a investigação

desse método de resolução de sistemas. Para o desenvolvimento dessa dissertação, foi consi-

derado como os estudantes trabalham as operações elementares para a obtenção do sistema

equivalente e, a partir de então, chegar à resolução do mesmo. A pesquisa envolveu estudan-

tes do primeiro ano do Ensino Médio de uma escola estadual de Campo Grande – MS. Para

dar suporte à pesquisa o autor utilizou elementos históricos do tema, documentos oficiais,

análise de livros didáticos e pesquisa sobre erros cometidos pelos alunos referentes ao proces-

so de escalonamento. Como aporte teórico foi utilizada a Teoria das Situações Didáticas, de

Guy Brousseau e, a Engenharia Didática, como referencial metodológico. Foi proposta uma

sequência didática, dividida em três blocos distintos e, com esse procedimento, percebeu-se

que os estudantes sentiam a necessidade de uma técnica para a resolução dos sistemas propos-

tos. Verificou-se que os alunos adquiriram habilidades no que tange às operações elementares,

mas, também, muitos erros de cálculos apareceram, fazendo com que não se chegasse à res-

posta correta. Outra constatação foi a de que os alunos não tinham o hábito de fazer uma sim-

ples verificação da resposta, substituindo os valores encontrados no sistema linear.

Por fim, Silva (2014) com a dissertação “Registros de representações semióticas no

estudo de sistemas de equações de 1º grau com duas variáveis usando o software GeoGebra”.

O autor apresenta momentos de uma atividade de investigação em uma turma da rede particu-

lar de ensino em Florianópolis, abordando sistemas de equações de 1º grau com duas variá-

veis no Ensino Fundamental. Expõe a forma como os livros didáticos dispõem o assunto e, a

partir daí, desenvolve uma sequência didática, trazendo uma inversão da ordem de se traba-

lhar o conteúdo, dando um enfoque geométrico para as soluções dos problemas. Referendan-

do-se nas Representações Semióticas e no uso de Tecnologias na Educação por meio da teoria

de Duval. Para o desenvolvimento da sequência didática foi utilizado o software livre GeoGe-

bra, como ferramenta tecnológica para desenvolver o conteúdo de sistemas. Segundo o autor,

houve diversos momentos de enriquecimento da produção do trabalho, pois, com o uso das

representações semióticas, foi possível rever a sua prática profissional. O autor averiguou que

20

as tecnologias são primordiais na educação e que o GeoGebra auxilia no estudo dos sistemas

de equações.

Ao realizar o levantamento das pesquisas, que têm como tema os sistemas de equa-

ções, foi possível constatar que os livros didáticos mereceram destaque, com análises da abor-

dagem desse assunto e comparações com programas específicos que norteiam esses materiais.

Dentro desse levantamento, foi verificada a existência de trabalhos que relacionaram o assun-

to de sistemas com softwares, fazendo uma ponte com as tecnologias em sala de aula; outros,

que procuraram investigar os processos de ensino/aprendizagem, através de um determinado

método de resolução dos sistemas.

Esse processo de levantamento de estudos produzidos na área permitiu constatar que

não havia trabalhos que tivessem o foco no tópico de sistemas de equações lineares dentro de

uma perspectiva da história da matemática escolar.

Concordo com Luna (2007) quando diz que a determinação do “estado da arte” pelo

pesquisador, com observações sobre as literaturas já publicadas com relação ao assunto pro-

posto, promove uma oportunidade de fazer apontamentos sobre as principais lacunas e entra-

ves teóricos ou metodológicos sobre o tema. Em se tratando desta investigação, depois da

revisão bibliográfica, junto com minha orientadora, foi traçado e delimitado o objetivo do

trabalho, dirigindo e concentrado esforços no desenvolvimento do estudo. Fundamentamo-nos

principalmente em Laurence Bardin, como apoio metodológico, e em André Chervel como

aporte teórico. A análise foi de cunho qualitativo.

Tivemos como eixo central verificar se e como a apresentação dos sistemas de equa-

ções do primeiro grau com duas incógnitas, por autores de livros didáticos no Brasil, sofreu

alterações ao longo de um período de quatro décadas. Para isto, trabalhando as questões da

história do conteúdo de sistemas de equações lineares, os estudos iniciais se centraram na aná-

lise de oito livros didáticos, publicados no período de 1930 a 1970, confrontando com aspec-

tos do ensino intuitivo, escolanovismo, da legislação e o Movimento da Matemática Moderna.

Apontamos os principais aspectos que indicam como os autores introduziam esse conteúdo,

métodos de resolução, tipos de enfoque dado ao tema, características dos exercícios ou pro-

blemas, entre outros. Algumas questões conduziram o desenvolvimento da nossa investiga-

ção:

Como os autores introduzem o referido tópico?

Quais os métodos que os autores empregavam para a solução dos sistemas de

equações lineares?

21

Os autores incluem apenas a resolução algébrica ou também inserem a resolução

geométrica?

Quais aspectos das correntes pedagógicas, das reformas e do Movimento da Ma-

temática Moderna estão presentes nas obras analisadas?

Quais são as principais diferenças entre os livros publicados no período do Mo-

vimento da Matemática Moderna e os anteriores?

Tentamos responder a essas perguntas, ao longo de nosso trabalho, fazendo análises

fundamentadas em critérios específicos, já mencionados.

Na organização desta dissertação, para o segundo capítulo, referendamos a nossa pes-

quisa, tendo como base inicial, o aporte teórico de André Chervel, para trazermos a história de

um conteúdo escolar e utilizamos a metodologia de Laurence Bardin para propormos catego-

rias de análise. Essas contribuições serviram de sustentação para todo o trabalho. Outros refe-

renciais, também foram utilizados, dando uma maior legitimidade à pesquisa.

No terceiro capítulo, reservado aos aspectos da legislação e das propostas educacionais

no Brasil, procuramos fazer uma síntese, trazendo alguns elementos que marcaram o ensino

no país, desde o final do século XIX, chegando à segunda metade do século XX. Novas

tendências pedagógicas, como o Método Intuitivo e a Escola Nova, surgiram como propostas

renovadoras se contrapondo às concepções tradicionais. Reformas educacionais se fizerem

presentes, como a de Francisco Campos e a de Gustavo Capanema, impondo mudanças na

maneira de ensinar a Matemática, também com o advento do Movimento da Matemática

Moderna, que influenciou os nossos educadores matemáticos.

No quarto capítulo, são apresentados os livros didáticos utilizados, apontando cada au-

tor e sua forma de abordagem do assunto sistemas de equações lineares com duas incógnitas.

Buscamos analisar como esse assunto se dispõe nos livros didáticos e, para isso, recorremos

às categorias de análises pré-definidas tais como: definição; introdução do conteúdo de siste-

mas; métodos de resolução; exercícios/problemas; aspectos históricos e ilustrações. A partir

das investigações de cada obra, procuramos encontrar singularidades que possam estar pre-

sentes no conteúdo de sistema, de forma a entendermos suas mudanças dentro de determinado

período histórico.

Para o quinto capítulo, tratamos da aplicação do produto intitulado “Sistemas de equa-

ções lineares em livros didáticos (1930-1970): apontamentos para formação inicial e continu-

ada de professores de Matemática e áreas afins”, como parte que integra a pesquisa de disser-

tação, no sentido de possibilitar mais conhecimentos sobre a própria disciplina, sobre a histó-

22

ria dos sistemas de equações do primeiro grau e uma reflexão sobre a história dos conteúdos

escolares.

Foi ministrado um minicurso, realizado em uma escola localizada na cidade de Ara-

cruz – ES, para professores e estudantes de Matemática e áreas afins, no qual foram tratados

aspectos históricos relativos às equações e sistemas de equações lineares, tendências pedagó-

gicas e reformas ocorridas no Brasil, a partir de fins do século XIX até a década de 70 do sé-

culo XX. Foi apresentado, também, como os sistemas de equações lineares eram abordados

por alguns autores dentro do período analisado. Os participantes tiveram a oportunidade de ter

os livros por nós analisados em mãos e realizar uma discussão em grupo. Foram aplicados

questionários para os participantes e levantadas algumas questões importantes sobre seus co-

nhecimentos históricos da Matemática e sobre o conteúdo de sistemas.

Por último, nossas considerações finais.

23

2. APORTE TEÓRICO METODOLÓGICO

O nosso estudo tem como objetivo central pesquisar a apresentação do conteúdo sis-

temas de equações lineares com duas equações e duas incógnitas nos livros didáticos de Ma-

temática e Álgebra situados entre 1930 a 1970.

Como ponto de partida, nos fundamentamos no artigo “História das disciplinas esco-

lares: reflexões sobre um campo de pesquisa” do pesquisador André Chervel, do Service

d’Historie de I’Education – Institut National de Recherche Pédagogique (INRP), situado em

Paris, na França. Esse autor entende que, os conteúdos escolares encontrados nos livros didá-

ticos são peças fundamentais que o pesquisador tem em mãos para averiguar como uma disci-

plina é apresentada nos textos didáticos de um determinado período. Zuin (2007) esclarece

que, com esse autor, as investigações, direcionadas ao campo escolar toma novos caminhos,

sendo que, para ele, os conteúdos escolares surgem dentro do ambiente escolar se tornando

autônomos.

Devemos mencionar o papel importante da história das disciplinas escolares e dos es-

tudos que têm sido realizados em diversas áreas. Em nossa pesquisa, iremos investigar, sob

uma perspectiva histórica da matemática escolar, como o conteúdo sistemas de equações line-

ares com duas equações e com duas incógnitas, é apresentado nos livros didáticos em perío-

dos distintos, procurando verificar se e como as discussões pedagógicas promoveram altera-

ções no conteúdo estudado.

A palavra disciplina é um termo relativamente recente tal como se conhece hoje. De

acordo com Chervel (1990), na França, esse termo só é registrado após a Primeira Guerra

Mundial, trazendo um sentido de ordenação, de controle e de obediência. “Do latim tardio,

temos o verbo disciplinare. Etimologicamente, o termo está ligado a controlar, corrigir, disci-

plinar, ordenar, sujeitar ou submeter à disciplina.” (ZUIN, 2007, p.14).

Na realidade, essa nova acepção da palavra é trazida por uma larga corrente de pen-

samento pedagógico que se manifesta, na segunda metade do século XIX, em estrei-

ta ligação com a renovação das finalidades do ensino secundário e do ensino primá-

rio. Ela faz par com o verbo disciplinar, e se propaga primeiro como um sinônimo

de ginástica intelectual, no conceito recentemente introduzido no debate. [...] Logo

após a I Guerra Mundial, enfim o termo disciplina vai perdendo a força que o carac-

teriza até então. Torna-se uma simples e pura rubrica, que classifica as matérias de

ensino, fora de qualquer referência às exigências de formação do espirito. (CHER-

VEL, 1990, p. 179-180).

24

Para o termo disciplina existem conceitos que remetem à ideia de matérias ou conteú-

do. Percebemos que a palavra disciplina, que antes possuía um sentido de regulamentação do

comportamento, agora aparece intimamente relacionada a um sentido pedagógico. Quando

nos é perguntado sobre o que é disciplina diríamos que ela está relacionada com aquilo que se

ensina, “os conteúdos de ensino”.

Para Chervel (1990), o conceito de disciplina escolar vai muito além do que conteúdo

a ensinar. O autor menciona que a palavra disciplina está diretamente ligada à disciplinariza-

ção do espírito, dando métodos a forma de pensar. Entendemos que temos uma combinação

de vários constituintes ligados à disciplina escolar, uns, em maior, outros, em menor grau,

mas todas atrelados às finalidades, proporcionando aos estudantes um exercício intelectual.

Para atingir a essas finalidades, geralmente, a escola lança mão de recursos que lhe são dispo-

níveis, como a motivação, exercícios, métodos de avaliação, entre outros.

Mas o que vem a ser a disciplina escolar?

A disciplina escolar é então constituída por uma combinação, em proporções variá-

veis, conforme o caso, de vários constituintes: um ensino de exposição, os exercí-

cios, as práticas de incitação e motivação e um aparelho docimológico, os quais, em

cada estado da disciplina, funcionam, evidentemente em estreita colaboração, de

mesmo modo que cada um deles está, à sua maneira, em ligação direta com as fina-

lidades. (CHERVEL, 1990, p. 207).

Este é um conceito importante que precisa ser entendido, a disciplina escolar é um

processo que é gerado na escola, que adquire saberes próprios se contrapondo com a ideia de

que os saberes pedagógicos são oriundos da academia científica.

[...] os conteúdos de ensino são concebidos como entidades sui generis, próprios da

classe escolar, independentes, numa certa medida, de toda realidade cultural exterior

à escola, e desfrutando de uma organização, de uma economia interna e de uma efi-

cácia que elas não parecem dever a nada além delas mesmas, quer dizer a sua pró-

pria história. (CHERVEL, 1990, p.180).

Percebemos que o autor defende a escola como produtora de uma cultura própria e

particular. Essa cultura teria a finalidade de moldar, modificar a sociedade como um todo.

É porque o sistema escolar é detentor de um poder criativo insuficientemente valori-

zado até aqui é que ele desempenha na sociedade um papel que não se percebeu que

era duplo: de fato ele forma não somente os indivíduos, mas também uma cultura

que vem por sua vez penetrar, moldar, modificar a cultura da sociedade global.

(CHERVEL, 1990, p.184).

25

Chervel critica a posição daqueles que tomam os saberes escolares como inferiores aos

saberes acadêmicos, que são fundamentados pelas universidades. Segundo este autor, as esco-

las são capazes de criar seus próprios saberes, cujos impactos se estendem para a sociedade.

Nota-se também que as finalidades reais da escola vão mais além do que seguir docu-

mentos oficiais, pois, a mesma possui características próprias, e a sua identificação, classifi-

cação e organização são atribuições inerentes à história das disciplinas escolares.

O conjunto dessas finalidades consigna à escola sua função educativa. [...] As disci-

plinas escolares estão no centro desse dispositivo. Sua função consiste em cada caso

em colocar um conteúdo de instrução a serviço de uma finalidade educativa.

(CHERVEL, 1990, p. 188).

Dentro do sistema escolar, o papel pedagógico se faz importante; é, nesse momento,

que os conteúdos escolares se entrecruzam com a Pedagogia, sendo, esta última, uma parte

integrante para que o ensino funcione e que se efetive a aprendizagem.

Excluir a pedagogia dos estudos dos conteúdos é condenar-se a nada compreender

do funcionamento real dos ensinos. A pedagogia, longe de ser um lubrificante espa-

lhado sobre o mecanismo, não é se não um elemento desse mecanismo, aquele que

transforma os ensinos em aprendizagens. (CHERVEL, 1990, p. 182).

Munakata (2013) trata igualmente de uma cultura específica da escola, não sendo um

reflexo da sociedade e sim uma cultura particular, com características próprias e que são uni-

camente pertencentes a essa unidade.

As unidades escolares, em seu entorno, coabitam constantemente com o seu exterior,

outras culturas são inseridas junto à cultura particular da escola e a elas se integram. Segundo

Julia (2001), não temos como isolar a escola dos fatores externos, ou seja, o que acontece fora

do ambiente escolar, seja de caráter social, político ou de qualquer outra natureza, de alguma

forma, influencia a escola. Todos os projetos pedagógicos desenvolvidos, dentro de uma insti-

tuição escolar, se correlacionam com o exterior e o interior da mesma.

Quando discorremos sobre o que acontece dentro dos muros da escola, é necessário

pontuar que as disciplinas escolares auxiliam a estruturar e organizar o currículo e a história

dessas disciplinas deve ser considerada. A forma como as disciplinas escolares aparecem,

bem como, a organização de seus conteúdos, devem ser valorizadas, sendo importante averi-

guar como um determinado tópico sofre alterações, continuidades, cortes, inserções, perma-

necendo ou não no currículo, num determinado espaço e período de tempo.

26

De acordo com Zuin (2007), Chervel entende que, em determinado período histórico,

um manual se impõe influenciando todos os outros que vêm depois dele, se tornando então

uma referência a ser seguida, se caracterizando como uma vulgata. Para o referido autor, em

uma investigação, que se paute nas histórias das disciplinas escolares, deve-se conhecer todo

o processo de fundamentação da disciplina, entender o meio de constituição de uma vulgata,

se essa existir, bem como perceber e averiguar as rupturas existentes fazendo as análises dos

livros didáticos ou documentos educacionais, percebendo assim qual o modelo de ensino fir-

mado em uma determinada época.

Essa padronização dos manuais didáticos pode ser observada em certos períodos,

quando os textos apresentam um mesmo modelo de abordagem e de exercícios, tudo isso,

com pouquíssimas variações.

Todos os manuais ou quase todos dizem então a mesma coisa, ou quase isso. Os

conceitos ensinados, a terminologia adotada, a coleção de rubricas e capítulos, a or-

ganização do corpus de conhecimentos, mesmo os exemplos utilizados ou os tipos

de exercícios praticados são idênticos, com variações aproximadas. (CHERVEL,

1990, p.203).

Em se tratando dessa análise das disciplinas escolares e, sobretudo, dos conteúdos es-

colares, para Chervel (1990), um elemento fundamental a ser considerado na constituição de

uma disciplina, ao se averiguar livros didáticos, é a vulgata.

Se a partir de então, novos fins direcionados ao ensino se estabelecerem, uma nova

vulgata surge, ganhando aceitação para o fim a que veio proposta.

A história das disciplinas se dá freqüentemente por alternância de patamares e de

mudanças importantes, até mesmo de profundas agitações. Quando uma nova vulga-

ta toma o lugar da precedente, um período de instabilidade se instala, que será ape-

nas perturbado, também ele, pelas inevitáveis variações. (CHERVEL, 1990, p. 204).

Apoiando-nos em Chervel (1990), em nosso estudo, procuramos verificar se houve a

ocorrência de uma vulgata relativamente ao tópico sistema de equações lineares.

A descrição e a análise dessa vulgata são a tarefa fundamental do historiador de uma

disciplina escolar. Cabe-lhe, se não pode examinar minuciosamente o conjunto da

produção editorial, determinar um corpus suficientemente representativo de seus di-

ferentes aspectos. (CHERVEL, 1990, p. 203).

Para Valente (2002), a análise de uma vulgata em livros didáticos pode nos mostrar

como as orientações relacionadas com determinadas reformas são vistas pelos autores, e se

essas reformas realmente causaram mudanças significativas na condução do material.

27

[...] em que medida o aparecimento de uma nova proposta – apresentada num

manual audacioso e inédito – foi capaz de fertilizar produções didáticas posteriores e

ser apropriado por elas, a ponto de ser constituída uma nova vulgata que, em certa

medida, poderá atestar o sucesso da nova proposta contida no manual transformador

(VALENTE, 2002, p.42).

Seria importante, em nossa pesquisa, colher uma amostra significante de livros didáti-

cos para podermos descrever e analisar uma vulgata, sempre considerando que a mesma se

transforma e que, muitas vezes, essa transformação não acontece de forma contínua. Porém, o

nosso direcionamento se fixou em uma análise de oito livros, de seis autores distintos, em

períodos entre 1932 e 1969, ano das edições do primeiro e do último livro analisados. Apesar

disso, julgamos elencar elementos relevantes para a nossa discussão.

Utilizamos, como referencial metodológico e como meio de sistematização, a Análise

de Conteúdo, pautando-nos em Laurence Bardin. Para esta autora, a Análise de Conteúdo

significa:

Um conjunto de técnicas de análise das comunicações visando a obter, por procedi-

mentos sistemáticos e objetivos de descrição do conteúdo das mensagens, indicado-

res (quantitativos ou não) que permitam a inferência de conhecimentos relativos às

condições de produção/recepção (variáveis inferidas) destas mensagens. (BARDIN,

2011, p. 47).

A Análise de Conteúdo é um conjunto de instrumentos metodológicos que está sempre

em constante progresso. São muitas técnicas utilizadas; enquanto esforço de interpretação, a

análise varia entre o rigor da subjetividade, ou seja, algo que varia de acordo com o julgamen-

to de um indivíduo, com a objetividade de um resultado, uma avaliação imparcial, indepen-

dente de preferências individuais.

O maior interesse dessa análise reside para muito além da simples descoberta de fatos,

é muito mais do que tentar encontrar respostas para determinados problemas e significados.

No conjunto, essas técnicas formam um equilíbrio entre a diversidade e a unidade, proporcio-

nando uma vasta possibilidade de se trabalhar e dialogar com os textos em análise.

De acordo com Bardin (2011), o método da Análise de Conteúdo consiste em averi-

guar a informação a partir de três campos situados cronologicamente. Primeiramente, com

uma pré-análise, na qual se escolhem os documentos, se formulam hipóteses e objetivos para

a pesquisa e se elaboram indicadores que fundamentem a interpretação final. Passada a pri-

meira etapa, volta-se para a exploração do material, na qual se aplicam as técnicas específicas

segundo os objetivos da pesquisa. Na última etapa, o ciclo é fechado, com o tratamento dos

resultados, a inferência e a interpretação. Essa fase final é importantíssima, pois é a partir daí

28

que se chega ao desfecho, de forma a tentar responder as indagações propostas inicialmente

na pesquisa.

Para se organizar a análise, é necessário, nesse primeiro momento, escolher os docu-

mentos, no caso, os livros didáticos que serão analisados e formular as hipóteses que serão

levantadas e os objetivos a serem atingidos para que se proceda a investigação. Então, depois

de concluída essa primeira etapa, chegamos à fase propriamente dita, que é da exploração do

material, livro didático. Nesse momento da pesquisa, deve-se estipular regras sobre o que será

averiguado, quais são as categorizações que serão utilizadas na análise. Depois, com o trata-

mento dado às informações, deve-se estabelecer um quadro com os resultados adquiridos.

Durante todo esse processo, temos uma confrontação organizada dos resultados alcançados,

que servem de base para novas análises, conforme indica Bardin (2011).

Embora o processo de categorização não seja obrigatório em pesquisas de análises de

livros ou de documentos em geral, Bardin (2011) nos diz que todo procedimento de análise se

organiza ao seu redor.

A categorização é uma operação de classificação de elementos constitutivo de um

conjunto por diferenciação e, em seguida, por reagrupamento segundo o gênero

(analogia), com critérios previamente definidos. As categorias são rubricas ou clas-

ses, as quais reúne um grupo de elementos (unidades de registro, no caso da análise

de conteúdo) sob um título genérico, agrupamento esse efetuado em razão das carac-

terísticas comuns desses elementos. (BARDIN, 2011, p. 147).

A classificação de elementos em categorias trabalha o processo de investigação, onde

tenta-se encontrar elementos comuns (BARDIN, 2011).

Em nossa pesquisa sobre os sistemas de equações de primeiro grau, realizamos uma

categorização prévia do tipo “caixas”, pois consideramos algumas categorias como ponto ini-

cial para a pesquisa e, ao mesmo tempo em que realizávamos a leitura nos livros didáticos,

elaboramos as especificidades integrantes de cada categoria e as mudanças para a adaptação

na própria categorização.

2.1 Sobre os livros didáticos no Brasil

Somente no século XX, é que podemos dizer que houve uma efetiva política de im-

plantação do livro didático, observamos que sua institucionalização ocorre em 1938, pelo De-

creto-Lei nº 1.006, de 30 de dezembro de 1938. De acordo com Cury (2009), esse documento

29

instala as condições de produção, importação e utilização do livro didático. Freitag, Costa e

Mota (1989) nos dizem que esse Decreto-Lei traz, pela primeira vez, uma definição sobre o

que deve ser entendido como um livro didático.

Art. 1º É livre, no país, a produção ou a importação de livros didáticos.

Art. 2º Para os efeitos da presente lei, são considerados livros didáticos os compên-

dios e os livros de leitura de classe.

§ 1º Compêndios são os livros que exponham, total ou parcialmente, a matéria das

disciplinas constantes dos programas escolares.

§ 2º Livros de leitura de classe são os livros usados para leitura dos alunos em aula.

(BRASIL, 1938).

Através do mesmo decreto, também se cria uma comissão específica para o livro didá-

tico, a Comissão Nacional para o Livro Didático,

Art. 9º Fica instituída, em caráter permanente, a Comissão Nacional do Livro Didá-

tico.

§ 1º A Comissão Nacional do Livro Didático se comporá de sete membros, que

exercerão a função por designação do Presidente da República, e serão escolhidos

dentre pessoas de notório preparo pedagógico e reconhecido valor moral, das quais

duas especializadas em metodologia das línguas, três especializadas em metodologia

das ciências e duas especializadas em metodologia das técnicas.

Art. 10. Compete à Comissão Nacional do Livro Didático:

a) examinar os livros didáticos que lhe forem apresentados, e proferir julgamento

favorável ou contrário à autorização de seu uso;

b) estimular a produção e orientar a importação de livros didáticos;

c) indicar os livros didáticos estrangeiros de notável valor, que mereçam ser traduzi-

dos e editados pelos poderes públicos, bem como sugerir-lhes a abertura de concurso

para a produção de determinadas espécies de livros didáticos de sensível necessidade

e ainda não existentes no país;

d) promover, periodicamente, a organização de exposições nacionais dos livros didá-

ticos cujo uso tenha sido autorizado na forma desta lei. (BRASIL, 1938).

No século XX, a indústria editorial brasileira se consolida, sofre grande expansão,

crescem as publicações voltadas para um público jovem. Segundo Aranha (1996), esse fator

pode estar relacionado com o grande aumento do número de instituições de ensino, alcançado

pelas escolas primárias e secundárias a partir de 1930. Começa-se a ter uma atenção especial

na fabricação de materiais voltados a sala aula, os livros didáticos. A partir de então, os livros

didáticos foram produzidos em grande escala, e com os mais variados tipos e autores.

Abrimos um parênteses para definirmos o que seria o livro didático e tentar caracteri-

zar as suas especificidades. Esse material é dirigido exclusivamente para a sala de aula, para

que professores trabalhem com seus alunos. Eles são organizados por conteúdos de forma

sequencial, indicando a forma como o professor deve planejar as suas aulas. Tudo isso se-

guindo uma determinada concepção do que seria aprendizagem, levando em conta as diversas

30

maneiras de como o ensino deve acontecer. Esse é um ponto-chave para entendermos, então,

como esses livros trazem diferentes estruturas para se trabalhar os mesmos conteúdos, cada

livro traz a sua maneira de estruturação do texto didático. Essa diversidade pode ser negativa,

no sentido de proporcionar materiais de qualidade inferior. Molina (1987, p.20) alerta que “a

atração exercida por um tal mercado pode levar à produção, por vezes, de livros destinados

antes a gerar lucros imediatos, em lugar de serem frutos de uma preocupação maior com os

objetivos primeiros da obra didática.”

Isso se torna preocupante, à medida que algumas editoras podem estar visando apenas

o lucro e não a importância do livro didático como material de apoio para os professores e de

fonte de pesquisa para os estudantes. A importância do livro didático tem um maior peso

principalmente em países como o Brasil, cuja distribuição em escala nacional, junto ao Minis-

tério da Educação-MEC, se torna uma referência para muitas escolas que não disponibilizam

outro recurso que não seja o livro.

Na discussão, cabe uma diferenciação substancial, indo ao encontro de Molina (1987),

que faz importantes considerações sobre as finalidades do livro didático.

Todo livro, em princípio, presta-se a ser utilizado para fins didáticos, isto é, em situ-

ação deliberadamente estruturada com objetivo de ensinar algo a alguém. Isso não

significa, entretanto, que qualquer livro utilizado para fins didáticos possa ser consi-

derado um livro didático. [...] Um livro didático é, em geral, inconfundível, o que

não significa, por outro lado, que deva ser imutável. (MOLINA 1987, p. 17).

A importância do livro didático se dá no cenário da educação brasileira, porque, em

muitas escolas, este material se constitui na única fonte de acesso à leitura do estudante, a

única fonte de pesquisa, que o aluno tem à sua disposição.

De acordo com Lajolo (1996), “didático, então, é o livro que vai ser utilizado em aulas

e cursos, que provavelmente foi escrito, editado, vendido e comprado, tendo em vista essa

utilização escolar e sistemática” (p.4).

Assim, para ser considerado didático, um livro precisa ser usado, de forma sistemá-

tica, no ensino-aprendizagem de um determinado objeto do conhecimento humano,

geralmente já consolidado como disciplina escolar. Além disso, o livro didático ca-

racteriza-se ainda por ser passível de uso na situação específica da escola, isto é, de

aprendizado coletivo e orientado por um professor. (LAJOLO, 1996, p.4).

De acordo com Molina (1987), numa definição mais ampla, podemos chamar de didá-

ticos todos os livros que motivam a aprendizagem escolar, que apoiam a independência do

aluno, o ajudando na construção do seu conhecimento.

31

O livro didático deve ser visto como uma rica fonte de pesquisa, trazendo consigo,

uma bagagem histórica, social e política. É uma representação da sociedade e de seus confli-

tos, repleto de ideologias e saberes estruturados.

Valente (2007), em suas pesquisas sobre a história da Matemática escolar no Brasil,

consolida essa importância dizendo que os livros didáticos podem ser vistos “como um lugar

privilegiado da matemática escolar” (p.20).

É comum que o livro didático sofra avaliações contraditórias, há quem o considere um

instrumento precário, outros que o tomam de forma positiva, como uma ferramenta importan-

te a ser utilizada em sala de aula.

Defensores e críticos, políticos e cientistas, professores e alunos são, no momento,

unânimes em relação ao livro didático: ele deixa muito a desejar, mas é indispensá-

vel em sala de aula. [...] sem ele será incontestavelmente pior. Tudo se calca no livro

didático. (FREITAG; MOTTA; COSTA, 1989, p.128).

De acordo com Bittencourt (2012), o livro vem despertando interesse dos pesquisado-

res por ser considerado como um objeto de “múltiplas facetas”, com uma natureza altamente

complexa. Os livros nos mostram o caminho percorrido por um saber escolar.

Em meio a variados complicadores, não podemos nos esquecer que, antes de mais na-

da, o livro didático é um produto de mercado, criado para ser comercializado e, nesse sentido,

ele atende a uma determinada demanda comercial, pois ele

[...] é, antes de tudo, uma mercadoria, um produto do mundo da edição que obedece

à evolução das técnicas de fabricação e comercialização pertencentes a lógica do

mercado. Como mercadoria ele sobre interferências variadas em seu processo de fa-

bricação e comercialização. (BITTENCOURT, 2012, p.71).

Bittencourt defende que,

O livro didático é também um depositório dos conteúdos escolares, suporte básico e

sistematizador privilegiado dos conteúdos elencados pelas propostas curriculares; é

por seu intermédio que são passados os conhecimentos e técnicas considerados fun-

damentais de uma sociedade em determinada época. (BITTENCOURT, 2012, p.72).

Entretanto, nos livros didáticos nem sempre são depositados todos os conteúdos esco-

lares, oriundos de propostas curriculares que, de alguma forma, tentam atender os anseios das

questões educacionais das épocas nos quais estão inseridos. Os autores podem incluir ou su-

primir determinados tópicos.

Independentemente de qualquer opinião, os livros didáticos são importantes, na medi-

da em que, de acordo com Bittencourt (2012), eles são os responsáveis por passar os conhe-

cimentos e suas técnicas, com base nas propostas curriculares vigentes da época. “Assim, os

32

manuais escolares apresentam não apenas os conteúdos das disciplinas, mas como esse conte-

údo deve ser ensinado.” (p.72). É necessário ter em mente que:

[...] para entender o papel que o livro didático desempenha na vida escolar, não basta

analisar a ideologia e as defasagens dos conteúdos em relação a produção acadêmica

ou descobrir se o material é fiel ou não as propostas curriculares. Para entender um

livro didático é preciso analisá-lo em todos os seus aspectos e contradições.

(BITTENCOURT, 2012, p.73).

Percebemos a complexidade e a bagagem ideológica que o livro carrega consigo. Para

Bittencourt (2012), ele tem sido, desde o século XIX, o principal instrumento de trabalho dos

professores em sala de aula, procurando tratar os conteúdos de maneira a expressar os pro-

gramas oficiais, articulando com métodos que possibilitem o professor a transmitir esses sabe-

res.

2.2 A estrutura da análise

Partindo de nosso referencial teórico-metodológico, iniciaremos a análise dos livros

didáticos, baseando-nos na proposta de Bardin (2011), abordando a importância do processo

de classificação por categorias nesse tipo de investigação. “A maioria dos procedimentos de

análise organiza-se, no entanto, em redor de um processo de categorização” (BARDIN, 2011,

p.147). Esse processo distribui os elementos e os agrupa seguindo critérios previamente defi-

nidos.

Os elementos examinados em cada livro foram:

definição;

introdução do conteúdo de Sistemas de Equações Lineares do Primeiro Grau

(como o autor inicia o tópico: com definições, exemplos com exercícios ou

com problemas que envolvem uma situação real, se existe alguma abordagem

histórica);

métodos de resolução utilizados nos exemplos e em problemas e exercícios

propostos (algébrico/geométrico);

exercícios/problemas (problemas ligados ao cotidiano estimulando o aluno a

discutir sobre o assunto ou com uma finalidade essencialmente matemática

com o intuito de buscar os conhecimentos prévios do aluno; ou exercícios com

o intuito de memorização dos procedimentos de resolução);

abordagem histórica;

ilustrações.

33

Temos critérios estabelecidos com o intuito de observar as características presentes em

cada livro didático, para os itens introdução do conteúdo, métodos de resolução e exercí-

cios/problemas. É imprescindível estarmos atentos a estes pontos, para que possamos elencar

as possíveis mudanças ocorridas nos materiais nos períodos avaliados.

Cabe fazer algumas distinções com relação a determinados termos que serão utiliza-

dos. O termo definição, segundo Pându (1981) significa “ato de definir / descrição concisa de

uma coisa através de suas propriedades” (p.228). Nesse caso, a definição se opõe a ideia de

conceito, pelo seu rigor mais acentuado, e o que buscaremos nos livros didáticos são justa-

mente esses rigores ao definir os termos relacionados com o assunto de Sistema de Equações

Lineares.

Referendando a nossa pesquisa, traremos outra discussão, que é justamente sobre a

questão da distinção entre problemas e exercícios e, para substanciar essa diferenciação, con-

cordamos com Onuchic e Allevato (2005), ao afirmarem que um problema exige um pensa-

mento do estudante no sentido de solucioná-lo. As autoras vão além e defendem ser de suma

importância que esse indivíduo esteja interessado em resolver os problemas, ou seja, o estu-

dante tem que estar motivado. Em contrapartida a esse estímulo, podemos nos deparar com os

exercícios, que são aqueles resolvidos de forma mecânica, sem trazer nenhum tipo de signifi-

cado para o aluno. Confirmando o que acabamos de dizer, Romanatto (2012) trata que, os

exercícios demandam aplicação de fórmulas e aplicação de algoritmos. De qualquer forma, a

preocupação com exercícios e mais precisamente problemas, já vem de muito tempo, desde a

antiguidade. De acordo com Onuchic (1999), temos registros de problemas matemáticos en-

contrados na história antiga pelos povos egípcios, chineses e gregos. Ainda, segundo a autora,

os livros textos do século XIX e XX também demonstravam essa preocupação.

Resumindo, problema é “tudo aquilo que não se sabe fazer, mas que se está interessa-

do em resolver” (ONUCHIC, 1999, p.215). Vale ressaltar também, que, de acordo com a au-

tora, a preocupação com a resolução de problemas será evidenciada no Brasil, principalmente,

na década de 1990.

Ao mencionarmos essa discussão sobre problemas/exercícios, percebemos o quão im-

portante é, para os discentes, resolverem atividades que realmente os desafiem. Para essa aná-

lise, vamos ao encontro de Chervel (1990) quando ele diz que os exercícios são essenciais

para o triunfo na aprendizagem do conteúdo. “O sucesso das disciplinas depende fundamen-

talmente da qualidade dos exercícios aos quais elas podem se prestar” (CHERVEL, 1990,

p.204). O autor observa que, se os conteúdos são a mola mestre das disciplinas, os exercícios

são quase que indispensáveis.

34

[...] há de se convir de bom grado que copiar o curso através do ditado não é, em si,

o mais estimulante dos exercícios. Ao contrário, a redação ou composição, a análise

gramatical, a tradução do latim, o problema de aritmética, colocam em jogo a inven-

tividade, a criatividade, a espontaneidade, ou o espírito de rigor nas deduções ou na

aplicação das regras. (CHERVEL, 1990, p. 204).

Os exercícios realizados na escola devem ir muito mais além do que uma simples re-

petição mecanizada de um algoritmo, devem proporcionar ao aluno uma efetiva aprendizagem

e devem apresentar um caráter criativo para estimular os estudos. Para termos a dimensão da

importância dos exercícios, Chervel se refere aos mesmos, como sendo o núcleo da disciplina.

Conteúdos explícitos e baterias de exercícios constituem então o núcleo da discipli-

na [...] Nada se passaria em aula se o aluno não demonstrasse um gosto, uma ten-

dência, disposições para os conteúdos e os exercícios que se lhe propõe. As práticas

da motivação e da incitação ao estudo são uma constante na história dos ensinos.

(CHERVEL, 1990, p. 205).

Como a Resolução de Problemas é uma metodologia que, no Brasil, tem uma maior

divulgação na década de 1990, muito posterior à data de edição dos livros que analisamos,

neste estudo, estaremos utilizando o termo problema quando existe um enunciado para o es-

tudante equacionar e montar os sistemas e exercício, quando os sistemas já são apresentados,

bastando o aluno utilizar um dos métodos de resolução.

No que tange às definições, abordagem histórica e ilustrações, faremos uma análise

global. Para as categorias de análise introdução do conteúdo, método de resolução e proble-

mas/exercícios, foram estabelecidos critérios associados a cada item, como exemplificados

anteriormente. Desta forma, diante dos nossos referenciais teóricos e metodológicos, basean-

do-se nesses princípios, realizamos nossas análises nos livros selecionados.

Na análise, tomamos como pontos fundamentais aspectos do Ensino Intuitivo, do mo-

vimento da Escola Nova, prescrições contidas nas reformas Francisco Campos e Gustavo Ca-

panema e elementos característicos da Matemática Moderna. Procuramos verificar se alguma

caracterização estava presente nos livros, dentro do tópico analisado.

Outro aspecto a ser destacado se refere aos paratextos encontrados nos livros.

A obra literária consiste, exaustiva ou essencialmente, num texto, isto é (definição

mínima), numa sequência mais ou menos longa de enunciados verbais mais ou me-

nos cheios de significação. Contudo, esse texto raramente se apresenta em estado nu,

sem o reforço e o acompanhamento de certo número de produções, verbais ou não,

como um nome de autor, um título, um prefácio, ilustrações, que nunca sabemos se

devemos ou não considerar parte dele, mas que em todo o caso o cercam e o prolon-

gam, exatamente para apresentá-lo, no sentido habitual do verbo, mas também em

35

seu sentido mais forte: para torná-lo presente, para garantir sua presença no mundo,

sua “recepção” e seu consumo, sob a forma, pelo menos hoje, de um livro. Esse

acompanhamento, de extensão e conduta variáveis, constituiu o que em outro lugar

batizei de paratexto da obra [...] Assim, para nós o paratexto é aquilo por meio de

que um texto se torna livro e se propõe como tal a seus leitores, e de maneira mais

geral ao público (GENETTE, 2009, p. 9).

[...]

Definir um elemento de paratexto consiste em determinar seu lugar (pergunta on-

de?), sua data de aparecimento e às vezes de desaparecimento (quando?), seu modo

de existência, verbal ou outro (como?), as características de sua instância de comu-

nicação, destinador e destinatário (de quem? a quem?) e as funções que animam sua

mensagem: para fazer o quê? (GENETTE, 2009, p. 12, grifos do autor).

Em nossas análises, apontamos alguns elementos paratextuais: dados contidos na capa,

contracapa, folha de rosto, prefácio do livro, cartas ou recomendações da obra, que agregam

informações. Neste sentido, comparecem informações tais como dados biográficos do autor,

edição, tiragem, destinação, aprovação por uma personalidade, escola ou pelo governo, refe-

rências à legislação.

36

3. ASPECTOS DA LEGISLAÇÃO E PROPOSTAS

EDUCACIONAIS DA DÉCADA DE 30 À DÉCADA DE

70 DO SÉCULO XX NO BRASIL

Faremos um relato histórico sobre todas as tendências ou reformas educacionais que

aconteceram no Brasil, a partir de 1889, quando o país se tornou República. Ao iniciarmos

com a análise da 15ª edição da Algebra Elementar, de Antonio Trajano, publicada em 1932,

percebemos que seria importante trazer elementos da história da educação brasileira retroce-

dendo ao final do século XIX, pois, apesar de não termos a data correta da primeira edição,

inferimos que a mesma foi publicada em fins do Oitocentos ou início do Novecentos.1 Ao

analisarmos a mesma obra de Trajano, em sua 5ª edição, datada de 1905, não observamos

nenhum tipo de mudança referente ao tópico sistemas de equações lineares. Fato esse que,

legitima nossa digressão histórica, pois o autor escreve outras de suas obras se pautando no

ensino intuitivo (ZUIN, 2011). Além do Método de Ensino Intuitivo, trataremos de uma nova

tendência pedagógica, a Escola Nova. Também fará parte do nosso trabalho, um breve estudo

sobre as reformas Francisco Campos, Capanema e o MMM, presentes no século XX. Todas

essas tendências pedagógicas, assim como as reformas educacionais, se fazem importantes

por ocasionarem mudanças na educação, tanto de caráter pedagógico, quanto em seu contexto

legislacional.

3.1 Método Intuitivo

De acordo com Stephanou e Bastos (2005), o descontentamento popular com o siste-

ma de ensino era muito grande no final do século XIX e início do século XX. Os estudantes

tinham dificuldades com a escrita, com a leitura e com os cálculos primários. Um novo méto-

do de ensino, denominado intuitivo, também chamado de lições de coisas, surge com a pro-

posta de valorização da intuição, ou seja, o conhecimento decorria dos sentidos e da observa-

ção (SOUZA, 1998).

Schelbauer (2003) fundamenta que, o ensino intuitivo foi considerado como uma im-

portante inovação pedagógica para as escolas nessa fase final do século XIX, e que, num mo-

mento conturbado da escolarização inicial no país, via-se nesse método uma base para a orga-

1 Em geral, os livros publicados no século XVIII e primeiras décadas do século XIX não traziam a data de suas

edições.

37

nização do sistema de ensino. Valente (2012) aponta que esse método surgiu na Alemanha, no

final do século XVIII, decorrente da influência da Pedagogia de Henri Pestalozzi, um de seus

proclamadores. A adesão ao método intuitivo ocorreu em escolas da Europa e Estados Uni-

dos, chegando ao Brasil por meio dos professores adeptos a novidades educacionais estrangei-

ras, difundindo-se inicialmente em algumas escolas particulares nas principais cidades brasi-

leiras (REMER; STENTZLER, 2009).

Valdemarin (1998) indica que esse método surge com o propósito de reverter o quadro

educacional vigente, um quadro de valorização a repetição e memorização sem a efetiva

aprendizagem. Essa mesma autora destaca que, para orientar os professores da época, foram

produzidos materiais didáticos adequados a essa nova concepção de ensino, numa linguagem

adequada ao estudante, com o objetivo de facilitar o entendimento e que, gravuras, cores e

formas eram fundamentais nesse processo. Entendemos que, com esse método, os procedi-

mentos didáticos são diferenciados, na forma e disposição do conteúdo, ou seja, na sua orga-

nização, e também, na maneira como os exercícios são propostos. De acordo com Valdemarin

(2000), esse método vem para substituir o caráter abstrato e pouco utilitário da instrução; fun-

damentando, ainda, que o ensino intuitivo inicia-se nas operações dos sentidos sobre o mundo

exterior, sendo produzidas sensações e percepções sobre determinados fatos e objetos.

Consoantes a essa concepção epistemológica, as atividades de ensino devem ser ini-

ciadas com as operações dos sentidos, principais instrumentos da aprendizagem, ob-

servando-se fatos e objetos que produzirão idéias, reflexão e sua expressão em pala-

vras. Devido ao uso dos objetos, à observação e ao resultado projetado, este método

é considerado por seus propositores como sendo concreto, racional e ativo.

(VALDEMARIN, 2000, p.77).

Percebemos que, para o ensino intuitivo, deve-se partir do compreensível, do que é

mais fácil, para que depois se chegue aos aspectos mais complexos. Os sentidos são um recur-

so importantíssimo nesse processo, sendo a base de sustentação para a aprendizagem.

Nessa proposição, o processo de ensino deve desenvolver-se do simples para o com-

plexo, do que se sabe para o que se ignora, dos fatos para as causas, das coisas para

os nomes, das idéias para as palavras, dos princípios para as regras, ou seja, do que

pode ser observado para a abstração. Assim sendo, observar é progredir das percep-

ções dos sentidos para a idéia, do concreto para o abstrato, dos sentidos para a inte-

ligência, dos dados para o julgamento, por meio de atividades concretas que são, ao

mesmo tempo, expressão do pensamento e da experiência. Dada a proposição de que

os sentidos são os instrumentos determinantes para a aquisição do conhecimento, os

objetos a serem utilizados no ensino, isto é, postos para serem observados, assumem

papel fundamental, pois são a garantia de que o conhecimento não seja meramente

transmitido, mas gerado com base no contato com o objeto. (VALDEMARIN, 2000,

p.77).

38

A promoção da adoção do método intuitivo no Brasil ocorreu, tendo Rui Barbosa co-

mo um dos seus principais divulgadores. Zuin (2016a) sublinha que,

Rui Barbosa já trouxera as Lições de Coisas, de Norman Calkins, em sua primorosa

tradução; seus pareceres deixavam explícitas as suas concepções sobre educação, e o

ensino intuitivo ganhava adeptos se fazendo presente em diversas escolas. Para que

as reformas da instrução pública se fizessem cumprir, eram destacados princípios

para essa escola diferente, na qual os mestres e mestras deveriam ter outro papel,

privilegiando nos infantes o cultivo da observação, a intuição, o exercício reflexivo

dos sentidos; partindo dos objetos concretos e dos elementos da natureza, se ascen-

deria à abstração. A criança teria uma outra relação com o conhecimento. Os repu-

blicanos tinham a escola como uma das diretrizes para a efetivação de suas princi-

pais aspirações. Era primordial a formação de um novo cidadão, imerso na nova

forma de organização política, completamente distinto do munícipe dos tempos do

Império. Escola e República, andando de mãos dadas, rumo ao futuro do país: esta

era a meta. (ZUIN, 2016a, p.2).

Faria Filho e Vidal (2000) apontam o cenário da adoção do ensino intuitivo no Brasil,

salientando também, a necessidade de criação de grupos escolares como uma característica

marcante desse período.

[...] foram demonstrando a necessidade de que se construíssem espaços próprios pa-

ra a escola, como condição mesma de realização de sua função social específica. As-

sim, os defensores do método intuitivo, da mesma maneira que os do método mútuo

no início do século XIX, argumentavam a necessidade de o espaço da sala de aula

permitir que as diversas classes pudessem realizar as lições de coisas. Somava-se a

isso, que a escola foi, sobretudo ao final do século XIX, sendo invadida por todo um

arsenal inovador de materiais didático-pedagógicos (globos, cartazes, coleções, car-

teiras, cadernos, livros...) para os quais não era possível mais ficar adaptando os es-

paços, sob pena de não colher, desses materiais, os reais benefícios que podiam tra-

zer para a instrução. (FARIA FILHO; VIDAL, 2000, p.6).

As questões inerentes à forma de se trabalhar o método intuitivo no Brasil, estendem-

se até por volta de 1930 e, paralelamente junto a essa situação, aparecem novos ideários com

a Escola Nova. Saviani (2011) nos diz que os ideais escolanovistas já se iniciavam em nosso

país, no final do século XIX e início do século XX, em oposição ao tradicional método jesuí-

tico.

3.2 Escola Nova

Na década de 1920, em uma conjuntura de grandes oscilações políticas, econômicas e

sociais, realizaram-se em vários estados brasileiros reformas no sistema educacional, tanto na

educação primária quanto na formação de professores. Surge, então, um movimento acompa-

39

nhando as discussões internacionais sobre a educação, a Escola Nova, vindo para idealizar

propostas educacionais profícuas, para tentar solucionar as necessidades desse período.

Reformas educacionais ocorrerão com vistas à modernização, à introdução no país

do escolanovismo. Trata-se de tomar a educação como acelerador do processo de

modernização, na passagem da civilização agrário-comercial para o modo urbano-

industrial de viver. Modernizar seria, então, romper com as estruturas oligárquicas

agrárias, responsáveis pela manutenção do analfabetismo e a ignorância, e que não

construíram um verdadeiro sistema escolar. (VALENTE, 2005, p.5-6).

O mesmo autor discorre sobre o processo de modernização que deveria que ser acom-

panhado também da mudança dos programas curriculares, de maneira, a tentar derrubar o tra-

dicionalismo dos programas de ensino, sobretudo dos livros didáticos. A preocupação com a

matemática escolar era crescente e novas trajetórias deveriam ser traçadas.

A preocupação crescente com a didática das matemáticas irá evidenciar outro deter-

minante na mudança de rumo da trajetória da matemática escolar: a lógica do

aprendizado na disposição dos conteúdos a serem ensinados. E chegado a momento

do escolanovismo. (VALENTE, 2007, p.201, grifo do autor).

A Escola Nova surgiu, no Brasil, com a necessidade de modificar a educação primária,

com o objetivo de expansão e desvinculação do ensino tradicional. Saviani (2006) relata que o

fascínio por esse método era grande, pois seus procedimentos, centrados na atividade do alu-

no, eram bem conceituados. Ainda, de acordo com Saviani (2006), através do Manifesto dos

Pioneiros da Educação Nova, publicado em 1932, configurou-se um dos mais representativos

movimentos nacionais para a fundação do sistema de educação pública. Conforme Azevedo

(1976), as concepções escolanovistas estavam voltadas para uma renovação da mentalidade

por parte dos educadores num sentido de melhoramento de suas práticas pedagógicas. Com a

publicação do “Manifesto dos Pioneiros da Escola Nova”, se nortearam princípios educacio-

nais de forma sistematizada, apoiados em teorias educacionais modernizadoras. Azevedo

(1976) informa que, esse manifesto consagrou-se como um marco da proposta de renovação

educacional do país. Zuin (2016b) explica que esse manifesto preconizava uma organização

por parte do Estado, de uma escola pública, laica e gratuita e que os princípios da Escola No-

va se pautavam na liberdade, criatividade e na valorização da experiência pessoal do educan-

dos. Além do mais, a mesma autora menciona que, do ensino intuitivo para a Escola Nova, o

estudante passa do papel de observador para o papel de experimentador.

Com uma perspectiva semelhante em relação à escola pública, na proposta do escola-

novismo:

40

A escola pública, universal e gratuita ficaria com sua grande bandeira. A educação

deveria ser proporcionada para todos, e todos deveriam receber o mesmo tipo de

educação. Ela criaria, assim, uma igualdade básica de oportunidades, a partir da qual

floresceriam as diferenças baseadas nas qualidades pessoais de cada um. Caberia ao

setor público, e não a grupos particulares, realizar esta tarefa; pela sua complexidade

e tamanho, como também pelo fato de que não seria o caso de entregá-la ao faccio-

sismo de setores privados. Este ensino seria, naturalmente, leigo. Sua grande função

era, em última análise, formar o cidadão livre e consciente que pudesse incorporar-

se, sem a tutela de corporações de ofícios ou organizações sectárias de qualquer tipo,

ao grande Estado Nacional em que o Brasil estava se formando (SCHWARTZMAN;

BOMENY; COSTA, 2000, p.52).

O movimento da Escola Nova propunha, em um dos seus princípios pedagógicos, uma

aproximação com processos educacionais criativos, na tentativa de se afastar de uma trans-

missão autoritária e repetitiva (SCHWARTZMAN; BOMENY; COSTA, 2000).

Zuin (2016a, 2016b) traz alguns princípios do escolanovismo para o ensino e aprendi-

zagem, de uma forma geral, e para o ensino de conteúdos matemáticos, de uma forma particu-

lar; baseando-se em alguns autores, evidencia que os escolanovistas condenam a memoriza-

ção e repetição mecânica. A autora destaca a utilização de material concreto, dos jogos; análi-

se e resolução de problemas, com enunciados relacionados ao cotidiano, sem situações absur-

das ou inverossímeis. Sublinha a importância de despertar o interesse dos estudantes, os pro-

blemas devem conter informações dentro de um contexto social, econômico ou cívico – a con-

textualização é fundamental. Aponta, também, a necessidade de que os conteúdos sejam apre-

sentados de forma clara e objetiva, respeitando-se a faixa etária dos alunos.

3.3 A Reforma Francisco Campos

Inicialmente, destacamos um personagem importante, no Brasil, um grande simpati-

zante das ideias modernizadoras, o professor catedrático de Matemática do Colégio Pedro II,

Euclides Roxo2, com ideias determinantes para a elaboração da Reforma Campos, iniciando

com uma alteração nos programas de ensino da instituição, aprovada por sua congregação em

1928.

2 “Euclides de Medeiros Guimarães Roxo nasce circunstancialmente em Aracaju, Sergipe, em 10 de dezembro de

1890, pois seu pai, engenheiro, viaja muito e realizava obras por todo o país. Em 1904, Euclides Roxo ingressa

no Colégio Pedro II. A partir de 1915, Roxo torna-se professor substituto de Aritmética do mesmo Colégio.

Roxo forma-se pela Escola Politécnica do Rio de Janeiro em 1916 e, três anos mais tarde, assume a cátedra de

Matemática do Pedro II, substituindo Eugênio de Barros Raja Gabaglia, morto no mesmo ano”. (VALENTE,

2005, p. 89-90).

41

Roxo, já se contrapunha aos princípios obsoletos de como era ensinada a Matemática,

pregando uma mudança substancial na forma de instrução, com menos rigor, na tentativa de

facilitar a compreensão do aluno.

[...] em 1925, Roxo é nomeado Diretor do Externato do Colégio Pedro II. Em 1927,

encaminha à Congregação do estabelecimento modelo para o secundário no país,

uma proposta de renovação do ensino das Matemáticas, a partir da criação da disci-

plina Matemática, que deveria ser o resultado da fusão dos ramos aritmética, álgebra

e geometria, até então ensinados separadamente. (VALENTE, 2005, p. 90).

Euclides Roxo se coloca como um personagem importante para as reformas no ensino

de matemática no Brasil.

Roxo pode ser considerado o protagonista do primeiro movimento modernizador do

ensino de matemática no Brasil. Ciente da reforma no ensino de matemática na

Alemanha, liderada por Felix Klein (1849-1925), ele levou, para a Congregação do

Colégio, a proposta alemã. Esta se orientava por realizar o ensino da Aritmética, Ál-

gebra e Geometria – disciplinas distintas e trabalhadas separadamente – em uma

única disciplina, a Matemática. Através do Decreto n. 18564, de 15 de janeiro de

1929, a reforma foi implementada no Colégio Pedro II. Sua proposta também se

pautava em um ensino nos moldes do escolanovismo, mais intuitivo. (ZUIN, 2016c,

p. 96).

Francisco Luís da Silva Campos, então, ministro da Educação e Saúde, convida Eucli-

des Roxo para atuar na tão pretendida reforma do ensino no país. Conforme Valente (2004),

“o fato de Euclides Roxo ser Diretor do Colégio Pedro II garantia-lhe grande peso em qual-

quer reforma. Sua posição lhe conferiu a presidência das comissões que discutiram a reforma

de Matemática”. (p.121).

Em 1931, ocorre a Reforma Francisco Campos, por meio do Decreto nº 19.890, de 18

de abril de 1931, que pretendia organizar todo o ensino secundário. Para o ensino das Mate-

máticas, a proposta foi de que fossem integradas a Aritmética, Álgebra e Geometria, que eram

cadeiras distintas, congregando-as em uma única disciplina – denominada Matemática.

De acordo com Soares, Dassie e Rocha (2004), “a Reforma Francisco Campos foi uma

das mais importantes tentativas de se organizar o sistema educacional brasileiro. Ocorrida

logo após a Revolução de 1930, foi fortemente influenciada pelas lutas e discussões travadas

durante toda a década de 20.” (p.8).

Em se tratando da organização do ensino secundário temos,

Art. 1º O ensino secundário oficialmente reconhecido, será ministrado no Colégio

Pedro II e em estabelecimentos sob regime de inspeção oficial.

Art. 2º O ensino secundário compreenderá dois cursos seriados: fundamental e com-

plementar.

Art. 3º Constituirão o curso fundamental as matérias abaixo indicadas, distribuídas

em cinco anos, de acordo com a seguinte seriação:

42

1ª série: Português - Francês - História da civilização - Geografia - Matemática - Ci-

ências físicas e naturais - Desenho - Música (canto orfeônico).

2ª série: Português - Francês - Inglês - História da civilização - Geografia - Matemá-

tica - Ciências físicas e naturais - Desenho - Música (canto orfeônico).

3ª série: Português - Francês - Inglês - História da civilização - Geografia - Matemá-

tica - Física - Química - História natural - Desenho - Música (canto orfeônico).

4ª série: Português - Francês - Inglês - Latim - Alemão (facultativo) - História da ci-

vilização - Geografia - Matemática - Física - Química - História Natural - Desenho.

5ª série: Português - Latim - Alemão (facultativo) - História da civilização - Geogra-

fia - Matemática - Física - Química - História natural - Desenho.

Art. 4º O curso complementar, obrigatório para os candidatos à matrícula em deter-

minados institutos de ensino superior, será feito em dois anos de estudo intensivo,

com exercícios e trabalhos práticos individuais, e compreenderá as seguintes maté-

rias: Alemão ou Inglês. Latim, Literatura, Geografia, Geofísica o Cosmografia, His-

tória da Civilização, Matemática, Física, Química, História natural, Biologia geral,

Higiene, Psicologia e Lógica, Sociologia, Noções de Economia e Estatística, Histó-

ria da Filosofia e Desenho. (BRASIL, 1931).

Vemos que essa reforma assegurou a educação secundária em sete anos, cinco dos

quais estavam vinculados o ensino fundamental e dois para o ensino complementar. Nessa

divisão entre fundamental (cinco séries) e complementar (dois anos), a Matemática é uma

matéria presente em todas as séries do curso fundamental. Já, no curso complementar, se faz

presente nos cursos de medicina, farmácia e odontologia, assim como nos cursos de engenha-

ria e arquitetura, só não sendo estudado no curso jurídico. Soares, Dassie e Rocha (2004) tra-

zem que “o principal objetivo era o de ampliar a finalidade do curso secundário, que deveria

deixar de ser apenas um curso propedêutico para ingresso nas faculdades, para possuir uma

finalidade própria” (p.8).

Além da publicação no Diário Oficial da União dos Programas do Curso Fundamen-

tal do Ensino Secundário, temos as Instruções Metodológicas, sancionados em 30 de junho de

1931, dentro da Reforma Francisco Campos. Prescrevia-se que o ensino de Matemática teria o

fim de “desenvolver a cultura espiritual do aluno pelo conhecimento dos processos matemáti-

cos, habituando-o, ao mesmo tempo à conclusão e ao rigor do raciocínio pela exposição clara

do pensamento em linguagem precisa”. (BRASIL, 1931).

Nas instruções metodológicas, entre outros aspectos, a recomendação era no sentido

de que:

Nas séries inferiores, ás exigencias da pedagogia, de preferencia aos princípios pu-

ramente lógicos. Ter-se-á sempre em vista, em cada fase do ensino, o grau de desen-

volvimento mental do aluno e os interesses para os quais tem maior inclinação.

(BRASIL, 1931, p.12412).

Também se destacava:

A necessidade de se renunciar completamente á pratica da memorização sem racio-

cínio, ao enunciado abusivo de definições e regras e ao estudo sistemático das de-

43

monstrações já feitas. Ao envés disso, deve a matéria ser levada ao conhecimento do

aluno por meio da resolução de problemas e de questionário intimamente coordena-

dos. Assim, os problemas não se devem limitar a exercícios dos assuntos ensinados,

mas cumpre sejam propostos como processo de orientar a pesquisa de teoremas e de

desenvolver a presteza na conclusão logica.

[...]

A Matemática será sempre considerada como um conjunto harmonico, cujas partes

estão em viva e intima correlação. A acentuação clara dos três pontos de vista –

aritmetico, algebrico e geometrico – não deve, por isso, estabelecer barreiras in-

transponíveis, que impeçam o estudante de perceber as conexões entre aquelas dis-

ciplinas. (BRASIL, 1931, p.12413).

Outro ponto importante, citado no decreto era que:

Para dar unidade á matéria, estabelecendo-se essa estreita correlação entre as diver-

sas modalidades do pensamento matemático, será adotada como idéa central do en-

sino, a noção de função, apresentada, a principio, intuitivamente e desenvolvida, nas

séries sucessivas do curso, de modo gradativo, tanto sob a forma geométrica como

sob a analitica. (BRASIL, 1931, p. 12413).

Constatamos que, para a segunda série, eram prescritos, além de outros conteúdos: os

sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas, problemas relativos a este tópico, re-

presentação gráfica da função linear de uma variável e resolução gráfica de um sistema de

duas equações com duas incógnitas. Podemos verificar que, relativamente aos sistemas linea-

res, fazia-se uma correlação entre a álgebra e a geometria. Verifica-se que, tanto nas instru-

ções metodológicas, quanto nos programas, havia forte direcionamento para a junção da

Aritmética, Álgebra e Geometria.

3.4 A Reforma Gustavo Capanema

A Reforma Gustavo Capanema tem esse nome devido a Gustavo Capanema Filho3,

que foi ministro da Educação e Saúde Pública, no governo de Getúlio Vargas. De acordo com

Schwartzman, Bomeny e Costa (2000), desde o início de 1940, Capanema se dedicou, especi-

almente, ao ensino secundário, com publicações de vários decretos-lei. Essa reforma aconte-

ceu durante o período caracterizado como Estado Novo, entre os anos de 1937 a 1945. Surgiu

um conjunto de decretos, deliberando portarias para a estruturação do ensino comercial, in-

dustrial e secundário. Destacaremos alguns artigos de um dos decretos, que modifica o ensino

secundário, o decreto-lei Nº. 4.244, de 9 de abril de 1942, o qual sistematiza o ensino secun-

3Gustavo Capanema Filho, empossado em 26 de Julho de 1934, exercendo o cargo até 1945.

44

dário em dois ciclos: o primeiro, o ginasial, com quatro anos, e, o segundo, com dois cursos

paralelos, o curso clássico e o científico, com duração de três anos:

Art. 3º O curso ginasial, que terá a duração de quatro anos, destinar-se-á a dar aos

adolescentes os elementos fundamentais do ensino secundário.

Art. 4º O curso clássico e o curso científico, cada qual com a duração de três anos,

terão por objetivo consolidar a educação ministrada no curso ginasial e bem assim

desenvolvê-la e aprofundá-la. No curso clássico, concorrerá para a formação intelec-

tual, além de um maior conhecimento de filosofia, um acentuado estudo das letras

antigas; no curso científico, essa formação será marcada por um estudo maior de ci-

ências. (BRASIL, 1942).

Percebemos que o ensino ginasial viria com o intuito de propiciar ao adolescente ape-

nas a base necessária dos conhecimentos, deixando para os cursos clássico e científico, a con-

solidação e aprimoramento dos saberes:

Art. 17. As disciplinas comuns aos cursos clássico e científico serão ensinadas de

acordo com um mesmo programa, salvo a matemática, a física, a química e a biolo-

gia, cujos programas terão maior amplitude no curso científico do que no curso clás-

sico, e a filosofia, que terá neste mais amplo programa do que naquele.

Art. 18. Os programas das disciplinas serão simples, claros e flexíveis, devendo in-

dicar, para cada uma delas, o sumário da matéria e as diretrizes essenciais.

(BRASIL, 1942, grifo nosso).

Caberia, ao ginasial, nessa nova disposição, ver a disciplina de Matemática de uma

forma mais elementar, procurando não se inserir estudos mais complexos, deixando esse apro-

fundamento para o curso científico.

O decreto, também apresenta algumas finalidades, tratando da importância de se for-

mar a personalidade do adolescente no sentido de adaptá-lo para às exigências frente à socie-

dade:

. Art. 1º O ensino secundário tem as seguintes finalidades:

1.Formar, em prosseguimento da obra educativa do ensino primário, a personalidade

integral dos adolescentes.

2. Acentuar a elevar, na formação espiritual dos adolescentes, a consciência patrióti-

ca e a consciência humanística.

3. Dar preparação intelectual geral que possa servir de base a estudos mais elevados

de formação especial. (BRASIL, 1942).

Outro ponto observado foi que o ensino secundário ficou separado, ou seja, um de ca-

ráter mais de progressão para o nível superior, destinado às classes mais favorecidas e outro

ligado ao mercado de trabalho, com cursos profissionalizantes, reservado à maioria da popu-

lação. Valente (2004) acrescenta que, essa reforma também manteve um caráter enciclopedis-

45

ta dos conteúdos, a mesma prática que vigorava na Reforma Campos, ou seja, continuou um

extenso número de conteúdos a serem estudados nesses dois ciclos.

No programa de Matemática do curso ginasial, prescrito pela Portaria Ministerial de nº

170, de 11 de junho de 1942, o ensino de sistemas de equações do 1º grau ficou disposto na 4ª

serie ginasial:

Unidade I. Equações e desigualdades do 1º grau: 1. Coordenadas cartesianas no pla-

no; representações gráficas. 2. Resolução e discussão de um sistema de duas equa-

ções com duas incógnitas. 3. Resolução gráfica de um sistema de duas equações

com duas incógnitas; interpretação gráfica da discussão; 4. Resolução de desigual-

dades do 1º grau com uma ou duas incógnitas. 5. Problemas do 1º grau: fases da re-

solução de um problema; generalização; discussão das soluções. (VECHIA &

LORENZ, 1998, p.356, grifos nossos).

Para Dassie (2001), deveriam ser publicadas as instruções metodológicas que indicari-

am os processos pedagógicos nos quais os professores teriam que se pautar. Porém, essas ins-

truções não foram expedidas e se desconhece o motivo pelo qual Gustavo Capanema não as

publicou.

De acordo com Soares, Dassie e Rocha (2004), essa reforma vigorou até 1961, até a

aprovação da Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional, Lei 4.024, 20 de dezembro de

1961. Essa mesma década foi marcada por mudanças importantes, com o advento do Movi-

mento da Matemática Moderna.

3.5 O Movimento da Matemática Moderna no Brasil

Havia indícios do Movimento da Matemática Moderna – MMM – no Brasil, no final

dos anos 50 e início dos anos 60, e muitos Estados já partilhavam dos ideários modernistas,

tendo em vista importantes acontecimentos, como afirma Búrigo (1989). Ainda de maneira

tímida, as discussões sobre a modernização da Matemática foram ganhando força nos con-

gressos nacionais realizados em: Salvador (1955); Porto Alegre (1957); Rio de Janeiro

(1959); Belém (1962) e São José dos Campos (1966). A principal discussão que permeava no

Brasil, nesses congressos, era uma análise crítica dos currículos vigentes e o aperfeiçoamento

dos professores com relação às essas tendências modernas (SILVA & SILVA, 2012). Esta foi

uma das alterações curriculares que mais se tornou conhecida, com uma discussão bem difun-

dida e empenhada, com ampla divulgação, embora não tivesse um caráter legislativo

(SOARES, 2005).

46

Mas como se inicia esse movimento? Wielewski (2008) informa que, no princípio do

século XX, muitos países tinham problemas com o ensino da Matemática. Em 1908, em Ro-

ma, ocorreu IV Congresso Internacional de Matemática, no qual foi “criada uma comissão

internacional para analisar o ensino de Matemática desenvolvido em diferentes países”. O

matemático alemão, Felix Klein, estava nesta comissão e divulgou “a experiência desenvolvi-

da na Alemanha com a “Meraner Reform” - um movimento de professores para a moderniza-

ção e unificação do ensino de Matemática no secundário. Esta experiência foi a referência

para que tivesse início, décadas depois,

o primeiro projeto de internacionalização do ensino de Matemática, denominado de

Movimento da Matemática Moderna (MMM). No final da década de 1950 e início

de 1960, o ensino de Matemática em muitos países absorveu o MMM, que pretendia

aproximar a Matemática trabalhada na escola básica com a Matemática produzida

pelos pesquisadores da área. Os defensores da Matemática Moderna (MM) acredita-

vam que poderiam preparar pessoas que pudessem acompanhar e lidar com a tecno-

logia que estava emergindo. Dessa forma, as propostas veiculadas pelo MMM inse-

riram no currículo conteúdos matemáticos que até aquela época não faziam parte do

programa escolar como, por exemplo, estruturas algébricas, teoria dos conjuntos, to-

pologia, transformações geométricas. (WIELEWSKI, 2008).

Pode-se afirmar que

A Matemática Moderna nasceu como um movimento educacional inscrito numa po-

lítica de modernização econômica e foi posta na linha de frente por se considerar

que, juntamente com a área de Ciências Naturais, ela se constituía via de acesso pri-

vilegiada para o pensamento científico e tecnológico.

Desse modo, a Matemática a ser ensinada era aquela concebida como lógica, com-

preendida a partir das estruturas, conferia um papel fundamental à linguagem mate-

mática. Os formuladores dos currículos dessa época insistiam na necessidade de uma

reforma pedagógica, incluindo a pesquisa de materiais novos e métodos de ensino

renovados — fato que desencadeou a preocupação com a Didática da Matemática,

intensificando a pesquisa nessa área.

Ao aproximar a Matemática escolar da Matemática pura, centrando o ensino nas es-

truturas e fazendo uso de uma linguagem unificadora, a reforma deixou de conside-

rar um ponto básico que viria se tornar seu maior problema: o que se propunha esta-

va fora do alcance dos alunos, em especial daqueles das séries iniciais do ensino

fundamental.

O ensino passou a ter preocupações excessivas com abstrações internas à própria

Matemática, mais voltadas à teoria do que à prática. A linguagem da teoria dos con-

juntos, por exemplo, foi introduzida com tal ênfase que a aprendizagem de símbolos

e de uma terminologia interminável comprometia o ensino do cálculo, da geometria

e das medidas. (BRASIL, 1997, p. 20).

Em primeiro lugar, devemos ter em mente que “o termo moderno quando aplicado às

matemáticas ensinadas nas escolas, reveste-se de uma certa ambiguidade por não especificar o

que é moderno.” (NOVAES, 2005, p.83).

47

É preciso destacar que houve uma conexão entre o Movimento da Matemática Moder-

na, no século XX, com um grupo denominado Bourbaki. De acordo com Novaes; Pinto e

França (2008), “essa filosofia do grupo Bourbaki influenciou muitos matemáticos e professo-

res de matemática nas décadas de 1960 e 1970” (p.3355). E qual será realmente essa relação?

Nicolas Bourbaki foi o pseudônimo de um grupo de matemáticos, que iniciou suas ati-

vidades a partir da necessidade de assinar um trabalho elaborado pelos componentes desse

grupo, a intenção era publicar um artigo em um periódico francês. Pires (2006) traz um pouco

da história desse grupo, contanto sobre a sua origem.

A história de Bourbaki começa em 1920 na École Normale Supérièure, em Paris. A

ENS criada em 1794, tinha como origem formar professores do ensino secundário,

mas no fim do séc. XIX, seu objetivo é modificado e muitos dos normalistas se ori-

entam para lecionar no ensino superior e para a pesquisa. A ENS forneceu uma boa

parte da elite do mundo da pesquisa em concorrência com a Escola Politécnica. No

início do séc. XIX a maioria dos matemáticos franceses tinham formação politécni-

ca, tendência que se modifica no final do mesmo século, passando a predominância

para a escola normal. A ENS englobava estudos literários e científicos, e dela saíram

grandes nomes da intelectualidade e da política, tais como: Raymon Aron, Jean-Paul

Sartre, Georges Pompidou, etc. Pode-se citar advindos da ENS no final do referido

século, Gaston Darboux, Émile Picard, Paul Painlevé, Jacques Hadamard, Élie Car-

tan, René Baire, Émile Borel, Henri Lebesgue para citar somente alguns, em contra-

partida tem-se Henri Poincaré, um politécnico. É portanto, na prestigiosa ENS da

rua d’Ulm, que se conhecem e se relacionam cinco dos futuros fundadores de Bour-

baki: Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Delsarte, Jean Dieudonné e André Weil.

(PIRES, 2006, p.15).

Vemos que, da École Normale Supérièure saem os futuros organizadores do grupo

Bourbaki, um grupo com um propósito único, o de estudar a Matemática. Para Shirley (2000),

a história desse grupo, vem para ajudar a “organizar e a ligar muitas áreas importantes da ál-

gebra abstrata e da topologia” (p.76). Os matemáticos do grupo Bourbaki, na sua maioria

franceses, trabalharam na escrita de vários livros trazendo, em suas propostas, fundamentos de

forma a apresentar uma Matemática com mais rigor e clareza. (SHIRLEY, 2000). O grupo

Bourbaki foi fundado em 1934.

A intenção do grupo Bourbaki era realizar “uma evolução interna da matemática atra-

vés de uma unidade profunda entre as distintas teorias matemáticas.” A partir disso, ocorre a

“busca de ideias comuns entre os vários ramos da matemática, o grupo chegou à noção de

estrutura, distinguida em três tipos de ‘estruturas-mãe’: algébricas, de ordem e topológicas.”

(NOVAES, 2005, p. 83)

48

O grupo Bourbaki4 não se tornou conhecido por provar teoremas ou fazer demonstra-

ções matemáticas, a sua relevância consistia em propagar uma Matemática organizada, traba-

lhando com a Teoria dos Conjuntos, “articulando quatro áreas da Matemática, apresentadas,

até então, de maneira totalmente desconexa: Aritmética, Análise, Álgebra e Geometria.” (ES-

QUINCALHA, 2012, p.5).

Depois da Segunda Guerra Mundial, houve progressivo avanço tecnológico, fator esse,

determinante para uma reorganização do ensino, principalmente das Ciências. “De uma reuni-

ão, em que estavam presentes matemáticos e políticos, na Organização Europeia de Coopera-

ção Econômica, em 1959, veio a solução: a reformulação do currículo de Matemática, que

implicaria na reformulação do ensino científico, como desejavam os políticos.” (ESQUIN-

CALHA, 2012, p. 33). Em meados da década de cinquenta do século XX, a Matemática estru-

turalista5 estava em alta, tendo com referência os trabalhos de Bourbaki e, deste modo, os

currículos sofreram essa tendência.

Segundo Búrigo (1990), uma das grandes discussões, vivenciadas pelos educadores

matemáticos no século XX, era relacionada à superação da Matemática apresentada de forma

clássica que, segundo os educadores, não mais atendia aos anseios da sociedade e de certa

forma impedia o desenvolvimento social e tecnológico.

No início dos anos 60, já se evidenciava uma identidade entre os esforços de reno-

vação do ensino em vários países que, através da articulação via comissões de estu-

do internacionais ou agências [...], se concretizava na conformação de um movimen-

to internacional de renovação do ensino, chamado de “nova matemática” ou “mate-

mática moderna”. A expressão adotada para denominar o movimento, “matemática

moderna”, já tem embutida em si uma boa parte dessa identidade. Na origem, a ex-

pressão “matemática moderna” ou “matemáticas modernas” referia-se à evolução in-

terna da própria disciplina, nos últimos 100 anos e em especial a partir do trabalho

do grupo Bourbaki. Mas o “moderno” também tinha outras conotações. Uma delas

era o sentido de atualizar o ensino adequando-o às pesquisas mais recentes no cam-

po da psicologia e da didática, das quais o ensino da matemática deveria nutrir-se.

De um modo geral, é possível dizer que “moderno” significava “eficaz”, de “boa

qualidade”, opondo-se a “tradicional” em vários momentos. (BÚRIGO, 1990, p.

259).

4 De acordo com Pires (2006), grupo Bourbaki escreveu vários livros, sendo a primeira publicação o “Fascicule

de résultats de théorie des ensembles”. Outras publicações também são destacadas: Théorie des ensembles;

Algèbre;Topologie générale; Fonctions d’une variable réelle; Espaces Vectoriels topologiques; Intégration;

Algèbre commutative; Variétés différentielles et analytiques; Groupes et algèbre de Lie;Théories spectrales.

5 “O Estruturalismo foi uma corrente de pensamento a-histórico que procurou “tornar mais científicas” e “rigoro-

sas” as pesquisas realizadas na área das ciências humanas, aproximando-as do modelo adotado pelas ciências

exatas. Vários dos conceitos adotados no estruturalismo vieram da matemática, principalmente os desenvolvidos

pelo grupo Bourbaki ...”. (NOVAES; PINTO; FRANÇA, 2008, p.3360).

49

Como principais características do MMM, podem ser citados: “o pensamento axiomá-

tico, maior grau de generalização, alto grau de abstração, maior rigor lógico, uso de vocábulos

contemporâneos, precisão da linguagem, método dedutivo e a forte influencia estruturalista.”

(NOVAES; PINTO; FRANÇA, 2008, p.3355).

A reformulação do currículo da Matemática se baseou na Teoria dos Conjuntos, fun-

damentada no conceito estruturalista. Essa tentativa de modernizar o ensino da Matemática

ganhou força com o advento do MMM. Vale ressaltar, porém, que, apesar de ter seus traba-

lhos aceitos em várias partes do mundo, encontramos algumas críticas ao referido grupo.

(NOVAES; PINTO; FRANÇA, 2008). De acordo com Esquincalha (2012), o grupo se inte-

ressava apenas pela Matemática Pura, desprezando a Teoria das Probabilidades, a Lógica e a

Física, valorizando a Teoria dos Conjuntos.

Há que se ressaltar a posição de Esquincalha (2012), quando afirma que existem equí-

vocos quando se considera o grupo Bourbaki como o criador do Movimento da Matemática

Moderna; ou ainda que “a reorganização que propuseram para a Matemática tinha o objetivo

de trazer melhoras para a educação escolar”, uma vez que o Bourbaki não divulgou seus tra-

balhos para o Ensino Médio ou licenciatura. (p.35). O grupo Bourbaki tinha como objetivo

que seus trabalhos se tornassem obras de referência e consulta, tendo como alvo os matemáti-

cos profissionais, não havia a intenção de serem direcionados aos níveis de educação elemen-

tares ou de graduação universitários. (BOMBAL apud ESQUINCALHA, 2012).

O matemático belga Georges Léopold Anatole Papy (1920-2011) tem uma contribui-

ção na exaltação da teoria dos conjuntos. Para ele, era “inevitável introduzir [desde o início do

atual Ensino Fundamental II] conjuntos e relações, que constituem uma linguagem e um qua-

dro cômodos e indispensáveis” (PAPY apud COSTA, 20014, p. 25).

Na obra de Papy, Mathématique Moderne, o primeiro volume da coleção inicia-se com

os capítulos: 1 - Conjuntos. 2 - Partes [de um conjunto]. 3 - Interseção, Reunião, Diferença. 4

- Álgebra dos Conjuntos. 5 - Partições – claramente dedicados à teoria dos conjuntos. (COS-

TA, 2014).

Em 1966, Papy ministrou conferências no V Congresso de Ensino de Matemática rea-

lizado no Brasil, em São José dos Campos. Pode-se dizer que houve uma influência das suas

ideias no MMM em nosso país, embora não tenha reflexos de uma forma generalizada em

todo Brasil. (COSTA, 2014).

50

Segundo Wielewski (2008), surgiram muitos grupos de professores, na década de 60 e

início de 70 do século XX, para aprimorar as discussões sobre o Movimento da Matemática

Moderna, principalmente nas regiões sudeste, sul e nordeste do nosso país.

Fiorentini e Lorenzato (2007) indicam que o surgimento do primeiro grupo de estudos,

GEEM (Grupo de Estudos do Ensino da Matemática), organizado em São Paulo, em 1961,

com sede na Universidade de Mackenzie, teve como presidente o professor Osvaldo Sangior-

gi. Este grupo foi um dos primeiros a atuar na cidade de São Paulo com foco no aperfeiçoa-

mento de professores para disseminar as ideias do movimento. Além desse grupo, tivemos o

Grupo de Estudos de Matemática (GRUEMA), também em São Paulo. Anos depois, se esta-

beleceram o Grupo de Estudos em Educação Matemática em Porto Alegre (GEMPA) e o

Grupo de Pesquisas em Educação Matemática (GEPEM), no Rio de Janeiro, em 1976.

A vontade de concretização desse ideário era tão grande que, para fortalecer o movi-

mento e ajudar a difundir as ideias, de acordo com Miorim (1998), contou-se com a participa-

ção de renomados professores modernistas, Marshall Stone6 (1903-1989), dos Estados Unidos

e Georges Papy7 (1920-2011), da Bélgica, em um congresso no ano de 1966, no quinto Con-

gresso Brasileiro de Ensino de Matemática, realizado em São José dos Campos, interior de

São Paulo, como já foi explicitado.

De acordo com Búrigo (1989), esses anseios por reformas educacionais, ocorreram

com vistas à modernização e a introdução no país da necessidade de uma escola com uma

visão de avivamento do processo modernista. Buscavam-se essas características, com enfo-

ques em conteúdos novos, substituindo abordagens clássicas, conferindo uma maior impor-

tância a aspectos lógicos e estruturais da Matemática.

A resposta à pergunta “porque a Matemática estava na linha de frente de uma refor-

ma pedagógica” era pronta: “ela é a base de uma cultura geral voltada para a ciência

e a tecnologia”. Moderna. Esta foi a palavra-chave, a palavra guia, a palavra mágica,

com toda a sua carga afetiva, mas também com toda a sua ambiguidade... (PIRES,

2000, p.20, grifo do autor).

No Brasil, a divulgação do MMM se dá, principalmente, via livros didáticos (BRA-

SIL, 1997). Verifica-se a importante atuação dos grupos atuantes no Movimento na elabora-

6 Marshall Harvey Stone (1903 - 1989) completou seus estudos em Harvard, tornando-se Ph.D. em 1926, com

uma tese sobre equações diferenciais. Entre 1925 e 1937, atuou como professor em Harvard, Yale University, e

na Universidade de Columbia. Stone se tornou professor titular na Universidade de Harvard em 1937. Em 1946,

atuou como presidente do Departamento de Matemática da Universidade de Chicago, ocupando essa posição até

1952 (ALVES, 2016). 7 Georges Papy (1920-2011) foi fundador, em 1961, do Centre Belge de Pédagogie de la Mathématique, em

Bruxelas, na Bélgica, professor de Matemática na Université Libre de Bruxeles, e grande interessado pelos deba-

tes sobre a modernização do ensino de matemática (COSTA, 2016).

51

ção de livros didáticos, com os novos conteúdos a serem trabalhos nos sistemas educacionais.

Em 1962, foi lançado, pela Companhia Editora Nacional, o primeiro livro específico para se

aplicar os princípios do MMM, em que Osvaldo Sangiorgi encarregou-se de colaborar na con-

fecção do mesmo (BÚRIGO, 1989).

Com o MMM, os livros didáticos sofreram mudanças significativas, integrando uma

axiomatização e estruturação algébrica, com uma forte predominância da teoria de conjuntos.

Porém, vale ressaltar, que não houve uma preparação satisfatória, para auxiliar os professores

na utilização desses materiais.

Veiculada principalmente nos livros didáticos, sem adequada preparação dos educa-

dores nem suficiente discussão de seus propósitos, a Matemática Moderna surgiu en-

tre nós como substituta definitiva da velha Matemática, como a qual parecia não

manter relação alguma. (PIRES, 2000, p.31).

Pinto (2005) também descreve a importância do livro didático para a divulgação do

MMM, a saber,

Ainda um tanto nebulosa, no Brasil, a matemática moderna ancora primeiramente

nos grandes centros do país e começa, nos anos 60, a ser lentamente difundida nas

escolas mais longínquas, a maioria delas recebendo-a de sobressalto, via livro didá-

tico. Carregada de simbolismos e enfatizando a precisão de uma nova linguagem,

professores e alunos passam a conviver com a teoria dos conjuntos, com as noções

de estrutura e de grupo. Repleta de promessas de um ensino mais atraente e descom-

plicado em superação à rigorosa matemática tradicional... (PINTO, 2005, p.29).

Além de Sangiorgi, podemos destacar a influência de outros autores de livros de Ma-

temática, como Jacy Monteiro, Omar Catunda, Benedito Castrucci, que na década de 1960

iniciaram e divulgaram o MMM no Brasil. (VALENTE et al., 2007).

3.6 Os percalços do Movimento da Matemática Moderna

Para Miorim (1998), a Matemática Moderna não obteve sucessos ao tentar sanar as di-

ficuldades em relação ao ensino da disciplina, muito pelo contrário, o que houve, foi um agra-

vamento da situação. Esse problema já era previsto por alguns professores, percebendo que o

enfoque centralizado nas linguagens matemáticas, não seria a solução para os inúmeros im-

passes que a Matemática apresentava.

Muitas críticas se levantaram contra o movimento, na década de 1970; aparecem, nes-

se cenário, o matemático francês René Thom (1923-2002) e o matemático norte-americano

52

Morris Kline (1908-1992), levantando questões importantes e mostrando os exageros cometi-

dos por essas propostas modernizadoras. No Brasil essas críticas começam a se tornar mais

acentuadas na segunda metade dessa mesma década (MIORIM, 1998).

O professor e historiador da Matemática norte-americano, Morris Kline (1976), nos

diz que o movimento de modernização da Matemática surge como alternativa para suprir as

necessidades de um currículo defasado, arcaico, com várias críticas em sua estrutura e organi-

zação. Uma das críticas que pode ser destacada referente ao currículo tradicional é em relação

ao ensino de Álgebra. A Álgebra era apresentada de forma errônea, como um processo mecâ-

nico e forçando, portanto, o estudante a memorizar apenas, sem ter a compreensão necessária.

Infelizmente a aprendizagem se passava quase que exclusivamente atrelada à memorização,

gerando uma grande desmotivação por parte dos estudantes. “Além das poucas falhas que já

descrevemos o currículo tradicional sofre do defeito mais grave que se pode lançar sobre

qualquer currículo: falta de motivação. [...] muito poucos são os estudantes que se sentem

atraídos por esta matéria de ensino”. (KLINE, 1976, p.23).

Kline (1976) defende que o grande mal do currículo tradicional é a falta de motivação

que impera em seus conteúdos. A sua própria estrutura, atrelada a rigores de linguagem, de-

monstrações que de nada contribuem para a construção do conhecimento e aprendizagem re-

lacionada à memorização, são fatores que colaboram para essa desmotivação.

Percebemos que, dessas intercorrências, com todas essas tentativas de mudança, na

perspectiva de Kline, nos Estados Unidos, mesmo com essas novas propostas modernistas, o

currículo tradicional ainda vigorava, digamos, talvez, que o currículo moderno apresentado,

vinha com uma nova “roupagem”. Kline (1976) menciona que, mesmo o currículo tradicional

sofrendo pelo espírito de reforma, os seus traços tradicionais, ainda se mantinham perceptí-

veis. Isso também pode ser bem expresso nas palavras desse mesmo autor quando, nos diz

que, muitos textos considerados dentro da Matemática Moderna, na verdade, estavam relacio-

nados com a Matemática tradicional, com algumas poucas mudanças na sua forma de apre-

sentação do conteúdo.

Pinto (2005) indica que o fracasso da Matemática Moderna se deu por ela não superar

a sua abordagem pragmática e mecanicista, não conseguindo fazer com que o estudante apli-

casse seus conhecimentos adquiridos em seu cotidiano, supervalorizando determinados conte-

údos que o distanciavam ainda mais de sua realidade.

No Brasil, de acordo com Búrigo (1989), o Movimento da Matemática Moderna, se

caracterizava exclusivamente com uma grande ênfase na teoria dos conjuntos, e por um rigor

excessivo da linguagem, com demonstrações e argumentos dedutivos que afastavam os estu-

53

dantes, ainda mais, pelo gosto da matemática. Kline (1976) também pontua que, “se o ensino

de matemática do tipo tradicional tem sofrido com disciplinadores rigorosos que impunham

aprendizagem pela memorização, a nova educação sofrerá mais horrivelmente com os criado-

res de rigor”. (p.81).

Ainda, em conformidade com Kline (1976), a Matemática era feita e organizada para

serviço às ciências, mesmo com toda a fragilidade em suas estruturas, ela tentava desvendar

os problemas físicos da natureza. Com o advento da Matemática Moderna, ela toma outra

forma, as análises passam a ser feitas em si mesmo e sem se importar com aplicações físicas e

os outros fenômenos da natureza.

Vamos ao encontro de Búrigo (1989), confirmando que a Matemática Moderna foi or-

ganizada para países com um alto desenvolvimento tecnológico, o que não acontecia no Bra-

sil. Não foi considerada a realidade em que o país se encontrava, com vários problemas de

ordem social e econômica, fatores esses que podem ter ajudado a enfraquecer o movimento.

Outro fator que ajudou a desencadear o declínio do movimento também se deve à própria se-

paração do grupo GEEM, aqui no Brasil. Uma parte do grupo era adepta ao formalismo e ao

rigor matemático e, a outra, tinha uma visão de que a Matemática teria que se aproximar do

estudante, com uma linguagem mais acessível, sendo aprofundada gradativamente. O MMM

“teve seu refluxo a partir da constatação da inadequação de alguns de seus princípios e das

distorções ocorridas na sua implantação.” (BRASIL, 1997, p. 20).

54

4. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

COM DUAS INCÓGNITAS NOS LIVROS DIDÁTICOS

Neste capítulo, apresentaremos a análise de cada um dos oito livros selecionados, obe-

decendo à ordem de publicação e uma sequência com relação às categorias de análise (defini-

ções, introdução, métodos, problemas/exercícios, inserção história e ilustração).

Nosso marco inicial se situa na década de 30 do século XX, por considerarmos rele-

vante a Reforma Francisco Campos (1931), que traz alterações significavas para o ensino da

Álgebra, Geometria e Aritmética no país. Nosso marco final é o ano de 1969, com a publica-

ção do livro de Agrícola Bethlem, que está situado em um período que vigorava o Movimento

da Matemática Moderna no Brasil.

Em primeiro lugar, trazemos o autor António Bandeira Trajano, com seu livro “Alge-

bra Elementar”, em sua 15ª edição, datado de 1932. Trajano é um autor muito importante,

com vários livros reimpressos durante décadas, até mesmo após seu falecimento, que ocorreu

em 1921. De acordo com Pfromm Neto, Dib e Rosamilha (1974), ele teve um de seus livros

publicado por aproximadamente 75 anos, um feito realmente considerável, o que confirma a

relevância desse autor na pesquisa.

“Segundo ano de matemática”, do autor Jácomo Stávale (1941), faz parte dos livros

elencados para nossa análise, devido ao fato de este autor ter grande prestígio na época, com

expressiva venda de exemplares e inúmeras edições de suas obras. (PFROMM NETO; RO-

SAMILHA; DIB, 1974).

O Livro “Curso de Matemática – 4ª Série Ginasial”, de 1948, em sua 4ª edição, de

Algacyr Munhoz Maeder foi bastante representativo. Segundo Longen (2007), foram dezeno-

ve livros de sua autoria, publicados em duas editoras, que se fizeram presentes no cenário

brasileiro no período de 1928 até 1962.

Não poderiam faltar os livros de Osvaldo Sangiorgi. Analisamos “Matemática Curso

Ginasial Segunda Série”, datados de 1959 e 1963, e o livro “Matemática Curso Moderno-

Volume 2”, de 1965. Escolhemos esse autor por entendermos as suas consideráveis contribui-

ções para o Movimento da Matemática Moderna no Brasil. Valente (2008) prestigia Sangior-

gi, por estar sempre atento às discussões internacionais de Matemática e por trazer esses ide-

ais de modernização para a educação brasileira.

55

O livro de Ary Norton de Murat Quintella, “Matemática para a Segunda Série Gina-

sial”, de 1961, é outro livro por nós selecionado. A sua 59ª edição, a princípio, já impressiona

pelo número de reedições da obra, indicando que foi um livro que teve uma adoção expressiva

nas escolas (VILLELA, 2009). E, por último, “Matemática Moderna” de 1969, do autor Agrí-

cola da Câmara Lobo Bethlem que, como o próprio título indica, foi uma obra escrita para o

Movimento da Matemática Moderna trazendo, em seu texto uma quantidade expressiva de

símbolos e a presença marcante da linguagem de conjuntos, que são características desse mo-

vimento de modernização.

Excepcionalmente, as obras de Osvaldo Sangiorgi, de 1963 e 1965, não serão tratadas

seguindo, rigorosamente, uma ordem como nos demais livros, no quesito categorias, apenas,

trataremos de alguns aspectos, que entendermos ser relevantes para a nossa pesquisa.

4.1 Algebra Elementar, de Antonio Trajano

Figura 1 – Capa do Livro Algebra Elementar8

Fonte: Trajano (1932)

O livro Algebra Elementar, de Trajano, foi publicado em 1932, sendo este sua 15ª edi-

ção, da Livraria Francisco Alves e consta, em sua capa, que o livro foi cuidadosamente revi-

sado e devidamente ampliado, com matérias como equações do segundo grau e progressões,

totalizando 181 páginas. Segundo o autor, esse livro aborda métodos de resolução de muito

fácil compreensão.

8 Livro disponível em: <https://repositorio.ufsc.br/handle/123456789/104463>

56

De acordo com Zuin (2011), Antonio Trajano nasceu no dia 30 de agosto de 1843, na

cidade de Vila Pouca de Aguiar em Portugal, se mudando para o Brasil aos 14 anos. Trajano

foi uma importante personalidade para a educação brasileira com obras de grande relevância,

além de Álgebra Elementar, temos também:

Arithmetica Primaria;

Arithmetica Elementar Illustrada;

Arithmetica Progressiva;

Álgebra Superior;

Chave da Arithmetica Progressiva;

Chave da Álgebra;

Nova Chave da Arithmetica Progressiva;

Nova Chave da Álgebra;

Estudos da Língua Vernácula. (ZUIN, 2011).

Trajano dava grande ênfase aos estudos de Aritmética e Álgebra e, segundo Oliveira

(2013), procurava abordar esses conteúdos sempre de forma clara e objetiva, conquistando

assim professores e alunos.

No prefácio de Álgebra Elementar, Trajano trata da importância da Álgebra e seu en-

sino, defendendo que deve ser trabalhada desde o primário. Afirma que muitos países já havi-

am imbuído dessa consciência, ou seja, perceberam o quão significativo era a Álgebra para a

aprendizagem da Matemática.

Na Inglaterra, na França, na Allemanha e principalmente nos Estados Unidos, a Ál-

gebra é considerada como um dos ramos mais uteis e interessantes da instrucção. Tal

é a importancia que ali se dá a esta materia, que já foi incluída como parte do ensino

obrigatorio nas escolas primarías, onde os meninos e meninas aprendem a converter

facilmente os dados de um problema em uma equação algébrica (TRAJANO, 1932,

p.3).

O autor, ainda no prefácio, traz a questão do abandono e descaso para com a Álgebra

no Brasil que, de forma negativa, perpassava por todos os níveis de ensino, seja primário,

secundário ou superior. Em seguida, faz um elogio ao Estado de São Paulo, por tornar

obrigatório o ensino desse tópico, e ressalta a importância da sua obra para ajudar os

estudantes a terem uma melhor compreensão do assunto:

Para ajudarmos a desenvolver o gosto por este estudo tão proveitoso, apresentamos

agora este compendio, que pela sua simplicidade, clareza e methodo, muito

contribuirá para despertar nos discipulos o interesse e gosto por está matéria que, ao

mesmo tempo que é tão util para a vida, é tambem tão recreativa para o espirito

(TRAJANO, 1932, p.4).

57

Por último, o autor afirma que todos aqueles que estudarem no seu livro aprenderão a

Álgebra de forma menos árdua, pois ele procura trabalhar o tópico sem muito rigor e com

uma linguagem mais clara e acessível. Na sequência, Trajano define alguns termos, que seri-

am primordiais para nortear os conteúdos abordados pelo material. Consideramos importante

destacar as palavras Álgebra e Problema por entendermos que são termos chave na obra do

autor (figura 2).

Figura 2 – Definições livro de Trajano

Fonte: Trajano (1932, p. 5)

O livro Álgebra Elementar, de 1932, em sua décima quinta edição, é uma obra que

ainda apresenta a Álgebra em um livro específico para este assunto. Podemos perceber que os

demais trabalhos do autor abordam separadamente Álgebra e Aritmética, uma característica

dos programas escolares antes da Reforma Francisco Campos, em 1931. A edição analisada

foi publicada um ano depois desta nova legislação. Antonio Trajano faleceu em 1921, porém,

suas obras continuaram sendo adotadas em diversas instituições, que não estavam em conso-

nância com o que era prescrito na Reforma Campos, ou seja, estabelecendo uma integração

entre a Aritmética, Álgebra e Geometria, sob a designação Matemática.

Os conteúdos versados no livro eram:

Álgebra Elementar

Addição

Subtracção

Multiplicação

Divisão

Theoremas

Divisores e Múltiplos

Máximo Divisor Commum

Mínimo Múltiplo Commum

58

Fracções Algebricas

Equações do Primeiro grau

Problemas

Demonstrações Algébricas

Generalizações

Fórmas da Solução

Discussão dos Problemas

Desigualdade

Formação das Potências

Extracção da Raiz Quadrada

Equação do Segundo grau

Equações Biquadradas

Razão e Proporção

Progressões

Sistemas de equações lineares é um conteúdo inserido no tópico Problemas, com um

total de dezesseis páginas.

Como pré-requisitos, observamos que Trajano apresenta equações do primeiro grau,

antes de tratar especificamente do tema sistemas de equações. Inicia com uma distinção entre

o termo equação e identidade, exemplificando essa diferenciação: “...( )

é uma identidade, pois a igualdade subsiste para qualquer valor que se dê a . Já

é uma equação, pois a igualdade só fica satisfeita dando-se a o valor ”. (TRA-

JANO, 1932, p.76).

Percebemos um detalhamento importante no assunto de equações do primeiro grau.

Encontramos termos, como por exemplo, inteirar uma equação, ou seja, o mesmo que encon-

trar o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de uma equação fracionária.

Algumas dessas definições estão listadas no quadro1:

Quadro 1 – Definições Trajano (1932) Definições sobre equações do primeiro grau

Transformação de uma

equação

“... é mudar a sua forma sem alterar a sua igualdade entre os seus membros.

”(TRAJANO, 1932, p.78).

Inteirar uma Equação “Quando um ou mais termos de uma equação são fracções, torna preciso trans-

formá-los em números inteiros para que a equação fique inteirada, isto é, com-

posta só de números inteiros. ” (TRAJANO, 1932, p. 78).

Transpor os termos de

uma equação

“Quando ambos os membros de uma equação contém quantidades conhecidas e

desconhecidas, transpõem-se as quantidades desconhecidas para o primeiro

membro, e as quantidades conhecidas para o segundo. ” (TRAJANO, 1932, p.

79).

Fonte: Elaborado pelo autor

59

Posteriormente, o autor faz uso de uma regra geral, informando todos os passos que

são necessários para a resolução de equações do primeiro grau (figura 3).

Figura 3 – Regra para resolução de equação do primeiro grau

Fonte: Trajano (1932, p.81)

Definições

Traremos algumas definições, que o autor apresenta sobre o conteúdo de sistemas de

equações (quadro 2).

Quadro 2 – Definições sobre sistemas Sistemas de equações lineares

Problema algébrico “É uma questão para resolver, na qual se dá uma ou mais quanti-

dades conhecidas chamadas dados, e se quer uma ou mais quan-

tidades desconhecidas chamadas Incognitas”. (TRAJANO, 1932,

p.83, grifo do autor).

Equações simultâneas “As equações são Simultaneas quando cada uma das incognitas

tem o mesmo valor nessas equações... ”. (TRAJANO, 1932,

p.91, grifo do autor).

Equações independentes “As equações são Independentes quando, embora tenham as

mesmas letras, só se satisfazem com valores diferen-

tes...”.(TRAJANO, 1932, p.83, grifo do autor).

Processo de eliminação “... processo que tem por fim combinar duas equações simulta-

neas, contendo duas ou mais quantidades desconhecidas, para as

reduzir a uma equação simples com uma só incognita. ” (TRA-

JANO, 1932, p.92)

Eliminação pela reducção ao

mesmo coefficiente

“...consiste em multiplicar ou dividir uma ou ambas as equações

de modo que o coefficiente de uma incógnita fique igual em am-

bas as equações, para depois, pela adicção ou pela subtracção fa-

zermos desapparecer essa incognita. ” (TRAJANO, 1932, p.92)

Eliminação por comparação “...consiste em achar o valor da mesma incognita em termos da

outra nas duas equações, e depois pela comparação dos dois va-

lores, forma uma equação simples... ” (TRAJANO, 1932, p.94)

Eliminação por substituição “...consiste em achar em uma equação o valor de uma incognita

em termos das outras quantidades, e depois substituir na outra

equação aquella incognita por seu valor achado. ” (TRAJANO,

1932, p.95)

Fonte: Elaborado pelo autor

60

Introdução do conteúdo de sistema de equações lineares

O autor inicia o assunto em um tópico, cujo título é denominado de Problemas, tratan-

do da importância de saber resolvê-los, passá-los para a linguagem algébrica, alertando que

isso não é uma tarefa fácil, requerendo certo treino. São abordadas, na resolução dos proble-

mas, o equacionamento e a resolução. Para o autor, a parte que o estudante tem maior dificul-

dade é a da formulação da equação.

A primeira parte é geralmente a mais difficil. Não é possível formular uma regra

precisa e clara que habilite o discipulo a traduzir promptamente o enunciado de um

problema, em uma equação algebrica; o próprio discipulo com o seu raciocinio é

quem tem de formar a equação, segundo a natureza dos dados offerecidos para o

calculo (TRAJANO, 1932, p.83).

Em nota, Trajano novamente afirma a importância de se trabalhar com a linguagem

algébrica para o desenvolvimento das faculdades intelectuais e que é válido todo o esforço e

empenho para se chegar à solução de um problema. O autor traz uma regra para a resolução, a

saber:

Representam-se as incognitas com as ultimas letras do alphabeto. Exprime-se em

linguagem algebrica as relações que ha entre as quantidades e as incognitas, de sorte

que a equação formada satisfaça as condições do problema. Resolve-se depois a

equação. (TRAJANO, 1932, p.84).

Dando sequência, encontramos um subtítulo em que os sistemas de equações são cha-

mados de “Equações simultaneas com duas incognitas”, no qual os problemas aparecem, se-

gundo o autor, com mais de uma quantidade desconhecida e, portanto, com a necessidade do

surgimento de mais de uma equação.

Trajano (1932, p.91) trata da simultaneidade de uma equação em relação à outra:

Seja a equação “ ”

Segundo o autor, podemos ter muitos modos para encontrar o resultado.

Agora, se, na equação anterior, tivermos outra equação auxiliar, simultânea à primeira

podemos encontrar facilmente as incógnitas

Nesse sentido, os valores de , passam a ser definidos simultaneamente.

Observamos que, nessa categoria, o critério utilizado pelo autor seria o de iniciar o as-

sunto com um exercício, em que se constrói a ideia de um sistema, sendo que os valores

61

devem ser comuns às duas equações. Essa forma de solução pode ser considerada como intui-

tiva, na qual o aluno pode testar quais parcelas geram aquela soma.

Métodos de resolução

Trajano denomina os métodos de resolução de sistemas de equações, como sendo mé-

todos de eliminação. O livro trata de três métodos para resolver os problemas que envolvem

mais de uma equação: pela reducção ao mesmo coeficiente, por comparação e por substitui-

ção.

Examinaremos uma atividade de cada método abordado pelo autor, para que possamos

verificar particularidades na resolução dos mesmos. Embora, o autor não utilize a “chave”

para caracterizar um sistema, o faremos para indicar que estamos trabalhando com sistemas

de equações.

Em relação à utilização da chave para caracterizar um sistema de equações, utilizada

atualmente, fomos fazer uma verificação no livro de Étiènne Bézout, um eminente matemáti-

co francês, com vários livros de sua autoria, dentre eles, Théorie générale des équations alge-

briques. Neste livro, datado de 1779, também não existe a utilização da chave para representar

os sistemas de equações. Podemos inferir que essa era uma prática comum mesmo no século

XIX. De acordo com Valente (2002), os livros didáticos de Álgebra, que começaram a surgir

no Brasil a partir de 1850, tiveram uma forte influência francesa, dentre eles, os de Bézout.

Para o método pela redução ao mesmo coeficiente, o livro traz o seguinte exercício:

“Qual é o valor de e de nas equações simultaneas ?” (TRA-

JANO, 1932, p.92). O autor refere-se a este exercício como “problema”.9

Nesse caso, a atividade é trabalhada de forma a encontrar uma maneira para se elimi-

nar uma incógnita. Foi utilizado, para essa eliminação, o processo de soma das equações.

{

Depois, fazendo a substituição na primeira equação temos,

, sendo .

9 Recordamos que, anteriormente, fizemos uma diferenciação entre exercício e problema. Porém, seguiremos,

em algumas situações, a denominação dos autores dos livros.

62

Para o “método por comparação” é incluído o seguinte exercício: “Qual é o valor de

e nas equações ” (TRAJANO, 1932, p.94).

Segundo Trajano, esse método consiste em achar o valor da mesma incógnita para as

duas equações e, depois, pela comparação dos valores, formar uma equação simples para en-

contrar o valor que falta.

{

Temos então,

resultando em:

e, como res-

posta,

Para o último método proposto, método por substituição, o seguinte exercício:

“Qual é o valor de e nas equações simultaneas ” (TRA-

JANO, 1932, p.95). Nesse método, Trajano indica que deve-se encontrar o valor de uma in-

cógnita em uma equação e, depois, substituir na outra para se determinar o valor que falta.

{

Temos que e, a partir daí, substituímos esse valor na próxima equação.

( )

Resolvendo, encontramos

Depois desses exemplos, averiguamos outras atividades que, agora, podemos nomeá-

las como problemas (figura 4).

Figura 4 - Problemas

Fonte: Trajano (1932, p.96)

O problema (figura 4) é encontrado no livro como uma atividade resolvida, porém, são

dadas as equações e, em seguida, a resposta, não sendo mencionado qual o método a ser utili-

zado.

63

{

Sendo

Como era de se esperar, pelo título do livro Algebra Elementar, todas as resoluções

apresentadas, até então, seguem de forma estritamente algébrica, ou seja, em nenhum momen-

to é mencionado outro método de resolução.

Exercícios/problemas

Cuidaremos, nessa categoria, em investigar os tipos de atividades que são dispostas

nesse livro, procurando elencar algumas peculiaridades, bem como, levantar algumas indaga-

ções sobre os exemplos exercícios ou problemas propostos aos alunos, se são problemas liga-

dos ao cotidiano ou se têm o intuito apenas de resolução como um processo mecânico.

Percebemos uma preocupação, por parte do autor, em relação aos problemas, trazendo

uma sequência de atividades resolvidas. Porém, percebe-se que as resoluções propostas pelo

autor são sucintas, não constando o seu “passo a passo” (figura 5).

Figura 5 – Problemas resolvidos

Fonte: Trajano (1932, p.96)

64

No livro, podemos encontrar alguns elementos do método intuitivo, fato esse compro-

vado pela preocupação que o autor tinha com os problemas. Atentamos para o fato de que o

conteúdo sistemas é acompanhado de vários problemas resolvidos, muito provavelmente, com

o intuito de proporcionar ao estudante uma melhor compreensão nas resoluções para que ele

pudesse realizar em sequência as atividades propostas. Zuin (2011) ao analisar o livro Arith-

metica Illustrada, de Trajano, indica que o autor demostrava uma grande preocupação com a

resolução de problemas e que, nesse contexto pedagógico, encontram-se elementos dos prin-

cípios do método intuitivo. Da mesma forma, podemos fazer essa inferência em relação ao

livro Álgebra Elementar.

As séries de atividades foram separadas por métodos de resolução, em que, para o mé-

todo de redução ao mesmo coeficiente, são listados doze exercícios e que apenas os três pri-

meiros encontram-se com as respostas.

O enunciado vem com os seguintes dizeres, “achar o valor de nas seguintes

equações, pelo methodo da reducção ao mesmo coefficiente” (TRAJANO, 1932, p.94).

Figura 6 – Método de redução ao mesmo coeficiente

Fonte: Trajano (1932 p.94)

Consideramos que estes são exercícios meramente mecânicos (figura 6), com os quais

o aluno fixaria o método, sem muita reflexão sobre a teoria. Esse mesmo procedimento se

repete para os demais exercícios, todos novamente dispostos com um caráter repetitivo, de

manipulação de algoritmos.

Tanto para o método de eliminação por comparação, quanto para o método de elimi-

nação por substituição, existem seis exercícios; os três primeiros apresentam suas respectivas

respostas.

De acordo com o autor, depois de ter resolvido todos os exercícios propostos, até en-

tão, os alunos seriam capazes de resolver outros tipos de problemas. “Agora, que o discípulo

já sabe resolver equações simultneas com duas quantidades deconhecidas, poderá tambem

resolver os problemas que apresentarem o mesmo numero de incógnitas”. (TRAJANO, 1932,

p.95).

65

Esse novo bloco de atividades pode ser considerado como problema, pois, antes de

resolvê-lo, é necessário que o aluno interprete e equacione o problema. Há dezesseis

atividades com essa característica, problemas que, equacionados, se reduzem a sistemas de

duas equações com duas incógnitas. Destes, sete são relacionadas ao cotidiano, um exemplo

se encontra na figura 7 e, as demais, fazem alusão a aspectos da Matemática, como o

exemplo da figura 8.

Figura 7– Problemas com abordagem do cotidiano

Fonte: Trajano (1932, p.97)

Figura 8 – Problemas com abordagem matemática

Fonte: Trajano (1932, p.96)

Abordagem histórica do conteúdo sistema de equações

No conteúdo de sistemas, não há alusão a nenhuma parte histórica que possa agregar

conhecimento aos tópicos mencionados.

Ilustrações

O livro não traz ilustrações no tópico sistemas lineares.

4.2 Segundo ano de Matemática, de Jacomo Stávale

Jácomo Stávale era filho dos imigrantes italianos: Pasquale (Paschoal) Stávale e Julia

Ravagni Stávale. Nasceu em 10 de abril de 1882, no Rio de Janeiro. Depois de algum tempo,

mudou-se com sua família para São Paulo, iniciando a sua carreira no magistério ainda bem

66

jovem, aos 17 anos. Jácomo Stávale foi professor de Matemática no Instituto Caetano de

Campos e de vários colégios de São Paulo, tanto no interior quanto na capital.

Figura 9 – Folha de rosto do livro Segundo ano de Matemática

Fonte: Stávale (1941)

Um dos motivos para a análise desta obra se deve ao prestígio de Stávale no campo

das publicações, se tornando, de acordo com Pfromm Neto, Rosamilha & Dib (1974), um dos

autores com um expressivo número de edições, cerca de cento e cinquenta, e com mais de um

milhão de exemplares vendidos.

O livro Segundo ano de matemática, de Stávale, foi publicado pela Companhia de Edi-

tora Nacional; analisamos a 12ª edição, datada de 1941. Em consonância com o prefácio, que

se encontra no livro, verificarmos que a primeira edição aconteceu em 1932. O livro continu-

ou sendo editado, atendendo alterações dos programas propostos pela da Reforma Francisco

Campos, em 1931. A obra possui dimensões de 19,5cm por 13,2 cm e um total de 320 pági-

nas.

Stávale (1941) objetivou atingir novos públicos com o seu livro, como registrado na

capa do exemplar, para que fosse utilizado no segundo ano dos cursos ginasiais seriados e nos

cursos fundamentais das escolas normais.

No prefácio, o autor expõe sua opinião a respeito dos programas do Colégio Pedro II:

Sem dúvida alguma, é bela e útil a nova orientação dada ao ensino da Matemática

pela douta Congregação do Colégio Pedro II. Os quatro ramos da Matemática Ele-

mentar, convém que sejam ensinados paralelamente, desde o primeiro ano do curso

ginasial. Mas o ensino simultâneo dêstes quatro ramos não pode ser feito atabalhoa-

damente, como o pretendem alguns autores. É necessário que os jovens estudantes

67

tenham os seus conhecimentos perfeitamente classificados, assim como se classifi-

cam os livros de uma biblioteca. E ainda é necessário que tenham livros onde en-

contrem a reprodução fiel das lições de seus professores. (...) Adquirirão assim uma

sabedoria de gaveta, objetivou-me, um dia, uma das figuras de maior relevo no ma-

gistério paulista. Talvez; mas essa gaveta não será de um sapateiro. (...) continuando

o curso secundário, tiverem esquecido algumas das noções adquiridas no ano anteri-

or, saberão onde encontrá-las. É tirar da gaveta o livro onde estudaram e a recorda-

ção será rápida e suave. (STÁVALE, 1941, p. IX-X, grifos do autor).

Conforme Stávale, essa nova proposta deveria ser vista com cautela e dever-se-ia le-

var em conta o grau de maturidade do estudante.

Em seu índice, localizamos o assunto de sistemas de equações, no capítulo XIII. É

abordada a resolução de um sistema e os métodos de adição, substituição, comparação e a as

fórmulas de Cramer (figura 10).

Figura 10 - Capítulo XIII

Fonte: Stávale (1941, p. XIV)

Anteriormente a esse capítulo, observamos que o autor versou um conteúdo que se re-

fere à Matemática Financeira, trabalhando com porcentagens, juros, desconto e câmbio. Per-

cebemos, nos capítulos do livro em sua totalidade, que há uma divisão entre os conteúdos; na

primeira, temos a parte algébrica e, depois, a parte geométrica.

Para os sistemas de equações lineares, são reservadas trinta e duas páginas. Seguire-

mos as nossas categorias de análise, tentando perceber como o autor aborda esse tópico, pro-

curando elencar peculiaridades do assunto presentes no livro.

Definições

Trataremos a forma como o autor traz as definições acerca do tema, sistemas de equa-

ções e, para uma melhor visualização, as disporemos no quadro 3.

68

Quadro 3 – Definições trazidas por Stávale (1941) Algumas definições sobre sistemas lineares – Stávale (1941)

“Equações simultâneas são duas ou mais equações que, sendo distintas, devem admitir as mesmas

raízes” (STÁVALE, 1941, p.199).

“Dois sistemas são equivalentes quando admitem as mesmas soluções” (STÁVALE, 1941, p.200).

“Equação fracionária é aquela que contém incógnitas em denominador” (STÁVALE, 1941, p.217).

Fonte: Elaborado pelo autor

A princípio, o assunto de sistemas não traz muitas definições, sendo que as mesmas

possuem uma linguagem de fácil entendimento. Podemos inferir que o autor procurou atender

às Instruções Metodológicas, sancionados em 30 de junho de 1931, dentro da Reforma Fran-

cisco Campos. Nessas instruções, era prescrito que deveria ser feita uma adequação do conte-

údo ao grau do desenvolvimento do aluno:

A exposição da matéria e a orientação metodológica, entretanto, devem subordinar-

se, sobretudo nas séries inferiores, às exigências da pedagogia, de preferência aos

princípios puramente lógicos. Ter-se-á sempre em vista, em cada fase do ensino, o

grau de desenvolvimento mental do aluno e os interesses para os quais tem maior in-

clinação (BRASIL, 1931, p.12412).

Como o conteúdo se encontra no livro do segundo ano, subentende-se que o autor pri-

vou o estudante de uma linguagem muito formal, tratando o conteúdo de maneira mais sim-

ples.

Introdução do conteúdo de sistema de equações lineares

Nessa categoria de análise, veremos como o livro de Stávale introduz o assunto de sis-

temas. Partimos do pressuposto que, a abordagem inicial do tema é de extrema importância

para que se possa desenvolver uma sequência compreensível do assunto.

O autor inicia com um problema e, a partir de então, organiza as equações formando

um sistema.

“Diz um pai a seu filho: O dôbro da minha idade mais o triplo da tua é igual

a 110; o triplo da minha menos o dôbro da tua é igual a 100. Quais são as

nossas idades?”

{

( )

69

Stávale (1941, p.217) explica que “as duas equações devem ter as mesmas raízes” e

que uma raiz representa a idade do pai e a outra à idade do filho. Menciona, também, que es-

sas duas equações são distintas porque cada uma delas traduz uma relação diferente, porém

com as mesmas raízes.

Stávale discorre, ainda, sobre a solução do problema, como sendo um conjunto de va-

lores que satisfaz ao mesmo tempo as duas equações. Continuando a sua explicação, temos

outro sistema abordado pelo autor,

{

(STÁVALE, 1941, p. 200).

Esse sistema é tratado como sendo impossível, uma vez que não se pode obter dois va-

lores que satisfaçam, ao mesmo tempo, as duas equações dadas. O autor afirma: “Essas duas

equações formam um sistema de equações incompatíveis.” (STÁVALE, 1941, p. 200).

Ao se iniciar o assunto de sistemas com um problema, julgamos que o autor já propor-

ciona ao leitor uma possibilidade de tentar encontrar uma solução, sem se concentrar em um

emaranhado de fórmulas ou regras para a resolução do problema. Constatamos que o autor

não resolve o problema, apenas transcreve os dados de forma algébrica, formando, assim, o

sistema com suas quantidades desconhecidas.

Métodos de resolução

O livro contempla o tópico “Resolução de um sistema de duas equações simultâneas”.

O autor frisa que serão trabalhadas equações do primeiro grau, “isto é, terão sempre,

como expoente, a unidade.” (STÁVALE, 1941, p.200).

Para o autor, resolver um sistema é o mesmo que eliminar uma das incógnitas. E, para

fazer essa eliminação, temos três métodos (figura 11).

Figura 11 – Processos de eliminação

Fonte: Stávale (1941, p.201)

70

No método de eliminação por adição, temos o exemplo do sistema proposto na intro-

dução:

{

Sua resolução é feita de dois modos:

com a eliminação, primeiramente, da incógnita

e, depois, em uma segunda resolução, com a eliminação da incógnita

Ao final, é feita uma comparação entre os dois modos (figura 12).

Figura 12 – Comparação ente as formas de resolução

Fonte: Stávale (1941, p.202)

Após toda a explanação sobre a resolução do sistema, o autor, ainda, estabelece uma

regra para formalizar todo o trabalho anteriormente realizado.

Para resolver um sistema de duas equações simultâneas, com duas incógnitas, pelo

método da eliminação por adição, a) multiplicam-se ambos os membros da primeira

equação e da segunda por números tais que a incógnita que se quer eliminar tenha,

nas duas equações, o mesmo coeficiente, mas com sinal contrário; b) somam-se as

duas equações, resultando assim uma equação com uma incógnita; c) resolve-se essa

equação; d) entra-se com a raiz obtida, numa das equações do sistema proposto e re-

solve-se esta equação, determinando assim a outra raiz e, consequentemente, a solu-

ção do sistema. (STÁVALE, 1941, p.203).

71

Depois de estabelecidas as regras, é feita uma série de exemplos para que o estudante

possa ter uma maior familiarização com o método da adição. São inseridos mais quatro exem-

plos, os quais o autor chama de aplicações.

Tanto para o método da substituição (figura 13), quanto para o de comparação (figura

14), também há exemplos e, em seguida, são estabelecidas as regras para as resoluções.

Figura 13 – Regra do método de substituição

Fonte: Stávale (1941, p.212)

Figura 14 – Regra para o método por comparação

Fonte: Stávale (1941, p.216)

Stávale faz menção às fórmulas de Cramer, como um método alternativo para resolver

os sistemas. Para se chegar a essas fórmulas o autor traz um sistema geral e, a partir daí, atra-

vés do método da comparação chega às “fórmulas”. Para o sistema:

{

}

O autor explica: Vamos resolver este sistema, recorrendo a um dos métodos conheci-

dos, por exemplo, ao de eliminação por comparação.

Depois de realizar os devidos cálculos algébricos, apresenta a solução:

(STÁVALE, 1941, p. 223-224).

72

E complementa com a seguinte informação:

São essas as chamadas fórmulas de Cramer (...) Elas são válidas, evidentemente, pa-

ra , e nos permite resolver um sistema de duas equações simultâneas

do primeiro grau com duas incógnitas, sem recorrer aos três processos conhecidos

de eliminação. (STÁVALE, 1941, p. 224, grifos do autor).

Esse processo é proposto no livro, no sentido de fornecer mais uma alternativa para a

resolução de um sistema, porém, o autor orienta que, a utilização desse procedimento é “para

o caso mais simples de duas equações simultâneas do primeiro grau, com duas incógnitas.”

(STÁVALE 1941, p. 224).

No capítulo XX, que é o último da obra, encontramos o tópico Representação gráfica

das funções, em vinte e três páginas, sendo que, quatro destas, são dedicadas a uma aborda-

gem geométrica dos sistemas, com o subtítulo de “Resolução gráfica das equações simultâ-

neas”.

Neste capítulo, o autor retoma alguns conceitos já desenvolvidos no livro do primeiro

ano e trabalha com o conceito de função, mostra tabelas com alguns valores de x e y para de-

terminadas funções. Introduz alguns problemas relacionados a situações cotidianas, apresenta

gráficos de algumas funções, com uma ampliação do tema, para, então, introduzir a resolução

gráfica de duas equações lineares simultâneas, ou seja, como visualizar a solução de um sis-

tema de equações do primeiro grau através da representação das retas que o compõe, apenas

para retas concorrentes.

O autor discute um sistema com sua solução única e o representa através de um gráfi-

co (figura 15):

{

} (STÁVALE, 1941, p. 309)

Figura 15 – Gráfico representando solução única

Fonte: Stávale (1941, p. 309)

73

O autor ainda lembra que, nesse gráfico, as retas só se cortam em um ponto e, conse-

quentemente, temos apenas um valor para e um valor para , constituindo, ainda, uma regra

para a resolução gráfica. “Para resolver graficamente um sistema de duas equações lineares e

duas incógnitas, constroem-se os gráficos das duas equações. As coordenadas do ponto de

interseção das duas retas constituem a solução do sistema.” (STÁVALE, 1941, p.310).

O livro mostra casos particulares para os sistemas, casos em que as equações do gráfi-

co se confundem, constituindo uma única reta e equações que dão origem a duas retas parale-

las. Para esse último caso, o autor chama as equações desse sistema de incompatíveis ou con-

traditórias.

Para esses dois casos não são apresentadas imagens gráficas, apenas são dados exem-

plos e há uma breve discussão sobre os coeficientes das equações que formam o sistema.

I.

, o sistema tem uma solução, e somente uma.

II.

, o sistema não tem solução, porque as duas equações são

incompatíveis.

III.

, o sistema é indeterminado, tem uma infinidade de soluções,

porque as duas equações são equivalentes.

(STÁVALE, 1941, 311-312).

O autor conclui que, para cada um dos casos apresentados anteriormente, em:

I. As retas se cortam;

II. As retas são paralelas;

III. As retas de confundem.

Verificamos que o autor utiliza uma linguagem clara, apresentando a resolução de um

exercício, mostrando todas as suas possiblidades. Após as suas fundamentações, Stávale com

as soluções orientadas, estabelece regras que poderiam auxiliar o estudante no desenvolvi-

mento dos exercícios.

Exercícios/problemas

Para essa categoria verificaremos como o autor trata os exercícios e os problemas, se

com problemas ligados ao cotidiano, propiciando ao aluno a discutir sobre o assunto ou de

caráter meramente matemático, ligado apenas a procedimentos mecânicos.

74

Temos um total de cento e noventa e nove atividades, divididas entre exercícios e pro-

blemas. No quadro 4, apresentamos como essas atividades foram estruturadas, juntamente

com os seus enunciados.

Quadro 4 – Distribuição de exercícios e problemas As distribuições de exercícios

Eliminação por Adição -vinte e quatro exercícios - “Resolver, pelo método de eliminação

por adição, os seguintes sistemas”. (p.206).

- cinquenta problemas - “Os problemas que se seguem deverão

ser resolvidos com duas incógnitas.” (p. 208).

Eliminação por Substituição -vinte exercícios - “Resolver, pelo método de substituição, os

seguintes sistemas”. (p.212).

-vinte e cinco problemas - “Os problemas que se seguem deverão

ser resolvidos com duas incógnitas.” (p. 213).

Eliminação por Comparação -doze exercícios - “Resolver, pelo método de comparação, os

seguintes sistemas”. (p.216).

Equações simultâneas fracionárias -oito exercícios - “Resolver os seguintes sistemas.” (p.220).

-dezesseis problemas - “Os problemas que se seguem deverão ser

resolvidos com duas incógnitas.” (p. 221).

As fórmulas de Cramer -dez exercícios - “Resolver com a fórmula de Cramer os seguintes

sistemas.”(p.225).

Equações simultâneas literais -dez exercícios - “Resolver por qualquer método, os seguintes

sistemas.”(p.226).

Resolução gráfica das equações

simultâneas

-seis exercícios - “Resolva graficamente os seguintes sistemas”

(p.310)

Fonte: Elaborado pelo autor

Averiguamos um número bastante significativo de exercícios e problemas. Mostrare-

mos alguns exercícios propostos pelo autor (figura 16).

Figura 16 – Exercícios propostos

Fonte: Stávale (1941, p. 206)

Observamos que, os exercícios de sistemas não possuem as chaves para caracterizá-lo.

Temos também outro ponto importante, comparecem outras incógnitas como r, s, t, u, m e n,

fato não usual nos demais autores analisados (figura 17).

75

Figura 17 – Exercícios com aplicação do teorema fundamental da proporção

Fonte: Stávale (1941, p.207)

Temos exercícios nos quais o autor pede para que se utilize o teorema fundamental das

proporções (para a igualdade de duas razões, o produto dos extremos é igual ao produto dos

meios) para que se possam eliminar os denominadores.

Destacaremos outro modelo de exercícios, que o autor nomeia como exercícios orais

(figura 18). Esse modelo de atividade reflete as instruções preconizadas pela Reforma Fran-

cisco Campos, referendando que,

Para que satisfaça tais finalidades, a princípio, deve o ensino da Matemática acostu-

mar o aluno à prática dos cálculos mentais, tornando-o seguro e desembaraçado nas

operações numéricas. É, pois, necessário que ele compreenda bem o alcance e a na-

tureza das operações elementares e adquira habilidade crescente no modo de aplicá-

las. Convém ainda que desenvolva o senso de estimativa das grandezas e de aprecia-

ção do grau de exatidão dos cálculos sobre valores aproximados. Enfim, pela prática

frequente das verificações dos exercícios numéricos, cumpre ao professor estimar a

confiança do discípulo em si mesmo. (BRASIL, 1931, p.12412, grifo nosso).

Figura 18 – Exercícios orais

Fonte: Stávale (1941, p.212)

Ressaltamos os exercícios inseridos no tópico “Equações simultâneas fracionárias”. A

proposta, para a resolução dessas atividades, o artifício exposto pelo autor é referente à de

substituição de termos, como meio facilitador para a resolução dos sistemas (figura 19).

76

Figura 19 – Sistemas fracionários

Fonte: Stávale (1941, p. 220)

Stávale inclui exercícios denominados literais, nos quais os coeficientes são a, b, c, d,

etc. (figura 20).

Figura 20 – Exercícios literais

Fonte: Stávale (1941, p.226)

Os problemas relacionados aos métodos de eliminação, por adição e substituição, vari-

am de acordo com as características do quadro 5.

Quadro 5 – Problemas por métodos de eliminação (adição e substituição) Características de alguns problemas

Problemas que envolvem conhecimentos prévios de matemática

-“Determinar dois números tendo por soma 147 e por diferença 53.”(p. 208). - “Dois números são tais que, dividindo o maior pelo menor, o quociente é 2,14 e o resto é 0,02; dividindo o menor pelo maior, o quociente é 0,46 e o resto é 0,0376. Quais são os dois números? Observação. ” (p. 209). - “Qual é a fração cuja soma dos termos é 221 e que é igual a 5/8? Observa-ção. Represente a fração por x/y.” (p. 209)

Problemas que envolvem geometria

- “Calcular o comprimento e a largura de um retângulo cujo perímetro mede 208m sendo a largura igual a 5/8 do comprimento.” (p. 208). - “Dividir um segmento AB, com 7m² em dois segmentos proporcionais aos números 5 e 8.” (p. 210).

Problemas envolvendo matemática financeira

- “Ponho 2:500$ a juros, uma parte a 6% e a outra a 5% e ao cabo de um ano, ganho 141$. Determinar as duas partes.” (p. 209). - “Um certo capital, pôsto a render juros simples, eleva-se a 26:000$ em 6 anos, e a 30:000$ em 10 anos. Calcular êste capital e a taxa.”

Fonte: Elaborado pelo autor

Para os problemas com equações simultâneas fracionárias, algumas considerações de-

vem ser feitas. O primeiro exemplo é resolvido parcialmente pelo autor, ou seja, o problema é

equacionado, deixando a resolução do sistema para o aluno (figura 21).

77

Figura 21 – Problemas de sistemas com equações fracionárias

Fonte: Stávale (1941, p. 221)

A seguir, O problema da coroa, que também se encontra equacionado e com sua res-

pectiva resposta (figura 22).

Figura 22 – O problema da coroa

Fonte: Stávale (1941, p. 223)

No geral, são problemas/exercícios que apresentam as mesmas características dos an-

teriores, porém, ao transcrever para a linguagem algébrica, os sistemas possuem equações

fracionárias (quadro 6).

78

Quadro 6 – Sistemas fracionários

Problemas/exercícios de sistemas de equações

- “O quociente de dois números é 0,875. A diferença dos recíprocos destes mesmos números é 1/56. Determine os dois números.” (p.222).

- {

(p.220).

- “Determinar dois números sabendo que a soma e a diferença de seus recíprocos são, respectiva-mente, 5/6 e 1/6.” (p, 222).

Fonte: Elaborado pelo autor

Abordagem histórica do conteúdo sistema de equações

No problema da figura 21, mencionamos o fato de encontramos um recorte histórico

referente a Arquimedes. Ressaltamos que esse tipo de abordagem, mesmo que sucinta, estabe-

lece uma relação entre História da Matemática e o ensino do conteúdo.

Ilustrações

O livro não apresenta nenhum tipo de ilustração no conteúdo de sistemas de equações.

4.3 Curso de Matemática 4ªsérie Ginasial, de Algacyr Munhoz Maeder

O livro Curso de Matemática 4ª série Ginasial, de Algacyr Munhoz Maeder, tem co-

mo data de publicação o ano de 1948, em sua 4ª edição, com dimensões 18 cm por 13 cm. A

capa do livro contém a informação de que o mesmo foi autorizado pelo Ministério da Educa-

ção e Saúde – órgão que definia os rumos políticos tanto da educação como da saúde naquela

época. No livro, encontramos um total de 276 páginas, sendo que trinta e quatro são destina-

das ao assunto de sistemas de equações.

Figura 23- Capa do livro Curso de Matemática – 4ª série Curso Ginasial

Fonte: Maeder (1948)

79

A primeira edição do livro Curso de Matemática – 4ª Série – Curso Ginasial é do ano

de 1945. Como o livro analisado é de 1948, em sua 4ªedição, inferimos que foi um livro bem

aceito nas escolas. Outro ponto importante, legitimando a análise de livros desse autor, é que

muitos dos materiais escritos por Maeder foram publicados dentro de um cenário educacional

conturbado, permeado por reformas e mudanças sociais significativas. O próprio título da

capa do livro traz traços da reforma, em que a Álgebra, a Aritmética e a Geometria estariam

reunidas em uma única disciplina, a Matemática.

Na contracapa do livro, obtemos informações acerca dos locais de trabalho do autor e

uma menção do fato de, o livro se encontrar em conformidade com os programas oficiais. “De

acordo com o programa oficial do Ensino Secundário expedido e posto em vigor pela Portaria

ministerial n. 170 de 11 de julho de 1942 (Reforma Capanema)”. (MAEDER, 1948, contra

capa). Ao fazermos uma comparação entre o programa oficial e o índice do livro de Maeder

(1948) podemos comprovar essa conformidade com a legislação.

Quadro 7 – Programa de ensino de 1942 Programa de Ensino para o ano de 1942 – 4ªsérie

Álgebra

Unidade I – Equações e desigualdades do 1º grau: 1. Coordenadas cartesianas no plano; representações

gráficas. 2. Resolução e discussão de um sistema de duas equações com duas incógnitas. 3. Resolução

gráfica de um sistema de duas equações com duas incógnitas; interpretação gráfica da discussão. 4.

Resolução de desigualdades do 1º grau com uma ou duas incógnitas. 5.Problemas do primeiro grau:

fases da resolução de um problema; generalização; discussão das soluções.

Unidade II – Números irracionais: 1. Grandezas incomensuráveis, noção de número irracional; opera-

ções. 2. Raiz n-ésima de um número; radicais; valor aritmético de um radical. 3. Cálculo aritmético dos

radicais. 4. Frações irracionais; casos simples de racionalização de denominadores.

Unidade III – Equações do 2º grau: 1. Existência das raízes no campo real; resolução. 2. Relações entre

os coeficientes e as raízes; sinal das raízes. 3. Composição da equação dadas às raízes; aplicação de

sistemas simples do 2º grau. 4. Problemas do 2º grau.

Geometria dedutiva

Unidade IV – Linhas proporcionais; semelhança: 1. Pontos que dividem um segmento numa razão dada;

definição de divisão harmônica. 2.Segmentos determinados sobre transversais por um feixe de parale-

las. 3.Linhas proporcionais no triângulo; propriedades das bissetrizes de um triângulo; lugar geométrico

dos pontos cuja razão das distâncias a dois pontos fixos é constante. 4. Semelhança de triângulos; seme-

lhança de polígonos. 5. Construções geométricas.

Unidade V – Relações métricas nos triângulos: 1. Relações métricas no triângulo retângulo. 2. Altura de

um triângulo equilátero e diagonal do quadrado.

Unidade VI – Relações métricas no círculo: 1. Linhas proporcionais no círculo. 2. Construções geomé-

tricas.

Unidade VII – Polígonos regulares: 1.Propriedades dos polígonos regulares; expressão do ângulo inter-

no. 2. Construção e cálculo do lado do quadrado do hexágono regular, do triângulo equilátero e do de-

cágono regular convexo. 3. Cálculo dos apótemas dos mesmos polígonos. 4. Lado do polígono de 2n

lados em função do de n lados. Semelhança de polígonos regulares. 6. Construções geométricas.

Unidade VIII – Medição da circunferência: 1. Comprimento de um arco de círculo. 2. Razão da circun-

ferência para o diâmetro. 3.Expressões do comprimento da circunferência e de um arco; o radiano.

Unidade IX – Áreas planas: 1. Medição das áreas das principais figuras planas. 2. Relações métricas

entre as áreas; áreas de polígonos semelhantes. Teorema de Pitágoras.

Fonte: Vechia e Lorenz (1998, p.356, grifo nosso).

80

Quadro 8 – Programa livro Maeder (1948) Índice livro Maeder (1948) – 4ª edição

Capítulo I: Coordenadas cartesianas no plano; representações gráficas. Capítulo II: Resolução e discus-

são de um sistema de duas equações com duas incógnitas. Capítulo III: Resolução de desigualdades do 1º. grau com uma ou duas incógnitas.

Capítulo IV: Problemas do 1º. grau.

Capítulo V: Números irracionais – radicais – frações irracionais.

Capítulo VI: Equações do 2º. grau.

Capítulo VII: Problemas do 2º. grau.

Capítulo VIII: Linhas proporcionais.

Capítulo IX: Semelhança de triângulos e de polígonos.

Capítulo X: Relações métricas nos triângulos.

Capítulo XI: Relações métricas no círculo.

Capítulo XII: Polígonos regulares.

Capítulo XIII: Medição da circunferência.

Capítulo XIV: Áreas planas.

Fonte: Maeder (1948, grifo nosso).

É um livro que corresponde ao período em que Gustavo Capanema foi Ministro da

Educação e que, segundo Aranha (1996), é a época das chamadas Leis Orgânicas, dos decre-

tos-leis, com o intuito de reformar alguns ramos do ensino. É relevante transcrever o prefácio

da 1ª série ginasial, apesar de estarmos analisando um livro da 4ª série, pois refletem a impor-

tância dessa reforma para a construção da coleção de livros do autor como um todo.

Quadro 9 – Prefácio do livro Curso de Matemática – 1ª Série Curso Ginasial (continua)

Prefácio

As diretrizes firmadas pela nova lei orgânica do Ensino Secundário, no que dizem respeito às ciências modificam sensivelmente os princípios pedagógicos em que sempre se apoiou o ensino da Matemática nos ginásios do país.

Com efeito, na exposição da matéria atinente as duas primeiras séries, determinam os respectivos pro-gramas abandono do método dedutivo para se ministrarem, de modo elementar, ensinamentos intuitivos e práticos.

A dedução, como sabido, se faz por silogismos e de acordo com outros tipos de raciocínio, estabelecen-do-se as proposições mediante rigoroso encadeamento lógico, a partir de anteriores, já demonstrados ou admitidas por postulados.

No ensino prático, a orientação a seguir é bem diversa: enunciam-se definições, propriedades, regras, procurando-se aplicá-las de modo conveniente.

Mas não é só.

O novo rumo a seguir exige cuidados especiais. Não se deve perder de vista a necessidade de estimular o adolescente em seu desejo natural de bem interpretar as proposições que lhe são dadas a conhecer.

Não basta enunciar uma regra; deve-se explicar, elementarmente é claro, a sua razão de ser.

Aliás, o Sr. Ministro da Educação, na brilhante exposição de motivos que apresentou ao Exmo. Sr. Pre-sidente da República, traça, com toda precisão e justeza, a orientação que se deve dar ao ensino da Ma-temática no primeiro ciclo do Curso Secundário:

“Ao estudo das ciências, num e noutro caso, orientará sempre o princípio de que não é papel do ensino secundário formar extensos conhecimentos, de leis e hipóteses, de nomenclaturas e classificações, ou

81

ficar na superficialidade, na mera memorização de regras, teorias e denominações, mas cumpre-lhe essencialmente formar o espírito científico, isto é, a curiosidade e o desejo da verdade, a compreensão da utilidade dos conhecimentos científicos e a capacidade da aquisição desses conhecimentos. Está claro que será mais difícil a tarefa de ensinar desse modo as ciências”.

Temos para nós que proceder de outro modo seria comprometer a eficiência do ensino, seria contribuir para que falhasse irremediavelmente uma das finalidades precípuas da Matemática nos primeiros anos: a da preparação ao estudo do método dedutivo que se faz mais tarde.

Os programas expedidos e postos em execução pela Portaria ministerial n. 170, de 11 de julho de 1942, a nosso ver, foram elaborados com critério, dentro do espírito da “Reforma” e satisfazem perfeitamente as exigências de um bom e proveitoso ensino da Matemática.

São programas que, de fato, podem ser cumpridos integralmente com a desejada eficiência. Todos os que labutam no ensino o reconhecem.

Nessa afirmativa, estamos com aqueles que opinam por experiência própria, mas que não menosprezam, antes acatam, os frutos da teoria e da experiência alheia.

Estes breves comentários explicam o critério que seguimos na organização do nosso “Curso de Matemá-tica”, integralmente moldado dentro dos princípios estabelecidos pela nova lei e rigorosamente de acordo com o programa oficial. Destina-se este volume à primeira série do curso ginasial, abrangendo duas partes: Geometria intuitiva e Aritmética prática.

Na primeira parte, estudam-se intuitivamente noções fundamentais e figuras geométricas; na segunda parte, estudam-se praticamente operações mentais da Aritmética, múltiplos e divisores, frações ordiná-rias, números complexos e frações decimais, tudo acompanhado de exercícios cuidadosamente escolhi-dos.

Com as nossas homenagens, oferecemos este “Curso de Matemática” a todos os colegas que nos honra-ram pela atenção dispensada à série anterior das “Lições de Matemática”.

Algacyr Munhoz Maeder.

Fonte: Maeder (1943, prefácio).

Concordamos com Longen (2007), quando menciona que esses registros do prefácio,

servem para entender como esse autor recebeu essa reforma e como isso repercutiu em seu

material didático. Pelo prefácio do livro da 1ª série, percebemos que, para Maeder (1943),

essas mudanças eram bem-vindas e que seria possível realizá-las.

Quando voltamos o nosso olhar para o índice do livro de Maeder (1948), mais preci-

samente no capítulo que antecede o assunto de sistema de equações, notamos que é dada uma

atenção especial às coordenadas cartesianas, bem como, à determinação de um ponto em um

plano. Em seguida, é atribuído o conceito de função e sua representação gráfica (figura 24).

Interpretamos esse início do livro como sendo o primeiro passo, que o autor fornece ao estu-

dante, possibilitando-lhe estabelecer uma melhor compreensão quando se depara com a reso-

lução e interpretação gráfica de um sistema no capítulo seguinte. Mas será que isso realmente

ocorre? Será que o autor consegue fazer uma conexão entre a resolução algébrica e a gráfica?

(conclusão)

82

Figura 24 – Capítulo I

Fonte: Maeder (1948)

Definições

Fizemos um levantamento das definições mais relevantes sobre o sistemas de equa-

ções (quadro 10).

Quadro 10 – Definições Maeder (1948) Algumas definições

Sistema “Quando procuramos determinar uma solução comum para duas ou mais equações com duas ou mais incógnitas, dizemos que a equação considerada forma um siste-ma.” (MAEDER, 1948, p.20, grifo do autor)

Equações simultâneas “São as equações que constituem um sistema...” (MAEDER, 1948, p.20) Solução do sistema “O conjunto dos valores das incógnitas que verificam todas as equações de um

sistema...” (MAEDER, 1948, p.20) Sistemas equivalentes “Dois sistemas dizem-se equivalentes quando admitem a mesma solução”. (MA-

EDER, 1948, p.20)

Fonte: Elaborado pelo autor

Introdução do conteúdo de sistema de equações lineares

Para introduzir o conteúdo, o autor inicia trazendo uma representação de uma equação

de primeiro grau sob a forma , dizendo que as incógnitas são verificadas

por uma infinidade de soluções, trazendo um exemplo para confirmar o fato (figura 25).

Figura 25 – Uma equação com duas incógnitas

Fonte: Maeder (1948, p.19)

83

Maeder, através do exemplo, mostra a possibilidade de se ter infinitos valores para

, em uma mesma equação, utilizando, para isso, uma tabela, na qual atribui valores espe-

cíficos para encontrando seus correspondentes em Nestes termos, o autor afirma que a

equação é “indeterminada”, pois admite infinidade de soluções.

Neste caso, o autor parte de um exercício, construindo, a partir daí, a ideia de infinitas

soluções. Posteriormente, vem a ideia de um sistema de equações.

No item “Sistemas de equações”, temos duas equações juntamente com as suas solu-

ções.

{

(MAEDER, 1948, p.20)

O autor considera que as duas equações formam o sistema, pois estamos procurando

uma solução comum. Ainda trata que as equações que formam um sistema são denominadas

de “equações simultâneas” (MAEDER 1948, p.20).

Métodos de resolução

Maeder (1948) confere os métodos da resolução de sistemas a dois princípios básicos.

Princípio I - Resolvendo uma das equações de um sistema em relação a uma incógnita

e substituindo o valor dessa incógnita nas outras equações, obtém-se um sistema

equivalente ao primitivo. (MAEDER, 1948, p.21)

Princípio II - Em um sistema de equações simultâneas, substituindo um delas por ou-

tra resultante da adição ou subtração desta a qualquer das restantes, obtém-se um sis-

tema equivalente ao primitivo. (MAEDER, 1948, p.22).

De um modo geral, o autor trata a resolução de um sistema de equações como sendo

uma maneira de transformá-lo em outro equivalente, usando para isso o processo de substitui-

ção.

De modo geral, para resolver um sistema de duas equações com duas incógnitas

procura-se transformá-lo em outro equivalente, no qual uma das equações contenha

uma só incógnita. A resolução desta equação dará o valor de uma das incógnitas;

substitui-se, depois, esta incógnita por seu valor numa das equações do sistema e re-

solve-se a equação obtida (MAEDER, 1948, p.21).

84

De acordo com o autor, quando eliminamos uma incógnita de uma equação do siste-

ma, fazemos isso mediante alguns artifícios e esses métodos de eliminação são assim denomi-

nados: eliminação por substituição, por comparação e por adição. São utilizados exemplos

para ilustrar cada método, com o acréscimo de regras que sintetizam os passos a serem segui-

dos. Desses exemplos, podemos destacar aqueles que são estritamente algébricos (figura 26).

Figura 26 - Exemplo algébrico

Fonte: Maeder (1948, p.37)

O exemplo da figura 25 foi resolvido pelo método da adição, encontrando como solu-

ção,

.

É feita uma observação sobre esses métodos de resolução que, na maioria das vezes,

recai na prática da substituição para encontrar uma incógnita.

Na resolução dos sistemas do primeiro grau com duas incógnitas, depois de conhe-

cido o valor de uma delas pode-se determinar a segunda pela aplicação do próprio

método usado na determinação da primeira raiz. Entretanto, na prática, geralmente

se obtém por substituição o valor da segunda incógnita. (MAEDER, 1948, p. 38)

No livro, há a inserção de fórmulas para se calcular as incógnitas de um sistema

de equações. O sistema é apresentado na forma geral, {

e é utilizando o método de eliminação por adição para encontrar as seguintes fórmulas:

A partir daí, é feita uma discussão com relação às possíveis variações tanto do numerador

“N” quanto do denominador “D” dessas fórmulas (figura 27).

85

Figura 27 – Discussão entre numerador e denominador

Fonte: Maeder (1948, p.45)

Observamos o uso de uma simbologia na discussão dessas fórmulas, indicando uma

indeterminação,

, chamamos a atenção para esse fato que, nos outros livros já

apresentados, de Trajano e Stávale, essa simbologia não ocorria.

Maeder inclui a resolução gráfica de um sistema de equações, por meio de exemplos,

trazendo uma interpretação dos resultados por meio de análise de gráficos.

No Sistema {

(MAEDER 1948, p.48), são representadas graficamente

as retas das equações formadas pelos pontos ( ) ( ) da primeira equação e os pon-

tos ( ) ( ) da segunda equação (figura 28).

Figura 28 – Representação gráfica de um sistema com solução única

Fonte: Maeder (1948, p.49)

Essas retas se cruzam em um ponto ( ) – a solução do sistema.

Ora, entre a infinidade de pontos de cada uma dessas retas, apenas é comum a elas o

ponto . E, pertencendo êsse ponto simultaneamente às retas , segue-se que

as suas coordenadas, satisfazem ambas as equações dadas. Consequentemente, ditas

coordenadas constituem a solução do sistema proposto, a saber, {

(MAEDER, 1948, p.49).

86

Existe, na parte final desse assunto, uma interpretação gráfica utilizando os coeficien-

tes do sistema {

, indicando três casos possíveis (figura 29).

Figura 29 – Representação gráfica

I) II) III)

Fonte: Maeder (1948, p. 50-51)

Como a Reforma Campos preconizava a união dos conteúdos de Aritmética, Álgebra e

Geometria e estes deveriam vir reunidos sob a denominação de Matemática, encontramos essa

característica presente no livro no tópico de sistemas lineares, pois há uma fusão entre a parte

algébrica e geométrica. Porém, a forma como o assunto foi desenvolvido pelo autor poderia

ser abstrata e de difícil compreensão para o aluno, uma vez que não foram associados siste-

mas com valores numéricos.

Exercícios/problemas

Maeder apresenta, em seu livro, três partes destinadas a atividades para serem realiza-

das pelos alunos: as duas primeiras são exercícios e, a última, se destina a problemas.

Inicialmente, são propostos trinta e cinco exercícios, todos apresentam suas respostas

ao lado. São atividades, em sua maioria, numéricas, com poucas exceções e suas variações ou

grau de dificuldade oscilam entre exercícios com utilização de parênteses e frações (figura

30).

87

Figura 30 - Exercícios

Fonte: Maeder (1948, p. 39)

Podemos destacar duas atividades algébricas literais (figura 31).

Figura 31 – Exercícios algébricos

Fonte: Maeder (1948, p. 41)

Segundo nossa análise, as atividades propostas têm um cunho mecânico, apenas no

sentido de manipulação de técnicas para a resolução. O autor explicita o método de resolução

do sistema, utilizando no enunciado apenas o termo resolver.

Depois de fazer as discussões com as “fórmulas de resolução” de um sistema de equa-

ções do primeiro grau e das possíveis variações entre numeradores “N” e denominadores “D”,

Maeder propõe exercícios em que o estudante tente determinar valores para o coeficiente do

sistema. Há um total de cinco exercícios, nos quais os comandos variam entre encontrar valo-

res para que o sistema admita uma única solução ou para que o sistema seja indeterminado

(figura 32).

88

Figura 32 – Exercícios sobre determinação de variáveis

Fonte: Maeder (1948, p. 47)

Esses tipos de exercício poderiam proporcionar outro tipo de raciocínio, estabelecendo

as devidas relações entre os coeficientes do sistema.

O autor reserva um tópico específico para se trabalhar problemas com duas incógnitas.

“Resolvamos, agora, alguns problemas nos quais a tradução algébrica das condições estabele-

cidas no enunciado originam sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas” (MAE-

DER, 1948, p.95). Existem vinte problemas, todos com suas devidas respostas. Caracteriza-

mos essas atividades apresentadas no quadro11.

Quadro 11 – Caracterização dos exercícios

Características de alguns exercícios

Determinação do número “Determinar dois números cuja soma seja 55 e cuja diferença seja

7.”(MAEDER, 1948, p.97)

Problema monetários “Uma pessoa tem nota de dois valores diferentes; 10 notas da pri-

meira espécie e 5 da segunda perfazem Cr$ 45,00, e 15 notas da

primeira espécie e 8 da segunda perfazem Cr$ 70,00. De que valo-

res são as notas?”(MAEDER, 1948, p.98)

Problemas com utilização de

frações “Somando 3 ao numerador de certa fração, obtém-se outra igual

e

subtraindo 5 do denominador, obtém-se outra igual a

Qual é a

fração? ” (MAEDER, 1948, p.98)

Determinação de idade “Há 8 anos, a idade de um pai era o quádruplo da de seu filho, e

daqui a 8 anos será o dôbro. Qual é a idade de cada um?” (MAE-

DER, 1948, p.98)

Fonte: Elaborado pelo autor

Inserção histórica do conteúdo sistemas de equações

Não há abordagem histórica do conteúdo de sistemas de equações lineares com duas

incógnitas.

89

Ilustrações

No caso específico do assunto sobre sistema de equações, não encontramos nenhuma

ilustração além daquelas já vistas, quando o autor trata sobre a resolução gráfica.

4.4 Matemática Curso Ginasial Segunda Série, de Osvaldo Sangiorgi

O livro analisado Matemática Curso Ginasial Segunda Série, de Sangiorgi, foi publi-

cado em 1959, sendo este sua 56ª edição, da Companhia Editora Nacional, sediada em São

Paulo10

. O livro possui como medidas 13,5cm por 19 cm, tratando-se de uma edição com a

capa colorida e ilustrada, com 189 páginas numeradas. Suas páginas contêm escritas em preto,

não havendo nenhum outro tipo de cor. No verso da primeira folha, existe a informação de

que a obra se apresenta de acordo com os “novos programas”, conforme Portarias n.º 966, de

2 de outubro de 1951 e 1045, de 14 de dezembro de 1951, e de uso autorizado pelo Ministério

da Educação e Cultura. A segunda folha do livro é indicada a formação do autor, bem como,

as suas instituições de trabalho.

Figura 33 – Capa do Livro Matemática Curso Ginasial Segunda Série

Fonte: Sangiorgi (1959)

No índice são anunciados os seguintes tópicos:

Programa oficial;

Capítulo I (potências e raízes, expressões irracionais);

Capítulo II (cálculo literal, polinômios);

10

O livro analisado contém o Registro n.º 2 730, acrescentado do número do exemplar n.º 55399.

90

Capítulo III (binômio linear, equações e inequações do primeiro grau com uma in-

cógnita, sistemas lineares com duas incógnitas, aplicações).

Já, no “Programa de Matemática”, conforme Portarias, constam três itens, sendo:

I) Potências e raízes; expressões irracionais;

II) Cálculo literal; polinômios;

III) Binômio linear; equações e inequações do primeiro grau com uma incógnita; sis-

temas lineares com duas incógnitas.

No prefácio, Sangiorgi reforça uma diretriz, a de que o livro é para “auxiliar o aluno

sob a orientação indispensável de seus professores.” (SANGIORGI, 1959, p. 13). O autor

chama a atenção para a parte da álgebra dizendo que tudo de teórico e abstrato foi excluído,

trazendo abundantes aplicações numéricas para atrair ao jovem estudante. Anuncia que, na

parte final do livro, encontraremos uma coleção de 500 exercícios de recapitulação.

No terceiro capítulo, encontramos o conteúdo específico que será analisado, contendo

vinte e seis páginas, porém, antes faremos uma breve descrição do que o autor entende como

relevante, para ser trabalhado com os alunos, antes do assunto específico Sistema de Equa-

ções.

No capítulo II, Sangiorgi trata do cálculo literal e das expressões algébricas; faz men-

ção às operações como adição, subtração, multiplicação e divisão de polinômios. Engloba os

casos de fatoração, trazendo, por último, frações literais e suas propriedades.

No capítulo III, que é o foco da nossa análise, se encontra o conteúdo sistema de equa-

ções, temos um estudo sobre equações (igualdade, identidade, equivalência). Logo após, o

autor traz um tópico relacionado com binômio linear, definindo como “a expressão algébrica

da forma onde são números dados (sendo ) e uma variável.” (SAN-

GIORGI, 1959, p.128). Na sequência, um estudo sobre desigualdades e inequações. Percebe-

mos que o autor parece ter uma grande preocupação com a parte algébrica, já mencionada em

seu prefácio e legitimada nos tópicos citados anteriormente.

Definições

No quadro 12, selecionamos as definições que constam no terceiro capítulo, averiguando

o que o autor considera importante abordar sobre o tema.

91

Quadro 12 – Definições Sangiorgi (1959) As definições sobre sistemas de equações

O autor inicia o assunto dizendo que, “duas ou mais equações são simultâneas ou formam um sistema quando se

verificam para um mesmo conjunto de valores de suas incógnitas.” (SANGIORGI, 1959, p.141, grifo do autor).

“Se equações que compõem o sistema são do primeiro grau, diz-se que o sistema é linear.” (SANGIORGI, 1959,

p.141).

“Sistemas equivalentes são os sistemas de equações que admitem a mesma solução. A forma geral de um sistema

linear de duas equações com duas incógnitas é:

{

Onde a, b, ’a, ’b, são, respectivamente, os coeficientes das incógnitas x e y, e c, ‘c os termos conhecidos. ” (SAN-

GIORGI, 1959, p.142).

Método de substituição

“Reduzidas as duas equações à forma geral, resolve-se uma das equações, em relação a uma das incógnitas, con-

siderando a outra como quantidade conhecida.” (SANGIORGI, 1959, p.142).

Método da adição

“... multiplica-se ambas as equações por números tais que os coeficientes da incógnita que se quer eliminar torna-

se iguais em valor e de sinais contrários: somam-se então membro a membro, as duas equações obtendo-se assim

uma equação contendo somente uma incógnita que é logo determinado.” (SANGIORGI, 1959, p.143).

Método da comparação

“Resolvem-se as duas equações em relação a uma mesma incógnita considerando-se a outra como quantidade

desconhecida. Como as equações ainda constituem um sistema, admitindo portando as mesmas raízes, segue que

deve ser iguais os dois valores obtidos para a mesma incógnita.” (SANGIORGI, 1959, p.145).

Fonte: Elaborado pelo autor

Introdução do conteúdo de sistema de equações lineares

No quarto subitem, inicia-se o assunto de sistema de equações, sendo que, em uma

primeira discussão, o autor aborda equações do primeiro grau com duas variáveis. Mais adian-

te, Sangiorgi trata das infinitas soluções de uma equação do primeiro grau com duas variáveis,

atribuindo valores a e encontrando valores correspondentes para (figura 34).

Figura 34 - Equações lineares com duas incógnitas

Fonte: Sangiorgi (1959, p. 140)

(conclusão)

92

Depois de fazer as devidas considerações sobre equações de primeiro grau, há um

exemplo de um sistema linear e sua respectiva solução (figura 35). Atentamos para o fato de

que, para um primeiro exemplo, a sua resolução não é feita de forma integral.

Figura 35 – Sistemas de equações simultâneas

Fonte: Sangiorgi (1959, p.141)

O autor utiliza o termo “equações simultâneas” para se referir a sistema de equações.

O exemplo utilizado é um exercício simples, direto, sem nenhum tipo de contextualização.

Métodos de resolução

Nos métodos de resolução de exercícios empregados pelo autor fizemos uma análise

apenas das atividades resolvidas (exemplos), deixando os exercícios propostos para serem

discutidos posteriormente. Percebemos que, desde o tópico Sistemas lineares com duas in-

cógnitas, perpassando pelos exemplos dados nos demais subitens, todos os exercícios se apre-

sentaram de forma algébrica. Em nenhum momento temos exemplos empregando artifícios

geométricos. Os subitens mencionados são:

Equações do primeiro grau com duas incógnitas;

Sistemas de equações simultâneas;

Resolução de um sistema linear com duas incógnitas;

Discussão de um sistema linear de duas equações com duas incógnitas.

No subitem “Resolução de um sistema linear com duas incógnitas” o autor apresenta

três métodos para se resolver o sistema:

1. Método da substituição

2. Método da adição

3. Método da comparação

93

No subitem “Discussão de um sistema linear de duas equações com duas incógnitas”,

encontramos um sistema na sua forma geral, com a utilização do método da adição, chega-se

a uma fórmula geral para a resolução de um sistema (figura 36).

Figura 36 - Discussão de um sistema linear de duas equações com duas incógnitas

Fonte: Sangiorgi (1959, p.147)

Em seguida, são levantadas hipóteses, discutindo se o sistema é possível, impossível

ou indeterminado (figura 37).

Figura 37 – Hipóteses para discussão da solução

Fonte: Sangiorgi (1959, p.148)

O último tópico Problemas do primeiro grau com uma e com duas incógnitas. Gene-

ralização e discussão contém problemas resolvidos, como os demais apresentados anterior-

mente, e todos foram idealizados para serem resolvidos com um cunho algébrico.

94

É importante ressaltar que, nos exemplos fornecidos pelo autor, é apresentado um

exercício resolvido de cada método e nenhum deles está ligado a um enunciado com contex-

tualização.

Exercícios/problemas

Nesse item, exploramos exercícios/problemas propostos pelo autor e a análise foi ba-

seada nas seguintes categorias: em problemas que, no seu enunciado trazem um contexto e, a

partir daí, o estudante tem que equacioná-los dando origem a um sistema de equações e em

aqueles que têm uma finalidade essencialmente matemática, ou seja, os alunos necessitam de

algum conhecimento prévio de matemática para resolvê-lo. Além disso, avaliaremos os exer-

cícios que não envolvem contextualizações, ou seja, aqueles que exibem os sistemas de equa-

ções já prontos e é solicitado ou não um determinado método de resolução.

O livro apresenta dois momentos relacionados com exercícios, em uma primeira situa-

ção, encontramos atividades associadas aos quatro primeiro subitens. Encontramos cinco

exercícios, sendo que, os três primeiros solicitam a resolução de sistemas por métodos especí-

ficos, substituição, adição, e comparação, respectivamente e, na quarta atividade, o autor dei-

xa a critério do aluno os métodos para a resolução. Observamos, porém, que há um equilíbrio

entre os exercícios quando se solicita um determinado método de resolução.

No quinto e último exercício dessa primeira parte, encontramos seis sistemas para se-

rem discutidos com relação à sua solução. Os dois últimos exercícios apresentam uma forma

essencialmente algébrica, para os quais a discussão se dá através da utilização de fórmulas de

resolução já citadas anteriormente (figura 38).

Figura 38 – Exercícios algébricos

Fonte: Sangiorgi (1959, p.150)

95

Os problemas e exercícios propostos estão dispostos em dois momentos. Ao fim do

item 4, “Sistemas Lineares com duas incógnitas”, e ao fim do item 5, “Problemas do primeiro

grau com uma e duas incógnitas”.

No item 4, só existem exercícios de aplicação dos métodos de resolução, sendo dezoi-

to sistemas, acompanhados das suas respectivas respostas. Existe um equilíbrio dos métodos

de resolução solicitados

Podemos considerar, até então, que grande parte das atividades é de caráter mecânico,

na qual o aluno se depara com sistemas já determinados em que basta encontrar a solução.

Apenas no último exercício dessa primeira bateria, é solicitado que o estudante realize uma

discussão da solução de seis sistemas. Nesse sentido, consideramos relevante essa abordagem,

porque o autor apresenta sistemas que possuem solução possível e determinada, sistemas im-

possíveis e sistemas indeterminados, o que leva a diferentes possibilidades de solução.

Ao final dessa primeira parte, o autor traz uma observação constando que novos exer-

cícios podem ser encontrados sobre o tema na página 184 e também as respostas das ativida-

des. Analisando a página citada anteriormente, encontramos trinta e cinco exercícios com o

enunciado “Resolver os seguintes sistemas” (SANGIORGI, 1959, p.184), todos com respos-

tas. Dentre esses, temos dez exercícios em que seus coeficientes são literais, para que suas

soluções sejam discutidas (figura 39).

Figura 39 - Exercícios sobre sistemas de equações

Fonte: Sangiorgi (1959, p.184)

Ao fim do item cinco, como já explicitamos, temos o que caracterizamos como pro-

blemas, num total de quarenta, dos quais, vinte e quatro são solucionados através de sistemas

lineares com duas incógnitas, acompanhados de suas respostas.

Na página 159, temos uma observação sobre novos problemas na página 187. Ao fa-

zermos a verificação nessa página, observamos que os primeiros vinte e um problemas reme-

tem a um a equação do 1°grau a uma incógnita, a seguir, dez problemas que são equacionados

através de um sistema de equações lineares com duas incógnitas.

Para os problemas que envolvem sistemas de equações, classificamos em duas catego-

rias, a seguir, transcrevendo alguns dos problemas.

96

Quadro 13 - Problemas com algum tipo de contextualização Problemas contextualizados

“Um pai tem 40 anos e seu filho 12. Há quantos anos a idade do pai foi cinco vezes a da do filho?”

(SANGIORGI, 1959, p.156).

“Uma pessoa comprou galinhas e coelhos num total de 48 cabeças e 130 pés. Quantas galinhas e quantos

coelhos comprou?” (SANGIORGI, 1959, p.189).

“Por 5m de uma fazenda e 4m de outra pagou-se Cr$584,00. Sabendo-se que por 4m da primeira e 5m

da segunda paga-se Cr$568,00, dizer o preço do metro de cada fazenda.” (SANGIORGI, 1959, p.188).

Fonte: Elaborado pelo autor

Quadro 14 - Problemas que necessitam de algum conhecimento prévio de Matemática Problemas que necessitam conhecimentos de matemática

“Decompor o número 98 em duas partes, tais que a maior delas seja igual à menor mais 14” (SANGIOR-

GI, 1959, p.157).

“O quociente de dois números é 4 e o resto da divisão é 76. Achar esses dois números, se a sua diferença é

430.” (SANGIORGI, 1959, p.158).

“Qual é o número cujo dôbro somado com 5 é igual ao seu triplo menos 19?” (SANGIORGI, 1959,

p.187).

“A soma de dois números é 70. Seu quociente exato é 6. Quais são esses números? (SANGIORGI, 1959,

p. 187).

Fonte: Elaborado pelo autor

Inserção histórica do conteúdo sistemas de equações

O livro não trata de nenhuma parte histórica do assunto sistema de equações.

Ilustrações

Sobre o assunto sistema de equações lineares, não encontramos nenhum tipo de ilus-

tração.

4.5 Matemática Segunda Série Ginasial, de Ary Quintella

O livro Matemática Segunda Série Ginasial, de Quintella, foi publicado em 1961,

sendo este sua 59ª edição, da Companhia Editora Nacional, sediada em São Paulo. O livro

tem como medidas 13,5cm por 19 cm, com a capa colorida e ilustrada, com 187 páginas nu-

meradas.

97

Figura 40 – Capa do Livro Matemática Segunda Série Ginasial

Fonte: Quintella (1961)

No interior do livro, o texto é escrito em preto, não havendo a inclusão de outra cor.

No verso da primeira folha, este se apresenta de acordo com os novos programas oficiais em

vigor, conforme portarias n.º 966, de 2 de outubro de 1951 e 1 045, de 14 de dezembro de

1951, e de uso autorizado pelo Ministério da Educação e Cultura e registrado na Comissão

Nacional do Livro Didático sob n.º 1 337. Apresenta também o número do exemplar – n.º

6905.

Na segunda folha do livro, nos é informado sobre a instituição de trabalho do autor e

também é reforçado que, nessa edição, houve um acréscimo de oitocentos exercícios.

No Índice Geral, é tratada a parte específica dos exercícios e também sobre o Progra-

ma de Matemática da Segunda Série, sendo que, em seguida nos é informado sobre os conte-

údos presentes nas unidades:

Unidade I

Potências e raízes; expressões irracionais;

Unidade II

Calculo literal; polinômios;

Unidade III

Binômio linear; equações e inequações do primeiro grau com uma incógnita; sis-

temas lineares com duas incógnitas.

Atentamos para o fato de que o nosso alvo da pesquisa se encontra na terceira unidade,

porém, trataremos brevemente da unidade anterior e, em seguida, observaremos como o autor

98

apresenta a unidade na qual se encontra o assunto sistema de equações, contendo trinta e uma

páginas.

Quintella trata, na segunda unidade, a questão algébrica, monômios, polinômios, suas

operações, casos de fatoração e frações literais e suas propriedades. Percebemos uma preocu-

pação do autor em, primeiramente, trabalhar essas questões algébricas relacionadas com cál-

culo de polinômios, para que, depois, possa tratar os demais assuntos.

Já, na própria unidade do tópico sistemas de equações, observamos que o autor traz,

inicialmente, equações do primeiro grau com uma incógnita e, em seguida, desigualdades e

inequações para chegar, propriamente, nos sistemas lineares.

Ao examinar a terceira unidade constatamos subdivisões no assunto sistemas como

descrito, a seguir.

III. Sistemas lineares com duas incógnitas

Equações com duas incógnitas

Sistemas de equações simultâneas

Resolução de sistemas

Eliminação por substituição

Eliminação por adição

Eliminação por comparação

Sistemas de coeficientes fracionários

Sistemas de equações literais

Discussão

Quintella subdivide o assunto, até então, em nove partes para um melhor detalhamento

do tópico, trazendo uma sequência que consideramos bastante didática para o assunto. Dando

continuidade temos:

IV. Problemas do primeiro grau com uma e duas incógnitas

Resolução de problemas

Fases da resolução

Exemplos

Interpretação de soluções. Problemas impossíveis

Problemas gerais. Discussão

O autor versa sobre o assunto, problemas do primeiro grau com uma e duas incógnitas

e faz novamente subdivisões.

99

O livro apresenta-se com uma metodologia adequada, do ponto de vista sequencial dos

tópicos, conseguindo realizar uma construção de forma linear do conteúdo de sistemas, po-

rém, nessa sequência, não foi tratada a resolução geométrica do assunto.

Prosseguiremos com as categorias de analise para o livro de Quintella.

Definições

Quadro 15 - Definições Quintella (1961) Definições sobre sistemas

“Sistema de equações é um conjunto de duas ou mais equações que são satisfeitas para os mesmos valores

das incógnitas, isto é, que admitem pelo menos uma solução comum.” (QUINTELLA, 1961, p.158).

“Se, entre as várias soluções, houver pelo menos uma solução comum, diremos que as duas equações for-

mam um sistema de equações simultâneas.” (QUINTELLA, 1961, p.158).

“Duas equações do primeiro grau que só admitem uma solução comum, formam um sistema determina-

do.” (QUINTELLA, 1961, p.158).

“Se as equações admitirem uma infinidade de soluções comuns, o sistema denomina-se indeterminado.”

(QUINTELLA, 1961, p.159).

“Duas ou mais equações que não admitem solução comum, são chamadas incompatíveis.” (QUINTELLA,

1961, p.159).

“A transformação do sistema dado em outro equivalente em que uma das equações tenha uma só incógnita

denomina-se eliminação.” (QUINTELLA, 1961, p.160).

“Observamos que a resolução de um sistema comporta duas fases; a primeira consiste em transformar o

sistema de modo a obter uma equação de uma incógnita e é denominada eliminadora; a segunda consiste

em resolver sucessivamente, equações de uma incógnita e é denominada resolutiva.” (QUINTELLA,

1961, p.161).

“As quantidades conhecidas e as relações são os dados do problema. As quantidades desconhecidas são as

incógnitas.” (QUINTELLA, 1961, p.174).

Fonte: Elaborado pelo autor

Identificamos que Quintella segue uma sequência lógica e gradativa do assunto. O

autor procura trazer o máximo de abrangência do tópico, inserindo novas definições, como o

de equação eliminadora e equação resolutiva.

Introdução do conteúdo de sistema de equações lineares

Quintella sustenta, em seu livro, primeiramente, uma discussão sobre equação com

duas incógnitas, retratando as suas infinitas soluções.

Nessa equação é atribuído um valor qualquer para e encontrando o seu correspon-

dente em .

100

Ao iniciar o assunto sistemas, o autor considera duas equações,

, depois, são atribuídos valores a para cada equação e seus possíveis valo-

res que as tornam verdadeiras (figura 41).

Figura 41 - Soluções individuais das equações

Fonte: Quintella (1961, p. 158)

É mencionado o fato de as duas equações apresentarem uma solução comum, e que,

portanto, é a solução do sistema.

{

E discutindo a solução do sistema, Quintella define os termos determinado, indetermi-

nado e incompatível.

O autor inicia o conteúdo de sistemas com um problema e a partir de então, vai traba-

lhando os demais conceitos e discutindo a solução do sistema.

Métodos de resolução

Nessa categoria de análise, observaremos como Quintella traz as resoluções dos

exemplos e dos exercícios/problemas propostos, se de forma totalmente algébrica ou se em

algum momento ele faz menção de outra forma de resolução. Diante disso, faremos uma aná-

lise minuciosa em todas as atividades que o autor propõe para elucidar o conteúdo sistema de

equações.

Verificamos que a abordagem dada pelo autor tem um caráter algebrista, todas as ati-

vidades utilizadas, para explicar um tópico, têm sua resolução fundamentada na Álgebra (fi-

gura 42). Como já explicitado, o livro não faz menção de outra maneira de visualização da

solução do sistema.

101

Figura 42 – Exemplo algébrico

Fonte: Quintella (1961, p. 163)

O exemplo, mencionado na figura 42, retrata bem a supremacia do método algébrico

utilizado pelo autor, que o faz, utilizando para explicar um modo de resolução, “Método de

eliminação por adição”.

No subitem “Discussão” comparece um sistema de forma geral e mostra-se algumas

possibilidades de coeficientes que devem ser consideradas.

Essa discussão parte da análise de um sistema geral de equações com coeficientes

, o método que se utiliza para que se chegar aos casos mencionados é o de

adição (figura 43).

Figura 43 – Discussão de um sistema de forma algébrica

Fonte: Quintella (1961, p.168)

102

Observamos, na figura 43, que o autor novamente privilegia uma resolução e interpre-

tação do assunto de maneira algébrica, não retratando nenhuma outra abordagem. Se isolar-

mos os coeficientes da fórmula apresentada, encontraremos um quociente que se asse-

melha com o resultado da Regra de Cramer. No entanto, essa regra não é assinalada pelo au-

tor.

No tópico “Problemas do Primeiro Grau”, encontramos uma parte que trata exclusi-

vamente de problemas que se relacionam com sistema de equações. O autor, inclusive, propõe

três fases de resolução de problemas como segue:

A primeira, transcrever o problema para uma equação;

A segunda, resolver a equação;

A terceira, fazer a interpretação da solução obtida.

Consideramos essa distribuição, em fases de resolução. O autor, ao que parece, propõe

uma forma instrutiva, dando um direcionamento para se trabalhar com os problemas de pri-

meiro grau. Porém, em todos eles, Quintella utiliza apenas um tipo de tratamento como exem-

plo para esclarecer o assunto. Na última etapa, que é a da interpretação, se fosse apresentada a

resolução geométrica, possivelmente, haveria mais subsídios para o estudante visualizar outra

forma de compreensão do assunto.

Nesse mesmo tópico, o autor faz uma subdivisão dos problemas trazendo uma expli-

cação sobre os chamados problemas impossíveis, em que suas soluções podem ser positivas

ou negativas. Com relação à solução positivas, indica que “a impossibilidade da solução posi-

tiva, indica que as condições do enunciado são contraditórias e o problema é impossível”

(QUINTELLA, 1961, p. 179). Os problemas “pedem” uma solução inteira, o que é contraria-

do quando a resposta é fracionária.

Para as soluções ditas negativas, o autor nos diz que,

Na maioria dos casos a solução negativa indica impossibilidade. Todavia, quando a

incógnita representa a medida de uma grandeza suscetível de variar em dois sentidos

opostos, podemos interpretar a solução negativa, atribuindo à incógnita sentido contrá-

rio ao que lhe é dado no enunciado (QUINTELLA, 1961, p.180).

A interpretação de um problema, com uma solução negativa, requer uma observação

do sentido em que foi empregado, caso haja essa impossibilidade, de uma nova representação

do problema, ele será impossível.

103

Exercícios/ problemas

Observamos uma primeira parte dos exercícios sobre o assunto sistema de equações,

em um total de quarenta e seis e todos apresentam suas respectivas respostas. A grande maio-

ria é de caráter mecânico, no qual é apresentado um sistema com duas equações para que o

aluno encontre a solução. Não há uma contextualização e o processo de repetição de técnicas

tem um grande destaque.

Um fato, que deve ser mencionado, na sequência de exercícios proporcionados pelo

livro, é que se os mesmos se apresentam de maneira gradativa, se consideramos o nível de

dificuldade, sendo comprovado na sequência presente nas figuras 44 e 45.

Figura 44 – Quatro primeiros exercícios

Fonte: Quintella (1961, p.171)

Figura 45 – Quatro últimos exercícios

Fonte: Quintella (1961, p. 173)

Uma atenção especial aos últimos seis exercícios propostos (figura 46), em que temos

como enunciado “resolver e discutir os sistemas”. Esta é uma proposta que não percebemos

nos demais livros analisados, o aluno tem que fazer interpretações dos sistemas e não sim-

plesmente encontrar a solução.

104

Figura 46 – Resolver e discutir os sistemas

Fonte: Quintella (1961, p.173)

Os exercícios da figura 46, demandam mais raciocínio que os anteriores, pois não bas-

ta encontrar apenas uma solução e sim interpretá-la, analisando todas as possibilidades.

Na segunda parte dos exercícios, nos deparamos apenas com problemas, ou seja, o

aluno para resolvê-lo, não pode simplesmente utilizar um método, aplicar as operações algé-

bricas e encontrar a solução. Os problemas requerem, antes, uma interpretação, por parte do

estudante, equacionando os dados para que, depois, fazendo as operações, ele chegue a um

resultado. Esses problemas iniciam-se com a formulação de equações do primeiro grau e, em

seguida, surgem problemas que envolvem a construção de Sistema de Equações. No total,

temos cinquenta problemas para serem resolvidos, todos com respostas para que o aluno

compare seus resultados. Fazendo uma análise dos problemas, levantamos algumas caracterís-

ticas sobre os mesmos, verificando o seu contexto e a forma como são abordados (quadro 16).

Quadro 16 – Tipos de problemas

Caracterização de alguns problemas

Relacionados com frações “28.A soma de duas frações, cujos denominadores são respectiva-

mente, 3 e 6, é

; se passarmos o numerador da segunda para a

primeira e reciprocamente a soma será 2. Achar as frações.” (QUIN-

TELLA, 1961, p.185).

Relacionados com figuras geomé-

tricas

“1.Achar os lados de um paralelogramo cujo perímetro vale 21m.

sendo o lado maior o dôbro do menor.” (QUINTELLA, 1961, p.183).

Relacionados com a Física (tempo,

quilometragem e velocidade)

“33.Duas pessoas estão na mesma estrada e afastadas 24 quilômetros.

Partindo no mesmo instante, encontrar-se-ão no fim de doze horas se

caminharem no mesmo sentido, e no fim de 3 horas se caminharem

em sentidos opostos. Qual a velocidade de cada uma?” (QUINTEL-

LA, 1961, p.186).

Fonte: Elaborado pelo autor

Inserção histórica

Não há nenhum tipo de menção histórica relacionado ao assunto sistema de equações e

nem em qualquer outro assunto do livro.

105

Ilustrações

No livro há pouquíssimas figuras para ilustrar os conteúdos. Em geral, encontramos

figuras todas em preto e branco, porém, no assunto, sistemas de equações, não há nenhum tipo

de ilustração.

4.6 Livros de Sangiorgi, anos 1963 e 1965

Continuando a nossa análise e, até mesmo, para dar uma maior legitimidade à nossa

pesquisa, procuramos investigar novos livros, inseridos dentro do período da Matemática

Moderna. Consideramos pertinente averiguar os livros de Osvaldo Sangiorgi conjuntamente,

de modo a elencar novos aspectos, se existissem, no caso da edição de 1963 em relação à edi-

ção de 1959, já analisado nessa pesquisa.

Escolhemos a edição de 1965 desse autor, por entendermos a sua importância na edu-

cação brasileira, e de suas contribuições para o Movimento da Matemática Moderna em nosso

país. Valente (2008) retrata esse mérito de Osvaldo Sangiorgi, por sua demonstração em estar

sempre atento às discussões internacionais de Matemática. Através do III Congresso Nacional

de Matemática, realizado no Rio de Janeiro em 1959, ele toma a dianteira das propostas de

modernização no Brasil.

De acordo com Valente (2008), Sangiorgi se valeu da mídia para promover e difundir

esse movimento, e seus livros se tornaram referência para outros escritores. Assim, se justifica

a nossa análise de mais dois livros desse autor, com o objetivo de verificar quais as possíveis

modificações ocorridas na época.

A nossa investigação, nesse momento, será sobre mudanças ocorridas nos livros, como

um todo, teremos um olhar mais geral em sua estrutura, focalizando o assunto sistemas de

equações lineares com duas incógnitas. Por conseguinte, não seguiremos a sequência das ca-

tegorias de análise como realizamos nos livros anteriores. Intencionamos constatar se esses

livros de Sangiorgi, em decorrência desse período modernizador no Brasil, sofreram algum

tipo de influência.

Iniciaremos a nossa abordagem com o livro de 1963, no qual nos chama a atenção a

quantidade de edições dentro de um curto intervalo de tempo, entre os anos de 1959 e 1963,

as edições passam da 56ª para a 88ª, ou seja, dentro de quatro anos são publicadas trinta e

duas edições. Inferimos, por ter tantas edições dentro de curto período de tempo, que o livro

foi bem aceito pelos educandários da época.

106

Para Valente (2008), “a posição do professor Osvaldo Sangiorgi, diante das discussões

sobre a introdução da Matemática Moderna no ensino secundário brasileiro, é de cautela.”.

Ele não estava “interessado em transformações radicais dos programas de ensino de matemá-

tica.” (p. 596). Apesar disso, ele se torna uma figura expressiva no contexto do MMM no Bra-

sil, contribuindo para isso “o estágio que Sangiorgi realiza, em 1960, nos EUA, que tem re-

flexos na consolidação da sua posição nacionalmente. Obtém certa projeção no estrangeiro e

reformula totalmente sua coleção de livros didáticos para o ginásio”. É nesse estágio que ele

se convence de que as alterações nos “livros didáticos são inevitáveis e imperiosas, sob pena

de ser ultrapassado por outros autores. Além disso, coloca-o em contato com propostas mo-

dernizadoras já em andamento em escolas dos Estados Unidos”. (VALENTE, 2008, p. 596-

597). Em 1964, “é o ano 1, do volume 1, dos novos livros didáticos de matemática para o gi-

násio, livros de matemática moderna, de modo pioneiro, escritos por Osvaldo Sangiorgi”.

(VALENTE, 2008, p. 605).

4.6.1 Matemática Ginasial 2ª Série, de Osvaldo Sangiorgi(1963)

Figura 47 – Capa do livro Matemática Ginasial 2ª Série

Fonte: Sangiorgi (1963)

Observando a capa, não há nenhuma modificação com relação à edição de 1959 e, na

contra capa, há uma anotação sobre acréscimos de conteúdos (figura 48).

Figura 48 – Informação sobre acréscimos de conteúdos

Fonte: Sangiorgi (1963, contra capa)

107

Entraremos em mais detalhes sobre esse acréscimo de conteúdos mais adiante, mas, já

podemos concluir que a inserção de determinantes vem complementar a forma de se resolver

sistema de equações. No livro, os estudantes, poderiam ter a oportunidade de aprender a utili-

zar essa nova maneira, como sendo uma alternativa para encontrar a solução do sistema.

Em um quadro comparativo, (quadro 17), descreveremos de uma forma geral, através

do índice, o que mudou entre as edições de 1959 e 1963.

Quadro 17 – Comparativo entre índices de 1959 e 1963 Índice - Edição 1959 Índice - Edição 1963

Capítulo I – Potências e raízes. Expressões

irracionais

1. Potências:

2. Expressão do quadrado da soma indicada

de dois números e do produto da soma

indicada pela diferença indicada de dois

números. Interpretações geométricas res-

pectivas:

3. Raiz quadrada:

4. Raiz cúbica:

5. Grandezas comensuráveis e grandezas

incomensuráveis. Números racionais e

números irracionais. Radicais:

Capítulo I – Potências e raízes. Expressões irracionais

Mesmos conteúdos da edição de 1959

6. Acréscimo:

- Curiosidades sobre raízes quadradas,

- Tabela dos quadrados, cubos, raízes quadradas e cúbi-

cas dos números de 1 a 200.

Capítulo II – Cálculo literal. Polinômios

1. Expressão algébrica. Monômios e polinô-

mios:

2. Operações algébricas:

3. Casos simples de fatoração:

4. Máximo divisor comum e mínimo múltiplo

comum de expressões algébricas:

5. Frações literais

Capítulo II – Cálculo literal. Polinômios

Mesmos conteúdos da edição de 1959

Capítulo III – Binômio linear. Equações e

inequações do primeiro grau com uma incóg-

nita. Sistemas lineares com duas incógnitas.

Aplicações.

1. Igualdade. Identidade. Equação:

2. Binômio Linear:

3. Desigualdade. Inequação:

4. Sistemas lineares com duas incógnitas:

5. Problemas do primeiro grau com uma e

com duas incógnitas. Generalizações e

discussão:

Capítulo III – Binômio linear. Equações e inequações

do primeiro grau com uma incógnita. Sistemas lineares

com duas incógnitas. Aplicações.

Mesmos conteúdos da edição de 1959

Acréscimo:

- Apêndice de álgebra: Método dos determinantes –

Fórmulas de Cramer; Sistemas de equações - formas

especiais - redutíveis ao primeiro grau; sistemas de três

equações lineares com três incógnitas.

Exercícios de recapitulação sobre o programa

de álgebra

Acréscimo:

- Exercícios de recapitulação sobre potências expressões

quadráticas e raízes.

Fonte: Elaborado pelo autor

108

Ao observar o quadro 17, podemos constatar que houve acréscimos no capítulo I, jun-

tamente com um apêndice de Álgebra, cujo foco principal é dado ao tema Determinante e a

utilização da Regra de Cramer. No final do livro, é proposta uma recapitulação com exercí-

cios sobre potências e expressões quadráticas. A mudança mais considerável, sem dúvida, é

no apêndice. Analisando o capitulo III, no qual se encontra o tema de sistema, não observa-

mos nenhuma alteração em relação à 56ª edição.

Antes de expor as apreciações feitas nesse apêndice, inteiramos a nossa observação

acerca da não identificação da linguagem de conjuntos nessa obra. Apesar de o livro estar

datado dentro do período da Matemática Moderna, a presente obra não se valeu dessa influên-

cia. Inferimos que tal fato ocorreu devido à quantidade de edições do livro, em que, mesmo

estando situando dentro do período de modernização da Matemática, não participa de tal mo-

vimento.

O uso de Determinantes e a Regra de Cramer

Sangiorgi (1963) concede uma atenção especial à Álgebra utilizando mais uma ferra-

menta para a resolução de sistemas lineares, a Regra de Cramer. A resolução de sistema de

equações por esse método não requer do estudante conceitos complicados, não apresentando

elevados graus de abstração e nem demasiadamente teórico, ou seja, assim como dito em seu

prefácio, são alternativas para que o aluno passe a se interessar mais pelo conteúdo.

No apêndice do livro de Sangiorgi (1963), comparecem termos como, matriz quadra-

da, diagonal principal e diagonal secundária. São termos de fácil compreensão, sendo mostra-

dos através de um sistema geral, com coeficientes

{

(SANGIORGI, 1963, p.175)

Segundo o autor a Fórmula de Cramer vem para mostrar outra maneira de encontrar

os denominadores e numeradores das fórmulas de resolução, que dão o valor de (figura

49).

Figura 49 – Fórmula de Cramer

Fonte: Sangiorgi (1963, p.175)

109

Assim, os coeficientes são encontrados através de uma nova maneira, cujas re-

presentações se encontram a seguir:

|

|

|

|

|

|

|

|

Depois dessa explanação sobre a Regra de Cramer, o autor resolve três exemplos em

que ele dá o nome de “aplicações”. Entre os exercícios resolvidos, são lançadas notas sobre a

aplicação dessa regra para se resolver sistema de equações, no qual o faz com recomendações,

no sentido de ser mais uma ferramenta nessa resolução (figura 50).

Figura 50 – Resolução de sistema utilizando Regra de Cramer

Fonte: Sangiorgi (1963, p.177)

Abrindo para uma discussão sobre o processo de resolução com a utilização de Deter-

minantes, vamos nos referir à obra de Maclaurin (1748) “Treatise of Álgebra”. Nesse livro,

pudemos visualizar a resolução de um sistema de equações lineares, utilizando simplesmente,

o método de comparação dos sistemas, que se assemelha ao método da Regra de Cramer, no-

me dado em referência a Gabriel Cramer em sua obra “Introduction à l'analyse des lignes

110

courbes algébraique”, em 1750. Ou seja, na verdade, a Regra de Cramer pode ser apresentada

sem a menção de Determinantes, usando apenas a comparação entre as equações.

Dado o sistema {

temos o seguinte:

Isolando-se a variável nas duas equações temos,

·,

comparando as duas equações vem que,

·.

Fazendo as manipulações algébricas temos e reorganizando

temos, e consequentemente temos,

De maneira análoga, podemos encontrar o quociente da variável

O livro de Maclaurin (1748) já trazia essa proposta de resolução, utilizando compara-

ção, sem fazer alusão a Regra de Cramer ou Determinantes. Segundo Luccas (2004), o que

poderia ter levado a essa adoção do método de Cramer seria a sua maneira mais clara de elu-

cidar esse processo. Já Boyer (2003), trata esse assunto como sendo um fator de isolacionismo

matemático por parte de alguns países no fim do século XVIII, dificultando as divulgações de

outros trabalhos. Porém, encontramos também, essa apresentação de resolução também no

livro Théorie générale des équations algebriques do francês Étiènne Bézout (1730 – 1783),

escrito em 1779, que teve grande circulação e adoção na França e em outros países da Europa,

com diversas edições, no séculos XVIII e XIX11

, sendo também utilizado nas escolas

portuguesas e brasileiras, se tornando uma referência, inclusive sendo traduzido para o

português. Muitos autores se basearam em Bézout para escrever os seus livros. Luccas (2004)

comenta que Bézout contribuiu com a sistematização da teoria dos determinantes

demonstrando a condição necessária para que um sistema seja resolvido.

Continuando a nossa análise, temos um segundo item dentro do apêndice, que são

“sistemas de equações, sob formas especiais, redutíveis ao 1º grau” (SANGIORGI, 1963,

11

Segundo Valente (2007), de 1770 a 1868, no catálogo da Biblioteca Nacional da França, são registradas mais

de 75 edições da Aritmética de Bézout.

111

p.179). Aqui notamos uma preocupação em demonstrar outros artifícios algébricos para se

resolver um sistema, que a princípio poderiam ser vistos como sendo não linear.

Consideramos alguns casos simples de sistemas de equações algébricas (que

podem se apresentar com equações fracionarias), cuja resolução pode ser

simplificada usando especiais artifícios que, embora não obedeçam normas

gerais, pois, só a prática intensa pode fixar, convém serem adotados. (SAN-

GIORGI, 1963, p.179, grifo do autor).

No livro encontramos um primeiro exemplo, em que o autor elucida esses artifícios

mencionados por ele. Para o sistema {

, com se quiséssemos elimi-

nar as frações para resolvê-lo, teríamos um sistema assim,

{

O que torna o sistema composto por equações não lineares. Porém Sangiorgi (1963)

utiliza-se de uma técnica interessante, é feito uma substituição de variáveis, ou, como o pró-

prio autor chama “incógnitas auxiliares”.

Fazendo a substituição desses novos valores obtemos,

{

A partir daí, encontramos

,

Obtendo como resposta {

112

Além do primeiro exemplo citado anteriormente, Sangiorgi (1963) apresenta ainda

mais duas atividades, frisando novamente essas técnicas de substituição, com o intuito de

transformar um sistema não linear em linear. Por fim, o livro traz recapitulação de exercícios,

como mencionado na tabela que contem o índice, sobre potências e raízes, no entanto, não

iremos aprofundar os nossos estudos nesses temas, por julgarmos não ser o foco de nossa pes-

quisa.

Como nos demais livros analisados, o livro de Sangiorgi (1963) não traz aspectos his-

tóricos ou ilustrações no tópico sistemas lineares.

4.6.2 Matemática curso moderno, de Osvaldo Sangiorgi(1965)

Figura 51 – Capa do livro Matemática curso moderno

Fonte: Sangiorgi (1965)

Nesse livro, a Matemática é tratada como uma matéria de grande utilidade para a vida

cotidiana. Percebemos que o autor tenta estabelecer um diálogo com o estudante, proporcio-

nando uma linguagem mais simples, não deixando de reforçar, também, a figura do professor,

que, segundo Sangiorgi (1965), é um profissional de suma importância para o aprendizado do

aluno.

Sob um olhar geral, é importante salientar que, nessa edição, o livro apresenta uma

aparência visual diferente dos livros analisados até então, com cores mais fortes, esquemas,

acompanhado de figuras e quadros explicativos, os quais o autor chama de “Lembrete Ami-

go”, na provável intenção de propiciar uma melhor aproximação entre estudante e livro. Tam-

bém vislumbramos a inserção da linguagem da teoria de conjuntos, diferentemente da edição

de 1963, onde a mesma não se verifica.

113

O livro traz um programa para o ensino de Matemática intitulado de “Programa para

um Curso Moderno de Matemática”, em que garante estar de acordo com os “Assuntos Míni-

mos” e em consonância com os órgãos legisladores da época.

[...] os Assuntos Mínimos para um Moderno Programa de Matemática para os

Ginásios, aprovado pela Diretoria do Ensino Secundário, do Ministério de

Educação e Cultura, no Curso de Treinamento Básico para Professores Se-

cundários, realizado em Brasília, de 25 a 30 de novembro de 1963 e as suges-

tões para desenvolvimento da Matemática, da 2ª Série Ginasial, publicadas

pelo Departamento de Educação de São Paulo (Diário Oficial de 19/1/65).

(SANGIORGI, 1965. v. 2)

Este programa está assim dividido:

1. Razões - número racional absoluto – razões especiais (velocidade, densidades,...);

2. Proporções – propriedades – por cento – porcentagem – números proporcionais – regra

de três – juros – câmbio;

3. Números racionais relativos – conjunto dos números inteiros relativos – operações

(operações inversas) – propriedades estruturais – conjunto dos números racionais relativos –

operações (operações inversas) – propriedades estruturais;

4. Equações e inequações do primeiro grau – resoluções de equações e inequações do

primeiro grau com uma variável, através da linguagem de sentenças matemáticas no conjunto

dos números racionais relativos;

5. Sistemas de inequações simultâneas com duas variáveis – variável sujeita a duas con-

dições – resolução de sistemas de equações simultâneas do primeiro grau com uma variável,

através da linguagem de sentenças matemáticas;

6. Sistemas de duas equações simultâneas com duas variáveis – relações binárias – reso-

lução de sistemas de duas equações simultâneas do primeiro grau, através da linguagem de

sentenças matemáticas.

No quadro 18, informamos o índice das edições de 1959 e de 1965, no intuito de apon-

tar alterações realizadas pelo autor para estarem de acordo com que era pregado pelos assun-

tos mínimos.

114

Quadro 18 – Comparação entre os índices de 1959 e 1965 Índice - Edição 1959 Índice - Edição 1965

Capítulo I – Potências e raízes. Expres-

sões irracionais

1.Potências:

2.Expressão do quadrado da soma

indicada de dois números e do pro-

duto da soma indicada pela diferen-

ça indicada de dois números. Inter-

pretações geométricas respectivas:

3.Raiz quadrada:

4.Raiz cúbica:

5.Grandezas comensuráveis e gran-

dezas incomensuráveis. Números

racionais e números irracionais. Ra-

dicais:

Capítulo I

Primeira parte

- Conceito de número racional absoluto; Operações com conjunto,

- Reta numerada;

- Operações com números racionais; propriedades estruturais.

Segunda parte

- Razões; aplicações,

- Razões especiais: velocidade,

- Proporções: propriedades,

- Proporções especiais: médias,...; transformações,

- Por cento; Porcentagem,

Capítulo II – Cálculo literal. Polinômios

1.Expressão algébrica. Monômios e

polinômios:

2.Operações algébricas:

3.Casos simples de fatoração:

4.Máximo divisor comum e mínimo

múltiplo comum de expressões al-

gébricas:

5.Frações literais

Capítulo II

Primeira parte

- Números proporcionais

- Problemas com novas estruturas

- Grandezas proporcionais

Segunda parte

- Regras de três (R3S, R3C)

- Juros simples

- Desconto; Câmbio

Capítulo III – Binômio linear. Equações

e inequações do primeiro grau com uma

incógnita. Sistemas lineares com duas

incógnitas. Aplicações.

1.Igualdade. Identidade. Equação:

2.Binômio Linear:

3.Desigualdade. Inequação:

4.Sistemas lineares com duas incóg-

nitas:

5.Problemas do primeiro grau com

uma e com duas incógnitas. Genera-

lizações e discussão:

Capítulo III

Primeira parte

- Números inteiros relativos; operações com conjuntos,

- Estrutura de ordem; valor absoluto,

Segunda parte

- Operações com números inteiros relativos,

- Adição; propriedades estruturais; subtração

- Multiplicação; propriedades estruturais; divisão,

- Potenciação; técnicas de calculo; radiciação,

Terceira parte

- Conceito de número racional relativo; Operações; propriedades estruturais

Exercícios de recapitulação sobre o

programa de álgebra

Capítulo IV

Primeira parte

- Moderno tratamento da Álgebra,

- Sentenças e expressões; Sentenças abertas; Variáveis,

- Conjunto-Universo (U); Conjunto-Verdade (V),

- Equações e Inequações – Equações do primeiro grau,

- Resolução de equações no Técnicas,

- Quantificadores; Identidade,

- Inequações do primeiro grau,

- Inequações simultâneas,

- Técnicas operatórias,

Segunda parte

- Relações Binárias; sentenças abertas com duas variáveis,

- Sistemas de equações simultâneas,

- Técnicas da substituição; Discussão,

Apêndice

- Lembrando relações...

- Lembrando Sentenças abertas..

- Sistemas Matemáticos

Fonte: Elaborado pelo autor

115

Através do quadro 18, podemos constatar realmente um cenário de mudanças bastante

significativo em relação à edição de 1959. Um destaque é dado à questão de números racio-

nais, retas, conjuntos, operações e propriedades. Inferimos que esses conteúdos seriam pré-

requisitos, de modo a gerar bagagem para que os alunos pudessem ter mais embasamento e se

aprofundassem na teoria de conjuntos. No entanto, nosso interesse será centrado mais especi-

ficamente no capítulo IV, na segunda parte, no qual se encontra o assunto sistemas de equa-

ções simultâneas.

Sistemas de equações simultâneas

Inicia-se o assunto com exemplos sobre relações binárias, para os quais Sangiorgi traz

com a seguinte definição: “... binárias porque envolvem dois elementos, mostram a existência

de sentenças abertas com duas variáveis, de larga aplicação nas suas relações diárias e em

tôda a Matemática” (SANGIORGI, 1965, p.237, grifo do autor).

O autor relata que a atribuição dos valores configura que precisaremos de um

par ordenado de valores a fim de constituir uma sentença, que pode ser verdadeira ou falsa, e

até inclui uma curiosidade acerca de pares ordenados, referindo às combinações dos nomes

Maria e José. Sabemos que os pares ( ) ( ) se diferem, o primeiro elemento do par é

sempre a abscissa ( ) e o segundo elemento é sempre a ordenada ( ). O autor mostra que o

par (José, Maria) é um homem e que o par (Maria, José) é uma mulher.

Antes de se chegar aos exercícios, é feito um lembrete aos estudantes, mostrando os

principais termos vistos anteriormente (figura 52).

Figura 52 – Lembrete

Fonte: Sangiorgi (1965, p.239)

Percebemos que, com esse lembrete o autor almeja se aproximar do aluno, tentando

criar um ambiente menos formal com o uso da palavra “amigo”. Utilizando o subtítulo “Sen-

tenças abertas com duas variáveis”, o assunto é iniciado reforçando que essas sentenças com

duas variáveis são muito comuns em nossa prática cotidiana e a justifica com um exemplo

(figura 53).

116

Figura 53 – Exemplo de um sistema linear

Fonte: Sangiorgi (1965, p.242)

Nesse exemplo, constatamos uma primeira menção sobre o símbolo da “chave” que

une as duas equações, de forma a caracterizá-lo. Notamos também a utilização do conectivo

“ ”, para unir as duas sentenças.

Confirmamos a presença da linguagem de conjuntos, realçada quando o autor nomeia

a solução do conjunto como sendo os “elementos do Conjunto-Verdade ” e simboliza a so-

lução com a intercessão de dois conjuntos,

Para cada equação , são atribuídos um conjunto de pares ordenados.

Seja

{( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) }

{( ) ( ) ( ) ( )( ) }

Sendo o par ( ), a solução do sistema.

117

Pertinentemente, o autor argumenta que a solução é o par ordenado comum aos dois

conjuntos. É uma alternativa proposta, com o emprego da linguagem de conjuntos, que difere

em muito dos demais livros analisados.

O autor faz uma demonstração simples, dizendo que esse par é único. “O Conjunto-

Verdade V é sempre unitário para todos os sistemas simultâneos do primeiro grau que tradu-

zem problemas envolvendo duas variáveis e duas condições distintas e compatíveis, isto é,

que não sejam inconciliáveis” (SANGIORGI, 1965, p.244, grifos do autor).

Continuando a sua explanação, Sangiorgi (1965) mostra novos exemplos, sempre nes-

sa mesma linha, trabalhando com os pares ordenados, utilizando sistemas que possuem infini-

tas soluções e outros que não possuem solução. Vejamos um exemplo de um problema que

não possui solução (figura 54).

“Juca e Zeca possuem juntos 8 bolinhas. Sabe-se que a soma das bolinhas que Juca e Zeca possuem é

igual a 10. Quantas possui cada um?” (SANGIORGI, 1965, p. 245).

Figura 54 – Resolução de problemas incompatíveis

Fonte: Sangiorgi (1965, p.246)

Na resolução desse problema, utiliza-se da linguagem de conjuntos, com a construção

do conjunto verdade das equações atribuindo seus pares ordenados a cada uma delas e che-

gando à conclusão que a interseção de ambos é vazio.

Sangiorgi (1965) chama a atenção para uma técnica mais rápida para determinar a so-

lução de um sistema de equações, o uso da técnica de Substituição.

Pode–se determinar, ràpidamente, a solução – quando existe – de um Sistema

de duas equações simultâneas do primeiro grau com duas variáveis, pela Técni-

ca denominada Substituição de Variáveis (SANGIORGI, 1965, p.247, grifo do

autor).

118

Notamos uma valorização por parte do autor em relação a esse método de resolução.

Na verdade, o livro não apresenta nenhum outro método que não seja esse. Vale ressaltar que,

nos livros analisados até então, sempre encontramos, pelo menos, três métodos para se resol-

ver um sistema de equações lineares.

Dando continuidade, Sangiorgi (1965) traz cinco exemplos, todos são resolvidos pelo

método da substituição. Faz uma observação ao estudante sobre problemas sem solução ou

“Sistemas Impossíveis”, dando como exemplo a seguinte atividade:

{

Em que isolando na primeira equação temos,

Substituindo na segunda equação fica,

O que torna esse sistema impossível, ou seja, um sistema sem solução.

E, por último, o autor fecha com um esquema, em que se discute a solução do sistema.

Nesse esquema, há uma ilustração que, quebra um pouco o formalismo, dando um caráter

mais divertido a esse desfecho (figura 55).

Figura 55 – Esquema sobre discussão de sistemas

Fonte: Sangiorgi (1965, p.251)

119

4.7 Matemática Moderna, de Agrícola Bethlem

O livro Matemática Moderna, de Bethlem, é datado de 1969, publicado pela Distribui-

dora Record, situada no Rio de Janeiro, em um total de 143 páginas numeradas. O livro pos-

sui, como medidas, 21 cm por 13,5 cm. Trata-se de uma edição com a capa bastante colorida,

com as cores mais vibrantes do que os anteriormente analisados.

Figura 56 – Capa do livro Matemática Moderna 2ª Série Ginasial

Fonte: Bethlem (1969)

O tenente coronel Agrícola Bethlem se graduou engenheiro e bacharel em Matemática

e Ciências Físicas, foi por muitos anos professor do Colégio Militar do Rio de Janeiro. Esse

autor, além do livro em questão, que é o segundo volume de uma coleção de quatro volumes,

pode-se dar ao mérito de outras obras escritas por ele:

Exercícios de Mathematica;

Curso de Mathematica (5 volumes - Primeira à Quinta Séries Ginasiais antigas);

Arithmética;

Licções de Cálculo Diferencial e Integral;

Matematica Moderna (4 volumes - Primeira à Quarta Séries Ginasiais modernas).12

No prefácio, encontramos uma ideia de que o livro é de fácil compreensão, com uma

linguagem acessível a todos os estudantes, mas não deixando de atender aos rigores que a

matemática exige. É relatado que a aprendizagem se dá pela realização dos exercícios propos-

tos pelo livro. “Os exemplos objetivam e esclarecem as noções apresentadas.” (BETHLEM,

1969, prefácio, p. 10).

12

Nessa coleção está sendo analisado o segundo volume – 2ª Série Ginasial.

120

Em se tratando dos sistemas de equações, é mencionada a importância da parte gráfica

para uma melhor compreensão da solução.

Os sistemas de equações e as inequações são estudadas objetivamente. A represen-

tação gráfica das soluções esclarecem às dúvidas que perduram na solução analítica.

Através de exemplos bem escolhidos faz a fixação da aprendizagem procurando am-

pliar os hábitos de raciocínio e de abstração (BETHLEM, 1969, prefácio, p. 10, grifo

nosso).

Percebemos a importância que é dada aos exemplos, o próprio prefácio indica esse fa-

to, essa cultura de se trabalhar com bons exemplos pode contribuir para o entendimento, a

intelectualização e a generalização.

O prefácio foi escrito pelo professor Wilson Choeri, enaltecendo o livro de tal forma,

que o coloca em lugar de destaque entre os livros da Matemática Moderna. “É um livro ímpar

na constelação de livros de Matemática Moderna que aparecem, ùltimamente, no Ensino da

Matemática, daí recomendamos a sua leitura a professores e alunos.” (BETHLEM, 1969, pre-

fácio, p. 10).

Segundo Valente (2006), uma das principais inciativas do Movimento da Matemática

Moderna era o de fazer uma reforma nos programas de Matemática, no sentido de trazer uma

linguagem diferenciada e, para isso, utilizou-se, em grande parte, da teoria de conjuntos. Essa

linguagem então chega, ornamentando tanto a Aritmética quanto a Álgebra. Ao analisarmos

esse livro, primeiramente procuramos buscar os vestígios dessa teoria, já que o livro está inse-

rido nesse meio e o próprio título faz alusão ao termo “moderna”.

No primeiro capítulo do livro, encontramos menção à teoria de conjuntos, em que, se

trabalha com números racionais absolutos, trazendo a seguinte definição: “o conjunto dos

números racionais é numerável ou tem a mesma potência do conjunto dos números naturais”

(BETHLEM, 1969, p.20, grifo do autor).

Posteriormente, a linguagem de conjuntos vai se acentuando no capítulo III, sendo es-

tudados outros tipos de conjuntos e novas simbologias. Chamamos a atenção para o quê o

autor traz como um subtítulo, as “Preliminares”. Nesse item, são trabalhadas, com mais rigor,

as definições oriundas da linguagem de conjuntos; como se fosse um dicionário com signifi-

cados de vários termos dessa teoria.

As idéias ou pensamentos são traduzidos em linguagem corrente por meio de asser-

ções escritas ou orais. Essas asserções, por isso representam um pensamento com-

pleto. Em Matemática essas asserções utilizam símbolos ou sinais e, por isso mes-

mo, constituem a linguagem matemática. (BETHLEM, 1969, p.102, grifo do autor)

121

Considerando o nosso assunto, sistema de equações, desatacaremos algumas defini-

ções que consideramos primordiais utilizadas no livro (quadro 19).

Quadro 19 – Definições sobre teoria de conjuntos no livro de Bethlem (1969) As definições de Bethlem relacionado a teoria de conjuntos

Conjunto universo “O conjunto dos números entre os quais se deve selecionar o que colocado no lugar

da variável ( ) torna verdadeira a sentença aberta denomina-se conjunto universo.

Representamos este conjunto por U.” (BETHLEM, 1969, p.106, grifo do autor)

Conjunto verdade “O conjunto de elementos de U que torna a sentença aberta verdadeira é denomi-

nado conjunto verdade ou conjunto solução o qual se representa por V.” (BETH-

LEM, 1969, p.106, grifo do autor)

Conjunto vazio Nesse caso podemos dizer que não há solução, a representação utilizada pelo autor

é a utilização das simbologias “...conjunto verdade ou V={ } ou Ø, va-

zio...”(BETHLEM, 1969, p.107)

Fonte: Elaborado pelo autor

Nos livros analisados anteriormente, era difícil encontrar exercícios ou problemas que

não possuíam solução, para os quais as representações, para esse tipo de resposta, não eram

claras. Nesse livro, apresenta-se para os sistemas sem solução, as respostas V={ } ou Ø, ou

seja, a nova simbologia dentro da teoria de conjuntos. Para um melhor endossamento sobre

essa questão, mostraremos, a seguir, o exercício utilizado por Bethlem. Em seu livro, esse é o

primeiro exemplo que elucida tal característica. Dentro de um conjunto de números inteiros,

Conjunto Universo , é estabelecido um exemplo com uma sentença aberta, em que se deve

encontrar o valor numérico que substitui a variável (figura 57).

Figura 57 – Representação de um exercício sem solução

Fonte: Bethlem (1969, p.107)

122

No capítulo VI, temos o tema inerente ao assunto da pesquisa, com um total de dezes-

seis páginas, o qual trataremos, novamente, sobre o prisma de nossas categorias de análise.

Tentaremos encontrar nuances ou tendências do livro no assunto sistemas de equações e, a

partir de então, podermos tirar as conclusões necessárias para validar a nossa pesquisa.

Definições

Com relação às definições usadas dentro do capítulo em estudo, observamos que estas

se encontram muito atreladas à linguagem de conjuntos. Essas definições, simbologias e rigor,

aos olhos dos defensores da Matemática Moderna, eram vistas como o início de um processo

para uma nova estruturação da Matemática, desencadeando ou, pelo menos, tentando tornar o

raciocínio matemático mais amplo e com uma linguagem mais acessível aos estudantes.

No quadro 20, elencamos algumas definições apresentadas por Bethlem.

Quadro 20 – Definições sobre sistemas Definições sobre sistemas

Problema indeterminado “...problema que comporta mais de uma solução...” (BETHLEM,

1969, p.131)

Resolução de um Sistema de

Equações

“...consiste em achar o conjunto verdade ( ) ” (BETHLEM, 1969, p.132)

Grafo “...conjunto de pares ordenados...” (BETHLEM, 1969, p.133)

Temos outra maneira de definir um grafo.

“{ ( }” (BETHLEM, 1969, p.135)

Sistema com infinitas soluções “Um sistema de duas equações lineares que diferem por um fator

numérico, têm o mesmo conjunto verdade e consequentemente uma

infinidade de soluções. ” (BETHLEM, 1969, p.138, grifo do autor)

Fonte: Elaborado pelo autor

As definições destacadas no quadro são atreladas à linguagem de conjuntos que, como

já mencionamos, é uma linguagem marcante para o período. Logo de início, o autor indica

que resolver um sistema de equações é simplesmente encontrar o conjunto verdade.

De acordo com Soares (2005), esse realce, na teoria dos conjuntos, se fundamentava

no fato de que esse conceito era básico para unificar-se com outros tópicos da Matemática.

Dessa forma, quando mais cedo o estudante tivesse contato com esse tipo de linguagem, mais

cedo ele conseguiria realizar essa unificação com os outros ramos da matéria.

123

Introdução do conteúdo de sistema de equações lineares

No capítulo VI, primeiramente, há uma discussão sobre equações, com utilização de

exemplos. Os livros anteriormente analisados também o fazem, ou seja, o assunto sistema,

continuamente vem antecedido pelo tópico de equações. Porém, Bethlem o faz de maneira

diferente em relação aos demais autores. Primeiramente, pela sua abordagem, com a utiliza-

ção da linguagem de conjuntos. Termos como conjunto universo e conjunto verdade, apare-

cem regularmente.

No caso da equação, representada de forma geral, , é detalhada uma dis-

cussão, com levantamento de hipóteses relacionadas aos coeficientes Nessa questão,

são feitas conclusões associadas aos resultados que essa equação pode ter, dependendo dos

valores atribuídos aos coeficientes endo que, de maneira geral, com o conjunto

verdade é sempre {

}

Primeira hipótese:

Figura 58 – Primeira hipótese

Fonte: Bethlem (1969, p.128)

Segunda hipótese:

Figura 59 – Segunda hipótese

Fonte: Bethlem (1969, p.128)

124

Há também observações, feitas por Bethlem, ao longo do livro. Em uma delas, é men-

cionado o símbolo , que é um quantificador universal, significando “qualquer que seja ”

e, que é outro quantificador universal, que significa dizer “existe pelo menos um

” (BETHLEM, p. 129).

Essas observações seriam necessárias, pois forneceriam ao aluno uma maior possibili-

dade para a compreender as simbologias oriundas da teoria dos conjuntos. Como o livro, em

grande parte, adota essa linguagem, é muito importante que todos os símbolos fossem bem

explicados para uma melhor assimilação e apropriação da teoria.

Métodos de resolução

Quando falamos em métodos de resolução de problemas e, especificamente, para se

resolver sistema de equações, pensamos em uma maneira que nos conduza à solução do pro-

blema. No livro em análise, o autor optou por não utilizar ou distinguir métodos de resolução

para o sistema de equações, deixando a cargo do estudante, definir qual o melhor caminho a

ser seguido.

Bethlem inicia com um problema que, segundo o autor, remete ao cotidiano. Essa

equação apresenta duas quantidades desconhecidas, sendo necessário apresentar duas variá-

veis,

“Ernani entrou em uma loja e comprou três camisas de mesmo preço unitário e duas gravatas,

também, de mesmo preço unitário, tudo por NCr$ 62,00.”(BETHLEM, 1969, p. 130).

O autor adota o conjunto dos números racionais como conjunto universo para as pos-

síveis soluções da equação. São atribuídos valores para a variável e encontrados valores

correspondentes para (figura 60). Nesse caso, a ideia de infinidade de soluções é menciona-

da e lhe é conferido uma representação utilizando a linguagem de conjunto para expressar

essas quantidades infinitas (figura 61).

Figura 60 – Exercícios com atribuição de linguagem de conjuntos

Fonte: Bethlem (1969, p.131)

125

Figura 61 – Representação de todos os pares ordenados

Fonte: Bethlem (1969, p.132)

A esse primeiro exemplo, se estabelece mais uma nova condição, “...o preço de uma

gravata adicionado ao de uma camisa é igual a NCr$ 23,50” (BETHLEM, 1969, p.132), tor-

nando, assim, o problema determinado com a utilização de mais uma sentença.

{

Assim como no livro de Sangiorgi (1965), a solução também é expressa em notação de

conjuntos. Ou seja, o conjunto verdade das duas sentenças, são os pares ordenados que

tornam simultaneamente as duas equações verdadeiras.

Para resolver esse sistema, Bethlem utiliza-se de tentativas, não especificando nenhum

método de resolução. Existe, também, a definição de relação binária, que dá origem ao grafo

e, posteriormente, ao plano cartesiano. Inferimos que todo esse caminho, trilhando pelo autor,

era com o propósito de se chegar à visualização da solução de um sistema de equações por

meio de um gráfico ou grafo, como mencionado pelo autor.

Bethlem dá prosseguimento à resolução do sistema, contudo, nessa resolução ele não

nomeia qual método é utilizado. Observando a maneira como é descrito no livro, percebemos

que o método é o de comparação, que já foi apresentado em livros analisados anteriormente.

{

{

Obtendo como respostas ou expressando o resultado na linguagem

de conjuntos {( )}

126

Logo em seguida, é tratada essa solução em termos geométricos (figura 62), o que

possibilitaria uma melhor visualização do significado da resposta e, consequentemente, uma

aprendizagem mais eficaz.

Figura 62 – Representação gráfica solução única

Fonte: Bethlem (1969, p.137)

Com o sistema {

mostra também, a sua resolução gráfica, expondo ao

aluno uma representação da solução infinita (figura 63).

Todas as soluções da primeira são soluções da segunda. Ambas tem o mesmo conjun-

to verdade. Ora, o conjunto verdade da primeira equação é infinito e, por isso, o con-

junto verdade do sistema é também, infinito. Um sistema de duas equações lineares

que diferem por um fator numérico, têm o mesmo conjunto verdade e consequente-

mente uma infinidade de soluções (BETHLEM, 1969, p.138).

Figura 63 – Representação gráfica infinitas soluções

Fonte: Bethlem (1969, p.139)

127

Verifica-se que o autor tem a preocupação de informar que um sistema não tem solu-

ção, tendo o cuidado de não utilizar apenas da forma algébrica, recorrendo, também, a uma

visão geométrica da solução.

Através do sistema {

, Bethlem elucida, com mais veemência, a solução

impossível deste sistema (figura 64), utilizando um gráfico com retas paralelas, apresentando

como solução o conjunto vazio .

Figura 64 – Representação gráfica conjunto vazio

Fonte: Bethlem (1969, p. 140)

Ao final do tópico sistema de equações, encontramos um resumo, que organiza as pos-

síveis soluções ou, como exposto pelo autor, do conjunto verdade das equações do sistema

(figura 65).

Figura 65 - Resumo

Fonte: Bethlem (1969, p.141)

128

No item dois, o autor faz uma explanação sobre sistemas com infinidades de soluções.

É mencionado que, se o sistema possuir uma equação que difere da outra, apenas por um fator

numérico, as suas soluções serão infinitas.

No sistema {

, a segunda equação pode ser reescrita da seguinte forma,

( )

(BETHLEM, 1969, p.138)

Ou seja, essas equações se diferem apenas pelo fator numérico .

Para o item três do resumo, há uma explicação para quando a solução da equação não

existe, ou seja, se o conjunto verdade é { } ou Ø. Segundo Bethlem (1969), essas equa-

ções possuem um fator numérico que as diferencia apenas no primeiro membro. No seguinte

exemplo:

{

(BETHLEM, 1969, p.141).

Segundo o autor, os primeiros membros dessas equações diferem pelo fator 2 ou1/2,

mas os segundos membros, não. As equações são incompatíveis, não existindo um par ordena

que torne as sentenças abertas verdadeiras.

Observa-se que, apenas o primeiro membro das equações são iguais, o que não ocorre

com o segundo membro, logo, a solução desse sistema é vazio, { } ou Ø.

Não podemos deixar de mencionar que todas as atividades propostas pelo autor per-

passam sempre pela utilização da linguagem de conjuntos e que o conjunto utilizado como

conjunto verdade é o conjunto dos números racionais Outra situação, que deve ser eviden-

ciada, é que, nesse caso, o livro faz uma referência significativa em relação à resolução geo-

métrica dos sistemas lineares. Os exemplos trabalhados são bem simples e seus resultados são

interpretados graficamente, proporcionado, assim, uma dupla visualização e interpretação da

resolução de um sistema.

Exercícios/problemas

Bethlem traz uma proposta diferenciada para os exercícios a resolver. Ao final do ca-

pítulo do tópico sobre sistema de equações, temos dois momentos, o primeiro, com um total

129

de dez exercícios, sem respostas e, um segundo, com mais dez problemas, esses, por sua vez,

todos com respostas. Para os primeiros exercícios, há um enunciado com uma indicação, até

então, diferente de livros anteriores analisados: “Diga, sem resolver, se os sistemas de equa-

ções seguintes, têm uma solução, uma infinidade de soluções ou não tem solução.” (p.142).

Ainda, nesse primeiro momento, o autor pede o conjunto verdade de cada exercício juntamen-

te com seu gráfico, ou seja, o estudante precisa dizer o tipo de solução e representá-lo grafi-

camente (figura 66).

Figura 66 – Exercício sobre sistema

Fonte: Bethlem (1969, p.142)

No segundo momento, Bethlem enuncia que o aluno deva resolver os problemas que

recairão sempre em um “sistema de duas equações lineares com duas indeterminadas”

(p.142). Todos os problemas possuem suas respostas, para que o estudante possa fazer a con-

ferência.

No quadro 21, trazemos um levantamento das características dos problemas apresen-

tados pelo autor.

Quadro 21 – Problemas característicos Características de alguns problemas

Problemas aritméticos “1) A soma de dois números é 30 e sua diferença, 8. Achar os

números.”(BETHLEM, 1969, p.142)

Problemas com unidade monetária “5) 8 cadernos e 5 lápis custaram NCr$ 2,50. Os presços de um

lápis e o de um caderno somaram NCr$ 0,32. Quanto custou um

lápis? e quanto custou um caderno? ” (BETHLEM, 1969, p.142)

Problemas que envolvem fração “10) Em uma fração a diferença dos termos é 30. Soma-se 5 a

cada um dos termos e a nova fração é igual a

Qual a fração ori-

ginal? ”

Fonte: Elaborado pelo autor

No problema nove, o autor requer uma participação maior do estudante ao trazer uma

observação e pedindo que o mesmo explique e justifique a questão (figura 67).

130

Figura 67 – Exercício proposto

Fonte: Bethlem (1969, p.9)

No geral, percebemos um equilíbrio no número de exercícios e problemas. Todavia, os

exercícios, mesmo com um enunciado atrativo, acabam sendo repetitivos e os problemas, al-

guns possuem tentativas de contextualização e outros possuem finalidades essencialmente

matemáticas, que necessitam de conhecimentos prévios por parte do aluno.

Abordagem histórica

O livro não trata de nenhuma parte histórica do assunto sistema de equações.

Ilustrações

Apesar de a capa do livro ser bastante colorida, não há ilustrações no interior da obra

e, no conteúdo analisado encontramos apenas os gráficos como já vistos anteriormente.

4.8 Análise global

A forma como os livros fundamentam os conceitos matemáticos, a maneira como as

definições são tratadas, diz muito de como o assunto será estruturado. Souza (2010) vem tra-

zer a importância da linguagem utilizada nas definições, como sendo, basicamente uma fer-

ramenta importante para a aprendizagem do aluno. Algumas observações foram feitas sobre a

maneira como os autores tratam as definições do tópico de sistemas de equações lineares nos

livros didáticos.

Vejamos como cada autor define “sistemas de equações”.

“Duas ou mais equações de mais de uma incognita podem ser simultaneas ou inde-

pendentes. As equações são simultaneas quando cada uma das incognitas tem o

mesmo valor nessas equações [...] As equações são independentes quando, embora

tenham as mesmas lettras, só se satisfazem com valores differentes; ” (TRAJANO,

1932, p. 91, grifos do autor).

“Equações simultâneas são duas ou mais equações que, sendo distintas, devem ad-

mitir as mesmas raízes. Duas ou mais equações simultâneas formam um sistema”

(STÁVALE, 1941, p.199, grifo do autor).

131

“Quando procuramos determinar uma solução comum para duas ou mais equações

com duas ou mais incógnitas, dizemos que a equação considerada forma um siste-

ma.” (MAEDER, 1948, p.20, grifo do autor).

“[...] duas ou mais equações são simultâneas ou formam um sistema quando se veri-

ficam para um mesmo conjunto de valores de suas incógnitas.” (SANGIORGI,

1959, p.141, grifo do autor). 13

“Sistema de equações é um conjunto de duas ou mais equações que são satisfeitas

para os mesmos valores das incógnitas, isto é, que admitem pelo menos uma solução

comum.” (QUINTELLA, 1961, p.158).

Segundo Sangiorgi (1965), o sistema é constituído por duas equações ou sentenças

compostas, organizados por uma chave, em que se devem procurar valores de x e de

y que satisfaçam simultaneamente a ambas as equações.

De acordo Bethlem (1969), chama-se sistema de equação ao conjunto de duas sen-

tenças que constituem um conjunto de pares ordenados que tornem simulta-

neamente verdadeiras as duas sentenças ( )

Percebemos que, no livro de Trajano (1932), as definições são mais minuciosas com

um maior detalhamento, em relação aos demais autores. Dos livros analisados, esse foi o úni-

co autor que traz uma separação na definição de sistema, “simultâneas e independentes”. Para

os demais, o termo “simultânea”, em alguns casos, até se torna sinônimo de “sistema”.

Stávale usa uma palavra que não comparece nas demais definições, o termo “raízes”

como sendo o valor numérico ou literal das incógnitas. Para Sangiorgi (1965) e Bethlem

(1969), que são livros editados no período da Matemática Moderna, observamos a presença da

linguagem de conjuntos.

Além dos fatos elencados anteriormente, podemos salientar a quantidade de páginas

que cada autor dedicou ao assunto de sistemas de equações. A relevância dada a um conteúdo,

em um livro didático, pode ser medida, por exemplo, pelo número de páginas que o autor de-

dica a esse assunto (quadro 22).

Quadro 22 – Quantidade de páginas sobre o assunto de sistemas

Autores

Números de páginas

Páginas totais do

livro

Páginas totais do

assunto

Páginas totais do assunto (%) 14

Trajano (1932)

Stávale (1941)

Maeder (1948)

Sangiorgi (1959)

Quintella (1961)

Sangiorgi (1963)

Sangiorgi (1965)

Bethlem (1969)

181 16 9%

320 32 10%

276 34 12, %

189 26 14%

187 31 17%

235 39 17%

271 18 7%

143 16 11%

Fonte: Elaborado pelo autor

13

Essa mesma definição se verifica no livro de Sangiorgi (1963). 14

Os valores foram arredondados.

132

Ao analisarmos a parte destinada ao tema, sistemas de equações, nas obras e quantifi-

car o número de páginas ocupadas por esse tópico, em relação ao número de páginas total de

cada exemplar, foi constatado que, houve variações, nos livros didáticos pelo tema, até o iní-

cio da década de 60, depois, com o advento da Matemática Moderna, este tópico teve a sua

quantidade de páginas diminuída.

Em relação aos exercícios ou problemas propostos pelos autores. Baseamo-nos em

Chervel (1990) quando trata dos constituintes de uma disciplina escolar e destaca os exercí-

cios como sendo quase que indispensáveis e que o sucesso da disciplina depende da qualidade

dos mesmos. O autor ainda considera que, um dos componentes que regem o núcleo de uma

disciplina são os exercícios. Tamanha a importância desse item, realizamos um levantamento

nos livros didáticos sobre o comparecimento de atividades relacionadas às suas soluções (úni-

ca, infinitas e sem solução).

Quadro 23 – Tipos de soluções Autor

Tipos de solução

Apresenta

Trajano

(1932)

Solução única X

Infinitas soluções -

Sem solução -

Stávale

(1941)

Solução única X

Infinitas soluções -

Sem solução -

Maeder

(1948)

Solução única X

Infinitas soluções X

Sem solução -

Sangiorgi

(1959)

Solução única X

Infinitas soluções X

Sem solução X

Quintella

(1961)

Solução única X

Infinitas soluções X

Sem solução X

Sangiorgi

(1963)

Solução única X

Infinitas soluções X

Sem solução X

Sangiorgi

(1965)

Solução única X

Infinitas soluções X

Sem solução X

Bethlem

(1969)

Solução única X

Infinitas soluções X

Sem solução X

Fonte: Elaborado pelo autor

133

Os livros que traziam exercícios e/ou problemas envolvendo sistemas lineares sem so-

lução ou com infinitas soluções foram todos os três analisados de Sangiorgi (1959,

1963,1965), as obras de Quintella (1961) e Bethlem (1969). Nos livros considerados mais

antigos, Trajano (1932) e Stávale (1941), verificamos que os autores não trabalhavam com

exercícios ou problemas relacionados as soluções infinitas e sem solução.

Em uma abordagem mais específica sobre os problemas, verificamos que os livros di-

dáticos analisados trazem em suas atividades propostas (que caracterizamos como problemas),

uns em maior quantidade, outros, nem tanto. É bem verdade que essas primeiras inserções de

problemas nesses materiais eram de caráter “siga o modelo”, ou seja, havia um exemplo pro-

posto e, logo em seguida, uma lista de problemas com o mesmo procedimento, em que todas

essas atividades visavam à fixação de um método para se chegar à resposta final.

Quadro 24 - Apresentação das resoluções

Autores

Apresentação das resoluções com utilização de

exemplos ou exercícios/problemas

Algébricas Geométricas

Trajano (1932) X -

Stávale (1941) X X

Maeder (1948) X X

Sangiorgi (1959) X -

Quintella (1961) X -

Sangiorgi (1963) X -

Sangiorgi (1965) X -

Bethlem (1969) X X

Fonte: Elaborado pelo autor

Outra característica importante verificada é que os exercícios, em sua grande maioria,

eram resolvidos por meio da utilização da Álgebra. Dos oito livros envolvidos na investigação

constata-se que, apenas três traziam, em suas resoluções, o método geométrico (quadro 24).

Não encontramos a mesma proporção entre os dois tratamentos, o algébrico e o geométrico

em nenhum dos oito livros.

Outro ponto relevante é que, no livro de Bethlem (1969), encontramos uma boa expla-

nação sobre a solução geométrica em relação aos sistemas de equações. Esse aspecto pode

demonstrar que nem todos os autores tinham um descaso pela geometria. No Movimento da

134

Matemática Moderna, alguns autores apontam o abandono da geometria como Pavanello

(1993) e Nascimento (1994), contudo, Zuin (2001) verificou o contrário. A autora, afirma

que, no período em que vigorava a Matemática Moderna no Brasil, se outros pesquisadores

apontavam que a Geometria foi deixada de lado é simplesmente pelo fato de que não tiveram

o seu olhar para o livro didático num universo mais amplo. Naquela época, muitos livros que

tinham como título Educação Artística trabalhavam, de alguma forma, com o Desenho Geo-

métrico e, consequentemente, com aspectos da Geometria (ZUIN, 2001). Essa constatação de

Zuin (2001) corrobora a nossa percepção em relação a Bethlem que, no período do MMM,

não abandonou a resolução geométrica dos sistemas lineares. Então, não pode se generalizar

que, durante o MMM, todos os autores teriam relegado a geometria a um segundo plano.

Com relação aos métodos de resolução de um sistema de equações, havia, na maioria

dos casos, a menção de três métodos (adição, substituição e comparação). Para fins de uma

melhor explanação sobre os três principais métodos de resolução de um sistema, trouxemos

um esquema com os seus respectivos passos (figura 68).

Adição

Multiplica-se a primeira equação pelo primeiro termo da segunda equação e a segunda pelo primeiro termo da

primiera. Caso o primiero termo das equações sejam iguais, multiplicar

uma delas por (-1) e depois somar as duas equações.

Encontrar o valor da incógnita que não for eliminada.

Substituir o valor encontrado da incógnita em uma das equações para encontrar o valor da outra incógnita.

Substituição

Isolar uma das incógnitas de uma das equações.

Substituí-la em outra equação para encontrar o valor da segunda incógnita.

Substiuir o valor encontrado na primeira equação para que finalmente encontre o

valor da primeira incógnita.

Comparação

Islolar a mesma incógnita nas duas equações.

Colocá-las em igualdade para encontrar o valor da segunda incógnita.

Substituir o valor encontrado em uma das equações para encontrar

o valor da primeira incógnita.

Figura 68 – Esquema sobre os métodos

Fonte: Elaborado pelo autor

135

Da mesma forma, no quadro 25 temos uma visão sobre os principais métodos de reso-

lução, juntamente com as formas de apresentação, encontrados nos livros didáticos analisa-

dos.

Quadro 25 – Principais processos Principais processos encontrados

Formas de resolução

Eliminação Adição

Substituição

Comparação

Algébrica

Generalização Regra de Cramer

Forma de apresentação Apresentação gráfica Geométrica

Fonte: Elaborado pelo autor

Em alguns momentos, era mencionada uma forma de resolução que conhecemos por

Regra de Cramer (alguns autores a mencionavam com essa terminologia e, outros, não). Du-

rante o período da Matemática Moderna, os autores optavam em utilizar apenas um dos méto-

dos e em um deles, Sangiorgi (1965), dava um grande destaque ao método de substituição

(quadro 26).

Quadro 26 – Métodos de resolução

Autores

Métodos de Resolução

(com ou sem menção explícita)

Regra de Cramer

Adição Substitui-

ção

Compara-

ção

Fórmulas que

se assemelham

com o resulta-

do proposto

por “Cramer”

Menciona

com a utili-

zação do

nome

“Cramer”

Não

menciona

Trajano (1932)

Stávale (1941)

Maeder (1948)

Sangiorgi (1959)

Quintella (1961)

Sangiorgi (1963)

Sangiorgi (1965)

Bethlem (1969)

X X X - - X

X X X - X -

X X X X - -

X X X X - -

X X X X - -

X X X - X -

- X - - - X

- - X - - X

Fonte: Elaborado pelo autor

Outra situação é sobre como os autores introduzem o conteúdo de Sistemas (defini-

ções, exercícios, problemas e abordagem histórica). Averiguamos que, na maioria das vezes,

esse início é feito através de exercícios ou problemas (quadro 27). Em nenhum momento, foi

feito alguma abordagem história do conteúdo. Ao que parece, os autores não se ocuparam

com os aspectos históricos referentes ao sistema de equações.

136

Quadro 27 – Introdução do conteúdo

Fonte: Elaborado pelo autor

Com relação às ilustrações, investigamos como essas eram conferidas nos livros didá-

ticos. Classificamos as nossas ilustrações como sendo fotografias, desenhos ilustrativos, dese-

nhos esquemáticos, diagramas com utilização de desenhos e outras imagens (tabelas, quadros,

etc.). Para síntese sobre essa categoria, enfatizaremos apenas as ilustrações presentes no con-

teúdo de sistemas lineares (quadro 28).

Quadro 28 – Ilustrações

Fonte: Elaborado pelo autor

Ao visualizarmos as informações contidas no quadro 28, podemos constatar, nos livros

de Stávale (1941) e Maeder (1948), a inserção de ilustrações, algo que não era muito presente

nos livros até então analisados, comparando com o livro anterior e os posteriores a esses auto-

res. Já, para o período da Matemática Moderna, essa categoria se tornou mais evidente.

Ao averiguar os princípios das tendências pedagógicas, analisarmos os programas

educacionais e as suas instruções, podemos elencar situações referentes às abordagens que os

autores deram nos livros didáticos concernente ao assunto sistemas de equações. Inicialmente,

no livro de Trajano (1932), podemos encontrar alguns elementos do ensino intuitivo, como as

Autores Introdução do conteúdo Sistema de Equações

Definições Exercícios Problemas Abordagem

histórica

Trajano (1932)

Stávale (1941)

Maeder (1948)

Sangiorgi (1959)

Quintella (1961)

Sangiorgi (1963)

Sangiorgi (1965)

Bethlem (1969)

X X X -

X X X -

X X - -

X X - -

X X - -

X X - -

X - X -

X - X -

Autores

Ilustrações encontradas nos sistema lineares

Possui algum tipo de ilustração

Trajano (1932) -

Stávale (1941) X

Maeder (1948) X

Sangiorgi (1959) -

Quintella (1961) -

Sangiorgi (1963) -

Sangiorgi (1965) X

Bethlem (1969) X

137

graduações, em ordem de dificuldade, dos conteúdos e exercícios, sem ilustrações nesse mate-

rial dentro do tópico estudado. Atentamos para o fato que, o conteúdo sistemas é acompanha-

do de vários problemas resolvidos, possivelmente, com o intuito de proporcionar ao estudante

uma melhor compreensão das resoluções para que ele possa efetuar em sequência as ativida-

des propostas. Zuin (2011) confirma esse fato esclarecendo que, Antonio Trajano demostrava

uma grande preocupação com a resolução de problemas e que, nesse contexto pedagógico,

encontramos elementos dos princípios do método intuitivo. A mesma autora ainda pontua

que, “por ser um pastor protestante e atuar como docente das escolas da Igreja Presbiteriana

do Rio de Janeiro e de São Paulo e na Escola Americana de São Paulo, Trajano teria contato

com publicações e educadores estadunidenses” (p.11). Todas essas proximidades com livros

de autores americanos, alguns, por sua vez, adeptos do Método Intuitivo, teriam influenciado

Antonio Trajano a escrever seus materiais.

Stávale (1941) foi um autor que via a reforma Francisco Campos com bons olhos, mas

pedia cautela em relação ao ensino dos quatro ramos da Matemática, atentando sempre para o

fato de que se deveria respeitar a maturidade do aluno:

Sem dúvida alguma, é bela e útil a nova orientação dada ao ensino da Matemática

pela douta Congregação do Colégio Pedro II. Os quatro ramos da Matemática Ele-

mentar, convém que sejam ensinados paralelamente, desde o primeiro ano do curso

ginasial. Mas o ensino simultâneo dêstes quatro ramos não pode ser feito atabalhoa-

damente, como o pretendem alguns autores. (STÁVALE, 1941, p. IX).

Destacamos que esse autor mostrava-se em consonância com determinados pontos

prescritos pelas instruções metodológicas da Reforma Campos, incluindo em seu livro, por

exemplo, exercícios orais, “para que satisfaça tais finalidades, a princípio, deve o ensino da

Matemática acostumar o aluno à prática dos cálculos mentais, tornando-o seguro e desemba-

raçado nas operações numéricas.” (BRASIL, 1931, p.12412, grifo nosso).

O livro de Maeder (1948) apresenta uma linguagem que não disfarça seu formalismo.

Seguinte a essa situação, destacamos a presença, mesmo que concisa, da menção à geometria

atrelada aos sistemas lineares. Nesses termos, o autor se encontra em conformidade com o

Programa de Matemática da Portaria Ministerial nº 170, de 11 de julho de 1942, que prescreve

a resolução gráfica de um sistema de duas equações com duas incógnitas, bem como, a sua

interpretação gráfica, discussão e solução (VECHIA & LORENZ, 1998).

Nos livros de Sangiorgi (1959) e Quintella (1961), percebemos que seus conteúdos

seguem a Portaria 1.045, de 14 de dezembro de 1951, a qual expedia os planos de desenvol-

vimento dos chamados “Programas Mínimos” de ensino secundário e respectivas instruções

138

metodológicas. Nesses programas, não há a inclusão da parte gráfica para o conteúdo de sis-

temas, porém, ao analisarmos as instruções metodológicas oriundas da portaria, encontramos

propostas diferentes entre o documento e os livros didáticos. Segundo as instruções, “o exer-

cício e o exemplo deverão acompanhar a explanação da matéria, entremeando-se com a sua

exposição...” (BRASIL, 1951, p.9). Contudo, os exercícios nos livros de Sangiorgi (1959) e

Quintella (1961) estão sempre dispostos ao final das exposições teóricas.

Para os livros de Sangiorgi (1965) e Bethlem (1969) é bastante perceptível uma mu-

dança na maneira como os autores abordam o assunto de sistemas lineares. Foi atribuída a

esse tema, uma estruturação algébrica carregada de simbolismos, com excessiva abstração e

uma ênfase na teoria dos conjuntos.

Inicialmente, nos propusemos a verificar se houve uma “vulgata” em relação à apre-

sentação dos sistemas lineares nos livros. Foi perceptível que, entre os livros analisados, isso

não ocorreu. Cada autor tem um modo particular de tratar o tema, as poucas semelhanças não

caracterizariam uma vulgata15

.

De uma maneira geral, é imprescindível ressaltarmos que o conteúdo de sistema de

equações lineares com duas incógnitas, permaneceu nos livros didáticos. Considerando todas

as transformações ocorridas no período analisado, às reformas Francisco Campos e Capane-

ma, o Movimento da Matemática Moderna, todas as leis, decretos ou portarias, em nenhum

momento esse conteúdo desaparece. Ocorrem modificações concernentes aos métodos de re-

solução, inclusão ou não da resolução gráfica e a forma metodológica de apresentar este con-

teúdo, refletindo igualmente nos exercícios e problemas. A alteração mais significativa fica

restrita aos livros cujos autores seguiram princípios do MMM.

15

É necessário reforçar que estamos utilizando o termo vulgata apenas no contexto dos sistemas lineares nos

livros analisados. Chervel utiliza o termo vulgata num sentido mais amplo para um livro e não apenas para um

conteúdo.

139

5. DO PRODUTO E SUA APLICAÇÃO

Como parte que integra a pesquisa de dissertação do curso de Mestrado em Ensino de

Ciências e Matemática, foi elaborado o produto “Sistemas de equações lineares em livros di-

dáticos (1930-1970): apontamentos para formação inicial e continuada de professores de Ma-

temática e áreas afins”, no sentido de possibilitar mais conhecimentos sobre a própria disci-

plina, sobre a história dos sistemas de equações do primeiro grau e uma reflexão sobre a histó-

ria dos conteúdos escolares.

Este material, além de tratar brevemente de aspectos históricos relativos às equações e

sistemas de equações lineares, discorre sobre determinados pontos de algumas tendências

pedagógicas e reformas ocorridas no Brasil, a partir de fins do século XIX até a década de 70

do século XX. Apresenta-se, também, como os sistemas de equações do primeiro grau eram

abordados por alguns autores dentro do período analisado.

A estrutura do material, com as suas divisões incluindo o conteúdo proposto e o obje-

tivo, encontram-se no quadro 29.

Quadro 29 - Unidades do material

Sistemas de equações lineares em livros didáticos (1930-1970): apontamentos para forma-

ção inicial e continuada de professores de Matemática e áreas afins.

Unidade

Conteúdo Objetivos

Apresentação A finalidade do material Apresentar:

- a proposta do material

Os sistemas de equações:

aspectos históricos

Abordagem histórica dos siste-

mas de equações lineares

- Abordar a história do conteúdo

Aspectos da Legislação e

Propostas Educacionais da

década de 30 à década de

70 do século XX no Brasil

As tendências e reformas vigen-

tes nos períodos de análise dos

livros didáticos.

Informar sobre:

- as tendências e reformas existentes

no período de abrangência da pesquisa

- as possíveis mudanças decorrente das

reformas educacionais

Sistemas de equações line-

ares, o que está nos livros

didáticos?

Apresentação de seis livros

didáticos e categorias de análise

- Enunciar os principais elementos que

foram analisados.

Apontamentos elencados

nos livros: o conteúdo

sistema de equações linea-

res

Uma análise de como os autores

introduzem o conteúdo, os exer-

cícios e os problemas.

- Apresentar os livros analisados, iden-

tificando as características encontradas

na introdução do assunto e dos exercí-

cios/problemas.

Fonte: Elaborado pelo autor

140

Os livros selecionados16

para o material foram:

- Algebra Elementar, de Antonio Trajano (1932)

- Curso De Matemática, de Algacyr Munhoz Maeder (1948)

- Matemática Curso Ginasial 2ªsérie, de Osvaldo Sangiorgi (1959)

- Matemática Segunda Série Ginasial, de Ary Quintella (1961)

- Matemática Curso Moderno, de Osvaldo Sangiorgi (1965)

- Matemática Moderna, de Agrícola Bethlem (1969)

Pretendemos, por meio da organização das unidades apresentadas no quadro 22, pro-

porcionar aos professores, estudantes de Matemática ou áreas afins, entender as mudanças

ocorridas no conteúdo de sistema de equações, através de uma perspectiva histórica, elencan-

do particularidades presentes em livros didáticos de diferentes autores.

De acordo com Fiorentini (2003), muitos estudos e pesquisas estão sendo realizados

com o foco na formação docente, sendo uma busca constante a melhoria do ensino no Brasil.

Chamamos a atenção para a formação continuada de professores, como uma necessi-

dade constante que lhes possibilite refletir sobre a sua prática, propiciando mudanças signifi-

cativas no processo de ensino e aprendizagem. Para isso, vamos ao encontro de Carvalho

(2007) ao afirmar que a mudança só vai ocorrer quando o professor aprimorar a sua prática.

Sem a transformação da sua práxis, os docentes permanecerão nos mesmos erros do passado,

não conseguindo atingir o objetivo principal, que é a melhoria da educação.

[...] a formação de professores será sempre importante para qualquer mudan-

ça educacional, sobretudo para a melhoria da qualidade do ensino. E pensar a

qualidade da educação no contexto da formação de professores significa co-

locar-se a disposição da construção de um projeto de educação cidadã que

propicia condições para a formação de sujeitos históricos capazes de, consci-

entemente, produzir e transformar sua existência. (CARVALHO, 2007, p. 6).

Portanto, nosso produto tem o intuito de fornecer ao docente e todos aqueles que, de

alguma forma, estão ligados à educação, elementos que o motivem a sempre buscar a história

de um determinado conteúdo e compreender as transformações ocorridas, ao longo do tempo,

que podem estar associadas a uma tendência pedagógica ou a uma reforma da legislação.

16

Para a dissertação, analisamos oito livros, porém, para o minicurso, não utilizamos o livro de Sangiorgi publi-

cado em 1963, pelo fato de ser idêntico no conteúdo sobre sistemas de equações lineares ao livro do mesmo

autor publicado em 1959. O livro de Stávale, com publicação em 1941, adentrou para o grupo de livros, por nós

analisados, depois que já havia ocorrido o minicurso e o produto já estava concluído.

141

O minicurso

Consentimos que o minicurso seria a melhor maneira de atender a exposição do nosso

trabalho e a sua avaliação. Para promover a aplicação do material desenvolvido, fizemos a

nossa exposição na Escola Estadual de Ensino Médio Misael Pinto Neto, localizado no muni-

cípio de Aracruz, no Espírito Santo. A direção da instituição disponibilizou o espaço para que

pudéssemos desenvolver o trabalho.

O minicurso aconteceu no dia 19 de outubro de 2016. Todas as quartas-feiras, na Rede

Estadual do Espírito Santo, são reservadas para o planejamento da área das Ciências da Natu-

reza e Matemática, devido a esse fato, o dia 19 foi propício à exposição do material. Para

cumprir esse objetivo, foi feito um convite para a participação do minicurso, que seria aberto

para docentes de Matemática e áreas afins, de toda a rede escolar, e estudantes de um curso de

licenciatura em Matemática. Obtivemos um total de treze integrantes, que se dispuseram a

participar do minicurso e realizar uma avaliação do mesmo, respondendo a um questionário,

do qual fizemos uma análise qualitativa dos dados.

O minicurso constou de duas etapas, a primeira se fixou na apresentação dos tópicos

contidos no material e, a segunda, foi executada permitindo que os participantes tivessem con-

tato com os livros antigos analisados. Nesse momento, em pequenos grupos, os integrantes

puderam se inteirar do conteúdo de sistema de equações com mais detalhamento, observando

como o mesmo era tratado pelos autores em épocas distintas.

O manuseio das obras e a discussão que se seguiu contribuíram para que os participan-

tes tivessem outro olhar para algumas transformações que um determinado conteúdo escolar

pode apresentar ao longo de um período, auxiliando a comprovação do que foi exposto atra-

vés da constatação do próprio material.

Foi aplicado um questionário17

sobre o minicurso, com o objetivo de coletarmos as

impressões que os participantes tiveram sobre o material, se o mesmo acrescentou alguma

informação desconhecida e se necessitava de mudanças ou adaptações. Para resguardar a

identidade dos participantes, nomeamos os dez professores por P1, P2, ..., P10 e os três inte-

grantes licenciandos por A1, A2 e A3, embora os dois primeiros já lecionem há um ano no

Ensino Fundamental.

Nos quadros 30 e 31, indicamos o perfil dos participantes, para que possamos obter al-

gumas informações sobre os participantes do minicurso, suas formações, tempo de serviço,

entre outros aspectos.

17

O questionário se encontra no Apêndice A

142

Quadro 30 – Formação dos participantes Características

segundo a for-

mação

Professores de

Matemática

Formandos em

Matemática

Professores

de área

afins

Professores de áreas

afins que estão cur-

sando a licenciatura

em Matemática

Especialistas Mestres

Participantes

11

4

1

2

6

1

Fonte: Elaborado pelo autor

Com relação à formação dos participantes, verificamos que a maioria atua como do-

centes e que, quase a metade deles possui título de especialista. O quadro 24 indica o tempo

de atuação dos participantes como professores e o nível de ensino no qual atuam.

Quadro 31 – Tempo de atuação como docentes dos participantes

Participantes

Ensino

Fundamental

Ensino

Médio

Ensino

Superior

Tempo

de serviço

até 5 anos

Tempo de

serviço entre 5

a 10 anos

Tempo

de serviço

mais de 10 anos

P1 – X – – – X

P2 X X – – – X

P3 X X – – – X

P4 X – – X – –

P5 X X – – X –

P6 X X – – – X

P7 – X – – – X

P8 X X – X – –

P9 X X – – X –

P10 X X – – X –

A1 X – – X – –

A2 X – – X – –

A3 – – – – – –

Fonte: Elaborado pelo autor

Verifica-se que dez participantes atuam no Ensino Fundamental e nove trabalham no

Ensino Médio. Apontamos também que, sete deles atuam tanto nos ensinos Fundamental e

Médio. Não tivemos nenhum participante que leciona no nível superior. Com relação ao tem-

po de serviço, quatro participantes tem até cinco anos de atuação; três, entre cinco e dez anos

e cinco já atuam profissionalmente há mais de dez anos.

Em se tratando do tempo de experiência dos professores em sala de aula, ao averi-

guarmos a percepção que os mesmos tinham com relação aos aspectos abordados no minicur-

so, foi possível constatar não haver grandes diferenças entre os participantes, independente-

mente do tempo que atuam como docente.

Esses primeiros aspectos levantados são inerentes às características do nosso público

referente à sua formação e atuação, são itens da parte 1 do questionário.

Iniciamos o minicurso, expondo a proposta e os objetivos do nosso material, posteri-

ormente, apresentamos uma linha temporal dos acontecimentos que marcaram a educação

143

brasileira no período estudado, retratando os principais pontos. Realizamos um breve relato

histórico sobre o assunto sistema de equações, seguido da apresentação dos livros, com algu-

mas características de cada autor. Por último, trouxemos alguns exercícios, problemas e

exemplos gerais, para que os participantes pudessem observar os aspectos analisados e algu-

mas singularidades com relação a essas atividades encontradas nos diferentes livros didáticos,

seguindo o esquema evidenciado na figura 69.

Figura 69 – Esquema de apresentação

Fonte: Elaborado pelo autor

Para a realização das observações dos materiais (livros didáticos), como já foi menci-

onado, propusemos uma divisão em grupos. Avaliamos que o ideal seria que os integrantes de

cada grupo tivessem mais tempo para manusear os livros e pudessem trocar suas considera-

ções com os demais. Posteriormente, os participantes responderam ao questionário.

Nos quadros 32, 33 e 34, destacamos alguns pontos levantados pelos participantes de

cada um dos grupos em relação ao conteúdo de sistema de equações lineares nos livros dispo-

Proposta e objetivos

Correntes pedagógicas e

reformas educacionais

História do conteúdo

sistema de equações

Apresentação dos livros

Análise de exemplos,

exercícios, e problemas

144

nibilizados para análise no minicurso. Cada grupo elegeu um relator para anotar as considera-

ções.

Quadro 32 – Considerações do Grupo I Autores Observações

Trajano (1932) - Não existem ilustrações

- Não há resolução gráfica

Maeder (1948) - Apresenta solução algébrica e através de gráficos

Sangiorgi (1959) - Linguagem muito técnica

Quintella (1961) - Não há resolução gráfica

- Existência de sistemas cujos coeficientes são algébricos

Sangiorgi (1965) - Utilização de linguagem de conjuntos

Bethlem (1969) - Muito parecido com Sangiorgi (1965)

Fonte: Elaborado pelo autor

Quadro 33 - Considerações do Grupo II Autores Observações

Trajano (1932) - Uso de termos diferentes do que são utilizados atualmente

referentes aos sistemas de equações

- Livro específico de Álgebra

Maeder (1948) - Apresenta parte gráfica

Sangiorgi (1959) - Sem contextualização

- Não há ilustrações

Quintella (1961) - Muito parecido com o livro de Sangiorgi (1959)

Sangiorgi (1965) - Linguagem de conjuntos

- Atividades mais diferenciadas

Bethlem (1969) - Linguagem de conjuntos

Fonte: Elaborado pelo autor

Quadro 34 - Considerações do Grupo III Autores Observações

Trajano (1932) - Enfoque em problemas

Maeder (1948) - Álgebra e Geometria nos sistemas.

Sangiorgi (1959) - Uma boa quantidade de exercícios

- Os exercícios são mais fáceis

Quintella (1961) - Muito algébrico

Sangiorgi (1965) - Muitos símbolos

Bethlem (1969) - Muitos símbolos

Fonte: Elaborado pelo autor

Pontuamos que, não determinamos critérios para a formação dos mesmos, sendo assim

os grupos apresentam-se de forma heterogênea em relação a tempo de serviço, professores

e/ou estudantes, entre outros. Ao examinar as respostas dadas pelos grupos podemos apontar

algumas observações feitas pelos participantes.

Temos impressões entre os grupos que são as mesmas, por exemplo, no caso de Mae-

der (1948), todos relataram a parte gráfica como sendo uma característica importante do livro.

145

Tanto no livro de Sangiorgi (1965), quanto no livro de Bethlem (1969), todos ressaltaram a

presença da linguagem de conjuntos, com o acréscimo de muitos símbolos.

O grupo III ressaltou algumas considerações que os outros grupos não relataram, como

por exemplo, no caso de Trajano (1932), descreveram sobre o enfoque que o autor dava aos

problemas sobre sistemas e, no caso de Sangiorgi (1959), destacaram a grande quantidade de

exercícios sobre o assunto.

Destacamos algumas repostas dadas pelos participantes referentes à parte 2 do questi-

onário.

1. Quais as impressões que você teve do minicurso?

– “As impressões foram as melhores. Foi possível fazermos um paralelo do passado e do

presente a respeito do estudo de sistemas”. (P3)

– “Tive boa impressão, pois pude perceber como o sistema linear foi se modificando ao lon-

go do tempo”. (P6)

– “Muito bom saber um pouco da história de um conteúdo escolar”. (A1)

– “Maravilhoso, passei a observar a Matemática com um olhar diferenciado, ampliou meu

conhecimento e pude sanar algumas dúvidas sobre a história dos sistemas de equações”. (A2)

2. O minicurso acrescentou informações que você desconhecia?

– “A história”. (P1)

– “Sim. Parte histórica e as formas como eram abordados os sistemas de equações”. (P3)

– “Sim. Os livros e as mudanças na escrita do conteúdo de sistemas de equações”. (P4)

– “Sim. A abordagem dos autores referente ao assunto no decorrer do período de 40 anos”.

. (P5)

– “A parte histórica dos conteúdos”. (P7)

– “Sim. Não conhecia sobre as reformas”. (A1)

– “As transformações que ocorreram na Matemática”. (A2)

Embora tenhamos transcrito apenas algumas das respostas, todos os integrantes consi-

deraram o minicurso válido. Sublinhamos que A1, A2, P1, P3, P4, P5, P6 e P7 foram os que

ressaltaram a abordagem histórica de um conteúdo escolar, contudo, percebemos que todos os

participantes desconheciam os aspectos históricos relativos às equações e sistemas de equa-

ções lineares. Muitos explicitaram não ter conhecimentos sobre aspectos históricos da Mate-

mática e alegaram, também, desconhecer as tendências educacionais e reformas ocorridas no

século XX.

3. O minicurso mudou sua visão sobre algum aspecto relativo:

- às correntes pedagógicas abordadas:

( ) Sim ( ) Não

- à legislação educacional:

( ) Sim ( ) Não

- à importância da história da Educação Matemática na formação docente:

( ) Sim ( ) Não

- à importância da análise de livros didáticos:

( ) Sim ( ) Não

146

Todos responderam afirmativamente cada item dessa pergunta. Isso confirmou as nos-

sas hipóteses iniciais sobre o desconhecimento de aspectos ligados à legislação educacional e

da História da Educação Matemática.

4. Você sugere alguma mudança para a condução do material desenvolvido?

( ) Sim ( ) Não

Em caso afirmativo, descrevê-las.

– “Ter um tempo maior”. (A1)

Embora A1 seja o único participante que, nesta questão, sugeriu que o minicurso deve-

ria ter um tempo maior, outros, relataram, verbalmente, que também gostariam que tivésse-

mos mais tempo para as discussões.

5. Você considera importante que a proposta do material seja utilizada nos cursos de forma-

ção inicial e continuada de professores de Matemática e áreas afins?

Houve unanimidade de que o material é relevante para a formação inicial e continuada

para a docência da Matemática e áreas afins.

6. Há algum aspecto não contemplado que você desejaria que o material abordasse?

( ) Sim ( ) Não

Em caso afirmativo, descrevê-lo.

– “Detalhar um pouco mais sobre a Matemática Moderna”. (A1)

Um dos participantes sugeriu que houvesse uma abordagem maior mais sobre a Ma-

temática Moderna presente nos livros didáticos. A sugestão foi acatada e procuramos trazer

mais elementos que caracterizasse essa modernização da Matemática em nosso material.

7. Quais os aspectos do minicurso que você considera mais relevantes?

– “A importância do resgate à história para o ensino de sistemas ou qualquer outro conteú-

do”. (P1)

– “Tudo que foi abordado porque eu não conhecia nada”. (P2)

– “O paralelo feito entre os livros didáticos e os autores de diferentes épocas a respeito do

enfoque dado ao conteúdo de sistemas”. (P3)

– “A importância de se falar e estudar a história do conteúdo ao ser levado para a sala de au-

la”. (P4)

– “Sistemas de equações nos livros didáticos e suas mudanças”. (A1)

A partir das respostas, podemos verificar que, o resgate da história de um conteúdo es-

colar e o conhecimento sobre as mudanças ocorridas em um determinado período se fizeram

relevantes. Alguns desses conhecimentos não são para serem compartilhados com os alunos,

mas sim, para que o docente tenha uma melhor percepção e compreensão da sua disciplina,

147

redimensionando a sua prática na sala de aula, a partir de uma reflexão crítica sobre um con-

teúdo escolar. A História da Matemática pode ser trabalhada em sala de aula e trazer mais

motivação e significado para os estudantes, sendo importante que o docente se aproprie dessa

história.

8. Considerações finais [dos participantes]

– “Espero que (...) a História da Matemática possa fazer parte do livro didático, em

cada conteúdo abordado”. (P1)

– “O minicurso foi muito bem dirigido e podemos observar diversos aspectos, até en-

tão desconhecidos, a respeito de sistemas, desde a parte histórica até a análise de

obras de diferentes autores”. (P3)

– “Este Minicurso foi de grande aprendizagem [para mim] como docente, saio dele

com mais interesse de me aprofundar [no assunto de modo a remodelar] meus plane-

jamentos de aula”. (P4)

– “Consegui me lembrar de alguns professores e sua maneira de trabalhar. No con-

teúdo de sistemas, era dada apenas a visão algébrica, o que, na verdade, acontecia era

que esses professores apenas reproduziam o que estava no livro didático. E isso, de

certa forma, me influenciou a ter uma tendência também de ensinar de forma restrita”.

(P8)

– “Após o curso, revisitando meu passado, consegui entender alguns professores (...)

e como foram influenciados pelos livros didáticos”. (A3)

Nessas últimas transcrições, podemos concluir que, os professores se interessam por

aspectos históricos da Matemática, porém, apresentam pouco ou nenhum conhecimento nessa

área. Essa falta de informação acarreta inúmeros prejuízos tanto para o docente quanto para o

aluno. Ozámiz e Pérez (1993) afirmam que a história pode tornar a Matemática mais humana.

Sendo que, esses saberes, desmistificam a Matemática e ajudam o professor a evoluir no tra-

balho em sala de aula.

Miguel e Miorim (2008) mencionam que, a História da Matemática, no processo de

ensino e aprendizagem, é importante como incentivo a não alienação do ensino. Eles acredi-

tam que,

(...) a forma lógica e emplumada através da qual o conteúdo matemático é normal-

mente exposto ao aluno, não reflete o modo como esse conhecimento foi historica-

mente produzido. Então, caberia à história estabelecer essa consonância desmistifi-

cando, portanto, os cursos regulares de Matemática, que transmitam a falsa impres-

são de que a Matemática é harmoniosa, de que está pronta e acabada, etc. (MI-

GUEL; MIORIM, 2008, p.52).

P8 fez uma reflexão do que foi aprendido sobre o assunto de sistemas quando era es-

tudante e de como isso pode ter, de alguma forma, o influenciado hoje. Ou seja, se a aprendi-

zagem se deu de forma reducionista, com um material didático restrito, o ensino pode ficar

comprometido, e mais, essa situação negativa pode ser conduzida por várias décadas. Verifi-

148

ca-se a reprodução, na atuação profissional, como docente, de práticas que foram vivenciadas

outrora como aluno.

A nossa expectativa era de que esse minicurso viabilizasse aos participantes algumas

informações sobre momentos significativos vividos na Matemática escolar no Brasil. Esses

conhecimentos sobre as tendências pedagógicas (método intuitivo e Escola Nova), as refor-

mas Francisco Campos, em 1931, Gustavo Capanema, em 1942, e o Movimento da Matemá-

tica Moderna, foram substantivos para os participantes, pois, todos ignoravam diversos aspec-

tos por nós evidenciados. Esse fato pode demonstrar que os cursos de Licenciatura, muito

provavelmente, não integram, nos seus currículos, abordagens sobre a História da Educação

e/ou da História da Educação Matemática e, mesmo, a História da Matemática ficaria em um

segundo plano.18

Contudo, o nosso objetivo principal, que foi a divulgação de nossos aponta-

mentos e a avaliação do mesmo pelos participantes, foi alcançado.

Constatamos que o tempo foi insuficiente para que os participantes tivessem um olhar

mais crítico, como também foi essa a percepção dos participantes. O ideal seria que o mini-

curso fosse ministrado em dois dias e que os integrantes tivessem mais tempo para refletir

sobre as questões elencadas. Mesmo assim, percebemos que, de uma forma ou de outra, todos

observaram algum tipo de mudança ou, até mesmo, continuidade nos livros analisados. Eles

se sentiram gratificados com o minicurso, pelo fato de lhes acrescentar diversas informações

das quais não tinham conhecimento; saíram com uma postura diferenciada sobre a forma co-

mo um conteúdo escolar se apresenta nos livros didáticos por um período considerável de

tempo.

O minicurso e a análise do questionário nos possibilitaram verificar a relevância do

material desenvolvido tanto para os professores em serviço como para os licenciandos em

Matemática.

18

Em um estudo, Balestri e Cyrino (2010, p. 109) destacam que: “É possível observar que no Brasil há um nú-

mero considerável de cursos de Licenciatura em Matemática na forma presencial (403 instituições) e que, apro-

ximadamente, 67,5% das 231 instituições de que tivemos acesso à matriz curricular oferecem a disciplina de

História da Matemática. Questionamos-nos, no entanto, sobre o modo como esse tema deve ser contemplado

nessa etapa de formação”.

149

6. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Nas considerações finais, vou utilizar a primeira pessoa do singular para evidenciar a

minha posição como pesquisador e educador.

Ao realizarmos uma pesquisa, na maioria das vezes, não sabemos quais serão os resul-

tados e nem sabemos qual será a trajetória que esse trabalho irá percorrer. Durante essa cami-

nhada, por vários momentos, tive que parar e redirecionar o percurso, justamente para respon-

der as questões que iam surgindo. Novos anseios despontavam, acompanhados de interroga-

ções que, infelizmente ficavam sem respostas por achar que eu estava destoando do foco da

pesquisa. Outro problema era o tempo, que me deixava preso e, igualmente, preocupado, po-

rém, me fazia dedicar cada vez mais, querendo concluir aquilo que eu tinha começado.

Eu sabia que, ao iniciar essa dissertação, realizaria um estudo exploratório sobre a his-

tória de um conteúdo escolar, procurando caracterizá-lo em livros didáticos em um determi-

nado período, elencando aspectos e categorias importantes dentro da pesquisa. Para a funda-

mentação teórica, foram fundamentais André Chervel, para trazer a história de um conteúdo

escolar e a metodologia de Laurence Bardin, para as categorias de análise. Esses aportes inici-

ais serviram de sustentação para todo o trabalho.

O livro didático é peça chave dentro desse contexto, pois esse material é capaz de tra-

zer consigo não apenas um conteúdo em si, mas toda uma bagagem cultural e histórica, refle-

tindo, em algumas situações, a sociedade e suas transformações. Tive a oportunidade de estar

em contato com livros antigos de Matemática, utilizando publicações editadas no século XX,

entre 1930 a 1970, no Brasil.

A escolha do conteúdo sistema linear com duas equações e duas incógnitas, como sen-

do o assunto norteador de toda a pesquisa e, a partir daí, a criação de categorias de análise,

utilizada em todos os livros, buscou encontrar particularidades de cada um, seja na forma co-

mo o autor iniciava o conteúdo, nos métodos de resolução empregados, nos exercícios ou

problemas propostos, nas ilustrações e menções históricas sobre o assunto. As análises reali-

zadas, nos livros didáticos, baseados nas categorias indicadas na metodologia, trouxeram situ-

ações importantes atestando transformações ocorridas no conteúdo analisado.

O minicurso foi de grande relevância e constatei que os participantes não detinham

conhecimentos sobre a História da Matemática, História da Educação e da História da Educa-

ção Matemática no período fixado pela pesquisa. Todos os participantes saíram satisfeitos e

150

agradecidos pelos conhecimentos adquiridos, o que me motivou a promover outros minicur-

sos no futuro.

Depois da realização das análises dos livros, como educador, dentro da minha experi-

ência profissional, considero de grande importância agregar a resolução geométrica à resolu-

ção algébrica para a solução dos sistemas lineares com duas incógnitas. Esperava encontrar

mais autores que valorizassem a solução geométrica, as abordagens históricas, porém, isso

não foi constatado. A resolução geométrica pode propiciar ao aluno uma visão diferenciada da

resolução de um sistema e, sobretudo, ajudá-lo a entender os seus diferentes modos de solu-

ção, fortalecendo a noção conceitual do sistema. Tanto a abordagem algébrica quanto a gráfi-

ca de um problema que envolve sistemas de equações, pode oferecer uma condição maior de

compreensão, pois temos dois caminhos distintos, com o objetivo único, que é a resolução do

problema. Pude verificar esse fortalecimento da inclusão da resolução geométrica também

durante o minicurso que ministrei na aplicação do produto.

Agora, concluindo a escrita desta dissertação, estou ainda mais convicto da importân-

cia de se pesquisar um determinado conteúdo escolar, verificando se, ao longo de um período,

cercado de determinados acontecimentos, legislações, correntes pedagógicas, ocorrem mu-

danças na Matemática escolar. Apesar das dificuldades e das lacunas na formação docente,

estou seguro da relevância de os professores terem, em suas mãos, materiais que os auxiliem a

vislumbrar outros processos e metodologias, com uma visão mais crítica e conhecimentos

sobre a história da disciplina que lecionam, mesmo que seja apenas a trajetória de conteúdos

esparsos. Essa possibilidade auxilia também o professor a realizar uma análise mais efetiva

dos livros didáticos a serem adotados, sendo relevante examinar as características dos livros,

buscando conhecer sua estrutura, suas abordagens e possibilidades de trabalho.

Com o minicurso, percebi que foi possível trazer novos condicionantes para que os

professores refletissem em suas ações cotidianas, construindo e reconstruindo novos saberes,

possibilitando outras reflexões, de modo a reconduzir sua práxis em sala de aula.

Em conversas informais com os participantes, muitos relataram as suas práticas tradi-

cionais, oriundas de suas formações, que também foram tradicionais, ou seja, apenas reprodu-

ziam o que aprenderam outrora. Ressalto a importância que os professores deram à questão de

se trabalhar a história de um conteúdo escolar, como sendo uma motivação a mais em suas

aulas. No entanto, o alcance das abordagens históricas pode ser muito maior, pois

A História da Matemática pode oferecer uma importante contribuição ao processo de

ensino e aprendizagem dessa área do conhecimento. Ao revelar a Matemática como

uma criação humana, ao mostrar necessidades e preocupações de diferentes culturas,

151

em diferentes momentos históricos, ao estabelecer comparações entre os conceitos e

processos matemáticos do passado e do presente, o professor cria condições para

que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoráveis diante desse conhecimen-

to. (BRASIL, 1998, p. 34).

Destaco que também me considero um privilegiado, pois, de certa forma, fui fruto de

uma educação tradicional, ao longo da qual não eram discutidos os aspectos históricos da

educação e da História da Matemática ou, se eram realizados, ocorriam de forma superficial.

Fui ter contato com essas questões apenas no mestrado e pude verificar outros aspectos e al-

cances, com maior reflexão sobre um conteúdo escolar e a importância de compartilhar esses

novos olhares com outros educadores.

Entendo que, o presente trabalho apresenta lacunas para serem preenchidas com novas

pesquisas, análises e indagações. Acredito que cheguei ao fim de um dos caminhos, dentro de

vários, que esse estudo se propôs, podendo ser essa investigação explorada com outras pers-

pectivas.

Para pesquisas futuras ficam as seguintes indagações, em relação aos sistemas lineares

com duas incógnitas:

- Como foram apresentados em livros didáticos após o declínio do MMM?

- Quais autores mantêm um equilíbrio em relação à solução algébrica e geométrica?

- Como os autores contextualizam (atividades e problemas) os sistemas que não pos-

suem solução ou possuem infinitas soluções?

152

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Graduação em Educação, Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, 2001.

159

Apêndice A

160

Questionário

Este questionário é um dos instrumentos de coleta de dados da minha pesquisa de

Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática pela PUC Minas. Os dados coletados serão

parte integrante do meu estudo. Sua identidade não será revelada. Agradeço pela sua colabo-

ração.

Célio Moacir dos Santos

Minicurso

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES EM LIVROS DIDÁTICOS (1930-1970):

apontamentos para a formação inicial e continuada de professores de Matemática e

áreas afins

PARTE I

I - Formação:

( ) licenciatura em Matemática em andamento – iniciado em ______

( ) licenciatura em Matemática - Ano de conclusão: ______

( ) outros cursos de graduação – especificar:_________________________________

( ) Especialização – especificar: ___________________________________________

( ) Mestrado – especificar: ________________________________________________

( ) Doutorado – especificar: _______________________________________________

II – Tempo que atua ou atuou como professor de Matemática: ____anos

III – Segmento de ensino em que atua como docente:

( ) anos iniciais do Ensino Fundamental ( ) 1º ( ) 2º( ) 3º( ) 4º( ) 5º

( ) anos finais do Ensino Fundamental ( ) 6º ( ) 7º( ) 8º( ) 9º

( ) Ensino Médio ( ) 1ª ( ) 2ª ( ) 3ª

( ) Curso Superior – especificar curso(s) e disciplinas(s)

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

PARTE 2

1. Quais as impressões que você teve do minicurso?

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

2. O minicurso acrescentou informações que você desconhecia?

( ) Sim ( ) Não

Em caso afirmativo, descrevê-las.

161

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

3. O minicurso mudou sua visão sobre algum aspecto relativo:

- às correntes pedagógicas abordadas

( ) Sim ( ) Não

- à legislação educacional

( ) Sim ( ) Não

- à importância da história da Educação Matemática na formação docente

( ) Sim ( ) Não

- à importância da análise de livros didáticos

( ) Sim ( ) Não

4. Você sugere alguma mudança para a condução do material desenvolvido?

( ) Sim ( ) Não

Em caso afirmativo, descrevê-las.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

5. Você considera importante que esse material seja utilizado nos cursos de formação

inicial e continuada de professores de Matemática e áreas afins?

( ) Sim ( ) Não

6. Há algum aspecto não contemplado que você desejaria que o material abordasse? ( )

Sim ( ) Não

Em caso afirmativo, descrevê-lo.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

7. Quais os aspectos do minicurso que você considera mais relevante?

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

8. Considerações finais

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

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162

Apêndice B

Célio Moacir dos Santos

Elenice de Souza Lodron Zuin

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES EM LIVROS DIDÁTICOS (1930-1970):

apontamentos para formação inicial e continuada de professores de

Matemática e áreas afins

PUC Minas

164

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES EM LIVROS DIDÁTICOS

(1930-1970): apontamentos para a formação inicial e continuada de

professores de Matemática e áreas afins

Célio Moacir dos Santos

Elenice de Souza Lodron Zuin

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS

Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática

165

APRESENTAÇÃO

Este material foi elaborado como parte integrante da pesquisa de dissertação do Mes-

trado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática da Pontifícia Universidade Católica

de Minas Gerais, intitulada “Sistemas de equações lineares: uma análise de livros didáticos

publicados no Brasil (1930 a 1970)”.

Temos como objetivo auxiliar a formação inicial e continuada dos professores de Ma-

temática e áreas afins, dentro de uma perspectiva da História da Educação Matemática e aten-

dendo, também, os docentes em serviço. Focalizamos os sistemas de equações lineares e pro-

curamos evidenciar as mudanças e/ou continuidades ocorridas em relação ao ensino-

aprendizagem deste tópico, entre o período do Método Intuitivo até a vigência do Movimento

da Matemática Moderna no Brasil. Para cumprir esse intento, selecionamos alguns autores de

livros didáticos.

Legitimamos a importância dos licenciandos e professores em serviço se apropriarem

da história de um conteúdo escolar, das reformas ocorridas no ensino brasileiro, ampliando

sua visão ao conhecerem as propostas de outros autores, em décadas passadas, e se posiciona-

rem frente aos saberes escolares com uma postura mais crítica. Ainda, para os docentes, em

seu trabalho em sala de aula, apresentamos diferentes possibilidades para a abordagem dos

sistemas de equações lineares com duas incógnitas a partir das metodologias propostas por

alguns autores de livros didáticos, tendo como marco inicial uma publicação de Antonio Tra-

jano, do ano de 1932.

Partimos de uma vertente histórica do conteúdo de sistemas de equações, resgatando

as contribuições dos babilônios dentre outros povos e tratamos de alguns aspectos referentes à

história da álgebra. Fazemos menção a reformas educacionais existentes entre 1930 e 1970,

período no qual se situam os livros didáticos pesquisados. Destacamos nas análises, como era

introduzido o conteúdo, características de alguns exercícios/problemas e exemplos encontra-

dos nas obras, com o objetivo de investigar como era a abordagem dessas atividades sob a

perspectiva de cada um dos autores.

É notório que, em geral, um determinado conteúdo escolar é abordado pelos autores de

textos didáticos sem levar em conta a sua história, a sua gênese e, como reflexo desse fato,

percebe-se, muitas vezes, uma lacuna e um não entendimento de determinadas particularida-

166

des de um assunto. Os professores que se apoiam nesses materiais tendem a reproduzir o livro

didático, não focando as abordagens históricas.

Sugerimos que sejam realizados grupos de estudo e discussão para os temas abordados

nesse material e, posteriormente, que sejam analisados livros atuais que contenham o tópico

sistemas de equações lineares.

Esperamos que esses apontamentos possam trazer outros pontos de vista, tanto para

aqueles que estão em formação inicial, como para os educadores que já atuam profissional-

mente, enriquecendo o processo de ensino e aprendizagem, gerando reflexões sobre as conti-

nuidades e alterações pelas quais passam um determinado conteúdo escolar e a importância de

se conhecer a História da Educação Matemática.

Os autores

167

SUMÁRIO

1 Os sistemas de equações: aspectos históricos ..................................................... 168

2 Aspectos da legislação e propostas educacionais da década de 30 à década de

70 do século XX no Brasil...................................................................................

175

3 Sistemas de equações lineares, como o conteúdo é tratado.................................

183

4 Apontamentos elencados nos livros: o conteúdo sistema de equações linea-

res.................................................................................................................

186

4.1 Algebra Elementar, de Antonio Trajano (1932) .................................................. 186

4.2 Curso de Matemática, de Olacyr Munhoz Mader (1948)..................................... 189

4.3 Matemática Curso Ginasial 2ª Série, de Osvaldo Sangiorgi (1959).................... 192

4.4 Matemática Segunda Série Ginasial, de Ary Quintella (1961)............................ 195

4.5 Matemática Curso Moderno, de Osvaldo Sangiorgi (1965)................................ 198

4.6 Matemática Moderna, de Agrícola Bethlem (1969).............................................

202

5 Uma análise global..............................................................................................

207

Referências................................................................................................................. 211

168

1. OS SISTEMAS DE EQUAÇÕES: aspectos históricos

Os sistemas de equações são tópicos presentes nos ensinos fundamental, médio e supe-

rior de vários cursos da área de Ciências Exatas, cada um trazendo as suas especificidades e

agregando novos conhecimentos de forma gradativa. Apesar de ter uma gama de utilizações,

como por exemplo, em modelagem matemática ou em estudos mais aprofundados de Álgebra

Linear, os sistemas de equações, em geral, costumam não estar entre os tópicos dos quais se

ressalta a sua história.

Nesse momento, advém uma pergunta, até mesmo para situarmos o nosso estudo. É

importante termos conhecimentos históricos da Álgebra, sobretudo, conhecimentos que nos

auxiliem nos estudos sobre sistemas de equações? Essa pergunta é imprescindível, na medida

em que, nos faz refletir sobre o papel da Álgebra e a sua importância como campo de conhe-

cimento matemático. Sabemos que, em certos momentos da história, a Álgebra ficou em se-

gundo plano em relação à Aritmética e a Geometria. Podemos referendar essa informação em

Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), quando pontuam que, durante o desenvolvimento da ma-

temática, a Álgebra sempre ficou às margens dos outros ramos.

Vamos ao encontro de Chervel (1990) quando destaca a relevância de situarmos histo-

ricamente um conteúdo escolar, descrevendo a sua evolução, quais as mudanças ocorridas em

um determinado período e sempre estabelecendo ligações com o seu ensino e suas finalidades.

Cabe–lhe dar uma descrição detalhada do ensino em cada uma de suas etapas, des-

crever a evolução da didática, pesquisar as razões da mudança, revelar a coerência

interna dos diferentes procedimentos aos quais se apela, e estabelecer a ligação entre

o ensino dispensado e as finalidades que presidem a seu exercício. (CHERVEL,

1990, p.192).

Consideramos importante realizar um estudo histórico sobre sistemas de equações li-

neares, entendendo que, dessa forma, seria permitida uma melhor identificação de sua nature-

za epistemológica.

Os vínculos de tipo epistemológico foram assim denominados por sugerirem que a

finalidade da educação matemática é fazer com que o estudante compreenda e se

aproprie da própria Matemática concebida como um conjunto de resultados, méto-

dos, procedimentos, algoritmos, etc. (MIGUEL; MIORIM, 2008, p.70).

169

Muito antes da Álgebra, técnicas da Aritmética eram usadas para solucionar proble-

mas. Essas técnicas eram utilizadas para resolver equações, na maioria das vezes, responden-

do às necessidades da época. De acordo com Baumgart (1992), a Álgebra inicia de uma forma

retórica, passa a sincopada até chegar à álgebra simbólica que conhecemos hoje.

Em documentos antigos como o Papiro Rhind e Papiro de Moscou encontramos pro-

blemas que remetem às equações lineares. De acordo com Dorier (1990), os conceitos de

equação já começaram aparecer através de métodos aritméticos, sob uma forma retórica, des-

sa maneira, alguns problemas eram equacionados e resolvidos por métodos que remetem aos

sistemas de equações lineares com uma, duas, ou três variáveis.

De acordo com Eves (2004), quando nos referimos à História da Matemática ocidental

antiga, não podemos perceber uma expressiva utilização de sistemas de equações lineares.

Esse assunto obteve maior relevância, no Oriente, pelos chineses, com seu gosto especial por

diagramas. Dessa maneira, através da curiosidade chinesa, acabaram descobrindo um método

de resolução por eliminação. Esse método consistia em anular coeficientes por meio de opera-

ções elementares. Os procedimentos podem ser encontrados na obra “Nove capítulos sobre a

arte da matemática”, provavelmente datado em 250 a.C.

Segundo Coulange (2000), podemos considerar que a aritmética, desenvolvida em ci-

vilizações antigas é, de alguma forma, uma pré-história da Álgebra, pois era sempre alimenta-

da com uma pré-álgebra, antes do advento da linguagem formal.

No quadro 1, apresentamos uma síntese histórica dos principais acontecimentos dos

diferentes povos e suas diferentes culturas, com seus trabalhos relacionados com as equações

lineares e sistemas de equações lineares. Essa abordagem foi sintetizada dos estudos de

Collette (1986), no livro Historia de las matemáticas. Coulange (2000), na obra Étude des

pratiques du professeur du double point de vue écologique et économique. Boyer (2003), em

sua História da Matemática. Eves (2004), em sua Introdução à História da Matemática e

Rosa e Orey (2013), no artigo Etnomatemática e modelagem: a análise de um problema retó-

rico babilônio, em que tentamos elencar fatos históricos importantes para subsidiar este pro-

pósito.

170

Quadro 1 – Equações lineares: síntese histórica

OS BABILÔNIOS

Os problemas babilônicos e suas resoluções expressavam-se em uma linguagem

algébrica completamente retórica e já com um alto grau de desenvolvimento.

Muitas vezes, os problemas faziam referências à vida cotidiana ou a questões de

geometria: por exemplo, para calcular o comprimento e largura de um campo

retangular, sabendo a sua superfície, etc. Portanto, muitos dos problemas pode-

riam ser resolvidos por sistemas de duas equações com duas incógnitas, geral-

mente uma equação linear da forma e uma equação quadrática como

ou .

Os povos da Mesopotâmia faziam uso de tabletes de argila para seus registros

(figura 1). Em suas resoluções utilizavam-se do método da substituição e, outras

vezes, usava-se mudanças de variáveis (ROSA; OREY, 2013; COULANGE,

2000).

OS EGÍPCIOS

Assim como os babilônios, os egípcios se interessavam em resolver problemas

práticos, ou seja, problemas que eram ligados com sua vida cotidiana, por

exemplo: em distribuição de pães e de grãos. A linguagem utilizada era essenci-

almente retórica. Outro ponto importante era sobre os problemas encontrados no

Papiro Rhind e no Papiro Moscou, nos quais muitos deles eram relacionados

com quantidades, sem qualificação, o que lhes dava certo grau de generalização.

Alguns dos problemas do Papiro Rhind e Papiro Moscou (figuras 2 e 3), ocupa-

vam-se de situações que consideraríamos como sendo hoje, típicas de serem

equacionadas por equações lineares (COLLETTE, 1986).

OS CHINESES

Um dos mais importantes textos dos chineses antigos é o K'iu-ch'ang Suan-

Shu ou Nove Capítulos sobre a Arte da Matemática (figura 4), datado de 250

a.C., no qual já se discutia muitos problemas que remetem aos sistemas de equa-

ções lineares em duas variáveis, uma das quais aparece sempre com o coeficien-

te 1.

. O método de resolução se assemelhava muito ao processo de eliminação por

adição (BOYER, 2003; IVES, 2004).

OS INDIANOS

No trabalho intitulado de Ganita-Sara-Sangraha, provavelmente escrito por

volta de 850 d.C., por Mahavira, encontravam-se muitos problemas que se re-

portavam a sistemas de várias equações com várias incógnitas.

A resolução desses sistemas apresentava-se de forma essencialmente retóri-

ca. No entanto, pode ser encontrado algum tipo de símbolo, uma vez que nos

problemas costumavam-se utilizar incógnitas com diferentes nomes e cores. Os

métodos de resolução podem ser classificados como método de eliminação

(EVES, 2004).

OS GREGOS

O privilégio concedido à geometria na Grécia, de alguma forma, desviou o inte-

resse dos matemáticos sobre as questões algébricas. No entanto, encontraram-se

algumas abordagens referindo-se a problemas lineares geométricos, relacionadas

com o cálculo de áreas, envolvendo quantidades diferentes, com valores desco-

nhecidos que deveriam ser encontrados através da utilização de sistemas de

equações (BOYER, 2003; EVES, 2004).

OS ÁRABES

A Matemática árabe desenvolveu-se fortemente desde o século VII. Bagdá se

tornou um grande centro científico com muitas bibliotecas. Os árabes aproveita-

ram a herança grega e Oriental dos séculos VII e VIII e fizeram traduções de

várias obras antigas.

O livro de Abu Jafar Mohamed ibn Musa al-Khwarizmi (c.780 - c.850), Kitab

al-Jabr wa-l-Muqabala (figura 5) trouxe precisas atividades sobre o “cálculo da

al-jabr” (de onde derivou o termo álgebra). Este livro é essencialmente dedica-

do à resolução de problemas de heranças e outros problemas práticos da vida

cotidiana da época. Em seu contexto, trazia uma linguagem totalmente retórica.

Alguns problemas poderiam ser resolvidos utilizando equações de primeiro e

segundo grau com coeficientes positivos. Podem-se encontrar métodos de reso-

lução de problemas por sistemas de equações relacionadas com várias incógni-

tas, alguns de caráter indeterminado. (EVES, 2004). Fonte: Dados elaborados pelos autores

171

Figura 1 – Tablete sumério com diagrama geométrico1

(Universidade de Nova York)

Fonte: http://destruidordedogmas.com.br/tag/sumerio/

Figura 2 - Detalhe do Papiro Rhind

Fonte: http://matemolivares.blogia.com/2015/octubre.php

Figura 3 - Detalhe do Papiro de Moscou

Fonte: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html

1 O tablete é registrado como YBC 7289 – trata-se de um disco de argila, no qual está representado um quadrado

e suas diagonais. Ao lado de uma das diagonais é expresso o valor numérico 1,24,51,10, na base 60, que corres-

ponde a 1,414221295, ou seja, uma aproximação da raiz quadrada de 2.

172

Figura 4 - Problema 1, Capítulo 8 do Jiu Zhang Suan Shu

Fonte: http://www.math.uiuc.edu/documenta/vol-ismp/10_yuan-ya-xiang.pdf

Figura 5 – Uma página de Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala, de al-Khwarizmi

Fonte: http://sameaf.mfa.go.th/th/muslim_world/detail.php?ID=2661

Fonte: http://sameaf.mfa.go.th/th/muslim_world/detail.php?ID=2661

Segundo Baumgart (1992), podemos nos referir à Fase Retórica ou Verbal, iniciando-

se a partir dos babilônios (1700 a. C) até por volta de 250 d.C. com o matemático grego, Dio-

fanto2 (~200 d.C. - ~284 d. C.). Nesse momento da Álgebra, havia pouca presença de símbo-

los e de abreviações para expressar o pensamento algébrico. Toda a escrita, concernente a

números e equações, era retratada em linguagem verbal. Parece-nos, então, apropriado nos

2 A data de nascimento e morte de Diofanto são imprecisas, mas é consensual que ele nasceu próximo do ano de

200 d.C, e que sua morte foi próxima do ano de 284 d. C.

173

referirmos a esse estilo, considerando-o uma Álgebra dos egípcios, dos babilônios e dos gre-

gos pré-diofantinos.

A Álgebra Sincopada, aproximadamente do século III d.C. ao século XVII, é o perío-

do em que são adotadas determinadas abreviações e símbolos para algumas operações. Dio-

fanto dá uma nova roupagem à Álgebra. De acordo com Baumgart (1992), Diofanto inseriu

um novo estilo ao se escrever uma equação. Podemos observar um exemplo, que deixa claro

como era escrito uma equação nesse período (figura 6).

Figura 6 – A escrita de uma equação

Fonte: Baumgart (1992, p.10)

E, por último, temos a Álgebra Simbólica; esse modelo começou a despontar por volta

de 1500. Ela se caracteriza pelos estudos das estruturas matemáticas e não mais pelos proce-

dimentos para resolver problemas pontuais. O seu simbolismo veio se aperfeiçoando, de ma-

neira gradual, com a padronização de algumas notações. Consentimos com Baumgart (1992),

quando ele afirma com veemência que,

O divisor de águas do pensamento algébrico (separando o antigo fluxo raso da “so-

lução manipulativa de equações” da moderna corrente profunda que começa com

propriedades teóricas das equações) concretizando no francês François Viète, que foi

o primeiro, em sua logística speciosa, a introduzir letras como coeficientes genéri-

cos (positivos) e a dar alguns outros toques de acabamento no simbolismo que se fi-

nalizou e atualizou na época de Newton. (BAUMGART, 1992, p.14).

De acordo com esse autor, percebemos a importância de François Viète (1540 - 1603), nesse

contexto do desenvolvimento da linguagem algébrica, sendo um precursor na introdução de

letras para a representação de coeficientes genéricos. Gil (2001, p. 28) indica que no terceiro

capítulo do livro Introdução à Arte Analítica, de Viète, o autor nomeia os termos escalares, ou

seja, as potências de grandezas desconhecidas, utilizando os termos “latus ou radix , quadra-

tum , cubus, quadrato-quadratum , quadrato-cubus, cubo-cubus, quadrato-quadrato-cubus,

quadrato-cubo-cubus, cubo-cubo-cubus, etc.” Posteriormente, Viète trata das grandezas de

comparação, definindo os gêneros das grandezas conhecidas, “enunciando-os pela mesma

ordem dos termos escalares: longitudo ou latitude , planum, solidum, plano-planum, plano-

174

solidum, solidosolidum, plano-plano-solidum, plano-solido-solidum, solido-solido-solidum,

etc.”. Viète foi o primeiro a utilizar o termo aequalis para se referir a igualdade e, tempos

depois, passou a utilizar o símbolo ~ com a mesma finalidade. (STEWART, 2014). Por exem-

plo, para a equação

x + bx = c

na notação de Viète, teríamos

A quad. + A in B é igual a Cplanum. (GIL, 2001, p. 28)

Fiorentini, Miguel e Miorim (1993) confirmam a importância de Viète dizendo que a

Álgebra ganha uma nova estrutura, com a introdução de um simbolismo mais moderno com

alguns símbolos específicos.

175

2. ASPECTOS DA LEGISLAÇÃO E PROPOSTAS

EDUCACIONAIS DA DÉCADA DE 30 À DÉCADA DE 70

DO SÉCULO XX NO BRASIL

Trazemos um breve relato histórico dos acontecimentos provenientes do período entre

as décadas de 30 à década de 70 do século XX no Brasil.

Na primeira metade no século XIX, havia inúmeros problemas relativos à educação no

Brasil. De acordo com Stephanou e Bastos (2005), o descontentamento popular com o sistema

de ensino era muito grande nessa época. Os estudantes tinham dificuldades com a escrita, com

a leitura e com os cálculos primários. Um novo método de ensino, denominado intuitivo,

também chamado de lições de coisas, surge com a proposta de valorização da intuição, ou

seja, o conhecimento decorria dos sentidos e da observação (SOUZA, 1998). Esse método

surgiu na Alemanha, em fins do século XVIII, decorrente da influência da Pedagogia de Jo-

hann Henri Pestalozzi (1746 – 1827), um de seus proclamadores (VALENTE, 2012). A ade-

são ao método intuitivo ocorreu em escolas da Europa e Estados Unidos, chegando ao Brasil

por meio dos professores adeptos a novidades educacionais estrangeiras, difundindo-se inici-

almente em algumas escolas particulares nas principais cidades brasileiras (REMER; STEN-

TZLER, 2009).

Valdemarin (1998) destaca que esse método surge com o propósito de reverter o qua-

dro educacional vigente, um quadro de valorização a repetição e memorização sem a efetiva

aprendizagem. Essa mesma autora indica que, para orientar os professores da época, foram

produzidos materiais didáticos adequados a essa nova concepção de ensino, numa linguagem

adequada ao estudante, com o objetivo de facilitar o entendimento e que, gravuras, cores e

formas eram fundamentais nesse processo.

A promoção da adoção do método intuitivo no país ocorreu, tendo Rui Barbosa como

um dos seus principais divulgadores. Zuin sublinha que

Rui Barbosa já trouxera as Lições de Coisas, de Norman Calkins, em sua primorosa

tradução; seus pareceres deixavam explícitas as suas concepções sobre educação, e o

ensino intuitivo ganhava adeptos se fazendo presente em diversas escolas. Para que

as reformas da instrução pública se fizessem cumprir, eram destacados princípios

para essa escola diferente, na qual os mestres e mestras deveriam ter outro papel,

privilegiando nos infantes o cultivo da observação, a intuição, o exercício reflexivo

dos sentidos; partindo dos objetos concretos e dos elementos da natureza, se ascen-

deria à abstração. A criança teria uma outra relação com o conhecimento. Os repu-

blicanos tinham a escola como uma das diretrizes para a efetivação de suas princi-

pais aspirações. Era primordial a formação de um novo cidadão, imerso na nova

forma de organização política, completamente distinto do munícipe dos tempos do

Império. Escola e República, andando de mãos dadas, rumo ao futuro do país: esta

era a meta. (ZUIN, 2016a, p.2).

176

O cenário da adoção do ensino intuitivo no Brasil é apontado por Faria Filho e Vidal

(2000), salientando, também, a necessidade de criação de espaços escolares. Os autores indi-

cam que ocorreu

[...] a necessidade de que se construíssem espaços próprios para a escola, como con-

dição mesma de realização de sua função social específica. Assim, os defensores do

método intuitivo, [...], argumentavam a necessidade de o espaço da sala de aula

permitir que as diversas classes pudessem realizar as lições de coisas. Somava-se a

isso, que a escola foi, sobretudo ao final do século XIX, sendo invadida por todo um

arsenal inovador de materiais didático-pedagógicos (globos, cartazes, coleções, car-

teiras, cadernos, livros...) para os quais não era possível mais ficar adaptando os es-

paços, sob pena de não colher, desses materiais, os reais benefícios que podiam tra-

zer para a instrução. (FARIA FILHO; VIDAL, 2000, p.6).

O Método Intuitivo, para Schelbauer (2003), representou a base de uma organização

de ensino elementar se estendendo às classes populares da Europa e de vários países das Amé-

ricas. Esses princípios estavam sendo introduzidos nos jardins de infância, nos programas das

escolas primárias e nos cursos de formação de professores. “A presença da professora se faz

necessária para conduzir os alunos nas atividades, suscitando indagações que serão respondi-

das através das observações e conjecturas do aprendiz. O aluno é um agente ativo na produção

do conhecimento”. (ZUIN, 2002, p. 435).

As questões inerentes à forma de se trabalhar o método intuitivo no Brasil, estendem-

se até por volta de 1930 e, paralelamente, junto a essa situação, aparece novos ideários, a Es-

cola Nova. Segundo Saviani (2011), os ideais escolanovistas já se iniciavam em nosso país,

no final do século XIX e início do século XX, em oposição ao tradicional método jesuítico.

Os ideais da Escola Nova passam a ser discutidos, no Brasil, dentro de uma necessida-

de de modificar a educação primária, com o objetivo de expansão e desvinculação do ensino

tradicional. Saviani (2006) relata que o fascínio por esse método era grande, pois seus proce-

dimentos, centrados na atividade do aluno, eram bem conceituados. Ainda, de acordo com

Saviani (2006), através do Manifesto dos Pioneiros da Educação Nova, publicado em 1932,

configurou-se um dos mais representativos movimentos nacionais para a fundação do sistema

de educação pública.

Azevedo (1976) afirma que, as concepções escolanovistas estavam voltadas para uma

renovação da mentalidade, por parte dos educadores, num sentido de melhoramento de suas

práticas pedagógicas. O mesmo autor garantiu que, com a publicação do “Manifesto dos Pio-

neiros da Escola Nova” foram norteados princípios educacionais de forma sistematizada,

177

apoiados em teorias educacionais modernizadoras. Esse manifesto consagrou-se como um

marco da proposta de renovação educacional do país.

Esse manifesto preconizava uma organização, por parte do Estado, de uma escola pú-

blica, laica e gratuita. Os princípios da Escola Nova se pautavam na liberdade, criatividade e

na valorização da experiência pessoal dos educandos. Do ensino intuitivo para a Escola Nova,

o estudante “passa do papel de observador para o papel de experimentador”. (ZUIN, 2016b,

p.4).

Zuin (2016a, 2016b) traz alguns princípios da Escola Nova para o ensino e aprendiza-

gem, de uma forma geral, e para o ensino de conteúdos matemáticos, de uma forma particular,

baseando-se em alguns autores, evidenciado que os escolanovistas condenam a memorização

e repetição mecânica. A autora destaca a utilização de material concreto, dos jogos; análise e

resolução de problemas, com enunciados relacionados ao cotidiano, sem situações absurdas

ou inverossímeis. Sublinha a importância de despertar o interesse dos estudantes, os proble-

mas devem conter informações dentro de um contexto social, econômico ou cívico – a contex-

tualização é fundamental. Aponta, também, a necessidade de que os conteúdos sejam apresen-

tados de forma clara e objetiva, respeitando-se a faixa etária dos alunos.

Em 1931, ocorre a Reforma Francisco Campos, por meio do Decreto Nº 19.890, de 18

de abril de 1931, que pretendia organizar todo o ensino secundário, de modo a serem integra-

das a Aritmética, Álgebra e Geometria, que eram cadeiras distintas congregando-as em uma

única disciplina. Porém, não apenas nas escolas, elas ainda permaneciam separadas, com pu-

blicações de livros didáticos específicos. A partir da reforma, os conteúdos foram “unidos”,

assumindo o nome de Matemática.

Essa reforma assegurou a educação secundária em sete anos, cinco dos quais estavam

vinculados o ensino fundamental e, dois, para o ensino complementar. Nessa divisão entre

fundamental (cinco séries) e complementar (dois anos), a Matemática era lecionada em todas

as séries do curso fundamental. Já no curso complementar, se fazia presente nos cursos de

Medicina, Farmácia e Odontologia, assim como nos cursos de Engenharia e Arquitetura, só

não sendo estudado no curso jurídico.

Foram publicados, no Diário Oficial da União, os Programas do Curso Fundamental

do Ensino Secundário e Instruções Metodológicas, sancionados em 30 de junho de 1931, den-

tro da Reforma Francisco Campos. Para a segunda série, eram prescritos, além de outros con-

teúdos: os sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas, problemas relativos a este

178

tópico, representação gráfica da função linear de uma variável e resolução gráfica de um sis-

tema de duas equações com duas incógnitas. Podemos verificar que, relativamente aos siste-

mas lineares, fazia-se uma correlação entre a álgebra e a geometria.

Nas instruções metodológicas, entre outros aspectos, a recomendação era no sentido

de que para as séries iniciais

[...] ás exigencias da pedagogia, de preferencia aos princípios puramente lógicos.

Ter-se-á sempre em vista, em cada fase do ensino, o grau de desenvolvimento men-

tal do aluno e os interesses para os quais tem maior inclinação. (BRASIL, 1931,

p.12412).

Também se destacava:

A necessidade de se renunciar completamente á pratica da memorização sem racio-

cínio, ao enunciado abusivo de definições e regras e ao estudo sistemático das de-

monstrações já feitas. Ao envés disso, deve a matéria ser levada ao conhecimento do

aluno por meio da resolução de problemas e de questionário intimamente coordena-

dos. Assim, os problemas não se devem limitar a exercícios dos assuntos ensinados,

mas cumpre sejam propostos como processo de orientar a pesquisa de teoremas e de

desenvolver a presteza na conclusão logica.

[...]

A Matemática será sempre considerada como um conjunto harmonico, cujas partes

estão em viva e intima correlação. A acentuação clara dos três pontos de vista –

aritmetico, algebrico e geometrico – não deve, por isso, estabelecer barreiras in-

transponíveis, que impeçam o estudante de perceber as conexões entre aquelas dis-

ciplinas. (BRASIL, 1931, p.12413).

Verifica-se, nessas instruções metodológicas, o forte direcionamento para a junção da

Aritmética, Álgebra e Geometria e também princípios da Escola Nova. Outros pontos se apre-

sentam indicando uma forma interdisciplinar de trabalho com a Matemática. A indicação para

que, “desde cedo”, o professor deveria acostumar o aluno “a fazer, antes da resolução dos

problemas, uma idéa aproximada do resultado, por estimativa ou por meio de esboço gráfico”,

nos possibilita inferir que esse apelo, ainda que se concentrasse em algum tipo de desenho,

para auxiliar o entendimento e resolução de algum problema, também poderia ser estendido à

resolução de sistemas de equações lineares. Confirma-se, neste sentido, o que está prescrito

como conteúdo: “representação gráfica da função linear de uma variável e resolução gráfica

de um sistema de duas equações com duas incógnitas”. (BRASIL, 1931, p. 12413-12415).

Posteriormente, ocorreu a Reforma Gustavo Capanema, durante o período caracteriza-

do como Estado Novo, entre os anos de 1937 a 1945. Surgiu um conjunto de decretos, delibe-

rando portarias para a estruturação do ensino comercial, industrial e secundário. O decreto-lei

179

Nº 4.244, de 9 de abril de 1942, modificou e sistematizou o ensino secundário em dois ciclos:

o primeiro ciclo, o ginasial, com quatro anos e, o segundo ciclo, com dois cursos paralelos, o

curso clássico e o científico, com duração de três anos.

A Portaria Ministerial nº 170, de 11 de julho de 1942, estabelecia os programas de en-

sino para os cursos ginasial, clássico e científico. Para o ensino de Matemática, na quarta sé-

rie, em um dos itens do programa, consta a resolução, discussão e interpretação gráfica de um

sistema de duas equações com duas incógnitas (VECHIA; LORENZ, 1998). Observa-se que a

indicação da resolução gráfica para os sistemas lineares consta desse programa de modo bas-

tante específico.

No Programa da Portaria Ministerial nº 996, de 2 de outubro de 1951, o conteúdo de

sistemas está prescrito na segunda série, “Binômio linear; equações e inequações do 1º grau

com uma incógnita; sistemas lineares com duas incógnitas”. (VECHIA; LORENZ, 1998, p.

400). Na Portaria Ministerial nº 1045 de 14/12/1951, os Programas de Matemática do curso

ginasial da segunda série se encontram com uma prescrição mais completa.

Equações do primeiro grau com duas incógnitas, sistemas de equações simultâneas.

Resolução de um sistema linear com duas incógnitas pelos métodos de eliminação

por substituição, por adição e por comparação. Discussão de um sistema linear de

duas equações com duas incógnitas. Problemas do primeiro grau com uma e com

duas incógnitas; generalização; discussão. (BRASIL, 1951, p.7).

Observa-se, em ambas as portarias, nº 966 e nº 1045, a ausência do método de reso-

lução gráfica, embora, na segunda, haja a recomendação de resolução de problemas envol-

vendo um sistema linear e a sua discussão.

Ainda na Portaria Ministerial nº 1045, as instruções metodológicas para o ensino da

matemática, prescreviam:

uma solicitação constante do aluno, que não poderá ser transformado em um mero

receptor passivo de conhecimentos. O estudo de cada assunto deverá ser ilustrado

com aplicações e exemplos que lhe despertem a atenção e o interesse.

A unidade da matemática deverá ser posta em evidência, a cada passo, a fim de que

seja percebida, com facilidade, a identidade dos métodos e dos procedimentos em-

pregados nos seus diferentes ramos, muitas vezes, sem aparente inter-relação.

Proceder-se-á sempre progressivamente, não impondo regas de raciocínio, se não

quando o espírito do discente estiver apto para recebe-las.

Especialmente nos primeiros anos do curso ginasial, o ensino terá caráter eminente

prático e intuitivo.

Procurar-se-á despertar, aos poucos, no aluno, o sentimento da necessidade da justi-

ficativa, da prova e da demonstração, introduzindo-se, ainda no curso ginasial, o mé-

todo dedutivo, com o cuidado que exige.

180

[...] O apelo à intuição jamais deverá ser dispensado. E a lição é de Jacques Hada-

mard, quando afirma que o rigor não tem tido outro objetivo senão o de sancionar e

de legitimar as conquistas da intuição.

Não se deverá ser esquecido que a matemática não é lógica pura, como se admitiu

por muito tempo.

Descer-se-á dar especial atenção, principalmente no curso ginasial, ao exato signifi-

cado dos têrmos empregados, fugindo-se sempre, de simples memorização, que can-

sa e enfastia; do uso alusivo de definições, em particular de definições descritivas, o

mais das vezes, viciosas; e, ainda, do recurso a demonstrações longas e pesadas que,

ao invés de satisfazerem as necessidades lógicas que começam a ser despertadas, as

embotam e atrofiam.

O exercício e o exemplo deverão acompanhar a explanação da matéria, entremean-

do-se com a sua exposição. E, para os mesmos, necessário se torna solicitar, cons-

tantemente, a iniciativa do aluno. (BRASIL, 1951, p. 9).

Depreende-se das instruções metodológicas uma clara direção para as prescrições dos

princípios da Escola Nova para o ciclo ginasial.

Segundo Valente (2004), essa reforma também manteve um caráter enciclopedista dos

conteúdos, a mesma prática que vigorava na reforma Campos, ou seja, continuou um extenso

número de conteúdos a serem estudados nesses dois ciclos.

Algumas décadas depois, podemos destacar o Movimento da Matemática Moderna

(MMM), iniciado no Brasil, na década de 60 do século XX. Ainda de maneira tímida, suas

discussões foram ganhando força nos congressos nacionais realizados em: Salvador (1955);

Porto Alegre (1957); Rio de Janeiro (1959); Belém (1962) e São José dos Campos (1966).

Silva e Silva (2012) comentam que, a principal discussão, que permeava no Brasil, nesses

congressos, era uma análise crítica dos currículos vigentes e o aperfeiçoamento dos professo-

res com relação às essas tendências modernas. E , segundo Soares (2005), foi uma das altera-

ções curriculares que mais se tornou conhecida, com uma discussão bem difundida e empe-

nhada, com ampla divulgação, embora não tivesse um caráter legislativo.

A resposta à pergunta “porque a Matemática estava na linha de frente de uma refor-

ma pedagógica” era pronta: “ela é a base de uma cultura geral voltada para a ciência

e a tecnologia”. Moderna. Esta foi a palavra-chave, a palavra guia, a palavra mágica,

com toda a sua carga afetiva, mas também com toda a sua ambiguidade... (PIRES,

2000, p.20, grifo do autor).

Não podemos deixar de mencionar os grupos de estudos, que foram grandes divulga-

dores dos ideários modernistas. Segundo Fiorentini e Lorenzato (2007), podemos destacar: o

Grupo de Estudos do Ensino da Matemática (GEEM), organizado por Osvaldo Sangiorgi em

São Paulo no ano de 1961 e o Grupo de Estudos de Matemática (GRUEMA), também em São

Paulo. Anos depois, compareceram o Grupo de Estudos em Educação Matemática em Porto

181

Alegre (GEMPA) e o Grupo de Pesquisas em Educação Matemática (GEPEM), no Rio de

Janeiro, em 1976.

Com o MMM, os livros didáticos sofreram mudanças significativas, integrando uma

axiomatização e estruturação algébrica, com uma forte predominância da teoria de conjuntos.

Veiculada principalmente nos livros didáticos, sem adequada preparação dos educa-

dores nem suficiente discussão de seus propósitos, a Matemática Moderna surgiu en-

tre nós como substituta definitiva da velha Matemática, como a qual parecia não

manter relação alguma. (PIRES, 2000, p.31).

Pinto (2005) também descreve a importância do livro didático para a divulgação do

MMM, a saber,

Ainda um tanto nebulosa, no Brasil, a matemática moderna ancora primeiramente

nos grandes centros do país e começa, nos anos 60, a ser lentamente difundida nas

escolas mais longínquas, a maioria delas recebendo-a de sobressalto, via livro didá-

tico. Carregada de simbolismos e enfatizando a precisão de uma nova linguagem,

professores e alunos passam a conviver com a teoria dos conjuntos, com as noções

de estrutura e de grupo. Repleta de promessas de um ensino mais atraente e descom-

plicado em superação à rigorosa matemática tradicional... (PINTO, 2005, p.29).

De acordo com Búrigo (1989), esses anseios, por mudanças educacionais, ocorreram

com vistas à modernização e a introdução no país da necessidade de uma escola com uma

visão de avivamento do processo modernista. Buscavam-se, na Matemática, essas característi-

cas, com enfoques em conteúdos novos, substituindo abordagens clássicas, conferindo uma

maior importância a aspectos lógicos e estruturais da Matemática.

Soares (2001) discorre sobre os exageros cometidos pela Matemática Moderna, prin-

cipalmente, pelo enaltecimento em relação às linguagens simbólicas e sua estrutura extrema-

mente formalista.

Fiorentini (1995) destaca que,

A concepção formalista moderna manifesta-se na medida em que passa a enfatizar a

Matemática pela Matemática, suas fórmulas, seus aspectos estruturais, suas defini-

ções (iniciando geralmente por elas), em detrimento da essência e do significado

epistemológico dos conceitos. (FIORENTINI, 1995, p.16).

Do mesmo modo, podemos evidenciar a primeira Lei de Diretrizes e Bases da Educa-

ção, LDB 4.024, de 1961. De acordo com Marchelli (2014), a aprovação dessa lei, aconteceu

mediante a uma profunda e lenta discussão teórica sobre a imprescindível mudança que deve-

ria acontecer, no Brasil, para que a educação de modernizasse. Essa lei organizou o ensino

primário em quatro anos, sendo que, em seguida, o aluno ingressaria no curso ginasial, tam-

182

bém de quatro anos, posteriormente, a formação escolar continuaria com o curso colegial de

três ou quatro anos de duração. O ensino técnico de grau médio se subdividiu em: normal,

industrial, comercial e agrícola. Quando o aluno concluísse o curso colegial, poderia ingressar

no curso superior, através de um exame. A LDB de 1961 primou pela liberdade, pela emanci-

pação do indivíduo, qualidade e uma preparação geral (ZUIN, 2016b). Pelo seu artigo 1º, a

LDB 4.024, preconiza:

Art. 1º A educação nacional, inspirada nos princípios de liberdade e nos ideais de

solidariedade humana, tem por fim: a) a compreensão dos direitos e deveres da pes-

soa humana, do cidadão, do Estado, da família e dos demais grupos que compõem a

comunidade; b) o respeito à dignidade e às liberdades fundamentais do homem; c) o

fortalecimento da unidade nacional e da solidariedade internacional; d) o desenvol-

vimento integral da personalidade humana e a sua participação na obra do bem co-

mum; e) o preparo do indivíduo e da sociedade para o domínio dos recursos científi-

cos e tecnológicos que lhes permitam utilizar as possibilidades e vencer as dificul-

dades do meio; f) a preservação e expansão do patrimônio cultural; g) a condenação

a qualquer tratamento desigual por motivo de convicção filosófica, política ou reli-

giosa, bem como a quaisquer preconceitos de classe ou de raça (BRASIL, 1961).

Essa lei defendeu a liberdade e o respeito mútuo a todas as diferenças e condenava

qualquer tipo de preconceito. Instituiu o direito a educação, assegurada pelo poder público e

abertura ao ensino privado para os mais diferentes níveis de ensino.

Para finalizar este capítulo, a título de uma melhor visualização, elaboramos uma linha

do tempo (figura 7), na qual demarcam-se a ocorrência das reformas e acontecimentos que

tiveram impacto na educação brasileira dentro do período por nós estudado.

Figura 7 – Esquema demonstrativo – Marcos na educação brasileira

Fonte: Elaborada pelos autores

183

3. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES,

COMO O CONTEÚDO É TRATADO

Para estes apontamentos, apresentamos alguns elementos da análise de seis livros di-

dáticos nos quais o tópico sistemas de equações lineares está presente, avaliando publicações

num período de, aproximadamente, quarenta anos.

Os livros selecionados foram:

- Algebra Elementar, de Antonio Trajano (1932);

- Curso De Matemática, de Algacyr Munhoz Maeder (1948);

- Matemática Curso Ginasial 2ªsérie, de Osvaldo Sangiorgi (1959);

- Matemática Segunda Série Ginasial, de Ary Quintella (1961);

- Matemática Curso Moderno, de Osvaldo Sangiorgi (1965);

- Matemática Moderna, de Agrícola Bethlem (1969).

Ressaltamos os aspectos metodológicos dos autores, destacando as formas de introdu-

ção do conteúdo e as atividades e exemplos propostos nas obras analisadas. Para substanciar-

mos esse nosso estudo, encontramos, mais uma vez, nas palavras de Chervel (1990) uma ad-

mirável importância aos exercícios, quando ele trata do núcleo de uma disciplina:

Conteúdos explícitos e baterias de exercícios constituem então o núcleo da discipli-

na. As práticas de motivação e da incitação ao estudo são uma constante na história

dos ensinos. A disciplina escolar é então constituída por uma combinação, em pro-

porções variáveis, conforme o caso, de vários constituintes: um ensino de exposição,

os exercícios, as práticas de incitação e de motivação e um aparelho docimológico.

(CHERVEL, 1990, p. 205-207).

Listamos exemplos de como era apresentado o assunto, bem como, alguns exercícios e

problemas. Procuramos observar como eram tratadas essas atividades em suas diferentes épo-

cas, buscando encontrar particularidades que permitam caracterizar a metodologia dos seus

autores. Seguiremos uma linha temporal que parte do ano 1932 chegando até 1969. E além

das atividades propriamente ditas, exercícios/problemas e exemplos, daremos atenção também

aos seus enunciados.

Gostaríamos de frisar que reproduzimos fielmente a grafia dos livros, sem qualquer

alteração ortográfica.

184

Outro ponto a ser destacado é que nos livros de Maeder, Quintella e Sangiorgi

encontramos uma resolução de um sistema de equações lineares com duas incógnitas

genérico, a partir do qual, através do método de comparação, no primeiro autor e, do método

de adição, nos dois últimos, chega-se à “fórmulas” de resolução. Nota-se que essa resolução é

a mesma que se obtém com a Regra de Cramer, através da utilização de determinantes.

Porém, encontramos essa apresentação de resolução também no livro Théorie générale des

équations algebriques do francês Etiénne Bézout (1730 – 1783), escrito em 1779, que teve

grande circulação e adoção na França e em outros países da Europa, com diversas edições, no

séculos XVIII e XIX3, sendo também utilizado nas escolas portuguesas e brasileiras, se

tornando uma referência, inclusive sendo traduzido para o português. No século XIX, muitos

autores se basearam em Bèzout para escrever os seus livros.

É pertinente fazermos uma distinção entre problemas e exercícios, sendo que para nos

referendarmos vamos ao encontro de Vila e Callejo (2006), mencionando que:

Reservaremos, pois, o termo problema para designar uma situação, proposta

com finalidade educativa, que propõe uma questão matemática, cujo método

de solução não é imediatamente acessível ao aluno/resolvedor ou ao grupo de

alunos que tenta resolvê-la, porque não dispõe de um algoritmo que relaciona

os dados e a incógnita com conclusão e, portanto, deverá buscar, investigar,

estabelecer relações e envolver suas emoções para enfrentar uma situação

nova. (VILLA e CALLEJO, 2006, p.29).

Concordamos também, com Onuchic (1999) e Onuchic e Allevato (2004) em que res-

saltam o problema como sendo algo que não temos compreensão de como fazer, mas que es-

tamos interessados em fazer. Já para os exercícios, Romanatto (2012) vem nos dizer que eles

demandam aplicação de fórmulas e aplicação de algoritmos.

Sendo assim, nesse trabalho, denotamos por exercício as atividades dispostas nos li-

vros, com o sistema de equações lineares já dado, nas quais o aluno basta identificar e aplicar

um método de resolução. Denominamos problemas as atividades em que o estudante deve

interpretar o enunciado, equacionar o sistema, escolher um método de resolução, antes de

chegar a uma solução. No entanto, os autores dos livros analisados nem sempre utilizaram os

termos exercícios e problemas, nestas mesmas acepções.

3 Segundo Valente (2007), de 1770 a 1868, no catálogo da Biblioteca Nacional da França, são registradas mais

de 75 edições da Aritmética de Bézout.

185

Ao iniciarmos com a 15ª edição da Algebra Elementar, de Antonio Trajano, publicada

em 1932, percebemos que seria importante trazer elementos da história da educação brasileira

retrocedendo ao final do século XIX, pois, apesar de não termos a data precisa da primeira

edição, inferimos que a mesma foi publicada em fins do Oitocentos ou início do Novecentos.4

Ao analisarmos a mesma obra de Trajano, em sua 5ª edição, datada de 1905, não ob-

servamos nenhum tipo de mudança na sua obra referente ao tópico sistemas de equações line-

ares. Fato esse que, legitima nossa digressão histórica, pois o autor escreve outras de suas

obras se pautando no ensino intuitivo (ZUIN, 2011).

4 Em geral, os livros publicados no século XVIII e primeiras décadas do século XIX não traziam a data de suas

edições.

186

4. APONTAMENTOS ELENCADOS NOS LIVROS: o con-

teúdo sistema de equações lineares

Apresentaremos os livros didáticos utilizados, apontando cada autor e seu engajamen-

to com as questões educacionais, principalmente sua relação com a Matemática. Procuramos

também, através da introdução do conteúdo de sistemas e dos exercícios/problemas e exem-

plos, de cada obra, encontrarmos singularidades que possam estar presentes no conteúdo sis-

tema de equações lineares, de forma a entendermos suas mudanças dentro de determinado

período histórico.

4.1 Algebra Elementar, de Antonio Trajano (1932)

Figura 8 – Capa da Algebra Elementar de Antonio Trajano

Fonte: Acervo de Célio Moacir dos Santos

Antonio Bandeira Trajano nasceu em 1843, em uma cidade chamada Vila Pouca do

Aguiar, Portugal, chegando ao Brasil aos quatorze anos de idade, mais precisamente em São

Paulo. Mais tarde, ingressou no seminário, começando aí a sua carreira docente, pois leciona-

va em uma escola dirigida pela igreja na qual era seminarista. Trajano teve uma considerável

importância na educação brasileira, diversos livros escritos, em sua maioria, sobre Aritmética

e Álgebra atingindo inúmeras edições, sendo publicados mesmo após a morte do autor, em

1921, até o início da segunda metade do Novecentos (ZUIN, 2011).

187

No livro Álgebra Elementar, publicado em 1932, o autor inicia o assunto fazendo uma

distinção entre equações simultâneas e equações independentes. Entendemos ser importante

esse tipo de abordagem, pois propicia ao estudante, um entendimento sobre conceito de siste-

mas e suas soluções (figura 9).

Figura 9 – Diferença entre simultâneo e independente

Fonte: Trajano (1932, p.91)

Outro fato, a ser mencionado, é que o autor traz uma sequência de problemas resolvi-

dos. Porém, em um olhar mais específico, as soluções propostas pelo autor são bem sucintas,

não constando o seu passo a passo (figura 10).

Figura 10 – Problemas resolvidos

Fonte: Trajano (1932, p.96)

E, logo após os problemas resolvidos, encontramos uma nova sequência de exercícios

propostos, com suas respectivas respostas (figura 11).

188

Figura 11 – Problemas propostos

Fonte: Trajano (1932, p.97)

Ainda, sobre os exercícios/problemas encontrados nesse livro, as baterias de atividades

foram separadas por métodos de resolução, em que, para o método de redução ao mesmo coe-

ficiente, há doze exercícios e, apenas os três primeiros, vêm com as respostas. Posteriormente,

para os outros métodos: eliminação por comparação e eliminação por substituição, são pro-

postos seis exercícios em que os três primeiros apresentam suas respectivas respostas. E, por

último, atividades que podem ser consideradas como problemas, pois, antes de resolvê-los,

temos que transformar a sua linguagem nominal em linguagem algébrica. Encontramos

dezesseis atividades com essa característica, todos problemas possuem duas equações e duas

incógnitas, sendo seis problemas relacionados a aspectos do dia a dia.

Escolhemos cinco desses exercícios/problemas para que se tenha uma visão de como

eram as atividades propostas sobre sistemas lineares com duas incógnitas.

Algumas observações comparecem no livro e são destacadas a seguir, tais como:

Nos exercícios propostos, o autor em seu enunciado definia qual o método que deveria ser utilizado pelo

aluno.5

A utlização do termo “methodo da reducção ao mesmo coefficiente” para se referir ao método da

adição;

A não utilização das “chaves” para representar o sistema de equações;

Problemas na tentativa de relacionar com o cotidiano, utilizando a moeda da época.6

5 Considerar o exercício selecionado do livro de Trajano 1.

6 Considerar os problemas selecionados do livro de Trajano 3, 4 e 5.

189

Alguns exercícios/problemas do livro de Trajano:

4.2 Curso de Matemática, de Algacyr Munhoz Maeder (1948)

Figura 12 – Capa do Curso de Matemática

Fonte: Acervo de Célio Moacir dos Santos

190

Algacyr Munhoz Maeder nasceu em Curitiba, capital do Paraná, no dia 22 de abril de

1903. Iniciou seus estudos na capital paranaense, passando depois a morar em São Paulo e

estudou no Colégio São Bento. Depois, voltou a Curitiba para terminar seus estudos secundá-

rios e ingressar na Faculdade de Engenharia da Universidade Federal do Paraná, formando-se

Engenheiro Civil. Publicou um total de dezenove livros de Matemática, no período que com-

preende os anos de 1928 a 1962, livros estes bem aceitos pela comunidade escolar (LON-

GEN,2007).

Resolução e discussão de um sistema de duas equações com duas incógnitas, assim se

intitula o segundo capítulo do livro de Maeder. O autor inicia definindo uma equação do pri-

meiro grau com duas incógnitas, trazendo alguns exemplos e mostrando que uma equação

pode ter infinitas soluções, acrescentando que quando se tem esse tipo de solução, a equação

se diz indeterminada, designando cada solução como “pares de valores” para se referir a um

par ordenado. Logo após, apresenta duas equações lineares, com duas incógnitas, com sua

respectiva solução, sem resolvê-lo. Define “quando procuramos determinar uma solução co-

mum para duas ou mais equações com duas ou mais incógnitas, dizemos que as equações

consideradas forma um sistema” (MAEDER, 1948, p.20). A seguir, define sistemas equiva-

lentes, para, depois tratar da resolução de um sistema.

Maeder apresenta o método de eliminação, que ele subdivide em eliminação por subs-

tituição, eliminação por comparação e eliminação por adição, com exemplos, seguidos de

suas respectivas resoluções. Para cada um dos métodos, o autor integra uma regra para sua

resolução.

Com relação às atividades encontradas no livro em análise, temos inicialmente trinta e

cinco exercícios, todos apresentam suas respostas ao lado. São propostos exercícios em que é

necessário que o estudante tente encontrar valores para o coeficiente do sistema. Há um total

de cinco exercícios, nos quais os comandos oscilam entre encontrar valores para que o sistema

admita uma única solução ou para que o sistema seja indeterminado. E, para terminar, o autor

traz um total de vinte problemas, todos com suas devidas respostas.

Há também, na parte final do assunto, uma interpretação gráfica utilizando os coefici-

entes de sistemas {

,indicando três casos possíveis. É analisado como se

comporta a razão entre os coeficientes e que para cada caso temos uma representação gráfica

diferenciada.

191

I.

II.

III.

Figura 13 – Representação gráfica

I. II. III.

Fonte: Maeder (1948, p.50-51)

Consideramos importante esse tipo de abordagem, principalmente porque, Trajano

(1932), que foi analisado anteriormente, não desenvolve a resolução de um sistema com abor-

dagem geométrica.

Em nossa análise, verificamos que, no livro de Maeder:

Encontram-se sistemas estritamente algébricos;7

Discussão de sistemas através de atribuição de variáveis;8

Inserção de exercícios que necessitam de certos conhecimentos ou definições matemáticas, ou seja, é

fundamental que o aluno saiba diferenciar as possíveis soluções para resolver um sistema.9

Todos os sistemas de equações neste livro ou possuem uma única solução ou infinitas

soluções, não há sistemas sem solução. O autor até menciona esse caso no texto, porém, sem

trazer atividades propostas.

Alguns exercícios/problemas do livro de Maeder:

7 Considerar o exercício selecionado do livro de Maeder 1.

8 Ver os exercícios do livro de Maeder 2 e 3.

9 Ver os exercícios selecionados do livro de Maeder 2 e 3.

192

4.3 Matemática Curso Ginasial 2ªSérie, de Osvaldo Sangiorgi (1959)

Figura 14 – Capa de Matemática Curso Ginasial – 2ª Série

Fonte: Acervo de Célio Moacir dos Santos

193

Osvaldo Sangiorgi, nascido em 9 de maio de 1921, em São Paulo, professor de Mate-

mática, autor de vários livros didáticos e, de acordo com Valente (2008), foi defensor e divul-

gador do Movimento da Matemática Moderna no Brasil.

Inicia-se o assunto de sistema de equações, sendo que, em uma primeira discussão, o

autor aborda equações do primeiro grau com duas variáveis. Mais adiante, o autor trata das

infinitas soluções de uma equação do primeiro grau com duas variáveis, atribuindo valores a

e encontrando valores correspondentes para (figura 15).

Figura 15 - Equações lineares com duas incógnitas

Fonte: Sangiorgi (1959, p. 140)

Depois de fazer as devidas considerações sobre equações de primeiro grau, há um

exemplo de um sistema linear e sua respectiva solução. Atentamos para o fato de que, para

um primeiro exemplo, a sua resolução não é feita de forma integral (figura 16).

Figura 16 – Sistemas de equações simultâneas

Fonte: Sangiorgi (1959, p.141)

No subitem “Discussão de um sistema linear de duas equações com duas incógnitas”

(SANGIORGI, 1959, p. 147), encontramos um sistema escrito de forma geral. Depois, através

194

de manipulações algébricas e com a utilização do método da adição, chega-se a uma fórmula

geral para a resolução de um sistema (figura 17). Destacamos que, as fórmulas de resolução,

tratadas no livro, se assemelham com o resultado encontrado pela regra de Cramer, porém o

livro não faz esse tipo de relação.

Figura 17 - Discussão de um sistema linear de duas equações com duas incógnitas

Fonte: Sangiorgi (1959, p.147)

O livro inclui duas formas de apresentar os exercícios, atividades inseridas ao final de

cada item abordado teoricamente e atividades suplementares em uma parte específica do livro.

Encontramos sistemas propostos para serem resolvidos por determinados métodos e proble-

mas que são equacionados dando origem ao um sistema de equações, perfazendo um total de

noventa e dois exercícios relacionados ao tema. Procuramos a partir daí, através de uma pe-

quena amostra, levantar características importantes presentes nas atividades deste livro.

Em nossa análise, verificamos que, no livro de Sangiorgi:

Aparece o termo método da adição ao invés do termo método de redução ao mesmo coeficiente;

Existem, como exercícios propostos, aqueles que não possuem solução;10

Comparecem problemas contextualizados e com a proposta de algebrizar as informações dadas

transformando-as em um sistema;11

Há quantidade significativa de exercícios/problemas.

10

Ver exercício selecionado de Sangiorgi 2. 11

Ver exercício selecionado de Sangiorgi 3, 4 e 5.

195

Alguns exercícios/problemas do livro de Sangiorgi:

4.4 Matemática Segunda Série Ginasial, de Ary Quintella (1961)

Figura 18 – Capa Matemática 2ª Série Ginasial

Fonte: Acervo de Célio Moacir dos Santos

196

Ary Quintella foi um professor catedrático do Colégio Militar e professor do Ensino

Técnico da Prefeitura do Rio de Janeiro. Como autor de livros didáticos, além de escrever

para o ginasial, também se destacou com obras para os cursos clássico e científico, entre ou-

tras. De acordo com Pfromm Netto, Rosamilha e Dib (1974), os livros de Ary Quintella sem-

pre foram marcados por possuir uma linguagem simples, com um grande número de exemplos

que facilitavam a compreensão.

Quintella (1961) sustenta, em seu livro, primeiramente, uma discussão sobre equação

com duas incógnitas, retratando as suas infinitas soluções, . Em que atribui um

valor qualquer para e encontrando o seu correspondente em . Quando o autor inicia o as-

sunto sistemas, ele considera duas equações, , depois, são atri-

buídos valores a para cada equação (figura 19).

Figura 19 - Soluções individuais das equações

Fonte: Quintella (1961, p. 158)

Apresentamos agora, a forma como o autor discute a solução do sistema. Essa discus-

são parte da análise de um sistema de equações geral com coeficientes , sendo

realizada algumas manipulações algébricas, seguindo do método da adição para a conclusão

final (figura 20).

Figura 20 – Discussão de um sistema de forma algébrica

Fonte: Quintella (1961, p.168)

197

O autor privilegia uma resolução e interpretação de um sistema de maneira algébrica,

não retratando nenhuma outra abordagem. Ao se isolar , encontramos o resultado seme-

lhante ao da regra de Cramer.

Com relação aos exercícios/problemas, observamos uma primeira parte dos exercícios

sobre o assunto sistema de equações, em um total de quarenta e seis e todos apresentam suas

respectivas respostas. Na segunda parte das atividades, nos deparamos apenas com problemas,

ou seja, o aluno para resolvê-lo, não pode simplesmente utilizar um método, aplicar as opera-

ções algébricas e encontrar a solução. Os problemas requerem antes, uma interpretação por

parte do estudante, equacionando os dados e fazendo as devidas operações para que ele che-

gue a um resultado. No total, temos cinquenta problemas para serem resolvidos, todos com

respostas para que o aluno compare seus resultados.

Selecionamos algumas atividades na tentativa de apresentarmos um pouco a proposta

do livro de Quintella (1961).

Relacionamos também, as principais características percebidas nessa obra através des-

ses exercícios e problemas.

Nos enunciados, não se especificam métodos para a resolução, deixando a cargo do estudante, fazer a

escolha do mesmo (substituição, adição ou comparação);

Proposta de exercícios que trabalham a questão de conceitos e que exigem do aluno interpretações pa-

ra se chegar à solução;12

Presença de exercícios com a utilização de números decimais, fato que, até então, não foi observado

nos outros livros analisados;

Existência de exercícios cujas soluções são indeterminadas ou o sistema é impossível, (característica

importante, pois, em geral, os autores analisados enfocam sistemas de equações lineares que possuem

uma única solução);

Exercícios de cunho geométrico, característica até então não muito comum nos livros analisados.13

Alguns exercícios/problemas do livro de Quintella:

12

Ver exercício selecionado do livro de Quintella 2. 13

Ver exercício selecionado do livro de Quintella 3 e 4.

198

4.5 Matemática Curso Moderno, de Osvaldo Sangiorgi (1965)

Figura 21 – Capa de Matemática Curso Moderno – Volume 2

Fonte: Acervo de Célio Moacir dos Santos

199

Para dar uma maior legitimidade a nossa pesquisa, procuramos investigar outro livro,

inserido dentro do período da Matemática Moderna. Selecionamos o livro de Osvaldo San-

giorgi, por ser adotado em diversas escolas no país. Nossa expectativa era a possibilidade de

elencar novos aspectos, caso existissem, referentes à sua edição anterior, de 1959, já tratada

anteriormente.

Para a eleição deste autor, nos fundamentamos em Valente (2008) que trata da impor-

tância de Sangiorgi, como um dos grandes divulgadores do Movimento da Matemática Mo-

derna no Brasil.

Como, neste livro, Osvaldo Sangiorgi tem uma abordagem voltada para os princípios

da Matemática Moderna, há uma grande utilização de simbologia, focalizando os quantifica-

dores ( V, Ǝ, ), inclusive temos um capítulo do livro dedicado a essas notações (figura 22).

Figura 22 – Um dos capítulos do livro

Fonte: Sangiorgi (1965, p.210)

Na introdução do capítulo sobre sistemas de equações o autor inicia a discussão com

um problema (figura 23).

Figura 23 – Introdução do assunto sistema de equações

Fonte: Sangiorgi (1965, p.242)

Cada equação é determinada por um conjunto verdade e a solução ( é a in-

terseção das duas equações.

200

Sendo e

Figura 24 – Forma de resolução sistema de equações

Fonte: Sangiorgi (1965, p.244)

Vejamos outro exemplo de como o autor encontra o resultado de um sistema de duas

equações (figura 25).

Figura 25 – Discussão de um sistema usando teoria de conjuntos

Fonte: Sangiorgi (1965, p. 245)

Notamos que o autor utiliza pares ordenados, que representam as possíveis soluções de

cada equação separadamente, sendo que, ao final, o autor faz uma interseção entre os resulta-

dos para descobrir a solução comum, denotando assim, uma nova maneira de resolver o sis-

tema.

Ao todo, no segundo volume da Matemática Curso Moderno, encontram-se quarenta e

cinco exercícios e problemas. Sangiorgi (1965) subdivide as suas atividades em dois grupos, a

201

primeira, apenas de trinta exercícios e, depois, em um segundo grupo, temos quinze proble-

mas.

Traremos uma representatividade dos exercícios/problemas dispostos nesse livro, bem

como procuraremos encontrar elementos que nos remetam aos ideais do movimento da apre-

goada “modernidade” da Matemática.

Desenvolvimento e utilização de uma linguagem dentro da teoria conjuntos;

Preocupação por parte do autor em trabalhar com problemas contextualizados para que o estudante

possa resolver usando sistemas;14

A ênfase e direcionamento se encontram unicamente na técnica de substituição em detrimento das de-

mais, com cinco páginas dedicadas integralmente a esse método e grande quantidade de exercícios;

Uso de simbologias;

Existência de algumas sugestões para a resolução dos problemas, que direcionam o equacionamento;15

O número de exercícios em relação à edição anterior foi bastante reduzido.

Alguns exercícios/problemas do livro de Sangiorgi:

14

Ver exercício selecionado do livro de Sangiorgi 1. 15

Ver exercício selecionado do livro de Sangiorgi 2 e 4.

202

4.6 Matemática Moderna, de Agrícola Bethlem (1969)

Figura 26 – Capa Matemática Moderna Volume II

Fonte: Acervo de Célio Moacir dos Santos

O tenente coronel Agrícola Bethlem se graduou engenheiro e bacharel em Matemática

e Ciências Físicas, foi, durante muitos anos, professor do Colégio Militar do Rio de Janeiro.

O capítulo VI vem ao encontro do nosso tema, sistema de equações, iniciando o assun-

to com uma discussão sobre equações, com utilização de exemplos. Muitos dos livros anterio-

res analisados também o fazem, ou seja, o assunto sistema, continuamente vem antecedido

pelo tópico de equações. Porém, Bethlem (1969) o faz de maneira diferente em relação aos

livros verificados. Primeiramente, pela sua abordagem, com a utilização da linguagem de con-

juntos que, como já dissemos, são características dessa época. Termos como, conjunto univer-

so e conjunto verdade, aparecem regularmente.

No caso da equação representada de forma geral, , é detalhada uma discus-

são, com levantamento de hipóteses relacionado aos coeficientes E, nessa questão, são

feitas conclusões associadas com os resultados que essa equação pode ter, dependendo dos

valores atribuídos aos coeficientes Sendo que, de maneira geral, com o conjunto

verdade é sempre {

}

Primeira hipótese:

203

Figura 27 – Primeira hipótese

Fonte: Bethlem (1969, p.128)

Segunda hipótese:

Figura 28 – Segunda hipótese

Fonte: Bethlem (1969, p.128)

Há uma observação feita por Bethlem (1969) na qual é mencionado o símbolo e

. O autor também propõe um exercício para que o estudante possa usar os quantificadores

(figura 29).

Figura 29 – Quantificador universal

Fonte: Bethlem (1969, p.129)

Depois no terceiro item, com o título “Equações simultâneas do primeiro grau com

duas indeterminadas” temos um problema com os seguintes dizeres:

204

“Ernani entrou em uma loja e comprou três camisas de mesmo preço unitário e duas gravata,

também de mesmo preço unitário, tudo por NCr$ 62,00. Qual era o preço de uma camisa e

qual era o preço de uma gravata?” (BETHLEM, 1969, p.130).

A equação que representa essa sentença é e que segundo o autor esse

tipo de problema, comporta mais de uma solução, dizendo que a solução é indeterminada.

Temos, então, o conjunto verdade { }.

Agora, se a esse problema for acrescentado mais uma condição como, por exemplo, “o

preço da gravata adicionado ao de uma camisa é igual a NCr$23,50” (BETHLEM, 1969,

p.132), teríamos o seguinte solução (figura 30):

Figura 30 – Solução do problema

Fonte: Bethlem (1969, p.132)

No livro, encontramos outras particularidades que, entendemos ser importantes para

caracterizar o material e a época de inserção do mesmo durante o MMM. É adotado o conjun-

to dos números racionais como conjunto universo para as possíveis soluções da equação. São

atribuídos valores para a variável e encontrados valores correspondentes para Nesse caso,

a ideia de infinidade de soluções é mencionada e lhe é conferida uma representação utilizando

a linguagem de conjuntos para expressar essas quantidades infinitas.

Figura 31 – Representação de todos os pares ordenados

Fonte: Bethlem (1969, p.132)

205

Há, também, um exemplo de um exercício resolvido em que o sistema não possui so-

lução, ou seja, o conjunto verdade da solução é vazio (figura 32).

Figura 32 – Representação de um sistema sem solução

Fonte: Bethlem (1969, p.141)

O autor discorre sobre a incompatibilidade entre as equações, trazendo uma simbolo-

gia para exemplificar essa situação e, ao final, ainda pede ao estudante que represente o exer-

cício em forma de grafo.

Bethlem (1969) vem com uma proposta diferenciada para os exercícios a resolver. Ao

final do capítulo do tópico sobre sistema de equações, são evidenciados dois momentos: o

primeiro, com dez exercícios, sem suas respectivas respostas e, um segundo, com mais dez

problemas, para os quais alguns apresentam respostas, outros não.

Apresentamos algumas dessas atividades, trazendo os principais atributos que caracte-

rizamos na nossa análise dos exercícios e problemas:

Os enunciados já trazem uma mudança na maneira como as atividades devem ser conduzidas;

Existe a presença de outra forma de visualização para a resolução de sistemas, o gráfico, que, no livro,

o autor denomina “grafo”;16

Utilização da linguagem de conjuntos;

Emprego de simbologia;

Problemas que envolvem geometria;17

Interpretações que vão além do simples fato de uma resolução em si, há uma proposta de uma investi-

gação do problema.18

16

Ver exercício selecionado do livro de Bethlem 1. 17

Ver exercício selecionado do livro de Bethlem 3. 18

Ver exercício selecionado do livro de Bethlem 4.

206

Alguns exercícios/problemas do livro de Bethlem:

207

5. UMA ANÁLISE GLOBAL

No modelo tradicional de ensino, em que se apoiavam as escolas no século XIX, a

caracterização principal era a memorização, ou seja, um bom aluno era aquele que

conseguisse reter um número maior de informações. Em contrapartida, surgem propostas de

reformulação para esse modelo que já não mais atendiam aos anseios da sociedade.

Procuramos fazer uma síntese, trazendo alguns elementos que marcaram o ensino no

Brasil, desde o final do século XIX, chegando a segunda metade do século XX. Novas

tendências pedagógicas, como o Método Intuitivo e a Escola Nova, surgiram como propostas

renovadoras se contrapondo às concepções tradicionais. Reformas educacionais se fizerem

presentes, como a de Francisco Campos e a de Gustavo Capanema, impondo mudanças na

maneira de ensinar a Matemática. Posteriormente, temos o Movimento da Matemática

Moderna, que influenciou grandemente os nossos educadores matemáticos. Do outro lado,

temos os livros didáticos, servindo de apoio e orientação para os professores e que, em meio a

esse contexto educacional, vivenciado nesses periodos, de alguma maneira, se modifica.

Consequentemente, procuramos observar, se de alguma forma ao longo desse período,

essas propostas diferenciadas se manifestaram na organização do conteúdo de sistemas de

equações lineares. Deixamos claro que não fizemos uma análise geral dos livros e, sim,

apenas do tópico em questão. Deste modo, admitimos que nossa visão é parcial e não pode ser

generalizada na perspectiva de cada autor das obras analisadas.

Em se tratando da Escola Nova, abriremos uma pequena discussão sobre a suas

interferências na educação no Brasil.

Zuin (2016a), em um dos seus estudos, trata de dois autores que questionam se

realmente o escolanovismo era praticado aqui no país, enfocando que “é preciso ter um olhar

cuidadoso para as correntes pedagógicas e a apropriação das mesmas pelos autores de textos

destinados aos professores em sua formação inicial ou em serviço” (p. 2). Realmente, ao

direcionarmos nosso olhar para os sistemas, não percebemos influências substanciais nos

livros didáticos. Para essa corrente pedagógica, os exercícios, por exemplo, deveriam seguir

um caráter investigativo, porém, isso não ocorre nos materiais pesquisados.

Em se tratando do livro de Trajano, podemos encontrar alguns elementos do método

intuitivo, o que é comprovado pela preocupação que o autor tinha com os problemas. Atenta-

mos para o fato de o conteúdo sistemas ser acompanhado de vários problemas resolvidos,

muito provavelmente, com o intuito de proporcionar ao estudante uma melhor compreensão

208

nas resoluções para que ele pudesse realizar, em sequência, as atividades propostas. Zuin

(2011), ao analisar o livro Arithmetica Illustrada, de Trajano, indica que o autor demostrava

uma grande preocupação com a resolução de problemas e que, nesse contexto pedagógico,

encontram-se elementos dos princípios do método intuitivo. Da mesma forma, podemos fazer

essa inferência em relação ao livro Álgebra Elementar. A mesma autora ainda traz que, “por

ser um pastor protestante e atuar como docente das escolas da Igreja Presbiteriana do Rio de

Janeiro e de São Paulo e na Escola Americana de São Paulo, Trajano teria contato com publi-

cações e educadores estadunidenses” (p.11). Todas essas proximidades com livros de autores

americanos, que por sua vez, eram adeptos do Método Intuitivo, teriam influenciado Antonio

Trajano a escrever seus materiais.

Para o livro de Maeder (1948) averiguamos que apresenta uma linguagem que não

disfarça seu formalismo. Seguinte a essa situação, destacamos a presença, mesmo que conci-

sa, da menção à geometria atrelada aos sistemas lineares. Nesses termos, o autor se encontra

em conformidade com o Programa de Matemática da Portaria Ministerial nº 170, de 11 de

julho de 1942, que prescreve a resolução gráfica de um sistema de duas equações com duas

incógnitas, bem como, a sua interpretação gráfica, discussão e solução (VECHIA; LORENZ,

1998).

Nos livros de Sangiorgi (1959) e Quintella (1961), percebemos que seus conteúdos

seguem a Portaria 1.045, de 14 de dezembro de 1951, em que expedia os planos de desenvol-

vimento dos chamados “Programas Mínimos” de ensino secundário e respectivas instruções

metodológicas. Nesses programas não há a inclusão da parte gráfica para o conteúdo de sis-

temas, porém, ao analisarmos as instruções metodológicas oriundas da Portaria, encontramos

propostas diferentes entre o documento e os livros didáticos. Segundo as instruções, “o exer-

cício e o exemplo deverão acompanhar a explanação da matéria, entremeando-se com a sua

exposição...” (BRASIL, 1951, p.9). Contudo, os exercícios, nos livros de Sangiorgi (1959) e

Quintella (1961), estão sempre dispostos ao final das exposições teóricas.

Nos livros de Sangiorgi (1965) e Bethlem (1969), é bastante perceptível uma mudança

na maneira como os autores abordam o assunto de sistemas lineares. Foi atribuída, a esse te-

ma, uma estruturação algébrica carregada de simbolismos, com excessiva abstração e uma

ênfase na teoria dos conjuntos.

Outras análises foram levantadas e características importantes verificadas na pesquisa.

Uma delas é que, os exercícios, em sua grande maioria, eram resolvidos por meio da utiliza-

ção da Álgebra. Dos seis livros envolvidos na investigação, constata-se que, apenas dois deles

traziam, em suas resoluções, o método geométrico, ou seja, Maeder (1948) e Bethlem (1969).

209

Inferimos que, o fato de quatro dos autores analisados não trazer a resolução algébrica acom-

panhada da resolução gráfica, poderia ser prejudicial aos estudantes. Entendemos que, a abor-

dagem geométrica pode propiciar ao aluno uma visão diferenciada e, sobretudo, ajudá-los a

entender as diferentes respostas, fortalecendo a noção conceitual da solução de um sistema

linear com duas equações e duas incógnitas.

Quadro 2 - Apresentação das resoluções

Autores

Apresentação das resoluções com utilização de exemplos ou exercícios/problemas

Algébricas Geométricas

Trajano (1932) X -

Maeder (1948) X X

Sangiorgi (1959) X -

Quintella (1961) X -

Sangiorgi (1965) X -

Bethlem (1969) X X Fonte: Elaborado pelo autor

De acordo com as observações feitas, não encontramos a mesma proporção entre os

dois tratamentos, o algébrico e o geométrico (quadro 2). Julgamos que, tanto a abordagem

algébrica, quanto a gráfica de um problema que envolve sistemas, pode oferecer uma condi-

ção maior de compreensão, pois temos dois caminhos distintos com o objetivo único, a reso-

lução do problema ou do exercício.

Outro quadro importante, que iremos apresentar, é sobre como os autores introduzem

o conteúdo de sistemas (definições, exercícios, problemas e abordagem histórica). Averigua-

mos que, geralmente, esse início é feito através de definições, exercícios ou problemas. Em

nenhum dos autores encontramos uma abordagem história do conteúdo. (quadro 3).

Quadro 3 – Introdução do conteúdo

Fonte: Elaborado pelo autor

Com relação aos métodos de resolução de um sistema de equações, houve certa conti-

nuidade, a menção de três métodos (adição, substituição e comparação). A ruptura de dá a

partir do livro de Sangiorgi (1965) no qual comparece apenas um método (quadro 4).

Autores

Introdução do conteúdo Sistema de Equações

Definições Exercícios Problemas Abordagem

histórica

Trajano (1932) X X - -

Maeder (1948) X X - -

Sangiorgi (1959) X X - -

Quintella (1961) X X - -

Sangiorgi (1965) X - X -

Bethlem (1969) - - X -

210

Durante o período da Matemática Moderna, verificamos que Sangiorgi (1965) e Beth-

lem (1969) optaram por utilizar apenas um dos métodos, sendo que Sangiorgi (1965) dava um

grande destaque ao método de substituição.

Quadro 4 – Métodos de resolução

Autores

Métodos de Resolução (com ou sem men-

ção explícita)

Regra de Cramer

Adição Substituição Comparação

Fórmulas que

se asseme-

lham com o

resultado

proposto por

“Cramer”

Menciona

com a

utilização

do nome

“Cramer”

Não

menciona

Trajano

(1932)

X X X - - X

Maeder

(1948)

X X X X - -

Sangiorgi

(1959)

X X X X - -

Quintella

(1961)

X X X X - -

Sangiorgi

(1965)

- X - - X -

Bethlem

(1969)

- - X - - X

Fonte: Elaborado pelo autor

É imprescindível ressaltarmos que o conteúdo de sistema de equações lineares com

duas incógnitas, permaneceu nos livros didáticos. Considerando todas as transformações ocor-

ridas, no período analisado, às reformas Francisco Campos e Capanema, o Movimento da

Matemática Moderna, todas as leis, decretos ou portarias, em nenhum momento, esse conteú-

do desaparece. Ocorrem modificações concernentes aos métodos de resolução, inclusão ou

não da resolução gráfica e a forma metodológica de apresentar este conteúdo, refletindo

igualmente nos exercícios e problemas. A alteração mais significativa fica restrita aos livros

cujos autores seguiram princípios do MMM.

211

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