ESTUDOS DE SISTEMAS LINEARES DE TRÊS EQUAÇÕES

E TRÊS INCÓGNITAS

Simone de Freitas de SouzaUNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSEIME - Instituto de Matemática e EstatísticaLANTE – Laboratório de Novas Tecnologias de Ensino  

A dificuldade comum na aprendizagem da Geometria Analítica, que é a junção da Álgebra com a Geometria, é a interpretação e análise visual, pois o desconhecimento de propriedades de geometria plana e espacial prejudica a compreensão dos tópicos relacionados a essa disciplina. A falta desses conhecimentos fundamentais também pode acarretar dificuldades na visualização de objetos geométricos. (MOTA et LAUDARES, 2013).

A imagem mental está associada à visualização dos objetos.

OBJETO GEOMÉTRICO (Gravina, 1996)

componente conceitual: expressa propriedades que caracterizam uma classe de objetos.

componente figural: corresponde à imagem mental que associamos ao conceito.

Estudos de Sistemas Lineares (de três equações e três incógnitas):

Posições relativas entre três planos no espaço

Classificação dos sistemas Resolução algébrica Construção dos gráficos através do software

WinPlot, programa freeware (gratuito), que executa no Windows (disponível para download em:

http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html)

Definição do projeto

Objetivos e metas do projeto

Associar cada uma das três equações do sistema linear a um gráfico do plano no R³.

Construir o gráfico das equações no WinPlot, definindo cada plano de equação ax+by+cz+d=0 por um ponto (k,m,n) do plano (quaisquer conjuntos de valores para as coordenadas x, y e z que satisfaçam a equação) e um vetor perpendicular a ele (a, b, c).

Visualizar os três gráficos juntos e classificar o sistema em Sistema Possível e Determinado, Sistema Possível e Indeterminado ou Sistema Impossível.

Comparar o resultado visualizado (geométrico) com o resultado algébrico do sistema resolvido.

Apurar a visão geométrica espacial do aluno. Associar a construção da figura espacial ao seu conceito pela

observação e manipulação do gráfico no WinPlot. O aluno deverá fazer plotagem dos gráficos no aplicativo

computacional Winplot e, através de suas observações, classificar o sistema dado, de acordo com suas interseções.

O objetivo é articular a teoria com a prática, por meio de construções geométricas com a função de gerar o pensamento que interpreta a álgebra visualmente para que possa atribuir significado a um conceito e, aos poucos, produzir generalizações através das regularidades.

A compreensão do conceito é melhor obtida na busca da ampliação do pensamento geométrico.

Através dos questionamentos, da investigação da solução e das comparações que os estudantes fazem que o conhecimento é construído e novas descobertas feitas.

Público alvo

Segundo ano do Ensino Médio, quarto bimestre.

No estudo dos diferentes tipos de soluções algébricas dos sistemas lineares de três equações e três incógnitas e suas classificações.

Quando utilizar

USANDO A FERRAMENTA COMPUTACIONALComo construir o gráfico do plano no WinPlot?Siga os passos dados para cada sistema abaixo,

composto pelo conjunto das equações de três planos:

Descrição da forma de emprego do projeto

Pelo aplicativo WinPlot, acione a opção JANELA, 3-Dim encontre a opção de construção do gráfico do plano na aba Equação e plano.

Represente graficamente os três planos dados de cada sistema da seguinte forma:

-Informe os parâmetros a, b e c (vetor perpendicular ao plano) da forma ax+by+cz+d=0

-Complete (k, m, n), um ponto pertencente ao plano, isto é, quaisquer valores de x, y e z que satisfaçam a equação dada.

- Altere o tamanho do quadrado para 100 (ou mais, quando necessário para visualizar as interseções).

Após plotar os três gráficos juntos, classifique como Sistema Possível e Determinado, Sistema Possível e Indeterminado ou Sistema Impossível (visualmente, de acordo com suas posições).

Verifique algebricamente a sua solução e compare.

QUESTÕES

I. Após a verificação algébrica e a construção geométrica para determinar a classificação de cada sistema, qual o método preferido por você? Por que?

II. Sobre o sistema IV, o que se pode observar sobre as representações gráficas desses planos? O que há em comum nas suas equações?

III. Qual a equação geral do plano que possui as mesmas características daquelas representadas no sistema IV?

APROFUNDANDO UM POUCO MAIS...

IV. Quantas são as posições relativas possíveis entre três planos?

V. Crie sistemas com as equações lineares que não foram representadas anteriormente, com o auxilio do WinPlot.

Soluções esperadas da construção do gráfico do Sistema (pelo WinPlot)

xy

z

plano{[1,2,3];(1,0,0)}plano{[1,2,1];(-2,0,0)}plano{[-2,-4,2];(0,0,0)}

SISTEMA 1:

Sistema Possível e Indeterminado (uma reta na interseção).

x

y

z

plano{[2,1,1];(1,0,0)}plano{[4,2,2];(0,0,-1)}plano{[1,1,0];(-1,-1,0)}

SISTEMA 2:

Sistema Possível e Indeterminado (uma reta na interseção).

x

y

z

plano{[3,1,5];(0,1,0)}

plano{[2,1,2];(0,0,-1)}

plano{[2,-3,1];(0,0,0)}

SISTEMA 3:

Sistema Possível e Determinado (uma ponto na interseção).

x

y

z

plano{[1,1,5];(10,0,0)}

plano{[1,1,5];(-21,0,0)}

plano{[1,1,5];(0,0,0)}

SISTEMA 4:

Sistema Impossível (interseção vazia).

Soluções esperadas para as questões dadas

I. Resposta pessoal.II. São planos paralelos. Durante a

construção do gráfico no WinPlot é fácil observar que os valores dos vetores (a,b,c) de cada plano são iguais, isto é, (a,b,c)=(1,1,5), mas as equações são distintas.

III. x+y+5z+d=0, d podendo assumir qualquer valor real.

IV. Oito Posições Possíveis para a interseção entre três planos.

V. Exemplo de soluções:

Sistema Possível e Indeterminado (um plano na interseção).

x

y

z

plano{[1,1,1];(0,0,1)}

plano{[2,2,2];(0,0,1)}

plano{[3,3,3];(0,0,1)}

x

y

z

plano{[1,1,1];(0,0,1)}

plano{[2,2,2];(0,0,1)}

plano{[3,3,3];(0,0,10)}

Sistema Impossível (interseção vazia)

x

yz

plano{[2,1,1];(0,0,0)}

plano{[2,2,2];(0,0,1)}

plano{[3,3,3];(0,0,10)}

Sistema Impossível (interseção vazia)

x

y

z

plano{[1,9,1];(0,0,0)}

plano{[1,8,8];(-9,-8,-7)}

plano{[0,0,1];(0,0,2)}

Sistema Impossível (interseção vazia)

OBSERVAÇÕES

O trabalho paralelo das representações algébrica com a geométrica amplia o entendimento e a associação no processo de ensino-aprendizagem de planos e noção do espaço.

A visualização da figura espacial sempre contribui para o desenvolvimento do pensamento geométrico e é fundamental, para o seu domínio, o esboço detalhado do gráfico em diversas posições.

O WinPlot facilita a manipulação da figura espacial, sua rotação, ampliação e diversos meios de visualização apura o domínio do objeto de estudo e de suas propriedades, possibilitando uma melhor interpretação de sua equação e de seus elementos.

Bibliografia

MOTA, J. F.; LAUDARES, J. B. Um Estudo de Planos, Cilindros e Quádricas, na Perspectiva da Habilidade de Visualização, com o Software Winplot. Bolema, Rio Claro (SP), v. 27, n. 46, p. 497-512, ago. 2013

GRAVINA, M. A. Geometria Dinâmica: Uma Nova Abordagem para o Aprendizado da Geometria. In: SIMPÓSIO BRASILEIRO DE INFORMÁTICA NA EDUCAÇÃO, 7., Belo Horizonte, 1996. Anais... Belo Horizonte: SBC, 1996. p.1-13. CD-ROM.