View
214
Download
0
Embed Size (px)
MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES
SISTEMAS LINEARES
SISTEMAS LINEARES
Equao linear
Equao linear toda equao da forma: a1x1 + a2x2+ a3x3 + ... + anxn = b
em que a1, a2, a3, ... , an so nmeros reais, que recebem o nome
de coeficientes das incgnitas x1, x2,x3, ... , xn, e b um nmero real
chamado termo independente
( quando b=0, a equao recebe o nome de linear homognea).
Veja alguns exemplos de equaes lineares:
3x - 2y + 4z = 7
-2x + 4z = 3t - y + 4
Sistema linear
Um conjunto de equaes lineares da forma:
um sistema linear de m equaes e n incgnitas.
A soluo de um sistema linear a n-upla de nmeros reais ordenados (r1, r2,
r3,..., rn) que , simultaneamente, soluo de todas as equaes do sistema.
Matrizes associadas a um sistema linear
A um sistema linear podemos associar as seguintes matrizes:
matriz incompleta: a matriz A formada pelos coeficientes das incgnitas do
sistema.
Em relao ao sistema:
a matriz incompleta : para o mesmo sistema acima, a matriz
completa :
Sistemas homogneos
Um sistema homogneo quando todos os termos independentes
da equaes so nulos:
A n-upla (0, 0, 0,...,0) sempre soluo de um sistema
homogneo com n incgnitas e recebe o nome de soluo
trivial. Quando existem, as demais solues so chamadas no-
triviais.
Exemplo:
Quanto ao nmero de solues um sistema linear pode ser classificado em:
a) SPD - possvel e determinado (soluo nica);
Exemplo:
S={(3,5)}
b) SPI - possvel e indeterminado (infinitas solues);
Exemplo:
S={(0,8); (1,7); (2,6); (3,5); (4,4); (5,3). ...}
c) SI - sistema impossvel (no tem soluo).
Exemplo:
S=
RESOLUO DE SISTEMA LINEARES
MTODO DE CRAMER
Sistema normal
Um sistema normal quando tem o mesmo nmero de equaes (m) e de
incgnitas (n) e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema
diferente de zero.
Se m=n e det A 0, ento o sistema normal.
Regra de Cramer
Todo sistema normal tem uma nica soluo dada por:
em que i { 1,2,3,...,n}, D= det A o determinante da matriz incompleta
associada ao sistema, e Dxi o determinante obtido pela substituio, na
matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos
independentes.
Exemplo
Devemos encontrar a matriz incompleta desse sistema linear que ser
chamada de A.
Agora calculamos o seu determinante que ser representado por D.
D = 1 + 6 + 2 + 3 1 + 4
D = 15.
Agora, substituindo a primeira coluna da matriz incompleta pela coluna formada
pelos termos independentes, calcularemos Dx.
Dx = 8 + 4 + 3 + 2 8 + 6
Dx = 15
Dz = 2 + 18 + 16 + 24 3 8
Dz = 45
Dy = -3 + 24 + 4 9 2 + 16
Dy = 30
Agora, substituindo a segunda coluna da matriz incompleta pela coluna formada
pelos termos independentes, calcularemos Dy.
Agora, substituindo a terceira coluna da matriz incompleta pela coluna formada
pelos termos independentes, calcularemos Dz.
151
15
xDxD
302
15
yDy
D
453
15
zDzD
Assim, podemos calcular a soluo do sistema:
S={(1,2,3)}
EXERCCIOS RESOLVIDOS
1)
1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 2 2 1 2 2 1
1 1 3 1 1 3 1 1
D
1 1 1
2 1 2
1 1 3
A
(3 2 2) ( 1 2 6) 3 ( 9) 3 9 12D
12 1 1 12 1 1 12 1
12 1 2 12 1 2 12 1
16 1 3 16 1 3 16 1
xD
(36 32 12) (16 24 36) 8 ( 44) 8 44 36xD
1 12 1 1 12 1 1 12
2 12 2 2 12 2 2 12
1 16 3 1 16 3 1 16
yD
( 36 24 32) (12 32 72) 44 ( 92) 44 92 48yD
(16 12 24) ( 12 12 32) 4 ( 56) 4 56 60xD
1 1 12 1 1 12 1 1
2 1 12 2 1 12 2 1
1 1 16 1 1 16 1 1
zD
363
12
xDxD
484
12
yDy
D
605
12
zDzD
Assim, podemos calcular a soluo do sistema:
S={(3,4,5)}
1 2 2 1 2 2 1 2
1 2 4 1 2 4 1 2
1 4 2 1 4 2 1 4
D
1 2 2
1 2 4
1 4 2
A
(4 8 8) ( 4 16 4) 20 ( 8) 20 8 12D
(20 24 72) (12 80 36) 68 ( 56) 68 56 12xD
1 5 2 1 5 2 1 5
1 9 4 2 9 4 2 9
1 3 2 1 3 2 1 3
yD
(18 12 20) (18 12 20) 50 50 0yD
(6 18 20) ( 10 36 6) 44 ( 20) 44 20 24xD
1 2 5 1 2 5 1 2
1 2 9 1 2 9 1 2
1 4 3 1 4 3 1 4
zD
5 2 2 5 2 2 5 2
9 2 4 9 2 4 9 2
3 4 2 3 4 2 3 4
xD
121
12
xDxD
00
12
yDy
D
242
12
zDzD
Assim, podemos calcular a soluo do sistema:
S={(1,0,2)}
EXPRESSO MATRICIAL DE UM SISTEMA
Um sistema de equaes pode ser representado na forma de uma
matriz. Os coeficientes das incgnitas sero os elementos da matriz
que ocuparo as linhas e as colunas de acordo com o
posicionamento dos termos no sistema.
EXEMPLOS
O sistema poder ser representado por:
2 5 11.
3 6 3
x
y
Matriz dos
coeficientes
Matriz das
variveis Matriz dos termos
independentes
O sistema poder ser representado por:
4 3 9 7
1 5 4 . 6
2 6 3 1
x
y
z
Matriz dos
coeficientes
Matriz das
variveis Matriz dos termos
independentes
DISCUSSO DE UM SISTEMA LINEAR
Discutir o sistema saber se ele possvel, impossvel ou
determinado.
Utilizando a regra de Cramer, temos:
Adet
Adetx,...,
Adet
Adetx,
Adet
Adetx nn
22
11
0Adet Sistema Possvel e Determinado
Sistema Possvel e
Indeterminado
0
0
21 nAdet...AdetAdet
e
Adet
0 um menos pelo
0
nAdet
e
Adet Sistema Impossvel
ESCALONAMENTO DE SISTEMAS LINEARES
Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente
no-nulo em cada equao, est escalonado se o nmero de
coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente no nulo aumenta de
equao para equao.
Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento:
a) Fixamos como 1 equao uma das que possuem o
coeficiente da 1 incgnita diferente de zero.
b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes,
anulamos todos os coeficientes da 1 incgnita das demais
equaes.
c) Repetimos o processo com as demais incgnitas, at que o
sistema se torne escalonado.
EXEMPLO
Trocamos de posio a 1 equao com a 2 equao,
de modo que o 1 coeficiente de x seja igual a 1:
Trocamos a 2 equao pela soma da 1 equao, multiplicada
por -2, com a 2 equao:
Trocamos a 3 equao pela soma da 1 equao, multiplicada por -3, com
a 3 equao:
Trocamos a 3 equao pela soma da 2 equao, multiplicada por -1, com a
3 equao:
Agora o sistema est escalonado e podemos resolv-lo.
-2z= -6 z=3
Substituindo z=3 em (II):
-7y - 3(3)= -2 -7y - 9 = -2 y=-1
Substituindo z=3 e y=-1 em (I):
x + 2(-1) + 3= 3 x=2
Ento, x=2, y=-1 e z=3
S = {(2,1,3)}
Agora com vocs. Resolva escalonando os sistemas.
1)
Primeiro passo: Trocar a primeira e a terceira linhas de posio
Segundo passo: Trocar a segunda linha pela soma da segunda linha
com a primeira linha multiplicada por 1.
Terceiro passo: Trocar a terceira linha pela soma da segunda linha
com a terceira linha.
O sistema est escalonado e z = 3. Substituindo z = 3
na 2a equao:
y + 3 = 5 y = 2
Substituindo z = 3 e y = 2 na 1a equao:
x + 2 + 3 = 6 x = 1
Portanto, teremos:
S = {(1,2,3)}
2)
L2=L2+(1).L1
L3=L3+(2).L1
L4=L4+(2).L1
L3=L3+(1).L2
L4=L4+(2).L2
O sistema est escalonado e z=1, y=3 e x=1
S={(1,3,1)}
