Sistemas Lineares - lauragoulart.webnode.com · De nição Um sistema linear m n é um conjunto de equações lineares, com m equações e n variáveis, dado da seguinte forma: 8

Sistemas Lineares

Laura Goulart

UESB

4 de Dezembro de 2018

Laura Goulart (UESB) Sistemas Lineares 4 de Dezembro de 2018 1 / 1

De�nição

Um sistema linear m × n é um conjunto de equações lineares, com mequações e n variáveis, dado da seguinte forma:

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2

...

am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm

Os números a11, a21, . . . , am1 são ditos coe�cientes da viriável x1, e assim

por diante. Os números b1, b2, . . . , bm são ditos termos independentes.


De�nição

Um sistema linear m × n é um conjunto de equações lineares, com mequações e n variáveis, dado da seguinte forma:


...

am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm

Os números a11, a21, . . . , am1 são ditos coe�cientes da viriável x1, e assim

por diante. Os números b1, b2, . . . , bm são ditos termos independentes.



Exemplo (6.1) x + 2y − 3z = 7

3x − y + 2z = −12x + y + z = 0

(1)

A solução de um sistema linear é um conjunto de números que é a solução

de todas as equações lineares.

Observe que x = 0, y = 1 e z = −1 satisfaz a 3a. equação do sistema,

mas não as outras equações. Ou seja, x = 0, y = 1 e z = −1 não é

solução do sistema. Porém, x = 1, y = 0 e z = −2 satisfaz,

simultaneamente, todas as equações do sistema. Portanto, x = 1, y = 0 e

z = −2 é solução do sistema (1).


Exemplo (6.1) x + 2y − 3z = 7

3x − y + 2z = −12x + y + z = 0

(1)









Exemplo (6.1) x + 2y − 3z = 7

3x − y + 2z = −12x + y + z = 0

(1)









6.1-Classi�cação

Os sistemas lineares podem ser classi�cados conforme o número de

soluções possíveis.

6.1.1-Sistemas linear possível e determinado(SPD) Um sistema linear é

dito possível e determinado quando admite uma única

solução.

Exemplo (6.2) {x − y = 2

x + y = 0⇒ x = 1 e y = −1


6.1-Classi�cação

Os sistemas lineares podem ser classi�cados conforme o número de

soluções possíveis.

6.1.1-Sistemas linear possível e determinado(SPD) Um sistema linear é

dito possível e determinado quando admite uma única

solução.

Exemplo (6.2) {x − y = 2

x + y = 0⇒ x = 1 e y = −1


6.1.2-Sistema linear possível e indeterminado(SPI) Um sistema linear é

dito possível e determinado quando admite in�nitas soluções.

Exemplo (6.3) {x − y = 2

2x − 2y = 4x = 2+ y




Exemplo (6.3) {x − y = 2

2x − 2y = 4

x = 2+ y




Exemplo (6.3) {x − y = 2

2x − 2y = 4x = 2+ y


6.1.3-Sistema linear impossível(SI) Um sistema linear é dito sistema

impossível quando não existe solução.

Exemplo (6.4) {x − y = 0

x − y = 1⇒ 0 = 1(abs!)




Exemplo (6.4) {x − y = 0

x − y = 1

⇒ 0 = 1(abs!)




Exemplo (6.4) {x − y = 0

x − y = 1⇒ 0 = 1(abs!)


6.2-Sistema homogêneo

Quando num sistema linear os termos independentes são todos nulos, o

sistema é chamado homogêneo.

Exemplo (6.5) {3x + 6y = 0

2x + 4y = 0⇒ x = −2y .

Observação (6.1)

Todo sistema homogêneo tem, pelo menos, como solução

x1 = x2 = . . . = xn = 0 chamada solução trivial.

Contudo, no exemplo 6.5 temos um SPI, ou seja, teremos outras soluções

além da trivial chamadas de soluções não triviais.





Exemplo (6.5) {3x + 6y = 0

2x + 4y = 0

⇒ x = −2y .

Observação (6.1)









Exemplo (6.5) {3x + 6y = 0

2x + 4y = 0⇒ x = −2y .

Observação (6.1)









Exemplo (6.5) {3x + 6y = 0

2x + 4y = 0⇒ x = −2y .

Observação (6.1)









Exemplo (6.5) {3x + 6y = 0

2x + 4y = 0⇒ x = −2y .

Observação (6.1)






6.3-Representação matricial de um sistema

O estudo da resolução de sistemas lineares pode ser facilicitado se

aplicarmos os nossos conhecimentos sobre matrizes.

Considere o sistema linear


...

am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm

.


6.3-Representação matricial de um sistema

O estudo da resolução de sistemas lineares pode ser facilicitado se

aplicarmos os nossos conhecimentos sobre matrizes.

Considere o sistema linear


...

am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm

.


Fazendo A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

... . . ....

am1 am2 . . . amn

m×n

(matriz dos coe�cientes ou

matriz incompleta do sistema), X =

x1x2...

xn

n×1

(matriz das variáveis) e

B =

b1b2...

bm

m×1

(matriz dos termos independentes), o sistema pode ser

escrito na forma AX = B.


Exemplo (6.6)

O sistema linear

{2x − 5y = 11

3x + 6y = 3terá a seguinte representação matricial:

(2 −53 6

)·(

xy

)=

(11

3

)

Observação (6.2)

A matriz completa de um sistema linear é aquela formada pelos

coe�cientes mais os termos independentes.

No exemplo 6.6, teríamos que a matriz completa é C =

(2 −5 11

3 6 3

).


Exemplo (6.6)

O sistema linear

{2x − 5y = 11

3x + 6y = 3terá a seguinte representação matricial:(

2 −53 6

)·(

xy

)=

(11

3

)

Observação (6.2)




(2 −5 11

3 6 3

).


Exemplo (6.6)

O sistema linear

{2x − 5y = 11


2 −53 6

)·(

xy

)=

(11

3

)

Observação (6.2)




(2 −5 11

3 6 3

).


Exemplo (6.6)

O sistema linear

{2x − 5y = 11


2 −53 6

)·(

xy

)=

(11

3

)

Observação (6.2)




(2 −5 11

3 6 3

).


6.4-Regra de Cramer

Essa relação entre sistemas lineares e matriz fora estabelecida no intuito de

determinar a solução de um sistema linear atráves de técnicas envolvendo o

cálculo de determinantes. Para isso, vamos considerar que m = n, ie, os

sistemas lineares estudados aqui terão o núemro de vairáveis igual ao

número de equações.

O determinante da matriz dos coe�cientes de um sistema linear é dito

determinante principal e denotado por D.Ao substituirmos uma coluna j da matriz dos coe�cientes pelos termos

independentes obteremos o chamado determinante secundário e

denotado por Dxj .


6.4-Regra de Cramer







determinante principal e denotado por D.

Ao substituirmos uma coluna j da matriz dos coe�cientes pelos termos


denotado por Dxj .


6.4-Regra de Cramer







determinante principal e denotado por D.Ao substituirmos uma coluna j da matriz dos coe�cientes pelos termos


denotado por Dxj .


Logo,


A regra de Cramer diz que a solução é dada por xj =Dxj

D, para

j = 1, . . . , n.


Observação 6.3

Para usarmos a regra de Cramer é necessário que D 6= 0 e teremos um

SPD.

Caso D = 0, podemos ter um SPI ou um SI. Assim, para saber qual é a

classi�cação correta será necessário olharmos para os determinantes

secundários.

i) D = 0 e Dxj = 0,∀j = 1, . . . , n⇒ SPI .

ii) D = 0 e Dxj 6= 0 para algum j ∈ {1, . . . , n} ⇒ SI .


Observação 6.3


SPD.



secundários.

i) D = 0 e Dxj = 0,∀j = 1, . . . , n⇒ SPI .



Observação 6.3


SPD.



secundários.

i) D = 0 e Dxj = 0,∀j = 1, . . . , n⇒ SPI .



Observação 6.3


SPD.



secundários.

i) D = 0 e Dxj = 0,∀j = 1, . . . , n⇒ SPI .



Exemplo 6.7

Resolva o sistema linear

x − 2y − 2z = −1x − y + z = −22x + y + 3z = 1

pela regra de Cramer.


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