•

140 CAPÍTULO 16

corda. já que os elementos da corda produze111 alter11ada­mente compressões e rarefações do ar que os cerca. pro­duzindo ondas sonoras.

Velocidade transversal O desloca1nento y' do elemento da corda situado na coordenada x é dado pela Eq. 16-67 em função do tempo t. O fator cos wt é responsável pela varia­ção com o tempo e, portanto, pelo "moviJ.nento" da onda estacionária. O fator 2ym sen kx estabelece a extensão do movimento. A maior extensão acontece nos antinós, onde sen kx é + 1 ou -1 e a amplitude é 2y,n- De acordo com a Fig. 16-22, 2ym = 4,00 mm e, portanto, Ym = 2,00 mm.

• Queremos calcular a velocidade transversal, ou seja, a

velocidade de um elemento de corda na direção do eixo y. Para isso, derivamos a Eq. 16-67 em relação ao tempo:

ay' a u(x, t) = = - [(2y,11 sen kx) cos wt] at ar

= [-2y111w sen kx] senwt. (16-69)

Na Eq. 16-69, o fator sen wt é responsável pela variação da velocidade com o tempo e o fator -2ymw sen kx esta-

.;- dessa variação. A velocidade máxima é belece a extensao · · _ o valor absoluto da extensao:

u 111

= 1 - 2 y,,, w scn l<.x 1.

1 1 . sse valor para o elemento situado em x :::

Para ca cu ru e _ _ 0,180 m, observamos que y,,, - 2,00 mm, k ~ 27r/A :::

0 400 m) e w == 2'TT'f == 2'TT(806,2 Hz). Assim, a velo-

~;ª~~ máxima do elemento situado em x = O, 180 m é

Llm == -Z(2,00 >< 10-3 m )(2?T)(806,2 Hz)

>< sen( 2

17' (0,180 m)) 0,400 m

= 6,26 m/s. (Resposta)

Uma forma de determinar para que valor da coordena­da y do elemento a velocidade transversal é máxima seria comparar as Eqs. 16-69 e 16-67. Entretanto, podemos pou­par trabalho pensando um pouquinho. Como o elemento está descrevendo um movimento harmônico simples, a velocidade é máxima no ponto central da oscilação, ou seja, no ponto em que y = O.

1 1 REVISÃO E RESUMO

Ondas Transversais e longitudinais As ondas mecânicas po­dem existir apenas em meios materiais e são governadas pelas leis de Newton. As ondas mecânicas transversais, como as que existem em uma corda esticada, são ondas nas quais as partículas do meio oscilam perpendicularmente à direção de propagação da onda. As ondas em que as partículas oscilam na direção de propagação da onda são chamadas de ondas longitudinais.

Ondas Senoidais Uma onda senoidal que se propaga no sentido positivo de um eixo x pode ser representada pela função

y(x, t) = Ym sen(kx - wt), (16-2)

em que Yno é a amplitude da onda, k é o número de onda, w é a frequência angular e kx - wt é a fase. O comprimento de onda A está relacionado a k através da equação

k = 27T. À

(16-5)

O período Te a frequência f da onda estão relacionados a w atra­vés da equação

ú) 1 27T = 1 = r· (16-9)

Finalmente, a velocidade v da onda está relacionada a esses outros parâmetros através das equações

ú) À v=k=-y=Af. (16-13)

Equação de uma Onda Progressiva Qualquer função da fonna

y(x, t) = h(kx :t wt) (16:17)

pode representar uma onda progressiva com uma velocidade dada pela Eq. 16-13 e uma forma de onda dada pela forma matemática da função h. O sinal positivo se aplica às ondas que se propagam no sentido negativo do eixo x e o sinal negativo às ondas que se propagam no sentido positivo do eixo x.

Velocidade de Onda em uma Corda Esticada A velocidade de uma onda em uma corda esticada é determinada pelas proprie­dades da corda. A velocidade em uma corda com tensão Te massa específica linear µ., é dada por

V= f-f. (16·26)

P.otência A potência média ( taxa média de transmissão de ener· gia) de uma onda senoidal em uma corda esticada é dada por

p _ I ' 2 méd - 2µ.,vw-y,,,. (16-33)

Supe · -rpos,çao de Ondas Quando duas ou mais ondas se pro-pagam no mesmo meio, o deslocamento de uma partícula é a 50111ª dos deslocamentos que seriam provocados pelas ondas agindo se· paradamente.

Interferência d o d es1113 e n as Duas ondas senoidais em uma rn

corda sof ~em interferência, somando-se ou cancelando-se de acordo com o pr1ncíp· d . rn no 10 a superposição. Se as duas ondas se propaga . mesmo senf d ~ ·nc1a 1 0 e tein a 1nesma amplitude y e a mesma freque angular w ( e m s têlll U d

·~ · portanto, o mesmo comprimento de onda,\), ma da ma 1,erença d f , · a on e ase constante <J>, o resultado é uma unic

co1n a mesma frequ~ . enc1a:

'( ) 1 \ 1 - 1 ) · · - [2y111cos 2<1>] sen(kx - wl +~</>). (16-51)

O as ondas têm fases iguais e a interlcrência e' total <P :::= , • 1ncnte se t·va· se <P == 1r rad, as ondas tê1n fases opostas e .

1 • t

1.

11slJ'II 1 • • , 111 cr e-co . é totalmente destrutiva. r211c1a

res uma onda y(.,·, t) pode ser representada por um fasor faSO } . 1 à li d ' rn vetor de módu o igua a~p tu e Y,,, da onda que gira em tor-u d oriaem co1n uma velocidade angular igual à frequência an-001 ª w d; onda. A projeção do fasor em un1 eixo vertical fornece aU af d 'd ~ deslocamento y pro uz1 o em um elemento do ineio pela passa-aetll da onda. i,

Ondas Estacionárias A interferência de duas ondas senoidais juuais que se propagam e1n sentidos .opostos produz uina onda esta­cionária. No caso de uma corda com as extremidades fixas, a onda estacionária é dada por

y'(x, t) = [2)1111 sen kx] cos wt. (16-60)

As ondas estacionárias possuem pontos em que o deslocamento é

ONDAS-1 141

nulo, cha,nados de nós. e pontos cm que o deslocamento é m,í­xilno, chamados de antin6s.

Ressonância Ondas estacionárias podem ser produzidas em u1na corda pela reflexão de ondas progressivas nas extremidade!> da corda. Se uma extremidade é fixa. existe um nó nessa posi­ção. Isso limita as frequências possíveis das ondas estacionárias e1n uma dada corda. Cada frequência possível é uma frequên­cia de ressonância, e a onda estacionária correspondente é um modo de oscilação. Para uma corda esticada de comprimento L com as extremidades fixas. as frequências de ressonância são dadas por

V V !=A= n 2L' para n = 1, 2, 3, . . . (16-66)

O modo de oscilação correspondente a n = 1 é chamado de modo funda,nental ou primeiro harmônico; o modo correspondente a n = 2 é o segundo harmônico e assim por diante.

111 PERGUNTAS 1 As quatro ondas a seguir são produzidas em quatro cordas com a mesma massa específica linear (x está em metros e tem segundos). Ordene as ondas de acordo (a) com a velocidade e (b) com a tensão na corda, em ordem decrescente:

(1) y1 = (3 mm) sen(x - 3t), (2) y2 = (6 mn1) sen(2x - t),

(3) y3 = (1 mm) sen(4x - t), (4) y4 = (2 mn1) sen(x - 2t).

2 Na Fig. 16-23, a onda 1 é formada por um pico retangular com 4 unidades de altura e largura d e um vale retangular com 2 unida­des de profundidade e largura d. A onda se propaga para a direita ao longo de um eixo x. As ondas 2, 3 e 4 são ondas semelhantes, com a mesma altura, profundidade e largura, que se propagam para a esquerda no 1nesmo eixo, passando pela onda 1. A onda 1, que se propaga para a direita, e uma das ondas que se propagain para a esquerda interfere1n ao passar uma pela outra. Com qual das ondas que se propagam para a esquerda a interferência produz, momen­taneamente, {a) o vale mais profundo, (b) uma linha reta e (c) um pulso retangular de largura 2d?

..

(1) (2)

corda, como se estivesse assistindo a um vídeo do movimento da onda.)

A Fig. 16-24b mostra o deslocamento em função do tempo de um elemento da corda situado, digamos, em x = O. Nos instantes indicados por letras, o elemento está se movendo para cima, para baixo ou está momentaneamente em repouso?

(a)

(b)

Figura 16-24 Pergunta 3.

4 A Fig. 16-25 mostra três ondas que são produzidas separada,nente em uma corda que está esticada ao longo de um eixo x e submetida a uma certa tensão. Ordene as ondas de acordo com (a) o compri­mento de onda, (b) a velocidade e (c) a frequência angular. em or­dem decrescente.

Figura (3) (•I) y

16-23 Pergunta 2.

3 AF· no~en:~d l6-2~a mostra u1n instantâneo de un1a onda que se propaga dac

1 0 Positivo de x em uma corda sob tensão. Quatro elementos 0rcta est~ · · d l m ·ntos dete ao 1nd1cados por letras Para cada un1 esses e e 1.: •

Vend;'ne se, no 1no1nento do instantâneo, o elemento está se mo­\Q (S Para cima, para baixo ou está 1nomentanean1ente em repou-

llges,t · 1 t s da Figura 16-25 Pergunta 4. · io: imagine a onda pass.\ndo pelos quatro e e1nen º·

••

1

J

1

142 CAPITULO 16

5 Sl , ncê 1.70111cç;1 c,,111 Jua, nnda, ,cnoid.11, dt· lllL's111.1 ,1111pll1111IL' que ,e prt1pag.11n c1n fa,c c1n u1n,1 1.701da L' Je,lnt,1 1 la,c 1k t11n.i

da, onJa, de 5.4 cn1npr11ne11to, Jc ond.1 lJUL' tipo de 111tc1 l'crcnc1a OCOITC na CL)fJa )

€ ,\, a1nplituJcs e a Ji li!rcnça Jc fa,c para quatro pares <lc onda'.'. con1 o 111e,n10 co1npri1ncnto <le onda são (a) 2 111111. 6 1nn1 e 7T rad: (b) 3 111111, 5 111111 e rr rad: (e) 7 n11n. 9 1n1n e 7T rad; (d) 2 1n1n. 2 mm e O rad. Todos os pares se propaga1n no 1nes1no sentido na 1nes1na corda. Sen1 e'.\ecutar cálculos, ordene os quatro pares de acordo co1n a an,plitude da onda resultante. em ordem decrescente. (Sugestão: construa diagra1nas faso1iais.)

7 U1na onda senoidal é produzida e1n urna corda sob tensão e transporta energia a u1na taxa 1nédia P.,td.i· Duas ondas. iguais à primeira, são e1n seguida produzidas na corda co1n urna diferen­ça de fase <f> de O: 0.2 ou 0,5 con1primento de onda. (a) Apenas com cálculos mentais. ordene essas opções de <f> de acordo com a taxa média com a qual as ondas transportam energia, em ordem decrescente. (b) Para a primeira opção de <f>, qual é a taxa média em termos de P mtc1.i? 8 (a) Se uma onda estacionária em uma corda é dada por

y'(t) = (3 mn1) sen(Sx) cos(4t),

existe um nó ou um antinó em x = O? (b) Se a onda estacionária é dada por

y'(t) = (3 mm) sen(Sx + m2) cos(4t),

existe um nó ou um antinó em x = O?

t o rd1 ll

( "" t., 1

... ... ... ... ---- -- ( ,,,

( ,, ,

: .... _____ _ [r: ... ~ .. ... ... ( r)

... _ ----------( rl)

Figura 16-26 Pergunta 9.

1 O S sétimo harmônico é excitado em uma corda, (a) quanto,

e o 'd" . ó Ó t- presentes e (b) no ponto me 10 existe um n , um anttnó

n s es ao "d é . ou um estado intermediário? Se, em segui a, ~xc~tado o .sexto hannônico, (c) 0 comprimento de onda da ressonanc1a é maior ou menor que o do sétimo harmônico e ( d) a frequência de ressonância

é maior ou menor? 11 A Fig. 16-27 mostra os diagramas fasoriais de três situações nas quais duas ondas se propagam na mesma corda. As seis ondas têm a mesma amplitude. Ordene as situações de acordo com a amplitude da onda resultante, e,n ordem decrescente.

9 Duas cordas A e B têm o mesmo comprimento e a mesma massa específica linear, mas a corda B está submetida a uma tensão maior que a corda A. A Fig. 16-26 mostra quatro situações, de (a) a (d), nas quais existem ondas estacionárias nas duas cordas. Em que si-tuações existe a possibilidade de que as cordas A e B estejam osci- (a) (b)

(e)

Jando com a mesma frequência de ressonância? Figura 16-27 Pergunta 11 .

•

PROBLEMAS 1 • - - O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema

o::$ ; Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker , ·rc R' d J . • ._ , 10 e ane1ro, 2008.

Seção 16-5 A Velocidade de uma Onda Progressiva

•1 Se a função y(x, t) = (6,0 mm) sen(k.x + (600 rad/s)t + <f>) descreve uma onda que se propaga em uma corda, quanto tempo um ponto da corda leva para se mover entre os deslocamentos y = + 12,0 mm e y = -2,0 m1n?

•2 ~ U111a onda hu,nana. A ola é uma onda, criada pela tor­cida, que se propaga nos estádios em eventos esportivos (Fig. 16-28). Quando a onda chega a u1n grupo de espectadores, eles fi­cam em pé com os braços levantados e depois tornam a se sentar Em qualquer instante, a largura 111 da onda é a distância entre a bo d · d" · r a 1ant.e1ra (as pessoas que estão começando a se levantar) e O borda traseira (as pessoas que estão começando a se sentar). Suponha que

\1

Figura 16-28 Problema 2. ---w---..l

uma ola percorre uma d" A · , · 39

1stanc1a de 853 assentos de um estad10 ern s e que os espectadores levam, em média 1 8 s para responder à

passagem da onda 1 ' ' · ( )

. evantando-se e voltando a se sentar. Detemune a a velocidade v d d ( w da ond ( , ª on ª em assentos por segundo) e (b) a largura

a em numero de assentos). •3 U1na onda pos · Co . sui uma frequência angular de 110 rad/s e urn

mprnnento de O d d d (b) a veloc·d d dn ª e 1,80 m. Calcule (a) o número de on a e 1 a e a onda. •4 .k Um esc ·- fll besouro (sua orpiao da areia pode dt:tectar a presença de u duz na superf~r~sa) pelas ondas que o movimento do besouro pro·

1c1e da areia (F' · fpos: transversais q ig. 16-29). As ondas são de dois 1

, ue se propa . 5o rn/s e longituct1· · ga,n com urna velocidade v = ' nais, que se ' o rnfs.

Se um mov· propagam com uma velocidade v1 = 15 1mento brusco d ·- , apnZ de determ

1· nar . pro uz essas ondas, o escorp1ao e e d'

a que d1stA · · da 1· ferença dt ent . ancia se encontra o besouro a parti! re os 1nstant , peroª

que está ma1·s pr, . es em que as duas ondas chegam a " oxuna d b ·nc••

está o besouro? 0 esouro. Se /).f = 4,0 ms. a que dista

l

e

111

'ª

-+ \' 1

Besouro

Figura 16-29 Proble1na 4.

d

-I',

,5 Uma onda senoidal se propaga em u1na corda. O tempo neces­sário para que u1n ponto da corda se desloque do deslocamento máxin10 até zero é O, 170 s. Qual é (a) o período e (b) a frequência da onda? (e) O con1primento de onda é 1,40 m; qual é a velocidade da onda? 116 Uma onda senoidal se propaga em uma corda sob tensão. A Fig. 16-30 mostra a inclinação da corda e1n função da posição no instante t = O. A escala do eixo .l" é definida por x, = 0,80 m. Qual é a amplitude da onda?

Inclinação 0,2 _j_-

Figura 16-30 Problema 6.

Ü Q X (m)

~u=rcr-u· --0,2

"7 Uma onda senoidal transversal se propaga em corda no sentido positivo de um eixo x com uma velocidade de 80 m/s. No instante 1 = O, uma partícula da corda situada em x = O possui um desloca­m_ento transversal de 4,0 cm em relação à posição de equilíbrio e nao está se movendo. A velocidade transversal máxima da partícu­la situada em x = O é 16 m/s. (a) Qual é a frequência da onda? (b) Qual • . ,. e~ comprimento de onda? Se a equação de onda é da forma }t{) -. Y., sen(k.x + wt + e/>), determine (c) Ym, (d) k, (e) w, (t) e/>

g O sinal que precede w. ' ' 8 A . 1

Fig. 16-31 mostra a velocidade transversal u em função do empo t ond para o ponto de uma corda situado em x = O, quando uma lll/s ª!assa por ele. A escala do eixo ve1tical é definida por u, = 4,0 vai· onda tem a forma )'(X t) = y sen (kx - (J)f + e/>). Qual é o

or de e/>? , "' corr · (Atenção: as calculadoras nem sempre fornecem o valor se

O etolde uma função trigonométrica inversa; por isso, verifique va or obt' d · · f -l(.t, t) 1 o para e/> é o valor con·eto, subst1tu1ndo-o na unçao

funçã' us~ndo u1n valor nu1nérico qualquer para w e plotando a 0 assun obtida.)

u (1n/s)

~· igura 16

~31 Proble1na 8. -li '

ONDI S-1 143

••9 lJ111,1 c11al.i !.l't1n1d,1l q11c <,e p111p.1ga c11111n1,1 cord,1 é 1110 tr ,d• Jua, \'l' tl'\ n.1 1 ·tg . 1 <, 1:!, ,1t1ll'S e dcrn1s que II p,c,, \ r,c de loc:1u1: 6,0 cn1 no ,cn11Jo p11s1th o dl' uni c,,11 1 l'lll t,fl 111c; A ú1'it,1nc11 cntr\;

a, 111nrca, do c 1,o hn111ont.il e 10 c,n; // <, O 111111 Se .i ccruaçao da onda é da fonna r( \, t) = ,. ,cn(J.:1 ,,,,, dctcrn1111c (li) ~ • (b)

k. (e) w e (d) o sinal que precede ttJ.

II

1

,, I

\ \

I

.... I \

\ \

I +--r-+-11~ "--i'-+--JL-t-X \

I I

I

\ I

I ,, \

Figura 16-32 Problema 9.

• • 1 O A equação de uma onda transversal que se propaga em uma corda 1nuito longa é y = 6,0 sen(0,0207Tx + 4,07Tt), onde x e y estão em centímetros e tem segundos. Determine (a) a amplitude, (b) o comprimento de onda, (c) a frequência, (d) a velocidade, (e) o sen­tido de propagação da onda e (t) a máxima velocidade transversal de uma partícula da corda. (g) Qual é o deslocamento transversal em x = 3,5 cm para t = 0,26 s?

• • 11 Uma onda transversal senoidal de comprimento de onda 20 cm se propaga em uma corda no sentido positivo de um eixo x. O deslocamento y da partícula da corda situada em x = O é dado na Fig. 16-33 em função do tempo t. A escala do eixo vertical é defini­da por y, = 4,0 cm. A equação da onda deve ser da forma y(x, t) = Ym sen(/a + wt + e/>). (a) Em t = O, o gráfico de y em função de x tem a forma de uma função seno positiva ou de uma função seno negativa? Determine (b) Ym, (c) k, (d) w, (e) cp, (t) o sinal que prece­de w e (g) a velocidade da onda. (h) Qual é a velocidade transversal da partícula em x = O para t = 5,0 s?

Figura 16-33 Problema 11.

••12 A função y(x, t) = (15,0 cm) cos(7Tx - 157Tt), com x em me­tros e t em segundos, descreve uma onda em u1na corda esticada. Qual é a velocidade transversal de um ponto da corda no instante em que o ponto possui um deslocamento y = + 12,0 cm?

• • 13 Uma onda senoidal de 500 Hz se propaga em uma corda a 350 m/s. (a) Qual é a distância entre dois pontos da corda cuja diferença de fase é 7T/3 rad? (b) Qual é a diferença de fase entre dois desloca­mentos de um ponto da corda que acontecem com um intervalo de 1,00 ms?

Seção 16-6 Velocidade da Onda em uma Corda Esticada

• 14 A equação de uma onda transversal em uma corda é

y = (2.0 mm) sen[(20 1n-1)x - (600 s-l)c].

A tensão da corda é 15 N. (a) Qual é a velocidade da O d ? (b) D . n a. e-ter1n1ne a massa específica linear da corda em gramas por metro. • 15 Uma corda esticada tem uma massa específic 1· d I

, . . a 1near e 5 00 g cm e esta SUJe1ta a uma tensão de 10 O N Uma d · ' ' · on a senoidal na

1

1

1

1

1

l 1

1

1 1

1 1

1

!

144 CAPITULO Ili

çorJa tc111 unta :11nphllllk' Jt• 0.12 n1111. 11111a f I cq1t l 'l1t lil ,k 100 11 , c,1.1 ,e pn1pag.111dn 1111 ,1.·1111d,1 nt·gatl\ 11 dt· 111tt l' l\11 , "l' .11 qua, ,111 d,l lllld,11.• J,1 lt11111,1 \'( \ , r) \' 'L'll(Á \ 1 cd/) dt·ll·11111111• (,1) \ (hl

J.. lt' ) <" 1.· (d) 11 ,1nal que p11.'l'CdL' ,,1 ,

• 16 \ ,cl111.•1dadL' de unia 11nda 1, an,,cr,al en1 unta ,:orda e 170111/, quando a ten,ão da çord,11.• 1.20 N. Qual de, e ser o valo1 J a tcn,ün para que a \'cloc1<ladc da on<la at1111cntc para 180 111/,·1

• 1 A n1assa espcc11ica linear de tuna corda é 1.6 , 10 'kg/111. Un1a onda trans\'ersal na cor<la é descrita pela cquaçüo

r = (0.021 111) ~en[(2.0 1n 1), ;- (JO s 1)/J.

Qual é (a) a velocidade da onda e (b) a tens.ia da corda?

• 18 A corda n1ais pesada e a corda 1nais leve de u,n certo violino tên1 tuna n1assa específica linear de 3,0 e 0,29 g/111, respectiva,nente. Qual é a razão entre o diâ.n1etro da corda n1ais leve e o da corda 1nais pesada. supondo que as cordas são feitas do 1nes1no material?

• 19 Qual é a velocidade de un1a onda transversal em uma corda de 2.00 n1 de con1prin1ento e 60,0 g de n1assa sujeita a uma tensão de 500N?

•20 A tensão e1n un1 fio preso nas duas extremidades é duplicada sem que o co1nprin1ento do fio sofra uma variação apreciável. Qual é a razão entre a nova e a antiga velocidade das ondas transversais que se propagam no fio?

••21 Um fio de 100 g é mantido sob uma tensão de 250 N com uma extremidade e1n x = O e a outra em x = 10,0 m. No instante t = O, o pulso 1 começa a se propagar no fio a partir do ponto x =

1 O.O m. No instante t = 30,0 ms, o pulso 2 começa a se propagar no fio a partir do ponto x = O. Em que ponto x os pulsos começam a se superpor?

••22 Uma onda senoidal se propaga em uma corda com uma ve­locidade de 40 crn/s. O deslocamento da corda em x = 1 O cm varia com o tempo de acordo com a equação y = (5,0 cm) sen[l,O -(4,0 s-')t]. A massa específica linear da corda é 4,0 g/cm. Qual é (a) a frequência e (b) o comprimento de onda da onda? Se a equação da onda é da forma y(x, t) = y., sen(k.x ::!: wt), determine (c) Ym, (d) k, (e) w e (f) o sinal que precede w. (g) Qual é a ten­são da corda?

• •23 Uma onda transversal senoidal se propaga em uma corda no sentido negativo de um eixo x. A Fig. 16-34 mostra um gráfico do deslocamento em função da posição no instante t = O; a escala do eixo y é definida por Ys = 4,0 cm. A tensão da corda é 3,6 N e a massa específica linear é 25 gim. Determine (a) a amplitude, (b) o comprimento de onda, (c) a velocidade da onda e (d) o período da onda. (e) Determine a velocidade transversal máxima de uma par­tícula da corda. Se a onda é da forma y(x, t) = y,,, sen(k.x ::!: wt + cf> ), determine (f) k, (g) w, (h) cf> e (i) o sinal que precede w.

- -·-->--+-

o 20-· 1 , l

-y, 1

x (cm)

Figura 16-34 Problema 23.

.. e I cn,d I J 1c1n 111nn mn n e pecílí h •••24 N11 1 ir , ,. ,.111. li

1 "I l ' Ili 11111.i 111 1 •• C J>CCIIIC I nc.u d ~""' 1 , ' ()C) b/ill 1' ,1 e; O l 't , 1 t: ''J

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f<'ig. 16-J'i/, Deterrn111c (e) ft l , e (J) fvf , p.ira (llll' ª" \clocuJade da . 1 • rd't" sc1··1m l"llª'" onda-. nns uuuc; co , ., · . ' e ·

Corda 1 (;orda 2

®

1\l

(a)

Corda 1 Corda 2\

t-""--r,::::::.

(b)

Figura 16-35 Problema 24.

• • •25 Uma corda uniforme de massa me comprimento L está pen­durada em um teto. (a) Mostre que a velocidade de uma onda trans­versal na corda é função de y, a distância da extremidade inferior, e é dada por v = fiy. (b) Mostre que o tempo que uma onda trans­versal leva para atravessar a corda é dado por t = 2.[iii.

Seção 16-7 Energia e Potência de uma Onda Progressiva em uma Corda •26 U d ' .ma cor a na qual ondas podem se propagar tem 2,70 rode compnmento e 260 g de massa. A tensão da corda é 36,0 N. Qual deve serª frequência de ondas progressivas com uma amplitude de 7•7º mm para que a potência média seja 85,0 W? ••27 U d · , ma.on ª senoidal é produzida em uma corda com uma massa especifica lmear de 2 O / E ·a . . , g m. nquanto a onda se propaga, a energt cinética dos elementos de massa ao longo da corda varia. A Fig. 16-36a mostra a taxa dK!d . . . 1 s t com a qual a energia cinética passa pe 0

R,

~ ....... ~

~ o 0,1 0,2

X (n1)

(a)

Figura 16-36 Proble1na 27.

Rs ~

~ ....... -~ ~ ~

o 1 I (ms)

(b)

-

2

tos de massa da corda em um certo instante e1n função da e1c1nen d A p· 16 3 , . ância x ao longo da cor a. 1g. - 6b e se1nelhante, exceto dist. t t a co a l · · ' · lo fato de que 1nos ra a ax m qua_ a energia cineltca passa pe m determinado elemento de massa (situado em u1n certo ponto porurda) em função do tempo t. Nos dois casos, a escala do eixo daCO . . vertical é definida por R, = 10 W. Qual é a amplitude da onda?

seção 16.s A Equação de Onda

•28 Use a equação de onda para determinar a velocidade de uma onda dada por

y(x, t) = (3.00 n1m) sen[(4,00 m- 1)x - (7,00 s-1)t].

••29 Use a equação de onda para determinar a velocidade de uma onda dada por

y(x, t) = (2,00 mn1)[(20 m- 1)x - (4,0 s-1)r]º.5.

• ••30 Use a equação de onda para determinar a velocidade de uma onda dada em termos de uma função genérica h(x, t):

y(x, t) = (4,00 mm) h[(30 m-1)x + (6,0 s-1)t].

Seção 16- 10 Interferência de Ondas

•31 Duas ondas progressivas iguais, que se propagam no mesmo sentido, estão defasadas de 'TT/2 rad. Qual é a amplitude da onda re­sultante em termos da amplitude comum Ym das duas ondas?

•32 Que diferença de fase entre duas ondas iguais, a não ser pela constante de fase, que se propagam no mesmo sentido em corda esticada, produz uma onda resultante de amplitude 1,5 vez a am­plitude comum das duas ondas? Expresse a resposta (a) em graus, (b) em radianos e (c) em comprimentos de onda.

••33 Duas ondas senoidais com a mesma amplitude de 9,00 mm e o mesmo comprimento de onda se propagam em uma corda es­ticada ao longo de um eixo x. A onda resultante é mostrada duas vezes na Fig. 16-37, antes e depois que o vale A se desloque de uma distância d = 56,0 cm e1n 8,0 1ns. A distância entre as marcas do eixo horizontal é l O cm; H = 8,0 mm. A equação de uma das ondas é da forma y(x, t) = Ym sen(kx + wt + cp1), onde cp1 = O e cabe ao leitor determinar O sinal que precede w. Na equação da outra onda, determine (a) y,., (b) k, (c) w, (d) cp2 e (d) o sinal que precede w.

F· igura 16-37 Problema 33.

,. \ I \

I I

/\ I \

I I

''.'34 Uma onda senoidal de frequência angular 1200 rad/s e an1-

Phtuct 3 O 'fi 1· e · O 1nn1 é produzida ern uma corda de rnassa espec1 ca •n~ar 2,00 gim e 1200 N de tensão. (a) Qual é a taxa média com a

~Uai ª energia é transportada pela onda para a extretnidade oposta a corda') (b .

u111 • ) Se, ao rnesrno ten1po, urna onda igual se propaga em ª corda · · , · 1 ' nédia total vizinha, de mes1nas caracter1st1cas, qua e a Laxa • lllid corn a qual a energia é transportada pelas ondas para as exlre­São ades opostas das duas cordas? Se. ern vez disso. as duas ondas llléd~roctuzidas ao 1nes1no te1npo na 1nes111a corda, qual é a taxa

1a tot 1 . e d f'a,c a corn a qual transportam enero1a quando a d11erença e cn~ e

as duas ondas é (c) O, (d) 0,4'7T rad e (e) '7T rad?

PARTE

ONDAS-1 145

Seção 16-11 Fasores

•35 Duas ondas senoidais de mcsrna f rcquéncia 1,c propagam no 1nes1no sentido em u1na corda. Se Ymi = 3,0 cm, Ym2 = 4.0 cm. cp1 = O e cp2 = 'TTl2 rad, qual é a amplitude da onda resultante'!

• •36 Quatro ondas são produzidas na mes1na corda e no mesmo sentido:

y1(x, t) = (4,00 mm) sen(21rx - 400?Tt)

y2(x, t) = (4.00 mm) sen(21Tx - 400?Tt + 0,717)

y3(x, t) = (4,00 mm) sen(21Tx - 400?Tt + 1T)

y4(x, t) = (4,00 mm)sen(2?TX - 4001Tt + 1,717).

Qual é a amplitude da onda resultante?

• •37 Duas ondas se propagam na mesma corda:

y1(x, t) = (4,60 n1m) sen(2?Tx - 400?Tt)

y2(x, t) = (5,60 mm) sen(21Tx - 400?Tt + 0,80?Trad).

Qual é (a) a amplitude e (b) o ângulo de fase (em relação à onda l) da onda resultante? (c) Se uma terceira onda de amplitude 5,00 mm também é produzida na corda com o mesmo sentido que as duas primeiras, qual deve ser o ângulo de fase para que a amplitude da nova onda resultante seja máxima?

••38 Duas ondas senoidais de mesma frequência e mesmo sen­tido são produzidas em uma corda esticada. Uma das ondas tem uma amplitude de 5,0 mm e a outra uma amplitude de 8,0 mm. (a) Qual deve ser a diferença de fase cp1 entre as duas ondas para que a amplitude da onda resultante seja a menor possível? (b) Qual essa amplitude mínima? (c) Qual deve ser a diferença de fase cp2 entre as duas ondas para que a amplitude da onda resultante seja a maior possível? (d) Qual é essa amplitude máxima? (e) Qual é a amplitude resultante se o ângulo de fase é (cp1 - cp2)/2?

• •39 Duas ondas senoidais de mesmo período, com 5,0 e 7 ,O mm de amplitude, se propagam no mesmo sentido em uma corda estica­da, onde produzem uma onda resultante com uma amplitude de 9,0 mm. A constante de fase da onda de 5,01nm é O. Qual é a constante de fase da onda de 7,0 ffiln?

Seção 16-13 Ondas Estacionárias e Ressonância

•40 Duas ondas senoidais com comprimentos de onda e amplitudes iguais se propagam em sentidos opostos em uma corda com uma velo­cidade de 1 O cm/s. Se o intervalo de tempo entre os instantes nos quais a corda fica reta é 0,50 s, qual é o comprimento de onda das ondas?

•41 Uma corda fixa nas duas extre1nidades tem 8,40 m de cornpri­mento, u1na massa de O, 120 kg e uma tensão de 96,0 N. (a) Qual é a velocidade das ondas na corda? (b) Qual é o maior comprimento de onda possível para urna onda estacionária na corda? {c) Determine a frequência dessa onda.

•42 Uma corda submetida a u1na tensão T, oscila no terceiro har­rnônico com uma frequênciaJ;, e as ondas na corda tê1n u1n compri­mento de onda À 3• Se a tensão é aumentada para T

1 = 4T

1 e a corda

é novamente posta para oscilar no terceiro harmôníco, qual é (a) a frequência de oscilação e1n termos deJ; e (b) o co1nprimento de onda das ondas em termos de A3?

•43 Qual é (a) a menor frequência, {b) a segunda 1nenor frequência e (c) a terceira menor frequência das ondas estacionárias em um fio com 10,0 m de co1nprimento, 100 g de massa e 250 N de tensão?

,44 Uma corda com 125 cm de cornprimento tem uma massa de 2,00 g e u 1na tensão de 7 ,00 N. ( a) Qual é a velocidade de u,na onda

l 1

146 CAPÍTULO 16

na corda'? (b) Qual é a frequência de ressonância n1ais baixa <la corda'?

•45 U1na corda que está esticada entre suportes fixos separados por u,na distância de 75,0 cn1 possui frequências de ressonância de 420 e 315 Hz. con1 nenhu1na outra frequência de ressonância entre esses dois valores. Deter1nine (a) a frequência de ressonância mais baixa e (b) a velocidade da onda.

•46 A corda A está esticada entre duas presilhas separadas por uma distância L. A corda B, com a mes1na n1assa específica linear e a mesma tensão que a corda A, está esticada entre duas presilhas separadas por uma distância 4L. Considere os pri1neiros oito hannô­nicos da corda B. Para quais dos oito har1nônicos de B a frequência coincide co1n a frequência (a) do prin1eiro harmônico de A, (b) do segundo harmônico de A e ( c) do terceiro harmônico de A?

•47 U1na das frequências har1nônicas de uma certa corda sob ten­são é 325 Hz. A frequência harmônica seguinte é 390 Hz. Qual é a frequência hannônica que se segue à de 195 Hz?

•48 ~ Se uma linha de transmissão em um clima frio fica co­berta de gelo, o aumento do diâmetro leva à formação de vórtices no vento que passa. As variações de pressão associadas aos vórtices podem fazer a linha oscilar (galopar), principalmente se a frequên­cia das variações de pressão coincide com uma das frequências de ressonância da linha. Em linhas compridas, as frequências de res­sonância estão tão próximas que praticamente qualquer velocidade do vento pode excitar um modo de ressonância com amplitude su­ficiente para derrubar as torres de sustentação ou curto-circuitar as linhas. Se uma linha de transmissão tem um comprimento de 347 m, uma massa específica linear de 3,35 kg/m e uma tensão de 65,2 MN, qual é (a) a frequência do modo fundamental e (b) a diferença de frequência entre modos sucessivos?

•49 Uma corda de violão de náilon tem uma massa específica linear de 7,20 gim e está sujeita a uma tensão de 150 N. Os suportes fixos estão separados por u1na distância D = 90,0 cm. A corda está os­cilando da forma mostrada na Fig. 16-38. Calcule (a) a velocidade, (b) o comprimento de onda e (c) a frequência das ondas progressivas cuja superposição produz a onda estacionária.

~----D-----1

Figura 16-38 Proble1na 49.

••50 U1na certa onda estacionária transversal em uma corda longa possui um antinó em x = O e um nó vizinho em x = O, 1 O m. Odes­locamento y(t) da partícula da corda situada em x = O é mostrado na Fig. 16-39, onde a escala do eixo y é definida por y, = 4,0 cm. Para t = 0,50 s, qual é o deslocamento da partícula da corda situada ( a) em x = 0,20 m e (b) em x = 0,30 m? Qual é a velocidade trans­versal da partícula situada em x = 0,20 (c) no instante t = 0,50 se (d) no instante t = 1,0 s? (e) Plote a onda estacionáda, no intervalo de x = O a x = 0,40 1n, para o instante t = 0,50 s.

)' • 1

"'• O lr--0-,5--,,___l .'-5---l2 , ... o 1 ( s)

Figura 16-39 Proble1na 50. -y,

1 - "cr·1d·1, cn1 un1,1 c.:orda con1 1.0 ,n úc cr11n • • 51 Dua, ont as sao e- ' ' ;: d . . · ., . · in·, onda cstac1on,1r1a e ln:, meios corn-. m •nto p·1ra prouu11r u ,

pr~ e ' ' d n utna ainplitudc <lc l ,O c,n A vcloci<laúc <1-i Pr1111enlos de on a coi . t d· r . .

/ . A uaç,o de tuna das ondas e .i ,or1n,1 )( t, 11 ::: onda é l 00 1n s. eq ' ' d , (, .

) Na equ·iç,o da outra onda, cterm1nc ,t) .\,,,. (b) l v,,, sen(k\ + wt · • ' ' ' (e) w e (d) o sinal que precede w.

U d SUJ·ei'ta a uma tensão de 200 N e fixa nas dua\ ex-• • 52 ma cor a • . . ·i segundo harmônico de uma onda estacionária. trem1dades osc1 a no

o deslocarnento da corda é dado por

y = (0,10 m)(scn 11X!2) scn 121rt,

d O Ulna das extremidades da corda, x está em metros onex= ~ . á gundos Qual é (a) o comprimento da corda, (b) ave-

e t est em se · d ? (d) s 1 'd d das ondas na corda e (c) a massa da cor a. e a corda OCI a e d . ár'

oscila no terceiro harmônico de u1na on a estac1on 1a, qual é 0

período de oscilação?

••53 Uma corda oscila de acordo com a equação

y' = (0,50 cn1) sen[ (f cm-•)x] cos((401rs-1)1].

Qual é (a) a amplitude e (b) a velocidade das duas ondas (iguais, exceto pelo sentido de propagação) cuja superposição produz esta oscilação? (c) Qual é a distância entre os nós? (d) Qual é a velo­cidade transversal de uma partícula da corda no ponto x = 1,5 cm para t = f s?

••54 Duas ondas senoidais com a mesma amplitude e o mesmo comprimento de onda se propagam simultaneamente em uma corda esticada ao longo de um eixo x. A onda resultante é mostrada duas vezes na Fig. 16-40, uma vez com o antinó A na posição de máxi­mo deslocamento para cima e outra, 6,0 ms depois, com o antinó A na posição de máximo desloc~nento para baixo. A distância entre as marcas do eixo x é 10 cm; H = 1,80 cm. A equação de uma das duas ondas é da forma y(x, t) = y,,. sen(kx + wt). Na equação da ou­tra onda, determine (a) y,,,, (b) k, (c) w e (d) o sinal que precede w.

H

y "' I \

I \ I \

A ,, I \

I \ I \

J--+--t--+-l-1---1--1--1-x \ ' \ I

\ ' \~

Figura 16-40 Problema 54.

••55 As duas_ondas a seguir se propagam em sentidos opostos em uin~ corda horizontal, criando u1na onda estacionária e1n um plano ve1t1cal:

Y,(x, t) == (6.00 mn,) scn(4.001T..t - 400m)

Y2(x, 1) == (6,00 11101) sen(4,001rx + 4007T/),

onde x está cin metros e t e1n segundos. U1n antinó está localizado no ponto A No inte · l d

. _ · 1 va o e te1npo que esse ponto leva para passar da posiçao de desloca1nento máximo para cima para a posição de desloca1nento m·íxiino .. b · d·1 • pai,t a1xo, qual é o desloca1nento de ca ' onda ao longo da corda? ••56

U1na onda estacionária em tnna corda é descrita por

y(x. t) = 0,040 (sen 51rx)(cos 401r1),

\' c,tão e1n n1clros e t cn1 -.ceundos p.11 ,1 , 0 1 •

oJ(le . ~ •• , l111acalu t1 -~odo nó con1 (a) o 1neno1. (b) o -.cgundo rncno, , ( ·) :ihZJ~·1

., Q . 1 < , e e.: o 1crcc1ro • ilor de , ( d) 11.1 e o pi.: r10Jo do •nov i n1c11to . · 1 ,

.:11t1r '• _ . osc1 ator10 111 Jit,uer ponto (que nao scJa un1 nó)? (e) Qual é a v 1 .d d cn11jU ·• . , •. d . d . • e oc1 a e

) ·iniphtudc das u.is on as progressivas que interfie , 11 .1 • ., 0

rem para t iJuzircssa 01.1da. Para t > . qual é (g) o prirneiro. (h) 0 segundo l"l.1 1 terceiro 1ns1ante cn1 que todos os pontos da corda po t 11 l ssue1n

l .,·d·ide transversal nula? 1~ lX '

,,57 Uin gerador en1 uma das extre1nidades de uma corda rnuito ., produz u1na onda dada por ftlOg ..

7i y = (6.0 cn1) cos 2 [(2.00 n1- 1).t + (8.00 s-•)t],

e um gerador na outra extrernidade produz a onda

7i y = (6.0 cn1) cos 2 [(2,00 m- 1)x - (8.00 s-•)t].

Calcule (a) a frequência, (b) o comprimento de onda e (c) a velo­cidade de cada onda. Para x ~ O, qual é a posição do nó com (d) 0 menor, (e) o segundo menor e (f) o terceiro menor valor de x? Para x;;: O, qual é a posição do antinó com (g) o menor, (h) o segundo menor e (i) o terceiro menor valor de x?

.. 59 Na Fig. 16-41, uma corda, presa a um oscilador senoidal no ponto P e apoiada em um suporte no ponto Q, é tensionada por um bloco de massa ,n. A distância entre P e Q é L = 1,20 m, a massa específica linear da corda é µ, = 1,6 gim e a frequência do oscilador é f = 120 Hz. A amplitude do deslocamento do ponto Pé suficientemente pequena para que esse ponto seja considera­do um nó. Também existe um nó no ponto Q. (a) Qual deve ser o l'alor da massa ni para que o oscilador produza na corda o quarto harmônico? (b) Qual é o modo produzido na corda pelo oscilador para 1n = 1,00 kg?

Oscilador

·1 Q

m

F' igura 16-41 Problemas 58 e 60.

'''59 Na Fig. 16-42, um fio de alumínio, de comprimento L, = 60,0 cm, seção reta 1,00 X 10-2 cm2 e massa específica 2,60 g/cm3, está soldado a um fio de aço de massa específica 7 ,80 g/cm3 e mesma se - ' -1 Çao reta. O fio composto, tensionado por um bloco de massa m -d O,o kg, está disposto de tal forma que a distância Li entre o ponto fie solda e a polia é 86 6 cm. Ondas transversais são excitadas no n: Por_uma fonte exterr:a de frequência variável; u1n nó está situado estaP~ha. (a) Determine a menor frequência que produz uma onda

c1on · · Q t nó - ana tendo o ponto de solda como um dos nós. (b) uan os ssao ob servados para essa frequência?

Alu1nínio Aço

Ili

~h qlJta 16

•42 Problema 59.

. . PART_E

Ot~DAS 1 1117

fiO Na l 1g. 1 h- l 1. un1,1 Lord,1, prc .i ,1 uni o c1hulor no1d.il no ponto P e apoiacJ., c111 urn , up,111c 1111 ponln fJ é tc11 1011 l I por u111 bloco ele 1na,.,a 111 1\ di-.t,tnl 1.1 entre /' c {l é /~ 1 2fJ 111. e 1

f rcquênc1a do º"cilador é f-= J 20 111. ,\ ,11npl11udc dn de locan1cn lo do ponto P é suficicnternenlc pequena p.ir.i que e e ponto Jn considerado um nó. Também existe um ncí no ponto Q IJrna ond,1 estacionária aparece quando a ma.,sa do bloco é 286, I g ou i ~7.0 g, mas não aparece para nenhuma mas ... a entre c,,c-. cJoi \ ,ilorc . Qual é a n1assa específica linear da corda?

Problemas Adicionais

61 Em u1n experimento com ondas estacionárias. uma corda de 90 cm de comprimento está presa a um dos braços de um diapa­são excitado eletricamente, que oscila perpendicuJarmente à corda com uma frequência de 60 Hz. A massa da corda é O.O-++ kg. A que tensão a corda deve ser submetida (há pesos amarrados na outra extremidade) para que oscile com dois comprimentos de onda?

62 Uma onda senoidal transversal que se propaga no sentido posi­tivo de um eixo x tem uma amplitude de 2,0 cm. um comprimento de onda de 10 cm e uma frequência de 400 Hz. Se a equação da onda é da forma y(x, t) = Ym sen(kx + wt), determine (a) Ym• (b) k, (c) w e (d) o sinal que precede w. Qual é (e) a velocidade transversal máxima de um ponto da corda e (f) a velocidade da onda?

63 Uma onda tem uma velocidade de 240 rn/s e um comprimento de onda de 3,2 m. Qual é (a) a frequência e (b) o período da onda?

64 A equação de uma onda transversal que se propaga em uma corda é

y = 0,15 sen(0,79x - 13t),

onde x e y estão em metros e testá em segundos. (a) Qual é o deslo­camento y emx = 2,3 me t = 0,16 s? Uma segunda onda é combi­nada com a primeira para produzir uma onda estacionária na corda. Se a equação da segunda onda é da forma y(x, t) = Ym sen(kx ± wt), determine (b) Ym, (c) k, (d) w e (e) o sinal que precede w. (f) Qual é o deslocamento da onda estacionária em x = 2,3 me t = 0,16 s?

65 A equação de uma onda transversal que se propaga em uma corda é

y = (2,0 mm) sen[(20 m-•)x - (600 s-1)t].

Determine (a) a amplitude, (b) a frequência, (c) a velocidade (in­cluindo o sinal) e (d) o comprimento de onda da onda. (e) Determine a velocidade transversal máxima de uma partícula da corda.

66 A Fig. 16-43 mostra o deslocamento y do ponto de uma corda situado em x = O em função do tempo t quando uma onda passa pelo ponto. A escala do eixo y é definida por y, = 6,0 mm. A onda tem a forma y(x, t) = Ym sen(kx - wt + <p). Qual é o valor de cp? (Atenção: as calculadoras nem sempre fornecem o valor correto de uma função trigonométrica inversa; por isso, verifique se o valor obtido para <p é o valor correto, substituindo-o na função y(x, t), usando um valor numérico qualquer para w e plotando a função assim obtida.)

y (mm) Y,

Figura 16-43 Problema 66.

l48 CAPlílJI (J 11l

67 l)uas ondas \l'llllHIIIIS i)'lllll\. li IU\11 ',l'I pt•lu l11s1. IH' jlllljlllj'IIIII

no 1ncs1no sc1111do L'III 11111:1 corda, p1nd111i111l1111111111111d11 n•s1!111111ll' \''(.\, t) ( ,.o 111111) st•n( 10, 1.0, 1 O,H >o null, t·11111 1t·111111t•t111s e t c1n segundos. l)l'tL'lllllllL' (a) o r11111p111111·11t11 d1• 011d11,\ du.-. d1111s ondas, (h) a dilL'tL'll\'ª dl' last• t•11t1'l' L'las L' (L') a 11111pli1111 lt• 11,,, dus duas ondas.

68 U1n pulso isolado, L'Uja fonna dt• ond11 e d11d11 po1 l,(,1 )f), t•o111 r e1n t·cntírnL·tros e t e111 st·g.1111dos, L' 111oslr11dn 1111 Fig. l Ci •l•I pura t = O. A escala do eixo verliL·al L' definida por l,1 2. Qual~ (n) n velocidade e (h) o sentido de p1·opng.a,•;10 do pulso'! (L') Plote lt(.\ 5t) em função de , para t 2 s. (d) Pinte /,(,\ 51) en1 1'1111~·110 de t para x = 1 O crn.

"· I ()

1 2 :1 ,1 ti :,,,•

Figura 16-44 Problcrna 68.

69 Três ondas senoidais ele n1esrna frequência se propugarn cn1 urna corda no sentido positivo de urn eixo x. As arnplitudcs das ondas são y1, y,12 e y/3 e as constantes ele fase são O, 'TT'/2 e 'TT', respecti­vatnente. Qual é (a) a arnplitude e (b) a constante de fase ela onda resultante? (c) Plote a onda resultante no instante t = O e discuta seu co1npo1ta1nento quando t aun1enta.

70 A Fig. 16-45 111ostra a aceleração transversal a1, do ponto x = O

de u1na corda c1n função do ten1po t, quando u1na onda corn a for­ma geral y(x, t) = y,,, sen(kx - wt + <f,) passa pelo ponto. A escala do eixo vertical é definida por a., = 400 111/s2• Qual é o valor de e/>? (Atenção: as calculadoras nern sc1npre f ornccc1n o valor correto de uma função trigonon1étrica inversa; por isso, verifique se o valor obtido para <f, é o valor correto, substituindo-o na função y(x, t), usando um valor numérico qualquer para w e plotando a função assin1 obtida.)

Figura 16-45 Problema 70.

71 Un1a onda transversal senoidal é gerada ern tnna extrcn,iclade de u1na longa corda horizontal por unia barra que se rnove para ci1na e para baixo ao longo de tuna distância de 1,00 cru. O n1ovin1ento é contínuo e repetido regulannente 120 vezes por segundo. A corda tem u1na rnassa espccílica linear de 120 g/Jn e l! rnnnt ida sob urna tensão de 90,0 N. Detcrn1inc o valor 1naxirno (a) da velocidade transversal u e (b) da co1nponentc transversal da tensão r.

(e) Mostre que os dois valores n1axi1nos calculatlos ocorren1 para os 1ncsn1os valores da fasc da onda. Qual c o deslocarnen10 transversal y da corda nessas fases? (d) Qual ~ a ta\n 1nü,in1a de transferência de energia ao longo da corda? (c) Qual c o de,loca-1nento transversal y quando n ta,u n1úx1n1a de lransfen}ncia de ener­gia ocorTe? (1) Qual e a taxa 1nín1nu1 de 1ransfcrénc1a de cnergia ao longo da corda? (g) Qual é o dcsloearnento transvt·rsal v quan<lll a taxa de transferência dc energia~ n11n11na'?

1 ll(l.11·s de l "0111. <lc 111c,1na a,nplitudc, se pr 7" 1 )IIIIS 0111 US Sl'll< ' · ~ fJ

t I l)osilivo de utn eixo \ cn1 uma corda sob lt:nsão Plll'IIIII llll st·n 1( (1 '

1 1 .• 1. 1,,.r·id·is crn Jasc ou defasada,. A fig. 11,.4, As o tH 11s pol t•111 si: e--. • ' · _ • ,, · t·t 1• ,, ,t·, onda rcsullantc cm funçao da drstfinciJ de

IIIOSI 1'11 li 11111)1 1 lll t.: \ ' ' , • ,

1. n •·• critre ·is ondao., no mcs1no 1nst.inte). A c,cal dL•f 11s11gc111 (l ISIHllCl,I '' 1

, _ ij

. · 1 ~ clclinid·t por v = 6,0 mm. Se as equaçoc, da\ do l' I xo VCI l ll'II e < . \ (kx + /) d t 1 r . 11•1 )'(, t) = y sen - - w • e cnn1nc (· J d1111s ondas san ta • o11 ' ., • . "' <t

\' (b) k (e)'" e (d) o sinal que precede w. ,,,, .

-;-, li° 1

~)•: 1

Distância de defasagem (cm)

Figura 16-46 Proble1na 72.

73 No instante t = O e na posição x = O de uma corda, uma onda senoidal progressiva co1n uma frequência an~ular de 440 rad/s tem un1 deslocan1ento y = +4,5 mm e uma velocidade transversal 11 = -0,75 1n/s. Se a onda terna for1na geral y(x, t) = Ym sen(kx - wt + 4> ), qual é a constante de fase cp? 7 4 Energia é trans1nitida a u1na taxa P I por uma onda de frequên­cia,(, en, un1a corda sob uma tensão T 1. Qual é a nova taxa de trans-1nissão de energia P2, e1n termos de P1, (a) se a tensão é aumentada para r 2 = 4r1 e (b) se, em vez disso, a frequência é reduzida para

.1; =J./2? 75 Qual é a onda transversal mais rápida que pode ser produzida en, un1 fio de aço? Por 1notivos de segurança, a tensão máxima à qual tnn fio de aço deve ser submetido é 7,00 X 108 N/m2• A massa específica do aço é 7800 kg/m3• (b) A resposta depende do diâmetro cio fio?

76 U1na onda estacionária resulta da soma de duas ondas transver­sais progressivas dadas por

Y1 = 0,050 cos( 7rx - 4m)

e Y2 = 0.050 cos( 7r.'C + 4m),

e1n que x, Y1 e Y2 estão e1n tnetros e testá em segundos. (a) Qual é o menor valor positivo de x que corresponde a um nó? Começando en, t = O. qual é o (b) pritneiro, (c) segundo e (d) terceiro instante crn que a partícula situada em x = O tem velocidade nula?

77 A borracha usada em algumas bolas de beisebol e de golfe obe­dece à lei de.Hooke para un1a larga faixa de alongamentos. Uma tira desse n1ater1al ten1 un1 co1nprin1ento A no estado relaxado e uma 1nassa 111. Quando u1na força Fé aplicada, a tira sofre u1n alongamen­to ÂÀ · (a) Qual é a velocidade (e1n te1mos de n1 !).)., e da constante eltística k) das ondas transversais nessa tira de b~iTacha sob tensão? {b) Use a rcspostn do ite1n (a) para mostrar que O tempo necessário para que un, pulso transversal atravesse a tira de borracha é pro­porcionalª I/~ se ÂÀ ~ A e é constante se M ~ A.

18 1-\ velocid_a,!c no Vtícuo das ondas eletromagnéticas (co1no as on<las dc luL ~1s1vel. as ondas <le rádio e os raios X) é 3.0 X 108 rn/s. (a) Os cornp1:1n1entos de onda da luz visível vão de aproximada1nente 400 nn1 no, 1oletu a 700 11111 no vennelho. Qual é

O intervalo de fre­

quent ias de~sas ondas? ( b) O intervalo de frequências das ondas curtas dc radio (con,o as on<las de rádio FM e de VHF da televisão) e de 1.5 ª 300 lvlHz. Qual e o intervalo de co1npri1nentos de onda ronespondente·> (c) Os co1npri1nentos de onda dos raios X vão de

. xin1udn1nente 5,0 n1n a 1,0 X 10-2 nm. Qual é o intervalo de nP'" · X?

l l'lncins dos raios 1rcq1 ~-

10 un, fio de 1,50 1n de comprimento tem uma massa de 8 70 16 sob 111na tensão de 120 N. O fio é fixado rigidamente n~ d g e e~, .

1 s uas

. trcniidades e posto para osc1 ar. (a) Qual é a velocidade da _ i~ 1 s · s on Jus 110 (io'? Qua : o comprnnent~ de onda das ondas que produzem ondus cstacionánas co1n (b) meto comprimento de onda e (c) um conipriincnto de_ ond~? Qual é a fre~uência das ondas que produ­,c,n ondas estac1onár1as com (d) meio comprimento de onda e (e) uni coinprimento de onda?

80 A 11,cnor frequência de ressonância de uma corda de um violi­no é a da nota lá de concerto (440 Hz). Qual é a frequência (a) do segundo e (b) do terceiro harmônico da corda?

81 Urna onda senoidal transversal que se propaga no sentido nega­tivo de u1n eixo x te1n ~ma amplitude de 1,00 cm, uma frequência de 5501~1z e u1na velocidade de 330 m/s. Se a equação da onda é da fornu1 y(x, t) = Ym sen(kx ± wt), determine (a) Ym, (b) w, (c) k e (d) o sinal que precede w.

82 Duas ondas senoidais de mesmo comprimento de onda se pro­pagam no 1nesmo sentido em uma corda esticada. Para a onda 1, Ym = 3,0 1nm e cp = O; para a onda 2, Ym = 5,0 mm e cp = 70º. Qual é (n) a amplitude e (b) a constante de fase da onda resultante?

83 U1na onda transversal senoidal de amplitude Ym e comprimento de onda,\ se propaga em uma corda esticada. (a) Determine a razão entre a velocidade 1náxima de uma partícula (a velocidade com a qual uma partícula da corda se move na direção transversal à corda) e a velocidade da onda. (b) Essa razão depende do material do qual n corda é feita?

84 As oscilações de um diapasão de 600 Hz produzem ondas es­tacionárias em uma corda presa nas duas extremidades. A veloci­dade das ondas na corda é 400 m/s. A onda estacionária tem dois co1npri1nentos de onda e uma amplitude de 2,0 mm. (a) Qual é o con1priJnento da corda? (b) Escreva uma expressão para o desloca­mento da corda em função da posição e do tempo.

85 Utna corda de 120 cm de comprimento está esticada entre dois suportes fixos. Qual é (a) o maior, (b) o segundo maior e (c) o ter­ceiro 1naior comprimento de onda das ondas que se propagam na corda para produzir ondas estacionárias? (d) Esboce essas ondas estacionárias. 86 (a) Escreva uma equação que descreva uma onda transversal s~noidal se propagando em uma corda no sentido positivo de um eixo Y com um nú1nero de onda de 60 cm-1, um período de 0,20 s c.u1na a1nplitude de 3,0 mm. Tome a direção transversal como a direção z. (b) Qual é a velocidade transversal máxima de um ponto da corda? 87 Uina onda e1n uma corda é descrita pela equação

y(x, t) = 15,0 sen( 1rx/8 - 4111),

~~~e:\ e Y estão e1n centímetros e testá em segundos. (a) Qual é ª e oc,dade transversal de um ponto da corda situado em x = 6,00

:~ Para t == 0,250 s? (b) Qual é a ,náxima velocidade transvers_al t. qualquer ponto da corda? (c) Qual é o módulo da aceleraçao ;a

2n5&vcrsal cn1 u1n ponto da corda situado em x = 6,00 cm para 1 =

• Os? (d á · m qu 1

· ) Qual 6 o módulo da aceleração transversal m xima e

88ª quer Ponto da corda?

U1n b Colete e) prova de balas. Quando u,n projétil veloz. como a ai· d o à Prov, ª ou u1n fragmento de bo1nba, atinge um colete mo ern

'1 de b·1l· . . ·é ·1 · ede a perfu-' as, o tecido do colete detém o proJ ti e imp

ONDAS-1 11•9

ração dispersando rapida111c111e u energia po1 1111111 p1,1ndl0 IÍlt'll, 1 s'i,1 dispersão é realizada por pulsos longitudi 111111. L' lt an, vt·1,.i1, que se afastam radial,nente do ponto de i1npacto, onde o pulJt:111 p111cl111 uma depressão en, forma de cone no tecido. (> p11l1.o lo11µ1tud111iil, que se propaga ao longo das fibras do tecido co1n VL'loc,dudL' ,.,. 1.,1 com que as fibras se afinern e se distcnda1n, con1 unia lrun,lcrl'n eia radial de 1nassa na direção do ponto ele irnpacto. Urna dc:.,,a., fibras radiais aparece na Fig. 16-47a. Pnrtc ela energia do proJL;lil <:

dissipada na deformação dessas fibras. O pulso transversal, que se:

propaga com uma velocidade menor v,, está associado à dcprcs,ao. ' A medida que o projétil penetra no tecido, o raio dn depressão au menta, fazendo com que o material do colete se n1ova na 1ncs1na direção que o projétil (perpendicularmente à direção de propagaçüo do pulso transversal). O resto da energia do projétil é dissipado nesse movimento. Toda a energia que não está envolvida na dcíorrnaçüo permanente das fibras é convertida em energia ténnica.

A Fig. 16-47b mostra um gráfico da velocidade v cm função do tempo t para uma bala co,n u1na 1nassa de 10,2 g disparada por um revólver 38 Special em u1n colete à prova de balas. As escalas dos eixos vertical e horizontal são definidas por v, = 300 m/s e t, = 40,0 µ,s. Suponha que v, = 2000 n'l!s e que o meio ângulo O da depressão causada pela bala é 60°. No final da colisão, qual é o raio (a) da região deformada e (b) da depressão (supondo que a pessoa que usava o colete tenha per1nanecido imóvel)?

Distância atingida

pelo pulso longitudinal l

Figura 16-47 Problema 88.

... \1

(a)

t (µs)

(b)

89 Duas ondas são descritas por

y1 = 0.30 sen[ 71(5x - 200)t]

e y2 = 0,30 scn[ 11(5x - 200t) + ?T!3),

onde y1, y2 ex estão en1 metros e testá en1 segundos. Quando as duas ondas são combinadas, é produzida u,na onda progressiva. Determine (a) a a1nplitude, (b) a velocidade e (c) o con1pri1ncnto de onda da onda progressiva.

90 Un1a certa onda transversal senoidal cotn un1 con1prin1ento de onda de 20 c1n está se propagando no sentido positivo ele un1 eixo r. A Fig. 16-48 1nostra a velocidade transversal da part1cula situada

1

t

1

150 CAPÍTULO l 6

em .t = O em função do tempo; a escala do eixo vertical é definida por u, = 5,0 cm/s. Qual é (a) a velocidade, (b) a amplitude e (c) a frequência da onda? ( d) Plote a onda entre x = O e .t = 20 c1n para o instante t = 2,0 s.

-- u, ,-.,....,-­"' " ô o l'---l..-~-.l.-~ _

3 1t(s)

;:l -us .___,_____.___._i LJ Figura 16-48 Problema 90.

91 Em uma experiência de laboratório, uma corda horizontal de 1,2 kg é fixada nas duas extremidades (x = O e x = 2,0 m) e colocada para oscilar para cima e para baixo no modo fundamental com uma frequência de 5,0 Hz. No instante t = O, o ponto situado ;m x = 1,0 m tem ~eslocamento nulo e se move para cima no sentido positivo de um ~1xo y com uma velocidade transversal de 5,0 m/s. Qual é (a) a amplitude do 1:1ovimento nesse ponto e (b) a tensão da corda? (c) Escreva a equaçao da onda estacionária para o modo fundamental. 92 Duas ondas,

e

Y1 = (2,50 mm) sen[(25,l rad/m)x - ( 440 rad/s)t]

Y2 = (1,50 mm) sen[(25,l rad/m)x + (440 rad/s)t],

•

se propagam ein uma corda esticada. (a) Plote a onda resultante em função de t para t' == O, A/8, A/4, 3A/8 e 'A/2, onde À é o corn. priinento de onda. Os gráficos devem se cstend:r de t = O até pou. comais de uin período. (b) A onda resultante e a superposição de u1na onda estacionária e uma onda progressiva. Em que sentido se propaga a onda progressiva? ( c) Como de~em ser mudadas as ondas originais para que a onda resultante seJ~ uma superposição de uina onda estacionária e uma onda progressiva com as mesmas ainplitudes que antes, mas com a onda progressiva se propagando no sentido oposto? Use os gráficos do item (a) para determinar 0

local em que a amplitude das oscilações é (d) máxima e (e) mínj. ma. (f) Qual é a relação entre a amplitude máxima das oscilaçõês e as amplitudes das duas ondas originais? (g) Qual é a relação en­tre a amplitude mínima das oscilações e as amplitudes das duas ondas originais? 93 Uma onda progressiva em uma corda é descrita pela equação

y = 2,0 sen 27T( O,:o + :a) , ondex e y estão em centímetros e tem segundos. (a) Para t = O, plote y em função de x para O< x ~ 160 cm. (b) Repita o item (a) para t = 0,0~ se para t = 0,10 s. A partir desses gráficos, determine (e) a velocidade da onda e (d) o sentido de propagação da onda .