1. An´alise da resposta temporal 2. Sinais de teste 3 ...palhares/aula3_csl.pdf · p.1 Controle de Sistemas Lineares – Aula 3. Desempenho de Sistemas Realimentados An´alise da

Desempenho de Sistemas de Controle Realimentados

1. Analise da resposta temporal

2. Sinais de teste

3. Desempenho de sistemas de segunda ordem

4. Efeitos de um terceiro polo e um zero na resposta de um sistema de segunda

ordem

5. Estimacao do coeficiente de amortecimento

6. Localizacao das raızes no plano-s e sua relacao com a resposta transitoria

Reinaldo Martınez Palharesp.1 Controle de Sistemas Lineares – Aula 3

Desempenho de Sistemas Realimentados

Analise da Resposta Temporal de Sistemas de Controle

A resposta temporal y(t) de um sistema de controle e dividida em duas partes:

1. yt(t), resposta transitoria

2. y(∞), resposta em regime permanente ou estado estacionario (“steady-state?)

y(t) = yt(t) + y(∞)

◃ Estuda-se primeiramente o comportamento da resposta transitoria e

posteriormente a resposta em estado estacionario


Desempenho de Sistemas Realimentados

Analise da Resposta Temporal de Sistemas de Controle

◃ A resposta transitoria e definida como a parte da resposta que tende a zero

quando o tempo tende a infinito:

limt→∞

yt(t) = 0

◃ A resposta em estado estacionario e a parte da resposta que permanece

quando a resposta transitoria iguala a zero, podendo ser constante ou podendo

ser um sinal que varia no tempo com padrao constante, como um sinal senoidal

de amplitude, frequencia e fase constante, ou um sinal tipo rampa com inclinacao

constante.


Especificacoes Temporais de Desempenho?

Trata-se de especificacoes que se deseja impor ao projeto de controle e envolve

requisitos associados a resposta temporal do sistema em malha fechada. Sendo as

especificacoes atendidas, espera-se que o sistema em malha fechada responda

adequadamente ao controle projetado

◃ Para uma entrada de comando especıfica, pode-se considerar diferentes

especificacoes temporais no contexto transitorio e em estado estacionario

◃ No geral, no entanto, o problema e que as especificacoes temporais sao

concorrentes. Por exemplo, impor que o sistema tenha uma resposta transitoria

muito rapida ira, provavelmente, gerar uma magnitude elevada no sinal de saıda

do sistema. Por outro lado, caso se imponha tambem que a magnitude do sinal

de saıda nao ultrapasse um certo limite, e necessario encontrar uma solucao de

compromisso ja que se deseja tambem uma resposta transitoria muito rapida

◃ O que fazer? Apos ajustes sucessivos no controle em malha fechada, pode-se

obter um compromisso entre as especificacoes desejadas. Ajuste fino...


Sinais de Teste

E um conjunto de sinais que podem generalizar varios tipos de entradas que os

sistemas de controle estao sujeitos na pratica

Degrau r(t) =

⎧

⎨

⎩

A t > 0

0 t < 0→ R(s) = A/s

Rampa r(t) =

⎧

⎨

⎩

At t > 0

0 t < 0→ R(s) = A/s2

Parabolica r(t) =

⎧

⎨

⎩

At2/2 t > 0

0 t < 0→ R(s) = A/s3


MA

STER55

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1998 by Addison Wesley Longm

an. All rights reserved.

t

r(t)

A

00

(a) (b) (c)

t

r(t)

00 t

r(t)

00

Figure 5.2 Test input signals: (a) step, (b) ramp, (c) parabolic

Resposta Transitoria do Sistema de Primeira Ordem

Considere o sistema de primeira ordem G1(s) = Y (s)R(s)

= ks+a

Para uma entrada tipo degrau unitario, a resposta do sistema e

Y (s) = G1(s)R(s) =k

s + a

1

s=

k

s(s + a)=

k/a

s−

k/a

s + a

⇒ y(t) = L−1{Y (s)} =k

a(1 − e−at)

Se e−at → 0, a resposta e limitada e o valor τ = 1/a e chamado de constante

de tempo do sistema e corresponde a 63% da resposta transitoria (pode ser

estimado experimentalmente e, assim, obtem-se um modelo para o sistema...)


Resposta Transitoria do Sistema de Primeira Ordem

0

0.25

0.5

0.632

0.75

1

inclinação = 1/τ

63,2%

95,0% 98,2% 99,3%

τ 2τ 3τ 4τ 5τ t

y(t)


Desempenho de Sistemas de Segunda Ordem

Considere o sistema abaixo

G(s) =Y (s)

E(s)=

ω2n

s2 + 2ζωns

Note que G(s) em malha fechada com realimentacao unitaria descreve um

sistema de 2a. ordem (com R(s) entrada de referencia):

Y (s) =ω2

n

s2 + 2ζωns + ω2n

R(s)

⇕ Degrau: R(s) = 1/s

Y (s) =ω2

n

s(s2 + 2ζωns + ω2n)


Desempenho de Sistemas de Segunda Ordem

Note que obtivemos na Aula 1 a resposta temporal para o sistema de segunda

ordem com entrada degrau unitario, que e dada por:

y(t) = 1 −e−ζωnt

β(βcos ωnβt + ζsen ωnβt)

= 1 −e−ζωnt

β(sen ωnβt + θ) , θ = cos−1ζ, 0 < ζ < 1

◃ Sendo β =√

1 − ζ2

• Para entrada impulso unitario (basta derivar a resposta a entrada degrau):

Y (s) =ω2

n

(s2 + 2ζωns + ω2n)

e y(t) =ωn

βe−ζωnt (sen ωnβt)


MASTER 56

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0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

y(t)

0 2 4 6 8 10 12 14vnt

vnt

vnt

(a)

(b)

0.02.0

4.06.0

8.010.0

12.0 14.0

2.04.0

6.08.0

10.012.0

14.00.0

0.4

0.5

1.0

1.5

2.0

Out

put

1.61.2

0.8

2.0

Damping factor z

z 5 0.1

0.2

0.4

0.7

2.0

1.0

Figure 5.5 (a) Transient response of a second-order system (Eq. 5.9)for a step input (b) The transient response of a second-order system

(Eq. 5.9) for a step input as a function of z and vnt

Sistemas de Segunda Ordem

O sistema de segunda ordem pode ser classificado de acordo com o valor do

amortecimento ζ que define o tipo dos polos do sistema:

ζ = 0 ⇒ polos em ±jωn nao-amortecido

0 < ζ < 1 ⇒ polos em −ζωn ± jωn

!

1 − ζ2 subamortecido

ζ = 1 ⇒ polos em −ωn criticamente amortecido

ζ > 1 ⇒ polos em −ζωn ± ωn

!

ζ2 − 1 superamortecido

ζ < 0 ⇒ polos em −ζωn ± jωn

!

1 − ζ2 instavel (−ζωn > 0)


MA

STER14

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jv

v

0s

n

s1

s2

u = cos–1

zv

z

2 nzv22 n

v2j nœ1 2 2z

vj nœ1 2 2z

Figure 2.9 An s-plane plot of the poles and zeros of Y(s)

MA

STER57

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Mpt

Overshoot1.0 1 d

1.0 2 d

1.0

0.10

0.9y(t)

ess

Tr1

TrRise time

TpPeaktime

TsSettling

time

Time

Figure 5.7 Step response of a control system (Eq. 5.9)

Especificacoes para Resposta Transitoria

1. Tempo de subida tr (“rise time”): e o tempo necessario para o sinal de saıda

variar de 10% a 90% (sistemas sobre-amortecidos) ou de 0% a 100%

(sistemas sub-amortecidos) do valor final. Uma aproximacao usual e

tr ∼= 1.8/ωn

2. Tempo de acomodacao ta (ou“settling time” ts): e o tempo gasto para o

sinal acomodar na faixa de ±2% a ±5% do valor final

3. Sobre-sinal maximo percentual Mp (“overshoot”): diferenca entre o valor

maximo de pico atingido e o valor final em percentual do valor final

4. Tempo do primeiro pico tp: instante de tempo em que ocorre o sobre-sinal

maximo do sinal

5. Tempo de atraso td (“delay time”): e o tempo para o sinal alcancar 50% do

valor final


Tempo de Acomodacao (ta)

◃ Considerando a margem de 2% para tolerancia no tempo de acomodacao

(ta), a envoltoria da resposta e entao limitada por

e−ζωnta < 0.02

ζωnta ∼= 4

ta = 4ζωn


Overshoot (Mp) e Tempo de Pico (tp)

◃ Como Mp e tp sao pontos de“maximo”entao facady(t)

dt= 0 :

dy(t)

dt=

1

βζωne

−ζωnt [βcos(ωnβt) + ζsen(ωnβt)]

+1

ββ2ωnsen(ωnβt)e

−ζωnt −1

βζωnβcos(ωnβt)e

−ζωnt

=

(1

βζ2ωn + βωn

)

e−ζωntsen(ωnβt)

=ζ2ωn + (1− ζ2)ωn

βe−ζωntsen(ωnβt)

=ωn

βe−ζωntsen(ωnβt) (que e a resposta ao impulso...)


Tempo de Pico (tp)

Entaody(t)

dt=

ωn

βe−ζωntsen(ωnβt) = 0

Note que se dy(t)/dt = 0, entao sen(ωnβt) = 0. O instante em que ocorrera

o maximo sera o tempo de pico (e lembre-se que sen(·) se anula em π) entao:

ωnβtp = π (lembrando que β =√

1 − ζ2)

∴ tp = π

ωn

√1−ζ2


Overshoot ou Sobre-sinal ou Sobre-elevacao (Mp)

Do mesmo modo, note que a sobre-elevacao maxima (overshoot ou sobre-sinal)

ocorre no instante que se tem o tempo de pico tp, portanto

Mpt= 1 −

1

βe−ζωntp [βcos(ωnβtp) + ζsen(ωnβtp)]

= 1 −1

✓✓βe−ζ✟✟ωn

π

✟✟ωn

√1−ζ2

︸︷︷︸

=Mp

⎡

⎣✓✓β cos(π)︸︷︷︸

=1

+ζ sen(π)︸︷︷︸

=0

⎤

⎦

O que ultrapassa a entrada degrau unitario?

Mp = e−ζπ

√

1−ζ2 , para 0 ≤ ζ < 1

ou Mp% = 100 e−ζπ

√

1−ζ2


Efeito de um Terceiro Polo e/ou um Zero

Efeito de um Terceiro Polo na Resposta do Sistema de 2a. Ordem

◃ Quando um sistema possui dois polos complexos (oscilacoes subamortecidas) e

um polo real, a resposta total sera uma combinacao das duas, predominando

aquela que for mais lenta (polos mais proximos da origem)

◃ Para um sistema de 3a. ordem

T (s) =1

(s2 + 2ζs + 1)(γs + 1), ωn = 1

Experimentalmente pode-se verificar que se |1/γ| ≥ 10 |ζωn| entao o

desempenho do sistema de 3a. ordem e similar ao de 2a. ordem (o sistema tem

um par de polos dominantes)


Efeito de um Terceiro Polo - Resposta ao Degrau

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.62º ordem

p3 = −10

p3 = −2

p3 = −1

p3 = −0,5

G(s) =52

( 1

p3s + 1)(s + 1 + j4.899)(s + 1 − j4.899)


Sistemas de Ordem Superior e Efeito dos Zeros

◃ A resposta ao degrau de um sistema de ordem superior sera uma combinacao

das respostas de fatores de primeira ordem e de fatores de segunda ordem:

y(t) = A0 +n1∑

i=1

Aie−σit +

n∑

i=n1+1

Aie−αit

√

1 − ζ2i

sen(ωd,it + θi)

O efeito dos zeros da funcao de transferencia sobre a resposta transitoria e atenuar

o efeito dos polos em sua proximidade – altera os valores dos coeficientes Ai

◃ polos eventualmente dominantes podem ter influencia reduzida na resposta

transitoria devido a presenca de zeros em sua proximidade!!



(Exemplo da pagina 20) Note que a FT do sistema sem adicao de zero e com

um polo em p3 = −1/2 e os outros dois polos em −1 ± j4.899 e:

T (s) =52

(1/p3s + 1)(s2 + 2s + 52)

A sua resposta no tempo e:

y(t) = 1 − 1.03e−t2 + 0.05

e−1t

√1 − 0.22

sen(4.899t + 78.46◦)

Qual serio o efeito ao se acrescentar um zero em z = −0.4 , proximo ao polo

real p3 = −1/2? Neste caso a resposta temporal e:

y(t) = 1 + 0.26e−t2 − 0.64

e−1t

√1 − 0.22

sen(4.899t + 78.46◦)

Nota-se claramente a mudanca nos pesos Ai de cada termo, reduzindo a

importancia da parcela e−t2 que e relativa ao polo real p3 – De fato, o sistema

resultante pode se aproximar de um sistema de 2a. ordem



0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

3 pólos e 1 zero

2 pólos

3 pólos

t

y(t)

Efeito da adicao de um zero em z = 0.4, proximo ao polo real em p3 = −0.5.

Comparativo das respostas temporais


Localizacao das Raızes no Plano-s × Resposta Transitoria

◃ A resposta ao degrau de um sistema de ordem superior sera uma combinacao

de respostas de fatores de primeira ordem e de fatores de segunda ordem

Y (s) = G(s)/R(s) =A0

s+

n1∑

i=1

Ai

s + ai+

n∑

i=n1+1

Aiω2n,i

s2 + 2ζiωn,is + ω2n,i

cuja resposta temporal e dada por

y(t) = A0 +n1∑

i=1

Aie−σit +

n∑

i=n1+1

Aie−αit

√

1 − ζ2i

sen(ωd,it + θi)

◃ Os polos de G(s) definem o comportamento da resposta transitoria

◃ Os zeros determinam os pesos relativos de cada modo


Localizacao de um par de polos e seus efeitos

−3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0−10

−5

0

5

10

0 1 2 3 40

0.5

1

1.5

0 1 2 3 40

0.5

1

1.5

0 1 2 3 40

0.5

1

1.5

Pole−Zero Map

Real Axis

Imagin

ary

Axi

s4

1 2

3 1

2

1 1

3 4


Estimacao do Coeficiente de Amortecimento

◃ Meca Mp%. e determina-se o valor correspondente do coeficiente de

amortecimento no grafico Mp% versus ζ, ou de

Mp% = 100e−ζπ/√

1−ζ2


MA

STER58

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100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

00.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Percentovershoot

3.40

3.20

3.00

Damping ratio, z

Perc

ent m

axim

um o

vers

hoot

vnTpvnTp

5.00

4.80

4.60

4.40

4.20

4.00

3.80

3.60

Figure 5.8 Peak overshoot and normalized peak time versus damping ratio z for a second-order system (Eq. 5.8)

Exercıcio

Esboce a regiao no plano-s que atenda requisitos de resposta temporal para um

sistema de segunda ordem com overshoot: Mp% ≤ 10% (ou Mp ≤ 0.1);

tempo de acomodacao: ta ≤ 1.6s; e tempo de subida: tr ≤ 0.6s

◃ Note que da formula para o overshoot (Mp = e−ζπ/√

1−ζ2 ≤ 0.1),

obtem-se ζ ≥ 0.6

◃ Da formula de tempo de acomodacao obtem-se ta = 4/ζωn ≤ 1.6, ou

ζωn ≥ 2.5

◃ O tempo de subida e calculado da relacao tr = 1.8/ωn ≤ 0.6 ou

ωn ≥ 3 rad/s


Plano-s

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

Eixo Real

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Eix

o I

ma

gin

ário

0.160.30.460.60.720.84

0.92

0.98

0.160.30.460.60.720.84

0.92

0.98

8 1234567

Plano - s


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