1Cassiopeia Stars 

A mão de DEUS na natureza...Seqüência de FIBONACCI...

Números áureos...Proporção áurea

Elaboração: Avides Reis de Faria 

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Quem foi FIBONACCIQuem foi FIBONACCI

Fibonacci dedicou-se ao estudo dos números áureos...Fibonacci dedicou-se ao estudo dos números áureos...

O seu nome completo era Leonardo de Pisa.O seu nome completo era Leonardo de Pisa.

Ficou conhecido como Fibonacci, devido ao fato deFicou conhecido como Fibonacci, devido ao fato de Fibonacci ser um diminutivo de fillius Bonacci, que queriaFibonacci ser um diminutivo de fillius Bonacci, que queria provavelmente dizer filho de Bonacci.provavelmente dizer filho de Bonacci.

Nasceu em Pisa (Itália) por volta de 1175.Nasceu em Pisa (Itália) por volta de 1175.

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• Entre outros livros, Fibonacci escreveu o Liber abacci, em 1202. • Foi neste livro que Fibonacci falou pela primeira vez da questão

observada nos coelhos.• Notou que: o número de pares de coelhos em determinado mês, é a

soma dos pares de coelhos existentes nos dois meses anteriores a este.

• Matematicamente, tem-se: Fn = Fn-1 + Fn-2 (no. Natural)

SequenciaSequenciade Fibonaccide Fibonacci

A MÃO DE DEUS ... nos animaisA MÃO DE DEUS ... nos animais

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O O quociente entre estes dois números tende, no infinitoquociente entre estes dois números tende, no infinito, para o quociente áureo perfeito, , para o quociente áureo perfeito, assim:assim:

0 + 1 = 0 + 1 = 11 1 + 1 + 11 = 2..................................................................................................................................1 / 2 = 0,5. = 2..................................................................................................................................1 / 2 = 0,5. 11 + 2 = + 2 = 33, ..........................................................................................................................2 / 3 = , ..........................................................................................................................2 / 3 = 0,60,666666666666666 2 + 2 + 33 = 5, ....................................................................................................................3 / 5 = = 5, ....................................................................................................................3 / 5 = 0,60,6............ ............ 33 + 5 = + 5 = 8,8, ..............................................................................................................5 / 8 = ..............................................................................................................5 / 8 = 0,60,625........25........ 5 + 5 + 88 = 13, ..................................................................................................8 / 13 = = 13, ..................................................................................................8 / 13 = 0,60,6153846..153846.. 88 + 13 = + 13 = 2121, ........................................................................................13 / 21 = , ........................................................................................13 / 21 = 0,60,6190476.190476. 13 + 13 + 2121 = 34, ...............................................................................21 / 34 = = 34, ...............................................................................21 / 34 = 0,60,617647..17647.. 2121 + 34 = + 34 = 5555, ..................................................................... 34 / 55 = , ..................................................................... 34 / 55 = 0,60,6181818181818 34 + 34 + 5555 = 89, ............................................................. 55 / 89 = = 89, ............................................................. 55 / 89 = 0,60,6179775.179775. 5555 + 89 = + 89 = 144144, ..................................................89 / 144 = , ..................................................89 / 144 = 0,60,6180555.180555. 89 + 89 + 144144 = 233, ...................................144 / 233 = = 233, ...................................144 / 233 = 0,60,6180257.180257. 144144 + 233 = + 233 = 377377,.......................... 233 / 377 = ,.......................... 233 / 377 = 0,60,6180371.180371. 233 + 233 + 377377= 610..................= 610..................

E assim sucessivamente........tendendo no infinito para E assim sucessivamente........tendendo no infinito para φφ = Fib( = Fib(∞∞) / ) / Fib(Fib(∞∞-1) = 0,6180338-1) = 0,6180338 Notar que 0,618..é equivalente a 61,8 % apr., ou 2/3 de um todo qualquer !!!Notar que 0,618..é equivalente a 61,8 % apr., ou 2/3 de um todo qualquer !!!

Tem-se assim a seqüência de FIBONACCI, estruturada nos Tem-se assim a seqüência de FIBONACCI, estruturada nos NÚMEROS ÁUREOSNÚMEROS ÁUREOS::

112233558813132121343455558989144144233233377377610...........610...........segue-se sucessivamente !segue-se sucessivamente !

A sequencia de FIBONACCI... e a Proporção ÁureaA sequencia de FIBONACCI... e a Proporção Áurea

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Números Áureos – Proporção áureaNúmeros Áureos – Proporção áurea

OS NÚMEROS ÁUREOS:OS NÚMEROS ÁUREOS:

(phi) (phi) ΦΦ = 1,6180338... = 1,6180338...

ΦΦ = 0 = 0,6180338...,6180338...

- Os “NÚMEROS ÁUREOS” estão associados ao número 5;

- Na Idade Média, Bhaskara, demonstrou que, no triangulo retângulo, ‘o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos’.

g = -1√ 5 / 2Cujas raízes são : ΦΦ = 1,6180338... = 1,6180338... φ = 0,6180338... = 0,6180338...

Conforme Bahaskara, para a reta:

A G B

( 1-g ) g tem-se:

Notar queNotar que ΦΦ = = ΦΦ + 1 + 1

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Retângulos áureosRetângulos áureos

e e

Quadrados de FibonacciQuadrados de Fibonacci

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A harmonia A harmonia áureaáurea no comando da criação no comando da criação

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Segundo Fibonati, esta série ocorre na Natureza quando os objetos, seres e formatos são curvos, desde o Macrocosmo, como as galáxias de estrelas, como no Microcosmo como nos vórtices, nas espirais em frutas e flores, e seres microscópicos etc., sendo seu traçado derivado de uma estrutura de retângulos justapostos, com medidas desta série.

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A seqüência de A seqüência de FIBONACCIFIBONACCI ... a natureza ! ... a natureza ! ... a mão de D E U S ... a mão de D E U S

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A FORMA DASGALAXIAS

Olhe para o Universo...Olhe para o Universo...E veja a mão de DEUS !E veja a mão de DEUS !

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Outras Galáxias noMacrocosmo

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A harmonia A harmonia áureaáurea no comando da criação no comando da criação

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Também no microcosmo...a natureza é decifrada por FibonacciTambém no microcosmo...a natureza é decifrada por Fibonacci

11

22

33

55

88

1313

00

A mão de DEUS...A mão de DEUS...nas árvores...nas árvores...

A mão deA mão de

DEUSDEUS

nas conchasnas conchas

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A mão de DEUS...A mão de DEUS...nas flores...nas flores...

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Na pétalas nas flores:

– Em algumas plantas o número de pétalas é um número de Fibonacci:

• 3 pétalas: lírio, açucena, íris, trandescância. • 5 pétalas: botão de ouro, rosa selvagem, columbine, esporas,

capuchinha.• 8 pétalas: delphiniums, anémona.• 13 pétalas: malmequer, cineraria, ragwort.• 21 pétalas: áster, olhado preto, susana, chicória.• 34 pétalas: tanchagem, píretro, dália.• 55, 89, etc pétalas: margaridas(várias), a família asteraceae,

– Algumas destas flores têm mesmo este número preciso de pétalas, outras podem variar mas sempre com um número de pétalas, perto do de Fibonacci...

A mão de DEUS... nas flores...A mão de DEUS... nas flores...

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nas plantas...nas plantas...

Identificamos a mão deIdentificamos a mão deDEUSDEUS

A MÃO DE DEUS ... A MÃO DE DEUS ... nos legumes ... nos legumes ...

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Identificamos a mão deIdentificamos a mão deDEUS nas plantas...DEUS nas plantas...

A MÃO DE DEUS ... A MÃO DE DEUS ... nos legumes ... nos legumes ...

  

  

Encontramos ... ...nas pinhas (figura ao lado)(figura ao lado)...nas folhas das cabeças das alfaces, ...na couve-flor, ...nas camadas das cebolas......ou os padrões de saliências dos ananases...

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Mais sobre a natureza da plantas...Os números de Fibonacci ligam-se facilmente à natureza.

É possível encontrá-los no arranjo das folhas do ramo de uma planta, nas copas das árvores ou até mesmo no número de pétalas das flores.

Podemos também encontrar a espiral de Fibonacci nas sementes das flores, em frutos e pinhas.

Os arranjos das folhas de algumas Os arranjos das folhas de algumas plantas em torno do caule são plantas em torno do caule são números de números de FibonacciFibonacci..

Com este arranjo, todas as folhas Com este arranjo, todas as folhas conseguem apanhar os raios conseguem apanhar os raios solares de igual forma.solares de igual forma.

Quando chove, o escoamento da Quando chove, o escoamento da água torna-se também mais fácil.água torna-se também mais fácil.

19Notar como as folhas de baixo são maiores ...decrescendo harmonicamente até o mioloNotar como as folhas de baixo são maiores ...decrescendo harmonicamente até o miolo

A MÃO DE DEUS ... nas plantas ... A MÃO DE DEUS ... nas plantas ...

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Na natureza...no projeto das plantas...em tudo vemos o grande projeto!Na natureza...no projeto das plantas...em tudo vemos o grande projeto!

Em torno do ramo central vê-se Em torno do ramo central vê-se uma distribuição de Fibonacci :uma distribuição de Fibonacci :

3 folhas em 5 voltas 3 folhas em 5 voltas 5 folhas em 8 voltas5 folhas em 8 voltas

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Na figura à esquerda, podemos contar as folhas, seguindo-as pela ordem que aparecem, até encontrar uma folha exatamente na vertical da primeira.

Na planta do topo contamos três rotações no sentido dos ponteiros do relógio, antes de encontrarmos a folha na mesma direção da primeira.

Passamos por cinco folhas, até que isso aconteça.

Se contarmos no sentido contrário aos ponteiros do relógio, precisamos de duas rotações.

Os algarismos 2, 3 e 52, 3 e 5 são números de Fibonacci.

Podemos escrever então:3\5 de volta por folha = 0,61 de volta (proporção áurea).

Mais sobre Fibonatti na natureza da plantas nas flores

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A MÃO DE DEUS ... no HOMEM ... nas mãos ... e no corpoA MÃO DE DEUS ... no HOMEM ... nas mãos ... e no corpo

Olhe para seu Olhe para seu braçobraço... e para ... e para suas mãos...suas mãos...

Identificas a proporção Identificas a proporção áurea? áurea? 2/3 2/3

Olhe para nosso Olhe para nosso corpocorpo... e para ... e para suas proporções...suas proporções...

Observe a posição do Observe a posição do umbigoumbigo,,e dos órgãos sexuais...e dos órgãos sexuais...

Identificas a proporção áurea? Identificas a proporção áurea? 2/3 2/3

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A MÃO DE DEUS ... no HOMEM ... nas mãosA MÃO DE DEUS ... no HOMEM ... nas mãos

Os dedos de Fibonacci:

Olhe para a sua mão!Consegues ver...a proporção áurea?2 mãos cada uma com... 5 dedos, cada um tem... 3 partes separadas por... 2 nós.

Olhe para seus Olhe para seus braçosbraços... e ante-braços...... e ante-braços...

Identificas a proporção áurea? Identificas a proporção áurea? 2/3 = 0,6... 2/3 = 0,6... 61,8% 61,8%

Olhe para seu Olhe para seu rostorosto... e para o nariz...... e para o nariz...

Identificas a proporção áurea? Identificas a proporção áurea? 2/3 2/3

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Notar o Notar o microcosmomicrocosmo “projetado“projetado

com base na com base na proporção áureaproporção áurea””

(phi) (phi) ΦΦ = 0,6180338 = 0,6180338

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O Homem como “pentágono”O Homem como “pentágono”(muito usado por Leonardo Da Vinci(muito usado por Leonardo Da Vinci

em seus desenhos)em seus desenhos)

ΦΦ

ΦΦ

ΦΦ

O Homem “áureo”O Homem “áureo”

ΦΦ

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A MÃO DE DEUS ... A MÃO DE DEUS ... nos planêtas ... nos planêtas ...

  

  

Considerações dos estudos do matemático e astrônomo Kepler (Johanes Kepler - 1571-1630) e pelo filósofo Roberto Fludd, (1574-1637): - Kepler, com base nas suas observações, registra que os astros não percorrem em suas trajetórias círculos perfeitos, mas sim percursos elípticos;- No afélio, quando está mais longe do centro têm velocidade maior;- Na fase do periélio, estão mais próximos do centro, têm velocidade menor.

Afélio e periélio...Afélio e periélio...

0,60,6

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A MÃO DE DEUS ... A MÃO DE DEUS ... Na luzes e nas cores ...nas frequencias... Na luzes e nas cores ...nas frequencias...

  

  

Percebemos a luz clara ou Percebemos a luz clara ou chamada de branca, com o chamada de branca, com o seu desdobramento pelo seu desdobramento pelo efeito do prisma, efeito do prisma, que que identifica as cores. identifica as cores. A faixa da luz visível está A faixa da luz visível está entre 10entre 101313 Hz e 10 Hz e 101414 Hz. Hz. O intervalo dessa estreita O intervalo dessa estreita faixa de freqüência, que faixa de freqüência, que possibilita identificar as possibilita identificar as cores, é cores, é a a progressão progressão geométrica resultante da geométrica resultante da cor de menor freqüência cor de menor freqüência para a de maior freqüênciapara a de maior freqüência tem como “razão” tem como “razão” matemática o númeromatemática o número 1,1,0590594630946309

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A MÃO DE DEUS ... A MÃO DE DEUS ... Na música ... Na música ...

  

  

ESPIRAL LOGARÍTMICA REPRESENTATIVA ESPIRAL LOGARÍTMICA REPRESENTATIVA ESCALA MUSICAL TEMPERADAESCALA MUSICAL TEMPERADA

Aparece, de maneira bastante evidente, a Aparece, de maneira bastante evidente, a curiosacuriosa correlação das duas espiraiscorrelação das duas espirais quanto à forma de quanto à forma de percepção dos sons. percepção dos sons.

Os sons mais graves são percebidos no centro, Os sons mais graves são percebidos no centro, enquanto os mais agudos nos extremos das enquanto os mais agudos nos extremos das espirais, na medida em que a freqüência do som espirais, na medida em que a freqüência do som se eleva se eleva na proporção das oitavasna proporção das oitavas. .

No campo da música essa No campo da música essa escala, com base na indicada escala, com base na indicada razão – 1,razão – 1,05905946309 - é 46309 - é designada de designada de escala escala temperada.temperada.

ClócleaClóclea

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A faixa média de audição humana  é de 20 a 20 khz.

Como  se  determina o número de oitavas entre 20 e 20000 Hz

~ 1,6~ 1,6

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A MÃO DE DEUS ... no HOMEM ... no ouvido A MÃO DE DEUS ... no HOMEM ... no ouvido

Legenda:1. Canais semicirculares2. Nervo Auditivo3. Membrana Basilar4. Cóclea

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CÓCLEA, O ANALISADOR DE ESPECTROO ANALISADOR DE ESPECTRO

Sistema Auditivo

A **Cóclea, órgão parte do sistema auditivo, atua como um analisador espectral

Resposta em freqüencia, ao longo da espiral cócliana

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A MÃO DE DEUS ... Na música ... A MÃO DE DEUS ... Na música ... Cont.

  

  

A progressão geométrica da escala musical apresenta a seguinte explicação: A progressão geométrica da escala musical apresenta a seguinte explicação: 1.1. Uma corda esticada, em toda a sua extensão produz um determinado Uma corda esticada, em toda a sua extensão produz um determinado somsom. . 2.2. No momento que dividirmos esse som (No momento que dividirmos esse som (comprimento de ondacomprimento de onda) ao meio, ) ao meio, o som produzido por essa metade tem o dobro de “altura”.o som produzido por essa metade tem o dobro de “altura”. 3.3. Esse som apresenta o Esse som apresenta o dobro de freqüênciadobro de freqüência e corresponde a e corresponde a uma “oitava”uma “oitava” na escala musical. na escala musical.

DoDo, , do#,do#, re,re, re#,re#, mi, fami, fa,, fa#,fa#, sol,sol, sol#,sol#, la,la, la#la# si,si, dodo..retornando ao retornando ao dódó que tem o dobro de freqüência do que tem o dobro de freqüência do dó dó anterior.anterior.

(Obs: o sinal # significa SUSTENIDO, isto é, meio tom acima)(Obs: o sinal # significa SUSTENIDO, isto é, meio tom acima)

Numericamente temos que a Numericamente temos que a razão dessa progressão geométricarazão dessa progressão geométrica é 1, é 1,05905946309 46309

Do do# re re# mi fa fa# sol sol# la la# si doDo do# re re# mi fa fa# sol sol# la la# si do 1,0 1,059 1,122 1,189 1,259 1,334 1,414 1,498 1,587 1,681 1,781 ,887 2,0

Observa-se a mesma razão na progressão sobre a Observa-se a mesma razão na progressão sobre a escala das freqüênciasescala das freqüências, partindo da , partindo da afinação de afinação de do a 220 Hzdo a 220 Hz, vamos encontrar a seguinte seqüência:, vamos encontrar a seguinte seqüência:

220 Hz220 Hz 233 246 261 277 293 311 329 349 369 391 415 233 246 261 277 293 311 329 349 369 391 415 440 Hz.440 Hz.Do Do do# re re# mi fa fa# sol sol# la la# si do# re re# mi fa fa# sol sol# la la# si do.do.

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REPRESENTAÇÃO POLAR DA REPRESENTAÇÃO POLAR DA ESCALA MUSICAL TEMPERADAESCALA MUSICAL TEMPERADA(Vallumbrosius)(Vallumbrosius)

AS 5 OITAVASAS 5 OITAVAS

A PRESENÇA DAA PRESENÇA DARAZÃO ÁUREARAZÃO ÁUREA

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Correspondências entre Correspondências entre O SOM , A COR E A LUZO SOM , A COR E A LUZ..

  

  

Ao estudar as características desses três elementos pela física, pode-se constatar que Ao estudar as características desses três elementos pela física, pode-se constatar que eles têm uma eles têm uma propriedade em comumpropriedade em comum, que é a , que é a freqüênciafreqüência. .

• O som O som é percebido pelos nossos ouvidos dentro da faixa já indicada de freqüência, é percebido pelos nossos ouvidos dentro da faixa já indicada de freqüência, situada entresituada entre 20 e 20.000 Hz 20 e 20.000 Hz. ;. ;

• Percebemos Percebemos a luza luz quando a freqüência estiver entre quando a freqüência estiver entre 10 10 22 Hz e 10 Hz e 10 22 22 Hz Hz ; ;• A cor A cor entreentre 10 10 13 13 Hz e 10 Hz e 10 1414 Hz Hz (ainda dentro da mesma faixa de freqüência da luz), (ainda dentro da mesma faixa de freqüência da luz),

apenas diferenciada pelo seu desdobramento que vai do apenas diferenciada pelo seu desdobramento que vai do vermelhovermelho ao ao violetavioleta. .

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Outras associações com a proporção áurea: Outras associações com a proporção áurea: • Teoria dos fractaisTeoria dos fractais;

• Na estrutura de repetição do DNAestrutura de repetição do DNA humano;

• Na músicaNa música: artigos relacionam as composições de Mozart, Bethoveen (Quinta Sinfonia) e Shubert com a razão áurea;

• Visão humanaVisão humana: Nosso campo de visão, independente da distância até o objeto é um retângulo na relação áurea.

Assim os aparelhos de TV, os monitores de video de computadores tem apr. a proporção área nas dimensões da largura e da altura da tela (3x4) ...(9x16);

• Na arquiteturaNa arquitetura: desde a antiguidade, os arquitetos aplicam a razão áurea nos projetos, nos desenhos e telas (em especial a arquitetura grega)– Nas pirâmides egípcias (Gisé)Nas pirâmides egípcias (Gisé), a altura e a metade do lado da base das

pirâmides obedecem à razão áurea.– Na arquitetura modernaNa arquitetura moderna: Le Corbusier (Charles-Edouard Jeanneret), em 1948,

publicou um livro sobre um sistema de medição denominado MODULOR, baseado nas proporções áureas, nos números de Fibonacci e nas dimensões médias humanas.

O “Modulor” é uma seqüência de medidas usada para encontrar a HARMONIA nas composições.

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Fim...Fim...