PROBABILIDADE

PROFESSOR: ANDRÉ LUIS

1. Experimentos

Experimento determinístico: são

aqueles em que o resultados são os

mesmos, qualquer que seja o número

de ocorrência dos mesmos.

Exemplo:

Um determinado sólido a uma certa

temperatura passará para o estado

líquido.

Experimento aleatório: qualquer

experimento cujo resultado depende

exclusivamente do acaso.

Exemplos:

Lançar uma moeda e observar as sequências decaras e coroas.

Lançar um dado e observar o número da face decima.

Lançar duas moedas e observar a sequência de carase coroas obtidas.

De um lote de 80 peças boas e 20 defeituosas, selecionar10 peças e observar o número de peças defeituosas.

2. Espaço amostral de um experimento aleatório

É o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório.

Exemplos:

a) Lançar uma moeda e observar a face de cima.

E = {k, c}, c = cara e k = coroa

b) Lançar um dado e observar a face de cima.

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

c) De uma urna contendo 3 bolas vermelhas (V),

2 brancas (B) e 5 bolas azuis (A), extrair uma

bola e observar a sua cor.

E = { V, B, A}

d) Lançar uma moeda duas vezes e observar asequência de caras e coroas.

E = { (k, k), (k,c), (c, k), (c, c) }

e) Lançar uma moeda duas vezes e observar o

número de caras.

E = { 0, 1, 2}

TREINAMENTO DE SALA

1) Dê o espaço amostral para cada experimento abaixo.

a) Uma letra escolhida entre as letras da palavra PROBABILIDADE.

E = {P, R, O, B, A, I, L, D, E}

b) Uma urna contém 5 bolas vermelhas (V) e 2 brancas (B). Duas bolassão extraídas, sem reposição, e observadas suas cores, na sequênciaem que foram extraídas.

E = {(V, V), (V, B), (B, V), (B, B)}

c) Entre 5 pessoas A, B, C, D, E, duas pessoas são escolhidas paraformarem uma comissão. Observam-se os elementos dessa comissão.

E = {(A, B), (A, C), (A, D), (A, E), (B, C), (B, D), (B, E), (C, D), (C, E), (D, E)}

3. Evento de um espaço amostral

É qualquer subconjunto de um espaço

amostral.

a) Um dado é lançado e observa-se o número

da face de cima.

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A: ocorrência de um número ímpar.

A = {1, 3, 5 }

B: Ocorrência de um número primo.

B = {2, 3, 5 }

C: Ocorrência de um número menor que 4.

C = {1, 2, 3 }

D: Ocorrência de um número menor que 7.

D = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }

E: Ocorrência de um número maior ou igual a 7.

E =

F: Ocorrência de um número par e primo.

F = { 2 }

Atenção!

O evento D é o próprio espaço amostral (D = E),

dizemos que é EVENTO CERTO.

O evento E (E = ) é chamado de EVENTO

IMPOSSÍVEL.

O evento F ( F = { 2 } ) é um conjunto unitário,

dizemos que é um EVENTO SIMPLES ou

ELEMENTAR.

TREINAMENTO DE SALA

1) Uma urna contém 30 bolinhas numeradas de 1 a 30. Uma bolinha é

escolhida e observado seu número. Seja E = {1, 2, 3, ..., 30}. Descreva os

eventos:

a) o número obtido é primo.

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}

b) o número não é múltiplo de 6.

{1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 26, 27,

28, 29}

c) O número é múltiplo de 2 e de 5.

{10, 20, 30}

d) O número é múltiplo de 3 ou de 8.

{3, 6, 8, 9, 12, 15, 16, 18, 21, 24, 27, 30}

2) Uma moeda e um dado são lançados. Seja:

E = {(k,1); (k,2); (k,3); (k,4); (k,5); (k,6); (c,1); (c,2); (c,3); (c,4); (c,5);

(c,6)}

Descreva os eventos:

a) B: ocorre número par.

{ (k, 2); (k, 4); (k, 6); (c, 2); (c, 4); (c, 6) }

b) C: ocorrência do número 3.

{ (k, 3), (c, 3) }

B ∩ C

4. Espaço amostral equiprovávelExemplo: Uma moeda é lançada várias vezes. Astabelas seguintes mostram as frequências de cadaface nos lançamentos.

Em vinte lançamentos:

FACE FREQUÊNCIA

C 12

K 8

Em cinquenta lançamentos:

FACE FREQUÊNCIA

C 23

K 27

Em cem lançamentos:

FACE FREQUÊNCIA

C 49

K 51

Se aumentarmos indefinidamente o número de lançamentos,as frequências tenderão a um mesmo número. Por issodizemos que o espaço amostral E = { c, k } é equiprovável.

Generalizando, temos que:

Um espaço amostral E = {a1, a2, a3, ... , an} de umexperimento aleatório é equiprovável se, e somentese, as frequências dos elementos tendem a ummesmo valor quando o número de vezes que oexperimento é realizado tende ao infinito.

5. Probabilidade

Seja e um espaço amostral finito e não-

vazio; e seja A um evento desse espaço

amostral. Chama-se probabilidade de A, e

indica-se por P(A), o número , onde

n(A) e n(E) indicam os números de

elementos de A e E, respectivamente. Isto é:

( )

( )

n A

n E

( )( )

( )

n AP A

n E

TREINAMENTO DE SALA

1) No lançamento de um dado qual é a probabilidade de se

obter, na face voltada para cima um número de pontos

menor que 3?

⅓ ou 33,333...%

2) No lançamento de duas moedas, qual é a probabilidade de

se obter nas faces voltadas para cima, pelo menos uma

cara?

¾ ou 75%

3) Sorteando-se um anagrama da palavra TESOURA, qual é

a probabilidade de se obter um anagrama que comece e

termine por vogal?

2/7 ou 28,57%

4) De um baralho de 52 cartas, uma é extraída ao

acaso. Qual a probabilidade de cada um dos eventos

abaixo?

a) Ocorre dama de copas.

1/52 ou 1,92%

b) Ocorre dama.

1/13 ou 7,69%

c) Ocorre carta de naipe paus.

¼ ou 25%

d) Ocorre dama ou rei ou valete.

3/13 ou 23,07%

6. Eventos complementares

Seja E o espaço amostral de um

experimento aleatório e seja A um evento de

E. Chama-se evento complementar de A,

que se indica por , o evento que satisfaz

as seguintes condições:

A

A A E

A A

Complementar de A através de diagrama:

Exemplos:

a) No lançamento de um dado, considere o evento A

formado pelos resultados menores do que 3. O

complementar de A é formado por todos os

resultados maiores ou iguais a 3.

A = {1, 2}

3,4,5,6A

b) No lançamento de duas moedas, considere o

evento A = {(c, c), (k, k)}. O complementar de A é o

evento . , , ,A c k k c

7. Propriedades das probabilidades

Sendo E um espaço amostral finito e não-vazio e

sendo A um evento de E, tem-se que:

I) P( ) = 0

II) P(E) = 1

III) 0 ( ) 1P A

IV) e ( ) 1P A P A ( ( ) 1 ( ))P A P A

TREINAMENTO DE SALA

1) Uma urna contém exatamente dez etiquetas, numeradas de 1 a 10.

Retira-se uma etiqueta da urna. Qual é a probabilidade de se obter:

a) A: um número maior que 10?

P(A) = 0 ou P(A) = 0%

b) B: um número menor que 11?

P(B) = 1 ou P(B) = 100%

2) Uma urna contém apenas bolas vermelhas, azuis, brancas e pretas.Retira-se ao acaso uma bola da urna. A probabilidade de sair uma bolavermelha é 5/17. Qual a probabilidade de sair uma bola que não sejavermelha?

12/17 ou 70,58%

8. Probabilidade da união de dois eventos (adição de probabilidades)

Seja E um espaço amostral finito e não-vazio. Para

quaisquer eventos A e B de E, tem-se que:

P(A U B) = P(A) U P(B) – P(A ∩ B)

Atenção!

Se A ∩ B = , os eventos A e B são chamados de

mutuamente exclusivos.

Exemplos:

a) Numa urna existem 10 bolas numeradas de 1 a10. Uma

bola é retirada ao acaso. Qual a probabilidade de seu

número ser par ou maior que 4?

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A : número par

n(E) = 10

A = {2, 4, 6, 8, 10}

B: número maior que 4 B = {5, 6, 7, 8, 9, 10}

n(A) = 5

n(B) = 6

A ∩ B: número par e maior que 4 A ∩ B = {6, 8, 10} n(A ∩ B) = 3

P(A U B) = P(A) U P(B) – P(A ∩ B)

P(A U B) =5 6 3

10 10 10

P(A U B) =8 4

80%10 5

Considerando a mesma situação anterior, vejamos qual a probabilidade

de a bola retirada ser um número primo ou maior que 8.

n(E) = 10

A: número primo A = {2, 3, 5, 7} n(A) = 4

B: número maior que 8 B = {9, 10} n(B) = 2

A ∩ B = n(A ∩ B) = 0

P(A U B) = P(A) + P(B)

P(A U B) = 4 2

10 10

P(A U B) = 6 3

60%10 5

TREINAMENTO DE SALA

1) Numa caixa estão 8 peças com pequenos defeitos, 12 com grandes defeitos

e 15 perfeitas. Uma peça é retirada ao acaso. Qual a probabilidade de que

esta seja perfeita ou tenha pequenos defeitos?

n(E) = 8 + 12 + 15 = 35

A: peças perfeitas n(A) = 15

B: peças com pequenos defeitos n(B) = 8

A ∩ B =

P(A U B) = P(A) + P(B)

P(A U B) =15 8 23

35 35 35

P(A U B) = 65,71%

2) Qual a probabilidade de , no lançamento simultâneo de dois dados, a

soma ser 6 ou sair a mesma face nos dois dados?

n(E) = 6 . 6 = 36

A = {(1, 5); (2, 4); (3, 3); (4, 2); (5, 1)} n(A) = 5

B = {(1, 1); (2, 2); (3, 3); (4, 4); (5, 5); (6, 6)} n(B) = 6

A ∩ B = {(3, 3)} n(A ∩ B) = 1

P(A U B) = P(A) U P(B) – P(A ∩ B)

P(A U B) =5 6 1 10 5

36 36 36 36 18

P(A U B) = 27,77%

9. Probabilidade condicional

Chama-se probabilidade condicional de um evento B

a probabilidade de esse evento ocorrer considerando-se

que já ocorreu um evento A.

P(B/A) = ( )

n A B

n A

Atenção!

•P(B/A): lê-se “probabilidade de B, dado A”.

•Se A e B forem mutuamente exclusivos, então P(B/A) = 0.

Exemplo:

Numa urna temos 100 bolas numeradas de 1 a 100. Sabe-se que a bola

sorteada é par. Vamos calcular a probabilidade de ser um múltiplo de 10.

Número é par : n(A) = 50

Número é múltiplo de 10: n(B) = 10

Número é par e múltiplo de 10: n(A ∩ B) = 10

P(B/A) =

10

1100 20%50 5

100

10. Multiplicação de Probabilidades

Chamamos de eventos independentes os eventos

cuja probabilidade de ocorrer um deles não depende de

ter ou não ocorrido o outro.

P(B/A) = P(B) ou P(A/B) = P(A)

Eventos Independentes

Exemplo:

Uma moeda é lançada duas vezes. Vamos calcular a

probabilidade de:

a) obtermos cara no segundo lançamento.

E = {(c, c); (c, k); (k, c), (k, k)} n(E) = 4

A = {(c, c); (k, c)} n(A) = 2

P(A) = 2 150%

4 2

( )

( )

n A

n E

b) Obtermos cara no segundo lançamento, sabendo que

obtivemos cara no primeiro lançamento.

Cara no primeiro lançamento(B) B = {(c, c); (c, k)}

Cara no segundo lançamento(A) A = {(c, c); (k, c)}

( ) 1( / )

( ) 2

n A BP A B

n B

Como sabemos que ocorreu o evento B, temos que o evento A

só pode ter ocorrido na intersecção de A e B:

Observando as respostas dos itens a e b, temos que P(A/B) = P(A) = ½

Por isso, dizemos que os eventos A e B são eventos

independentes.

A ∩ B = {(c, c)} n(A ∩ B) = 1

Produto de probabilidades

Vimos que:

( )( / )

( )

n A BP B A

n A

Dividindo o numerador e o denominador da fração por

n(E), temos que:

( )

( )( )( / ) ( / )

( ) ( )

( )

n A B

P A Bn EP B A P B A

n A P A

n E

Portanto:

( ) ( ) ( / )P A B P A P B A

Atenção!

Se A e B forem eventos independentes, então:

( ) ( ) ( )P A B P A P B

Exemplo:

Uma urna contém precisamente sete bolas: 4 azuis e 3

vermelhas. Retira-se ao acaso, um bola da urna,

registra-se sua cor e repõe-se a bola na urna. A seguir,

retira-se novamente uma bola da urna e registra-se sua

cor. Calcular a probabilidade de:

a) Sair uma bola azul e depois outra vermelha.

A e V é 4 3 12

7 7 49P

b) saírem 2 bolas de cores diferentes.

Temos duas sequências possíveis, com as respectivas

possibilidades:

A e V, 1

4 3 12

7 7 49P ou V e A,

2

3 4 12

7 7 49P

+

1 2

12 12 24

49 49 49P P P