Instituto Nacional de Pesquisas EspaciaisExame de admissão para o programa de pós-graduação em Astrofísica

16/12/2013 - Duração: 4h00

Nome: ______________________________________________________________________

Instruções para realização do exame:

a) a prova é individual, sem qualquer consulta;

b) não é permitido o uso de telefones celulares;

c) é permitido o uso de calculadora, desde que não seja um aplicativo de celular;

d) a prova poderá ser feita a lápis, mas as respostas finais devem ser apresentadas em caneta;

e) escreva seu nome em cada folha de prova e use somente um lado da folha de respostas;

f) resolva uma questão por folha e numere as folhas, de forma a informar o total de folhas utilizadas (ex.: no caso de 12 folhas utilizadas, ao terminar, numere as folhas em sequência 1/12, 2/12, 3/12, etc.);

g) todas as questões valem um (1.0) ponto, incluindo a questão “bônus”;

h) se estiver fazendo a prova fora do INPE, use papel A4 e deixe margens de ~ 2 cm;

i) solicitamos que a prova seja enviada ao INPE por fax [55-12-3208-6811] e/ou por email, para os endereços eletrônicos posgrad@das.inpe.br e claudia.rodrigues@inpe.br;

j) os originais devem ser enviados pelo correio, aos cuidados de Cláudia Vilega Rodrigues, para o endereço.

INPE - Divisão de Astrofísica

Av. dos Astronautas 1758 - Prédio CEA Novo

Jardim da Granja - São José dos Campos, SP

12227-010 Brasil

1. O peso de um objeto na Lua é 1/6 do seu peso na Terra.a) Um pêndulo que oscila na Terra uma vez a cada segundo, teria qual período de oscilação

na Lua?b) Se um astronauta, vestido com o traje espacial, consegue saltar 20 cm de altura na Terra,

qual seria a altura que ele conseguiria saltar na Lua?

2. A taxa de contagem média em um experimento é de 2x103 contagens por segundo, parte daqual é devida ao ruído de fundo aleatório. A taxa de contagem média do ruído aleatório é de1600 contagens por segundo.a) Qual é a taxa de contagem média do sinal?b) Qual é a probabilidade aproximada que a taxa de contagem do ruído fique na faixa de

1560 a 1640 contagens por segundo?c) Qual é a probabilidade aproximada que a taxa de contagem total exceda 2000 contagens

por segundo causada apenas pelo aumento do sinal, sabendo-se que o ruído de fundodiminuiu um sigma (um desvio padrão)?

3. Uma partícula, cuja massa de repouso é mo, se move ao longo do eixo x de um sistema de

referência S segundo a lei x=√a2+c2 t2 , onde a é uma constante, c é a velocidade daluz, e t é o tempo. Determine a força que atua sobre a partícula neste sistema dereferência.

RESPOSTA: F = m_0*c^2/a

4. Uma partícula move-se no plano xy com uma aceleração constante w, no sentido negativodo eixo y. A equação da trajetória da partícula é dada por y=a x−b x 2 , onde a e b sãoconstantes. Determine a velocidade da partícula na origem das coordenadas.

Resposta: v_0 = sqrt((1+a^2)*w/(2*b)

5. Uma certa região tem uma distribuição de carga elétrica, cuja densidade volumétrica édada por ρ(r)=ρoe

−α r3

, onde ρo e α são constantes positivas e r é a distância ao centroda distribuição. Obtenha o módulo do campo elétrico em função de r.

Resposta: E = \frac{\rho_0}{3\varepsilon_0 \alpha r^2}(1- \exp(-alpha r^3)

6. Um espectrômetro de massa é um aparato usado para medir a massa de um íon.Considere que um íon de massa m e carga q é produzido por um fonte S. O íon éproduzido na fonte S com velocidade nula e é acelerado por um campo elétrico devido auma diferença de potencial V (vide figura abaixo). O íon entra na câmara de separação naqual existe um campo magnético uniforme B⃗ , perpendicular à direção do movimentoinicial do íon. O íon é defletido pelo campo magnético e atinge um detetor localizado naparece inferior da câmera na posição x = 1,6254 m. Supondo que B = 80 mT, V = 1000 Ve que a carga do íon é +1,6022 10-19 C, calcule a massa m do íon em unidades de massaatômica.

7. Calcule a massa da Lua em unidades de massa terrestre sabendo que a velocidade orbitalda Lua é aproximadamente 1 km/s (relativa ao centro de massa do sistema) e que para aTerra é 12,3 m/s. Pergunta-se também: o centro de massa do sistema situa-se dentro oufora do nosso planeta? Considere órbitas circulares. Dados: Massa da Terra =5,97×1024 kg, Raio Equatorial da Terra = 6.378 km, Raio Polar da Terra = 6.357 km eSemieixo maior da órbita lunar = 384.400 km.

Resolução:

mT vT = mL vL

mL/mT = vT/vL = 12,3 m/s ÷ 1000 m/s = 0,0123

Massa da Lua = 0,0123 Massa da Terra

mT aT = mL aL

aT = (mL/mT) aL = 0,0123 x 384.400 km = 4.728 km < RT

centro de massa dentro da Terra

8. Existem sistemas binários cerrados onde matéria é transferida de uma das estrela para aoutra. Nesse processo, energia potencial gravitacional transforma-se em cinética e podeser parcialmente perdida em forma de radiação na região próxima à superfície da estrelaque recebe matéria. Estime a energia disponível para radiação devida a 1 kg dehidrogênio, considerando que a matéria tem energia cinética nula e energia potencialdesprezível na superfície da estrela doadora. Considere os seguintes casos:

a) estrela que recebe a matéria é uma anã branca de massa igual a 0,85 massas solares e raioigual a 6,6 106 m;

b) estrela que recebe a matéria é uma estrela de neutrons de massa igual a 1,4 massas solarese raio igual a 10 km;

c) compare as energias obtidas nos itens acima com a disponibilizada pela fusão dohidrogênio em hélio. Considere que a fração de energia produzida corresponde a 0,007 daenergia de repouso.

Solução

9. Considere que 1 kg de água no estado líquido a 100oC é convertido para vapor de água namesma temperatura em pressão ambiente (1 atm = 1.01 105 Pa) em um aparato como omostrado na figura abaixo. O volume de água muda de 0,001 m3 no estado líquido para0,001671 m3 no estado gasoso.

a) Quanto trabalho é feito pelo sistema durante o processo?b) Quanta energia é transferida como calor durante o processo?c) Qual é a mudança na energia interna do sistema durante o processo?

10. Considere um gás ideal composto de moléculas do oxigênio a uma temperatura T de 300K e à pressão de 1,0 atm.

a) Qual é o caminho livre médio λ das moléculas? Assuma que o diâmetro molecular é d =2,9 10-10m.

b) Se a velocidade média da molécula de oxigênio é 450 m/s, qual é o tempo entre colisõessucessivas de uma mesma molécula? Assim, qual é a taxa taxa de colisão média?

11. (Questão bônus) Quais números estão faltando no quadrado abaixo?16 X 2 13 Y 10 11 8 9 6 W 12

4 15 14 Z1. Resposta: X = 3, Y =5, W = 7 e Z =1

Formulário

Constantes físicas

c = 2,99x1010 cm.s-1 mpróton = 1.67 x 10-24 g

k = 1,38x10-16 erg / K mnêutron = 1.67 x 10-24 g

h = 6,63x10-27 erg.s melétron = 9,11x10-28 g

G = 6,67x10-8 dyn.cm2.g-2 � Stefan-Boltzmann = 5,67 x 10-5 erg.cm-2.s-1K-4

e = 4.80 x 10-10 esu R = 8,31x107 erg/mol.K (const. gás perfeito)

Permissividade elétrica = 1 Permeabilidade magnética = c-2

ke=1

Dados Astronômicos

Massa da Terra = 5.98x1027 g Raio da Terra = 6,37x108 cm

Massa do Sol = 1,99 x 1033 g Raio do Sol = 6,96x1010 cm

Luminosidade do Sol = 3,9x1033 erg/s Constante solar:

1 unidade astronômica = 1,50x1013 cm 1 parsec (pc) = 3,08x1018 cm

Fatores de conversão

1 statC = 1 esu = 3,3x10-10 C 1 u.m.a. = 1,6605 x 10-24 g

1 eV = 1,60x10-12 erg 1 Å = 10-8 cm

Fórmulas

Momento de inércia: I = a MR2, em que a = 2/5 (esfera), =1/2 (cilindro) e = 1 (anel)