1

Probabilidades

2

ExperimentoAleatório

•  Experimento aleatório (E) é o processo pelo qualumaobservaçãoéob;da.

•  Exemplos:ü  E1:Jogarumamoeda3vezeseobservaronúmerodecarasob;das;

ü  E2:Lançarumdadoeobservarafacevoltadaparacima;

ü  E3:De umaurna, que só tembolas pretas, ;ra-seumabolaeverifica-sesuacor;

ü  E4: Em uma linha de produção, fabricar peças emsérie e contar o número de peças defeituosasproduzidasemumperíodode24horas;

3

MaisexemplosdeExperimentosAleatórios

ü  E5: Nº de rebites defeituosos fixados em uma asadeavião.

ü  E6:Tempodevidaú;ldeumalâmpada.ü  E7:Poluentes(óxidosdeenxofre)emi;dosporumacertaindústria;

ü  E8:Nºtotaldepeçasaseremfabricadasatéque10peçasperfeitassejamproduzidas.

ü  E9: Duração da vida ú;l de um componenteeletrônico.

4

EspaçoAmostral

•  Espaço amostral (S) é o conjunto de todos osresultados possíveis de um experimento aleatório(E). Cada resultado possível é denominado “pontoamostral”

•  Exemplos(anteriores):ü  S1={0,1,2,3}; ü  S2={1,2,3,4,5,6};ü  S3={bolapreta}; ü  S4={0,1,2,...,N};ü  S5={0,1,2,...,M}; ü  S6=S7=S9={tϵR|t≥0};ü  S8={10,11,12,...}.

5

Evento

•  Eventoéumconjuntoderesultadosdoexperimento,ouseja,éumsubconjuntodoespaçoamostral(S).

•  Exemplos:ü  a)E:lançartrêsmoedasü  S={ccc,cck,ckc,kcc,ckk,kck,kkc,kkk}ü  EventoA=ocorrer“cara”apenasumavezü  A={ckk,kck,kkc};ü  EventoB=ocorrertrês“caras”outrês“coroas”ü  B={ccc,kkk}.

6

ExemplosdeEventos

ü  b) E: Observar o tempo de vida ú7l de umalâmpada.

ü  S={tϵR|t≥0}ü  oeventoA=lâmpadaqueimarematé10,6diasü  A={tϵR|0≤t≤10,6}

ü  Obs.:Oeventoaleatóriopodeserumúnicopontoamostralouumauniãodeles.

7

Operaçõescomconjuntos

ü  Aplicando aos eventos de umespaço amostral (S)as operações sobre conjuntos, obtêm-se outroseventosdeS.Assim,seAeBsãoeventos,entãoasseguintesoperaçõessãodefinidas:

ü  Uniãodeeventos:Oeventoreunião(AUB)éformadopelospontos amostrais que pertencem a pelomenos a um doseventos.Ouseja,éoeventoqueocorrese,esomentese,AouB(ouambos)ocorrerem.

8

InterseçãodeEventos

ü  O evento intersecção (A∩B) é formado pelospontosamostraisquepertencemsimultaneamenteaoseventosAeB.Ouseja,éoeventoqueocorrese,esomentese,AeBocorrerem.

Se A ∩ B =Ø (conjunto vazio), então A e B sãoeventosmutuamenteexclusivos.

9

EventoComplementar

ü  ACou .Éoeventoqueocorrese,esomentese,nãoocorreA.

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Subtraçãodeeventos

ü  SendoAeBdoiseventosquaisquerdeumespaçoamostral,A-Béoeventoqueocorrese,esomentese,ocorreroeventoAenãoocorreroeventoB.

11

ParBçãodoEspaçoAmostral

12

ParBçãodoEspaçoAmostral

ü  Definição de ParBção: Uma par;ção de umconjunto S é qualquer coleção de subconjuntosCtaisquetodoelementodeSpertenceaapenasumsubconjuntodeC.

ü  Exemplo: {{1}, {2,3}, {4}} é uma par;ção de{1,2,3,4}.

13

OperaçõescomConjuntos:Exemplo

ü  Exemplo: Considere o espaço amostral S ={1,2,3,4,5,6}eoseventosA={2,4,6}eB={1,2,3}.Obtenha:

ü  a)AUB={1,2,3,4,6}ü  b)A∩B={2}ü  c)AC={1,3,5}ü  d)BC={4,5,6}ü  e)(A∩B)C={1,3,4,5,6}ü  f)(AUB)C={5}ü  g)AC∩BC={5}ü  h)ACUBC={1,3,4,5,6}

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Probabilidades

ü  Definição: Seja S um espaço amostral associado aumexperimentoE.AcadaeventoAassociamosumnúmeroreal,representadoporP(A)edenominadoprobabilidadedeA,sa;sfazendoosaxiomas:

ü  I)0≤P(A)≤1,paratodoeventoA;ü  II)P(S)=1;ü  III)P(AUB)=P(A)+P(B), seAeB foremeventosmutuamenteexclusivos.

15

Teoremas

ü  T1.SeoseventosA1A2,...,Anformamumapar;çãodoespaçoamostral,então:

ü  T2. Se é um evento impossível (conjunto vazio),entãoP(Ø)=0

ü  T3.P(AC)=1–P(A)ü  T4. SejamA S eB S dois eventosquaisquer.EntãoP(AUB)=P(A)+P(B)–P(A∩B)

ü  T5.SeAB,entãoP(A)≤P(B).

16

Espaçosamostraisequiprováveis

ü  QuandocadaelementodoespaçoamostralStemamesmaprobabilidadedesersorteado,diz-sequeoespaço é equiprovável. Se S contém “n” pontos,entãoaprobabilidadedecadapontoserá1/n.

ü  Por outro lado, se um evento A contém “m”pontos,entãoP(A)=m/n.

ü  Exemplo: Uma turma comprou todos os númerosformadosportrêsalgarismosdeumarifacontendonúmeros de 1 a 1000. Qual a probabilidade donúmerosorteadoserdessaturma?

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Probabilidadedaadição(TeoremaT4)

ü  Sejam A e B dois eventos quaisquer associados aumexperimento.Então

P(AUB)=P(A)+P(B)–P(A∩B)ü  Quando A e B são eventos mutuamenteexcludentes,P(A∩B)=0

ü  Exemplo: O seguinte grupo de pessoas está numasala:5rapazescommaisde21anos,4rapazescommenosde21anos,6moçascommaisde21anose3 moças com menos de 21 anos. Uma pessoa éescolhida ao acaso dentre as 18. Os seguinteseventossãodefinidos:

18

Exemplo(conBnuação1)

ü  A:apessoatemmaisde21anos;ü  B:apessoatemmenosde21anos;ü  C:apessoaéumrapaz;ü  D:apessoaéumamoça.ü  Determinar:ü  a)P(BUD)ü  b)P(A∩C)ü  c)Aprobabilidadedeserumamoça.ü  d) Probabilidade de ser uma pessoa commais de21anosouserumamoça.

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VariáveisAleatóriasDiscretas

Definição:SejaXumavariávelaleatória(v.a.).Seonºde valores possíveis de X for finito ou infinitoenumerável, dizemos que X é uma variávelaleatóriadiscreta.

Exemplos:ü  Nº de tenta7vas de saltos até o atleta conseguirsaltar7.0m.

ü  Nº de sucessos em 20 tenta7vas de um atleta nosaltoemdistância(distância9.0m).

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FunçãodeProbabilidadedev.a.’sdiscretas

ü  Definição: Seja X uma variável aleatória discreta,com possíveis valores x1, x2,.... A cada possívelresultado xi, associamos um nº p(xi)=P(X=xi),denominado probabilidade de xi, sa;sfazendo asseguintescondições:

ü  a)p(xi)≥0,paratodoi=1,2,...ü  b)

ü  p(xi)échamadafunçãodeprobabilidadedav.a.X.A coleção de pares [xi, p(xi)] é denominadadistribuiçãodeprobabilidades.

21

Funçãodeprobabilidade

ü  Exemplo: Seja X o nº de tenta;vas de um atletapara conseguir saltar 9.0m emdistância. Suponhaque p seja a probabilidade de sucesso em cadasalto.Então:

ü  P(X=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,3,...

ü  Valoresperado:E(X):μ=

ü  VariânciadeX:Var(X):σ2=

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VariáveisAleatóriasConOnuas

ü  Definição:Diz-sequeXéumavariávelaleatóriacon~nuaseexis;rumafunçãof(.),denominadafunçãodensidadede probabilidade (fdp) de X que sa;sfaça às seguintescondições:

ü  a)f(x)≥0,paratodox;ü  b)ü  c)paraquaisquera,b,-∞<a<b<+∞,teremos

ü  OconceitodeintegralévistoemdisciplinasdeCálculoenão será abordado nesta disciplina. Porém, podemosu;lizarumconceitomaisgeral,quedizaProbabilidadedeXocorrerentreaeb,a<b,é igualàáreada funçãof(.)entreessesdoisvaloreseoeixodasabscissas.

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DistribuiçãoBinomial

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DistribuiçãoBernoulli

ü  Considereumaúnicatenta;vadeumexperimentoaleatório E, com apenas dois resultados possíveis:“sucesso”(eventoA)e“fracasso”(eventoAC).

ü  Seja p a probabilidade de “sucesso” e 1-p aprobabilidadedefracasso.

ü  SejaXavariávelaleatória:númerodesucessosemuma única realização do experimento. Então Xassumeosvalores:

ü  0 (zero), que corresponde ao fracasso, comprobabilidadeq=1-p;

ü  1 (um), que corresponde ao sucesso, comprobabilidadep.

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DistribuiçãoBernoulli(2)

ü  Assim, a variável aleatória X tem distribuição deBernoulli, e sua função de probabilidade é dadapor:

ü  P(X=x)=px(1-p)1-x,x={0,1}.ü  ValoresperadodeX:E(X)=pü  VariânciadeX:Var(X)=p(1-p)

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DistribuiçãoBinomial

Em muitos experimentos aplicados, o que nosinteressaéaprobabilidadedeumeventoocorrerxvezes em n provas (ensaios). Por exemplo, aprobabilidadede5,em20ratos,sobreviverempordeterminadoprazoapóssereminjetadoscomumasubstânciacancerígena;aprobabilidadede60,em200 entrevistados, consumirem um produtoanunciadoemumdeterminadoprogramaetc. Emcadaumdessesexemplos,estamosinteressadosnaprobabilidadedeobter“xsucessosemnensaios”ou,emoutraspalavras,“xsucessose(n–x)falhasemnprovas.”

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DistribuiçãoBinomial(2)

ü  Seja X: o nº de sucessos em n tenta;vasindependentesdeexperimentosdeBernoulli.

ü  Dizemos que X tem distribuição Binomial comparâmetrosnep.

ü  ValoresperadodeX:E(X)=npü  VariânciadeX:Var(X)=np(1-p)

ü  **Mostraraplica;voGeogebra!

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DistribuiçãoBinomial(3)

ü  Exemplo:SejaX:onºdesucessosem20saltosemdistância de um atleta. Suponha que, devido atenta;vas anteriores, sua chance de sucesso sejap=0.1.Calculeasprobabilidades:

ü  a)doatletaconseguirdar5saltoscomsucesso;ü  b)doatletasaltarcomsucessonomáximo5saltos;ü  c) do atleta conseguir saltar com sucesso nomínimo15saltos;

ü  d)Nºesperadodesaltoscomsucesso.