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FISIOLOGIA E BIOMECÂNICA DA ATIVIDADE MOTORA – AVALIAÇÃO E

REABILITAÇÃO

Modelos Matemáticos de Avaliação

Dr. Luciano Luporini MenegaldoE-mail lmeneg@ipt.br

Agrupamento de Sistemas de ControleDivisão de Mecânica e Eletricidade

Instituto de Pesquisas Tecnológicas do Estado de São Paulo - IPT

2

Tópicos a serem abordados:

1) O que é um modelo2) Tipos de modelos matemáticos

em sistemas biomecânicos3) Pesquisa em modelagem e

simulação de sistemas músculo-esqueléticos: um exemplo

3

1) Modelos matemáticos

O que é um modelo?

‣ Uma representação intelectual de um sistema real

Exemplos de modelos:        Representação dos átomos na química        Leis de Newton        Lei dos gases perfeitos        Fisiopatologia

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Um bom modelo:  Funciona? Até que funciona, na

maior parte dos casos.É um conhecimento

verdadeiro? É. Não é mentira.É um conhecimento sempre

aperfeiçoável? Sem dúvida. 

5

Modelo Matemático  É um tipo de modelo em que:

1) Propõe-se um sistema físico equivalente ao sistema real

2) Do sistema físico equivalente se estabelecem equações capazes de descrever o comportamento desse sistema 

6

Exemplos:

 1) Modelos da mecânica

respiratória2) Modelos da contração

muscular3) Modelos de carregamento de

ossos

7

Multiplicidade de modelos:

Sistemas reais admitem múltiplos modelos

Modelos são bons ou ruins para fins específicos

Exemplo: modelos de corpos rígidos para controle de movimento e para análise de tensões em ossos.

8

O que se pode fazer com um modelo?Por que fazer modelos?

– quantificar relações e comportamentos

– projetar intervenções cirúrgicas

– projetar tratamentos fisioterápicos (transferência de calor, exercícios etc.)

9

– projetar tratamentos farmacológicos (quimioterapia, tratamentos de distúrbios neurológicos etc.)

– projetar dispositivos tecnológicos (respiradores artificiais, próteses anatômicas e neurais, órgãos artificiais, trajes etc.)

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Tipos de modelos em sistemas biomecânicos

• Modelos estáticos– Modelos de distribuição de forças– Modelos de elementos finitos

• Modelos cinemáticos– Modelos para laboratório de marcha

(cálculo de ângulos articulares em função das coordenadas dos marcadores

– Modelos geométricos da anatomia

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• Modelos dinâmicos– Dinâmica direta e dinâmica inversa– Cálculo de momentos articulares

• Modelos lineares e não-lineares• Modelos da mecânica muscular

12

Modelos estáticos

• Modelos de distribuição de forças

13

Modelos de elementos finitos

Geração da malha

14

Carregamentoseção transversal da tíbia

15

 Análisede tensões

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Modelos cinemáticos

Modelos para laboratório de marcha (cálculo de ângulos articulares em função

das coordenadas dos marcadores

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 Modelos geométricos e antropométricos

18

Modelos dinâmicos•     Dinâmica direta e dinâmica

inversa•     Cálculo de momentos articulares • Modelos lineares e não-lineares

• Modelos da mecânica muscular

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2a. Parte: Pesquisa em modelagem de sistemas

biomecânicos

Biomecânica e controle da postura humana

Objetivo:• Calcular sinais de excitação neuro-

muscular• capazes de levantar o corpo

humano desde uma posição semi-agachada até a postura ereta

• minimizando uma função de custo

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Com que utilidade?

• Pesquisas básicas em teoria de controle motor

• Estimar o efeito biomecânico e motor de procedimentos cirúrgicos

• Determinar as estratégias ótimas de controle motor que deveriam ser empregadas pelo SNC depois de uma cirurgia, e sugerir procedimentos de fisioterapia

• Determinar padrões ótimos de ativação para Estimulação Elétrica Funcional (FES)

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Modelo biomecânico

a) Sistema de múltiplos corpos rígidos

22

b) Modelo geométrico do membro inferior

Modelo de domínio público desenvolvido por Scott Delp (Univ. Stanford), utilizado no SIMM (Musculographics Inc.), com 40 músculos e 5 articulações

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Articulação Características

Quadril Junta esférica com três graus de liberdade (Delp et al., 1990)

Joelho Junta plana de um grau de liberdade, baseada em Yamaguchi e Zajac (1989). Leva em conta o ponto de contato variável da articulação tíbio-

femoral, a cinemática patelo-femoral e o efeito do aumento do braço de momento do tendão do

quadríceps (Delp et al., 1990) Tornozelo, subtalar e metatarso-falangeal

Modeladas como juntas tipo pino (com um grau de liberdade), com eixos localizados e orientados segundo Inman (1976) com pequenas alterações na orientação da articulação metatarso-falangeal

(Delp et al., 1990)

24

Referenciais posicionados e dimensionados segundo acidentes anatômicos

Transformações cinemáticas: p / referencial inercial no quadril, as coordenadas das origens e inserções musculares são expressas através de uma seqüência de transformações (3 rots., 3 desloc. p/ cada articulação)

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Funções cinemáticas

Exemplo: deslocamento dx da tíbia em função do ângulo de flexão do joelho

-120 -100 -80 -60 -40 -20 0-6

-4

-2

0

2

4

6x 10

-3

â ngulo do joelho

dx,

re

f. tib

ial

26

–Parâmetros antropométricos e coordenadas de origens e inserções determinados a partir de vários cadáveres

• Calculo dos torques musculares

Fr

27

– Relação entre as forças musculares e os torques articulares

– Comprimento do atuador músculo-tendíneo calculado como distância entre origem e inserção considerando os pontos de contorno

n

2

1

n33231

n22221

n11211

F

F

F

rrr

rrr

rrr

28

Ajuste de curvas de regressão múltipla para os braços de momento e comprimento dos atuadores

- músculos agrupados segundo sua dependência das mesmas coordenadas generalizadas

Grupos n. de coord.generalizadas

Músculos

1 3 gmed1, gmed3, gmin1, gmin3, addlong, tfl2 1 gmed2, gmin2,3 3 semimem, semiten, bifemlh, sar, gra4 1 bifemsh, vasint, vaslat, ligpat5 2 adbrev, amag1, pect, gmax1,6 1 gmax2, gmax37 2 iliacus, psoas,8 1 quadfem, gem,9 2 peri10 2 rf11 2 medgas, latgas12 1 sol13 2 tibpost, tibiant, perbrev, perlong, pertert14 3 flexdig, flexhal, extdig, exthal

29

– Geração automática em Matlab dos arquivos de entrada para o SIMM: 20 pontos para cada amplitude de movimento por coordenada generalizada (para 3 coordenadas, 8000 pontos)

– Ajuste de curvas por mínimos quadrados

30

Equações de regressão propostas:

31

Seleção das equações com mínimo erro

Musculo LMT r1 r2 r3

gmed1 2 2 2 2gmed2 1 1 x xgmed3 2 2 1 2gmin1 2 2 2 1gmin2 1 1 x xgmin3 2 2 1 1semimem 2 1 2 1semiten 2 1 2 1bifemlh 1 1 2 1bifemsh 1 1 x xsar 1 1 2 1addlong 2 2 1 1addbrev 4 4 1 xamag1 4 4 1 xamag2 4 4 1 xamag3 4 4 4 xtfl 2 2 2 2pect 4 4 4 x

32

Comprimento do rectus femoris. Real (branco); ajustada (cinza)

33

Braço de momento do rectus femoris (em relação ao quadri)

34

c) Modelo da mecânica muscular

Kpe: elemento elástico paraleloB: amortecimentoC: elemento contrátilkT: rigidez do tendãoLT: comprimento do tendãoLST: comprimento do tendãorelaxado: ângulo de empenamento

cosv~v~k~

F~

.)eq.a1( MMTTT

35

Cálculo da rigidez no tendãoTk~

36

Rigidez normalizada do tendão:

 ~

~,2

~,

~kE

L

GPa

MPa L LT

T

MsT

sT

sT

0

1 1

32

1 37 5

37

Cálculo de

• relações f - l e v - l

Mv~

38

Hipérbole de Hill:

*F~

F~

F~

F~

cos TCEDEPE

 

   

lembrando que

~ ~*F

a

v

a

MeM

1

4

1

4

5

16

~ ~v veM M

~~

~*

*v

a aF

F aeM

M

M

2

4

~~

~va fl aF

F afleM

M

M

2

4

39

Isolando as forças nos elemento contrátil ( ), de rigidez em paralelo e de amortecimento

e substituindo em (*), calcula-se através da solução de uma eq. algébrica de

2o. grau

é imposto pelo movimento

MF~

Mv~

MTv~

40

2a. equação: dinâmica da ativação

onde Tact=1/(k1+k2) e Tdeac=1/k2.

)kuk)(au(dtda 21

41

Equações dinâmicas

d) Equações dinâmicas

,...)F,L~

,k~

,F~

,L~

,a(gF

,...)F,L~

,k~

,F~

,L~

,a(gF,...)F,L

~,k

~,F

~,L

~,a(gF

)a,u(fa

)a,u(fa

)a,u(fa

)x,x,x(

x

x

x

)]x,x,x(C[

x

x

x

rrr

rrr

rrr

]D[)x,x,x(M

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

M0

Ts

TTMTnn

Tn

M0

Ts

TTMT22

T2

M0

Ts

TTMT11

T1

nnnn

2222

1111

32126

25

24

321

n27

1n7

n7

n33231

n22221

n112111

321

6

5

4

n27

8

7

6

5

4

3

2

1

g

42

2) Problema de controle ótimo

- Malha aberta / malha fechada

- Controle ótimo

43

Controle da postura em malha aberta utilizando controle ótimo

Objetivo: levar o modelo proposto de uma condição inicial do agachamento até a postura ereta, minimizando uma função de custo

Os controles obtidos correspondem às excitações de cada músculo ao longo do tempo de simulação

Principal vantagem do controle ótimo: solução do problema da redundância de atuadores

44

O C P

b

a

oox]b,a[),u(

dt)u,x,t(l))b(x,(g),u(fminnm

2,L

]b,a[t

)a(x

)u,x,t(hx

e q u a ç õ e s d i n â m i c a s

c o n d i ç õ e s i n i c i a i s

m,...,1j),t(u)t(u)t(u jmax

jjmin v í n c . d e c o n t r o l e

eiei ,0))b(x,(g qv í n c u l o s d e d e s i g u a l d a d e

eeee ,0))b(x,(g qv í n c u l o s d e i g u a l d a d e

x ( t ) é n x 1 , u ( t ) é m x 1 , l e g s ã o e s c a l a r e s

45

Solução do Problema de controle ótimo

Utilização de Algoritmos de controle ótimo baseados na Teoria das aproximações consistentes (RIOTS)

Diversos problemas numéricos precisaram ser resolvidos

46

6. Alguns resultados

Modelo com 10 atuadores musculares não-lineares

Hipóteses simplificadoras:

1. Contração isométrica

2. Relação força x comprimento constante

3. Seleção de 10 grupos musculares, agrupando os músculos de função e morfologia semelhantes, eliminando músculos com r muito pequeno

Modelo com 10 atuadores musculares não-lineares e braço de momento fixo

Hipóteses simplificadoras: Contração isométrica LMT e rMT constantes, tomados na posição

anatômica Relação força x comprimento constante Mesmos parâmetros para a dinâmica da ativação

em todos os músculos• Seleção de 10 grupos musculares, agrupando os

músculos de função e morfologia semelhantes, eliminando músculos com r muito pequeno

47

48

Testes com tf=0.4 segundos

-Testes com tempos acrescido (aumento de 30% no tempo final, no máximo)-Introdução da metodologia da gravidade variável

Constatações feitas com esse modelo

-Necessidade de escolha criteriosa das tolerâncias de otimização e violação de vínculos-Determinação do método e do nível de refinamento da malha de discretização mais adequados, bem como da ordem das splines-Diminuição da função de custo com o aumento do tempo final

1. Resultados finais

-Modelo: 10 músculos não-lineares e braços de momento variáveis

Resultados com tf = 0.4s

-Gravidade fixa-Verificação de uma solução para um mínimo local com elevados valores da função de custo quando os vínculos de controle eram impostos depois dos vínculos terminais-Impondo progressivamente os vínculos de controle e depois os terminais, foram obtidos os resultados abaixo:

M ú s c u l o g r u p o s M0L L S T M

0F r 1 M0F r 2 M

0F r 3 M0F MTL

g m e d 1 1 0 . 0 5 3 5 8 . 0 0 . 0 7 8 0 5 4 6 - 6 . 8 2 5 0 . 1 2g m e d 2 1 0 . 0 8 4 5 0 . 0 0 . 0 5 3 0 3 8 2 - 8 . 5 9 5 0 . 1 3g m e d 3 1 0 . 0 6 4 3 1 9 . 0 0 . 0 5 3 0 4 3 5 - 1 0 . 8 7 5 0 . 1 1g m 1 0 . 0 6 8 1 9 . 9 3 4 4 0 . 0 5 9 5 1 3 6 3 - 2 6 . 2 9 5 0 . 1 1 9 1s e m i m e m 2 0 . 0 8 0 0 1 5 . 0 0 . 3 5 9 0 1 0 3 0 - 5 6 . 6 5 - 4 1 . 2 0 0 . 4 2s e m i t e n 2 0 . 2 0 1 0 5 . 0 0 . 2 6 2 0 3 2 8 - 2 1 . 3 2 - 1 3 . 7 8 0 . 4 7b i f e m l h 2 0 . 1 0 9 0 0 . 0 0 . 3 4 1 0 7 1 7 - 4 6 . 6 0 5 - 3 9 . 4 3 5 0 . 4 5g m 2 0 . 1 1 0 8 7 . 5 0 2 7 0 . 3 3 6 3 2 0 7 5 - 1 2 4 . 5 8 - 9 4 . 4 1 5 0 . 4 3 9 8b i f e m s h 3 0 . 1 7 3 0 2 3 . 0 0 . 1 0 0 0 4 0 2 - 2 0 . 1 0 0 . 2 1g m 3 0 . 1 7 3 0 2 3 . 0 0 . 1 0 0 0 4 0 2 - 2 0 . 1 0 0 . 2 1g m a x 1 4 0 . 1 4 2 0 5 . 0 0 . 1 2 5 0 3 8 2 - 1 5 . 2 8 0 . 2 0g m a x 2 4 0 . 1 4 7 0 0 . 0 0 . 1 2 7 0 5 4 6 - 2 7 . 3 0 0 . 2 1g m a x 3 4 0 . 1 4 4 0 5 . 0 0 . 1 4 5 0 3 6 8 - 2 5 . 7 6 0 . 2 4g m 4 0 . 1 4 4 8 3 . 0 0 2 6 0 . 1 3 3 3 1 2 9 6 - 6 8 . 3 4 0 . 2 1 9 1i l ia c u s 5 0 . 1 0 0 0 7 . 0 0 . 0 9 0 0 4 2 9 1 5 . 4 4 0 . 2 0p s o a s 5 0 . 1 0 4 0 8 . 0 0 . 1 3 0 0 3 7 1 1 2 . 6 1 0 . 2 6g m 5 0 . 1 0 1 8 7 . 4 4 9 6 0 . 1 0 8 0 8 0 0 2 8 . 0 5 0 . 2 2 7 0r f 6 0 . 0 8 4 0 5 . 0 0 . 3 4 6 0 7 7 9 3 6 . 6 1 2 2 . 9 8 0 . 4 5g m 6 0 . 0 8 4 0 5 . 0 0 . 3 4 6 0 7 7 9 3 6 . 6 1 2 2 . 9 8 0 . 4 5v a s m e d 7 0 . 0 8 9 0 5 . 0 0 . 1 2 6 0 1 2 9 4 4 0 . 8 9 0 . 2 3v a s i n t 7 0 . 0 8 7 0 3 . 0 0 . 1 3 6 0 1 3 6 5 4 0 . 9 5 0 . 2 5v a s l a t 7 0 . 0 8 4 0 5 . 0 0 . 1 5 7 0 1 8 7 1 5 7 . 0 6 0 . 2 6g m 7 0 . 0 8 5 7 4 . 3 7 8 8 0 . 1 4 0 7 4 5 3 0 1 3 9 . 9 0 0 . 2 4 6 4m e d g a s 8 0 . 0 4 5 0 1 7 . 0 0 . 4 0 8 0 1 1 1 3 - 1 6 . 6 9 - 4 3 . 9 6 0 . 4 1l a tg a s 8 0 . 0 6 4 0 8 . 0 0 . 3 8 5 0 4 8 8 - 6 . 1 0 - 1 9 . 7 6 0 . 4 1g m 8 0 . 0 5 0 7 1 4 . 3 0 9 7 0 . 4 0 1 1 1 6 0 1 - 2 2 . 7 9 - 6 3 . 7 2 0 . 4 1s o l 9 0 . 0 3 0 0 2 5 . 0 0 . 2 8 6 0 2 8 3 9 - 1 0 9 . 0 2 0 . 3 0t i b p o s t 9 0 . 0 3 1 0 1 2 . 0 0 . 3 1 0 0 1 2 7 0 - 1 2 . 7 0 0 . 3 5g m 9 0 . 0 3 0 1 2 3 . 6 4 3 6 0 . 2 8 8 5 4 1 0 9 - 1 2 1 . 7 2 0 . 3 0 5 2t i b a n t 1 0 0 . 0 9 8 0 5 . 0 0 . 2 2 3 0 6 0 3 2 5 . 6 9 0 . 3 0p e r l o n g 1 0 0 . 0 4 9 0 1 0 . 0 0 . 3 4 5 0 7 5 4 6 . 0 3 0 . 4 0e x t d i g 1 0 0 . 1 0 2 0 8 . 0 0 . 3 4 5 0 3 4 1 1 3 . 6 4 0 . 4 4e x t h a l 1 0 0 . 1 1 1 0 6 . 0 0 . 3 0 5 0 1 0 8 4 . 5 4 0 . 4 0g m 1 0 0 . 1 0 0 6 6 . 0 3 6 2 0 . 2 6 4 9 1 0 5 2 4 3 . 8 7 0 . 3 5 3 9

49

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4-3

-2

-1

0

1

2

3trajetória resp13-12-3

x, x

p (

rad

)

t(s)

perna coxa tronco vel. perna vel. coxa vel. tronco

50

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1controle ótimo resp13-12-3

u(t

)

t(s)

gmed sm,st,bflh bfsh gmax ilipsoas rf vas gas sol,tip ta,pl,exd,exh

51

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7ativações resp13-12-3

a(t

)

t(s)

gmed sm,st,bflh bfsh gmax ilipsoas rf vas gas sol,tip ta,pl,exd,exh

52

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.40

500

1000

1500

2000

2500forças resp13-12-3

F(N

)

t(s)

gmed sm,st,bflh bfsh gmax ilipsoas rf vas gas sol,tip ta,pl,exd,exh

53

54

Resultados com tf = 1.0s e gravidade variável

- Gravidade: 2 m/s2 4 m/s2 6 m/s2 8 m/s2

9 m/s2 9.81 m/s2

- Tempo total de 1 s de simulação: +- 30 dias de CPU e 490 MB RAM Pentium 600 MHz

55

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2trajetória resp8-1-1

x, x

p (

rad

)

t(s)

perna coxa tronco vel. perna vel. coxa vel. tronco

56

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5controle ótimo resp8-1-1

u(t

)

t(s)

gmed sm,st,bflh bfsh gmax ilipsoas rf vas gas sol,tip ta,pl,exd,exh

57

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5ativações resp8-1-1

a(t

)

t(s)

gmed sm,st,bflh bfsh gmax ilipsoas rf vas gas sol,tip ta,pl,exd,exh

58

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

500

1000

1500

2000

2500forças resp8-1-1

F(N

)

t(s)

gmed sm,st,bflh bfsh gmax ilipsoas rf vas gas sol,tip ta,pl,exd,exh

59

60

-Padrões de excitação semelhantes ao caso anterior

-Níveis de u(t), a(t) e F(t) mais baixos

-Velocidades máximas inferiores

-Queda no início do movimento mais pronunciada

-Oscilação maior do tronco

61

Trabalhos futuros

1. Novas funções de custo como, por exemplo, a maximização da altura do centro de massa.

2. Realizar estudos do movimento de levantar de uma cadeira e da marcha

62

3. Introduzir no modelo biomecânico expressões de momento passivo gerado por ligamentos do joelho

4. Formulação de protocolos para levantamento de parâmetros antropométricos individuais

63

3) Projetos em andamento

1. Comprovação experimental dos resultados através de laboratório de marcha e análise de padrões EMG (Temático FAPESP / IOT)

2. Nova versão do RIOTS: CAOS (Consistent Approximations Optimal control Solver)