1. Introdução

A forma de modelar e representar os fenômenos geográficos no computador depende desua percepção na forma de entidades discretas (objetos) ou campos contínuos.

Quando lidamos com fenômenos onde temos um valor definido para uma ou mais variáveisde observação em toda localização possível do espaço, estamos compreendendo talfenômeno como um campo contínuo. Elevação, temperatura de superfície, risco de incêndiona vegetação, e radiância da superfície são exemplos de campos contínuos.

Quando percebemos o fenômeno em questão por objetos com fronteiras bem definidas epertencentes a uma certa categoria, estamos compreendendo esse fenômeno comoentidades discretas. Unidades de conservação estadual e federal, organização territorial,arruamento, trechos rodoviários, escolas, hospitais, linhas de transmissão de energiaelétrica, são alguns exemplos de entidades discretas.

Para representar os dados dessas duas formas de conceitualização do espaço geográfico,em geral, utilizamos a representação matricial para fenômenos modelados como camposcontínuos, e a representação vetorial para entidades discretas.

Nesta parte da aula estamos interessados na representação vetorial dos dados.

As entidades codificadas usando dados vetoriais são usualmente chamadas de feições (oufeatures). Nesse contexto, uma feição pode ser representada computacionalmente pordiversas características, as quais chamamos de atributos da feição. Um atributo possui umnome, sendo associado a um determinado tipo de dado, como um número, uma sequênciade caracteres (texto), ou uma data.

Além dos atributos alfanuméricos, uma feição é descrita por um ou mais atributosgeométricos, associados a um tipo de dado geométrico. Um tipo de dado geométrico écapaz de representar elementos geométricos primitivos tais como pontos, linhas e polígonosou coleções desses elementos.

A Figura 1 apresenta alguns tipos de objetos geográficos representados por feições comrepresentações geométricas de pontos (hidrelétricas e termoelétricas), linhas (logradouros) epolígonos (municípios brasileiros).

Figura 1 - Representação de feições geográficas através de objetos geométricos.

Hidrelétricas/Termoelétricas Logradouros Municípios

1.1. Tipos Geométricos

Atualmente, o modelo geométrico e as operações espaciais encontradas nos diversossistemas geoespaciais são baseados na especificação conhecida por OGC Simple Feature(Herring, 2011). Essa especificação padroniza o nome e as definições dos tipos geométricosbem como a semântica das operações espaciais, em especial, os relacionamentos espaciais(ou topológicos). Iremos nos referir a essa especificação com a sigla OGC-SFS.

A Figura 2 , abaixo, apresenta o modelo geométrico definido na OGC-SFS.

Figura 2 - Diagrama de classes do modelo geométrico da OGC Simple Feature.Fonte: Adaptado de Herring (2011).

Como pode ser observado, são definidas classes para representações de objetosgeométricos na forma de pontos, curvas, superfícies e coleções geométricas. Além disso,todos os tipos geométricos estão associados a um sistema de referência espacial, que éusado para descrever o sistema de coordenadas no qual o objeto geométrico encontra-sedefinido.

Os objetos geométricos definidos por essa hierarquia de classes pode existir no espaço , ou . Geometrias no possuem pontos com valores de coordenadas em e .

Geometrias no possuem pontos com valores de coordenadas em , e ou , e .Geometrias no possuem pontos com valores de coordenadas em , , e . Em geral, acoordenada representa algum tipo de medida.

A Figura 3 ilustra graficamente objetos associados aos tipos geométricos representadospelas classes do diagrama da Figura 2 .

R2

R3 R4 R2 x yR3 x y z x y mR4 x y z m

m

Figura 3 - Exemplos dos tipos geométricos da OGC-SFS.

(a) Point (b) LineString (c) LinearRing

(d) Polygon (e) Polygon (comburacos/ilhas) (f) MultiPoint

(g) MultiLineString (h) MultiPolygon (i) GeometryCollection

O tipo Point ( Figuras 2 e 3a ) representa pontos no espaço , ou . Um pontoé um objeto geométrico -dimensional (dimensão topológica), isto é, não possuicumprimento, largura, altura, ou volume, representando uma única localização no sistema decoordenadas. A fronteira de um ponto é o conjunto vazio. Em geral, utilizamos esse tipo degeometria para representar atributos de feições associadas a ocorrências ou eventos, comoincidência de crimes ou doenças.

R2 R3 R4

0

O tipo Curve ( Figuras 2 ) representa a imagem contínua de uma linha. Uma curva é umobjeto geométrico -dimensional (dimensão topológica), isto é, possui cumprimento masnão possui largura, altura, ou volume. Em geral, utilizamos elementos geométricos dassubclasses de Curve para representar entidades lineares tais como rodovias, linhas detransmissão de energia elétrica, dutos, arruamentos, entre outras. Uma curva pode contercoordenadas com ou .

A subclasse LineString representa linhas com interpolação linear entre pontosconsecutivos ( Figuras 2 e 3b ). A fronteira de uma linha aberta é definida como sendoos pontos extremos dessa linha. O primeiro ponto é chamado de ponto inicial (start point) e oúltimo ponto da sequência, ponto final (end point).

A subclasse LinearRing representa linhas fechadas, denominadas anéis, cujo pontoinicial e final são coincidentes ( Figuras 2 e 3c ). A fronteira de um anél é definida comoo conjunto vazio. Essa classe é o bloco básico para construção de polígonos (classe Polygon ).

1

m z

O tipo Surface representa objetos geométricos -dimensionais (dimensão topológica),isto é, objetos que possuem área (largura e altura) mas não possuem volume. Esse tipogeométrico pode ser utilizado para representar entidades discretas como áreas de cultivo,unidades de conservação florestal, divisões territoriais, entre outras.

A subclasse Polygon representa polígonos que podem ser formados por um anel externoe zero ou mais anéis internos (buracos ou ilhas). A Figura 3d representa um polígonoformado apenas por um anel, que é o anel externo. O polígono mostrado na Figura 3erepresenta um polígono formado por um anel externo e um anel interno. A fronteira de umpolígono é definida como sendo o conjunto de todos os anéis que o delimitam.

2

O diagrama da Figura 2 ainda contém classes que representam coleções de geometrias.As classes MultiPoint , MultiLineString e MultiPolygon representam,respectivamente, coleções homogêneas de pontos ( Figura 3f ), linhas ( Figura 3g ) epolígonos ( Figura 3h ). A classe GeometryCollection representa coleçõesgeométricas formadas por qualquer combinação de outros elementos geométricos, inclusivedas coleções homogêneas. A coleção heterogênea mostrada na Figura 3i é compostade um polígono, uma linha e um ponto.

Em geral, o tipo GeometryCollection é introduzido nos sistemas para acomodar oresultado de operações espaciais complexas sobre os tipos de geometria elementares. Porexemplo, o resultado da operação de interseção entre dois polígonos pode resultar em umconjunto de pontos, linhas e polígonos, de forma que é necessário um contêiner especialpara acomodar esse resultado.

O documento da OGC-SFS define também o conjunto de operações sobre os tiposgeométricos do diagrama da Figura 2 . A seção a seguir irá detalhar as operações quepossibilitam determinar os relacionamentos espaciais entre objetos espaciais. Na seção 4iremos discutir em detalhes outras operações, como as de análise espacial (conjunto ebuffer) e métricas.

1.2. Relacionamentos Espaciais

Entre as operações definidas na OGC-SFS, existe um conjunto que merece uma atençãoespecial: os operadores topológicos. Esses operadores são extensivamente utilizados naconstrução de consultas espaciais envolvendo o relacionamento espacial entre objetosgeográficos.

1.2.1. Matriz de 9-intersecções Estendida DimensionalmenteOs relacionamentos espaciais são definidos com base no paradigma da Matriz de 9-Intersecções Estendida Dimensionalmente ( DE-9IM ) proposto por Clementini et al.(1993). A abordagem básica desse método consiste em comparar dois objetos geométricosatravés de testes com a intersecção entre seus interiores, fronteiras e exteriores. Destaforma, podemos construir uma matrix como a mostrada abaixo:3 × 3

Interior(B) Fronteira(B) Exterior(B)

Interior(A) dim(I(A) ∩ I(B)) dim(I(A) ∩ F(B)) dim(I(A) ∩ E(B))

Fonteira(A) dim(F(A) ∩ I(B)) dim(F(A) ∩ F(B)) dim(F(A) ∩ E(B))

Exterior(A) dim(E(A) ∩ I(B)) dim(E(A) ∩ F(B)) dim(E(A) ∩ E(B))

Na matriz acima, , e refere-se, respectivamente, ao interior, fronteira eexterior do objeto . De maneira análoga, , e refere-se, respectivamente, aointerior, fronteira e exterior do objeto .

A dimensionalidade máxima dos objetos resultantes da intersecção dos componentesavaliados, , pode ser:

: Caso os componentes não tenham intersecção. Adotaremos o valor para estecaso.

: Se a intersecção dos componentes resulta em um ponto.

: Se a intersecção dos componentes resulta em alguma curva.

: Se a intersecção dos componentes resulta em alguma superfície. Adotaremostambém o termo Área ou Região como sinônimos.

I(A) F(A) E(A)A I(B) F(B) E(B)

B

dim(x)

∅ −1

0

1

2

A Figura 4 ilustra cada um dos componentes dos tipos de objetos geométricos definidosna OGC-SFS.

Figura 4 - Interior, fronteira e exterior dos diversos tipos geométricos.

(a) I e E Ponto (b) I e E Coleção Pontos (c) I, F e E Curva Aberta

(d) I e E Curva Fechada (e) I, F e E Coleção CurvasAbertas (f) I e E Coleção Curvas Abertas

(g) I, F e E Polígono (h) I, F e E Coleção Polígonos (i) I, F e E Coleção Geom.

A fronteira de um objeto geométrico é formada por um conjunto de objetos geométricos deuma dimensão abaixo do objeto em questão.

Assim, a fronteira de um objeto do tipo ponto ( Point ) é o conjunto vazio, uma vez que umponto é um objeto 0 -dimensional (dimensão topológica). Observe na Figura 4a que nocaso de um ponto, temos apenas a definição de seu interior, destacado em azul escuro, eseu exterior, representado pela região em vermelho. Portanto, o interior de um ponto é umobjeto 0 -dimensional e seu exterior, um objeto 2 -dimensional.

Um objeto geométrico do tipo MultiPoint , que também é 0 -dimensional, tem suafronteira definida como o conjunto vazio. O interior é formado pelos próprios pontos dacoleção, destacados em azul escuro na Figura 4b , e o exterior é região destacada emvermelho nessa figura.

A fronteira de uma curva aberta ( Curve ) consiste nos pontos inicial e final dessa curva. A Figura 4c mostra uma exemplo de curva aberta, onde os pontos destacados em verde

formam a fronteira dessa curva. Portanto, a fronteira de uma curva aberta é um conjunto deobjetos geométricos 0 -dimensional. O interior de uma curva aberta é formado pelosinfinitos pontos de sua imagem, exceto os pontos da fronteira. Na Figura 4c , a linha emazul escuro corresponde ao interior da curva, que é um objeto geométrico 1 -dimensional. Oexterior da curva é representado pela região em vermelho que não contém os pontos dafronteira e do interior da curva.

A fronteira de uma curva fechada ( Curve ) é o conjunto vazio. A Figura 4d mostra umexemplo de curva fechada. Nessa figura, podemos observar que o interior é formado portodos os pontos da curva, incluindo os pontos inicial e final, formando um objeto geométrico 1 -dimensional. O exterior de uma curva fechada é uma região, um objeto 2 -dimensional,

destacado em vermelho nessa figura.

A fronteira de uma coleção de curvas ( MultiCurve ) consiste nos pontos na fronteira deum número ímpar de elementos da curva. A Figura 4e mostra um exemplo de coleção decurvas abertas. Repare que os pontos destacados em verde formam a fronteira dessa curva,enquanto os pontos sobre as imagens das linhas, destacados em azul escuro, forma seusinteriores e seu exterior é destacado pela região em vermelho. A Figura 4f ilustra a regrade que os pontos da fronteira devem pertencer a um número ímpar de elementos da curva.

Uma coleção de curvas ( MultiCurve ) é dita fechada se todos os seus elementos sãofechados, consequentemente, a fronteira de uma coleção de curvas fechadas é o conjuntovazio.

A fronteira de um polígono ( Polygon ) consiste no seu conjunto de anéis ( LinearRing ).A Figura 4g ilustra esse caso. Repare que o exterior de um polígono com buraco édesconectado.

A fronteira de uma coleção de polígonos ( MultiPolygon ) consiste no conjunto de anéis( LinearRing ) de seus polígonos ( Polygon ) ( Figura 4h ).

A fronteira de um conjunto de objetos geométricos heterogêneos ( GeometryCollection )cujo os interiores dos seus elementos são disjuntos, consiste nos objetos geométricos dasfronteiras desses elementos obedecendo à regra de que os pontos devem pertencer a umnúmero ímpar de elementos ( Figura 4i ).

Vamos considerar os objetos geométricos apresentados na Figura 5 . Podemosestabelecer o seguinte:

: área mostrada em azul claro.: formada por um único anel (externo), em azul escuro.: é definido como toda a região do espaço que não compreenda a fronteira e o

interior de .

De maneira análoga:

: área mostrada em laranja claro.: formada por um único anel (externo), em laranja escuro.: é definido como toda a região do espaço que não compreenda a fronteira e o

interior de .

I(A)F(A)E(A)

A

I(B)F(B)E(B)

B

Figura 5 - Configuração espacial de dois objetos geométricos e .A B

O relacionamento espacial definido por e segundo a matriz de intersecções é aseguinte:

A B

Interior(B) Fronteira(B) Exterior(B)

Interior(A) 2 1 2

Fonteira(A) 1 0 1

Exterior(A) 2 1 2

A matriz acima foi definida considerando:

Os interiores de e são regiões, isto é, objetos -dimensional. A intersecção dessesdois componentes forma uma nova região, a área em vermelho na Figura 6a , quetambém é um objeto -dimensional. Logo, a .

A fronteira de é formada por um anel (laranja), um objeto -dimensional. A intersecçãoentre e a forma uma linha, destacada em vermelho na Figura 6b , que éum objeto -dimensional. Logo, a .

O exterior de é uma região. A intersecção do e o forma a área destacadaem vermelho da Figura 6c . Logo, a .

A fronteira de é formada por um anel (azul). A intersecção entre e o formauma linha, destacada em vermelho na Figura 6d , que é um objeto -dimensional.Logo, a .

A intersecção entre as fronteiras de e são os pontos mostrados em vermelho na Figura 6e . Como um ponto é um objeto -dimensional, a .

A intersecção entre a fronteira de e o exterior de forma a linha mostrada na Figura 6f . Logo, a .

A intersecção entre exterior de e interior de forma uma área ( Figura 6g ). Logo, a .

A intersecção entre exterior de e fronteira de forma a linha mostrada na Figura 6h . Logo, a .

A interseção entre os exteriores de e formam uma área ( Figura 6i ). Logo, a .

A B 2

2 dim(I(A) ∩ I(B)) = 2

B 1I(A) F(B)1 dim(I(A) ∩ F(B)) = 1

B I(A) E(B)dim(I(A) ∩ E(B)) = 2

A F(A) I(B)1

dim(F(A) ∩ I(B)) = 1

A B0 dim(F(A) ∩ F(B)) = 0

A Bdim(F(A) ∩ E(B)) = 1

A Bdim(E(A) ∩ I(B)) = 2

A Bdim(E(A) ∩ F(B)) = 1

A Bdim(E(A) ∩ E(B)) = 2

Figura 6 - Intersecção entre os componentes dos objetos e .

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

(g) (h) (i)

A B

I(A) ∩ I(B) I(A) ∩ F(B) I(A) ∩ E(B)

F(A) ∩ I(B) F(A) ∩ F(B) F(A) ∩ E(B)

E(A) ∩ I(B) E(A) ∩ F(B) E(A) ∩ E(B)

1.2.2. Operador RelateEm geral, os ambientes computacionais que dão suporte a OGC-SFS, introduzem umafunção chamada Relate que permite determinar a matriz de intersecções ou testar se doisobjetos satisfazem um determinado padrão dessa matriz. Assim, tanto em Python quanto emC++, ou Java, ou em SQL, é possível testar o relacionamento espacial entre dois objetos.

O exemplo abaixo mostra como seria o uso dessa função para saber o relacionamentoespacial entre dois polígonos hipotéticos:

A = Polygon(...)B = Polygon(...)

M = Relate(A, B)

Nesse caso, M é a matriz resultante do relacionamento espacial entre A e B . Se A e Bforem os polígonos mostrados na Figura 5 , teríamos M codificado como a seguinte string : "212101212" .

O próximo exemplo mostra como seria a utlização da função Relate para saber se doisobjetos A e B satisfazem um padrão específico da matriz de intersecções:

A = Polygon(...)B = Polygon(...)

M = "212101212"

resultado = Relate(A, B, M)

Nesse caso, M é a matriz com o padrão que desejamos verificar se os objetos A e Bsatisfazem. Se A e B forem os polígonos mostrados na Figura 5 , essa função retornao valor booleano True .

1.2.3. Relacionamentos Espaciais NomeadosPara facilitar a construção de predicados topológicos nas consultas espaciais existe umconjunto de 8 operadores com nomes bem definidos que são baseados na sobrecarga dealguns padrões da matriz de intersecções. Os operadores nomeados são: Equals, Disjoint,Intersects, Touches, Crosses, Within, Contains, e Overlaps. Esses operadores comparampares de geometrias e são definidos utilizando os seguintes valores para as células da matrizde intersecções:

T : indica que , ou seja, . Em outras palavras, o resultado daintersecção é um objeto que pode ser qualquer elemento geométrico (ponto, curva ousuperfície).

F : indica que , ou seja, . Em outras palavras, o resultado daintersecção é um conjunto vazio. Adotaremos que , demaneira que usaremos quando necessário para indicar que a intersecção é vazia.

* : indica que , ou seja, não importa se há ou não intersecção.

0 : indica que , ou seja, que a dimensão máxima do elemento geométricoresultante da intersecção é zero, isto é, um ponto.

1 : indica que , ou seja, que a dimensão máxima do elemento geométricoresultante da intersecção é uma curva.

2 : indica que , ou seja, que a dimensão máxima do elemento geométricoresultante da intersecção é uma superfície (ou área).

Além disso, em alguns casos diferenciamos os padrões pelos tipos de objetos testados.Usamos a seguinte nomenclatura para os tipos de objetos:

Pontuais ou P : pontos e coleções homogêneas de pontos.

Curvas ou L : linhas, anéis, ou coleções homogêneas de linhas.

Superfícies ou A : polígonos ou coleções homogêneas de polígonos.

dim(x) ∈ {0, 1, 2} x ≠∅x

dim(x) = ∅ x = ∅dim(x) = ∅ ⟹ dim(x) = −1

−1

dim(x) ∈ {−1, 0, 1, 2}

dim(x) = 0

dim(x) = 1

dim(x) = 2

Retorna verdadeiro ( True ) se as duas geometrias são espacialmente iguais. Neste caso, amatriz de intersecção para as duas geometrias deve satisfazer o seguinte padrão:

Pela matriz acima, o relacionamento Equals garante que os interiores das duasgeometrias tenham intesecção e que os interiores e fronteiras de um objeto não tenhaintersecção com o exterior do outro.

A Figura 7 apresenta alguns pares de objetos que satisfazem o relacionamento espacial Equals , de acordo com o padrão mostrado acima:

Figura 7 - e são geometrias espacialmente iguais.

(a) (b) (c)

Observação: No caso dos pares de geometrias serem curvas/curvas ousuperfícies/superfícies, mesmo que número de pontos desses objetos sejam diferentes, orelacionamento Equals pode ser verdadeiro.

Equ als(Geometry,Geometry) → bool

Interior(B) Fronteira(B) Exterior(B)

Interior(A) T F F

Fonteira(A) F T F

Exterior(A) F F T

A B

Retorna verdadeiro ( True ) se as duas geometrias não possuem qualquer tipo de interaçãoespacial, isto é, se os interiores e fronteiras não possuem qualquer intersecção, exceto comos exteriores. Neste caso, a matriz de intersecção para as duas geometrias deve satisfazer oseguinte padrão:

A matriz acima define que no relacionamento Disjoint nem a fronteira, nem o interior deum objeto possui intersecção com a fronteira ou interior do outro objeto.

A Figura 8 apresenta alguns pares de objetos que satisfazem o relacionamento espacial Disjoint , de acordo com o padrão mostrado acima:

Figura 8 - e são geometrias espacialmente disjuntas.

(a) (b) (c)

Disjoint(Geometry,Geometry) → bool

Interior(B) Fronteira(B) Exterior(B)

Interior(A) F F ∗

Fonteira(A) F F ∗

Exterior(A) ∗ ∗ ∗

A B

Retorna verdadeiro ( True ) se as duas geometrias se tocam. Este relacionamento espacial édefinido para os casos onde os pares de objetos geométricos correspondem a A/A, L/L, L/A,P/A e P/L. Este relacionamento não se aplica no caso dos objetos serem do tipo P/P.

Se os pares de objetos satisfizerem um dos três padrões mostrados abaixo, dizemos que ageometria toca a geometria :

Os três padrões acima estabelecem que os objetos não podem ter intersecção entre seusinteriores, mas podem ter intersecção entre as fronteiras ou entre a fronteira de um e ointerior do outro.

A Figura 8 apresenta alguns pares de objetos que satisfazem o relacionamento espacial Touches , de acordo com os padrões mostrados acima:

Figura 8 - e são geometrias que se tocam.

(a) (b) (c) (d)

Tou ches(Geometry,Geometry) → Bool

A B

Interior(B) Fronteira(B) Exterior(B)

Interior(A) F T ∗

Fonteira(A) ∗ ∗ ∗

Exterior(A) ∗ ∗ ∗

Interior(B) Fronteira(B) Exterior(B)

Interior(A) F ∗ ∗

Fonteira(A) T ∗ ∗

Exterior(A) ∗ ∗ ∗

Interior(B) Fronteira(B) Exterior(B)

Interior(A) F ∗ ∗

Fonteira(A) ∗ T ∗

Exterior(A) ∗ ∗ ∗

A B

Retorna verdadeiro ( True ) se a primeira geometria cruza a segunda. Este relacionamentoespacial é definido para os casos P/L, P/A, L/L e L/A.

O resultado da intersecção entre duas geometrias deve gerar uma outra de dimensão umnível menor do que a maior dimensão das geometrias envolvidas e os interiores devem terintersecção.

Nos casos P/L, P/A, ou L/A:

No caso L/L:

A Figura 9 apresenta alguns pares de objetos que satisfazem o relacionamento espacial Crosses , de acordo com os padrões mostrados acima:

Figura 9 - e são geometrias que se cruzam.

(a) (b) (c) (d)

Crosses(Geometry,Geometry) → bool

Interior(B) Fronteira(B) Exterior(B)

Interior(A) T ∗ T

Fonteira(A) ∗ ∗ ∗

Exterior(A) ∗ ∗ ∗

Interior(B) Fronteira(B) Exterior(B)

Interior(A) 0 ∗ ∗

Fonteira(A) ∗ ∗ ∗

Exterior(A) ∗ ∗ ∗

A B

Retorna verdadeiro ( True ) se a primeira geometria está dentro da segunda e se elas nãosão iguais.

O padrão da matriz para este relacionamento espacial é o seguinte:

A matriz acima define que o predicado Within retorna True quando os interiores dasduas geometrias possuem intersecção e quando o interior e a fronteira do objeto A não têmintersecção com o exterior de B. O uso do padrão * nas demais células indica quenenhuma outra condição importa para determinar este relacionamento.

A Figura 10 apresenta alguns pares de objetos que satisfazem o relacionamento espacialWithin , de acordo com os padrões mostrados acima:

Figura 10 - A geometria está dentro da geometria .

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

Within(Geometry,Geometry) → bool

Interior(B) Fronteira(B) Exterior(B)

Interior(A) T ∗ F

Fonteira(A) ∗ ∗ F

Exterior(A) ∗ ∗ ∗

A B

Retorna verdadeiro ( True ) se a primeira geometria contém a segunda e se elas não sãoiguais. Este relacionamento espacial é o inverso de Within , de maneira que temos:

A matriz de intersecções do predicado Contains é a seguinte:

Na matriz acima podemos observar que o interior das duas geometrias devem terintersecção e que a fronteira e interior da segunda ( ) não pode ter intersecção com oexterior da primeira ( ).

Contains(GeometryA,GeometryB) → bool

Contains(A,B) ⟺ Within(B,A)

Interior(B) Fronteira(B) Exterior(B)

Interior(A) T ∗ ∗

Fonteira(A) ∗ ∗ ∗

Exterior(A) F F ∗

BA

Retorna verdadeiro ( True ) se a primeira geometria sobrepõe a segunda. Esterelacionamento espacial é definido para os casos A/A, L/L e P/P. Em outras palavras, esterelacionamento só é válido para geometrias de mesma dimensão e se a intersecção entreelas resultar em um objeto de mesma dimensão.

No caso P/P ou A/A, o predicado Overlap retorna True se o interior das duas geometriapossuem intersecção e se o interior de uma faz intersecção com o exterior da outra e vice-versa. Este relacionamento é definido através do seguinte padrão:

No caso L/L, a intersecção deve resultar em um objeto -dimensional. Assim, temos oseguinte padrão de matriz:

A Figura 11 apresenta alguns pares de objetos que satisfazem o relacionamento espacialOverlaps , de acordo com os padrões mostrados acima:

Figura 11 - A geometria sobrepõe a geometria .

(a) (b) (c)

Overlaps(Geometry,Geometry) → bool

Interior(B) Fronteira(B) Exterior(B)

Interior(A) T ∗ T

Fonteira(A) ∗ ∗ ∗

Exterior(A) T ∗ ∗

1

Interior(B) Fronteira(B) Exterior(B)

Interior(A) 1 ∗ T

Fonteira(A) ∗ ∗ ∗

Exterior(A) T ∗ ∗

A B

Retorna verdadeiro ( True ) se as duas geometrias tiverem algum tipo de interação espacial,isto é, se os interiores e fronteiras tiverem qualquer intersecção. Este relacionamentoespacial é definido como sendo a negação do relacionamento Disjoint :

Na verdade esse relacionamento diz que as geometrias e podem se tocar, ou cruzar, ousobrepor, ou uma estar contida uma na outra, ou serem iguais. Define-se esterelacionamento para facilitar a escrita de expressões com predicados espaciais.

Portanto, o predicado Intersects retorna True se os interiores das duas geometrias seintersectam:

Se as fronteiras das duas geometrias se intersectam:

Se o interior da primeira intersecta a fronteira da segunda:

Ou se a fronteira da primeira intersecta o interior da segunda:

Intersects(Geometry,Geometry) → bool

Intersects(A,B) ⟺ ¬Disjoint(A,B)

A B

Interior(B) Fronteira(B) Exterior(B)

Interior(A) T ∗ ∗

Fonteira(A) ∗ ∗ ∗

Exterior(A) ∗ ∗ ∗

Interior(B) Fronteira(B) Exterior(B)

Interior(A) ∗ ∗ ∗

Fonteira(A) ∗ T ∗

Exterior(A) ∗ ∗ ∗

Interior(B) Fronteira(B) Exterior(B)

Interior(A) ∗ T ∗

Fonteira(A) ∗ ∗ ∗

Exterior(A) ∗ ∗ ∗

Interior(B) Fronteira(B) Exterior(B)

Interior(A) ∗ ∗ ∗

Fonteira(A) T ∗ ∗

Exterior(A) ∗ ∗ ∗