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DISCIPLINA: ELEMENTOS DE MATEMÁTICA AVANÇADA

UNIDADE 3: ÁLGEBRA LINEAR. OPERADORES

OBJETIVOS: Ao final desta unidade você deverá:

- identificar operadores ortogonais e unitários e conhecer as suas propriedades;

- identificar operadores simétricos e hermitianos e conhecer as suas propriedades;

- resolver problemas de autovalores e autovetores de matrizes e operadores.

1 INTRODUÇÃO

Nesta unidade, definiremos e estudaremos operadores ortogonais, unitários,

simétricos e hermitianos a partir de suas propriedades e das propriedades das

matrizes desses operadores em bases ortogonais com vários exemplos. Também

abordaremos o problema de autovalores e autovetores de matrizes e operadores.

Definiremos o polinômio e a equação característica e veremos a sua relação com o

problema de diagonalização de matrizes e operadores.

2 OPERADORES ORTOGONAIS, UNITÁRIOS,

SIMÉTRICOS E HERMITIANOS.

Estudaremos nesta seção um tipo especial de transformações lineares

definidas sobre espaços com produto interno. Elas possuem propriedades que fazem

com que elas sejam de muita utilidade em aplicações físicas. Na linguagem utilizada

na Mecânica Quântica, usa-se o termo operador ao invés de transformação linear,

embora representem o mesmo objeto matemático. De agora em diante, é assim que

chamaremos as transformações lineares: operadores.

2.1 Algumas Definições

2.1.1 Operadores ortogonais e unitários:

Seja um espaço de Hilbert e um operador. Esse operador é

chamado de ortogonal (no caso ), ou unitário (no caso ), desde que

preserve o produto interno. Isso quer dizer que vale que

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Exemplo 1: Seja a rotação definida na unidade anterior, tal

que, se

, então

Se tomarmos um vetor

, e aplicamos a rotação, obtemos:

Para ver que é ortogonal devemos mostrar que .

Aplicando a definição de produto interno nesse espaço, juntamente com a definição

de , vemos que

Desse modo podemos afirmar que o operador é ortogonal pois, como acabamos

de ver, preserva o produto interno.

Exemplo 2: Seja tal que

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Para ver se esse operador é realmente unitário, vamos calcular

portanto, como , podemos afirmar que é um operador unitário. É

fácil ver que como consequência da preservação do produto interno dos operadores

unitários, eles também preservam a norma de um vetor, a distância entre vetores, e

o ângulo entre vetores. Isso quer dizer que:

onde é o ângulo entre e .

Exemplo 3: Seja o operador unitário do exemplo anterior e

seja e

, vamos ver que , assim:

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Por outro lado, temos que

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Portanto verificamos que . Deixamos para o leitor interessado verificar

que . Em relação à norma dos vetores, podemos apreciar, no

desenvolvimento do exemplo, que ficou verificado que e .

É interessante estudar o que acontece com as matrizes associadas a

operadores unitários em bases ortonormais. Para isso vamos enunciar e demonstrar

a seguinte propriedade:

Seja um espaço de Hilbert e um operador unitário (ou ortogonal,

se for o caso de ), seja uma base ortonormal de , então é

uma matriz unitária (ou ortogonal, se for o caso de ). As definições de matrizes

unitárias e ortogonais foram dadas nos exercícios 20 e 21 do final da Unidade 1. Vale

a pena relembrar: uma matriz quadrada real é chamada de ortogonal desde que

a sua inversa seja a sua transposta, e uma matriz quadrada complexa é

chamada de unitária desde que a sua inversa seja a sua transposta conjugada.

Para demonstrar a propriedade acima, vamos escrever, segundo a definição

de matriz associada a um operador numa dada base, que

e

onde ( ) representa o elemento de matriz da linha ( ) e da coluna ( ) da

matriz . Logo, pelas propriedades de base ortonormal e de operador unitário,

temos

ou seja

Conjugando ambos dois membros, e sabendo que como , , temos que

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ou, equivalentemente, segundo a definição de produto de matrizes, .

Deixamos ao leitor interessado completar a demonstração, provando que

. Sendo assim, fica mostrado que é, efetivamente, uma matriz unitária. A

demonstração no caso que seja um espaço vetorial real, está contida na

demonstração anterior, já que, se , temos que porque . Nesse

caso, segundo a definição de matrizes ortogonais, temos que

.

Exemplo 1: Seja tal que

e seja

uma base ortonormal de . Vamos determinar

primeiramente :

portanto

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e

2.1.2 Operadores simétricos e hermitianos

Seja um espaço de Hilber,t e um operador. Esse operador é

chamado de simétrico (no caso ), ou hermitiano (no caso ), desde que

, se satisfaça que

Vale a pena relembrar que o produto interno

Exemplo 1: Seja

com o produto

interno definido por

e seja tal que

Vamos tomar os polinômios e pertencentes a

, tal que

e

com , e

vamos calcular

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onde temos definido como,

, com . As integrais e são

nulas, porque o intervalo de integração é simétrico e o integrando é uma função

ímpar da variável de integração. Sendo assim, temos que

INICIO DE BOXE

SAIBA MAIS

As integrais do tipo

com e , são muito usadas na área de Probabilidade e Estatística e

são resolvidas com técnicas que aprenderemos na unidade dedicada a Funções de

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Variável Complexa. Mas, no caso particular de , ela pode ser calculada da

seguinte maneira:

Usando coordenadas polares, e , com , essa integral

fica

Fazendo a substituição , e

. Temos assim, que

Portanto,

. No nosso caso . Logo, observando os limitantes de

integração, vemos que . Seguidamente apresentamos algumas

dessas integrais:

FIM DE BOXE

Por outro lado a integral vale , já vale . Substituindo acima, obtemos

Seguidamente, calculamos

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Vemos assim que,

, podendo afirmar desse

modo que o operador

é um operador hermitiano.

É interessante estudar o que acontece com as matrizes associadas a

operadores simétricos ou hermitianos em bases ortonormais. Para isso, vamos

enunciar e demonstrar a seguinte propriedade:

Seja um espaço de Hilbert e um operador hermitiano (ou

simétrico, se for o caso de ), seja uma base ortonormal de ,

então é uma matriz hermitiana (ou simétrica, se for o caso de ). Para dar

inicio à demonstração, vamos escrever

onde são o elementos de matriz de . Calculemos agora o produto interno

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onde temos usado a definição de operador hermitiano. Vemos assim que .

Portanto, e é uma matriz hermitiana. Se o espaço vetorial é real,

o resultado é e se satisfaz a igualdade , o que define uma matriz

simétrica.

Exemplo 1: Seja e seja tal que

e seja . Calculemos o produto interno e verifiquemos que é

igual a :

Sendo assim, o operador é hermitiano. Vamos calcular, a seguir, a sua matriz

associada a base ortonormal de

:

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portanto

Logo, podemos concluir que é uma matriz hermitiana, como queríamos verificar.

3 PROBLEMA DE AUTOVALORES E AUTOVETORES.

O problema de autovalores e autovetores de um operador, , é muito

importante em diversas áreas da Física. Trata-se de encontrar vetores não nulos de

um espaço vetorial e escalares de tal que, se satisfaça a seguinte relação:

com e . A equação acima é conhecida pelo nome de equação de

autovalores e autovetores do operador . Embora não seja necessário,

suporemos que o nosso espaço vetorial possui produto interno, já que é esse o

caso de maior interesse na Física.

3.1 Autovalores e Autovetores de uma Matriz

Como vimos nas seções anteriores, um operador admite uma representação

matricial. Por conta disso vamos introduzir o problema em termos de matrizes.

3.1.1 Definição

Dada uma matriz , dizemos que a matriz coluna (ou vetor coluna,

que é outra terminologia usada mais frequentemente) não nula, é

autovetor da matriz desde que se satisfaça a relação

onde é conhecido pelo nome de autovalor de correspondente (ou

associado) ao autovetor . A equação acima pode ser escrita também, da forma

onde é a matriz coluna nula de , ou ainda

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sendo que é a matriz identidade de . Explicitamente, podemos escrever:

onde temos usado a notação , . Desenvolvendo o produto de

matrizes, encontramos o seguinte sistema de equações homogêneo para as

incógnitas , ,... :

Tal sistema só terá solução diferente da solução ... , desde que

Se , teríamos

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ou seja, um polinômio de segundo grau na variável , igualado a zero. Em geral, a

equação equivale ao problema de achar as raízes de um polinômio de

grau .

A equação

é chamada equação característica da matriz , e o polinômio

e conhecido pelo nome de polinômio característico da matriz . As raízes do

polinômio característicos são os autovalores da matriz . Em general são um

conjunto de valores de , , .

INICIO DE BOXE

ATENÇÃO

É importante salientar duas questões: a primeira é que, mesmo no caso

, os autovalores podem ser complexos porque os polinômios com coeficientes

reais podem ter raízes complexas, e a segunda é que podemos ter dois ou mais

autovalores iguais porque os polinômios pode ter raízes iguais. Por exemplo, o

polinômio , que é um polinômio de grau 6, possui 3 raízes,

, , ; só que aparece três vezes e aparece duas vezes.

Em termos das multiplicidades, , das raízes , isso se escreve , e

. Notar também que a somatória de todas as multiplicidades é igual ao grau do

polinômio, ou seja,

onde é o grau do polinômio e é o número de raízes distintas.

FIM DE BOXE

Para cada valor de teremos um autovetor . Vejamos isso com um

exemplo.

Exemplo 1: Achar os autovalores e os autovetores da matriz , dada

por

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A equação característica é dada por

Os autovalores dessa matriz são as raízes dessa equação, ou seja, e .

Para achar os autovetores devemos resolver o sistema de equações dado por

para cada um dos autovalores achados. Se , obtemos que e pode

tomar qualquer valor. Portanto, qualquer vetor coluna da forma pode ser um

autovetor associado ao autovalor . Se temos que a primeira das

equações acima fica e a segunda . Sendo assim, qualquer vetor

coluna com as duas componentes iguais, como por exemplo , pode ser um

autovetor associado ao autovalor . Verifiquemos a seguir a equação de

autovalores para a matriz . Tomemos os vetores e

e

multipliquemos por :

Portanto podemos afirmar que os vetores e

são autovetores

da matriz

correspondentes aos autovalores e ,

respetivamente.

3.1.2 Diagonalização de Matrizes

Os autovetores de uma matriz podem ser arranjados em forma de uma

matriz, que chamaremos , da seguinte maneira:

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Ou seja, que . Pode-se mostrar que é inversível e que a matriz

é uma matriz diagonal. Mais ainda, os elementos da diagonal são os

autovalores de . Vamos verificar isso com um exemplo.

Exemplo 1:vamos agora formar a matriz com os autovetores e

da matriz

,

e definamos a matriz . Logo

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Vemos assim que, a matriz é uma matriz diagonal onde, na diagonal, estão

os autovalores de . Portanto, temos diagonalizado a matriz. É interessante

observar que . Facilmente vemos que,

.

3.2 Autovalores e AutoVetores de um Operador

Pelo que acabamos de ver, o problema de achar os autovalores e autovetores

de um operador pode-se reduzir a achar os autovalores e autovetores da matriz

desse operador numa dada base. Isso quer dizer que o problema pode ser

abordado a partir da relação

Exemplo 1: Seja e definido por

e seja . Primeiro achemos a matriz de na base :

Portanto

Por outro lado, levando em conta o fato de que

, a equação

característica é , ou ainda, . Sendo assim, vemos

que os autovalores são e . O sistema de equações a ser resolvido é:

Se temos que

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Isso quer dizer que qualquer vetor do tipo serve como autovetor. Já, se

, podemos apreciar que

Neste caso, o autovetor deverá ter a forma . Tomemos, por exemplo, os vetores

coluna de e

, formado pelas componentes, na base

, dos vetores de e , respectivamente. Em

termos de matrizes, verificamos que

Já, em termo de operadores, verificamos que

Verificamos assim que, achar os autovalores e os autovetores do operador ,

equivale a achar os autovalores e os autovetores da matriz .

Exemplo 2: Seja o mesmo operador do exemplo anterior, e seja a base

. Primeiro achemos a matriz de na base :

Facilmente vemos que, e . Por outro lado,

e . Sendo assim, temos que

A equação característica, , fica . Logo,

e . Notar que, em relação ao exemplo anterior, mudamos a base, mas

os autovalores continuaram os mesmos. Vejamos agora o que acontece com os

autovetores. O sistema de equações a ser resolvido é

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No caso , temos que

Isso quer dizer, como no exemplo anterior, que qualquer vetor do tipo

serve como autovetor. Consideremos agora, o caso . O sistema fica:

Portanto, neste caso, o autovetor deverá ter a forma

. Vemos assim que,

embora os autovalores sejam os mesmos, ante uma mudança de base, os

autovetores, em geral, não são os mesmos. Tomemos, por exemplo, os vetores

coluna de e

, formado pelas componentes, na base

, dos vetores de e

, respectivamente. Em

termos de matrizes, verificamos que

Olhando para estes dois últimos exemplos, podemos afirmar que acabamos

de verificar a seguinte propriedade: os autovalores de um operador não

mudam frente a mudanças de base. Escrevamos agora os vetores e na base

do exemplo anterior na base . Sabendo que na base

as componentes de são e são e

, respectivamente,

podemos escrever

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Sendo assim, vemos que e

, que são da forma dos autovetores

de , e

, na base (com e ), como deve ser. É interessante

esclarecer que diagonalizar um operador é digonalizar a sua matriz, ou seja, achar a

base de autovetores que deixa a matriz na sua forma diagonal.

INICIO DE BOXE

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. Considerar o operador tal que e

Determinar se é um operador ortogonal com o produto interno definido por

.

2. Considerar o operador tal que e

Determinar se é um operador unitário com o produto interno definido por

.

3. Seja a rotação tal que se

então

Mostrar que , definida por

, é uma

transformação ortogonal correspondente a uma rotação de ângulo .

4. Determinar se os seguintes operadores, de , são ortogonais:

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5. Achar as matrizes dos operadores , , e do exercício anterior nas bases

e .

Calcular os respectivos determinantes.

6. Seja

com o produto interno definido

por

e seja tal que

Determinar se é hermitiano.

7. Seja o conjunto de funções complexas de variáveis reais e

definido por

com o produto interno definido por

. Achar a matriz do operador , definido por

, na base

e mostre que se trata de um operador hermitiano.

8. Achar a matriz do operador do exercício anterior na base

9. Seja com o produto interno definido da maneira usual para esse

espaço, e seja tal que

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Mostre que é hermitiano.

10. Seja com o produto interno definido da maneira usual para esse

espaço, e seja tal que

Mostre que é hermitiano.

11. Seja com o produto interno definido da maneira usual para esse

espaço, e seja tal que

Mostre que é hermitiano.

12. Achar os polinômios característicos das seguintes matrizes:

13. Achar os autovalores e auto-vetores das seguintes matrizes:

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14. Diagonalizar as matrizes , e do exercício anterior.

15. Achar os autovalores e auto-vetores do operador do exercício 9.

16. Achar os autovalores e auto-vetores do operador do exercício 10.

17. Achar os autovalores e auto-vetores do operador do exercício 11.

18. Mostrar que os autovalores de um operador hermitiano são reais.

RESUMINDO

Nesta unidade, definimos operadores ortogonais, unitários, simétricos e

hermitianos e estudamos as suas propriedades e as propriedades das matrizes

desses operadores em bases ortogonais com vários exemplos. Também abordamos o

problema de autovetores e autovalores de matrizes e operadores. Definimos

polinômio e equação característica e vimos a sua relação com o problema de

diagonalização de matrizes e operadores.

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Referências

BUTKOV, E. Mathematical Physics, Addison Wesley Publishing Company Inc.,

United States of America, 1968.

BOLDRINI, J. L.; RODRIGUES, COSTA S. I.; FIQUEREDO, V. L.; WETZLER H. G.

Álgebra Linear, São Paulo, HARBRA Ltda., 1980.