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DISCIPLINA: ELEMENTOS DE MATEMÁTICA AVANÇADA

UNIDADE 4: FUNÇÕES DE VARIÁVEL COMPLEXA

OBJETIVOS: Ao final desta unidade você deverá:

- saber trabalhar com números complexos;

- identificar funções de variável complexa;

- calcular integrais reias e complexa usando funções complexas.

1 INTRODUÇÃO

Quando um professor entra na sala de aula e diz que iniciará o estudo dos

números complexos, os alunos pensam que são números, no mínimo, muito

complicados. Ao saber que também existem números chamados de imaginários os

alunos dirão que tais números, por serem imaginários, não existem, e portanto, para

que estudá-los?(CERRI etal, 2001).

Desta forma bem humorada começam as autoras do artigo História dos

Números Complexos, C. Cerri e M. S. Monteiro da Universidade de São Paulo (CERRI

etal, 2001). Nesse texto vocês vão descobrir que o surgimento de tais números está

intimamente ligado à resolução de equações algébricas de grau 3, e não às de grau

2, e que sua aceitação, compreensão e utilização ocorreu de maneira lenta e

gradual. Deixaremos esta nobre tarefa de leitura como uma atividade adicional, e

começaremos com a álgebra e operações usuais de números complexos.

Posteriormente estudaremos as funções de variável complexa e suas aplicações para

a física.

2 NÚMEROS COMPLEXOS

Como já falamos anteriormente, ao estudarmos as raízes de equações

algébricas, em particular, as raízes das equações cúbicas, será conveniente

introduzir o conceito de um número, cujo quadrado é igual a -1. Conforme a

tradição, este número é representado por e escrevemos:

, e

2

Se permitirmos que seja multiplicado por números reais (R), obtemos os números

imaginários (I): , onde R. Às vezes as combinações são também

chamados de números imaginários puros para diferencia lhos do caso geral de

números complexos. Se estendermos a propriedade de multiplicação nos números

reais para os números imaginários, concluímos que o produto de números

imaginários são números reais, por exemplo:

(

Juntando os números imaginários com os números reais, teremos um sistema

onde poderemos efetuar multiplicações e divisões (não por zero!). Este conjunto será

fechado com respeito a estas operações (pois nenhum número deste conjunto

submetido a estas operações foge do conjunto!). Embora este conjunto não seja

fechado respeito à adição e à subtração. Para evitar este infortúnio, foram criados

os números complexos (Z). Eles podem ser escritos da seguinte forma:

Z, onde R.

O conjunto de números complexos (Z) é fechado em relação à adição,

subtração, multiplicação e divisão, e mais ainda, com a operação de extrair raízes.

Assim definido, o conjunto Z é uma extensão do conjunto r.

2.1 Geometria e álgebra básica de números complexos

Se escrevermos os números complexos na forma usual ou

podemos definir as operações usuais assim:

1. Adição:

com R.

Exemplo 1:

2. Multiplicação:

Inicio de Atividade

3

Mostre a propriedade de multiplicação dos números complexos (item 2. do

2.1) e depois use esta propriedade para obter Nota: Use as

propriedades distributiva e associativa da multiplicação e a definição

Fim de Atividade

A subtração de números complexos pode ser definida como a inversa da

adição, formando o negativo do número complexo:

e reduzir a subtração à adição.

A regra para a divisão pode ser deduzida invertendo-se a multiplicação. Um

método mais direto resulta de:

O número zero é o único que pode ser escrito como !

INICIO DE BOXE

1. A adição de números complexos obedece às mesmas regras que a adição de

vetores no plano, sempre que e sejam reconhecidos como as componentes do

vetor. No entanto, a multiplicação de números complexos é completamente diferente

do produto interno (produto escalar) e do produto vetorial entre vetores.

2. Usar o símbolo é puramente convencional, correspondente ao binômio ,

mas é prescindível, ou seja, podemos definir um número complexo como um par

ordenado de números reais, , que obedece a certas regras. Assim, a

multiplicação deste par ordenado pode ser definida por

e devemos entender que a forma é somente uma representação de um

número complexo.

FIM DE BOXE

4

Os números complexos podem ser representados no chamado plano complexo,

ou diagrama de Argand (Figura 1). Se representarmos o número complexo

por um único símbolo e escrevermos , então a cada corresponderá um

ponto no plano complexo com abscissa e ordenada

Dessa maneira também é possível obter uma representação geométrica de um

número complexo.

Figura 1. Diagrama de Argand para um número complexo.

Usando a Fig. 1, podemos obter:

onde

Nesta representação, é único (raiz quadrada positiva), mas o ângulo não é. Para

isso podemos adotar a convenção que:

com a regra para os quadrantes, ou seja, se . Assim nesta

representação:

vamos definir os seguintes elementos:

5

é a parte real de ,

é a parte imaginária de ,

é o módulo de , também chamado de valor absoluto de ,

é o argumento de , também chamado de ângulo polar ou fase.

Também é muito útil definir o número que é chamado o complexo

conjugado do número . Ele é representado por . No plano

complexo, e representam cada um à reflexão de outro em torno do eixo real.

INICIO DE BOXE

1. Podemos formar o módulo quadrado do número complexo , definindo a

quantidade que será sempre um número real positivo, ou seja:

.

2. A quantidade é sempre um número real, igual a:

.

3. A operação de conjugação complexa é distributiva e associativa respeito a soma e

o produto:

, e .

FIM DE BOXE 5

Podemos usar a regra do paralelogramo de vetores no plano para somar dois

números complexos associados a esses vetores. Esta propriedade esta representada

na Figura 2.

6

Figura 2. Adição de números complexos usando a representação vetorial e a regra do

paralelogramo.

Do mesmo modo, podemos representar vetores do plano por números

complexos. O produto escalar entre estes dois vetores pode ser obtido por:

onde fica subentendido que e são vetores correspondentes aos números

complexos e ···, respectivamente. De maneira semelhante, o módulo do produto

vetorial pode ser obtido como:

Inicio de Atividade

Verifique as regras de produto escalar e vetorial para os vetores associados

aos números complexos.

Fim de Atividade

3 FÓRMULA DE DE MOIVRE E O CALCULO DE RAÍZES

Enquanto a adição e subtração de números complexos é mais fácil de realizar

na representação cartesiana as operações de multiplicação e divisão são

mais fáceis de realizar na representação trigonométrica.

Se e então cálculos

quase elementares mostram que

7

com a condição de que se , ou , então devemos

adicionar ou subtrair .

Inicio de Atividade

Deduza a fórmula anterior, usando identidades trigonométricas para o seno e

coseno da soma de dois ângulos.

Fim de Atividade

Da mesma maneira, podemos obter uma regra geral para calcular a –ésima

potência de um número complexo , que se conhece como fórmula de Moivre:

(com =inteiro).

Se então onde e

com o inteiro escolhido, tal que – .

A regra para calcular –ésima raiz de um número complexo pode ser escrita

assim:

é certamente a –ésima raiz de , pois No entanto, esta não é a única –

ésima raiz de ; os números

onde são também –ésimas raízes de , pois É

costume chamar o número de raiz principal de (com ). Assim temos com

(uma raiz) e as raízes , um total de raízes de . As –ésimas raízes

de um número complexo estão sempre localizadas nos vértices de um polígono

regular de lados em um círculo de raio

com centro na origem (Figura 3).

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Figura 3. As n-ésimas raízes de um número complexo.

4 FUNÇÕES COMPLEXAS E A FÓRMULA DE EULER

Números complexos podem ser considerados como variáveis, se

ou (ou ambos) variarem. Se isso acontecer, então podemos formar funções

complexas. Por exemplo, considere a equação . Se escrevermos e

, segue-se, em geral que

, .

Usando o exemplo anterior, vamos a abrir as contas. Se com

então:

separando parte real e imaginaria de , temos:

Na representação gráfica de funções complexas, devemos trabalhar com

quatro variáveis reais simultaneamente. Usamos então a ideia de transformação.

Dois planos complexos distintos, o plano e o plano , são dispostos lado a lado, e

9

um ponto é transformado no ponto Por exemplo, a fórmula

aplica

em ,

em , ...

em , ..., etc.

Isso está ilustrado na Figura 4, onde também está indicado que a reta

horizontal y no plano é transformada na parábola no plano

Figura 4. Transformação no plano complexo.

Funções algébricas de uma variável complexa são definidas por médio de

operações algébricas, que são direitamente aplicáveis aos números complexos (as

funções transcendentes podem requerer definições especiais). Por exemplo, a função

exponencial (com real). As propriedades básicas são

1. , e

2. .

Desejamos uma função exponencial complexa com as mesmas

propriedades. Escrevamos ; então

10

A quantidade é de fato um número real, mas como se define a exponencial

do imaginário ? Supondo que pode-se representar por uma série de

potências, como a série de Taylor centrada no ponto temos

então, reagrupando os termos

Assim, podemos definir a função por meio de

Esta é a fórmula de Euler, e cumpre as propriedades desejadas:

1. , e

2. ( inteiro)

são consequências das identidades

e

A definição da função exponencial complexa é dada pela fórmula

que tem as propriedades desejadas, e se reduz à função exponencial real se

4.1 Aplicações da fórmula de Euler

A fórmula de Euler conduz à compacta representação polar dos números

complexos

11

Suponha que um número complexo seja multiplicado por onde é uma

constante real. Então

Assim, o novo número pode ser obtido, fazendo girar, de um ângulo em torno da

origem, o ponto

A fórmula de Euler também permite a descrição de quantidades reais que

variam de forma senoidal por meio de exponenciais complexas. Uma fórmula geral

para tal quantidade é

,

em que (amplitude), (frequência angular) e (fase) são constantes, e é uma variável

real (geralmente o tempo). Considere a função complexa de uma variável real

em que é uma constante complexa. Faça , então

Assim, .

As funções complexas de uma variável real podem ser tratadas pelos métodos

do cálculo de variáveis reais. Por exemplo, se

funções reais,

então

etc. A diferenciação de é muito simples:

O seguinte exemplo nos ensina o uso das exponenciais complexas. Considere

um oscilado harmônico amortecido, sujeito a uma força externa variável. A equação

diferencial a ser resolvida é

em que as constantes são reais, e ambas variáveis e são reais.

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Introduzindo agora uma função complexa

em que pode ser real, mas possa ser complexa. Seja então

Considere a equação diferencial

em que é evidentemente complexo. O ponto é que, a parte real desta

função complexa é exatamente a solução da equação diferencial original (real).

Isso pode ser verificado direitamente por substituição:

Suponha que procuramos uma solução de estado constante para nosso

problema de oscilador harmônico. Nossa intuição física sugere que deve ser uma

função de , ou seja, da forma Isso, por sua vez, sugere que

procuramos a solução de nossa equação complexa na forma

em que é uma constante complexa. Se substituirmos este valor na

equação para obter

de maneira que

E assim, o problema está essencialmente resolvido. A solução explícita do problema

físico (real) será:

Assim, podemos escrever

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Agora, usando a regra

nós obtemos

Inico de Atividade

O resultado anterior pode ser obtido sem usar os números complexos. Assim o

desafio consiste em procurar uma solução da equação diferencial original. Hint:

Proponha como solução , e por substituição direita na equação

diferencial obtenha as constantes .

Fim de Atividade

5 FUNÇÕES PLURÍVOCAS E SUPERFÍCIES DE

RIEMANN

Certas funções complexas são plurívocas, e consideradas formadas por

ramos, com cada ramo uma função unívoca de Por exemplo, a função

pode ser dividida em dois ramos, segundo a fórmula usual para as raízes (

1. Ramo principal, ,

2. Segundo ramo, .

Do ponto de vista estritamente matemático, estas duas funções e

são funções distintas. Observe que, o ramo principal não aplica o plano sobre todo

o plano , mas somente sobre o semiplano direito ( ), ao qual adicionamos

o semieixo imaginário positivo. O semieixo imaginário negativo não está incluído. O

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segundo ramo aplica o plano sobre o semiplano esquerdo ( ) juntamente

com o semieixo imaginário negativo. Com exceção de , nenhum outro ponto do

plano (plano imagem) é duplicado para ambas as aplicações.

Outra característica importante dos dois ramos é que, cada ramo tomado

separadamente é descontínuo no semieixo real negativo. Ou seja, os pontos

e , onde é o número positivo menor, estão muito

próximos umo de outro. No entanto, suas imagens, pela aplicação do ramo principal,

e , estão muito distantes uma de outra. Por

outro lado, observe que a imagem de pela aplicação ,

está muito próxima do ponto Parece que a continuidade da aplicação pode

ser conservada se trocamos de ramo, quando atravessarmos o semieixo real

negativo.

Para dar um significado mais preciso, devemos definir o conceito de uma

função contínua de uma variável complexa: seja definida numa vizinhança

do ponto e seja . Dizemos que, é contínua em , se

sempre que no sentido que, dado (arbitrariamente pequeno), a

desigualdade | se verifique sempre que for verdadeira,

para suficientemente pequeno.

Existe uma representação de ambos os ramos por meio de uma solução

proposta por Riemann: imagine dois planos separados, cortados ao longo do

semieixo real negativo de ‘menos infinito’ a zero. Imagine que os planos estão

superpostos um soube o outro, mas que retêm suas identidades separadas, igual que

duas folhas de papel postas uma sobre a outra. Suponha que, o segundo quadrante

da folha superior seja colado, ao longo do corte, ao quarto quadrante da folha

inferior, para formar uma superfície contínua (Figura 5). Agora, é possível iniciar

uma curva C no terceiro quadrante da folha superior, contornar a origem e

atravessar o semieixo real negativo, penetrando no terceiro quadrante da folha

inferior, em um movimento contínuo (sem sair da superfície). A curva pode continuar

na folha inferior em torno da origem, penetrando no segundo quadrante da folha

anterior. Imagine agora, o segundo quadrante da folha inferior colado ao terceiro

quadrante da folha superior ao longo do mesmo corte (independentemente da

primeira colagem). A curva C pode então, prosseguir penetrando na folha superior e

pode retornar a seu ponto inicial. Este processo de juntar e colar dois planos conduz

à formação de uma superfície de Riemann, que é considerada como uma superfície

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contínua formada por duas folhas de Riemann (Figura 7). Mas a reta entre o segundo

quadrante da folha superior e o terceiro quadrante da folha inferior deve ser

considerada distinta da reta entre o segundo quadrante da folha inferior e o terceiro

quadrante da folha superior. Aqui é onde o modelo do papel falha. Segundo este

modelo, o semieixo real negativo aparece como uma reta onde as quatro bordas se

encontram. No entanto, a superfície de Riemann não possui tal propriedade; há dos

semieixos reais positivos, e dois semieixos reais negativos. A aplicação

pode ajudar a visualizar isso: o ramo principal aplica a folha de Riemann superior

(excluindo o semieixo real negativo) sobre a região do plano Tambem,

a reta que une o segundo quadrante superior com o terceiro inferior, é também

aplicada pelo ramo principal sobre o semieixo imaginário positivo. A folha de

Riemann inferior (excluindo o semieixo real negativo) é aplicada pelo segundo ramo

sobre a região A reta que une o segundo quadrante inferior com o

terceiro quadrante inferior é aplicada (pelo segundo ramo) sobre o semieixo

imaginário negativo. Deste modo, toda a superfície de Riemann é aplicada de

maneira 1-1, sobre o plano ( é levado em , e este caso não a pertence

a nenhum dos ramos, pois o ângulo polar não está definido quando ).

Figura 5. Superfície de Riemann.

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Figura 6. Superfície de Riemann.

A divisão de uma função plurívoca em várias ramas é, em grande parte,

arbitraria. Por exemplo, existem várias maneiras de dividir a função em

dois ramos. No entanto, em todas elas haverá uma linha de ramificação (ou de

corte), estendendo de ao infinito. A superfície de Riemann é obtida, unindo-se

duas folhas de Riemann através do corte, e esta superfície é única. O ponto

em que todas as linhas de corte devem terminar ou principiar, é chamado de um

ponto de ramificação. A posição do ponto de ramificação é determinada pela

natureza da função plurívoca e, é independente da escolha dos ramos.

Esta técnica pode ser expandida a outras funções plurívocas. Algumas exigem

mais que duas folhas de Riemann, por exemplo,

exige três. Algumas

exigem duas folhas e dois pontos de ramificação, como por exemplo

etc. Há funções que exigem um número infinito de folhas de

Riemann, como por exemplo com irracional, e algumas das funções

transcendentes, que estão exemplificadas no livro de Butkov (BUTKOV, 1968).

Inicio de Atividade

A função logaritmo é definida como sendo a inversa da função exponencial.

Resolvendo para achar , obtenha: com

inteiro.

Fim de Atividade

17

6 FUNÇÕES ANALÍTICAS. O TEOREMA DE CAUCHY

Já foi definido no item anterior 5, o conceito de continuidade de uma função

complexa, assim é possível verificar que a soma, o produto e o quociente (exceto a

divisão por zero) de duas funções contínuas são contínuos. Ainda mais, uma função

contínua de uma função contínua é também contínua.

Seja uma curva suave por pedaços no plano complexo. Se for contínua

sobre , então a integral complexa

poderá ser definida e representada em termos das integrais reais, ficando

e

isso fornece

onde sabemos que existem as integrais reais

e

. A

curva pode ser aberta ou fechada, mas em qualquer caso devemos especificar a

direção de integração. Uma mudança na direção de integração, resulta em mudança

do sinal da integral. As integrais complexas são, portanto, redutíveis a integrais reais

curvilíneas e possuem as seguintes propriedades:

com constante complexa, e onde foi decomposta em duas curvas e .

O valor absoluto de uma integral pode ser estimado pela fórmula

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em que, sobre e é o comprimento de

Agora definiremos a derivada de uma função complexa: dando a um

acréscimo (com complexo) obtemos e podemos escrever

Como no caso de funções reais este limite pode ou não existir. Também é importante

notar que pode-se aproximar de zero de uma maneira arbitrária, ou seja,

pode-se aproximar de ao longo de qualquer curva ou por meio de qualquer

sequência. Esta é uma exigência muito forte que acarreta que, a função tem

que ser “bem comportada” no ponto a , a fim de ser diferenciável.

A função é analítica (regular, ou holomorfa) no ponto , se possui

derivada em e em todos os pontos de uma vizinhança de (pequena, mas finita).

Esta exigência adicional leva a muitas boas propriedades para as funções analíticas,

tais como a existência de derivadas de todas as ordens.

A existência da derivada em todos os pontos de uma vizinhança acarreta que,

a derivada é contínua (ver Boxe 1). Também, é um problema fácil de verificar

(usando as propriedades de funções reais) que as derivadas de funções complexas

obedecem às regras usuais:

onde e e, por exemplo,

com inteiro etc. Assim, as diferenciais de funções complexas são definidas de

maneira análoga as diferencias das funções reais. Se

então a definição da derivada poderá ser rescrita como

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O valor limite no lado direito deve ser o mesmo quando tende

arbitrariamente para 0. Em particular, faça (ou seja, aproxime-se ao longo

do eixo real); então

Alternativamente, faça (aproxime-se ao longo do eixo imaginário); então

Segue-se que, para uma função diferenciável devemos ter

Estas são as equações ou condições de Cauchy-Riemann, que se seguem

diretamente da definição da derivada. Se além disso, for analítica, então

deve ser contínua, o que implica que as derivadas parciais de e sejam contínuas.

O teorema recíproco também vale: Se e possuem derivadas de

primeiro ordem, satisfazendo as condições de Cauchy-Riemann em uma vizinhança

de , então é analítica em .

Uma das mais importantes propriedades das funções analíticas é expressa

pelo teorema de Cauchy: se é analítica em um domínio simplesmente

conexo, e uma curva simples fechada em (suave por pedaços), então

Há uma recíproca do teorema de Cauchy, conhecida como o teorema de

Morera: se f(z) é contínua em um domínio D, e se

para todo caminho

simples fechado em com interior também em , então é analítica em .

O teorema de Cauchy vale para domínios multiplamente conexos, desde que o

interior do caminho seja simples fechado e esteja dentro do domínio (ou seja, que

o domínio não esteja em volta de um buraco. Veja a Figura 7).

A anulação de uma integral de contorno (uma integral ao longo de um

caminho simples fechado) está estreitamente relacionada com a independência do

caminho de integração. Agora, se

, para qualquer caminho simples

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fechado, então a integral

é independente do caminho (entre e ).

Suponha agora que fixamos o ponto . Se a integral

é independente do

caminho, então deve representar uma função de . Esta função é uma função

primitiva de (ou uma integral indefinida de ), o que se segue do teorema

fundamental do cálculo integral: se é analítica em um domínio simplesmente

conexo, então a função

é também analítica em , e .

Figura 7, Superfície de Riemann

Inicio de Atividade

a. Usando a referência [1] mostre o teorema anterior.

b. Mostre que duas funções primitivas quaisquer devem diferir por uma constante

(complexa).

Fim de Atividade

21

7 OUTROS TEOREMAS DE INTEGRAIS. A FÓRMULA

DA INTEGRAL DE CAUCHY

Para o estudo das aplicações, devemos notar que, em todos eles as condições

enunciadas no teorema de Cauchy devem ser verificadas. Considere a integral

A pergunta que nós fazemos é a seguinte: esta integral é nula ou não? Em geral,

é uma função analítica, mas deixa de sê-lo no ponto . A

função não é nem definida neste ponto e não pode possuir uma derivada. Suponha

que a curva , da definição de , seja uma curva simples fechada. Então, se o ponto

está no exterior da curva, o teorema de Cauchy é aplicável, e . Se estiver

no interior, o teorema de Cauchy não pode ser aplicado. De fato, a integral não é

igual a zero. Se for um círculo de rádio com centro em , então é fácil

calcular a integral, fazendo . Neste caso, e

Não é muito difícil mostrar que o resultado é verdadeiro para qualquer

caminho simples fechado em torno do ponto . Suponha que esteja

totalmente contida no interior do circulo (Figura 8). Então, um estreito canal

constituído pelas curvas e pode ser construído para ligar o interior de com

, e o teorema de Cauchy pode ser aplicado à região sombreada. Pode-se construir

um domínio , de maneira tal que a região sombreada esteja no seu interior. A

integral ao longo de é no sentido dos ponteiros do relógio. Se fizermos os lados

e do canal se aproximarem um de outro, as integrais ao

longo de e se cancelarão (no limite), deixando-nos a afirmativa

onde a primeira integral é tomada no sentido oposto ao dos ponteiros dos relógios; e

o segundo, no sentido dos ponteiros do relógio. Tornando o sentido da segunda

integração anti-horário, obtemos

22

(com ambos os sentidos anti-horários). Se estiver totalmente contida no interior

de , a demonstração será semelhante, e se e se cortarem a demonstração

seria ainda mais simples.

Figura 8. Integral de Cauchy.

Se a integral for calculada ao longo de um caminho fechado, que não é

simples, seu valor pode não ser . Nos casos de interesse prático, seu valor será

, onde é o número de vezes que o caminho percorre em torno de , no

sentido anti-horário, menos o número de vezes que percorre em torno de no

sentido horário.

A integral

pode-se anular mesmo que o teorema de Cauchy não se

aplique. Por exemplo, se calculamos a integral

em que é um inteiro positivo diferente da unidade e, o contorno é um círculo de

raio em torno de . Usando , obtemos

23

Este resultado é correto para qualquer caminho fechado em torno de .

A função do teorema de Cauchy deve ser unívoca. Pode ser o ramo de

uma função plurívoca, mas tendo o cuidado que esse ramo seja analítico. Assim, por

exemplo, na integral

ao longo do círculo de raio unitário e centro na origem, devemos especificar o ramo

da função . Suponha que seja o ramo principal, ou seja,

Aqui o teorema de Cauchy não se aplica, pois não é analítica no interior do

círculo . Os pontos onde a função deixa ser analítica estão no eixo real de

a , ponto em que nem é contínua. Por mais que seja

contínua em , não é analítica neste ponto. Seja agora a mesma integral

tomada em torno do ponto n (Figura 9). Se o ramo principal figura na

integração, o teorema de Cauchy não será aplicável. Agora, podemos dividir a

nos dos ramos abaixo

Ramo A:

Ramo B:

24

Aqui o corte está ao longo do semieixo real positivo, e cada ramo é analítico

no interior do círculo , e sobre sua circunferência, assim o teorema de

Cauchy pode ser aplicado.

Figura 9. Integral de Cauchy para a função

O teorema de Cauchy pode ser generalizado de várias maneiras. Deixamos

este aprofundamento no tema aos alunos interessados que podem revisar a

referência do Butkov (BUTKOV, 1968).

O teorema de Cauchy pode ser usado para deduzir muitas outras

propriedades das integrais, sendo a mais básica a fórmula da integral de Cauchy: se

é analítica no interior de uma curva e sobre ela, e se o ponto está no

interior de , então

Inicio de Atividade

Usando a referência do Butkov (BUTKOV, 1968), mostre o teorema anterior.

Fim de Atividade

25

8 SEQUÊNCIAS E SÉRIES COMPLEXAS

Um estudo sério das funções analíticas precisa saber como representá-las em

forma de séries. Analisemos primeiro as sequências de números complexos. Uma

seqüência infinita de números complexos converge para o limite

(complexo) , se

Para valores suficientemente grandes de ; o número é um número

arbitrariamente pequeno. A convergência de sequências complexas pode ser

reduzida à das sequências reais por meio do seguinte teorema fundamental: a

sequência converge para , se e somente se converge para ,

e converge para .

Este teorema, assim como outros a seguir, serão enunciados sem uma

demonstração formal. Aqueles alunos com suficiente curiosidade podem revisar as

demonstrações do Butkov (BUTKOV, 1968).

As sequências convergentes podem ser somadas, subtraídas, multiplicadas e

divididas (termo a termo), e os teoremas usuais sobre limites são válidos:

etc.

Analisemos agora as séries complexas. Uma série infinita de números

complexos é convergente se a sequência de suas somas parciais

for uma sequência convergente. Fazendo , escrevemos usualmente que

Se a sequência das somas parciais não convergir, dizemos então que a série é

divergente. É muito importante notar que, sob certas circunstancias, séries

divergentes podem ter significado bem definido e que tais séries são muito usadas

em aplicações.

Uma série é absolutamente convergente se a série (real) dos módulos

26

for uma série convergente. Uma série absolutamente convergente é convergente.

Muitas vezes, para mostrar a convergência de uma série complexa, pode-se induzir

se ela é absolutamente convergente. A seguir, numeramos os testes mais comuns

para analisar a convergência de uma série complexa:

Teste da comparação: Se e convergem, então converge

absolutamente.

Teste da razão: Se , para todo suficientemente grande e ,

então converge absolutamente. Se , para suficientemente

grande, e , então diverge.

Teste da raiz: Se , para suficientemente grande, então

converge absolutamente, e se , para suficientemente grande, então

diverge.

A divergência de uma série pode ser mostrada usando o teste do -ésimo

termo: se não tende para zero, então a série diverge.

Muitas vezes é necessário ‘reduzir’ o problema de convergência de uma série

complexa ao de duas séries reais usando o seguinte teorema: a série

converge para , se e somente converge para , e

converge para .

Os termos de uma série complexa podem depender de uma variável complexa

. As séries mais comuns são as séries de potências, por exemplo,

Muitas destas séries de potências somente convergiram, se o valor da variável

z está restrita a uma certa região. A série anterior, por exemplo, converge

absolutamente pelo teste da razão se , e pelo mesmo teste diverge se

. O teste da razão não é decisivo, se , mas então o teste do -ésimo termo

mostra a divergência da série. A série de potências acima converge absolutamente

27

em todos os pontos dentro de um círculo de raio , chamado de círculo de

convergência, onde é o raio de convergência.

O conceito de raio de convergência pode ser aplicado a toda série de potência.

Com efeito, se uma série de potências é convergente em todos os pontos no interior

deste círculo. O problema é, então, achar a cota superior de , que será o raio de

convergência procurado.

Inicio de Atividade

a. Mostre que a série

tem raio de convergência igual a .

b. Mostre que a série

tem raio de convergência igual a .

Fim de Atividade

Estudemos agora a sequencia de funções. A sequência de funções

definidas em uma região ( pertence a ), converge para uma função limite

em , se

para cada em . Por exemplo, as somas parciais da série

formam uma sequência de funções (polinômios)

e esta seqüência converge para a função na região aberta .

Podemos ver isto, fazendo

28

e

, para

Assim, temos que a função é a soma da série anterior (somente

para ):

(para ).

Existem mais aplicações, teorias e critério de convergência para as series de

funções. Vocês podem encontrar estas no livro de Butkov (BUTKOV, 1968). Para

finalizar esta seção, é importante conhecer o chamado teorema de Weierstrass:

se os termos da série

são analíticos no interior de uma curva simples

fechada e sobre ela, e a série converge uniformemente sobre , estão sua soma é

uma função analítica (dentro de , e sobre ) e a série pode ser diferenciada, ou

integrada um número arbitrário de vezes.

9 SÉRIES DE TAYLOR E DE LAURENT

Considere uma série de potências , onde é um número complexo

fixo:

Se esta série converge para algum valor (para , a série sempre

converge), então é absolutamente convergente em todos os pontos do interior do

círculo com centro no ponto . Além disso, será uniformemente

convergente dentro de um círculo de raio , menor do que . Segue-se que, a série

de potências acima representa, dentro de um círculo (pelo menos), uma função

complexa

e segundo o teorema de Weierstrass, esta função é analítica dentro do círculo.

29

Assim podemos afirmar que, toda série de potências com um raio de

convergência não nulo representa uma função regular em certa vizinhança do ponto

.

A afirmação recíproca é também verdadeira: toda função analítica em

pode ser desenvolvida numa serie de potências

válida em certa vizinhança do ponto Esta série, conhecida como série de Taylor, é

única, e os coeficientes podem ser obtidos pela fórmula

Inicio de Atividade

Usando a Referência (BUTKOV, 1968) mostre o teorema anterior.

Fim de Atividade

As séries de potências podem ser generalizadas para conter potências

negativas de , ou seja,

Tais séries podem ser divididas em duas partes:

e a série original convergirá desde que ambas as partes convirjam. A série de

potências positivas convergirá dentro de um círculo de convergência com centro

em . A série das potências negativas convergirá para fora de certo raio , com

centro em . Podemos deduzir que , e a série

30

convergira dentro do anel

Pode acontecer que , e assim nossa série divergirá em toda parte.

Teorema: toda função analítica em um anel

pode ser desenvolvida em uma série de potências negativas e positivas de

Esta série, conhecida como série de Laurent, é única para um anel dado, e os

coeficientes , podem ser obtidos de

onde é um círculo de raio , tal que

Inicio de Atividade

Usando a Referência do Butkov (BUTKOV, 1968) mostre o teorema de

Laurent.

Fim de Atividade

A parte da série de Laurent, consistindo de potências positivas de é

chamada de parte regular. Em muitas das aplicações não é analítica em ,

e o -ésimo coeficiente da série não pode ser associado a -ésima derivada de

em porque ela pode não existir. A parte da série de Laurent com potências

negativas é chamada de parte principal. Se esta parte principal é idêntica a zero,

então é analítica em , e a série de Laurent será idêntica à série de Taylor.

31

Exemplo 1. Uso de séries geométricas. A função com =constante

complexa não nula. Sabemos que

Portanto

.

Esta expressão é a série de Taylor em torno do ponto . Seu raio de

convergência é , porque à distância da origem existe o ponto , no

qual deixa de ser analítica, sendo este o único ponto onde não é analítica.

Portanto, deveria possuir uma série de Laurent em torno de , que deveria

ser válida para . Escreva

Se , então , e então podemos desenvolver

Portanto,

E esta é a série de Laurent desejada.

A função pode ser desenvolvida por meio deste método em torno de

qualquer ponto ; com efeito, escreva

Então,

ou

32

Inicio de Atividade

a. Desenvolva em série de Laurent a seguinte função:

usando (BUTKOV, 1968) com o método de decomposição racional.

b. Desenvolva em série de Laurent:

Usando (BUTKOV, 1968) com o método de diferenciação.

c. Desenvolva em série de Laurent:

usando (BUTKOV, 1968) com o método de integração.

Fim de Atividade

10 ZEROS E SINGULARIDADES

O ponto chama-se de zero (ou raiz) da função , se

Se for analítica em , então sua série de Taylor

deverá ter . Se o ponto é chamado de zero simples, ou zero de

ordem um. Também pode ser que ou outros coeficientes seguintes sejam nulos.

Seja o primeiro coeficiente que não se anula, então dizemos que, o zero é de

ordem A ordem de um zero pode ser avaliada, calculando-se

33

para ; o mais baixo valor de , para o qual este limite não se anulara, é

igual à ordem do zero.

Se uma função é analítica na vizinhança de um ponto , com

exceção do ponto , então dizemos que a função possui uma singularidade

isolada, ou um ponto singular isolado em .

Podemos distinguir as singularidades pelos comportamentos da função no

limite de de maneira arbitrária:

1. permanece limitada, ou seja, | para um fixo.

2. não é limitada e se aproxima do infinito, ou seja (qualquer

) para (algum ).

3. Nenhum dos casos acima acontece, e oscila.

Alguns exemplos demonstrativos dos casos anteriores são as funções:

Caso 1.

Caso 2.

Caso 1.

É importante notar que para função do Caso 1: com esta

expressão não define o valor a função em z=0. Usando a seguinte expressão

redefine-se a função em , e em os outros pontos.

Vamos demonstrar como exercício a afirmativa sobre o Caso 1. Para isto,

notemos que é analítica no anel , situado na vizinhança de

. Pelo teorema de Cauchy, para um ponto qualquer dentro do anel (Figura

10), teremos

34

Vamos mostrar que a segunda integral deve ser nula para todo Fazendo

, e observando que

Então, para um fixo

A integral deve ser independente de devido à analiticidade do integrando.

Ela é menor que um número positivo arbitrário (para suficientemente pequeno), e

deve ser igual a zero. Assim, mostramos que se aproxima ao limite

Então: (i) existe, (ii) está definida por este limite, e a função ,

redefinida desta maneira é analítica em

Figura 10. Aplicação do teorema de Cauchy no anel

Do estudo anterior, temos que as singularidades isoladas do primeiro tipo são

chamadas de singularidades removíveis.

35

O segundo tipo de singularidade isolada, quando se , é

chamado de um pólo. Como a singularidade é isolada, deve existir uma serie de

Laurent

válida para (para algum R). Se a parte principal é finita, a série

resulta em

então tem um pólo de ordem e . A recíproca também é válida, ou seja,

se tem um pólo em , deve possuir uma série de Laurent com a forma

acima (para ).

Vejamos um exemplo: a função , possui a seguinte série de

Laurent válida para (com arbitrario)

donde se conclui que possui um pólo simples na origem.

Podemos achar a ordem de um polo sem precisar conhecer a série de Laurent

da função. Isto pode-se fazer calculando

para ; o menor valor de , para o qual este limite existe, fornecerá a

ordem do pólo. Observe que este limite não pode ser zero!

O terceiro tipo de singularidade é conhecido como singularidade essencial.

Aqui, a série de Laurent, válida para (com arbitrario), deve ter

uma parte principal infinita. Por exemplo, a função , possui a seguinte

série de Laurent válida para (com arbitrario):

Como a parte principal é infinita, a função possui uma singularidade essencial em

36

Além das singularidades isoladas, as funções complexas podem deixar de ser

analíticas por outras causas. Um dos motivos mais comuns é um ponto de

ramificação. Analisemos, por exemplo, a função . Para todo ponto, exceto

a origem, é possível construir uma vizinhança e achar um ramo de que será

analítico nessa vizinhança.

É evidente que não pode haver série de Taylor, ou de Laurent, válida na

região (para certo ), em torno do ponto de ramificação No

entanto, são válidas séries de Laurent para Por exemplo, vejamos

o comportamento da função . Ela pode ser desenvolvida na seguinte série de

Laurent

Esta série é válida para , e representa um ramo da função

que é analítica nesta região. A linha de corte une dois pontos de corte e

, e não se estende até o infinito. Substituindo por , obtemos uma

série de Laurent com centro no ponto de ramificação . Esta última convergirá

para

Uma função analítica pode também possuir um número infinito de

singularidades isoladas, convergindo para um certo ponto limite. Consideremos, por

exemplo, a função

O denominador possui pólos simples sempre que

Assim, nestes pontos a função possui pólos simples e a sequência destes polos

converge para a origem.

Inicio de Atividade

a. Desenvolva em série de Laurent a função , para obter o resultado

usado no item anterior.

37

Fim de Atividade

11 O TEOREMA DO RESIDUO E SUAS APLICAÇÕES

Seja analítica em uma vizinhança de , exceto em (ou é

analítica em ou tem uma singularidade isolada). Seja uma curva simples

fechada no interior de esta vizinhança e em torno de , então a integral

independe da escolha de e, é chamada de resíduo da função no ponto

Logo, se f(z) é analítica em (o ponto é chamado de ponto regular), e o

resíduo é zero. Se z=a é uma singularidade isolada, então o resíduo pode ser ou não

zero.

Vejamos um par de exemplos:

1. o resíduo em é igual à unidade. Usando a definição anterior da

integral

Podemos calcular a integral fechada em torno da origem usando como curva , a

circunferência de raio fixo , e mudando a variável

Pela fórmula para o coeficiente –ésimo da série de Laurent (

),

vemos que o resíduo é igual ao coeficiente da série de Laurent

que, é válido para (com algum ).

38

Inicio de Atividade

1. Mostre que, o resíduo para em , é igual a zero.

2. Usando a fórmula para o coeficiente –ésimo da série de Laurent, mostre que o

resíduo igual ao coeficiente da série de Laurent

Fim de Atividade

Os resíduos de uma função em suas singularidades isoladas se aplicam ao

cálculo de integrais, complexas ou reais, baseado no teorema dos resíduos: se

é analítica no interior de um contorno fechado e sobre , exceto em um

número finito de singularidades isoladas em todas situadas no

interior de C, então

A demonstração deste teorema pode ser um bom entretenimento para alunos

ousados, usando a técnica de cortar canais entre o contorno , e os pequenos

círculos , em torno de cada singularidade (Figura 11a).

Figura 11. Regiões usadas no teorema dos residuos.

Existem vários métodos para o cálculo de resíduos:

Método 1: Através da definição

39

com um contorno , escolhido de forma conveniente. Este método é útil quando

conhecemos a função primitiva de , e se esta tem um ponto de ramificação em

. Por exemplo, a função com primitiva . Aqui,

qualquer ramo de pode ser escolhido, mas preservando a relação

o contorno fechado deve ser desconexo e devemos aplicar o processo do cálculo do

limite apropriado. Por exemplo, (Figura 11b):

Usamos aqui o ramo principal, que possui uma descontinuidade sobre o

semieixo real negativo. Pela definição da função: onde

corresponde ao ramo da discontinuidade da superficie de Riemann, resulta em

, e . Pelo sentido da curva na

integral, temos que

Método 2: No caso de um pólo simples no ponto , podemos usar a fórmula

O cálculo do limite pode-se obter por substituições, ou através do uso de

limites já conhecidos. Vejamos isto com um exemplo. Seja

. Então

Porque conhecemos o valor do limite fundamental

, e

e

usamos a propriedade distributiva do produto para os limites.

Método 3: Quando temos um pólo de ordem , em , vale a seguinte fórmula:

40

Usando a fórmula anterior para a função , onde temos um pólo

de ordem em zero, assim vemos que

Método 4: É utilizado quando temos um pólo simples, e quando tem a forma

,

em que e tem um zero simples em . Neste caso

.

Observemos que, se é um zero simples de , então não se pode

anular. Vejamos isto com um exemplo. Seja a função , onde temos

um zero em Logo

Método 5: Aqui desenvolveremos a função em série de Laurent e obtemos daí

o resíduo. Este procedimento é muito útil se podemos escrever a como um

produto de funções com séries de Laurent já conhecidas. Assim, a série para é

obtida por multiplicação e o coeficiente pode ser achado por inspeção. Por

exemplo, usemos este método com a função , onde

procuramos o resíduo em . Como primeiro passo, faremos uma mudança de

variáveis para transferir o pólo para a origem, com as transformações

então

Agora vamos expandir em séries as funções e :

( )

( ).

41

No terceiro passo, calculamos (por inspeção) o coeficiente de , formando o

produto das duas séries (lembremos que ainda temos o fator na expressão de

):

No quarto passo, calcula-se o resíduo

O teorema do resíduo pode ser aplicado ao cálculo de uma grande variedade

de integrais definidas, sejam integrais no campo real ou no campo complexo.

Vejamos alguns exemplos dos métodos mais usados.

Exemplo 1. Seja a integral

Esta integral pode-se transformar numa integral de linha no plano complexo,

usando a substituição . Logo,

então, a integral é

onde é o círculo unitário no plano O integrando possui dois pólos: em

e . Se | , o pólo está no interior do contorno, enquanto que

o pólo está fora. Assim que, precisamos somente do resíduo em ; que

resulta

Portanto, a integral agora é

42

Se , o resíduo será em , é será igual a

Portanto, a integral agora é

Ambos os resultados podem ser combinados assim

enquanto que, a integral não está definida para .

Este método pode ser usado para integrais do tipo

em que é uma função racional de e

Exemplo 2. Consideremos a seguinte integral real

Assim, a integral

pode ser tratada como parte da integral complexa

calculada sobre o contorno , como se mostra na Figura 12. Dessa

maneira (podemos fazer sobre o eixo real):

Podemos calcular a integral sobre o semicírculo quando é muito grande, assim,

é conveniente escrever

43

se é muito grande, então é pequeno e é quase

igual, ou muito próximo de um (Figura 13). Observemos, então, que

para , e em consequência

Isto leva à

Usando a estimativa

Então

Vemos que, a integral

é independente do raio (pelo menos

quando for maior do que ), pois a única singularidade do integrando dentro de

é em , e assim pelo teorema do resíduo

(para todas as , tais que ). Logo, se fizermos , teremos

que se reduz a

44

Figura 12. Contorno de integração para o Exemplo 2.

O processo anterior pode ser aplicado às integrais do tipo

em que e são polinômios em , e: (i) não deve ter zeros reais, e (ii)

o grau de deve exceder o grau de , de pelo menos dois (de outra maneira

a integral sobre o semicírculo talvez não tenda para zero). Para tais integrais se

cumpre que

onde é a soma dos resíduos do integrando no semiplano superior.

Exemplo 3. Considere a integral real

Observemos, em primeiro lugar, que

45

Fazendo a substituição de por não funcionará, pois não é bem

comportada no plano superior; não é limitada. No entanto a função é limitada no

semiplano superior, pois , como (para todo real), enquanto

que para todos os não negativos. Assim, a integral complexa

é calculada sobre o contorno mostrado na Figura 12. Notemos que,

Também, a integral resulta usando o teorema dos resíduos

de maneira que, a integral

Como o lado direito é real, segue-se que

Exemplo 4. Considere a integral real

Ao igual que antes, podemos fazer

46

Como não é bem comportada no semiplano superior, tentaremos

calcular a integral complexa sobre um caminho (eixo real) que é aberto (por

enquanto). Como é contínuo em , podemos deformar o contorno como

é mostrado na Figura 13, e dizer que

Figura 13. Contorno de integração para o Exemplo 4.

Usando agora

o problema agora é calcular

Para , escolhemos o contorno como usualmente Figura 14(a). É possível mostrar

(fica como atividade) que a integral sobre se aproxima a zero, ou seja

Para , fecharemos o contorno pelo semiplano inferior como mostra a figura 5.14

(b). Ora, é limitado no semiplano inferior e a integral sobre tende para

zero. Por outro lado, observemos que (a) existe uma contribuição dada pelo pólo na

47

origem e (b) a integração no sentido horário introduz uma mudança de sinal. Assim,

obtemos

Combinando ambos os resultados

Figura 14. Contorno de integração para o Exemplo 4.

RESUMINDO

Apresentamos nesta Unidade aos números complexos. Defimos eles, e

aprendimos as suas propriedades fundamentais. Como os números complexos

podem ser considerados como variáveis, então, conseguimos formar as funções

complexas. Estudamos as condições de continuidade e, as noções de analiticidade

destas funções. Pudimos definir as propriedades de derivação e integrabilidade

destas funções de variável complexa. Analisamos suas aplicações para resolver

algums problemas físicos associados as soluções de equações diferenciais.

Finalmente, pudimos calcular integrais reias e complexas usando as funções

complexas.

Referências

CERRI C. e MONTEIRO M. S., CAEM - Centro de Aperfeiçoamento de Ensino de

Matemática (2001), http://www.ime.usp.br/~martha/caem/complexos.pdf

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BUTKOV, E. Mathematical Physics, Addison Wesley Publishing Company Inc.,

United States of America, 1968.