1 Numeros Complexos

Um numero complexo z e uma expressao da forma z = a+ ib, sendo que a e b sao numerosreais e i um numero imaginario puro que satisfaz i2 = −1. Definimos a = Re(z) ( parte realde z) e b = Im(z) ( parte imaginaria de z). O conjugado de z e definido por z = a− ib e ovalor absoluto ou modulo de z por |z| =

√a2 + b2.

Dados dois numeros complexos z = x+ iy e w = u+ iv podemos definir as operacoessoma, subtracao, multiplicacao e divisao de numeros complexos da seguinte maneira :

1. z + w = (x+ iy) + (u+ iv) = (x+ u) + i(y + v)

2. z − w = (x+ iy)− (u+ iv) = (x− u) + i(y − v)

3. z.w = (x+ iy).(u+ iv) = (xu− yv) + i(xv + yu)

4. zw

= x+iyu+iv

.u−ivu−iv = xu+yv

u2+v2+ iyu−xv

u2+v2, se w 6= 0

O conjunto dos numeros complexos munido com tais operacoes e denotado por C. Apartir dessas definicoes, algumas propriedades podem ser facilmente verificadas :

(a) z ± w = z ± w

(b) zw = zw

(c) zz = |z|2

(d) Re(z) = z+z2

(e) Im(z) = z−z2i.

Em C, definimos a funcao exponencial da seguinte maneira

ez = exp(z) =∞∑n=0

zn

n!= 1 + z +

z2

2+ . . . (1)

Utilizando o criterio da razao verifica-se que o raio de convergencia da serie complexa acimae ∞, ou seja, a serie converge para todo numero complexo. Em particular, para z = iθ,θ ∈ R, devido a convergencia absoluta de (1), nos obtemos a formula de Euler :

eiθ =∑∞n=0

(iθ)n

n!

=∑∞n=0

(iθ)2n

(2n)!+∑∞n=0

(iθ)2n+1

(2n+1)!

= 1− θ2

2+ θ4

4!+ . . .+ i(θ − θ3

3!+ θ5

5!+ . . .)

eiθ = cos θ + isen θ.

(Observemos que i2n = (i2)n = (−1)n.) Alem disso, e−iθ = cos θ − isen θ = eiθ. Portanto,devido a (d) e (e) concluımos que :

cos θ =eiθ + e−iθ

2, sen θ =

eiθ − e−iθ

2i.

1

A partir da formula de Euler, algumas demonstracoes de identidades trigonometricasse tornam muito mais simples. Por exemplo, uma vez que

eiθeiφ = ei(θ+φ)

nos temos que

(cos θ + isen θ)(cosφ+ isenφ) = cos(θ + φ) + isen (θ + φ),

e se nos multiplicarmos o lado esquerdo da igualdade acima e igualarmos a parte real e aimaginaria, obteremos ambas as formulas de seno e cosseno de uma soma.

Dado z = x + iy, um numero complexo, seja θ o angulo que a reta que passa por(x, y) e a origem (0, 0) faz com o eixo-x no plano cartesiano, desta forma, vemos que :

cos θ =x√

x2 + y2=

x

|z|, sen θ =

y√x2 + y2

=y

|z|

entao, podemos escrever :

z = x+ iy = |z| cos θ + i|z|sen θ= |z|(cos θ + isen θ) = |z|eiθ.

E chamamos θ = arctan yx

como sendo o argumento de z (nao e univocamente de-terminado). Esta representacao de numero complexo e chamada de forma polar. E sez = r(cos θ + isen θ) = reiθ, vemos entao que

zn = (reiθ)n = rneinθ = rn(cosnθ + isennθ).

Exercıcios

1. Ache a parte real, a parte imaginaria e o valor absoluto dos numeros complexos: (i+2)/(i− 2); (1 + i

√3)2; 1/(1− i); (2− 3i)/(3 + 2i); (2− 3i)3; e2+5i; e8i.

2. Escreva na forma polar os seguintes numeros complexos: 3− 4i; −√

2−√

2i; (1 +i)/(1− i),−1 + i

√3.

3. Escreva na forma a+ ib os seguintes numeros complexos: (1/2 + i√

3/2)63; (1 + i)69.

4. Mostre usando a formula de Euler que sen 2θ = 2sen θ cos θ e que cos 2θ = cos2 θ−sen 2θ.

5. Obtenha formulas para cos 3θ e sen 3θ.

6. Mostre que |eiθ| = 1 para todo θ real.

2

2 Forma Complexa da Serie de Fourier

A partir da serie de Fourier de uma funcao f , introduziremos o conceito da forma complexada serie de Fourier. Alguns resultados da secao anterior serao fundamentais neste topico.Mas, primeiramente, facamos uma definicao.

Definicao 2.1 Uma funcao f : R → R e uma funcao secionalmente contınua se f forseccionalmente contınua em qualquer intervalo fechado em R.

Seja f : R→ R uma funcao periodica de perıodo 2l, seccionalmente contınua com f ′

seccionalmente contınua, entao, f se expressa por uma serie de Fourier

f(x) =a0

2+∞∑n=1

(an cosnπx

l+ bnsen

nπx

l),

com

an =1

l

∫ l

−lf(x) cos

nπx

ldx e bn =

1

l

∫ l

−lf(x)sen

nπx

ldx, n ≥ 0 inteiros. (2)

Pelos resuldados da secao anterior, temos que :

an cos nπxl

+ bnsen nπxl

= anei nπxl +e

−i nπxl

2+ bn

ei nπxl −e−i

nπxl

2i

= 12(an + bn

i)ei

nπxl + 1

2(an − bn

i)e−i

nπxl

= 12(an − ibn)ei

nπxl + 1

2(an + ibn)e−i

nπxl

= cneinπxl + dne

−inπxl ,

em que

cn =an − ibn

2, dn =

an + ibn2

, n > 0.

Vamos considerar as formulas (2) dos coeficientes da serie de Fourier validas paran ≤ 0 inteiros. Desta forma, obtemos que an = a−n e bn = −b−n. Sendo assim, teremos quecn = d−n e c0 = a0/2.

Logo,

an cosnπx

l+ bnsen

nπx

l= cne

inπxl + c−ne

−inπxl .

Da definicao de cn e pelas equacoes dadas em (2), podemos mostar que

cn =1

2l

∫ l

−lf(x)e−i

nπxl dx, ∀n ∈ Z. (3)

A fim de obtermos a forma complexa da serie de Fourier, introduziremos a seguintenotacao

∞∑n=−∞

γn = γ0 +n=∞∑n=1

(γn + γ−n),

pondo γn = cneinπxl , temos que f(x) = γ0 +

∑n=∞n=1 (γn + γ−n), ou ainda,

f(x) =n=∞∑n=−∞

cneinπxl . (4)

A serie (4) com os coeficientes dados por (3) e chamada de forma complexa da seriede Fourier de f(x).

3

Exemplo 2.1 Obtenha a forma complexa da serie de Fourier da funcao

f(x) =

{1, 0 ≤ x ≤ π0, −π < x < 0

f(x+ 2π) = f(x).Como l = π, obtemos

f(x) =∞∑

n=−∞cne

inx,

em que

cn =1

2π

∫ π

−πf(x)e−inxdx, ∀n ∈ Z.

Como c0 = 12

e segue para n 6= 0 que :

cn = 12π

∫ 0−π 0e−inxdx+ 1

2π

∫ π0 1e−inxdx

= 12π

[e−inx

−in

∣∣∣∣π0

]= 1

2π

[in(e−inπ − 1)

]cn = i

2nπ[(−1)n − 1].

Assim

f(x) =1

2+

∞∑n=−∞,n 6=0

i

2nπ[(−1)n − 1]einx.

Exercıcios

1. Mostre que os coeficientes da forma complexa da serie de Fourier de uma funcao ımparsao imaginarios puros (numeros complexos com parte real nula) e de uma funcao parsao reais.

2. Com a definicao dos coeficientes da serie de Fourier, mostre que an = a−n e quebn = −b−n.

3. Obtenha a forma complexa da serie de Fourier da funcao f(x) = e−x se −π < x ≤ π ef(x+ 2π) = f(x).

4. Da forma complexa obtida no exercıcio anterior, obtenha a serie de Fourier da mesmafuncao f .

5. Repita os exercıcios 3 e 4 para a funcao f(x) = x2 se −π < x ≤ π e f(x+ 2π) = f(x).

6. Escreva a forma complexa da serie de Fourier da funcao f(x) = cos x+ cos 3x+ sen 3x.

7. Calcule a forma complexa da serie de Fourier das funcoes f(x) = cosαx e g(x) = senαxcom f(x+ 2π) = f(x) e g(x+ 2π) = g(x) em que α nao e um numero inteiro.

4

8. Sejam f e g duas funcoes contınuas e periodicas de perıodo 2l. Defina o produto internoentre estas funcoes da seguinte maneira:

< f(x), g(x) >=∫ l

−lf(x)g(x)dx.

(a) Seja γn(x) = einπxl com n ∈ Z. Mostre que

< γn(x), γm(x) >=

{0 , se n 6= m2l , se n = m

(b) Seja f como anteriormente e admita que

f(x) =n=∞∑n=−∞

cneinπxl ,

mostre formalmente que< f(x), γn(x) >= 2lcn.

Conclua daı que

cn =1

2l

∫ l

−lf(x)e−i

nπxl dx.

3 A motivacao da transformada de Fourier

O metodo separacao de variaveis e eficaz na obtencao da solucao do problema de conducaode calor em uma barra finita e na solucao do problema de uma corda vibrante. Tais solucoessao dadas por somas de senos e cossenos cujos os coeficientes dependem do parametro t. Aideia e estendermos estes resultados para uma barra infinita e uma corda infinita para asequacoes de calor e onda respectivamente.

Uma ideia consiste em se resolver a equacao de calor para uma barra de comprimentol e fazermos l→∞. Condicoes serao devidamente impostas para garantir a convergencia dasolucao. Ja a motivacao que daremos, consiste em obtermos uma serie de Fourier de umafuncao periodica de perıodo 2l e tambem fazermos l→∞.

Procedemos entao, a uma motivacao tradicional e formal da definicao da Transfor-mada de Fourier, dada como o “limite”de uma serie de Fourier. Antes de realizarmos esteprocedimento necessitamos da seguinte definicao

Definicao 3.1 Uma funcao f : R −→ R seccionalmente contınua e dita absolutamenteintegravel se

lima→∞,b→∞

∫ b

−a|f(x)|dx =

∫ ∞−∞|f(x)|dx <∞.

e se apenas

lima→∞,b→∞

∫ b

−af(x)dx =

∫ ∞−∞

f(x)dx

convergir, dizemos que f e condicionalmente integravel.

5

Observemos que a e b na definicao acima tendem independentemente para infinito.Este fato e importante quando se trata de integrais improprias, pois nao queremos afirmarque a integral impropria ∫ ∞

−∞xdx = lim

a→∞

∫ a

−axdx = lim

a→∞0 = 0,

seja convergente e sim, pelo contrario, queremos considerar esta integral impropria comodivergente.

O espaco das funcoes absolutamente integraveis emR sera indicado por L1(R). Entao,afirmar que uma funcao f ∈ L1(R) equivale a dizer que dado qualquer ε > 0, existe M > 0tal que ∫

|x|>M|f(x)|dx < ε,

ou seja,

lim|M |→∞

∫x>|M |

|f(x)|dx = 0. (5)

Sejam f : R → R uma funcao seccionalmente contınua, absolutamente integravelcom f ′ seccionalmente contınua e fl : R → R uma funcao periodica de perıodo 2l, defi-nida por fl(x) = f(x) se −l < x ≤ l e fl(x + 2l) = fl(x), ∀x ∈ R. Vemos entao queliml→∞ fl(x) = f(x) para cada x ∈ R.

Como fl satisfaz as condicoes do teorema de Fourier, podemos escrever que:

fl(x) =∞∑

n=−∞cne

inπxl ,

em que

cn =1

2l

∫ l

−lfl(x)e−i

nπxl dx =

1

2l

∫ l

−lf(x)e−i

nπxl dx.

Facamos ωn = (nπ)/l e portanto ωn+1 − wn = π/l. Pondo ∆ω = π/l, podemosreescrever os coeficientes cn da seguinte forma:

cn = 12l

∫ l−l f(x)e−i

nπxl dx

= ∆ω2π

∫ l−l f(x)e−iωnxdx

cn = ∆ω√2π

1√2π

∫ l−l f(x)e−iωnxdx.

Seja

fl(ω) =1√2π

∫ l

−lf(x)e−iωxdx. (6)

Colocamos o fator (2π)−1/2 multiplicando a integral apenas por uma questao deestetica, ele faz com que certas formulas fiquem simetricas1. Vemos entao que

cn =∆ω√

2πfl(ωn)

1Alertamos que este fato nao e padronizado nos textos que tratam do assunto. Isto significa que o leitordevera ter cuidado ao utilizar formulas ou tabelas de outros textos

6

logo, temos que

fl(x) =∞∑

n=−∞

∆ω√2πfl(ωn)eiωnx. (7)

A serie dada em (7) se assemelha a uma soma de Riemann na variavel ω, e se fizermosl tender para ∞ teremos que ∆ω tendera para 0. (Lembremo-nos que se h : [a, b] → R foruma funcao integravel entao :

∫ b

ah(x)dx = lim

k→∞

k∑n=1

h(xn)∆x (8)

em que ∆x = (b− a)/k, x0 = a e xn = x0 + n∆x, para j = 1, 2, ..., k.)A partir de (6), definimos

f(ω) = liml→∞

fl(ω) =1√2π

∫ ∞−∞

f(x)e−iωxdx.

Considerando em (8) xn = ωn, h(x) = f(x)e−iωx e ∆x = ∆ω, da igualdade (7),obtemos formalmente que

liml→∞ fl(x) = liml→∞1√2π

∑n=∞n=−∞∆ωfl(ωn)eiωnx

= 1√2π

∫∞−∞ f(ω)eiωxdω

liml→∞ fl(x) = f(x)

A formula (6) motiva a definicao da transformada de Fourier da funcao f como sendo

f(ω) =1√2π

∫ ∞−∞

f(x)e−iωxdx, (9)

caso a integral impropria esteja bem definida. Ja a igualdade liml→∞ fl(x) = f(x) nos dizque

f(x) =1√2π

∫ ∞−∞

f(ω)eiωxdω. (10)

que e a transformada inversa de Fourier de f(ω).Afirmar que (9) esta bem definida significa que para cada ω a integral converge para

um numero, e, portanto, temos uma funcao f(ω) definida em R. A condicao f ∈ L1(R) esuficiente para que a transformada de Fourier exista. De fato, como |eiθ| = 1, para todo θreal, temos que :

| 1√2π

∫∞−∞ f(x)e−iωxdx| ≤ 1√

2π

∫∞−∞ |f(x)e−iωx|dx =

= 1√2π

∫∞−∞ |f(x)|dx <∞.

A condicao de f estar em L1(R) e apenas suficiente, pois existem funcoes que nao saoabsolutamente integraveis embora a expressao (9) convirja, mas nao absolutamente.

Indicaremos a transformada de Fourier de uma funcao f por f(ω) ou F(f) e a trans-formada inversa de f por f ou por F−1(f).

Facamos um exemplo dessas transformacoes:

7

Exemplo 3.1 Seja f : R → R definida por f(x) = 1 se −1 ≤ x ≤ 1 e f(x) = 0 se x > 1ou x < −1.

Aplicando (9), temos que

f(ω) = F(f(x)) = 1√2π

∫∞−∞ f(x)e−iωxdx

= 1√2π

∫ 1−1 e

−iωxdx

= 1√2π

[ e−iωx

−iω ]x=1x=−1

= 2√2π

eiω−e−iω2iω

f(ω) =√

2π

senωω.

Veremos agora se podemos recuperar a funcao f por meio de (10). Usando a teoriados resıduos das funcoes complexas ou mesmo transformda de Laplace( veja o exercıcio (4))podemos mostrar que ∫ ∞

−∞

senω

ωdω = π. (11)

Decorre de (11), atraves de uma mudanca de variavel que

∫ ∞−∞

sen (λω)

ωdω = sign(λ)π

em que sign(λ) = 1 se λ > 0, sign(λ) = 0 se λ = 0 e finalmente sign(λ) = −1, se λ < 0.Entao, aplicando (10), temos que

g(x) = F−1(f(ω) = 1√2π

∫∞−∞ f(ω)eiωxdω

= 1√2π

∫∞−∞

√2π

senωωeiωxdω

= 1π

∫∞−∞

senωω

(cosωx− isenωx)dω= 1

2π

∫∞−∞

senωω

cosωxdω

= 12π

∫∞−∞

sen [(1+x)ω]+sen [(1−x)ω]ω

dωg(x) = 1

2[sign(1 + x) + sign(1− x)].

Observemos que no calculo acima, utilizamos que∫∞−∞ sen (ω)sen (ωx)/(ω)dω = 0.Temos

alguns casos a considerar: Se x > 1 entao sign(1 + x) = 1 e sign(1 − x) = −1, logo,g(x) = 0 se x > 1. Analogamente, g(x) = 0 se x < −1. Se −1 < x < 1, temos quesign(1−x) = sign(1+x) = 1 e consequentemente, g(x) = 1 e finalmente g(1) = g(−1) = 1/2.Chegamos ao resultado F−1(f(ω)) = g(x) em que g(x) = 1 se −1 < x < 1, g(x) = 0 sex > 1 ou x < −1 e g(1) = g(−1) = 1/2.

Vemos entao que g coincide com f para x 6= 1 e x 6= −1, ou seja, g coincide comf nos pontos de continuidade de f e g(1) e g(−1) e a media dos limites laterais de f nospontos de descontinuidade. Fato este que era de se esperar, pois a transformada de Fourierfoi obtida atraves de um ”limite”de uma serie de Fourier.

Exercıcios

8

1. Verifique se as funcoes abaixo sao absolutamente integraveis, ou condicionalmente in-tegraveis ou divergentes :

(a) f(x) = 11+x2

(b) f(x) = e−x2

(c) f(x) =

{1, se |x| ≤ 11/x, se |x| > 1

(d) f(x) =

{ex, se x ≤ 0e−x, se x > 0

(e) f(x) = senx (f) f(x) = senx2

(g) f(x) =

{senxx, se x 6= 0

1, se x = 0(h) f(x) = k, k ∈ R

2. Ache a transformada de Fourier das seguintes funcoes:

(a) f(x) =

{x, se 0 ≤ x ≤ a0, se caso contrario

(b) f(x) =

{1, se 0 ≤ x < 10, caso contrario

(c) f(x) =

{0, se x ≤ 0e−x, se x > 0

(d) f(x) =

{ex, se x ≤ 00, se x > 0

(e) f(x) =

{cosx, se |x| ≤ π0, se |x| > π

(f) f(x) =

{senx, se |x| ≤ π0, se |x| > π

3. Seja

f(x) =

{−2n2|x− n|+ 1, se |x− n| ≤ 1

2n2 para todo n ∈ Z∗

0, caso contrario

(a) Faca o grafico de f ,

(b) Mostre que f e uma funcao absolutamente integravel embora limx→±∞ f(x) 6= 0.

4. O objetivo deste exerıcio e mostrar que∫∞−∞

sen ttdt = π usando transformada de Laplace

(a) Seja f(t) = sen tt

se t 6= 0 e f(0) = 1. A funcao f e uma funcao analıtica e limitadapois |f(t)| ≤ 1. Entao f possui transformada de Laplace

L(f) = F (s) =∫ ∞

0e−stf(t)dt =

∫ ∞0

e−stsen t

tdt

e F ′(s) = L(−tf(t)) = L(−sen t) = − 11+s2

. Mostre que F (s) = − arctan(s) + C.

(b) Como |f(t)| ≤ 1 temos que lims→∞ F (s) = 0. Conclua que C = π/2.

(c) Como F (s) e uma funcao contınua em s ≥ 0. Faca s → 0 e conclua que∫∞0

sen ttdt = π

2

(d) Com o item (c) conclua que∫∞−∞

senttdt = π.

5. Admitindo que∫∞−∞

sen ttdt = π mostre que

∫∞−∞

senλttdt = sign(λ)π.

6. Usando o resultado do exercıcio (5) calcule a transformada inversa de Fourier dasfuncoes obtidas nos exercıcios (2)(b), 2(e) e 2(f).

9

7∗. Usando teoria dos resıduos de funcoes complexas calcule a transformada de Fourier dafuncao f(x) = 1/(1 + x2).

Sugestao: Use como caminho de integracao C = L ∪ CR em que L e o intervalofechado [−R,R] no eixo-x e CR e o semi-cırculo superior de raio R centrado na origemse ω < 0 e o semi-circulo inferior se ω > 0.

4 Transformada de Fourier

Nesta secao, inicialmente, daremos algumas propriedades da Transformada de Fourier validaspara funcoes absolutamente integraveis. Posteriormente, introduziremos o conceito de Espacode Schwartz que nos permite trabalhar sob hipoteses mais fortes que garantem as principaispropriedades da transformada de Fourier.

Proposicao 4.1 Sejam f, g ∈ L1(R) entao :

(a) F(af(x) + bg(x)) = aF(f(x)) + bF(g(x)), para a, b ∈ R

(b) F(f(x− c)) = e−iωcF(f(x)).

Demonstracao A demonstracao de (a) segue da linearidade da integral. Para demonstrar-mos a segunda afirmativa, temos, por definicao que:

F(f(x− c)) = (2π)−1/2∫ ∞−∞

f(x− c)e−iωxdx,

fazendo y = x− c, temos que dy = dx e x = y + c. Portanto, podemos escrever:

F(f(x− c)) = (2π)−1/2∫ ∞−∞

f(y)e−iωce−iωydy = e−iωcF(f)

Para a proxima propriedade precisaremos do lema de Riemann-Lebesgue que afirma entre

outras coisas que os coeficientes an e bn de uma serie de Fourier de uma funcao seccionalmentecontınua tendem a zero quando n tende para o infinito.

Lema 4.1 ( Riemann-Lebesgue ) Seja f : [a, b] → R uma funcao seccionalmente contınuaentao temos que

limn→∞

∫ b

af(x) cos(nx)dx = lim

n→∞

∫ b

af(x)sen (nx)dx = 0

Demonstracao Provaremos que limn→∞∫ ba f(x) cos(nx)dx = 0. Como∫ b

af(x) cos(nx)dx =

∫ t1

t0f(x) cos(nx)dx+ . . .+

∫ tn

tn−1

f(x) cos(nx)dx

em que a = t0 < t1 < . . . < tn−1 < tn = b e f e contınua em (tj, tj+1) e possui limites lateraislimitados neste intervalo, basta mostrar o lema para uma funcao contınua em [a, b]. Sendoassim, temos que∫ b

af(x) cos(nx)dx =

∫ a+h

af(x) cos(nx)dx+

∫ b

a+hf(x) cos(nx)dx

10

para todo h que faca sentido as integrais acima. Em particular, para h = π/n, com nsuficientemente grande. Na segunda integral do lado direito da igualdade acima, facamosuma mudanca de variavel y = x− h. Entao, temos que:∫ b

a+h f(x) cos(nx)dx =∫ b−ha f(y + h) cos(ny + π)dy = −

∫ b−ha f(y + h) cos(ny)dy

= −∫ b−ha f(x+ h) cos(nx)dx

Portanto, temos a seguinte relacao:∫ b

af(x) cos(nx)dx =

∫ a+h

af(x) cos(nx)dx−

∫ b−h

af(x+ h) cos(nx)dx. (12)

Da mesma forma, temos que:∫ b

af(x) cos(nx)dx =

∫ b−h

af(x) cos(nx)dx+

∫ b

b−hf(x) cos(nx)dx (13)

Somando (12) e (13), temos que :

2∫ ba f(x) cos(nx)dx =

∫ a+ha f(x) cos(nx)dx+

∫ bb−h f(x) cos(nx)dx+

+∫ b−ha (f(x)− f(x+ h)) cos(nx)dx.

Como f e contınua em [a, b], temos que limh→0 f(x+h) = f(x), e alem disso, sabemosque |

∫ ba g(x)dx| ≤ max{|g(x)|, a ≤ x ≤ b}|b − a| com g contınua em [a, b]. Entao, fazendo

h→ 0, obtemos o resultado desejado.Analogamente, demonstra-se a segunda afirmacao do lema.

Utilizando a formula de Euler obtemos a seguinte consequencia do lema de Riemann-Lebesgue:

Corolario 4.1 Seja f : [a, b]→ R uma funcao seccionalmente contınua entao

lim|ω|→∞

∫ b

af(x)eiωxdx = 0

Teorema 4.2 Seja f : R → R uma funcao secionalmente contınua e absolutamente in-tegravel entao

lim|ω|→∞

f(ω) = 0.

Demonstracao Dado ε > 0, de (5), existe M > 0 tal que

∫|x|>M

|f(x)|dx < ε√

2π

2.

Pelo lema de Riemann-Lebesgue, sabemos que:

lim|ω|→∞

∫|x|≤M

f(x)e−iωxdx = 0.

11

Entao para |ω| > ω0, para um certo ω0, temos que

|f(ω)| ≤ (2π)−1/2

∣∣∣∣ ∫|x|≤M

f(x)e−iωxdx∣∣∣∣+ (2π)−1/2

∫|x|>M

|f(x)|dx < ε.

Portanto, concluımos a afirmacao do teorema.

Exemplo 4.1 Se f(x) = cos(ax2) com a > 0 entao f(ω) = 1√2a

cos(ω2

4a− π

4) e no entanto

lim|ω|→∞ f(ω) 6= 0. Mas f nao e absolutamente integravel. Com um pouco mais de trabalho,

pode-se mostrar que∫∞−∞ cos(ax2)dx =

√π2a, ou seja, f e condicionalmente convergente.

Definimos na secao anterior a transformada de Fourier de uma funcao absolutamenteintegravel como sendo a integral impropria

f(ω) =1√2π

∫ ∞−∞

f(x)e−iωxdx,

e formalmente definimos a transformada inversa de f como sendo

f(x) =1√2π

∫ ∞−∞

f(ω)eiωxdω.

Uma questao surge naturalmente: Para quais funcoes valem as formulas acima, ou seja, seF−1(f) = f? Para respondermos esta questao definiremos o espaco de Schwartz.

Definicao 4.1 O espaco de Schwartz que denotaremos por S(R), e a colecao das funcoesf : R → C infinitamente diferenciaveis tais que, quaisquer que sejam n,m ≥ 0 inteiros,existe uma constante M(n,m) com

|xnf (m)(x)| ≤M(n,m), ∀x ∈ R.

Vemos entao que a partir da definicao do espaco de Schwartz que se uma funcao f ∈S(R) temos que para todo n,m ≥ 0 inteiros, entao xnf (m)(x) ∈ S(R), e alem disso, olim|x|→∞ f

(m)(x) = 0 e f e abolutamente integravel. De fato, tome n = 2 e por definicaoexiste uma constante M(2,m) = M tal que

|f (m)(x)| ≤ M

x2, se |x| ≥ 1,

segue diretamente que lim|x|→∞ f(m)(x) = 0 e que

∫∞−∞ |f (m)(x)|dx =

∫ 1−1 |f (m)(x)|dx+

∫|x|>1 |f (m)(x)|dx

≤∫ 1−1 |f (m)(x)|dx+

∫|x|>1

Mx2dx <∞.

Portanto, f (m) e absolutamente integravel.

12

Exemplo 4.2 Vejamos que f(x) = e−x2

pertence ao espaco de Schwartz. Derivando f mvezes verificamos que f (m)(x) = p(x)e−x

2para um certo polinomio p(x). Portanto, dado

um numero n inteiro nao-negativo, temos que xnf (m)(x) = q(x)e−x2

em que q(x) = xnp(x).Logo, por L’Hopital, xnf (m)(x) → 0 quando |x| → ∞ e portanto xnf (m)(x) e uma funcaolimitada em R, isto e, f ∈ S(R).

Teorema 4.3 Se f ∈ S(R) entao f ∈ S(R) e F−1(f) = f.

Prova Consulte [2].A proxima propriedade relaciona a transformada de uma funcao como a transformada

de sua derivada.

Teorema 4.4 Seja f : R → R uma funcao diferenciavel e f(x) → 0 quando |x| → ∞.Alem disso, consideremos que f e f ′ sejam absolutamente integraveis, entao

F(f ′(x)) = iωF(f(x)).

Demonstracao Integrando por partes e usando que f(x)→ 0 quando |x| → ∞, nos obtemosque:

F(f ′(x)) = (2π)−1/2∫∞−∞ f

′(x)e−iωxdx= (2π)−1/2[f(x)e−iωx|∞−∞ − (−iω)

∫∞−∞ f(x)e−iωxdx]

= iωF(f(x)).

Corolario 4.5 Se f ∈ S(R) entao para todo n ≥ 0 inteiro F(f (n)(x)) = (iω)nF(f(x)).

Exemplo 4.3 Seja f(x) = e−|x|. Para x 6= 0, vemos que

f ′(x) =

{ex, x < 0

− e−x, x > 0e f ′′(x) =

{ex , x < 0e−x , x > 0.

Podemos verificar que F(f ′(x)) = iωF(f(x)) e F(f ′′(x)) = F(f(x)) 6= (iω)2F(f(x)). Ob-servemos ainda que para todo n,m ≥ 0 temos que lim|x|→∞ x

nf (m)(x) = 0 e no entantof /∈ S(R). Por que ?

Um importante problema em matematica e de determinar se uma funcao Ψ(x), defi-nida por por meio de integral impropria

Ψ(x) =∫ ∞−∞

f(x, y)dy,

em que f : I x R→ R, sendo I um intervalo limitado ou nao em R, e uma funcao contınua,diferenciavel, etc. Alem disso, se Ψ for diferenciavel, sob quais hipoteses temos que

Ψ′(x) =∫ ∞−∞

∂f

∂x(x, y)dy ?

13

Uma condicao necessaria imediata e que para x ∈ I fixado, a funcao y 7→ f(x, y) seja umafuncao integravel. No caso em questao, queremos saber se

ddω

(f(ω)) = f ′(ω) = (2π)−1/2∫∞−∞

∂∂ω

(f(x)e−iωx)dx= (2π)−1/2

∫∞−∞ f(x)(−ix)e−iωxdx ?

Teorema 4.6 Se f ∈ S(R) entao para todo n ≥ 0 temos que f (n)(ω) = F((−ix)nf(x)).

Demonstracao Consulte [1].

Exemplo 4.4 Sejam f(x) = e−ax2, com a > 0 e f(ω) sua transformada de Fourier. Pelo

teorema anterior, temos que :

f ′(ω) = (2π)−1/2∫ ∞−∞−ixe−ax2e−iωxdx,

chamando u = −ie−iωx e dv = xe−ax2dx e integrando por partes, nos obtemos que

f ′(ω) = (2π)−1/2[ie−iωx

e−ax2

2a

∣∣∣∣∞−∞− ω

2a

∫ ∞−∞

e−ax2

e−iωxdx]

= − ω

2af(ω).

Como se trata de equacao diferencial ordinaria de primeira ordem, entao f(ω) = Ieω2

4a .Resta-nos calcular f(0) = (2π)−1/2

∫∞−∞ e

−ax2dx = I. Esta integral aparece em varias

aplicacoes, em particular na distribuicao normal e seu valor e I = 1/√

2a, veja o exercıcio16. Portanto

f(ω) = F(e−ax2

) =1√2ae−

ω2

4a .

Observemos ainda que se a = 1/2 temos F(e−x2/2) = e−ω

2/2, ou seja, F(f) = f. Afuncao f e chamada de auto-funcao de F com autovalor igual a 1.

Dadas duas funcoes f e g absolutamente integraveis em R, sejam f(ω) e g(ω) comoanteriormente. Sera que F−1(f g) = f(x)g(x) ? Para respondermos esta questao, introduzi-remos o conceito de convolucao entre duas funcoes.

Definicao 4.2 Sejam f, g : R → C duas funcoes seccionalmente contınuas, absolutamenteintegraveis e limitadas, a convolucao de f e g e definida por

(f ∗ g)(x) =∫ ∞−∞

f(y)g(x− y)dy.

A partir da definicao da convolucao de duas funcoes pode-se mostar que (f ∗ g)(x) =(g ∗ f)(x). Como na transformada de Laplace, temos um resultado semelhante com a con-volucao em transformada de Fourier.

14

Exemplo 4.5 Sejam f(x) =

{x, se 0 ≤ x ≤ 10, caso contrario

e g(x) =

{1, se 0 ≤ x ≤ 10, caso contrario.

Calcularemos neste exemplo a convolucao de f e g. Entao:

h(x) = (f ∗ g)(x) =∫ ∞−∞

f(y)g(x− y)dy =∫ 1

0yg(x− y)dy.

Facamos uma mudanca de variavel na integral acima. Seja t = x − y entao dt = −dy e sey = 0, t = x e se y = 1, t = x− 1, segue se que

h(x) = −∫ x−1

x(x− t)g(t)dt =

∫ x

x−1(x− t)g(t)dt. (14)

Temos alguns casos a considerar:

(i) Se x < 0 entao g(t) = 0, ∀t ∈ [x− 1, x]. Portanto, por (14), temos que h(x) = 0, sex < 0.

(ii) Se 0 ≤ x ≤ 1 entao x − 1 ≤ 0 e portanto, g(t) = 0, ∀t ∈ [x − 1, 0) e g(t) = 1 set ∈ [0, x]. Segue-se de(14) que

h(x) =∫ 0

x−1(x− t)g(t)dt+

∫ x

0(x− t)g(t)dt = xt− t2/2|x0 = x2/2.

(iii) Se 1 < x ≤ 2 entao g(t) = 0 se t ∈ (1, x] e g(t) = 1 se t ∈ [x− 1, 1]. Segue-se de (14)que

h(x) =∫ 1

x−1(x− t)g(t)dt+

∫ x

1(x− t)g(t)dt = xt− t2/2|1x−1 = x− x2/2.

(iv) Se x > 2 entao x− 1 > 1 e g(t) = 0 se t ∈ [x− 1, x], logo, h(x) = 0 se x > 2.

Chegamos ao resultado:

(f ∗ g)(x) =

x2/2 , se 0 ≤ x ≤ 1,x− x2/2 , se 1 < x ≤ 2,0 , caso contrario.

Teorema 4.7 Sejam f, g como na definicao da convolucao entao

F((f ∗ g)(x)) =√

2πF(f)F(g).

Demonstracao

F((f ∗ g)(x)) = (2π)−1/2∫∞−∞ e

−iωx[ ∫∞−∞ f(y)g(x− y)dy

]dx

= (2π)−1/2∫∞−∞ f(y)

[ ∫∞−∞ e

−iωxg(x− y)dx]dy

= (2π)−1/2∫∞−∞ e

−iωyf(y)dy∫∞−∞ g(z)e−iωzdz

=√

2πF(f)F(g).

Uma forma alternativa do teorema (4.7) e a seguinte:

15

Corolario 4.8 Sejam f = F(f) e g = F(g) entao F−1(f g) = (2π)−1/2(f ∗ g).

Exemplo 4.6 Seja h(ω) = senωω

11+iω

. Queremos determinar a funcao h(ω) = F−1(h(x)).

Sendo assim, facamos f(ω) = senωω

e g(ω) = 11+iω

.Utilizando uma tabela de transformada de Fourier ou mesmo resultados de exercıcios

propostos, nos obtemos que:

f(x) =

{ √π/2, |x| ≤ 1

0, |x| > 1e g(x) =

{ √2πe−x, x ≥ 0

0, x > 0.

Entao, pelo corolario (4.8) nos obtemos que

h(x) =1√2π

(f ∗ g)(x) =1√2π

∫ ∞−∞

f(y)g(x− y)dy.

Deixamos como exercıcio para o leitor a determinacao da funcao h.

Exercıcios

1. Calcule a transformada de Fourier das seguintes funcoes:

(a) f(x) =

{1− |x|/a, se |x| ≤ a0, se |x| > a

(a > 0);

(b) f(x) = e−a|x| com x ∈ R com a > 0;

(c) f(x) = xe−x2

com x ∈ R;

(d) f(x) = 2(1 + 2x2)e−x2/2 com x ∈ R;

(e) f(x) =

{1, se |x| ≤ a0, se |x| > a;

(a > 0).

2. Seja f(ω) a transformada de Fourier da funcao f(x). Mostre que

(a) F(f(−x)) = f(−ω);

(b) F(f(ax)) = 1|a| f(ω

a);

(c) F(f(x)e−icx) = f(ω + c);

(d) F(f(x) cos(cx)) = [f(ω + c) + f(ω − c)]/2;

(e) F(f(x)sen (cx)) = [f(ω + c)− f(ω − c)]/(2i);

3. Mostre que a transformada de Fourier, f(ω), e uma funcao real se, e somente se f(x)for uma funcao par.

Sugestao: um numero complexo e real se,e somente se z = z.

16

4. Seja f funcao real e absolutamente integravel em R. Mostre que

f(−ω) = f(ω) .

Lembremos que a barra significa conjugado complexo, ou seja, se z = x+ iy, x, y ∈ R,entao z = x− iy.

5. Seja g(x) =∫ x−∞ f(t)dt. Alem disso, suponhamos que g(x)→ 0 quando x→∞. Mostre

que

F(g(x))(ω) =1

iωF(f(x))(ω).

6. Mostre que se f : R→ C for uma funcao contınua e absolutamente integravel entao

F(f(ω)) = F(F(f(x))) = F2(f(x)) = f(−x),

e conclua que F4(f(x)) = f(x).

7. Mostre que se f for uma auto-funcao de F , ou seja, F(f) = λf para algum λ ∈ C,entao λ4 = 1.

8. Calcule a transformada de Fourier das seguintes funcoes

(a) f(x) = sen (ax)/x;

(b) f(x) = (1− cos(ax))/x2;

(c) f(x) = 1/(a2 + x2);

Sugestao: Use os exercıcios (1) e (6).

9. Sejam f(x) =

{e−2x, se x ≥ 00, se x < 0

e g(x) =

{e−x, se x ≥ 00, se x < 0

.

Calcule a convolucao (f ∗ g)(x).

10. Sejam f(x) =

{1, se |x| ≤ 10, se |x| > 1

e g(x) =

{e−x, se x ≥ 00, se x < 0

.

Calcule a convolucao (f ∗ g)(x).

11. Uma forma alternativa do teorema da convolucao:

Mostre que

F−1[f g] =1√2πf ∗ g .

Sugestao : Use que F [φ ∗ ψ] =√

2π φ ψ.

12. Calcule as funcoes cujas as transformadas de Fourier sao dadas abaixo:

(a) senωωe−2ω2

;

(b) e−|ω−1|

1+ω2 ;

17

(c) 1(1+iω)(1+2iω)

;

(d) iω1+ω2 ;

(e) 11−ω2+iω

;

13. Resolva a equacao ∫ ∞−∞

g(y)

(x− y)2 + 9dy =

2

x2 + 16.

14. Mostre que ∫ ∞−∞

f(x)g(x)dx =∫ ∞−∞

f(ω)g(ω)dω.

Conclua que se f(x) = g(x) para todo x ∈ R entao∫ ∞−∞|f(x)|2dx =

∫ ∞−∞|f(ω)|2dω.

15. Seja f(x) =

{x, se |x| ≤ 10, se |x| > 0

.

Calcule F(f(x))(ω) = f(ω) e com o exercıcio anterior, mostre que∫ ∞−∞

(x cosx− senx)2

x4dx =

π

3.

16. O objetivo deste exercıcio e mostrar que I = (2π)−1/2∫∞−∞ e

−ax2dx = 1/√

2a com a > 0.

(a) Convenca-se que I = (2π)−1/2∫∞−∞ e

−ax2dx = (2π)−1/2∫∞−∞ e

−ay2dy e que

I2 =[(2π)−1/2

∫ ∞−∞

e−ax2

dx][

(2π)−1/2∫ ∞−∞

e−ay2

dy]

=1

2π

∫ ∞∞

∫ ∞∞

e−a(x2+y2)dxdy.

(b) Introduzindo coordenadas polares

x = r cos θ, y = rsen θ, r ∈ [0,∞) e θ ∈ [0, 2π),

e tambem lembrando que dxdy = rdrdθ, mostre que

I2 =1

2π

∫ 2π

0

∫ ∞0

e−ar2

rdrdθ =∫ ∞

0e−ar

2

dr

(c) Calcule a integral impropria∫∞

0 e−ar2dr e conclua que I = 1/

√2a.

17. Seja f(x) a transformada inversa de Fourier da funcao f(ω). Mostre que

(a) F−1(f(ω + c)) = f(x)e−icx;

(b) F−1(f(ω) cos(cω)) = [f(x+ c) + f(x− c)]/2;

(c) F−1(f(ω)sen (cω)) = [f(x+ c)− f(x− c)]/(2i);

18∗. Use o fato que∫∞−∞ cosx2dx =

∫∞−∞ senx2dx =

√2π2

para mostrar que F(cos(ax2)) =1√2a

cos(ω2

4a− π

4) e F(sen (ax2)) = 1√

2acos(ω

2

4a+ π

4) com a > 0.

Sugestao: Calcule primeiramente F(cosx2) e depois faca a mudanca de variavel x 7→√ax.

18

5 Aplicacoes da Transformada de Fourier

Nesta secao daremos algumas aplicacoes da transformada de Fourier. Resolveremos os pro-blemas de conducao de calor em uma barra infinita e semi-infinita e o da vibracao em cordasinfinitas.

Exemplo 5.1 Consideremos o problema de conducao de calor em uma barra infinita sujeitaa condicao inicial f(x). {

∂u∂t

(x, t) = α2 ∂2u∂x2

(x, t), x ∈ R, t > 0u(x, 0) = f(x), x ∈ R.

(15)

Conhecendo-se a funcao f e a constante de difusibilidade termica α, o problema con-siste em determinarmos uma funcao u(x, t) que satisfaca as duas condicoes do problema(15). Facamos uma tentativa para obtermos a solucao do problema acima. Seja

u(ω, t) = F(u(x, t)) = (2π)−1/2∫ ∞−∞

e−iωxu(x, t)dx

a transformada de Fourier da funcao u(x, t) em relacao a variavel x. E supondo que podemosdevirar sob o sinal de integracao:

∂u

∂t(ω, t) = (2π)−1/2

∫ ∞−∞

e−iωx∂u

∂t(x, t)dx.

Pela equacao diferencial parcial acima, podemos escrever que

∂u

∂t(ω, t) = (2π)−1/2

∫ ∞−∞

e−iωxα2∂2u

∂x2(x, t)dx.

Uma hipotese devera ser imposta neste instante: lim|x|→∞ u(x, t) = lim|x|→∞ ux(x, t) = 0,pois assim teremos que

∂u

∂t(ω, t) = α2F(uxx(x, t)) = α2(iω)2F(u(x, t)) = −α2ω2u(ω, t).

Entao, obtemos uma equacao diferencial parcial que pode ser reduzida uma equacaodiferencial ordinaria, cuja solucao e

u(ω, t) = C(ω)e−α2ω2t.

Para determinarmos C(ω), constante em relacao a variavel t, devemos utilizar a condicaode inicial

u(ω, 0) = F(u(x, 0)) = F(f(x)) = f(ω),

logo, temos queu(ω, t) = f(ω)e−α

2ω2t.

Uma nova hipotese deve ser acrescentada, e que a funcao f deve ser absolutamenteintegravel para que exista f .

19

Caso saibamos a expressao de f , podemos usar a transformada inversa de Fourierou mesmo utilizando uma tabela de transformada e obtermos a expressao da funcao u(x, t).Utilizaremos o teorema da convolucao, para obtermos a funcao cuja transformada e dadaacima.

Seja k(ω, t) = e−α2ω2t. Como F−1(e−ω

2/(4a)) =√

2ae−ax2

com a > 0, temos que

k(x, t) =1√

2α2te−

x2

4α2t ,

e f(x) = F−1(f(ω)), vemos entao pelo teorema da convolucao que

u(x, t) = (2π)−1/2(k ∗ f)(x, t) =1√

4πα2t

∫ ∞−∞

f(y)e−(x−y)2

4α2t dy (16)

Uma indagacao natural e se a expressao (16) e a solucao do problema (15)?

Teorema 5.1 Seja f : R → R uma funcao seccionalmente contınua, limitada e absolu-tamente integravel. Entao a expressao (16) define uma funcao u(x, t) infinitamente dife-renciavel no semiplano t > 0, que satisfaz a equacao diferencial parcial do problema (15).Alem disso, a condicao inicial e satisfeita no seguinte sentido:

limt→0+

u(x, t) =1

2[f(x+ 0) + f(x− 0)].

Em particular, se f for contınua,

limt→0+

u(x, t) = f(x).

Prova Consulte [1].Resolveremos agora o problema de vibracao de cordas infinitas.

Exemplo 5.2 Consideremos o seguinte problema:∂2u∂t2

(x, t) = a2 ∂2u∂x2

(x, t). x ∈ R, t > 0;u(x, 0) = f(x), x ∈ R;∂u∂t

(x, 0) = g(x), x ∈ R.

(17)

Fisicamente, a funcao f e a condicao inicial e a funcao g e velocidade inicial da corda.Resolveremos este problema para um caso especial em que g(x) = 0 para todo x ∈ R.

Como o mesmo espırito do exemplo anterior, facamos a transformada de Fourier dafuncao u(x, t) em relacao a variavel x. Desta forma, temos que

u(ω, t) = F(u(x, t)) = (2π)−1/2∫ ∞−∞

e−iωxu(x, t)dx,

e admitindo que possamos derivar sob sinal de integracao, nos obtemos que

∂2u

∂t2(ω, t) = (2π)−1/2

∫ ∞−∞

e−iωx∂2u

∂t2(x, t)dx.

20

Pela equacao diferencial parcial dada em (17), temos que

∂2u

∂t2(ω, t) = F(utt(x, t)) = F(a2uxx(x, t)).

Novamente, devemos impor duas condicoes na funcao u(x, t), que sao lim|x|→∞ u(x, t) =lim|x|→∞ ux(x, t) = 0 para que tenhamos as relacoes

∂2u

∂t2(ω, t) = a2(iω)2u(ω, t) = −a2ω2u(ω, t).

Obtemos entao uma equacao diferencial parcial que pode ser reduzida a uma equacao dife-rencial ordinaria cuja solucao e dada abaixo:

u(ω, t) = C1(ω) cos(aωt) + C2(ω)sen (aωt).

Devemos agora determinar as funcoes C1 e C2. Por hipotese, temos que u(ω, 0) = f(ω) eut(x, t) = F(ut(x, t)), portanto

∂u

∂t(ω, 0) = F(ut(x, 0)) = F(g(x)) = g(ω) = 0.

Como no exemplo (5.1), as funcoes f e g devem ser absolutamente integraveis. Entao,obtemos que

C1 = f(ω) e C2 = 0.

Logo, u(ω, t) = f(ω) cos(aωt). Segue que :

u(x, t) =1

2[f(x+ at) + f(x− at)] (18)

Deixamos como exercıcio o caso em que g nao e identicamente nula.

Desde que a funcao f seja duas vezes diferenciavel podemos mostrar que a expressao(18) satisfaz as condicoes do problema (17). Uma observacao importante e que a expressao(18) continua sendo solucao do problema (17) com velocidade inicial nula nos casos em quef nao e abosultamente integravel e mesmo nos casos em que nao se tenha lim|x|→∞ u(x, t) =lim|x|→ ux(x, t) = 0.

Exercıcios

1. Equacao de onda:

(a) Mostre que a transformada de Fourier da solucao do problemautt − a2uxx = 0 , x ∈ R, t > 0

u(x, 0) = f(x) , x ∈ Rut(x, 0) = g(x) , x ∈ R

e

u(ω, t) = f(ω) cos aωt+1

aωg(ω) sen aωt .

21

(b) Sabendo que a energia total de uma corda infinita vibrante e

E =1

2ρ∫ ∞−∞

(ut(x, t)2 + a2ux(x, t)

2)dx ,

onde ρ e a densidade linear de massa na corda, mostre que ela pode ser reescrita como

E =1

2ρ∫ ∞−∞

(a2ω2|f(ω)|2 + |g(ω)|2)dω .

Conclua que a energia se conserva.

2. Obtenha a expressao da solucao do problema anterior.

3. Equacao do calor:

Considere uma barra infinita com difusividade termica α2 = 1/4 e com temperaturainicial u(x, 0) = e−(x−b)2 , b > 0.

(a) Calcule a temperatura u(0, t) do ponto x = 0 para qualquer instante t > 0.

(b) Mostre que esta temperatura atinge um maximo num determinado instante τ(b) edepois decresce a zero. Calcule τ(b) em funcao de b.

(c) Procure entender fisicamente porque u(0, t) primeiramente cresce para depois tendera zero.

4. A equacao que governa a temperatura u(x, t) de uma barra infinita (−∞ < x < ∞)que troca calor pela superfıcie lateral com um ambiente a temperatura 0 e

ut − α2uxx = −γu ,

onde γ e uma constante positiva. Se a temperatura inicial e u(x, 0) = e−x2, calcule

u(x, t) para t > 0. Mostre que, como seria de se esperar, a temperatura em todosos pontos tende a 0 quando t → ∞ e o faz mais rapidamente que no caso γ = 0 daequacao do calor usual.

5. Resolva a equacao diferencial abaixo, utilizando transformada de Fourier.

u′′ − u = −f(t),

onde u′ e a derivada de u em relacao a variavel t. Alem disso, a funcao f e absoluta-mente integravel e limitada.

Observemos que a transformada de Fourier gera uma solucao da equacao diferencialacima sem as condicoes iniciais. Porem, tal equacao diferencial e de 2a ordem, eportanto deverıamos ter condicoes iniciais para caracterizar um PVI. Voce saberiadizer quais as condicoes iniciais do PVI que foi resolvido?

6. Use transformada de Fourier para resolver problema de vibracao de uma corda infinitacom amortecimento

utt(x, t) = a2uxx(x, t)− 2but(x, t), x ∈ R, t > 0;u(x, 0) = f(x), x ∈ R;ut(x, 0) = g(x), x ∈ R

em que b > 0.

22

7. Usando transformada de Fourier, resolva a equacao diferencial abaixo{ut(x, t) + 4ux(x, t) = g(x), x ∈ R, t > 0;u(x, 0) = f(x), x ∈ R

em que f e g sao funcoes que pertencem ao espaco de Schwartz.

8. Usando transformada de Fourier, resolva o problema de conducao de calor em barrainfinita com uma fonte externa de calor:{

ut(x, t) = α2uxx(x, t) + g(x), x ∈ R, t > 0;u(x, 0) = f(x), x ∈ R

em que f e g sao funcoes que pertencem ao espaco de Schwartz.

9. Equacao de Laplace:

Ache a solucao limitada u(x, y) do problema{uxx + uyy = 0 , y ∈ R e x > 0u(0, y) = 1

1+y2, y ∈ R

.

Sugestao: A solucao da EDO z′′ − ω2z = 0 pode ser escrita como Ae|ω|x + Be−|ω|x.Qual a condicao para que seja limitada na regiao x > 0?

10. (a) Resolva utt = uxx, x ∈ R, t > 0

u(x, 0) = 1x2+4

, x ∈ R

ut(x, 0) = 0, x ∈ R

(b) Faca graficos da solucao obtida em (a) para t = 0, 1, 2, . . .. Qual a velocidade depropagacao das ondas descritas por esta solucao.

11. Este problema objetiva mostrar como se pode usar transformada de Fourier tambempara resolver problemas de propagacao de calor em barras semi-infinitas.

(a) Considere primeiramente o problema de propagacao de calor numa barra infinitacom temperatura inicial f(x) dada, −∞ < x < ∞. Utilize a formula para a solucaoobtida no exemplo (5.1)para mostrar que se f e uma funcao ımpar e absolutamenteintegravel em R, entao a temperatura u(0, t) na origem e nula se t > 0. Procuretambem entender fisicamente este resultado.

Sugestao: A integral impropria∫∞−∞ f(x)dx e nula, se f e ımpar e absolutamente

integravel em R.

(b) Resolva o seguinte problema de conducao de calor numa barra semi-infinita.ut = uxx, x > 0, t > 0

u(0, t) = 0, t > 0u(x, 0) = g(x), x > 0

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Sugestao: Defina f como a extensao ımpar de g. Mostre que a solucao do problemade barra infinita para f , quando restrita a regiao x > 0, obedece a todas as condicoesdo problema em (b) e e portanto a solucao deste.

(c) Escreva a solucao de (b) no caso em que g(x) = xe−x2.

Sugestao: Para calcular a transformada de Fourier necessaria, utilize a propriedadeque relaciona a transformada de Fourier da derivada de uma funcao com a transformadade Fourier da propria funcao.

12. Ache a solucao da equacao de calor para uma barra semi-infinita 0 < x < ∞ sujeitaa uma condicao inicial u(x, 0) = f(x) e com a condicao de isolamento termico daextremidade x = 0, ou seja, ux(0, t) = 0,∀t > 0.

Sugestao: Adapte a ideia do problema anterior.

13. (a) Supondo

u(x, 0) =

{100, 0 < x < 10, x > 1

,

escreva uma formula para a solucao dos problemas de conducao do calor em barras semi-infinitas com extremo a temperatura 0 e com extremo isolado. Estas formulas deveraoconter uma integral que nao pode ser resolvida sem auxılio de metodos numericos.

(b) Use uma difusividade termica igual a 1 e calcule numericamente as integrais (utilizequalquer metodo apropriado) para achar a temperatura no ponto x = 2 nos instantest = 1/10, 1 e 2 tanto no caso de extremo a temperatura nula, quanto no caso deextremo isolado.

(c) Mostre que a temperatura em qualquer ponto x > 0, em qualquer instante t > 0 emaior no caso de extremo isolado que no caso de extremo a temperatura nula. Encontretambem uma explicacao fısica para este resultado.

14. Resolva o seguinte problema de equacao da onda em corda semi-infinita:utt − 4uxx = 0, 0 < x <∞, t > 0u(0, t) = 0, t > 0u(x, 0) = f(x), 0 < x <∞ut(x, 0) = 0, 0 < x <∞

,

em que

f(x) =

0, 0 < x < 2x− 2, 2 < x < 3−x+ 4, 3 < x < 40, x > 4

.

Faca tambem graficos de u(x, t) em funcao de x para t = 0, 1, 2.

15. Resolva o problema analogo ao anterior, trocando a condicao de contorno de extremi-dade fixa pela de extremidade livre, ux(0, t) = 0, t > 0.

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6 Tabela de Transformada de Fourier

f(x) f(ω)

1

{1 , |x| ≤ a0 , |x| > a

(a > 0)√

2π

sen (aω)ω

2 1a2+x2

, a > 0.√

π2e−a|ω|

a

3 e−ax2, a > 0. 1√

2ae−

ω2

4a

4 cos(ax2), a > 0. 1√2a

cos(ω2

4a− π

4)

5 sen (ax2), a > 0. 1√2a

cos(ω2

4a+ π

4)

6

{1− |x|/a , |x| ≤ a0 , |x| > a

(a > 0)√

2π

1−cos(aω)aω2

7

{e−ax , x ≥ 00 , x < 0

(a > 0) 1√2π(a+iω)

8

{eax , x ≤ 00 , x > 0

(a > 0) 1√2π(a−iω)

9

{cos ax , |x| ≤ b0 , |x| > b

(b > 0) 1√2π

[ sen (a−ω)ba−ω + sen (a+ω)b

a+ω]

10

{sen ax , |x| ≤ b0 , |x| > b

(b > 0) −i√2π

[ sen (a−ω)ba−ω + sen (a+ω)b

a+ω]

11 f(x)eicx f(ω − c)12 f(x+ c) f(ω)eiωc

13 f (n)(x) (iω)nf(ω)

14 (−ix)nf(x) f (n)(ω)

15 f(x) f(−ω)

Obs.: As propriedades (13) e (14) sao validas sob hipoteses.

Referencias

[1] Figueiredo, Djairo Guedes de, Analise de Fourier e equacoes diferenciais parciais. Riode Janeiro, IMPA, CNPq. 1991. Projeto Euclides.

[2] Iorio, Valeria de M., EDP, um curso de graduacao. Rio de Janeiro, IMPA, CNPq. 1991.Colecao Matematica Universitaria.

[3] Iorio, Rafael J., & Iorio, Valeria de M., Equacoes Diferenciais Parciais: uma Introducao.Rio de Janeiro, IMPA, CNPq. 1988. Projeto Euclides.

[4] Kreyszig, Erwin, Advanced Engineering Mathematics, Seventh Edition. John Wiley &Sons. 1988.

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