MA311 - Calculo III

Primeiro semestre de 2020

Turma B – Curso 51

Ricardo M. Martins

rmiranda@unicamp.br

http://www.ime.unicamp.br/~rmiranda

Aula 27: Determinando a soma de series numericas

Determinando a soma de series

A serie1

12+

1

22+

1

32+

1

42+ . . .

1

n2+ . . . ,

e convergente. Qual e sua soma?

O problema de se obter a soma desta serie e conhecido como

problema de Basel.

Ele foi proposto por Pietro Mengoli em 1650 e foi resolvido por

Euler em 1734. Varios matematicos da famılia Bernoulli tentaram

sem sucesso resolver este problema.

O nome ”problema de Basel” e uma homenagem a cidade natal

tanto de Euler como dos Bernoulli, que fica na Suica.

Determinando a soma de series

Curioso sobre a soma?

1

12+

1

22+

1

32+

1

42+ . . .

1

n2+ . . . =

π2

6.

Na prova original, Euler ”fatorou” a serie de Taylor de a serie de

Taylor de sen(x)/x como se fosse um polinomio infinito.

Veja o artigo original aqui: http://eulerarchive.maa.org//pages/E041.html

Determinando a soma de series

Usando uma serie de Taylor: Se f e uma funcao analıtica em

x = a, ou seja, que e representada por sua serie de Taylor em torno

de x = a, entao e possıvel escrever

f (x) = f (a) + f ′(a)x +f ′′(a)

2!x2 +

f ′′′(a)

3!x3 + . . .+

f (n)(a)

n!xn + . . .

Exemplo

Determine se a serie abaixo e convergente. Se for, determine sua

soma:

1− 1

3+

1

5− 1

7+

1

9+ . . .

Determinando a soma de series

Para resolver este problema, seja f (x) = arctan(x). Assim

f ′(x) =1

1 + x2=

1

1− (−x2).

Esta e a expressao da soma de uma PG, desde que |x | < 1.

Portanto,

f ′(x) =1

1 + x2=

1

1− (−x2)= 1− x2 + x4 − x6 + x8 + . . .

e com isto

f (x) = arctan(x) =∞∑n=0

(−1)nx2n+1

2n + 1= x − x3

3+

x5

5+ . . .

Determinando a soma de series

f (x) = arctan(x) =∞∑n=0

(−1)nx2n+1

2n + 1= x − x3

3+

x5

5+ . . .

Note que a serie anterior converge se x = 1 tambem (justifique!).

Fazendo x = 1 obtemos

π

4=∞∑n=1

(−1)n

2n + 1= 1− 1

3+

1

5− 1

7+

1

9+ . . .

ou ainda

π =∞∑n=1

(−1)n4

2n + 1= 4− 4

3+

4

5− 4

7+

4

9+ . . .

Dificuldade: achar a funcao que tenha a serie de Taylor que

queremos.

E a soma dos inversos dos quadrados?

Seja s ∈ C e considere a serie

∞∑n=1

1

ns.

Lembre que se s = a + bi entao

ns = na+bi = na(

cos(b) + i sen(b)),

e com isto |ns | = na. Portanto, a soma acima converge quando

a > 1.

E a soma dos inversos dos quadrados?

Denote

ζ(s) =∞∑n=1

1

ns.

Esta funcao, com domınio {z ∈ C, Re(z) > 1} e conhecida como

funcao zeta de Riemann.

No caso s = 1, a serie nao converge (e a serie harmonica). E

possıvel estender analiticamente o domınio da funcao ζ(s) para

todos os valores z ∈ C com z 6= 1.

O problema de Basel entao e determinar explicitamente ζ(2).

Alem de sabermos que ζ(2) = π2/6, sabemos tambem que ζ(3) e

irracional.

E a soma dos inversos dos quadrados?

Vamos provar que ζ(2) = π2/6 usando a serie de Fourier de

f (x) = x2.

Temos

f (x) =a02

+∞∑

m=1

am cos(mx) +∞∑

m=1

bm sen(mx),

e os coeficientes sao dados por

a0 =2π2

3, am =

4(−1)m

m2, bm = 0.

Portanto,

x2 =π2

3+ 4

∞∑m=1

(−1)m cos(mx)

m2.

E a soma dos inversos dos quadrados?

Colocando x = π na equacao anterior teremos

π2 =π2

3+ 4

∞∑m=1

(−1)m cos(mπ)

m2,

ou seja,

π2 =π2

3+ 4

∞∑m=1

1

m2,

nos dando finalmente que

π2

6=∞∑

m=1

1

m2= ζ(2).

Muitos outros fatos sobre a funcao ζ(s)

No caso em que Re(s) > 1, podemos escrever

ζ(s) =1

Γ(s)

∫ ∞0

x s+1

ex − 1dx ,

onde a funcao Γ(s) e dada por

Γ(s) =

∫ ∞0

x s−1e−x dx .

A funcao Γ(s), quando restrita aos naturais, satisfaz

Γ(n) = (n − 1)!.

Muitos outros fatos sobre a funcao ζ(s)

E possıvel encontrar z ∈ C tal que ζ(z) = 0?

E razoavelmente facil provar que ζ(−2n) = 0, para todo n ≥ 1,

usado serie de Taylor.

Em 1914, Hardy provou que existem infinitos valores de t ∈ R tais

que

ζ

(1

2+ it

)= 0.

E um problema em aberto, conhecido como hipotese de Riemann,

provar que todos os zeros de ζ(s) sao desta forma, ou seja,

numeros pares negativos ou numeros complexos com parte real

1/2.

Em particular, a solucao deste problema vale 1 milhao de dolares,

pagos pelo Clay Institute.

Muitos outros fatos sobre a funcao ζ(s)

Euler provou que se Re(s) > 1 entao

ζ(s) =∞∑n=1

1

ns=

∏p primo

1

1− p−s=

1

1− 2−s· 1

1− 3−s· 1

1− 5−s· . . .

Uma relacao muito importante existe entre a funcao ζ(s) e a

distribuicao dos numeros primos.

Seja π(x) a funcao que da o numero de primos menores ou iguais

a x .

Por exemplo, π(2) = 1, π(3) = 2, π(4) = 2, π(5) = 3,

π(100) = 25, e por aı vai.

Muitos outros fatos sobre a funcao ζ(s)

O Teorema dos Numeros Primos diz que

limx→∞

π(x)(x

ln(x)

) = 1,

ou seja, que a funcaox

ln(x)e uma boa aproximacao para π(x),

para valores grandes de x .

Todas as demonstracoes conhecidas do Teorema dos Numeros

Primos fazem uso da Hipotese de Riemann, ou seja, que ζ(s) = 0

somente quando s = −2n ou s =1

2+ ti para algum t ∈ R.

Que tal usar seu tempo livre para tentar resolver o problema?