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Aula 26Separação de Variáveis e a
Equação da Onda.MA311 - Cálculo III
Marcos Eduardo Valle
Departamento de Matemática AplicadaInstituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Universidade Estadual de Campinas
Equação da Onda
Considere uma corda elástica de comprimento L preza nasextremidades em suportes de mesmo nível horizontal.
Vamos denotar por upx , tq o deslocamento vertical da ponta noponto 0 ď x ď L no instante t ě 0.
Desprezando efeitos de amortecimento e supondo que aamplitude do movimento não é grande, u satisfaz a equaçãodiferencial parcial
a2uxx “ utt ,
em que a é a velocidade de propagação de ondas ao longo dacorda (depende da tensão e da massa por unidade decomprimento).
Para descrever o movimento da corda, precisamos tambémdas condições iniciais e de contorno.
Condições de Iniciais e de ContornoComo as extremidades da corda permanecem fixas, ascondições de contorno são:
up0, tq “ 0 e upL, tq “ 0.
As condições iniciais são:§ Posição inicial:
upx ,0q “ f pxq, 0 ď x ď L.
§ Velocidade inicial:
utpx ,0q “ gpxq, 0 ď x ď L.
em que f e g são funções tais que
f p0q “ f pLq “ 0 e gp0q “ gpLq “ 0.
Corda Elástica com Deslocamento Não-Nulo
Iniciaremos o estudo do problema de vibrações de uma cordaelástica admitindo que a velocidade inicial é nula, ou seja,
gpxq “ 0, @0 ď x ď L.
Em outras palavras, considere o problema$
’
’
’
’
&
’
’
’
’
%
a2uxx “ utt ,
up0, tq “ 0 e upL, tq “ 0,upx ,0q “ f pxq, 0 ď x ď L,utpx ,0q “ 0, 0 ď x ď L, .
em que f p0q “ f pLq “ 0 descreve a configuração inicial dacorda.
Separação de Variáveis
Vamos admitir que u pode ser escrita como
upx , tq “ X pxqT ptq,
em que X depende apenas de x e T depende somente de t .
Derivando e substituindo na equação diferencial parcial,obtemos
X 2
X“
1a2
T 2
T“ ´λ,
em que λ é uma constante de separação.
Equivalentemente, temos as equações diferenciais ordinárias
X 2 ` λX “ 0 e T 2 ` a2λT “ 0.
Usando a condição de contorno, encontramos o problema
X 2 ` λX “ 0, X p0q “ X pLq “ 0,
cuja solução é
Xmpxq “ sen´mπx
L
¯
e λm “´mπ
L
¯2, m “ 1,2, . . . .
Com as constantes de separação acima, obtemos a EDO
T 2 ` ω2T “ 0, com ω “mπa
L,
cujas soluções são
T ptq “ k1 cospωtq ` k2 senpωtq.
Como a velocidade inicial é nula, deduzimos
utpx ,0q “ X pxqT 1p0q “ 0,@ 0 ď x ď L ùñ T 1p0q “ 0.
ComoT 1ptq “ ´ωk1 senpωtq ` ωk2 cospωtq,
temosT 1p0q “ 0 ùñ k2 “ 0.
Assim, as soluções fundamentais da equação da onda, com ascondições de contorno e a segunda condição inicial, são
umpx , tq “ sen´mπx
L
¯
cospωtq “ sen´mπx
L
¯
cosˆ
mπatL
˙
,
para m “ 1,2, . . ..
Note que um é periódica no tempo com período 2L{ma.
A superposição das soluções fundamentais fornece
upx , tq “8ÿ
m“1
cm sen´mπx
L
¯
cosˆ
mπatL
˙
.
Finalmente, a condição inicial upx ,0q “ f pxq, fornece
upx ,0q “8ÿ
m“1
cm sen´mπx
L
¯
“ f pxq.
Portanto, admitindo que f é uma função ímpar com períodoT “ 2L, concluímos que os coeficiente satisfazem
cm “2L
ż L
0f pxq sen
´mπxL
¯
dx , m “ 1,2, . . . .
Concluindo, a solução do problema$
’
’
’
’
&
’
’
’
’
%
a2uxx “ utt ,
up0, tq “ 0 e upL, tq “ 0,upx ,0q “ f pxq, 0 ď x ď L,utpx ,0q “ 0, 0 ď x ď L, .
é
upx , tq “8ÿ
m“1
cm sen´mπx
L
¯
cosˆ
mπatL
˙
,
em que
cm “2L
ż L
0f pxq sen
´mπxL
¯
dx , m “ 1,2, . . . .
Observações
§ A solução é a superposição de funções periódicas notempo com período 2L{ma.
§ As quantidades mπa{L são chamadas frequênciasnaturais da corda.
§ O fator sen`mπx
L
˘
é chamado modo natural de vibração.§ O período do modo natural de vibração 2L{m é chamado
comprimento da onda.
Exemplo 1
Considere uma corda vibrante de comprimento L “ 30 quesatisfaz a equação da onda
4uxx “ utt , 0 ă x ă 30 e t ą 0.
Suponha que as extremidades da corda estão fixas e que acorda é colocada em movimento sem velocidade inicial daposição inicial
upx ,0q “
#
x10 , 0 ď x ď 10,p30´xq
20 , 10 ă x ď 30.
Encontre o deslocamento upx , tq da corda.
Exemplo 1
Considere uma corda vibrante de comprimento L “ 30 quesatisfaz a equação da onda
4uxx “ utt , 0 ă x ă 30 e t ą 0.
Suponha que as extremidades da corda estão fixas e que acorda é colocada em movimento sem velocidade inicial daposição inicial
upx ,0q “
#
x10 , 0 ď x ď 10,p30´xq
20 , 10 ă x ď 30.
Encontre o deslocamento upx , tq da corda.
Resposta: A solução é
upx , tq “9π2
8ÿ
m“1
1m2 sen
´mπ3
¯
sen´mπx
30
¯
cosˆ
2mπt30
˙
.
-1
-0.5
0
0.5
1
0 5 10 15 20 25 30
t=0.00
Solução do Exemplo 1 para diferentes t .
-1
-0.5
0
0.5
1
0 5 10 15 20 25 30
t=1.00
Solução do Exemplo 1 para diferentes t .
-1
-0.5
0
0.5
1
0 5 10 15 20 25 30
t=2.00
Solução do Exemplo 1 para diferentes t .
-1
-0.5
0
0.5
1
0 5 10 15 20 25 30
t=3.00
Solução do Exemplo 1 para diferentes t .
-1
-0.5
0
0.5
1
0 5 10 15 20 25 30
t=4.00
Solução do Exemplo 1 para diferentes t .
-1
-0.5
0
0.5
1
0 5 10 15 20 25 30
t=5.00
Solução do Exemplo 1 para diferentes t .
-1
-0.5
0
0.5
1
0 5 10 15 20 25 30
t=6.00
Solução do Exemplo 1 para diferentes t .
-1
-0.5
0
0.5
1
0 5 10 15 20 25 30
t=7.00
Solução do Exemplo 1 para diferentes t .
-1
-0.5
0
0.5
1
0 5 10 15 20 25 30
t=8.00
Solução do Exemplo 1 para diferentes t .
-1
-0.5
0
0.5
1
0 5 10 15 20 25 30
t=9.00
Solução do Exemplo 1 para diferentes t .
-1
-0.5
0
0.5
1
0 5 10 15 20 25 30
t=10.00
Solução do Exemplo 1 para diferentes t .
-1
-0.5
0
0.5
1
0 5 10 15 20 25 30
t=11.00
Solução do Exemplo 1 para diferentes t .
-1
-0.5
0
0.5
1
0 5 10 15 20 25 30
t=12.00
Solução do Exemplo 1 para diferentes t .
-1
-0.5
0
0.5
1
0 5 10 15 20 25 30
t=13.00
Solução do Exemplo 1 para diferentes t .
-1
-0.5
0
0.5
1
0 5 10 15 20 25 30
t=14.00
Solução do Exemplo 1 para diferentes t .
-1
-0.5
0
0.5
1
0 5 10 15 20 25 30
t=15.00
Solução do Exemplo 1 para diferentes t .
-1
-0.5
0
0.5
1
0 5 10 15 20 25 30
t=16.00
Solução do Exemplo 1 para diferentes t .
-1
-0.5
0
0.5
1
0 5 10 15 20 25 30
t=17.00
Solução do Exemplo 1 para diferentes t .
-1
-0.5
0
0.5
1
0 5 10 15 20 25 30
t=18.00
Solução do Exemplo 1 para diferentes t .
-1
-0.5
0
0.5
1
0 5 10 15 20 25 30
t=19.00
Solução do Exemplo 1 para diferentes t .
-1
-0.5
0
0.5
1
0 5 10 15 20 25 30
t=20.00
Solução do Exemplo 1 para diferentes t .
-1
-0.5
0
0.5
1
0 5 10 15 20 25 30
t=21.00
Solução do Exemplo 1 para diferentes t .
-1
-0.5
0
0.5
1
0 5 10 15 20 25 30
t=22.00
Solução do Exemplo 1 para diferentes t .
-1
-0.5
0
0.5
1
0 5 10 15 20 25 30
t=23.00
Solução do Exemplo 1 para diferentes t .
-1
-0.5
0
0.5
1
0 5 10 15 20 25 30
t=24.00
Solução do Exemplo 1 para diferentes t .
-1
-0.5
0
0.5
1
0 5 10 15 20 25 30
t=25.00
Solução do Exemplo 1 para diferentes t .
-1
-0.5
0
0.5
1
0 5 10 15 20 25 30
t=26.00
Solução do Exemplo 1 para diferentes t .
-1
-0.5
0
0.5
1
0 5 10 15 20 25 30
t=27.00
Solução do Exemplo 1 para diferentes t .
-1
-0.5
0
0.5
1
0 5 10 15 20 25 30
t=28.00
Solução do Exemplo 1 para diferentes t .
-1
-0.5
0
0.5
1
0 5 10 15 20 25 30
t=29.00
Solução do Exemplo 1 para diferentes t .
-1
-0.5
0
0.5
1
0 5 10 15 20 25 30
t=30.00
Solução do Exemplo 1 para diferentes t .
Corda Elástica com Velocidade Não-Nula
Um problema semelhante ao discutido anteriormente, consisteno estudo das vibrações de uma corda que é colocada emmovimento a partir do repouso com uma velocidade dada.
Formalmente, temos o problema$
’
’
’
’
&
’
’
’
’
%
a2uxx “ utt ,
up0, tq “ 0 e upL, tq “ 0,upx ,0q “ 0, 0 ď x ď L,utpx ,0q “ gpxq, 0 ď x ď L,
em que gpxq é a velocidade inicial da corda no ponto x .
Procedendo de forma semelhante, concluímos que a solução é
upx , tq “8ÿ
m“1
km sen´mπx
L
¯
senˆ
mπatL
˙
,
em que
km “2
mπa
ż L
0gpxq sen
´mπxL
¯
dx , m “ 1,2, . . . .
Esclarecemos que o fator 2{pmπaq multiplicando a integralacima aparece porque precisamos identificar a série de Fourierem senos da derivada
utpx , tq “8ÿ
m“1
mπaL
km sen´mπx
L
¯
cosˆ
mπatL
˙
,
com a série de Fourier em senos de g.
Problema Geral para a Corda Elástica
Finalmente, a solução do problema geral$
’
’
’
’
&
’
’
’
’
%
a2uxx “ utt ,
up0, tq “ 0 e upL, tq “ 0,upx ,0q “ f pxq, 0 ď x ď L,utpx ,0q “ gpxq, 0 ď x ď L,
em que f pxq e gpxq descrevem, respectivamente, a posição e avelocidade inicial da corda no ponto x , é obtido superpondo assoluções dos problemas anteriores, ou seja,
upx , tq “ vpx , tq ` wpx , tq,
em que v e w são as soluções da corda elástica comdeslocamento não-nulo e velocidade não-nula,respectivamente.
