Aula 23Séries de Fourier.

MA311 - Cálculo III

Marcos Eduardo Valle

Departamento de Matemática AplicadaInstituto de Matemática, Estatística e Computação Científica

Universidade Estadual de Campinas

Introdução

Nas aulas anteriores, vimos como resolver uma equaçãodiferencial ordinária usando uma série de potências.

No estudo de equações diferenciais parciais, como a equaçãodo calor, surgem naturalmente um tipo diferente de séries,chamadas séries de Fourier.

Além das aplicações na resolução de equações diferenciais, asséries de Fourier possuem aplicações em engenharia elétrica,análise de vibrações, processamento de imagens e sinais,física quântica, econometria, entre outras.

Série de FourierDefinição 1 (Série de Fourier)

Uma série de Fourier é uma série da forma

a0

2`

8ÿ

m“1

”

am cos´mπx

L

¯

` bm sen´mπx

L

¯ı

,

em que L ą 0 é um parâmetro e a0, am e bm, para m “ 1,2, . . .,são os coeficientes.

Série de Fourier de fNos pontos em que a série de Fourier converge, ela defineuma função f que satisfaz

f pxq “a0

2`

8ÿ

m“1

”

am cos´mπx

L

¯

` bm sen´mπx

L

¯ı

,

chamada série de Fourier de f .

Funções Periódicas

Definição 2

Uma função f : D Ñ R é periódica com período T ą 0 se

f px ` T q “ f pxq, @x P D. (1)

O menor valor de T para o qual (1) é válida é chamadoperíodo fundamental de f .

Exemplo 3

As funções

cos´mπx

L

¯

e sen´mπx

L

¯

, m “ 1,2, . . . ,

são funções periódicas com período T “ 2L{m.

Teorema 4Se f1, f2, f3, . . . , fn são funções periódicas com período T , então

spxq “ c1f1pxq ` c2f2pxq ` . . .` cnfnpxq,

também é periódica com período T .

O resultado acima também vale para a soma de uma sérieinfinita convergente.

Teorema 5A função

f pxq “a0

2`

8ÿ

m“1

”

am cos´mπx

L

¯

` bm cos´mπx

L

¯ı

,

é periódica com período T “ 2L

Produto Interno e Funções Ortogonais

Definição 6 (Produto Interno)

O produto interno usual de duas funções f e g no intervaloa ď x ď b é definido pela equação

xf ,gy “ż b

af pxqgpxqdx .

Definição 7 (Funções Ortogonais)

As funções f e g são ortogonais em a ď x ď b se

xf ,gy “ż b

af pxqgpxqdx “ 0.

Um conjunto de funções tf1, f2, . . . , fnu é um conjunto ortogonalse

@

fi , fjD

“ 0 sempre que i ‰ j .

Ortogonalidade de Seno e Cosseno

Teorema 8As funções sen

`mπxL

˘

e cos`mπx

L

˘

, para m “ 1,2, . . ., foram umconjunto ortogonal no intervalo ´L ď x ď L. Com efeito, tem-se

xCm, Cny “

ż L

´Lcos

´mπxL

¯

cos´nπx

L

¯

dx “

#

0, m ‰ n,L, m “ n,

xCm,Sny “

ż L

´Lcos

´mπxL

¯

sen´nπx

L

¯

dx “ 0, @m,n,

xSm,Sny “

ż L

´Lsen

´mπxL

¯

sen´nπx

L

¯

dx “

#

0, m ‰ n,L, m “ n,

em que

Cmpxq “ cos´mπx

L

¯

e Smpxq “ sen´mπx

L

¯

,@m “ 1,2, . . . .

Fórmulas de Euler-Fourier

Teorema 9 (Fórmulas de Euler-Fourier)

Se

f pxq “a0

2`

8ÿ

m“1

”

am cos´mπx

L

¯

` bm cos´mπx

L

¯ı

,

está bem definida e pode ser integrada termo a termo, então

am “xf , Cmy

xCm, Cmy“

1L

ż L

´Lf pxq cos

´mπxL

¯

dx , @m “ 0,1,2, . . . ,

bm “xf ,Smy

xSm,Smy“

1L

ż L

´Lf pxq sen

´mπxL

¯

dx , @m “ 1,2, . . . .

Exemplo 10

Determine, admitindo sua existência, a série de Fourier dafunção f definida por

f pxq “

#

´x , ´2 ď x ă 0,x , 0 ď x ă 2,

e f px ` 4q “ f pxq.

Exemplo 10

Determine, admitindo sua existência, a série de Fourier dafunção f definida por

f pxq “

#

´x , ´2 ď x ă 0,x , 0 ď x ă 2,

e f px ` 4q “ f pxq.

Resposta: A série de Fourier de f é

f pxq “ 1´8π2

8ÿ

n“1

cos´

p2n´1qπx2

¯

p2n ´ 1q2.

0

0.5

1

1.5

2

-6 -4 -2 0 2 4 6

f

s1

snpxq “ 1´8π2

nÿ

m“1

cos´

p2m´1qπx2

¯

p2m ´ 1q2.

0

0.5

1

1.5

2

-6 -4 -2 0 2 4 6

f

s2

snpxq “ 1´8π2

nÿ

m“1

cos´

p2m´1qπx2

¯

p2m ´ 1q2.

0

0.5

1

1.5

2

-6 -4 -2 0 2 4 6

f

s3

snpxq “ 1´8π2

nÿ

m“1

cos´

p2m´1qπx2

¯

p2m ´ 1q2.

0

0.5

1

1.5

2

-6 -4 -2 0 2 4 6

f

s4

snpxq “ 1´8π2

nÿ

m“1

cos´

p2m´1qπx2

¯

p2m ´ 1q2.

0

0.5

1

1.5

2

-6 -4 -2 0 2 4 6

f

s5

snpxq “ 1´8π2

nÿ

m“1

cos´

p2m´1qπx2

¯

p2m ´ 1q2.

0

0.5

1

1.5

2

-6 -4 -2 0 2 4 6

f

s6

snpxq “ 1´8π2

nÿ

m“1

cos´

p2m´1qπx2

¯

p2m ´ 1q2.

0

0.5

1

1.5

2

-6 -4 -2 0 2 4 6

f

s7

snpxq “ 1´8π2

nÿ

m“1

cos´

p2m´1qπx2

¯

p2m ´ 1q2.

0

0.5

1

1.5

2

-6 -4 -2 0 2 4 6

f

s8

snpxq “ 1´8π2

nÿ

m“1

cos´

p2m´1qπx2

¯

p2m ´ 1q2.

Exemplo 11

Determine, admitindo sua existência, a série de Fourier dafunção f definida por

f px ` 6q “ f pxq e f pxq “

$

’

&

’

%

0, ´3 ď x ă ´1,1, ´1 ď x ă `1,0, `1 ď x ă 3,

Exemplo 11

Determine, admitindo sua existência, a série de Fourier dafunção f definida por

f px ` 6q “ f pxq e f pxq “

$

’

&

’

%

0, ´3 ď x ă ´1,1, ´1 ď x ă `1,0, `1 ď x ă 3,

Resposta: A série de Fourier de f é

f pxq “13`

8ÿ

m“1

2mπ

sen´mπ

3

¯

cos´mπx

3

¯

.

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

f

s1

snpxq “13`

nÿ

m“1

2mπ

sen´mπ

3

¯

cos´mπx

3

¯

.

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

f

s2

snpxq “13`

nÿ

m“1

2mπ

sen´mπ

3

¯

cos´mπx

3

¯

.

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

f

s3

snpxq “13`

nÿ

m“1

2mπ

sen´mπ

3

¯

cos´mπx

3

¯

.

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

f

s4

snpxq “13`

nÿ

m“1

2mπ

sen´mπ

3

¯

cos´mπx

3

¯

.

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

f

s5

snpxq “13`

nÿ

m“1

2mπ

sen´mπ

3

¯

cos´mπx

3

¯

.

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

f

s6

snpxq “13`

nÿ

m“1

2mπ

sen´mπ

3

¯

cos´mπx

3

¯

.

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

f

s7

snpxq “13`

nÿ

m“1

2mπ

sen´mπ

3

¯

cos´mπx

3

¯

.

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

f

s8

snpxq “13`

nÿ

m“1

2mπ

sen´mπ

3

¯

cos´mπx

3

¯

.