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Séries de Fourier
Victor Rios Silva [email protected]
Universidade Federal Fluminense (UFF) Instituto de Matemática (IM)
Departamento de Matemática Aplicada (GMA) Rua Mário Santos Braga, S/N – Valonguinho 24020-14 - Niterói, Rio de Janeiro, Brasil
Outubro 2010
Página 2 / 57
Todos os eventos da natureza podem ser equacionados, uns de maneira simples e outros de maneira
mais complexa. Uma das formas de equacionarmos os fenômenos naturais é através das Séries de Fourier.
Nosso estudo sobre as Séries de Fourier será uma análise sobre quais as circunstâncias é possível
escrever e como escrever uma função como uma Série de Fourier, análise da convergência e demonstração
da derivação e integração dessas séries.
Nas seções I e II é apresentado as funções periódicas e séries trigonométricas, como uma forma de
revisão de conceitos posteriormente essenciais para o entendimento das Séries de Fourier. Na seção III
apresenta-se as Condições de Dirichlet, na seção IV, as Integrais de Euler, na seção V, a maneira pela qual se
determinam os coeficientes de Fourier, na seção VI, funções pares e ímpares, na seção VII, funções com
períodos arbitrários, a fim de expandirmos o conceito de Séries de Fourier da maneira mais genérica possível;
na seção VIII, fala-se sobre séries em senos e cossenos e expansão par e ímpar, na seção IX, igualdade de
Parseval, na seção X, convergência das Séries de Fourier, na seção XI, derivação e integração das Séries de
Fourier, na seção XII, forma complexa das Séries de Fourier e na seção XIII, as aplicações das Séries de
Fourier. Durante o estudo são propostas diversas questões resolvidas como forma de exemplificação e
melhor entendimento do assunto.
I. Funções Periódicas
Uma função é dita periódica com um período T se para qualquer x. Do que
decorre que para n inteiro
Exemplo 1: , temos que , logo .
Exemplo 2: Achar o período da função
Se a função for periódica:
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Logo ⁄
Observação: Se duas funções e possuem período T então a função é
periódica com período T.
II. Série Trigonométrica
É uma série de funções cujos termos são obtidos multiplicando-se os senos e os cossenos dos
múltiplos sucessivos da Variável independente x por coeficientes que não dependem da variável x e são
admitidos reais.
ou
∑ [ ]
(1)
Sendo esta uma série de funções, sua soma S (no caso de existir, ou seja, se a série for convergente)
será uma função da variável independente e como os termos da série são funções trigonométricas, funções
periódicas de período , a soma será uma função periódica de período . De modo que precisamos
estudar a série trigonométrica em um intervalo de comprimento , por exemplo:
As funções periódicas de interesse prático podem sempre ser representadas por uma série
trigonométrica.
∑[ ]
Esta representação é possível se a satisfaz as condições de suficiência de Dirichlet.
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III. Condições de Dirichlet
Embora não sejam conhecidas as condições necessárias e suficientes para que uma função possa ser
representada por uma série trigonométrica; as condições de suficiência de Dirichlet, apesar de mais
restritivas, asseguram a convergência da série para a função.
1ª) A função deve ser contínua e, portanto, limitada no intervalo com exceção, talvez,
de um número finito de pontos de descontinuidade de primeira espécie (finitas).
Exemplo: {
Esta função apresenta, num período, apenas um ponto de descontinuidade finita em .
Contra-exemplo: no intervalo
Apresenta um ponto de descontinuidade infinita no ponto .
2ª) Efetuando-se uma partição no intervalo em um número finito de sub-intervalos, a função
f(x) em cada um deles é monótona. A função tem somente um número finito de máximos e mínimos
em um período.
Exemplo 1:
Podemos considerar 3 subintervalos:
No 1º é crescente
No 2º é decrescente
No 3º é crescente
Apresenta no período um ponto de máximo e um
de mínimo.
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Contra-exemplo:
Esta função apresenta um número
infinito de máximos e mínimos na
vizinhança de .
Exemplo 2: Verificar se as funções abaixo satisfazem as condições de Dirichlet
a.
,
Sim, pois no ponto onde temos uma indeterminação, a descontinuidade é de 1ª espécie.
b. ,
Não, pois temos descontinuidade infinita para .
c.
⁄ ,
Não, descontinuidade infinita na vizinhança de .
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d. {
Sim, as duas condições de Dirichlet são satisfeitas.
e.
,
Não, pois na vizinhança de temos um número infinito de máximos e mínimos.
IV. Ortogonalidade – Integrais de EULER
Os termos na série são ditos ortogonais com relação ao período , isto é, a integral em um
período do produto de quaisquer dois termos diferentes é nula.
1) ∫
De fato: ∫
|
[ ]
2) ∫
De fato: ∫
*
+|
[ ]
3) ∫
De fato: – (1)
(2)
Somando membro a membro (1) + (2):
[ ]
∫
∫[ ]
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4) ∫
De fato: (1)
– (2)
Fazendo (1) + (2) →
∫
∫
∫
∫
[ ]
5) ∫
– (1)
(2)
(2) – (1):
[ ]
∫
∫ [ ]
6) ∫
∫
∫
∫
∫
7) ∫
) (1)
– (2)
(1) + (2):
[ ]
∫
∫
∫
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V. Determinação dos Coeficientes de Fourier
Usando propriedades elementares das funções trigonométricas podemos facilmente determinar
e em termos de de maneira que no intervalo a série trigonométrica (1) seja igual à função
isto é:
∑[ ]
Integramos os dois membros de (1) entre (-π,π)
∫
∫
∑ (∫
∫
)
= 0 (1ª I.E.) 0 (2ª I.E.)
∫
∫
[ ]
∫
Cálculo de :
Multiplicando (1) por , sendo p, número fixo dado, integrando no intervalo (– )
∫
∫
∑∫
= 0 (1ª I.E.) = 0 se (3ª I.E.) = 0 (7ª I.E.)
Se :
∫
∫
∫
Página 9 / 57
Cálculo de :
Multipliquemos (1) por e integremos entre
∫
∫
∑ ∫
∫
Se :
∫
∫
∫
Exemplo 1: Determinar a série de Fourier da função que supomos possuir período e fazer esboço
gráfico de e das primeiras três somas parciais.
,
∫
[∫
∫
]
[
]
*∫
∫
+
[ ]
Página 10 / 57
*∫
∫
+
[ ]
[ ] ,
⁄
(
)
As somas parciais são:
;
;
(
)
Vimos que para:
,
A Série que Fourier representa é
Página 11 / 57
Vamos determinar a Série de Fourier para:
{
⁄
⁄
A função é a deslocada
unidade para baixo, logo:
,
A função é a mesma , exceto por uma alteração na escala do tempo:
(
)
Verificamos que alterar a escala tempo, altera as frequências angulares dos termos individuais, mas
não altera seus coeficientes. Assim, para calcular os coeficientes, o período pode ser arbitrariamente
mudado se isto parecer conveniente.
Exemplo 2: Desenvolver em série de Fourier as funções supostas periódicas de período :
a. ,
A satisfaz as condições de Dirichlet.
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A satisfaz as condições de Dirichlet.
Cálculo dos Coeficientes de Fourier:
∫
∫
∫
|
|
∫
∫
∫
Fazendo a integração por partes:
∫ ∫
,
|
∫
-
,
∫
-
|
|
{
∫
.∫
∫
/
Página 13 / 57
,
|
∫
-
,
∫
-
{
|
}
{
|
}
Logo:
b.
A satisfaz as condições de Dirichlet.
Cálculo dos Coeficientes
∫
*
+
*
+
∫
∫
∫
Sabemos que ∫ ∫ , então, faremos:
∫
∫
∫
Fazendo integral por partes novamente para ∫
temos:
Página 14 / 57
∫
.
∫
/
.
∫
/
(
)
∫
(
)∫
(
)
∫
(
)
(
)
(
)
(
)
*(
) (
) (
) +
c.
A satisfaz as condições de Dirichlet. Vamos calcular os coeficientes:
∫
∫
|
∫
∫
Se fizermos a integração por partes, teremos:
∫ ∫
;
∫
∫
Página 15 / 57
;
∫
[
∫
]
∫
∫
∫
∫
(
)∫
Se multiplicarmos por n², teremos:
∫
∫
|
Mas, sabemos que: {
∫
De modo análogo, calculamos
∫
∫
Logo:
∑ *
+
ou
[
∑
]
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d. {
A satisfaz as condições de Dirichlet.
Cálculo dos Coeficientes
Como a função é ímpar, então .
∫
∫
∫
[ ]
[ ]
[ ] {
(
)
VI. Funções Pares e Ímpares
Sejam g(x) e h(x) funções definidas no intervalo . Diz-se que:
Observação: O gráfico da função par g(x) é simétrico em relação ao eixo das ordenadas.
O valor da função ímpar no ponto zero: .
Para calcular os coeficientes de Fourier de uma função par e de uma função ímpar, verifiquemos
que:
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I) ∫ ∫
∫ ∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
II) ∫
∫ ∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
III) O produto de uma função par g(x) por uma função ímpar h(x), é ímpar:
IV) O produto de uma função par g(x) por uma função par é uma função par:
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V) O produto de uma função ímpar h(x) por uma função ímpar é uma função par:
Conclusão: Se uma função é uma função par, é uma função ímpar e:
∫
Por outro lado, se é uma função ímpar, é ímpar e:
∫
Teorema I
A série de Fourier de uma função periódica par , que possui período , é uma série de Fourier
em cossenos:
∑
Com coeficientes:
∫
∫
A série de Fourier de uma função periódica ímpar , que possui período , é uma série de
Fourier em senos:
Página 19 / 57
∑
Com coeficientes:
∫
Consideremos par.
∑
(1)
∑
(2)
Mas como f é par,
∑
Somando-se (1) com (2):
∑
∑
Por outro lado,
∫
Como são funções pares, temos:
*∫ ∫
+
*∫ ∫
+
*∫ ∫
+
* ∫
+
Página 20 / 57
Consideremos agora ímpar:
∑
(1)
∑
Como é ímpar, , então:
∑
(2)
Fazendo (1) – (2):
∑
∑
Por outro lado,
∫
Como são funções ímpares:
*∫
∫
+
*∫
∫
+
*∫
∫
+
*∫
∫
+
∫
Página 21 / 57
Logo, ao calcular os coeficientes da Série de Fourier para uma função que tenham simetria, é
conveniente integrar de a , ao invés de a .
Algumas vezes é interessante deslocar temporariamente ou o eixo vertical ou o horizontal ou ambos,
de maneira a criar uma função par ou ímpar e usar as simplificações para formas de onda simétricas.
Exemplo 1: Verificar se as funções são pares, ímpares ou nem pares nem ímpares:
a.
Logo não é nem par nem ímpar.
b.
Logo, é par.
c. | |
| |
Logo, é ímpar.
d.
Logo, não é uma função nem par, nem ímpar.
e.
Página 22 / 57
Logo, é uma função par.
Exemplo 2: Determinar a Série de Fourier da função:
{
Como é uma função que apresenta simetria, é conveniente integrá-la no intervalo .
Cálculo dos Coeficientes:
Como é par,
∫
∫
|
∫
∫
∫
Como a integral já foi calculada, sabemos que:
{
Portanto:
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Exemplo 3: Determine a Série de Fourier para :
Embora pudéssemos determinar a série de diretamente, vamos relocalizar os eixos a fim de
usar as relações de simetria, pois a não é par nem ímpar.
1º Caso: A subtração de uma constante de
produz uma função ímpar :
Logo:
∫
∫
|
{
(
)
Portanto:
(
)
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2º Caso: Mudemos o eixo vertical para obter uma função par
Logo:
∫
∫
∫
(
)
∫
∫
|
(
)
{
(
)
Portanto:
(
)
Mas como:
(
)
(
)
Podemos reescrever :
(
), exatamente como obtido anteriormente.
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Exemplo 4: Desenvolver em Séries de Fourier as funções, supostas periódicas de período :
a.
Como é par, temos que
∫
|
∫
(
) |
∑
ou
(
)
Se substituirmos , teremos:
∑
∑
∑
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b. {
Como é ímpar,
.
∫
∫
∫
∫
|
{
(
)
c.
Como é par, temos que
∫
∫
( |
∫
)
=0 (1ª I.E.)
∫
∫
(∫
∫
)
=0 (1ª I.E.)
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{
d. | |
A satisfaz as condições de Dirichlet.
Cálculo dos Coeficientes
Como | | é uma função par, temos que
∫
∫
*
+
∫
∫
Sabemos que ∫ ∫
∫
|
∫
∫
[
]
[ ]
[ ]
{
(
)
Página 28 / 57
Exemplo 5: Determinar a Série de Fourier das funções periódicas de período T:
a. {
e
Como é ímpar, .
∫
∫
∫
∫
|
{
(
)
b. {
Como é par, .
∫
∫
|
{
Página 29 / 57
(
)
c. ,
e
∫
(∫
∫
)
∫
(∫
∫
)
(
)|
{
∫
(∫
∫
)
(
)|
(
)
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d. , e
Como a função não é nem par nem ímpar, teremos que
calcular .
∫
∫
∫
∫
∫
|
∫
|
|
∫
∫
|
∫
|
|
Logo:
(
)
e. ,
e
Página 31 / 57
∫
(∫
∫
)
|
(
)|
∫
(∫
∫
)
Resolvermos a integral da seguinte forma:
∫
∫
∫
∫
∫
(
)|
(
)|
{
∫
∫
∫
Resolvermos a integral da seguinte forma:
∫
∫
∫
Página 32 / 57
(
)|
(
(
))|
{
(
)
(
)
f.
Como sabemos que é uma função par, temos que .
∫
∫
( |
∫
)
∫
∫
(∫
∫
)
{
g. ,
∫
(∫
∫
)
[
|
]
∫
(∫
∫
)
{
Página 33 / 57
(
) (
)
h.
∫
∫
∫
∫
∫
(
)
i.
Como sabemos que é uma função par, temos que
∫
∫
|
∫
∫
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Resolvermos a integral da seguinte forma:
∫
(
∫
)|
[ ]
[(
)
(
)
]
j.
Como é uma função par, temos que .
∫
Mas temos que
(
)
,
∑(
) (
)
Página 35 / 57
k.
Como é uma função par, temos que .
∫
∫
Para calcular ∫
, aplicaremos a solução por partes duas vezes:
∫
∫
∫
(
∫
)
∫
∫
∫
(
) [ ]
∫
(
) [ ]
Ao multiplicarmos o resultado por
, teremos valendo:
(
) [ ]
∑(
) [ ]
Página 36 / 57
VII. Funções com Período Arbitrário
Até agora consideramos funções periódicas de período . Por uma simples mudança de variável
podemos encontrar a Série de Fourier para uma função de período T qualquer.
Esta mudança de variável é feita pela seguinte transformação linear.
Seja definida no intervalo (
):
(1)
(2)
Somando membro a membro (1) e (2):
Substituindo em (1):
Então:
Vamos, pois, trocar a variável t por x, onde
, logo a (
)é definida no intervalo .
Assim:
(
)
∑
Com coeficientes:
∫ (
)
∫ (
)
∫ (
)
Página 37 / 57
Para facilitar os cálculos, façamos
∑
Com coeficientes:
∫
∫
∫
∫
O intervalo de integração pode ser substituído por qualquer intervalo de comprimento T, por
exemplo,
O Teorema I se verifica para funções pares e ímpares, periódicas de período T qualquer.
Seja uma função qualquer, definida num intervalo fechado [ ].
Podemos definir o intervalo T como sendo:
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Então, é possível generalizar a Série de Fourier descrita acima como:
∑ (
)
∫
∫
∫
∫
Exemplo 1: Determinar a Série de Fourier da função , periódica de período .
{
Temos que:
∫
Como é par:
∫
∫
∫
Página 39 / 57
∫
∫
|
{
∑
(
)
Exemplo 2: Determinar a Série de Fourier em [ ] da função .
∫
∫
∫
∫
∫
{
(
)
Página 40 / 57
Exemplo 3: Determine a série de Fourier da função , dada por:
A função pode ser definida como:
,
∫
(∫
∫
)
∫
(∫
∫
)
Embora essas integrais possam ser calculadas diretamente, os cálculos podem ser simplificados
consideravelmente, mediante o seguinte raciocínio: Designemos por a extensão periódica de a todo o
eixo dos x. Então, as funções e são periódicas com período 2, e temos:
∫
∫
∫
∫
Para qualquer número real a. Neste ponto, nos apoiamos no fato óbvio de ser contínua por partes
em – com período . Então,
∫
∫
Para qualquer par de números reais [ ]. Faremos agora , para obtermos:
Página 41 / 57
∫
∫
Mas, no intervalo [– ], coincide com a função par | |, onde para todo k, e:
∫
{
VIII. Séries em Senos e Séries em Cossenos
Desenvolvimento de meio período.
Se for par, a série de Fourier fica:
∑
(1)
Com coeficientes:
∫
∫
(2)
prolongada como função par.
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Se for ímpar, a série de Fourier fica:
∑
Com coeficientes:
∫
Prolongamento periódico ímpar.
Observação: Constatamos que (2) e (4) empregam unicamente os valores de do intervalo .
Para uma função definida somente neste intervalo podemos formar as séries (1) e (3). Se a função
satisfaz as condições de Dirichlet, ambas as séries representam a função no intervalo . Fora deste
intervalo, a série (1) representará o prolongamento periódico par da , tendo período ; e a (3) o
prolongamento periódico ímpar da .
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Exemplo 1: Encontrar a Série de Fourier em cossenos da função definida no intervalo e fazer o
gráfico do prolongamento periódico correspondente.
{
∫
(∫
∫
)
|
∫
(∫
∫
)
|
{
Logo:
(
)
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Exemplo 2: Representar por meio da Série de Fourier em cossenos e fazer o prolongamento periódico
correspondente.
a. ,
Prolongamento periódico par.
∫
∫
∫
∫
(
|
*
+
)
∫
∫
(∫
∫
)
Calculemos a integral:
∫
;
∫
∫
(*
+
*
+
*
+
)
(
)
{
Seja:
Página 45 / 57
∑
∑ (
)
Exemplo 3: Representar por meio da Série de Fourier em senos e fazer o prolongamento periódico
correspondente da seguinte função:
∫
∫
∫
Mas temos que:
∫
[
]
(
)
(
)
{
(
)
∑
Página 46 / 57
IX. Igualdade de Parseval
Se é uma função qualquer de [ ] então:
∫
∑
Onde e são os coeficientes de Fourier.
De fato:
⟨ ⟩
‖ ‖ ∑ *
⟨ ⟩
‖ ‖
⟨ ⟩
‖ ‖ +
Multiplicando (no sentido do produto interno) a equação(1) por obtém-se:
⟨ ⟩ ‖ ‖ ⟨ ⟩⟨ ⟩
‖ ‖
⟨ ⟩⟨ ⟩
‖ ‖
⟨ ⟩⟨ ⟩
‖ ‖
Tendo em vista que:
‖ ‖ = ∫
‖ ‖ ∫ ( )
‖ ‖ ∫
‖ ‖ ∫
Conclui-se que:
⟨ ⟩
‖ ‖
(∫
)
⟨ ⟩
‖ ‖
(∫
)
Página 47 / 57
Observação: Em geral,
‖ ⃑‖ ∑ ⟨ ⃑ ̂⟩
onde ̂, ̂,..., é um conjunto ortogonal de vetores de um espaço de dimensão infinita(espaço euclidiano)V.
Assim, ⃑ é um vetor arbitrário de V. Além disso, ̂, ̂ ..., é uma base de v se , e somente se :
‖ ⃑‖ ∑ ⟨ ⃑ ̂⟩
X. Convergência das Séries de Fourier
a. Convergência Pontual
Seja f(x) contínua por partes em , com período e suponhamos que:
[ ]
para todo x. Então, a série de Fourier em cada ponto em que f tem derivadas à direita e à esquerda.
Quando f é continua
,
Página 48 / 57
b. Convergência em Média
‖ ‖
∫ [ ]
Mais uma vez ressaltamos que a série converge em média para f, e não que converge pontualmente,
no sentido que
∑
para todo em [ ] A convergência
pontual ocorre, surpreendentemente, quando f é razoavelmente bem comportada.
,
∑
Neste caso a série converge também pontualmente para f nos pontos de [ ] onde está
definida. Além disso, quando , a série converge para zero, embora não esteja definida nesses
pontos.
Teorema
Seja uma função continuamente diferenciável por partes em [ ], com o que entendemos
que f tem uma derivada primeira contínua por partes em [ ]. Então, o desenvolvimento em série de
Fourier de converge pontualmente em [ ] e tem o valor:
Observação: (
)
é a média dos limites à esquerda e a direita de em , e é igual a quando
é um ponto de continuidade de .
Página 49 / 57
Assim, podemos afirmar que a série
∑
[
]]
converge pontualmente no intervalo [ ] para
c. Convergência Absoluta e uniforme
Teorema
Seja uma função contínua em , com período , e suponhamos que tenha derivada
primeira contínua por partes. Então, a série de Fourier de converge uniforme e absolutamente para em
todo intervalo fechado do eixo x.
Teorema
Seja continuamente diferenciável por partes e periódica em com período . Então a
série de Fourier de converge uniformemente para em qualquer intervalo fechado do eixo x que não
contenha ponto de descontinuidade de .
Página 50 / 57
XI. Derivação e Integração das Séries de Fourier
Teorema
Seja f uma função contínua em , com período , e suponhamos que tenha derivada
primeira, , contínua por partes. Então, a série de Fourier de pode ser obtida derivando a série de
termo a termo, e a série derivada converge pontualmente para se existe:
∑
∑
∑
∑
Teorema
Seja f uma função contínua por partes em com período , e seja
∑ , a série de Fourier de .Então:
∫
∑
Em outras palavras, a integral definida de , de a até b, pode ser calculada integrando-se a série de
Fourier de termo a termo:
∫ ∑
∑∫
Página 51 / 57
Teorema da Integral
Seja uma função arbitrária de [ ] com Série de Fourier dada por:
∑
Então, a função ∫
tem uma série de Fourier que converge pontualmente com
relação a todo x do intervalo e
∫ ∑
∑ [ ]
Exemplo 1: [ ]
{
∫
∫
( ) {
Página 52 / 57
Exemplo 2: 0
a. , -
∫
∫
b. ( ) {
∫ {
(
)
XII. Forma Complexa das Séries de Fourier
∑ (
)
Onde pode ser escrito sob a forma complexa. Escreva:
E introduza estas expressões na Série de Fourier. É conveniente definir:
{
Página 53 / 57
Então, a Série de Fourier pode ser escrita, sua forma complexa, da seguinte maneira:
∑
∫
Observação:
∫
,
Exemplo 1: Ache a Série Complexa de Fourier de:
,
∫
∫
{
∑
Página 54 / 57
XIII. Aplicações das Séries de Fourier
a. Circuitos RLC
∑
∑
∑
∑
∑
(
)
(
)
Página 55 / 57
(
)
∫
b. Deflexão em Vigas
Onde
é a rigidez da viga e é a carga por unidade de comprimento. Temos também que
.
∑ (
)
∑ (
)
(
)
Mas temos que a Série de Fourier de é:
∑ (
)
∫ (
)
{
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{
∑
(
)
Página 57 / 57
Através desse estudo, pudemos entender um pouco mais sobre as Séries de Fourier, além de suas
peculiaridades abordadas de forma específica nas diversas seções. Foi possível também notar a grande
importância da mesma para a descrição de fenômenos naturais e a facilidade que ela propõe para tal estudo.
Com isso, pode-se afirmar que tal ferramenta é essencial para as sociedades poderem interagir com a
natureza de maneira cada vez mais eficaz.
Agradecimentos
Aos amigos Bruno César Gimenez, Pedro Gall Fernandes e Liziane Freitas Possmoser pelo empenho,
dedicação e auxílio na elaboração, desenvolvimento e conclusão deste estudo.
Ao professor Dr. Altair de Assis pelo material cedido para pesquisa e atenção assistida nos diversos
itens enunciados.
Referências
[1] Butkov, Eugene, Mathematical Physics, 1ª edição (1988)
[2] Assis, Altair S. de, Séries de Fourier 2010
[3] Assis, Altair S. de, Séries de Fourier: Mudança de Intervalo
[4] Assis, Altair S. de, Convergência das Séries de Fourier
[5] Assis, Altair S. de, Apêndice 1
[6] Assis, Altair S. de, Forma Complexa das Séries de Fourier
