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SÉRIES DE FOURIER
Fabio Cardoso D’Araujo Martins, Fernando Sergio Cardoso Cunha, Paula Rodrigues
Ferreira Alves, Rafael Caveari Gomes
UFF - Universidade Federal Fluminense
Neste artigo mostramos com diversos exemplos e contra exemplos aplicações das
Séries de Fourier, determinamos seus coeficientes, diferenciamos funções pares e
impares e definimos o quanto é importante essa determinação na aplicação das séries.
Tudo dentro de um intervalo 2π. Depois mostramos como calcular a mesma série para
funções com períodos arbitrários, séries em senos e cossenos, na forma complexa e ao
final mostramos como fazer uma mudança de intervalo.
A série de Fourier foi uma importante contribuição de Jean Baptiste Joseph Fourier
(1768-1830). Na matemática, a série estuda a representação de sinais como uma
combinação linear de sinais básicos como senos e cossenos ou exponenciais
complexas.
2
1 Séries de Fourier
1.1 Funções Periódicas
Uma função f(x) é periódica com um período T se f(x+T) = f(x) para qualquer x, do que
se decorre que f(x + nT) = f(x) para algum n inteiro: n= 0, n= ±1, n= ±2.
Exemplo:
1. Se f(x)= tg x, temos que tg (x + π) = tg x logo T = π.
2. Achar o período da função f(x) = sen n x
Se a função for periódica então sen n(x + t) = sen n x
sen n x cos n T + sen n T cos n x = sen n x
cos n T = 1 cos n T = cos 2 π
sen n T = 0 sen n T = sen 2 π
Logo T =
OBS: Se duas funções g(x) e h(x) possuem período T então a função f(x) = a g(x) + b h(x)
é periódica com período T.
3
1.2 Séries Trigonométricas
É uma serie de funções cujos são obtidos multiplicando-se os senos e os cossenos dos
múltiplos sucessivos da Variável independente x por coeficiente, que não dependem
da variável x e são admitidos reais.
Exemplo:
+ cos x + cos 2x +... + sen x + sen 2x +...
ou
+ ∑
Sendo esta uma serie de funções, sua soma S (no caso de existir, ou seja se a serie for
convergente) será uma função de variável independente e como os termos da serie
são funções trigonométricas, as funções periódicas de período 2π, a soma S(x) será
uma função periódica de intervalo 2π. De modo que precisamos estudar a serie
trigonométrica em um intervalo de comprimento 2π. Por exemplo: (-π, π) ou (0, 2π)
As funções periódicas de interesse prático podem sempre ser representadas por um
serie trigonométrica.
F(x) =
+ ∑
Esta representação é possível se a f(x) satisfaz as condições de suficiência de Dirichlet.
1.3 Representação de Dirichlet
Embora não sejam conhecidas as condições necessárias e suficientes para que a
função possa ser representada por uma série trigonométrica, as condições de
4
suficiência de Dirichlet, apesar de mais restritivas, asseguram a convergência da serie
para a função.
1º) A função f(x) deve ser continua e, portanto, limitada no intervalo (-π, π), com
exceção, talvez, de um número finito de pontos de descontinuidade de primeira
espécie (finitas)
Exemplo:
F(x) = {
Esta função apresenta, num período, apenas um ponto de descontinuidade finita em
x=0
Contra Exemplo:
F(x) = no intervalo (0, 2 π)
Esta função apresenta apenas um ponto de descontinuidade finita em x=3
2º) Efetuando-se uma partição no intervalo (-π, π) em um numero finito de sub-
intervalos, a função f(x) em cada m deles será monótona. A função f(x) tem somente
um número finito de máximos e mínimos em um período.
Exemplo:
(Fig. 1.1)
5
Podemos considerar 3 sub-intervalos:
No 1º intervalo f(x) é crescente, no 2º é decrescente e no 3º é crescente.
F(x) apresenta no período um ponto de máximo e um ponto de mínimo.
Contra exemplo:
f(x) =
no intervalo de: - π < x < π
(Fig. 1.2)
Esta função apresenta um número infinito de máximos e mínimos na vizinhança x=0
1.4 Ortogonalidade – Integrais de EULER
1- ∫
n = 1, 2, 3,...
2- ∫
n = 0, 1, 2,...
3- ∫
(p ≠ q) inteiros
4- ∫
p = 1, 2, 3,...
5- ∫
(p ≠ q) inteiros
6
6- ∫
p = q ≠ 0
7- ∫
p = q ou p ≠ q
Demonstrando:
1- ∫
n = 1, 2, 3,...
De fato: ∫
=
sen nx |
=
[sen nπ – sen (-nπ)] = 0
2- ∫
n = 0, 1, 2,...
De fato: ∫
= - [
]
= -
* cos nπ – cos (- nπ)] = 0
3- ∫
(p ≠ q) inteiros
De fato: cos (p + q) x = cos px cos qx – sen px sem qx (1)
cos (p – q) x = cos px cos qx + sen px sem qx (2)
Somando membro (1) + (2)
cos px cos qx = ½ [ cos (p + q)x + cos (p – q)x]
então ∫
=
∫
4- ∫
p = 1, 2, 3,...
De fato: cos² px + sen² px = 1 (1)
cos² px – sen² px = cos 2 px (2)
Fazendo (1) + (2)
7
2cos² px = 1 + cos 2 px
∫
=
∫
= ½ ∫
+
∫
=
[ 2π+ + 0 = π
5- ∫
(p ≠ q) inteiros
cos (p + q) x = cos px cos qx – sen px sen qx (1)
cos (p – q) x = cos px cos qx + sen px sen qx (2)
Fazendo (2) – (1)
sen px sen qx =
[ cos(p – q) x – cos ( p + q)x]
∫
=
∫
= 0
6- ∫
p = q ≠ 0
∫
= ∫
=
∫
-
∫
7- ∫
p = q ou p ≠ q
sen (p + q)x = sen px cos qx + sen qx cos px (1)
sen (p – q)x = sen px cos qx – sen qx cos px (2)
Fazendo (1) + (2): sen px cos qx =
[sen (p + q) x + sen (p + q) x]
∫
=
∫
+
∫
8
1.5 Determinação dos coeficientes de FOURIER
Usando propriedades elementares das funções trigonométricas podemos facilmente
determinar , em termos de f(x) de maneira que no intervalo (-π, π) a série
trigonométrica abaixo seja igual à função f(x), isto é:
∑
Integramos os dois membros de (1) entre (-π, π)
∫
= ∫
+ ∑ [∫
∫
]
Sendo cos nx = 0 e sen nx = 0 então
∫
∫
=
*2π+ = .π
=
∫
Calculo de :
Multiplicando a f(x) por cos px, sendo p, número fixo dado e integremos entre os
limites (-π, π)
∫
= ∫
+ ∑ ∫
De acordo com as Integrais de Euler, se n = p:
∫
= ∫
=
∫
9
Calculo de :
Multipliquemos a f(x) por sen px e integremos entre (-π, π)
∫
= ∫
+ ∑ ∫
+
∫
De acordo com as Integrais de Euler, se n = p:
∫
= ∫
=
∫
Exemplo:
Determinar s série de Fourier da função f(x) que supomos possuir o período 2π e fazer
o esboço gráfico de f(x) e das primeiras três somas parciais.
(Fig. 1.3)
f(x)= ,
∫
=
*∫ ∫
+=
*
+ = 0
10
=
*∫ ∫
+ =
[π] = 1
=
*∫ ∫
+ =
=
[ - 1] n = ímpar:
n = par:
f(x) =
+
( sen x +
sen 3x + ... )
As somas parciais são:
=
(Fig. 1.4)
=
+
sen x
(Fig. 1.5)
11
=
+
(sen x +
sen 3x)
(Fig. 1.6)
Vimos que para
f(x) = ,
f(x + 2π) = f(x)
(Fig. 1.7)
A série de Fourier representada é
(
)
Vamos determinar a série de Fourier para
{
12
,
A função f1 (x) é a f(x) deslocada ½ unidades para baixo, logo
–
A função f2 (x) é a mesma f(x), exceto por uma alteração na escala do tempo
Verificamos que alterar a escala de tempo, altera as frequências angulares dos termos
individuais, mas não altera seus coeficientes. Assim, para calcular os coeficientes, o
período pode ser arbitrariamente mudado se isto parecer conveniente.
Exercícios:
1.6 – Verificar se as funções abaixo satisfazem as condições de Dirichlet.
1.
2.
3.
13
4. {
5.
1.7 – Desenvolver em série de Fourier as funções supostas periódicas de período 2π.
1 ,
2.
3.
4. {
, onde k é constante
Para Conferir:
1. Sim, pois no ponto t = 2 onde temos uma indeterminação, a descontinuidade é de
primeira espécie.
Para ,
2. Não, pois temos descontinuidade infinita para .
3. Não, descontinuidade infinita na vizinhança de .
4. Sim, as duas condições são satisfeitas.
5. Não, pois na vizinhança de temos um número infinito de máximos e
mínimos.
14
1.7
,
A f(x) satisfaz as condições de Dirichlet.
Cálculo dos coeficientes de Fourier:
∫
∫
∫
∫
∫
–
∫
Fazendo a integração por partes:
∫ = uv – ∫
u = x du = dx
dv = cos(nx)dx v =
15
∫
∫
–
{
∫
∫
–
∫
Fazendo a integração por partes:
∫ = uv – ∫
{ *
+
∫
}
{ *
+ – ∫
}
16
Logo,
–
–
2. –
–
–
3.
A f(t) satisfaz as condições de Dirichlet.
Cálculo dos Coeficientes:
∫
–
∫
Sabemos que ∫ ∫
; dv = cos(nx) v = sen(nt)/n
∫ =
∫
u = et du = et dt ; dv = sen(nt) dt v =
∫
∫
=
∫
∫
17
∫ =
Multiplicando por n²:
∫ =
∫
=
Mas, ;
∫
=
∫
De modo análogo calculamos bn:
∫
Logo,
∑ *
–
+
Ou
[
∑
]
(
)
18
1.8 Funções pares e ímpares
Sejam g(x) e h(x) funções definidas no intervalo (-π , π).
Diz-se que:
g(x) é par se g(-x) = g(x), para todo x
h(x) é ímpar se h(-x) = -h(x), para todo x
Observações: O gráfico da função g(x) é simétrico em relação ao eixo das ordenadas.
O valor da função ímpar no ponto zero: h(0) = 0.
Para calcular os coeficientes de Fourier de uma função par e de uma função ímpar
verificamos que:
I. ∫ ∫
De fato: ∫ ∫
∫
= ∫
∫
=
= ∫
∫
Então:
∫ ∫
∫
19
∫ ∫
∫ ∫
II. ∫
De fato:
∫ ∫
∫
= ∫
∫
=
∫
∫
Então:
∫ ∫
∫
= 0
III. O Produto de uma função par g(x) por uma função ímpar h(x), í ímpar.
IV. O produto de uma função par x função par é função par.
V. O produto de uma função ímpar x função ímpar é uma função par.
20
Conclusão:
Se é uma função par, é uma função ímpar e
∫
–
Se f(x) é uma função ímpar, é ímpar e ∫
–
- Teorema 1:
A série de Fourier periódica par f(x), que possui período 2π, é uma série de Fourier em
cossenos.
∑
Com coeficientes:
∫
∫
A série de Fourier de uma função periódica ímpar f(x) que possui período 2π é uma
série de Fourier em senos.
∑
21
Com coeficientes:
∫
Consideremos f(x) par,
∑
∑
Mas como f é par,
∑
∑ ou
∑
Por outro lado,
∫
Como e são funções pares, temos:
[ ∫
∫
]
[∫
∫
]
22
[∫
∫
]
∫
Consideremos ímpar:
∑
∑
Como f é ímpar,
∑
∑
∑
Por outro lado,
∫
Como e são funções ímpares
∫
∫
∫
∫
∫
∫
23
∫
∫
∫
Logo, ao calcular os coeficientes na Série de Fourier para funções que tenham simetria,
é conveniente integrar de –π a π ao invés de 0 a 2π.
Algumas vezes é interessante deslocar temporariamente ou o eixo vertical ou o
horizontal ou ambos, de maneira a criar uma função par ou ímpar e usar as
simplificações para formas de onda simétricas.
1) Determinar a Série de Fourier da função:
{
Como f(x) é uma função que apresenta simetria é conveniente integrá-la no intervalo (-
π , π).
Cálculo dos Coeficientes:
Como f(x) é par ; bn = 0
∫
∫
*
+
24
∫
∫
∫
Integral que foi calculada anteriormente.
{
í
[
]
2) Determine a Série de Fourier para f(t)
Embora pudéssemos determinar a série de f(t) diretamente vamos relocalizar os eixos
a fim de usar as relações de simetria, pois f(t) não é par nem ímpar.
1º Caso: A subtração de uma constante de
produz uma função ímpar
f(t)
0 t
1
f1(t)
0 t
1/2
-1/2
25
Logo a0 = an = 0
∫
∫
{
í
[
]
[
]
1º Caso: Vamos mudar o eixo vertical para obter uma função par f2(t)
Logo bn = 0
∫
∫
[∫ ∫
]
(
)
∫
* (
) +
{
í
f2(t
)
t
1
26
[
]
[ (
)
(
) ]
(
) (
) (
)
(
) (
) (
)
Podemos reescrever f(t)
[
]
Como no resultado anterior.
1.9 Funções com período arbitrário
Até agora consideramos funções periódicas de período . Por uma simples mudança
de variável podemos encontrar a Série de Fourier de uma função f(t) de período T
qualquer.
Esta mudança de variável é feita pela seguinte transformação linear. Seja f(t) definida
no intervalo
.
Mudança de variável:
Somando membro a membro (1) e (2):
27
Substituindo em (1)
ã
á
(
) é
(
)
∑
∫ (
)
∫ (
)
∫ (
)
á ç
∑ (
)
∫
∫
∫ (
)
∫ (
)
O intervalo de integração pode ser substituído por qualquer intervalo de comprimento
T, por exemplo, 0 < t < T.
O Teorema I se verifica para funções pares e ímpares, periódicas de período T
qualquer.
Exemplo: Determinar a Série de Fourier da função f(t), periódica de período T=4
{
f(t)
t
28
Temos que
∫ (
) é
∫ (
)
∫
∫ ∫
∫ (
)
∫ (
) [
(
)]
(
)
{
í
∑ (
)
[ (
)
(
)
(
) ]
1.10 Séries em seno e séries em cosseno
Desenvolvimento de meio período. Seja f(t) de período T=2L. Se f(t) for par a série de
Fourier fica:
∑ (
)
∑ (
)
com coeficientes:
29
∫ (
) é
∫ (
)
∫
Se f(t) for ímpar:
∑ (
)
com coeficientes:
∫ (
)
f(t) prolongada como função
par.
f(t)
30
OBS.: Constatamos que (2) e (4) empregam unicamente os valores de f(t) do intervalo
(0,L).
Para uma função definida somente neste intervalo podemos formar as séries (1) e (3).
Se a função satisfaz as condições de Dirichlet, ambas as séries representam a função
no intervalo (0,L). Fora deste intervalo, a série (1) representará o prolongamento
periódico par de f(t), tendo período 2L; e a (3) o prolongamento periódico ímpar de
f(t).
Exemplo: Encontrar a Série de Fourier em cossenos da função f(t) definida no intervalo
(0,L) e fazer o gráfico do prolongamento periódico correspondente.
{
∫
[∫ ∫
]
∫ (
)
[∫ (
) ∫ (
)
]
* (
)+
[ (
) ]
* (
)+
f(t) prolongada como função ímpar.
f(t)
t
1
31
{
í
Logo,
[ (
)
(
)
(
) ]
Exercícios:
1.11 - Verificar se as funções são pares, ímpares, ou nem pares nem ímpares.
1. f(x) = sen(x) + cos(x)
2. f(x) = x2cos(nx)
3. f(x) = x| |
4. f(x) = ex
5.f(x) = x3sen(x)
1.12 - Desenvolver em Série de Fourier as funções, supostas periódicas de período 2
∑
| |,
32
1.13 - Determinar a Série de Fourier das funções periódicas de período T:
1.14 - Representar por meio da Série de Fourier em cossenos as funções 1 e 2 e por
meio da Série de Fourier em senos, as funções 3 e 4; fazer o prolongamento periódico
correspondente:
Para conferir:
1.11
çã é é í
33
| |
| |
| |
çã é í
í
çã é
1.12
é
∫
[
]
∫
[
]
∑
[
]
f(x)
x
34
∑
π ∑
π
∑
[
]
é
é
∫
–
∫
∫
π
∫
∫
∫
∫
[
]
35
é
é í
∫
(
)
∫
(
)
∫
(
)
∫
{
í
Logo, f(t) =∑ (
)
f(t)
0 t
1
-1
36
(
)
( 0 ) , T= 2
∫
∫
|
∫
∫
|
∫
|
|
∫
∫
|
∫
|
|
Logo
37
(
)
(
)
,
Prolongamento periódico par
∫
∫
*∫ ∫
+
,*
+
*
+
-
∫
∫
,∫
∫
-
Cálculo da integral:
∫
∫
38
∫
Logo,
{[
]
[
]
*
+
}
{
}
∑
∑ (
)
[(
)
(
)
]
39
∫
∫
∫
∫
∫
{[
]
}
,
-
[
]
{
[
]
Daí :
∑
∑
40
1.11 Forma Complexa das Séries de Fourier
∑ (
)
Pode ser escrita sob a forma complexa. Escreva
(
)
(
)
(
)
(
)
e introduza estas expressões N a séries. É conveniente definir:
{
Então a Série de Fourier pode ser escrita em sua forma complexa:
∑
∫
∫
,
Exemplo: Ache a Série Complexa de Fourier de:
,
f(x)
0 x
1
41
∫
∫
{
∑
2 Séries de Fourier: Mudança de Intervalo
Até aqui, tratamos exclusivamente de funções nos intervalos [ -π , π+ e *0 , π+. Para
muitas finalidades, entretanto, esta colocação é muito restritiva, e agora nos
propomos generalizar nossos resultados para um intervalo arbitrário [a , b]. Mas, ao
invés de começar imediatamente com o caso mais geral, será mais simples
considerarmos primeiro os intervalos da forma [-p , p] e seus espaços euclidianos
associados [-p , p]. Porque, aqui, a situação pode ser tratada com presteza.
Com efeito, é óbvio que as funções
são mutuamente ortogonais em [-p , p]. Além disso, justamente como no caso em
que p = π, pode-se mostrar que essas funções formam uma base deste espaço, e,
por conseguinte, que as suas séries ortogonais associadas (as quais, diga-se de
passagem, denominam-se ainda séries de Fourier) convergem em média. E,
finalmente, levando-se na devida consideração o comprimento do intervalo, todas as
nossas observações concernentes à convergência pontual são válidas neste contexto.
42
Para obtermos as fórmulas para os coeficientes de Fourier de uma função de [-p ,
p], notemos que
∫
∫
∫
Então
∑ (
)
onde
∫
∫
para todo k. E, com isto, encerramos.
A discussão acima pode ser facilmente adaptada para tratar do espaço euclidiano
[a , b]. Com efeito, se fizermos, 2p = b – a, de modo que [a , b]=[a , a + 2p], as
funções de (2.1) formarão também uma base para [a , a+ 2p]. Isto nos leva
imediatamente às seguintes fórmulas para o cálculo do desenvolvimento em série de
Fourier de uma função f em [a , b]:
∑ (
)
43
em que
∫
∫
para todo k.
Exemplo 1. Determine a série de Fourier em [0 , 1] da função f(x) = x.
Aqui, b – a = 1, e (2.5) torna-se
∫
∫
A integração por partes dá, então,
Portanto,
(
)
O gráfico desta série é dado na Fig. (2.1)
44
Fig. (2.1)
Fig.(2.2)
Fig.(2.3)
Exemplo 2. Determine a série de Fourier da função f, mostrada na Fig.(2.2)
Neste caso,
,
E as Fórmulas (2.5) dão
45
∫
∫ ∫
∫
∫ ∫
Embora essas integrais possam ser calculadas diretamente, os cálculos podem ser
simplificados consideravelmente, mediante o seguinte raciocínio.
Designemos por F a extensão periódica de f a todo o eixo dos x (Fig.(2.3)). Então, as
funções F(x) cos kπx e F(x) sem kπx são periódicas com período 2, e temos
∫
∫
∫
∫
para qualquer número real a. [Neste ponto, nos apoiamos no fato óbvio de g ser
contínua pode partes em ( - ) com período 2p. Então,
∫
∫
para qualquer par de números reais [ a, b]. Fazemos agora a = -1 em (2.6), para obter
46
∫
∫
Mas, o intervalo [ -1, 1], F coincide com a função par |x|. Donde para todo k, e
∫
. Portanto,
{
4 Conclusão
O estudo das Séries de Fourier já tem, assim como outros assuntos físicos e
matemáticos, grandes contribuições e um vasto material acessível a todos.
Assim, neste artigo, só nos resta concluir o entendimento e o estudo de uma
importante ferramenta matemática com objetivo principal suas aplicações na
engenharia em geral.
Referências
A.S. de Assis, Séries de Fourier
A.S. de Assis, Maurício R. Martinelli, Uma Simples Metodologia Para Confecção
de Trabalhos Científicos
47
