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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DO SERIDO-CERES
COORDENACAO DO CURSO DE MATEMATICA
UM ESTUDO SOBRE LEI DOS SENOS, LEIDOS COSSENOS E SUAS APLICACOES
Rayanne Dantas Maia
Trabalho de Conclusao de Curso
Orientador: Prof. Me. Luis Gonzaga Vieira Filho
CAICO-RN
Dezembro/2015
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DO SERIDO-CERES
COORDENACAO DE MATEMATICA
UM ESTUDO SOBRE LEI DOS SENOS, LEI DOSCOSSENOS E SUAS APLICACOES
por
Rayanne Dantas Maia
Monografia apresentada a Coordenacao do Curso de
Matematica do CERES, da Universidade Federal do
Rio Grande do Norte, como exigencia parcial para
obtencao do tıtulo de graduacao em Licenciatura em
Matematica.
CAICO-RN
Dezembro/2015
Maia, Rayanne Dantas. Um estudo sobre lei dos senos, lei dos cossenos e suasaplicações / Rayanne Dantas Maia. - Caicó: UFRN, 2015. 40f: il.
Orientador : Luis Gonzaga Vieira Filho.
Monografia (Licenciatura em Matemática) Universidade Federaldo Rio Grande do Norte. Centro de Ensino Superior do Seridó -Campus Caicó.
1. Lei dos senos. 2. Lei dos cossenos. 3. Aplicabilidadedas leis. I. Filho, Luis Gonzaga Vieira. II. Título.
RN/UF/BSE07 CDU 51
Catalogação da Publicação na FonteUniversidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN
Sistema de Bibliotecas - SISBI
UM ESTUDO SOBRE LEI DOS SENOS, LEI DOS
COSSENOS E SUAS APLICACOES
por
Rayanne Dantas Maia
Monografia apresentada a Coordenacao do Curso de Matematica do CERES, da
Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como exigencia parcial para obtencao
do tıtulo de graduacao em Licenciatura em Matematica.
Aprovado por:
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Centro de Ensino Superior do Serido
Coordenacao do Curso de Matematica
Caico - RN
Dezembro/2015
Dedicatoria
A Deus, aos meus pais Katia Cilene
e Raimundo, a minha avo Maria.
iv
Agradecimentos
Em primeiro lugar quero agradecer a Deus pelo dom da vida e por ter me dado forcas
nos momentos difıceis dessa caminhada.
Aos meus pais Katia Cilene e Raimundo Maia, que sempre estiveram presente em todos
os momentos da minha vida, aconselhando e direcionando o melhor caminho a seguir.
Aos meus tios Bernardino Carreiro e Luzia Maia, pois sem a motivacao e a forca de
voces talvez hoje eu nao estivesse concluindo o curso de licenciatura em Matematica,
muito obrigada por tudo, nunca serei capaz de retribuir o que fizeram por mim.
Aos meus pais adotivos Marlene e Djalma, que abriram as portas de sua casa e me re-
ceberam como uma filha, palavras nao sao capazes de descrever o meu agradecimento
a voces.
Aos meus irmaos Rayzza, Rute e Miguel, pelo carinho e atencao que tem para comigo.
A todos os familiares, por toda a preocupacao e carinho que tiveram comigo durante
essa trajetoria academica.
Ao meu noivo Thales Freitas, pelo companheirismo, paciencia e forca nos momentos
difıceis na caminhada.
Aos meus amigos que estiveram presente durante essa caminhada, em todos os mo-
mentos. Ha voces meu muito obrigada pelo carinho durante toda essa trajetoria de
altos e baixos, mas tambem de muitas vitorias.
Ao meu padastro Jose Francisco, pelo carinho e cuidado.
Ao meu padrinho Nailson e toda a sua famılia pelo carinho que tiveram comigo du-
rante esses anos ajudando no que foi possıvel.
A todos os professores que contribuıram para a minha formacao academica de modo
especial ao meu professor orientador Luis Gonzaga Vieira Filho, pelos conhecimentos
transferidos.
A todos que contribuıram de forma direta ou indireta para a realizacao desse sonho.
v
Resumo
Este trabalho apresenta um estudo sobre a lei dos senos e lei dos cossenos, sendo
esta uma parte da trigonometria que trabalha com a resolucao de problemas em quais-
quer triangulos. No primeiro momento, trataremos de pontos que foram relevantes
e que contribuıram para o desenvolvimento da trigonometria, no segundo momento
sera apresentado a demonstracao da lei dos senos e lei dos cossenos, e finalmente as
aplicacoes das leis mostrando assim sua vasta aplicacao. Para desenvolver este tra-
balho foi realizada uma pesquisa em fontes impressas e eletronicas, sendo esse um
levantamento bibliografico.
Palavras Chaves: Lei dos senos. Lei dos cossenos. Aplicabilidade das leis.
vi
Abstract
This paper presents a study on the law of sines and law of cosines, which is a
part of trigonometry working with problem solving in any triangles. At first, we will
deal points that were relevant and contributed to the development of trigonometry,
the second time will be presented to demonstrate the law of sines and law of cosines,
and finally the application of the laws thus showing its wide application. To develop
this work a survey was conducted in printed and electronic sources, making a biblio-
graphical survey.
Keywords: Law of sines. Law of cosines. Applicability of laws.
vii
Lista de Figuras
1.1 Cırculo de raio unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Triangulo retangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1 Triangulo acutangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Triangulo obtusangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Circunferencia de raio r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Triangulo com angulo A agudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 Triangulo com angulo A obtuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1 Representacao do problema I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Representacao do problema II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Representacao do problema III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Representacao do problema IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.5 Representacao da problema IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.6 Representacao do problema V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.7 Representacao do problema VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
viii
“A Matematica, quando a compre-
endemos bem, possui nao somente
a verdade, mas tambem a suprema
beleza.”
Bertrand Russel
ix
Sumario
1 RETROSPECTIVA HISTORICA 3
1.1 Primeiros indıcios da historia da trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 As contribuicoes de Hiparco de Niceia e Ptolomeu a trigonometria . . . 5
1.3 As contribuicoes dos hindus e arabes a trigonometria . . . . . . . . . . . 7
1.4 Contribuicoes de alguns estudiosos para a trigonometria . . . . . . . . . 8
2 LEI DOS SENOS E LEI DOS COSSENOS 10
2.1 Lei dos senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Lei dos cossenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 APLICACOES 19
3.1 Problema I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Problema II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Problema III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Problema IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.5 Problema V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.6 Problema VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 CONSIDERACOES FINAIS 28
1
INTRODUCAO
A trigonometria e um ramo da matematica que apresenta os metodos de resolucao
de problemas entre triangulos e investiga funcoes trigonometricas, nesse trabalho sera
apresentado de modo mais especifico a lei dos senos e lei dos cossenos que e uma
ramificacao da trigonometria utilizada para resolucao de problemas nos quais se pre-
tende determinar os lados ou angulos dos triangulos.
Esse trabalho tem por objetivo mostrar ao leitor que o conhecimento da trıade,
“surgimento, demonstracao e aplicacao”, da lei dos senos e lei dos cossenos consti-
tui um olhar mais crıtico do objeto de estudo apresentado, percebendo assim suas
contribuicoes e utilidades para o conhecimento.
O interesse em investigar e escrever sobre a lei dos senos e lei dos cossenos, se deu
por recordacoes da epoca de estudante quando ao ver o professor expondo o conteudo,
apesar de acha-lo interessante, nao compreendia a razao pela qual poderia tornar o
determinado conteudo util em diversas situacoes cotidianas nas quais poderia ser
aplicado, hoje pelo pouco de experiencia que tenho com a sala de aula como professora
de matematica percebo a mesma dificuldade em meus alunos, por isso resolvi escrever
um trabalho que apresentasse diversas situacoes nas quais se podem aplicar a lei dos
senos e lei dos cossenos, para isso e importante conhecer o determinado conteudo de
uma forma geral, fazendo uma breve explanacao do seu surgimento, apresentar as
demonstracoes da lei dos senos e lei dos cossenos com o intuito de reconhecer como
chegou as suas determinadas formulas que sao um meio facilitador na resolucao de
problemas, em diversas situacoes nas quais sao aplicadas.
O presente trabalho apresenta-se da seguinte forma: 1. Introducao, 2. Retros-
pectiva historica da trigonometria, os primeiros indıcios, o processo de evolucao ate
torna-se um ramo da matematica e as contribuicoes de varios estudos para essa area, 3.
Demonstracoes da lei dos senos e lei dos cossenos, onde se apresenta o conceito e suas
demonstracoes, 4. Aplicacoes, relata a importancia e situacoes diversas nas quais as
leis dos senos e lei dos cossenos sao aplicadas, seguida de exemplos, 5. Consideracoes
finais, 6. Referencias bibliograficas. A pesquisa caracterizou-se por um levantamento
bibliografico, em fontes impressas como livros, artigos, e fontes eletronicas.
2
Capıtulo 1
RETROSPECTIVA HISTORICA
1.1 Primeiros indıcios da historia da trigonometria
A palavra trigonometria e de origem grega, onde “trigono” significa que tem
tres angulos e “metria” e medida. Acredita-se que o termo foi criado, em 1595, pelo
matematico alemao Bartholomaus Pitiscus (1561-1613) (MORAIS FILHO, 2014), ou
seja, a trigonometria e um ramo da matematica que estuda os lados e angulos de um
triangulo e as funcoes trigonometricas. Sua origem e incerta, seu surgimento nao foi
algo apresentado pronto, para chegar ao seu estagio atual, ocorreram grandes avancos
e contribuicao de grandes estudiosos e tudo isso se deve a necessidade dos povos
antigos em resolver problemas relacionados a astronomia, agrimensura e navegacoes.
Sao poucos os registros historicos sobre os antigos estudos realizados nesse ramo
da matematica, pois utilizavam apenas o registro escrito que era bastante precario e
perdeu-se no decorrer dos anos.
A trigonometria como toda descoberta matematica nao se desenvolveu de ma-
neira repentina, e muito menos teve um unico protagonista, contou com contribuicao
de diversas civilizacoes que foram: babilonicas, egıpcias, gregas, hindus e arabes. Mo-
tivados pela compreensao do universo, a trigonometria passou a ser uma ferramenta
auxiliadora para descobertas fascinantes e que contribuıram para o desenvolvimento
da arquitetura, da navegacao, da astronomia, da geografia, mas foi o interesse pela
astronomia que impulsionou o estudo da trigonometria.
Os primeiros indıcios da trigonometria surgiram no Egito e na babilonia. No
Egito aproximadamente 1650 a.C. foi encontrado o papiro de Ahmes, mais conhecido
como papiro de Rhind, problemas envolvendo a cotangente de um angulo diedro da
base de uma piramide. Esse conceito era utilizado na construcao das piramides onde se
calculava a inclinacao de suas faces, o que levou os egıpcios a introduzirem o conceito de
seqt que representava a razao entre o afastamento vertical e horizontal, mais tarde essas
3
nocoes culminaram nas funcoes tangente e cotangente. Tambem foram encontrados na
Babilonia a tabela de Plimpton 322,que contem essencialmente a tabua das secantes na
tabua cuneiforme (esse nome devido os numeros serem escritos na forma de cunha).
Como mencionado anteriormente, os primeiros registros sobre a trigonometria nao
surgiu somente no Egito, mas tambem na Babilonia. O interesse dos babilonicos pela
astronomia, era desenvolver ferramentas de calculos para serem utilizadas como meio
de ligacao do calendario com as epocas de plantio o que acarretou no desenvolvimento
da agricultura.
Assim, pode-se observar que mesmo a trigonometria nao tendo esse nome es-
pecıfico ja era bastante explorada pelos povos antigos, pois e impossıvel estudar as
fases da lua, os pontos cardeais e as estacoes do ano sem usar triangulos.
Na Grecia os grandes sabios contribuıram para a construcao do conhecimento
geometrico, entre eles pode se destacar Thales de Mileto (625-546 a.C.), com estudo
da semelhanca que contribuiu para a trigonometria e Pitagoras (570-495 a.C.) que
provou o teorema que recebe, em sua homenagem, seu nome: “Em todo triangulo
retangulo o quadrado do comprimento da hipotenusa e igual a soma dos quadrados das
medidas dos catetos”. Deste teorema surge o teorema fundamental da trigonometria.
(COSTA, 2015). Desse modo, pode-se afirmar que a trigonometria esta intimamente
ligada a geometria. Na obra Os Elementos de Euclides tambem e possıvel encontrar
proposicoes que relacionam a lei dos cossenos para angulos agudos e obtusos so que
de forma geometrica, e teoremas relacionados ao que hoje conhecemos como lei dos
senos e lei dos cossenos.
Assim, Boyer (1996, p.108) afirma que
Nas obras de Euclides nao ha uma trigonometria no sentido da palavra,
mas ha teoremas equivalentes a leis ou formulas trigonometricas especıficas.
As proposicoes II.2 e II.3 de Os elementos, por exemplo, sao as leis de
cosseno para angulos obtuso e agudo respectivamente[...] Os teoremas
sobre comprimentos de corda sao essencialmente a lei dos senos.
Referencias a trigonometria tambem foram encontradas no oriente, aproximada-
mente 1110 a.C. . Acredita-se que os triangulos retangulos eram utilizados para calcular
distancias e medir comprimentos e profundidade, para isso, evidencias mostram que
eles utilizavam as relacoes trigonometricas, o conceito de angulo e como medi-lo, mas
nao foram encontrados registros que expliquem o metodo que eles utilizavam para
calcular essas medicoes e as unidades de medidas utilizadas.
Pode-se observar que os estudos na area da trigonometria foram impulsionados
pelo interesse na astronomia. Por volta do ano 200 a.C. os astronomos Eratostenes
4
de Cirene (276-196 a.C.) contemporaneo de Arquimedes e Aristarco (310-230 a.C.)
interessados em descobrir a distancia entre dois pontos da superfıcie terrestre e calcular
o raio da terra, usaram semelhanca de triangulos e relacoes trigonometricas, e com isso
produziram a mais notavel medida da antiguidade para a circunferencia o que foi
um marco importante, pois daı percebe-se a necessidade de uma trigonometria mais
sistematizada entre angulos e cordas. Vale ressaltar que o trabalho de Eratostenes so
foi possıvel depois de determinado o conceito de angulo e como medi-lo.
Contudo, observa-se que, apesar da trigonometria nao ter sido apresentada de
forma sistematizada, ela ja vinha sendo estudada e aplicada por muitos estudiosos
em situacoes diversas, nota-se tambem que a lei dos senos e lei dos cossenos estavam
presente nas obras antigas, embora nao fosse vista como uma area da trigonometria e
formuladas como se conhece hoje.
1.2 As contribuicoes de Hiparco de Niceia e Ptolomeu a
trigonometria
Por volta de 180 a.C. a primeira amostra documentada sobre a trigonometria sur-
giu, quando Hipsıcles, influenciado pela cultura da babilonia dividiu o zodıaco em
360 partes. Acredita-se que Hiparco de Niceia generalizou essa ideia para o cırculo,
dividindo em 360 partes iguais, e nomeou arco de 1 grau a cada parte da circunferencia
e, mais ainda, dividiu cada grau em 60 partes obtendo o arco de minuto. Bastante in-
fluenciado pela cultura babilonica, Hiparco acreditava que a melhor base de contagem
era a base 60.
Foi por volta da metade do seculo II a.C. que o astronomo Hiparco de Niceia (180-
125 a.C.), estudou e sistematizou relacoes entre os elementos de um triangulo, ele foi
o primeiro a construir a primeira tabela trigonometrica, incluindo a tabua de cordas,
com os valores das cordas de varios angulos de 0o a 180o. Hiparco observou que em
um dado cırculo de (raio arbitrario) a razao do arco para a corda diminui na medida
que o arco diminui de 180o para 0o, suas observacoes contribuıram para um avanco na
astronomia e posteriormente em novo campo da matematica, a trigonometria, devido
a isso recebeu o tıtulo de “pai da trigonometria”.
Sao notaveis as contribuicoes de Hiparco de Niceia para o desenvolvimento da
trigonometria, mas foi com a ajuda do astronomo Claudio Ptolomeu que ela atingiu
seu apice, sua obra, chamada de Syntaxis mathematica (Colecao matematica), popu-
larmente conhecida como Almagesto - palavra arabe que significa “O maior” ou “O
grande tratado”, esse nome foi devido aos tradutores arabes considerarem a maior e
5
mais importante obra existente da epoca relacionada a trigonometria da antiguidade.
A obra e composta por 13 volumes, que tem como base o trabalho do astronomo grego
Hiparco, cujos livros se perderam. Isso aparece num comentario do trabalho mais
antigo de Teon de Alexandria, que viveu dois seculos depois e pesquisou sobre as
descobertas dos gregos anteriores.
O Almagesto tem por objetivo descrever matematicamente o funcionamento do
sistema solar, aplicando a teoria geocentrica, ou seja, que a terra e o centro, sua ideia
perdurou ate Copernico (1473-1543) e Johanm Kleper (1571-1630), que introduziram a
teoria heliocentrica, ou seja, que o sol e o centro do sistema solar. Segundo Edward
Kennedy “para os matematicos o Almagesto tem interesse devido as identidades tri-
gonometricas que Ptolomeu divisou para ajuda-lo a reunir dados da tabua de cordas”
(1992, p. 28), esse material tornou-se uma grande ferramenta de estudo para os ma-
tematicos, visto que foi a primeira obra que apresentou as cordas trigonometricas, e os
metodos para a sua construcao, pois os outros materiais se perderam com o tempo.
Dos livros que compoem o Almagesto, o primeiro contem as informacoes as-
tronomicas preliminares, em meio a esta se encontram os estudos sobre a trigonome-
tria descrita nos capıtulos dez e onze. No capitulo dez Ptolomeu explica todos os
procedimentos para a construcao da tabela de corda, os demais livros eram dedicados
a astronomia. A tabela de Ptolomeu e mais completa que a de Hiparco, contendo
angulos de meio em meio grau de 0o a 180o.
No primeiro livro tambem se encontra a proposicao geometrica conhecida como
Teorema de Ptolomeu: “Se ABCD e um quadrilatero (convexo) inscrito em uma
circunferencia, entao
AB·CD + BC·DA = AC·BD;
isto e, a soma dos produtos de lados opostos de um quadrilatero inscritıvel e igual
ao produto das diagonais” (BOYER E MERZBACH, 2012, p. 126). Esse foi o teorema
utilizado por Claudio Ptolomeu para expansao da trigonometria. Com esse resultado
Ptolomeu chegou ao que hoje sao equivalentes as Formulas do seno da diferenca
sen(α − β) = senαcosβ-senβcosα, raciocınio semelhante levou a determinar o seno da
soma, sen(α+β)=senαcosβ+senβcosα , e de modo analogo cos(α±β) = cosαcosβ∓senαsenβ,
devido a essas descobertas as quatro formulas sao hoje conhecidas como Formulas de
Ptolomeu (BOYER E MERZBACH 2012).
Outra formula utilizada por Ptolomeu para a construcao de sua tabela trigo-
nometrica foi a seno do arco metade, sen2 α2 =
1−cosα2 . Segundo Boyer “Ptolomeu
estava preparado para construir uma tabela de cordas tao precisa quanto se poderia
desejar, pois tinha o equivalente de nossas formulas fundamentais.”(2012, p. 127). Vale
ressaltar que nessa epoca ainda nao conhecia a relacao seno, mas sim a relacao corda.
6
1.3 As contribuicoes dos hindus e arabes a trigonometria
A trigonometria recebeu contribuicoes dos hindus, que aproximadamente 400 d.C.,
escreveram uma obra chamada de Surya Siddhanta, que quer dizer sistema do sol, a
Surya foi uma obra de muita importancia, pois apresentou uma trigonometria diferente
de Ptolomeu. Nesta, a relacao apresentada era entre a metade da corda e a metade do
angulo central correspondente, chamada por eles de jiva (Definicao: jiva e a relacao
entre o cateto oposto e sua hipotenusa, ou seja, Jivaθ2 =catetoopostohipotenusa ) que diferenciou-
se de Ptolomeu que relacionava as cordas de um cırculo com os angulos centrais
correspondentes. A figura 1.1 representa a definicao do jiva hindu.
Figura 1.1: Cırculo de raio unitario
A metade da corda dividida pelo raio da circunferencia e o jiva da metade do arco
Jivaθ2 =c2r , que conhecemos hoje como, senθ2 =
c2r .
Depois desta descoberta na trigonometria, ocorreram muitos avancos e melhoria
das funcoes trigonometricas incluindo a nova nomenclatura da funcao, ou seja, passou
de funcao corda para funcao seno. A partir daı os hindus demonstraram as identidades
trigonometricas, encontrado em Varahamihira, no ano 505 d.C., o que hoje equivale a
sen2θ + cos2θ = 1.
Os arabes tambem tiveram sua contribuicao para o desenvolvimento da trigono-
metria. O prıncipe Al Battani (aproximadamente 850 a 929 d. C.), ou Albategnius,
chamado o Ptolomeu da Bagdad, destacou-se por introduzir o raio da circunferencia
unitaria e com isso conseguiu provar que a razao jiva e valida para qualquer triangulo
retangulo independentemente da medida da sua hipotenusa, com essa ideia conseguiu
que a trigonometria hindu fosse tambem adotada pelos arabes. A figura 1.2 representa
o calculo realizado por Al Battani.
7
Figura 1.2: Triangulo retangulo
A palavra jiva tem origem indiana e para melhor compreender como ela passou a
ser chamada de seno, nos explica Kennedy (1992, p. 19).
Ardhajya o que significa “semicordas” em sanscrito. Esta designacao foi
abreviada para jya e transliterada em tres caracteres arabes, jyb – o que pode
ser lido como jayb, que em arabe “bolso” ou “golfo”. Assim foi interpretada
pelos europeus, que a traduziram para o latim sinus daı o nosso o seno.
O interesse de Al Battani ao realizar essa descoberta nao estava totalmente ligado a
trigonometria, mas seu real interesse estava em calcular a altitude do sol. Notamos que
no decorrer da historia a trigonometria nao aparece como uma area isolada, mas como
um objeto importante nos estudos da astronomia, e importante destacar que apesar
dessa ligacao, ocorreu um grande progresso da trigonometria mesmo ainda nao sendo
vista como uma area independente da astronomia.
Apos Al Battani o matematico arabe Abu’l Wefa assume um importante papel para
a trigonometria, pois foi ele o responsavel por iniciar a organizacao, sistematizacao
de provas e teoremas trigonometricos, pode-se destacar a demonstracao de um dos
principais teoremas, tais como formulas para angulo duplo ou metade. Devido a
formulacao clara da lei para triangulos esfericos, era atribuıda a Abu’l Wefa a lei dos
senos, apesar de sua essencia ja ser apresentada nas obras de Ptolomeu.
1.4 Contribuicoes de alguns estudiosos para a trigonome-
tria
A trigonometria e uma area que recebeu contribuicoes de grandes estudiosos para
chegar a ser um ramo da matematica, e nao mais uma area vinculada a astronomia.
Somente por volta do seculo XIII, ela passa a ser independente, e se desenvolver
fundamentada na geometria, ganha uma nova direcao.
8
O astronomo Persa Nasir Edden contribuiu para o desenvolvimento da trigono-
metria e a astronomia, que segundo Boyer ”foi o responsavel pelo primeiro tratado
sistematico sobre trigonometria plana e esferica, tratando o material como um assunto
independente e nao apenas como um servidor da astronomia.”(1996, p.166), sua obra
nao foi bastante difundida por nao ser conhecida pelos europeus.
O matematico europeu Leonardo de Pisa (1170-1250), mais conhecido como Fibo-
nacci ou “filho de Bonaccio”, que sofreu grande influencia dos arabes e hindus, foi
considerado o mais habilidoso do seculo XIII, onde desempenhou um papel impor-
tante que esta presente em sua obra Practica Geometriae, que trata da aplicacao da
trigonometria na agrimensura.
Outro matematico bastante influente no estudo da trigonometria foi Johann Mul-
ler (1436-1476), mas conhecido como Regiomontanus, ele foi o responsavel pela obra
chamada De triangulis, que apresenta uma exposicao sistematica de metodos para
resolucao de problemas envolvendo triangulos. No segundo livro de sua obra Regio-
montanus apresenta a demonstracao da lei dos senos.
Alem de astronomo, Copernico realizou contribuicoes para o estudo da trigono-
metria, responsavel pela obra De revolutionibus orbium coelestium, publicada em 1543
no ano da sua morte, contem conceitos importantes sobre a trigonometria. Os teoremas
presentes na obra de Copernico influenciaram os trabalhos de Regiomontanus, mas seu
seguidor Rheticus associou as ideias de Copernico e Regiomontanus juntamente com
suas ideias e elaborou um tratado onde a trigonometria atingiu sua independencia, cha-
mada Opus palatinum de triangulis, a obra apresentou uma trigonometria concentrada
nos lados de um triangulo retangulo, as seis funcoes trigonometricas.
Partindo das obras de seus predecessores Regiomontanus e Rheticus, Francois
Viete, foi o primeiro a considerar a trigonometria como um ramo independente da
matematica.
No decorrer do processo de evolucao da trigonometria, nota-se que esta e uma area
que sempre esteve relacionada com outras areas de conhecimento. Ocorreu todo um
processo de construcao dessa area para chegar a sua independencia e ao seu estagio
atual.
9
Capıtulo 2
LEI DOS SENOS E LEI DOS
COSSENOS
Pelo o exposto no capıtulo anterior, percebe-se que no princıpio, apesar de nao ter
um nome especıfico, a trigonometria estava muito presente na vida da humanidade. A
lei dos senos e a lei dos cossenos como parte da trigonometria ja vinha sendo explorada.
Os Elementos de Euclides foi o primeiro trabalho no qual as leis foram abordadas, a
primeira demonstracao sistematica da lei dos senos foi realizada por Abu’l Wefa, nesse
capıtulo serao apresentadas as demonstracoes.
2.1 Lei dos senos
Teorema 2.1 Em qualquer triangulo ABC, as medidas dos lados sao proporcionais aos senos
dos angulos opostos, ou seja:a
senA=
bsenB
=c
senC(2.1)
onde a, b e c sao as medidas dos lados BC, AC e AB, respectivamente.
Demonstracao:
Para demonstrar o Teorema 2.1, analisaremos os seguintes casos:
1o Caso: O triangulo ABC acutangulo:
Figura 2.1: Triangulo acutangulo
10
Seja h = AH1 a altura baixada do vertice A sobre o segmento BC e p = BH2 a altura
baixada do vertice B sobre o segmento AC, como ilustrado na figura 2.1. Como os
triangulos BH2C e AH2B sao ambos retangulos em H2, obtemos as seguintes relacoes:
• No triangulo BH2C, temos:
senC =BH2
BC,
ou seja,
senC =pa.
Daı,
p = a · senC. (2.2)
• No triangulo AH2B, temos:
senA =BH2
AB,
ou seja,
senA =pc.
Daı,
p = c · senA. (2.3)
Comparando as equacoes (2.2) e (2.3) , teremos:
a · senC = c · senA. (2.4)
Multiplicando ambos os lados da equacao (2.4) por (senA · senC)−1, com senA · senC , 0,
temos:a
senA=
csenC
. (2.5)
Por outro lado, dos triangulos AH1B e AH1C, ambos retangulos em H1. Podemos obter
as seguintes relacoes:
• No triangulo AH1B,temos:
senB =AH1
AB,
ou seja,
senB =hc.
11
Daı,
h = c · senB. (2.6)
• No triangulo AH1C, temos:
senC =AH1
AC,
ou seja,
senC =hb.
Daı,
h = b · senC. (2.7)
Comparando as equacoes (2.6) e (2.7) , teremos:
b · senC = c · senB. (2.8)
Multiplicando ambos os lados da equacao (2.8) por (senB · senC)−1, com senB · senC , 0,
temos:b
senB=
csenC
. (2.9)
Das equacoes (2.5) e (2.9) obtemos , por transitividade, que asenA= b
senB.
Portanto,a
senA=
bsenB
=c
senC.
2o Caso: Triangulo obtusangulo
Seja h = AH2 a altura baixada do vertice A sobre o segmento BC, e p = BH1 a altura
baixada do vertice B a semirreta CA. Fazendo AH1 = x e CH1 = b+ x como ilustrado na
figura 2.2.
Figura 2.2: Triangulo obtusangulo
12
Dos triangulos retangulos AH2B e AH2C, ambos retangulos em H2, podemos obter as
seguintes relacoes:
• No triangulo AH2B, temos:
senB =AH2
AB,
ou seja,
senB =hc.
Daı,
h = c · senB. (2.10)
• No triangulo AH2C, temos:
senC =AH2
AC,
ou seja,
senC =hb.
Daı,
h = b · senC. (2.11)
Comparando as equacoes (2.10) e (2.11), teremos:
b · senC = c · senB. (2.12)
Multiplicando ambos os lados da equacao (2.12) por (senB · senC)−1, com senB · senC , 0,
temos:b
senB=
csenC
. (2.13)
Por outro lado, dos triangulos retangulos AH1B e CH1B, ambos retangulos em H1,
podemos obter as seguintes relacoes:
• No triangulo AH1B, temos:
sen(180o − α) =BH1
AB,
ou seja,
sen(180o − α) =pc.
Daı,
p = c · sen(180o − α). (2.14)
Fazendo uso do Teorema de Ptolomeu, temos:
sen(180o − α) = sen180o · cosα − senα · cos180o, (2.15)
13
como cos180o = −1 e sen180o = 0, substituindo em (2.15), teremos:
sen(180o − α) = senα.
Como A = α, temos:
sen(180o − A) = senA.
Daı, podemos reescrever a equacao (2.14) da seguinte forma:
p = c · senA. (2.16)
• No triangulo CH1B, temos:
senC =BH1
BC,
ou seja,
senC =pa.
Daı,
p = a · senC. (2.17)
Comparando as equacoes (2.16) e (2.17), teremos:
a · senC = c · senA, (2.18)
multiplicando ambos os lados da equacao (2.18) por (senA · senC)−1, com senA · senC , 0,
temos:a
senA=
csenC
. (2.19)
Das equacoes (2.13) e (2.19) obtemos , por transitividade, que asenA= b
senB.
Portanto,a
senA=
bsenB
=c
senC.
Outra demonstracao para lei dos senos pode ser obtida a partir de um triangulo
inscrito em uma circunferencia, vejamos: como todo triangulo e inscritıvel numa cir-
cunferencia, considere o triangulo ABC, inscrito numa circunferencia de raio r e centro
O. Como mostra a figura 2.3.
Tracando o diametro AD e considerando o triangulo ACD, como o angulo C esta
inscrito na circunferencia e AD e o diametro dessa circunferencia, entao C = 90o. Logo
ACD e um triangulo retangulo em C, e deste podemos obter a seguinte relacao:
senD =AC
AD,
senD =b2r. (2.20)
14
Figura 2.3: Circunferencia de raio r
B e D estao inscritos em um mesmo arco, logo B ≡ D, entao podemos reescrever a
equacao (2.20) da seguinte forma:
senB =b2r,
bsenB
= 2r. (2.21)
De modo analogo,a
senA= 2r
ec
senC= 2r.
Portanto,a
senA=
bsenB
=c
senC.
2.2 Lei dos cossenos
Teorema 2.2 Para todo triangulo ABC, o quadrado da medida de um lado qualquer e igual
a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, subtraıda do dobro do produto das
medidas desses dois lados pelo cosseno do angulo formado por eles, ou seja, em um triangulo
onde a, b e c, sao as medidas dos lados BC, AC e AB, respectivamente. Temos,
a2 = b2 + c2 − 2bccosA (2.22)
Demonstracao:
Dado um triangulo qualquer ABC, com medidas a, b e c, dos lados BC, AC e AB
respectivamente. Vamos demonstrar que a2 = b2 + c2 − 2bccosA. Consideremos os
seguintes casos:
1o caso: O angulo A agudo.
15
Figura 2.4: Triangulo com angulo A agudo
Seja h = BH a altura baixada de B sobre o lado AC, onde H pertence ao segmento
AC. Fazendo AH = x e HC = b − x como ilustrado na figura 2.4. Podemos obter a
seguinte relacao do triangulo AHB, retangulo em H:
cosA =AH
AB,
ou seja,
cosA =xc.
Daı,
x = c · cosA. (2.23)
Aplicando o Teorema de Pitagoras nos triangulos retangulos AHB e BHC, ambos
retangulos em H, obtemos:
• No triangulo AHB, temos que:
c2 = h2 + x2.
Escrevendo h2 em funcao de c2 e x2, teremos:
h2 = c2 − x2. (2.24)
• No triangulo BHC, temos que:
a2 = h2 + (b − x)2,
ou seja,
a2 = h2 + b2 − 2bx + x2. (2.25)
Substituindo e equacao (2.23) e (2.24) em (2.25), teremos:
a2 = c2 − x2 + b2 − 2bc · cosA + x2,
ou seja,
a2 = b2 + c2 − 2bc · cosA. (2.26)
Portanto a equacao (2.22) e valida quando o angulo A e agudo.
2o caso: O angulo A obtuso.
16
Figura 2.5: Triangulo com angulo A obtuso
Seja h = BH a altura baixada do vertice B a semirreta CA, onde H pertence a
semirreta CA. Fazendo AH = x e HC = b + x como ilustrado na figura 2.5. Podemos
obter as seguintes relacoes do triangulo AHB, retangulo em H.
cos(180o − α) =AH
AB,
ou seja,
cos(180o − α) =xc.
Daı,
x = c · cos(180o − α). (2.27)
Fazendo uso do Teorema de Ptolomeu, teremos:
cos(180o − α) = cos180o · cosα + sen180o · senα. (2.28)
Como cos180o = −1 e sen180o = 0, substituindo em (2.28), teremos:
cos(180o − α) = −cosα. (2.29)
Note ainda que A = α, assim
cos(180o − A) = −cosA.
Podemos reescrever a equacao (2.27) da seguinte forma:
x = −c · cosA. (2.30)
Aplicando o Teorema de Pitagoras nos triangulos retangulos BHA e BHC, ambos
retangulos e H, obtemos:
• No triangulo BHA,
c2 = h2 + x2.
Escrevendo h2 em funcao de c2 e x2, teremos:
h2 = c2 − x2. (2.31)
17
• No triangulo BHC,
a2 = h2 + (b + x)2,
ou seja,
a2 = h2 + b2 + 2bx + x2. (2.32)
Substituindo as equacoes (2.30) e (2.31) em (2.32), teremos:
a2 = c2 − x2 + b2 − 2bccosA + x2,
ou seja,
a2 = b2 + c2 − 2bccosA. (2.33)
Logo a equacao (2.22) e valida, quando o angulo A e obtuso.
Um caso particular da lei dos cossenos e o Teorema de Pitagoras. De fato, basta
tomarmos A = 90o, como cos90o = 0, entao
a2 = b2 + c2 − 2bccos90o
a2 = b2 + c2 (2.34)
Como a equacao (2.22) e valida para um angulo agudo, obtuso e reto, temos que a
equacao e valida para qualquer triangulo.
18
Capıtulo 3
APLICACOES
Nesse capıtulo serao apresentadas diversas situacoes, onde se pode aplicar a lei
dos senos, lei dos cossenos, e mostrar a funcionalidade dessas leis como um meio
facilitador na resolucao de diversas situacoes problemas.
Como visto no primeiro capıtulo desse trabalho, o leitor tem a oportunidade de se
aprofundar um pouco na historia da trigonometria e perceber o quanto a mesma foi
um instrumento util na vida das pessoas.
No princıpio o real interesse dos povos antigos em estudar a trigonometria es-
tava na necessidade em resolver problemas relacionados a agrimensura, navegacao e
astronomia, na verdade a aplicabilidade da trigonometria para descobertas na astro-
nomia e o que impulsionou o estudo aprofundado nessa area do conhecimento. O que
comecou a ser visto como uma ferramenta auxiliadora para a astronomia tornou-se
um fator contribuinte para outras areas, tais como arquitetura, engenharia civil, fısica,
calculo de distancias inacessıveis, e ate mesmo na musica. Segundo (Boyer, C.D, 1971)
“A aplicabilidade da trigonometria nos varios campos da atividade humana e atual-
mente, incontestavel. Mas provavelmente os que fizeram os primeiros estudos sobre
triangulos nao vislumbraram esses horizontes”, apesar de nao enxergar a dimensao
em aplicacao que a trigonometria possui com o passar dos tempos ela tornou-se uma
ferramenta indispensavel para solucao de diversos problemas.
Para alguns e facil perceber a dimensao em que a lei dos senos, e lei dos cossenos
pode ser aplicada, enquanto que para outros nao passa de um mero conteudo que deve
ser visto na escola, e que nao possui nenhuma utilidade para a vida.
A lei dos senos e dos cossenos e uma ferramenta muito utilizada pelos engenheiros,
para a construcao de um mapa topografo, no calculo de distancias inacessıveis, areas
de terreno, perımetro, mas para que sejam realizados esses calculos e necessario que
se conheca algumas medidas de lados e angulos, algumas dessas medidas sao encon-
tradas usando equipamentos chamados de teodolito, fita metrica e trena. O teodolito
19
e um instrumento utilizado para medir angulos, tanto nos planos horizontal como
vertical sendo composto basicamente por um telescopio que pode ser girado em eixos
perpendiculares. Em alguns exemplos veremos a necessidades desses equipamentos
na resolucao de problemas.
3.1 Problema I
Medir a distancia de um ponto do Rio de Janeiro a um ponto visıvel de Niteroi.
Enunciado: De um ponto A na praia do Flamengo no Rio de Janeiro, avista-se
um ponto P na praia de Icaraı em Niteroi (estes dois pontos estao em lados opostos
do canal de entrada da Baıa de Guanabara). De um ponto B na Praia do Flamengo,
distante 1 km de A tambem se avista o ponto P Figura 3.1. Um observador no Rio de
Janeiro mediu os angulos BAP=119o e ABP=52o. Qual e a distancia entre A e P?
Figura 3.1: Representacao do problema I
FONTE:Temas e Problemas(2011)
Solucao: Como pretende-se calcular a distancia entre o ponto A na praia do Fla-
mengo no Rio de Janeiro ao ponto P na praia de Icaraı em Niteroı, podemos aplicar a
lei dos senos para determinar essa distancia
1senP
=x
sen52o . (3.1)
Para determinar a medida do angulo P, sabe-se que a soma dos angulos internos de
um triangulo e 180o, temos:
119o + 52o + P = 180o,
ou seja,
P = 9o.
Substituindo P = 9o na equacao (3.1), temos:
1sen9o =
xsen52o
20
como sen9o = 0, 1564 e sen52o = 0, 7880, temos:
x =0, 78800, 1564
,
ou seja,
x = 5, 04.
Logo a distancia entre A e P e aproximadamente 5,04 km
3.2 Problema II
Medir a distancia entre dois pontos, ambos inacessıveis.
Enunciado: De uma praia e possıvel ver duas ilhas X e Y. Um observador assinala
nesta praia dois pontos A e B distantes 1 km entre si, e com seu instrumento mede os
seguintes angulos: XAY=62o, YAB=54o, ABX=46o e XBY=74o. Qual e a distancia entre
X e Y?
Solucao: Para determinar a distancia do ponto X ao ponto Y, aplicaremos a lei dos
senos e lei dos cossenos. A figura 3.2 ilustra a situacao descrita no problema.
Figura 3.2: Representacao do problema II
Como AXB = 18o, sen18o = 0, 309 e sen46o = 0, 719, aplicando a lei dos senos no
triangulo AXB, temos:1
sen18o =AX
sen46o ,
ou seja,
AX =0, 7190, 309
.
Daı,
AX = 2, 32km.
Do mesmo modo, aplicando a lei dos senos no triangulo AYB, como AYB = 6o, sen6o =
0, 105 e sen120o = 0, 866, temos:
1sen6o =
AYsen120o ,
21
ou seja,
AY =0, 8660, 105
.
Daı,
AY = 8, 28km.
Como AX = 2, 32, AY = 8, 28, XAY = 62o e cos62o = 0, 469, aplicando a lei dos cossenos
no triangulo AXY, podemos determinar a distancia do ponto X ao ponto Y, temos:
XY2 = AX2 + AY2 − 2 · AX · AY · cos(XAY),
ou seja,
XY2 = 2, 322 + 8, 282 − 2 · 2, 32 · 8, 28 · 0, 469.
Daı,
XY = 7, 4km.
Portanto a distancia procurada e de aproximadamente 7,4 Km.
3.3 Problema III
Uma estrada que esta sendo construıda em um plano horizontal e sera formada
pelos trechos retos XP, PQ e QY como mostra a Figura 3.3. No trecho PQ sera construıdo
um tunel para atravessar a montanha. Os engenheiros devem saber tanto em P quanto
em Q, que direcao devem tomar para construir o tunel AB de forma que o trecho PABQ
seja reto. Eles entao fixaram um ponto C do plano horizontal, visıvel tanto de P quanto
de Q e determinaram as seguintes medidas: CP = 1, 2km, CQ = 1,8km e PCQ = 27o.
Calcule os angulos CPQ e CQP.
Figura 3.3: Representacao do problema III
FONTE:Temas e Problemas(2011)
22
Solucao: Seja CPQ = α e CQP = β, para determinar as medidas desses angulos,
primeiro vamos calcular a medida do lado PQ. Aplicando a lei dos cossenos no
triangulo PCQ, temos:
PQ2 = PC2 +QC2 − 2 · PC ·QC · cos(PCQ)
como cos(CPQ) = cos27o e cos27o = 0, 891, temos:
PQ2 = 1, 22 + 1, 82 − 2 · 1, 2 · 1, 8 · 0, 891.
Daı,
PQ = 0, 911km.
Agora, para determinar a medida de α, vamos aplicar a lei dos senos no triangulo PCQ,
temos:QCsenα
=PQ
sen27o , (3.2)
como QC = 1, 8km, PQ = 0, 911km e sen27o = 0, 454, substituindo na (3.2), obtemos:
1, 8senα
=0, 9110, 454
,
ou seja,
senα = 0, 897.
Como senα = 0, 897, entao α = 63, 8o. Consequentemente, β = 89, 2o. Portanto os
angulos procurados sao aproximadamente α = 63, 8o e β = 89, 2o.
3.4 Problema IV
Duas lanchas rebocam um barco de passageiros que se encontra com problemas
em seus motores. Sabendo – se que a forca resultante e igual a 30 kN, encontre suas
componentes nas direcoes AC e BC.
Figura 3.4: Representacao do problema IV
FONTE:http://www.cronosquality.com/aulas/ms/ms01.pdf
23
Solucao: Considere os vetores FAC e FBC correspondentes as componentes procu-
radas no problema. Tracando os vetores FBP e FAP, paralelas aos vetores FAC e FBC
respectivamente, teremos:
Figura 3.5: Representacao da problema IV
Como FBC//FAP entao os angulos PCB ≡ CPA. Logo CPA = 40o, consequentemente
PAC = 110o. Assim, aplicando a lei dos senos no triangulo PAC, temos:
FR
sen110o =FAC
sen40o ,
ou seja,30
0, 94=
FAC
0, 643.
Daı,
FAC = 20, 52KN.
Logo, a componente AC=20,52KN.
Do mesmo modo, como FBC//FAP os angulos PCA ≡ CPB. Logo CPB = 30o, consequen-
temente PBC = 110o. Assim, aplicando a lei dos senos nos triangulos PBC, temos:
FR
sen110o =FBC
sen30o ,
ou seja,30
0, 94=
FBC
0, 5.
Daı,
FBC = 15, 96KN.
Logo a componente BC=15,96KN
24
3.5 Problema V
Um topografo, a partir dos pontos A e B, distantes de 20m, realiza a medicao dos
angulos horizontais a duas balizas colocadas em D e C, com o auxılio de um teodolito.
Calcule a distancia entre as balizas (CEFET, 1984).
Figura 3.6: Representacao do problema V
Solucao: Como DAB = 100o e ABD = 30o, consequentemente BDA = 50o. Apli-
cando a lei dos senos no triangulo ADB, temos:
ABsen50o =
ADsen30o . (3.3)
Como sen50o = 0, 766 e sen30o = 0, 5, substituindo em (3.3), temos:
200, 766
=AD0, 5,
ou seja,
AD = 13, 05m. (3.4)
Do mesmo modo, como CAB = 40o e ABC = 115o, consequentemente BCA = 25o.
Aplicando a lei dos senos no triangulo ACB, temos:
ABsen25o =
ACsen115o . (3.5)
Como sen25o = 0, 422 e sen115o = 0, 906, substituindo em (3.5), temos:
200, 422
=AC
0, 906,
ou seja,
AC = 42, 93. (3.6)
25
Para determinar a distancia entre as balizas CD, vamos aplicar a lei dos cossenos no
triangulo DAC, ou seja,
DC2 = AD2 + AC2 − 2 · AD · AC · cos60o. (3.7)
Substituindo as equacoes (3.4) e (3.6) em (3.7), temos:
DC2 = 13, 052 + 42, 932 − 2 · 13, 05 · 42, 93 · 0, 5,
ou seja,
DC = 38, 11.
Logo a distancia entre as duas balizas e de aproximadamente 38,11m.
3.6 Problema VI
Para a execucao de um determinado projeto mediu-se o comprimento do segmento
AC tendo-se obtido 1210,46 m. Foram depois estacionados dois teodolitos nos pontos
B e D do terreno, situados em lados opostos de AC, tendo-se observado os seguintes
angulos:
DBA = 49, 6478o
CBD = 75, 2577o
ADB = 70, 3605o
BDC = 32, 9414o
Calcular o comprimento BD, sabendo que os quatro pontos definem o quadrilatero
[ABCD].(grifo)
Solucao: Para determinar a distancia do ponto B ao ponto D, aplicaremos as lei
dos senos e lei dos cossenos. A figura 3.7 ilustra a situacao descrita no problema.
Figura 3.7: Representacao do problema VI
26
Sejam AD = y, DC = z e BD = x, como A = 59, 9917o e C = 71, 8009o, aplicando a
lei dos senos no triangulo ADB, temos:
xsen59, 9917o =
ysen49, 6478o .
Como sen59, 9917o = 0, 866 e sen49, 6478o = 0, 762, temos:
y =0, 762x0, 866
. (3.8)
Do mesmo modo, aplicando a lei dos senos no triangulo CDB, temos:
xsen71, 8009o =
zsen75, 2577o .
Como sen71, 8009o = 0, 949 e sen75, 2577o = 0, 967, temos:
z =0, 967x0, 949
. (3.9)
Aplicando a lei dos cossenos no triangulo ADC, obtemos:
1210, 462 = y2 + z2 − 2yz · cosD. (3.10)
Como D = 103, 3019, substituindo as equacoes (3.8) e (3.9) em (3.10), temos:
(0, 762x0, 866
)2 + (0, 967x0, 949
)2 − 2 · 0, 762x0, 866
· 0, 967x0, 949
· cos103, 3019o = 1210, 462
Dai,
x � 811, 5m.
Logo, a distancia do ponto B ao ponto D e de aproximadamente 811, 5m.
27
Capıtulo 4
CONSIDERACOES FINAIS
Esta pesquisa teve por objetivo ampliar o conhecimento sobre o objeto de estudo
apresentado, que foi a lei dos senos e lei dos cossenos, nos quais foram explorados
pontos essenciais para um melhor entendimento sobre o conteudo, que sao eles: surgi-
mento, demonstracao e aplicacoes.
E notavel a dificuldade encontrada tanto por partes dos professores quanto dos
alunos quando se trata de qualquer assunto que esteja relacionado a trigonometria,
por nao perceber a vasta aplicacao que a mesma possui, pensa-se que o determinado
assunto nao possui nenhuma utilidade e nao faz sentido em aprender.
No decorrer do trabalho ve-se que a trigonometria comecou a ser explorada, pois
tinha grande utilidade na vida humana seja em questoes relacionadas a agricultura
ou a astronomia, daı pode-se concluir a influencia que a mesma possui na vida da
humanidade, e que muitas vezes passa despercebida por nao terem uma experiencia
aprofundada com o conteudo, com base nisso o trabalho foi escrito mostrando algumas
aplicacoes praticas onde a lei dos senos e lei dos cossenos e aplicada.
Para que o leitor tenha a intimidade, e esclareca as suas duvidas relacionadas a lei
dos senos e lei dos cossenos, e que se apresentam caracterısticas que sao necessarias
para uma melhor compreensao das leis, tais como os primeiros indıcios do surgimento,
a primeira obra na qual as leis foram apresentadas, a comprovacao da sua existencia
atraves da demonstracao e aplicacoes tanto na area da matematica como na fısica e
topografia.
E importante ressaltar as contribuicoes de trabalhar a lei dos senos e lei dos cossenos
no ensino medio de modo a tornar o conhecimento do aluno significativo, e uma
maneira alternativa de expor isso para os alunos e trabalhando desde o surgimento ate
a aplicacao das leis em diversas situacoes, para que se perceba que elas estao muito
alem da matematica.
Espera-se que este trabalho contribua para um melhor entendimento do objeto de
28
estudo apresentado, tornando a aprendizagem significativa e constituindo no leitor um
olhar crıtico sobre o conteudo, e perceba o quanto se faz necessario o estudo da lei dos
senos e lei dos cossenos.
29
Referencias Bibliograficas
[1] BOYER, Carl B.; MERZBACH, Uta C. Historia da Matematica. 3. ed. Sao Paulo:
Blucher, 2012. 504 p.
[2] BOYER, Carl B. . Historia da Matematica. 2. ed. Sao Paulo: Edgard Blucher, 1996.
[3] BOYER, C.D. Historia da Matematica. Sao Paulo, Edgard Bucher, 1971
[4] COSTA, Nielce Meneguelo Lobo da. A Historia da Trigonometria. Disponıvel em:
<http://www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/geotri/modulo3/mod3 pdf/historia triogono.pdf>
Acesso em: 12 de agosto de 2015
[5] DANTE, Luiz Roberto. Matematica: Contexto e Aplicacoes. Sao Paulo: atica, 2012.
384 p
[6] EVES, Howard. Introducao a historia da matematica. 5. ed. Campinas: Unicanp,
2011.
[7] KENNEDY, Edwards S.Topicos de historia da matematica para uso em sala de
aula. 3. ed. Sao Paulo: Atual, 1992. 4
[8] MORAIS FILHO, Daniel Cordeiro de. Manual de Redacao Matematica: Com um
dicionario etimologico de palavras usadas na Matematica. Rio de Janeiro: Sbm,
2014. 172 p.
[9] MORGADO, Augusto Cesar; LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo Cezar Pinto;
WAGNER, Eduardo. Temas e Problemas. 3. ed. Rio de Janeiro: Solgraf, 2011. 193 p.
[10] PARIS, Wanderson S. <http://www.cronosquality.com/aulas/ms/ms01.pdf>.
Acesso em: 15 de agosto de 2015.
[11] ROQUE, Tatiana; CARVALHO, Joao Bosco Pitombeira de. Topicos de Historia da
Matematica. Rio de Janeiro: Sbm, 2012. 452 p.
[12] VEIGA, Luis Augusto Koenig; ZANETTI, Maria Aparecida Z.;
FAGGION, Pedro Luis. Fundamentos de Topografia. 2007. Disponıvel
30
em:<www.ebah.com.br/content/ABAAAANdQAL/topografia>. Acesso em: 14
ago. 2015.
[13] COIMBRA, Departamento de MatemAtica Universidade de. TOPOGRAFIA:
Licenciatura em Eng. Civil. 2004/2005. Disponıvel em:<http://www.mat.uc.pt/
cfonte/docencia/Topografia/Folhas civil 0405.pdf>. Acesso em: 05 nov. 2015.
31
