Resolução comentada

Lista sobre lei dos senos e lei dos cossenos

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1. A figura mostra o trecho de um rio onde se deseja construir uma

ponte AB. De um ponto P, a 100m de B, mediu-se o ângulo APB = 45º

e do ponto A, mediu-se o ângulo PAB = 30º. Calcular o comprimento

da ponte.

Inicialmente, vamos colocar os dados no

triângulo e identificar o que se pretende

calcular.

45°

30°

x

Aplicando a Lei dos senos, temos:

100 m

O comprimento da ponte é

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2. Calcular o raio da circunferência circunscrita a um triângulo do qual

se conhecem um lado AB = 10m e o ângulo oposto C = 60º.

Representando geometricamente a situação, temos:

R

A B

C

10

60°

Aplicando a lei dos senos:

Racionalizando:

Assim, o raio da circunferência circunscrita é

3

3. Dois lados de um triângulo medem 6m e 10m e formam entre si um

ângulo de 120º. Determinar a medida do terceiro lado.

Representando geometricamente a situação, temos:

6 cm

A

C x

120°

B

10 cm

Aplicando a Lei dos cossenos:

O terceiro lado mede 14 metros. 4

Representando geometricamente a situação, temos:

Aplicando a lei dos senos:

4. (FUVEST – SP) Em um triangulo ABC o lado AB mede e o

ângulo C, oposto ao lado AB, mede 45º. Determine o raio da

circunferência que circunscreve o triângulo.

R

A B

C

45°

Assim, o raio da circunferência circunscrita é

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5. (Mack) - Na figura, a área do triângulo ABC é:

Inicialmente, vamos aplicar a Lei

dos cossenos no triângulo ACD

para determinar o ângulo C:

Como cos C = 0,5; temos que C = 60°.

60°

Concluímos assim que ACB = 120° e BAC = 30°.

Com base nos ângulos internos, verificamos que o triângulo ABC é

isósceles, e com isso, segue que AC = BC = 4.

Agora podemos determinar a área (ABC) com a expressão:

4

Portanto, a área do triângulo (ABC) é igual a

120°

30°

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6. (UNIRIO) – Deseja-se medir a distância entre duas cidades B e C

sobre um mapa, sem escala. Sabe-se que AB = 80km e AC = 120km,

onde A é uma cidade conhecida, como mostra a figura. Logo, a

distância entre B e C, em km, é:

a) menor que 90

b) maior que 90 e menor que 100

c) maior que 100 e menor que 110

d) maior que 110 e menor que 120

e) maior que 120

Vamos introduzir os dados do problema no triângulo ABC:

80

120

x

Aplicando a Lei dos cossenos:

Como ; temos que 7

7. (FEI) – Calcule c, sabendo que a = 4, b = e C = 45º.

4 = 45°

Vamos introduzir os dados do problema no triângulo ABC:

Aplicando a Lei dos cossenos, temos:

Concluímos que a medida do lado c é

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8. (CESGRANRIO) – No triângulo ABC, os lados AC e BC medem

8cm e 6cm, respectivamente, e o ângulo A vale 30º. Quanto vale o

seno do ângulo B?

Geometricamente temos:

6 cm

A

C

B

8 cm

30°

Aplicando a Lei dos senos, segue que:

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9. (FUVEST)

a) Na figura 1, calcular x.

b) Na figura 2, calcular y.

60°

Aplicando a Lei dos senos:

Racionalizando:

Aplicando a Lei dos cossenos:

10

Vamos colocar os dados no triângulo e

identificar o que se pretende calcular.

5

60° .

x

Chamando BC de y, segue que BD = 2y.

(A medida da hipotenusa sempre será o

dobro da medida do cateto oposto ao

ângulo de 30º). 120°

10. (PUC – MG) – Na figura, AB = 5dm, AD = dm, DBC = 60º e

DCA = 90º. Qual é a medida de CD, em decímetros?

y

2y

30°

Como o ângulo ABD = 120º, aplicaremos

a Lei dos cossenos em ABD para obter o

valor de y.

Segue que:

= 5

Finalmente, do triângulo BCD:

Com isso, a medida de CD é 11

11. (FGV) – Na figura a seguir, são dados DA = cm e AB = 3cm.

Qual é a área do triângulo CDB, em centímetros quadrados?

Identificando os dados da questão,

temos:

3 Uma vez que a altura do triângulo

CDB é 3cm, precisamos apenas

calcular a base CD para encontrar

a área.

Vamos determinar o ângulo ɵ:

Com isso .

60° 120°

= 30°

Verificamos que ABD = 30º, BDC = 120º e CBD = 30º. Ora, como o lado

BD = (hipotenusa é igual ao dobro da cateto oposto a 30º) e, como

BD = CD, temos que CD também tem medida .

Assim:

30° 30°

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12. (Mack) – Qual é a área de um triângulo ABC onde c = 2cm,

b = 3cm e  = 60º?

Representando geometricamente:

2 cm

A C 60°

B

3 cm

Temos que Área (ABC) =

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13. (UNICAMP) – A água utilizada na casa de um sítio é captada e

bombeada do rio para uma caixa-d’água a 50m de distância. A casa

está a 80m de distância da caixa-d’água e o ângulo formado pelas

direções caixa-d’água-bomba e caixa-d’água-casa é de 60º. Se se

pretende bombear água do mesmo ponto de captação até a casa,

quantos metros de encanamento são necessários?

A situação pode ser representada

pelo esquema:

50 m

80 m

x

Pela lei dos cossenos, temos:

São necessários 70 metros de

encanamento para bombear água

diretamente do rio até a casa.

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14. (FEI) – Num triângulo ABC, BC = a, AC = b, Â = 45º e B = 30º. Qual

é o valor de a, sendo ?

De acordo com os dados:

a

A B 45°

C

b

30°

Aplicando a Lei dos senos:

Como , segue que:

Mas , assim

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15. (Fatec) - Na figura seguinte, qual é a área do triângulo ABC?

1º modo:

Basta observar que a base do triângulo

ABC é e a altura é 0,5.

.

h = 0,5

Assim:

2º modo:

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