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LEI DOS SENOS E LEI DOS COSSENOS

1. Seja um triângulo inscrito em uma circunferência de raio R. Se esse triângulo tem um ângulo medindo 30 ,° seu lado oposto a esse ângulo mede

a) R2

b) R c) 2R

d) 2R3

2. O projeto de madeiramento é fundamental para a construção de um bom telhado em uma residência. Na figura, temos a vista frontal do madeiramento de um telhado. O triângulo ABC é isósceles de base BC tal que

A 120 .= ° Observa-se também que os segmentos DE e FG são perpendiculares à base BC.

De acordo com os dados acima, a medida do ângulo é ˆBED é a) 30° b) 45° c) 60° d) 75° 3. Um triângulo possui lados iguais a 6, 9 e 11. O cosseno do maior ângulo interno desse triângulo é:

a) 11.15

b) 1 .27

−

c) 26.33

d) 2 .27

−

e) 1.− 4. João está procurando cercar um terreno triangular que ele comprou no campo. Ele sabe que dois lados desse terreno medem, respectivamente, 10 m e 6 m e formam entre si

um ângulo de 120 .° O terreno será cercado com três voltas de arame farpado. Se o preço do metro do arame custa R$ 5,00, qual será o valor gasto por João com a compra do arame? Dados:

3sen de 1202

° =

1cos de1202

° = −

a) R$ 300,00

b) R$ 420,00

c) R$ 450,00

d) R$ 500,00

e) R$ 520,00 5. Num mapa, uma estrada retilínea passa sucessivamente pelas cidades A,B e C e uma cidade D, distante 120 km

de A, está localizada de tal forma que o ângulo µDAB mede 36 .° Um viajante fez o trajeto AB,BD e DC, percorrendo em cada trecho a mesma distância. Se ele tivesse ido diretamente de A até C, teria percorrido uma distância de: a) 120 km

b) 60 3 km

c) (120 cos 36 ) km⋅ °

d) 120 km

cos 36°

e) 140 km 6. Certo fabricante vende biscoitos em forma de canudinhos recheados, de diversos sabores. A caixa em que esses biscoitos são vendidos tem a forma de um prisma hexagonal. A parte de cima dessa caixa tem a forma de um hexágono, com as medidas indicadas na figura:

Considerando a aproximação racional 1,7 para o valor de

3, a área da parte de cima dessa caixa, em centímetros quadrados, mede a) 49,6. b) 63,2. c) 74,8. d) 87,4.

2

7. Os drones 1 e 2 (veículos aéreos não tripulados) saem em missão de um mesmo ponto geográfico P às 20 h. Conforme a figura abaixo, o drone 1 tem sua rota dada na direção 60° nordeste, enquanto o drone 2 tem sua rota dada na direção 15° sudeste. Após 1 minuto, o drone 1 percorreu 1,8 km e o drone 2 percorreu 1km, ambos em linha reta.

A distância aproximada, considerando 2 e 3 aproximadamente 1,4 e 1,7, respectivamente, em quilômetros, entre os dois drones, após 1 minuto, é igual a: a) 1,8 km. b) 2,2 km. c) 2,6 km. d) 3,4 km. e) 4,7 km. 8. Em certa cidade, a igreja está localiza no ponto A, a prefeitura no ponto B, e a livraria no ponto C, como mostra os pontos a seguir. Sabendo-se que a distância da igreja à prefeitura é de 10 metros, a distância da prefeitura à livraria corresponde a 15 metros, e que o ângulo formado por essas duas direções é 60 ,° a distância da livraria à igreja é

a) 17 5 m

b) 5 7 m

c) 25 7 m

d) 7 5 m 9. Dois navios deixam um porto ao mesmo tempo. O primeiro viaja a uma velocidade de 16 km/h em um curso de 45° em relação ao norte, no sentido horário. O segundo viaja a uma velocidade 6 km/h em um curso de 105° em relação ao norte, também no sentido horário. Após uma hora de viagem, a que distância se encontrarão separados os navios, supondo que eles tenham mantido o mesmo curso e velocidade desde que deixaram o porto? a) 10 km. b) 14 km. c) 15 km. d) 17 km. e) 22 km.

10. Um professor de geografia forneceu a seus alunos um mapa do estado de São Paulo, que informava que as distâncias aproximadas em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Campinas e entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Guaratinguetá eram, respectivamente, 80km e 160km. Um dos alunos observou, então, que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Campinas e Sorocaba formavam um triângulo equilátero. Já um outro aluno notou que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Guaratinguetá e Campinas formavam um triângulo retângulo, conforme mostra o mapa.

Com essas informações, os alunos determinaram que a distância em linha reta entre os pontos que representam as cidades de Guaratinguetá e Sorocaba, em km, é próxima de

a) 80 2 5 3⋅ + ⋅

b) 80 5 2 3⋅ + ⋅

c) 80 6⋅

d) 80 5 3 2⋅ + ⋅

e) 80 7 3⋅ ⋅ 11. A caminhada é uma das atividades físicas que, quando realizada com frequência, torna-se eficaz na prevenção de doenças crônicas e na melhora da qualidade de vida. Para a prática de uma caminhada, uma pessoa sai do ponto A, passa pelos pontos B e C e retorna ao ponto A, conforme trajeto indicado na figura.

Quantos quilômetros ela terá caminhado, se percorrer todo o trajeto? a) 2,29. b) 2,33. c) 3,16. d) 3,50. e) 4,80.

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12. Quadros interativos são dispositivos de interface humana que permitem ao usuário interagir com as imagens projetadas sobre uma tela grande, geradas por um computador. O uso desses quadros é cada vez mais comum em instituições de ensino, substituindo o quadro para giz ou o quadro branco. Uma das tecnologias que possibilita essa interação funciona a partir de um sensor instalado em um dos cantos da tela onde a imagem é projetada, e de uma caneta eletrônica especial que, ao ser acionada, emite dois sinais simultâneos: um pulso sonoro (ultrassom) e um pulso luminoso (infravermelho). O pulso de ultrassom é usado para calcular a distância da ponta da caneta até o sensor, enquanto o pulso de infravermelho indica ao sistema o ângulo entre a base da tela e o segmento de reta que une o sensor à ponta da caneta. Considere um quadro interativo de 3 metros de largura por 2 metros de altura, representado no primeiro quadrante de um plano cartesiano, com o sensor instalado na origem. Um usuário aciona a caneta em três pontos distintos da tela, gerando as leituras de distância e de ângulo apresentadas na tabela:

Ponto Distância Ângulo A 2 m 60° B 2 m 30° C 1 m 30°

O triângulo com vértices nos pontos A, B e C é: a) escaleno. b) equilátero. c) isósceles de base BC. d) isósceles de base AB. e) retângulo em A. 13. Uma praça circular de raio R foi construída a partir da planta a seguir:

Os segmentos AB, BC e CA simbolizam ciclovias

construídas no interior da praça, sendo que AB 80m.= De acordo com a planta e as informações dadas, é CORRETO afirmar que a medida de R é igual a:

a) 160 3 m3

b) 80 3 m3

c) 16 3 m3

d) 8 3 m3

e) 3 m3

14. Na figura estão posicionadas as cidades vizinhas A, B e C, que são ligadas por estradas em linha reta. Sabe-se que, seguindo por essas estradas, a distância entre A e C é de 24 km, e entre A e B é de 36 km.

Nesse caso, pode-se concluir que a distância, em km, entre B e C é igual a a) 8 17. b) 12 19. c) 12 23. d) 20 15. e) 20 13. 15. No dia 11 de março de 2011, o Japão foi sacudido por terremoto com intensidade de 8,9 na Escala Richter, com o epicentro no Oceano Pacífico, a 360 km de Tóquio, seguido de tsunami. A cidade de Sendai, a 320 km a nordeste de Tóquio, foi atingida pela primeira onda do tsunami após 13 minutos. (O Estado de S.Paulo, 13.03.2011. Adaptado.)

Baseando-se nos dados fornecidos e sabendo que cos 0,934α ≅ , onde α é o ângulo Epicentro-Tóquio-Sendai,

e que 8 22 3 93,4 215 100⋅ ⋅ ≅ , a velocidade média, em km/h, com que a 1ª onda do tsunami atingiu até a cidade de Sendai foi de: a) 10. b) 50. c) 100. d) 250. e) 600.

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Gabarito: Resposta da questão 1: [B] Seja l a medida do lado do triângulo que é oposto ao ângulo de 30 .° Pela Lei dos Senos, tem-se que

2R R.sen30

= ⇔ =°

l l

Resposta da questão 2: [C] Como o triângulo ABC é isósceles e o ângulo ˆBAC 120 ,= °

os ângulos ˆˆABC ACB 30 .= = °

Logo, como ˆABC 30= ° e os segmentos DE e FG são perpendiculares à base BC, ou seja, formam um ângulo reto

entre a base e os segmentos, o ângulo ˆBDE oposto pelo vértice DE, também é reto e vale 90 .° Desta maneira, para obter o valor de x, deve-se somar todos ângulos do triângulo BDE :

ˆ ˆx BDE EBD 180x 90 30 180 x 60 .+ + = °

+ + = ⇒ = °

Resposta da questão 3: [B] Note que um triangulo com tais lados não forma um triangulo retângulo, para comprovar basta aplicar o Teorema de Pitágoras.

2 2 2

2 2 2

hip cat cat

11 6 9121 36 81

= +

= +

≠ +

Nesse sentido, para obter o valor do cosseno desejado, basta aplicar a lei dos cossenos sobre os três lados. Seja θ o ângulo relativo ao lado de maior medida e a, b, c os lados do triângulo. Logo: 2 2 2

2 2 2

a b c 2 b c cos( )

11 9 6 2 9 6 cos( )121 117 108 cos( )

1cos( )27

θ

θθ

θ

= + − ⋅ ⋅ ⋅

= + − ⋅ ⋅ ⋅

= − ⋅

−=

Resposta da questão 4: [C] Pela lei dos cossenos:

2 2 2 2 21a 10 6 2 10 6 cos 120 a 136 120 a 196 a 142

Perímetro 10 6 14 30 m3 voltas 90 m custo 5 90 450 reais

⎛ ⎞= + − ⋅ ⋅ ⋅ °⇒ = − ⋅ − ⇒ = → =⎜ ⎟

⎝ ⎠= + + =

= ⇒ = ⋅ = Resposta da questão 5: [A]

Teremos:

BA BD DAB ADB BDC 362 36 ABD 180 ABD 108 DBC BCD 72

= → = = = °

⋅ + = °→ = °→ = = ° Logo: ADC ACD 72 AC AD 120 km= = → = = Resposta da questão 6: [C] Como cada um dos triângulos laterais que formam o hexágono são triângulos isósceles, pode-se deduzir que, se seu maior ângulo é 120 ,° então os dois menores ângulos serão iguais a 30 .° Considerando x como sendo a base do triângulo isósceles, pela lei dos senos tem-se:

x 4 x 4 x 4sen120 sen 30 sen 2 60 sen 30 2 sen 60 cos 60 sen 30

x 3 18 x 4 32 2 2

= → = → =° ° ⋅ ° ° ⋅ ° ⋅ ° °

= ⋅ ⋅ → = Assim, a área total do hexágono será igual a soma das áreas dos dois triângulos isósceles e do retângulo, ou seja:

total

total

2total total

S 2 S S

4 4 3 sen 30 16 3S 2 9 4 3 36 32 2

S 44 3 S 74,8 cm

= ⋅ +

⋅ ⋅ °= ⋅ + ⋅ = +

= →

V X

;

Resposta da questão 7: [A] O ângulo entre as direções das duas rotas é de 60 15 75 .° + ° = ° Logo, desde que cos75 cos(30 45 )

cos30 cos45 sen30 sen45

3 2 1 22 2 2 22 ( 3 1)41,4 (1,7 1)40,245,

° = ° + °

= ° ° − ° °

= ⋅ − ⋅

= ⋅ −

≅ ⋅ −

≅

e sendo d a distância pedida, pela Lei dos Cossenos, obtemos

5

2 2 2d 1 1,8 2 1 1,8 cos751 3,24 3,6 0,2453,358,

= + − ⋅ ⋅ ⋅ °

= + − ⋅

=

o que implica em d 3,358 1,8km.= ≅ Resposta da questão 8: [B] Colocando graficamente as informações dadas no enunciado:

Aplicando-se a Lei dos Cossenos, tem-se que a distância “a” entre os pontos A e C será: 2 2 2

2 2 2

2 2

a b c 2 b c cosA

a 10 15 2 10 15 cos60

a 325 300 0,5 a 175

a 175 5 7 m

= + − ⋅ ⋅ ⋅

= + − ⋅ ⋅ ⋅ °

= − ⋅ → =

= =

Resposta da questão 9: [B] Depois de uma hora de viagem o navio 1 (N1) terá percorrido 16 km e o navio 2 (N2) terá percorrido 6 km. Temos, então, a seguinte figura:

Sendo d a distância entre os navios, temos: 2 2 2

2

2

d 16 6 2 16 6 cos601d 256 36 1922

d 196d 14km

= + − ⋅ ⋅ ⋅

⎛ ⎞= + − ⋅ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

=

=

o

Resposta da questão 10: [B]

Sejam S,P,G e C, respectivamente, os pontos que representam as cidades de Sorocaba, São Paulo, Guaratinguetá e Campinas.

Sabendo que $SPC 60= ° e $CPG 90 ,= ° vem $SPG 150 .= ° Logo, aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo SPG, encontramos

$2 2 2

2 2

SG SP PG 2 SP PG cosSPG

80 160 2 80 160 cos150

36400 25600 2 128002

6400 (5 2 3)

= + − ⋅ ⋅ ⋅

= + − ⋅ ⋅ ⋅ °

⎛ ⎞⎜ ⎟= + − ⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

= ⋅ + ⋅

Portanto, SG 80 5 2 3 km.= ⋅ + ⋅ Resposta da questão 11: [D] Pela Lei dos Cossenos, obtemos:

µ2 2 2

2 2

BC AC AB 2 AC AB cosBAC

(0,8) 1 2 0,8 1 cos150

30,64 1 2 0,82

1,64 0,8 1,73.

= + − ⋅ ⋅ ⋅

= + − ⋅ ⋅ ⋅ °

⎛ ⎞⎜ ⎟= + − ⋅ ⋅ −⎝ ⎠

≅ + ⋅

≅

Logo, BC 1,7≅ e, portanto, o resultado é 1 0,8 1,7 3,5.+ + = Resposta da questão 12: [A] Considere a figura.

Sabendo que OA 2m,= OB 2m= e OC 1m,= temos

que BC OB OC 1m.= − = Além disso, o triângulo OAB é

isósceles de base AB. Logo, $ µOBA OAB 75 .≡ = ° Aplicando a lei dos cossenos no triângulo OAB, segue que

6

2 2 2 2 2 2

2

3AB OA OB 2 OA OB cos30 AB 2 2 2 2 22

AB 8 4 3

AB ( 6 2) m.

= + − ⋅ ⋅ ⋅ °⇔ = + − ⋅ ⋅ ⋅

⇔ = −

⇒ = − Como AC é mediana do triângulo ABO, vem

2 2 2

2 2

1AC 2 (OA AB ) OB21 2 (2 8 4 3) 221 4 (5 2 3)2

5 2 3 m.

= ⋅ ⋅ + −

= ⋅ ⋅ + − −

= ⋅ ⋅ −

= −

Portanto, como AB AC BC,≠ ≠ segue que o triângulo ABC é escaleno. Resposta da questão 13: [B] Pela Lei dos Senos, segue que:

AB 80 80 3 80 32R 2R R m.sen60 33 3 3

2

= ⇔ = ⇔ = ⋅ =°

Resposta da questão 14: [B] Aplicando a Lei dos Cossenos, obtemos

µ2 2 2

2 2 2

2

BC AB AC 2 AB AC cosBAC1BC 36 24 2 36 242

BC 1296 576 864

BC 2736 12 19 km.

= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇔

⎛ ⎞= + − ⋅ ⋅ ⋅ − ⇔⎜ ⎟⎝ ⎠

= + + ⇒

= =

Resposta da questão 15: [E] Considere a figura.

Sabendo que ET 360km,= ST 320km,= cos 0,934α ≅

e que 8 22 3 93,4 215100,⋅ ⋅ ≅ pela Lei dos Cossenos, vem

2 2 2

2 2 2

2 2 2 5

2 8 2

2

ES ET ST 2 ET ST cos

ES 360 320 2 360 320 0,934

ES 129600 102400 2 2 3 2 93,4

ES 232000 2 3 93,4

ES 232000 215100

ES 16900 ES 130km.

= + − ⋅ ⋅ ⋅ α ⇒

= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇔

= − ⋅ ⋅ ⇒

= − ⇒

= ⇔ =

Portanto, como 1313min h,60

= temos que a velocidade

média pedida é dada por 130 600km h.1360

=