Trigonometria Lei Dos Senos e Cossenos

7/26/2019 Trigonometria Lei Dos Senos e Cossenos

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Lei dos Senos e dos Cossenos

1. (G1 - cftrj 2014) Considerando que ABC é um triângulo tal que AC 4 cm, BC 13 cm e

ˆ A 60 , calcule os possíveis valores para a medida do lado AB.

2. (Ufpr 2014) Dois navios deixam um porto ao mesmo tempo. O primeiro viaja a umavelocidade de 16 km/h em um curso de 45° em relação ao norte, no sentido horário. O segundoviaja a uma velocidade 6 km/h em um curso de 105° em relação ao norte, também no sentidohorário. Após uma hora de viagem, a que distância se encontrarão separados os navios,supondo que eles tenham mantido o mesmo curso e velocidade desde que deixaram o porto?a) 10 km.b) 14 km.c) 15 km.d) 17 km.e) 22 km.

3. (G1 - ifsp 2014) A base de um triângulo isósceles mede 3 3cm e o ângulo oposto à base

mede 120°. A medida dos lados congruentes desse triângulo, em centímetros, éa) 3.

b) 2.c) 3.

d) 1 3.

e) 2 3.

4. (Unicamp 2013) Na figura abaixo, ABC e BDE são triângulos isósceles semelhantes de

bases 2a e a, respectivamente, e o ângulo ˆCAB 30 . Portanto, o comprimento do segmentoCE é:

a)5

a3

b)8

a3

c)7

a3

d) a 2




5. (Ufsm 2013) A caminhada é uma das atividades físicas que, quando realizada comfrequência, torna-se eficaz na prevenção de doenças crônicas e na melhora da qualidade devida.Para a prática de uma caminhada, uma pessoa sai do ponto A, passa pelos pontos B e C eretorna ao ponto A, conforme trajeto indicado na figura.

Quantos quilômetros ela terá caminhado, se percorrer todo o trajeto?a) 2,29.b) 2,33.c) 3,16.

d) 3,50.e) 4,80.

6. (Ufrgs 2013) Os lados de um losango medem 4 e um dos seus ângulos 30°. A medida dadiagonal menor do losango é

a) 2 2 3 .

b) 2 3.

c) 4 2 3 .

d) 2 2 3 .

e) 4 2 3 .

7. (Epcar (Afa) 2013) Um triângulo é tal que as medidas de seus ângulos internos constituemuma progressão aritmética e as medidas de seus lados constituem uma progressãogeométrica.Dessa maneira, esse triângulo NÃO éa) acutângulo.b) equilátero.c) obtusângulo.d) isósceles.

8. (Unicamp 2013) Um satélite orbita a 6.400 km da superfícieda Terra. A figura abaixo representa uma seção plana que inclui

o satélite, o centro da Terra e o arco de circunferência AB. Nospontos desse arco, o sinal do satélite pode ser captado.Responda às questões abaixo, considerando que o raio daTerra também mede 6.400 km.a) Qual o comprimento do arco AB indicado na figura?b) Suponha que o ponto C da figura seja tal que cos( ) 3 / 4.θ

Determine a distância d entre o ponto C e o satélite.




9. (Unesp 2013) Um professor de geografia forneceu a seus alunos um mapa do estado deSão Paulo, que informava que as distâncias aproximadas em linha reta entre os pontos querepresentam as cidades de São Paulo e Campinas e entre os pontos que representam ascidades de São Paulo e Guaratinguetá eram, respectivamente, 80km e 160km. Um dosalunos observou, então, que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam ascidades de São Paulo, Campinas e Sorocaba formavam um triângulo equilátero. Já um outro

aluno notou que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades deSão Paulo, Guaratinguetá e Campinas formavam um triângulo retângulo, conforme mostra omapa.

Com essas informações, os alunos determinaram que a distância em linha reta entre os pontosque representam as cidades de Guaratinguetá e Sorocaba, em km, é próxima de

a) 80 2 5 3

b) 80 5 2 3

c) 80 6

d) 80 5 3 2

e) 80 7 3

10. (Uepb 2012) A diagonal menor de um paralelogramo divide um de seus ângulos internosem dois outros. Um β e o outro 2 .β A razão entre o maior e o menor lado do paralelogramo é

a) 2senβ

b)1

2cosβ

c) 2cosβ d)

1

2senβ

e) tgβ




11. (Uftm 2012) Na figura, AEFG é um quadrado, e BD divide o ângulo ˆ ABC ao meio.

Sendo CD 2 3 cm, o lado do quadrado AEFG, em centímetros, mede

a)3 1

.2

b) 3 1.

c)6( 3 1)

.5

d) 4( 3 1).3

e)3( 3 1)

.2

12. (Ufjf 2012) Uma praça circular de raio R foi construída a partir da planta a seguir:

Os segmentos AB, BC e CA simbolizam ciclovias construídas no interior da praça, sendo que

AB 80 m. De acordo com a planta e as informações dadas, é CORRETO afirmar que a

medida de R é igual a:

a)160 3

m3

b)80 3

m

3

c)16 3

m3

d)8 3

m3

e)3

m3




13. (Ufg 2012) Observe a figura a seguir, em que estão indicadas as medidas dos lados dotriângulo maior e alguns dos ângulos.

O seno do ângulo indicado por α na figura vale:

a)4 3 3

10

b) 4 3

10

c)4 3 3

10

d)4 3 3

10

e)4 3 3

10

14. (Uem 2012) Sejam A, B e C os vértices de um triângulo retângulo, sendo Â o ângulo reto e AC medindo o triplo de AB. Considerando agora os pontos D e E no segmento AC , de modoque AD = DE = EC , e F sendo o ponto médio do segmento BC , assinale o que for correto.

01) cos(B) =10

10.

02) Os triângulos BDC e FEC são congruentes.

04) sen(BDC ) =2

2.

08) Os triângulos EDF e BDF são semelhantes.

16) cos(EFC ) =5

5.




15. (Unesp 2012) No dia 11 de março de 2011, o Japão foi sacudido por terremoto com

intensidade de 8,9 na Escala Richter, com o epicentro no Oceano Pacífico, a 360 km deTóquio, seguido de tsunami. A cidade de Sendai, a 320 km a nordeste de Tóquio, foi atingida pela primeira onda do tsunami após 13 minutos.

(O Estado de S.Paulo, 13.03.2011. Adaptado.)

Baseando-se nos dados fornecidos e sabendo que cos 0,934 , onde é o ângulo

Epicentro-Tóquio-Sendai, e que 8 22 3 93,4 215 100 , a velocidade média, em km/h, comque a 1ª onda do tsunami atingiu até a cidade de Sendai foi de:

a) 10.b) 50.c) 100.d) 250.e) 600.

16. (Unicamp 2012) Um topógrafo deseja calcular a distância entre pontos situados à margemde um riacho, como mostra a figura a seguir. O topógrafo determinou as distâncias mostradasna figura, bem como os ângulos especificados na tabela abaixo, obtidos com a ajuda de umteodolito.

Visada Ângulo^

ACB 6π

^

BCD 3π

^

ABC 6π

a) Calcule a distância entre A e B.b) Calcule a distância entre B e D.




17. (Fgv 2012) a) Determine o perímetro do triângulo na forma decimal aproximada, até os

décimos. Se quiser, use algum destes dados: 235 1225; 236 1296; 237 1369.

b) Um aluno tinha de fazer um cartaz triangular, em cartolina. Decidiu construir o triângulo comas seguintes medidas dos lados: 6cm, 8cm, e 16 cm. Ele conseguirá fazer o cartaz? Por

quê?

18. (Uftm 2012) Na figura estão posicionadas as cidades vizinhas A, B e C, que são ligadaspor estradas em linha reta. Sabe-se que, seguindo por essas estradas, a distância entre A e Cé de 24 km, e entre A e B é de 36 km.

Nesse caso, pode-se concluir que a distância, em km, entre B e C é igual a

a) 8 17.

b) 12 19. c) 12 23.

d) 20 15.

e) 20 13.

19. (Pucrj 2012) Seja um hexágono regular ABCDEF . A razão entre os comprimentos dos

segmentos AC e AB é igual a:

a) 2

b)3

2

c)

1 5

2

d) 3 e) 2




20. (Ufsm 2011) A figura a seguir apresenta o delta do rio Jacuí, situado na regiãometropolitana de Porto Alegre. Nele se encontra o parque estadual Delta do Jacuí, importanteparque de preservação ambiental. Sua proximidade com a região metropolitana torna-osuscetível aos impactos ambientais causados pela atividade humana.

A distância do ponto B ao ponto C é de 8 km, o ângulo A mede 45° e o ângulo C mede 75°.Uma maneira de estimar quanto do Delta do Jacuí está sob influência do meio urbano é dadapela distância do ponto A ao ponto C. Essa distância, em km, é

a)8 6

3

b) 4 6

c) 8 2 3 d) 8( 2 3)

e)2 6

3

21. (G1 - cftmg 2011) Um grupo de escoteiros pretende escalar uma montanha ate o topo,representado na figura abaixo pelo ponto D, visto sob ângulos de 40° do acampamento B e de60° do acampamento A.

Dado: sen 20º 0,342

Considerando que o percurso de 160 m entre A e B e realizado segundo um angulo de 30° emrelação a base da montanha, então, a distância entre B e D, em m, e de, aproximadamente,a) 190.b) 234.

c) 260.d) 320.




22. (Unesp 2011) Uma pessoa se encontra no ponto A de uma planície, às margens de um rioe vê, do outro lado do rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto B. Com o objetivo dedeterminar a altura h do mastro, ela anda, em linha reta, 50 m para a direita do ponto em quese encontrava e marca o ponto C. Sendo D o pé do mastro, avalia que os ângulos BÂC evalem 30°, e o vale 105°, como mostra a figura:

a) 12,5.

b) 12,5 2 .c) 25,0.

d) 25,0 2 .e) 35,0.

23. (Ita 2011) Num triângulo AOB o ângulo AÔB mede 135° e os lados AB e OB medem

2 cm e 2 3cm , respectivamente. A circunferência de centro em O e raio igual a medida

de OB intercepta AB no ponto C (≠ B).

a) Mostre que mede 15°.

b) Calcule o comprimento de AC

24. (G1 - epcar (Cpcar) 2011) Considere o octógono regular ABCDEFG inscrito numa

circunferência λ de raio RSe esse mesmo octógono circunscreve uma circunferência á de raio r, então a razão entre osquadrados dos comprimentos das circunferências λ e α é, nessa ordem, igual a

a) 2 2

b) 2 2 2

c) 2 2 2

d) 2 2

25. (Fuvest 2011) No losango ABCD de lado 1, representado na figura, tem-se que M é o

ponto médio de AB , N é o ponto médio de BC e 14MN4 .Então, DM é igual a

a)2

4 b)2

2 c) 2 d)3 2

2 e)5 2

2




26. (G1 - ifal 2011) Num paralelogramo, cada ângulo agudo mede 30° e os lados que formam

cada um desses ângulos medem 3 3 cm e 5 cm. Calcule a medida da menor das diagonaisdesse paralelogramo.

a) 6 cm

b) 3 cm

c) 3 3 cm d) 7 cm

e) 15 3 cm

27. (Ufpb 2011) Para explorar o potencial turístico de uma cidade, conhecida por suas belaspaisagens montanhosas, o governo pretende construir um teleférico, ligando o terminal detransportes coletivos ao pico de um morro, conforme a figura a seguir.

Para a construção do teleférico, há duas possibilidades:• o ponto de partida ficar localizado no terminal de transportes coletivos (ponto A), com umaparada intermediária (ponto B), e o ponto de chegada localizado no pico do morro (ponto C);

• o ponto de partida ficar localizado no ponto A e o de chegada localizado no ponto C, sem

parada intermediária.

Supondo que AB 300 3 m, BC 200 m, BÂP = 20º e ˆCBN 50 , é correto afirmar quea distância entre os pontos A e C é de:a) 700 mb) 702 mc) 704 md) 706 me) 708 m




Gabarito:

Resposta da questão 1:

Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo ABC, temos:

2 2 2

2

2

13 4 x 2 4 x cos60

113 15 x 8x

2

x 4x 3 0

Resolvendo a equação do segundo grau, temos x = 1 ou x = 3.

Resposta: 1 cm ou 3 cm.

Resposta da questão 2:[B]

Depois de uma hora de viagem o navio 1 (N1) terá percorrido 16 km e o navio 2 (N2) terápercorrido 6 km.

Temos, então, a seguinte figura:

Sendo d a distância entre os navios, temos:




2 2 2

2

2

d 16 6 2 16 6 cos60

1d 256 36 192

2

d 196

d 14km

Resposta da questão 3:[A]

Aplicando o teorema dos cossenos, temos:

2 2 2

2 2

2

2

3 3 x x 2 x x cos120

127 2x 2x

2

27 3x

x 9

x 3

Logo, a medida dos lados congruentes desse triângulo, em centímetros, é 3 cm.




Resposta da questão 4:[C]

2 2 2

2 22

2

a 3 a 2aNo CMB : cos30° x

x 2 x 3

a3 a a2No ENB : cos30° y

y 2 2y 3

ˆCBE 180 30 30 120

Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo CBE, temos:

CE x y 2.x.y.cos120

4a a 2a a 1CE 2

3 3 23 3

5aCE

Δ

Δ

2 2

22

2a

3 3

7aCE

3

7CE a.

3

Resposta da questão 5:[D]

Pela Lei dos Cossenos, obtemos:

2 2 2

2 2

BC AC AB 2 AC AB cosBAC

(0,8) 1 2 0,8 1 cos1503

0,64 1 2 0,82

1,64 0,8 1,7

3.

Logo, BC 1,7 e, portanto, o resultado é 1 0,8 1,7 3,5.





Considere a figura.

Como AB AD 4 u.c. e BAD 30 , pela Lei dos Cossenos, obtemos

2 2 2

2 2

BD AB AD 2 AB AD cosBAD

34 4 2 4 4

2

2 16 16 3.

Portanto,

BD 4 2 3 u.c.


Os ângulos internos deste triângulo poderão ser representados por x – r, x, x + r.

Somando x – r + x + x + r = 180° x = 60°.

Escrevendo os lados em P.G., temos a seguinte figura:

Aplicando, agora, o teorema dos cossenos no triângulo acima, temos:




2

22 a a 1a a q 2 a q

q q 2

Dividindo ambos os membros da equação por a2, temos:

2 2

2

4 2

22

2

11 q 1 ( q )

q

q 2q 1 0

q 1 0

q 1 0

q 1

Logo, o triângulo é equilátero de lados a, a e a. E o triângulo equilátero jamais seráobtusângulo.

Resposta da questão 8:a) No triângulo assinalado:

R é a medida do raio da terra.R 1

cos 60R R 2

α α

Portanto, o arco AB mede 120° e seu comprimento será dado por:2 R 2 6400 12800

km.3 3 3

π π π

b) Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo assinalado, temos:

2 2 2

2 2 2

2

d R (2R) 2.R.2R.cos

d 5R 4.R .(3/4)

d 2.R

d R 2

d 6400. 2 km

θ





Sejam S,P,G e C, respectivamente, os pontos que representam as cidades de Sorocaba, SãoPaulo, Guaratinguetá e Campinas.

Sabendo que SPC 60 e CPG 90 , vem SPG 150 . Logo, aplicando a Lei dos Cossenos

no triângulo SPG, encontramos

2 2 2

2 2

SG SP PG 2 SP PG cosSPG

80 160 2 80 160 cos150

36400 25600 2 12800

2

6400 (5 2 3)

Portanto, SG 80 5 2 3 km.


Sejam x e y, respectivamente, as medidas do maior lado e do menor lado do paralelogramo.

Desse modo, num dos triângulos determinado pela diagonal menor do paralelogramo, tem-se

2β oposto a x e β oposto a y. Assim, aplicando a Lei dos Senos, obtemos

x y x 2sen cos

sen2 sen y sen

x2cos .

y

β β

β β β

β




Resposta da questão 11:[E]

Seja o lado do quadrado.

Como AEFG é um quadrado, segue que o triângulo ABC é retângulo. Logo, ˆ ABC 60 . Além

disso, sabemos que BD é bissetriz de ˆ ABC e, portanto, ˆ ˆ ABD CBD 30 . Daí, segue queˆBDC 120 .

Aplicando a Lei dos Senos no triângulo BCD, obtemos

BC CD BC 2 3BC 6cm.

ˆ ˆ 1senBDC senCBD 3

22

Assim, no triângulo ABC, temos que

ABˆcos ABC AB 6 cos60 3cm.

BC

Por conseguinte, do triângulo BGF, vem

GF 3 3( 3 1)ˆtgABD cm.

3 3 2BG


Pela Lei dos Senos, segue que:

AB 80 80 3 80 32R 2R R m.sen60 33 3 3

2


Considere a figura, na qual AB 6, AC 10 e BC 8.

Do triângulo retângulo ABD, obtemos




BDtgBAD BD AB tg30

AB

3BD 6

3

BD 2 3.

Além disso, pelo Teorema do Ângulo Externo, segue que

ADC DAB ABD

30 90

120 .

Portanto, pela Lei dos Senos, vem

CD AC 8 2 3 10

sen sen120senDAC senADC

4 3sen sen60

54 3 3

sen5 2

4 3 3sen .

10

Resposta da questão 14:01 + 04 = 05.

Dados Iniciais

(01) Verdadeiro.

2 2

2 2 2 2BC (AC) (AB) BC (3x) (x) BC 10 x

Logo, x 10

cosB

1010x

(02) Falso. Dois triângulos são denominados congruentes quando têm a mesma forma e asmesmas dimensões. Logo, os triângulos BDC e FEC não são congruentes, pois nãopossuem o mesmo tamanho.

(04) Verdadeiro.

22 2

22 2

2 2 2 2

BC (BD) (DC) 2(BD)(DC)cos(BDC)

10x (x 2) (2x) 2(x 2)(2x)cos(BDC)

10x 2x 4x 4 2x cos(BDC)

2 2cosBDC senBDC2 2




(08) Falso. Dois triângulos são denominados semelhantes se possuem seus três ânguloscongruentes e seus lados proporcionais. Logo, os triângulos EDF e BDF não sãosemelhantes,

(16) Falso.

2 2 2

2 2

2

2 22 2

EC (EF) (FC) 2(EF)(FC)cos(EFC)

x 2 x 10 x 2 x 10x 2 cos(EFC)

2 2 2 2

x 5x1x x 5 cos(EFC)

2 2

2 5cosEFC

5

Resposta da questão 15:[E]

Considere a figura.

Sabendo que ET 360km, ST 320km, cos 0,934 e que 8 22 3 93,4 215100, pela Leidos Cossenos, vem

2 2 2

2 2 2

2 2 2 5

2 8 2

2

ES ET ST 2 ET ST cos

ES 360 320 2 360 320 0,934

ES 129600 102400 2 2 3 2 93,4

ES 232000 2 3 93,4

ES 232000 215100

ES 16900 ES 130km.

Portanto, como13

13min h,60

temos que a velocidade média pedida é dada por

130600km h.

13

60




Resposta da questão 16:a)

No triângulo ABC assinalado, temos:2 2 2

2 2

2

2

15 x x 2 x x cos120

1225 2x 2x

2

225 3x

x 75

x 5 3m

b)

No triângulo BDC, temos:2 2 2

2

y 15 10 2 15 10 cos 60

y 225 100 150

y 175

y 5 7m




Resposta da questão 17:a) Calculando a medida x do lado que falta temos:

x2 = 62 + 82 – 2 6 8 cos60°

x = 52

x = 2 13 x 2 3,6 (de acordo com as aproximações dadas)

x 7,2

Portanto, o perímetro das figuras será dado por P = 6 + 8 + 7,2 = 21,2.

b) Não, pois 16 > 6 + 8 (a medida do lado de um triângulo deve ser menor que a medida dosoutros dois).


Aplicando a Lei dos Cossenos, obtemos

2 2 2

2 2 2

2

BC AB AC 2 AB AC cosBAC

1BC 36 24 2 36 24

2

BC 1296 576 864

BC 2736 12 19km.


2 2 2 AC a a 2 a a cos120 AC a 3

Logo, AC a 3

3. AB a





α= o o o o180 75 45 60

Aplicando o teorema dos senos, temos:

o o

AC 8

sen60 sen45

2 3 AC. 8.

2 2

AC 4 6


Aplicando o teorema dos senos no triângulo assinalado, temos:

o

o

x 160

0,342sen150

0,342.x 160.sen150

0,342x 80

x 233,9

Aproximadamente 234m.


No triângulo ABC o ABC 45 , aplicando o teorema dos senos, temos:

o o

50 BCBC. 2 50 BC 25 2

sen45 sen30

No triângulo BDC, temos: o h 1 hsen30 h 12,5 2

225 2 25 2




Resposta da questão 23:a) Utilizando o teorema dos senos, temos:

o

2 3 2 2 3sen

sen 2sen135

Sabendo que2

32

4

3215

4

2615

2

2

oo

sen sen , concluímos então que:

= 15o

b) O triângulo ACB é isósceles logo AC = AB = 2 3cm .


A razão entre os quadrados dos comprimentos das circunferências é igual a razão entre osquadrados dos raios.Observe a figura.

Na figura, temos:

No ΔOMB temos: 2 2x R r

Aplicando agora o teorema dos cossenos no ΔOAB:




2 2 2 o

2 2 2 2

2 2

2

2

2

2

2x R R 2.R.R.cos45

4(R r ) 2.R R . 2

R (2 2) 4.r

R 4

2 2r

R2.(2 2)

r


Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo BMN, temos:2 2 2

14 1 1 1 12. . .cos

4 2 2 2 2

Resolvendo, temos

3cos 4 e que cos o

3( 180 )

4

Aplicando novamente o teorema dos cossenos no triângulo ADM, temos:

222

222

1 1(AD) 1 2. .1.cos

2 2

1 1 3(AD) 1 2. .1.

2 2 4

AD =1 3

14 4

AD =2

2




Aplicando o teorema dos cossenos, temos:

d2 = 52 + ( 3 3 )2 – 2.5. 3 3 .cos30o

d2 = 25 + 27 -30 33.

2

d2 = 52 – 45

d = 7


Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo assinalado, temos:

2

2 2

2

3 AC 300 3 200 2.300 3.200.

2

AC 270000 40000 180000

AC 490000

AC 700m

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