Série de Fourier

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SriesdeFourierProfa. Maria Suzana BalpardaDFM Departamento de Fsica e MatemticaCEFET-MG1 semestre/2010Jean Baptiste Joseph Fourier 1768 1830 , matemtico e fsico francsPrincipal obra:Teoria Analtica do Calor publicada em 1822Ao estudar a equao da distribuio e propagao do calor, Fourier introduziu a idia, que ele afirmou ser verdadeira,sem prova, de que toda funo peridica (contnua ou no) pode ser igualada a uma soma de senides, finita ou infinita. LL LL SriesdeFourierAproximar funes peridicas por soma de funes senoidaisUtilizao das senides como prottipo de funo peridicaUso em resoluo de equaes diferenciais parciaisExtenso de funo definida em intervalo finito reta realEstudo das funes peridicas pares ou mparesBase para o desenvolvimento da Transformada de FourierMotivao e utilidade: Construo da srie de Fourier Problema de Fourier: Dada uma funo f (x) , peridica de perodo T = 2L,determinar os coeficientes an e bn das senidesSn(x) para que tenhamos0 nn(x) S f(x)Consideramos as senides perodo : 2L , L , 2L/3 , L/2 , ...n2LTn2Ln frequncia) sen( ) cos( ) (Lx nbLx na x Sn n n+Funo SenoidalExemplosn=1L=-3 -2 -1 0 1 2 3-1-0. 8-0. 6-0. 4-0. 200. 20. 40. 60. 81-3 -2 -1 0 1 2 3-1-0. 8-0. 6-0. 4-0. 200. 20. 40. 60. 81cos(x) sen(x)- 3 - 2 - 1 0 1 2 3- 1 . 5- 1- 0 . 500 . 511 . 5(1/2)cos(x)-sen(x)Exemplos de senides S1(x),de perodo 2L- 3 - 2 - 1 0 1 2 3- 2- 1 . 5- 1- 0 . 500 . 511 . 52-(1/2)cos(x)+(3/2)sen(x)- 3 - 2 - 1 0 1 2 3- 2 . 5- 2- 1 . 5- 1- 0 . 500 . 511 . 522 . 5-(2)cos(x)-(3/2)sen(x)) sen( ) cos( ) (LxbLxa x S+1 1 1cos(2x) sen(2x)-3 -2 -1 0 1 2 3-1-0 . 8-0 . 6-0 . 4-0 . 200 . 20 . 40 . 60 . 81n=2L=-3 -2 -1 0 1 2 3-1-0. 8-0. 6-0. 4-0. 200. 20. 40. 60. 81(1/2)cos(2x)-sen(2x)- 3 - 2 - 1 0 1 2 3- 1- 0 . 8- 0 . 6- 0 . 4- 0 . 200 . 20 . 40 . 60 . 81 Exemplos de S2(x) , de perodo L-(1/2)cos(2x)+(3/2)sen(2x)- 3 - 2 - 1 0 1 2 3- 2- 1 . 5- 1- 0 . 500 . 511 . 52-(2)cos(x)-(3/2)sen(x)- 3 - 2 - 1 0 1 2 3- 2 . 5- 2- 1 . 5- 1- 0 . 500 . 511 . 522 . 5Funo Senoidal) sen( ) cos( ) (LxbLxa x S+2 22 2 2 AMPLITUDEENGULO DEFASEToda funo senoidal do tipo S(x)=a cos(.x)+b sen(.x)tambm pode ser escrita comoS(x)=A. cos(.x + )ou comoS(x)=A. sen(.x - ) -3 -2 -1 0 1 2 3-2-1.5-1-0.500.511.52A//Perodo=2/ Neste caso, A a amplitudede S, (calculada porA2=a2+ b2 )eso ngulos de fase, nas formas cosseno ou seno para ST=2/ o perodoef = /(2) a frequnciaCOMBINAODESENIDESDEPERODOSDIFERENTES Caso 1: perodos com relao racional- 3 - 2 - 1 0 1 2 3- 1 . 5- 1- 0 . 500 . 511 . 5S1(x)= (1/2)cos(x)-sen(x) S2(x)= -(1/2)cos(2x)+(3/2)sen(2x)- 3 - 2 - 1 0 1 2 3- 2- 1 . 5- 1- 0 . 500 . 511 . 52- 3 - 2 - 1 0 1 2 3- 2 . 5- 2- 1 . 5- 1- 0 . 500 . 511 . 522 . 5S1(x) + S2(x)Exemplos de combinaes- 3 - 2 - 1 0 1 2 3- 2 . 5- 2- 1 . 5- 1- 0 . 500 . 511 . 522 . 5S1(x) - S2(x)COMBINAODESENIDESDEPERODOSDIFERENTES- 3 - 2 - 1 0 1 2 3- 1 . 5- 1- 0 . 500 . 511 . 5S1(x)S2(x)- 3 - 2 - 1 0 1 2 3- 2- 1 . 5- 1- 0 . 500 . 511 . 52- 3 - 2 - 1 0 1 2 3- 2 . 5- 2- 1 . 5- 1- 0 . 500 . 511 . 522 . 5S3(x)S1(x) + S2(x) + S3(x)- 3 - 2 - 1 0 1 2 3- 5- 4- 3- 2- 1012345S1(x) + S2(x) - S3(x)- 3 - 2 - 1 0 1 2 3- 5- 4- 3- 2- 1012345COMBINAODESENIDESDEPERODOSDIFERENTESCaso 2: perodos com relao irracionalS1(x)= cos(x)S

(x)= sen( x) 22-10 -5 5 10-1-0.50.51-10 -5 5 10-1-0.50.51Exemplos de combinaesS1(x) 2 S

(x)2-10 -5 5 10-3-2-1123S1(x)+ (5/6) S

(x)2-10 -5 5 10-1.5-1-0.50.511.5Algumas propriedades de seno e cosseno :m n dx L x m L x nLLe inteiros para , 0 ) / cos( ). / sen( ) 1 m n dx L x m L x nLLinteiros para , 0 ) / sen( ). / sen( ) 2 m n dx L x m L x nLLinteiros para , 0 ) / cos( ). / cos( ) 3 1 inteiro qualquerpara , ) / ( sen ) 42 n L dx L x nLL1 inteiro qualquerpara , ) / ( cos ) 52 n L dx L x nLL(1), (2), (3) funes seno e cosseno so ortogonaisQuestes bsicas relativas s sries de Fourier 1 Problema de Fourier: Dada uma funo real f (x) , peridica de perodo T ,determinar os coeficientes an e bn das senidesSn(x) para que tenhamos , onde T = 2L0 nn(x) S f(x)2 Problema de Fourier: A srie convergente ? Para qualquer valor de x ?A soma da srie igual ao valor da funo ?>

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.| LLnLLnLLooon dxLx nx fLbn dxLx nx fLadx x fLaaM S0 para , sen ). (10 para , cos ). (1) (1onde ,2

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.|++ 1 0) sen( ) cos( ) ( ) (nn nnnLx nbLx na M x S x fResposta ao 1 Problema de Fourier:Para que se possa obter: deve-se fazer: DEFINIO: f(x) seccionalmente contnua em um intervalo [-a,b] se o intervalo tem uma partio a=xo