Transformada de Fourier

Transformada de Fourier de Sinais Contnuos

EA614 - Analise de Sinais


Prof. Pedro L. D. Peres

Faculdade de Engenharia Eletrica e de ComputacaoUniversidade Estadual de Campinas

1o Semestre 2014

Transformada de Fourier de Sinais Contnuos EA614 - Analise de Sinais 1/59


Transformada de Fourier de Sinais Contnuos I

A serie de Fourier e adequada para a descricao de um sinal em um intervalo de tempoT , ou para sinais periodicos de perodo T .

x(t)=+

k=

ck exp(jk0t) , |t| 0

e dada por

F{exp(at)u(t)

}=

1

j +a

pois

X () =

+

exp(at)u(t)exp(jt)dt = +0

exp( (j +a)t

)dt =

=1

j +aexp

( (j +a)t

)+

0



Exemplo Exponencial Complexa

Note que, da definicao de transformada de Laplace, tem-se

L {exp(at)u(t)}=1

s+a, Re(s+a)> 0

ou seja, a transformada de Fourier de x(t) = exp(at)u(t) tem a mesma forma datransformada de Laplace, trocando-se s por j. Note ainda que, se Re(a)< 0, atransformada de Fourier nao existe. Entretanto, a transformada de Laplace existe comum domnio que nao contem s = j

Pela Propriedade 3, tem-se

X (0) = +

x(t)dt = +

exp(at)u(t)dt =1

aexp(at)

+0

=1

a



Propriedade 4

Para x(t) real, o modulo de X () e uma funcao par e a fase e mpar, ou seja

| X () |=| X () |

X () =X ()

X () = X ()

Prova:

X () = +

x(t)exp(jt)dt = A() jB()

com

A() =

+

x(t)cos(t)dt (par) , B() = +

x(t)sen(t)dt (mpar)

| X () |=A2()+B2() =

A2()+B2() =| X () | (par)

X () = arctanB()

A()= arctan

B()

A()=arctan

B()

A()=X () (mpar)



Exemplo 1.2 (Exponencial real)

A transformada de Fourier de

x(t) = exp(at)u(t) , a> 0 a real

e dada por

F{exp(at)u(t)}=1

j +a=

1(2+a2)

exp( j arctan(/a)

)confirmando a Propriedade 4 (sinais reais tem modulo par e fase mpar).



Note que x(t) = exp(at)u(t) e descontnua em t = 0 e o valor da transformadainversa em t = 0 e x(0) = 0.5 (valor medio na descontinuidade), pois

2pix(0)=

+

1

j +ad =

+0

( 1j +a

+1

j +a

)d =

+0

2a

2+a2d =

=2

a

+0

1

(/a)2+1d = 2

+0

1

2+1d = 2

+pi/20

d = pi

= tan() d tan()

tan2()+1= d



Teorema 1 (Parseval)

Se x(t) e um sinal de energia, entao

+

| x(t)|2dt =1

2pi

+

| X ()|2d Energia

Prova:

2pi

+

| x(t)|2dt = 2pi +

x(t)x(t)dt =

+

x(t)

+

X ()exp(jt)d 2pix(t)

dt

=

+

X ()

+

x(t)exp(jt)dt X ()

d =

+

X ()X ()d =

+

| X ()|2d



Densidade espectral de energia I

Definicao 2 (Densidade espectral de energia)

A densidade espectral de um sinal de energia x(t) cuja transformada eX () = F{x(t)} e dada por

1

2pi| X ()|2

Exemplo 1.3

Retomando o Exemplo 1.2, ilustrado na Figura 2 para a= 1, tem-se que x(t) e umsinal de energia, pois

Energia =

+

|x(t)|2dt = +

exp(2at)u(t)dt = 1

2aexp(2at)

0

=1

2a



Densidade espectral de energia II

-4 -2 0 2 4-0.5

0

0.5

1

1.5

t

Figura : Sinal x(t) = exp(t)u(t).



Densidade espectral de energia III

A densidade espectral de energia e dada por

1

2pi| X () |2 =

1

2pi

(1

a2+2

)

ilustrada na Figura para a= 1.



Densidade espectral de energia IV

-10 -5 0 5 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Figura : Densidade espectral de energia de x(t) = exp(t)u(t).



O Teorema de Parseval e verificado, pois

Energia =1

2pi

+

(1

a2+2

)d =

1

2piaarctan

(a

)+

=1

2pia

(pi2(

pi

2

))=

1

2a

Uma avaliacao da distribuicao da area sob a curva da Figura 3 pode ser obtida apartir do ndice

Ik =area de k a +k

area total I5 = 0.87, I10 = 0.94, I40 = 0.98



Reversao no tempo

Propriedade 5 (Reversao no tempo)

F{x(t)}= X ()

pois

F{x(t)}= +

x(t)exp(jt)dt = +

x( )exp(j )d

=

+

x( )exp( j()

)d =

+

x(t)exp( j()t

)dt =X ()



Exemplo I

Exemplo 1.4

F{exp(at)u(t)}=1

j +a; Re(a)> 0F{exp(at)u(t)}=

1

j +a; Re(a)> 0

A Figura 4 mostra o sinal x(t) = exp(t)u(t).



Exemplo II

-4 -2 0 2 4-0.5

0

0.5

1

1.5

t

Figura : Sinal x(t) = exp(t)u(t).



Exemplo III

A densidade espectral de energia e dada por

1

2pi| X () |2 =

1

2pi

(1

a2+2

)

que e tambem a densidade espectral de x(t) = exp(t)u(t), mostrada na Figura 3.



Funcao real e par

Propriedade 6 (Funcao real e par)

A transformada de Fourier de um sinal real e par x(t) e um sinal X () real e par, pois

+

x(t)exp(jt)dt = +

x(t)cos(t)dt j +

x(t)sen(t)dt = 0

Exemplo 1.5

Considere o sinal x(t) dado por

x(t) = exp(a | t |) = exp(at)u(t)+exp(at)u(t) , a> 0

mostrado na figura para a= 1, cuja transformada de Fourier e

X () =1

j +a+

1

j +a=

2a

2+a2



-4 -2 0 2 4-0.5

0

0.5

1

1.5

t

Figura : Sinal x(t) = exp(|t|).

Note que X () e uma funcao real e par, pois x(t) e real e par.



A densidade espectral de energia, mostrada na figura para a= 1, e

1

2pi| X ()|2 =

1

2pi| 2a/(a2+2)|2

-10 -5 0 5 10-1

0

1

2

3

4

5

Figura : Espectro de energia do sinal x(t) = exp(|t|).



Observe que a densidade espectral cai com 4, enquanto que nos exemplos 1.2 e 1.4o decaimento ocorre com 2. Esse comportamento em frequencia esta relacionado a`presenca ou nao de descontinuidades nos sinais.O espalhamento em frequencia do espectro pode ser avaliado pelo ndice Ik ,resultando neste caso em

I5 = 0.99 ; I10 = 1.00

confirmando que a energia esta mais concentrada do que nos caso dos sinais comdescontinuidade.

A integral de x(t) e 2/a, o que e confirmado pelo valor de

X (0) = +

x(t)dt =2

a

e a integral de X () e igual a 2pi, o que e confirmado por

x(0) =1

2pi

+

X ()d = 1



Simetria

Propriedade 7 (Simetria)

F{x(t)}= X () F{X (t)}= 2pix()

pois

x(t) =1

2pi

+

X ()exp(jt)d 2pix(t) = +

X ( )exp(j t)d

2pix() = +

X ( )exp(j )d

2pix() = +

X (t)exp(jt)dt = F{X (t)}



Exemplo

Exemplo 1.6A transformada de Fourier de

x(t) =1

1+ t2

e dada por

X () = pi exp(||)

pois, pela Propriedade 7 (simetria), tem-se

F

{12exp(|t|)

}=

1

1+2 F

{ 11+ t2

}= pi exp(||)

Note que x(t) e X () sao ambas funcoes reais e pares



Exemplo I

Exemplo 1.7

A transformada de Fourier da funcao gate

x(t) = GT (t) = u(t+T/2)u(tT/2)

mostrada na figura, e dada por

F{GT (t)}= TSa(T/2) , Sa(T/2) =sen(T/2)

T/2



Exemplo II

GT (t)

T

2T

2t

1

Figura : Funcao gate GT (t).



Exemplo III

pois

F{GT (t)}= +

GT (t)exp(jt)dt = +T/2T/2

exp(jt)dt =

=1

jexp(jt)

+T/2

T/2

=T

(sen(T/2)

T/2

)=TSa(T/2)

Note que o primeiro cruzamento de Sa(/2) com o eixo das abscissas ocorre em2pi/T . Portanto, quanto mais estreito for o pulso no tempo, mais espalhado sera seuespectro em e vice-versa.

A funcao Sa(/2) e a densidade espectral de energia (multiplicada por 2pi) saomostradas nas figuras.



Exemplo IV

-30 -20 -10 0 10 20 30-0.5

0

0.5

1

1.5

Figura : Funcao Sa(/2) (sampling).



Exemplo V

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Figura : |X ()|2 = Sa2(/2).



Exemplo VI

Note que os ndices de espalhamento em frequencia do espectro, neste caso, dados por

I2pi = 0.90 ; I4pi = 0.95 ; I8pi = 0.97

sao similares aos do sinal do Exemplo 1.2, que tambem possui descontinuidade.



Exemplo

Exemplo 1.8

F{Sa(0t/2)}=2pi

0G0()

pois

F

{ 1G(t)

}= Sa(/2)

e, pela Propriedade 7 (simetria),

F{Sa(t/2)}=2pi

G()

Note que a transformada de Fourier da funcao sampling, que nao e limitada notempo, e uma funcao gate, ou seja, e limitada em frequencia.



Transformada de Fourier da funcao impulso

Propriedade 8 (Transformada de Fourier da funcao impulso)

F{ (t)}= +

(t)exp(jt)dt = 1

Observe que (t) nao e um sinal de energia e portanto o Teorema de Parseval nao seaplica.

Note tambem que a funcao impulso poderia ser calculada como a transformadainversa de 1, ou seja

(t) = F1{1}=1

2pi

+

exp(jt)d



Sinais de potencia

Definicao 3 (Sinais de potencia)

Um sinal x(t) e de potencia finita se

limT+

1

T

+T/2T/2

|x(t)|2dt


Exemplo I

Exemplo 1.10A transformada de Fourier de

sinal(t) =

+1 , t > 0

1 , t < 0

e dada por

F{sinal(t)}=2

j

pois, escrevendo a funcao sinal(t) na forma

sinal(t) = lima0+

(exp(at)u(t) exp(at)u(t)

)tem-se

F{sinal(t)}= lima0+

( 1a+ j

1

a j

)=

2

j



Exemplo II

Note que a funcao sinal(t) possui a mesma potencia media que a funcao x(t) = 1,mas as transformadas de Fourier sao distintas, assim como os valores medios, 0 e 1,respectivamente.

A funcao sinal(t) pode ser interpretada como uma inversao de polaridade numaalimentacao em corrente contnua (acionamento de uma chave).

A transformada de Fourier da funcao sinal(t) ilustra o rudo (clic) que se ouve nosradios a pilha quando um interruptor da rede eletrica, proximo do radio, e acionado.



Exemplo

Exemplo 1.11A transformada de Fourier da funcao

x(t) = u(t)

e dada por

F{u(t)}= F{12+

1

2sinal(t)

}= pi ()+

1

j



Deslocamento no tempo

Propriedade 9 (Deslocamento no tempo)

F{x(t )}= X ()exp(j)

pois

F{x(t )}= +

x(t )exp(jt)dt

F{x(t )}= +

x( )exp(j )exp(j)d =

exp(j) +

x( )exp(j )d X ()



Exemplo

Exemplo 1.12

F{ (t )}= exp(j)

Propriedade 10 (Deslocamento em frequencia)

F{x(t)exp(j0t)}= X (0)

pois

F{x(t)exp(j0t)}= +

x(t)exp(j0t)exp(jt)dt =

= +

x(t)exp( j(0)t

)dt = X (0)



Exemplo 1.13

F{exp(j0t)}= 2pi (0)

pois, aplicando-se a Propriedade 10 (deslocamento em frequencia) para x(t) = 1,tem-se

F{1}= 2pi () F{exp(j0t)}= 2pi (0)

Exemplo 1.14

F{exp(j0t)}= 2pi ( +0)

Exemplo 1.15

F{cos(0t)}= F{12exp(j0t)+

1

2exp(j0t)

}= pi (0)+pi ( +0)

F{sen(0t)}= F{ 12j

exp(j0t)1

2jexp(j0t)

}=

pi

j (0)

pi

j ( +0)



Transformada de Fourier de sinal periodico

Propriedade 11 (Transformada de Fourier de sinal periodico)

Considere o sinal periodico

x(t) =1

T

+

k=

Xk exp(jk0t) , Xk = +T/2T/2

x(t)exp(jk0t)dt

A transformada de Fourier de x(t) e dada pelo trem de impulsos modulado

X () = 0+

k=

Xk (k0) , 0 =2pi

T

pois

X () = F{x(t)}=1

T

+

k=

XkF{exp(jk0t)}=2pi

T

+

k=

Xk (k0)

Exemplo:

F

{ +

k=

(tkT )}= 0

+

k=

(k0)



Transformada de Fourier da convolucao

Propriedade 12 (Transformada de Fourier da convolucao)

F{x(t)y(t)

}= F

{x(t)

}F{y(t)

}= X ()Y ()

pois

F{x(t)y(t)

}= F

{ +

x(t )y( )d}=

+

y( )

( +

x(t )exp(jt)dt

)

X ()exp(j )

d

F{x(t)y(t)

}= X ()

+

y( )exp(j )d = X ()Y ()



Exemplo

Exemplo 1.16A transformada de Fourier do sinal

Tri2T (t) = (t/T +1)GT (t+T/2)+(1 t/T )GT (tT/2) =1

TGT (t)GT (t)

e dada por

F{Tri2T (t)}=1

T

(TSa

(T2

))2= TSa2

(T2

)

Exemplo 1.17

A transformada de Fourier do sinal Sa2(0t

2

)e dada por (usando a Propriedade 7, de

simetria)

F

{Sa2

(0t2

)}=

2pi

0Tri20() =

2pi

0Tri20()



Transformada da integral

Propriedade 13 (Transformada da integral)

F

{Ix (t) =

t

x( )d}= F{x(t)u(t)}= X ()

(pi ()+

1

j

)

Se X (0) = 0, isto e, se

+

x(t)dt = 0

entao

F

{Ix (t) =

t

x( )d}=

1

jX ()



Exemplo I

Exemplo 1.18

A transformada de Fourier do sinal x(t) = Tri2(t) mostrado na Figura 10 pode serobtida a partir das suas derivadas sucessivas.

1

1

1

x(t)

t

Figura : Sinal x(t) = Tri2(t).



Exemplo II

A Figura 11 mostra o sinal x(t) derivado duas vezes. Observe que as areas sob asfuncoes x(t) e x(t) sao nulas.



Exemplo III

11

1

1

1

1

1

1

dx

dt

t

t

2

d2x

dt2

Figura : Derivadas do sinal x(t) = Tri2(t).



Transformada da derivada

Propriedade 14 (Transformada da derivada)

F

{ ddt

x(t)}= (j)X ()

pois

x(t) =1

2pi

+

X ()exp(jt)d

d

dtx(t) =

1

2pi

+

X ()d

dtexp(jt)d =

1

2pi

+

(j)X ()exp(jt)d



Transformada de Fourier do produto

Propriedade 15 (Transformada de Fourier do produto)

F{x(t)y(t)}=1

2piF{x(t)}F{y(t)}=

1

2piX ()Y ()

pois

F{x(t)y(t)}= +

x(t)y(t)exp(jt)dt =

+

x(t)( 12pi

+

Y ( )exp(j t)d)exp(jt)dt

=1

2pi

+

Y ( )( +

x(t)exp(jt( )dt

)

X ( )

d =1

2pi

+

Y ( )X ( )d



Exemplo Modulacao

Exemplo 1.19 (Modulacao)

F{x(t)cos(0t)}=1

2piX ()

(pi (0)+pi ( +0)

)=

1

2X (0)+

1

2X ( +0)

Exemplo 1.20 (Recuperacao de um sinal modulado)

Considere o sinal y(t) = x(t)cos(0t) com X () = 0 para ||> 2piB e 2piB < 0, Breal positivo.

O sinal resultante da passagem de 2y(t)cos(0t) por um filtro passa-baixas ideal defrequencia de corte B e x(t), pois

2x(t)cos(0t)cos(0t) = x(t)(1+cos(20t)

)

O filtro rejeita a parcela que esta centrada em 20, ficando apenas o espectro de x(t).



Serie de Fourier a partir da Transformada de Fourier I

Propriedade 16 (Serie de Fourier a partir da Transformada deFourier)

Considere o sinal periodico

x(t) =+

k=

p(tkT ) , p(t) = 0 para |t|> T/2

Usando-se serie exponencial de Fourier, x(t) pode ser escrito como

x(t) =+

k=

ck exp(jk0t) ; ck =1

T

T/2T/2

x(t)exp(jk0t)dt

Como x(t) = p(t) para |t|< T/2, tem-se

P(k0) =

+

p(t)exp(jk0t)dt = Tck ; P() = F{p(t)}



Serie de Fourier a partir da Transformada de Fourier IIOs coeficientes da serie trigonometrica podem ser obtidos a partir de ck = P(k0)/T

x(t) = a0++

k=1

(ak cos(k0t)+bk sen(k0t)

)com valor medio dado por

a0 = c0 =1

T

+T/2T/2

x(t)dt =1

TP(0)

Os coeficientes dos termos em cosseno sao dados por

ak =(ck + ck

)=

2

T

+T/2T/2

x(t)cos(k0t)dt

ak =1

T(P(k0)+P(k0)) =

2

TRe {P(k0)}



Serie de Fourier a partir da Transformada de Fourier III

Os coeficientes dos termos em seno sao dados por

bk = j(ck ck

)=

2

T

+T/2T/2

x(t)sen(k0t)dt

bk =j

T

(P(k0)P(k0)

)=2

TIm {P(k0)}



Exemplo

Exemplo 1.21Considere o sinal

x(t) =+

k=

p(tkT ) , p(t) = TriT (t)

P() = F{TriT (t)}= F{ 2TGT/2(t)GT/2(t)

}=

T

2Sa2

(T4

)

Para T = 2, tem-se

P() = Sa2(2

)

P(k0) = Sa2

(kpi

2

)=

1 , k = 00 , k 6= 0 par(2

kpi

)2, k mpar

a0=1

TP(0)=

1

2; ak =

4

k2pi2, k mpar ; ak =0 , k par ; bk =0 pois P() e real



Momento

Propriedade 17 (Momento)

F{tmx(t)}= jmdm

dmX ()

Exemplo 1.22Considere

x(t) = exp( t)u(t) , > 0

As integrais (momentos da funcao x(t)) sao

+

x(t)dt = X ()=0

=

j +

=0

= 1

+

tx(t)dt = jd

dX ()

=0

=

(j + )2

=0

=1

+

t2x(t)dt = j2d2

d2X ()

=0

=2

(j + )3

=0

=2

2



Correlacao

Definicao 4 (Correlacao)

A funcao definida pela integral

rxy () =

+

x(t)y(t )dt = +

x(t+ )y(t)dt , R

e chamada de correlacao cruzada entre os sinais x(t) e y(t), e a funcao rx () = rxx ()e denominada de auto-correlacao de x(t).

Note que a correlacao rxy (0) e o numerador do coeficiente de projecao do sinal x(t)no sinal y(t) dado por

< x(t)y(t)>

< |y(t)|2 >



Correlacao

Propriedade 18 (Correlacao)

A funcao correlacao tem as seguintes propriedades (relacionadas com convolucao ecom transformada de Fourier)

rxy () = x()y()

rxy () = ryx ()

2rx (0)> |rx ()+ rx ()| , 6= 0

F{rxy ()}= F{x()y()}= X ()Y ()

A transformada de Fourier da auto-correlacao rx () e igual a` densidade espectralde x(t) (multiplicada por 2pi)

F{rx ()}= |X ()|2


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