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  • Transformada de Fourier de Sinais Contnuos

    EA614 - Analise de Sinais

    Transformada de Fourier de Sinais Contnuos

    Prof. Pedro L. D. Peres

    Faculdade de Engenharia Eletrica e de ComputacaoUniversidade Estadual de Campinas

    1o Semestre 2014

    Transformada de Fourier de Sinais Contnuos EA614 - Analise de Sinais 1/59

  • Transformada de Fourier de Sinais Contnuos

    Transformada de Fourier de Sinais Contnuos I

    A serie de Fourier e adequada para a descricao de um sinal em um intervalo de tempoT , ou para sinais periodicos de perodo T .

    x(t)=+

    k=

    ck exp(jk0t) , |t| 0

    e dada por

    F{exp(at)u(t)

    }=

    1

    j +a

    pois

    X () =

    +

    exp(at)u(t)exp(jt)dt =

    +

    0exp

    ( (j +a)t

    )dt =

    =1

    j +aexp

    ( (j +a)t

    )

    +

    0

    Transformada de Fourier de Sinais Contnuos EA614 - Analise de Sinais 7/59

  • Transformada de Fourier de Sinais Contnuos

    Exemplo Exponencial Complexa

    Note que, da definicao de transformada de Laplace, tem-se

    L {exp(at)u(t)}=1

    s+a, Re(s+a)> 0

    ou seja, a transformada de Fourier de x(t) = exp(at)u(t) tem a mesma forma datransformada de Laplace, trocando-se s por j. Note ainda que, se Re(a)< 0, atransformada de Fourier nao existe. Entretanto, a transformada de Laplace existe comum domnio que nao contem s = j

    Pela Propriedade 3, tem-se

    X (0) = +

    x(t)dt =

    +

    exp(at)u(t)dt =

    1

    aexp(at)

    +

    0=

    1

    a

    Transformada de Fourier de Sinais Contnuos EA614 - Analise de Sinais 8/59

  • Transformada de Fourier de Sinais Contnuos

    Propriedade 4

    Para x(t) real, o modulo de X () e uma funcao par e a fase e mpar, ou seja

    | X () |=| X () |

    X () =X ()

    X () = X ()

    Prova:

    X () = +

    x(t)exp(jt)dt = A() jB()

    com

    A() =

    +

    x(t)cos(t)dt (par) , B() =

    +

    x(t)sen(t)dt (mpar)

    | X () |=

    A2()+B2() =

    A2()+B2() =| X () | (par)

    X () = arctanB()

    A()= arctan

    B()

    A()=arctan

    B()

    A()=X () (mpar)

    Transformada de Fourier de Sinais Contnuos EA614 - Analise de Sinais 9/59

  • Transformada de Fourier de Sinais Contnuos

    Exemplo 1.2 (Exponencial real)

    A transformada de Fourier de

    x(t) = exp(at)u(t) , a> 0 a real

    e dada por

    F{exp(at)u(t)}=1

    j +a=

    1

    (2+a2)exp

    ( j arctan(/a)

    )

    confirmando a Propriedade 4 (sinais reais tem modulo par e fase mpar).

    Transformada de Fourier de Sinais Contnuos EA614 - Analise de Sinais 10/59

  • Transformada de Fourier de Sinais Contnuos

    Note que x(t) = exp(at)u(t) e descontnua em t = 0 e o valor da transformadainversa em t = 0 e x(0) = 0.5 (valor medio na descontinuidade), pois

    2x(0)=

    +

    1

    j +ad =

    +

    0

    ( 1

    j +a+

    1

    j +a

    )

    d =

    +

    0

    2a

    2+a2d =

    =2

    a

    +

    0

    1

    (/a)2+1d = 2

    +

    0

    1

    2+1d = 2

    +/2

    0d =

    = tan() d tan()

    tan2()+1= d

    Transformada de Fourier de Sinais Contnuos EA614 - Analise de Sinais 11/59

  • Transformada de Fourier de Sinais Contnuos

    Teorema 1 (Parseval)

    Se x(t) e um sinal de energia, entao

    +

    | x(t)|2dt =

    1

    2

    +

    | X ()|2d Energia

    Prova:

    2

    +

    | x(t)|2dt = 2

    +

    x(t)x(t)dt =

    +

    x(t)

    +

    X ()exp(jt)d

    2x(t)

    dt

    =

    +

    X ()

    +

    x(t)exp(jt)dt

    X ()

    d =

    +

    X ()X ()d =

    +

    | X ()|2d

    Transformada de Fourier de Sinais Contnuos EA614 - Analise de Sinais 12/59

  • Transformada de Fourier de Sinais Contnuos

    Densidade espectral de energia I

    Definicao 2 (Densidade espectral de energia)

    A densidade espectral de um sinal de energia x(t) cuja transformada eX () = F{x(t)} e dada por

    1

    2| X ()|2

    Exemplo 1.3

    Retomando o Exemplo 1.2, ilustrado na Figura 2 para a= 1, tem-se que x(t) e umsinal de energia, pois

    Energia =

    +

    |x(t)|2dt =

    +

    exp(2at)u(t)dt =

    1

    2aexp(2at)

    0

    =1

    2a

    Transformada de Fourier de Sinais Contnuos EA614 - Analise de Sinais 13/59

  • Transformada de Fourier de Sinais Contnuos

    Densidade espectral de energia II

    -4 -2 0 2 4-0.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    t

    Figura : Sinal x(t) = exp(t)u(t).

    Transformada de Fourier de Sinais Contnuos EA614 - Analise de Sinais 14/59

  • Transformada de Fourier de Sinais Contnuos

    Densidade espectral de energia III

    A densidade espectral de energia e dada por

    1

    2| X () |2 =

    1

    2

    (1

    a2+2

    )

    ilustrada na Figura para a= 1.

    Transformada de Fourier de Sinais Contnuos EA614 - Analise de Sinais 15/59

  • Transformada de Fourier de Sinais Contnuos

    Densidade espectral de energia IV

    -10 -5 0 5 100

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    Figura : Densidade espectral de energia de x(t) = exp(t)u(t).

    Transformada de Fourier de Sinais Contnuos EA614 - Analise de Sinais 16/59

  • Transformada de Fourier de Sinais Contnuos

    O Teorema de Parseval e verificado, pois

    Energia =1

    2

    +

    (1

    a2+2

    )

    d =1

    2aarctan

    (

    a

    )

    +

    =

    1

    2a

    (

    2(

    2

    ))

    =1

    2a

    Uma avaliacao da distribuicao da area sob a curva da Figura 3 pode ser obtida apartir do ndice

    Ik =area de k a +k

    area total I5 = 0.87, I10 = 0.94, I40 = 0.98

    Transformada de Fourier de Sinais Contnuos EA614 - Analise de Sinais 17/59

  • Transformada de Fourier de Sinais Contnuos

    Reversao no tempo

    Propriedade 5 (Reversao no tempo)

    F{x(t)}= X ()

    pois

    F{x(t)}= +

    x(t)exp(jt)dt =

    +x( )exp(j )d

    =

    +

    x( )exp

    ( j()

    )d =

    +

    x(t)exp

    ( j()t

    )dt =X ()

    Transformada de Fourier de Sinais Contnuos EA614 - Analise de Sinais 18/59

  • Transformada de Fourier de Sinais Contnuos

    Exemplo I

    Exemplo 1.4

    F{exp(at)u(t)}=1

    j +a; Re(a)> 0 F{exp(at)u(t)}=

    1

    j +a; Re(a)> 0

    A Figura 4 mostra o sinal x(t) = exp(t)u(t).

    Transformada de Fourier de Sinais Contnuos EA614 - Analise de Sinais 19/59

  • Transformada de Fourier de Sinais Contnuos

    Exemplo II

    -4 -2 0 2 4-0.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    t

    Figura : Sinal x(t) = exp(t)u(t).

    Transformada de Fourier de Sinais Contnuos EA614 - Analise de Sinais 20/59

  • Transformada de Fourier de Sinais Contnuos

    Exemplo III

    A densidade espectral de energia e dada por

    1

    2| X () |2 =

    1

    2

    (1

    a2+2

    )

    que e tambem a densidade espectral de x(t) = exp(t)u(t), mostrada na Figura 3.

    Transformada de Fourier de Sinais Contnuos EA614 - Analise de Sinais 21/59

  • Transformada de Fourier de Sinais Contnuos

    Funcao real e par

    Propriedade 6 (Funcao real e par)

    A transformada de Fourier de um sinal real e par x(t) e um sinal X () real e par, pois

    +

    x(t)exp(jt)dt =

    +

    x(t)cos(t)dt j

    +

    x(t)sen(t)dt

    = 0

    Exemplo 1.5

    Considere o sinal x(t) dado por

    x(t) = exp(a | t |) = exp(at)u(t)+exp(at)u(t) , a> 0

    mostrado na figura para a= 1, cuja transformada de Fourier e

    X () =1

    j +a+

    1

    j +a=

    2a

    2+a2

    Transformada de Fourier de Sinais Contnuos EA614 - Analise de Sinais 22/59

  • Transformada de Fourier de Sinais Contnuos

    -4 -2 0 2 4-0.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    t

    Figura : Sinal x(t) = exp(|t|).

    Note que X () e uma funcao real e par, pois x(t) e real e par.

    Transformada de Fourier de Sinais Contnuos EA614 - Analise de Sinais 23/59

  • Transformada de Fourier de Sinais Contnuos

    A densidade espectral de energia, mostrada na figura para a= 1, e

    1

    2| X ()|2 =

    1

    2| 2a/(a2+2)|2

    -10 -5 0 5 10-1

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    Figura : Espectro de energia do sinal x(t) = exp(|t|).

    Transformada de Fourier de Sinais Contnuos EA614 - Analise de Sinais 24/59

  • Transformada de Fourier de Sinais Contnuos

    Observe que a densidade espectral cai com 4, enquanto que nos exemplos 1.2 e 1.4o decaimento ocorre com 2. Esse comportamento em frequencia esta relacionado apresenca ou nao de descontinuidades nos sinais.O espalhamento em frequencia do espectro pode ser avaliado pelo ndice Ik ,resultando neste caso em

    I5 = 0.99 ; I10 = 1.00

    confirmando que a energia esta mais concentrada do que nos caso dos sinais comdescontinuidade.

    A integral de x(t) e 2/a, o que e confirmado pelo valor de

    X (0) = +

    x(t)dt =

    2

    a

    e a integral de X () e igual a 2, o que e confirmado por

    x(0) =1

    2

    +

    X ()d = 1

    Transformada de Fourier de Sinais Contnuos EA614 - Analise de Sinais 25/59

  • Transformada de Fourier de Sinais Contnuos

    Simetria

    Propriedade 7 (Simetria)

    F{x(t)}= X () F{X (t)}= 2x()

    pois

    x(t) =1

    2

    +

    X ()exp(jt)d 2x(t) =

    +

    X ( )exp(j t)d

    2x() = +

    X ( )exp(j )d

    2x() = +

    X (t)exp(jt)dt = F{X (t)}

    Transformada de Fourier de Sinais Contnuos EA614 - Analise de Sinais 26/59

  • Transformada de Fourier de Sinais Contnuos

    Ex