Princípios de Comunicação ====================== Parte 1 - Introdução. - Série e Transformada de Fourier – teoria. - Série de Fourier – exercícios. - Transformada de Fourier – exercícios. - Transformada Discreta de Fourier Parte 2 - Sistemas LTI e Convolução. - Sinais aleatórios. - Tz. Bibliografia ========= Hwei Hsu – Signal and Systems – Mc Graw Hill – 1995 Lathi – Modern Digital and Analog Communications – Oxford University Press – 1998 Girod, Rabenstein, Stenger – Sinais e Sistemas – LTC - 2003

MAGarms 2019 1

Sistemas Lineares e Invariantes Temporais

MAGarms 2019 2

LTI (linear time invariant system)

MAGarms 2019 3

LTI - exercício ∫∞

∞−−= τττ dtyxtytx )()()()( *

MAGarms 2019 4

LTI - exercício

MAGarms 2019 5

|t| ≥ a+b

LTI - exercício ∫∞

∞−−= τττ dtyxtytx )()()()( *

MAGarms 2019 6

LTI - exercício ∫∞

∞−−= τττ dtyxtytx )()()()( *

MAGarms 2019 7

Sinais Aleatórios

MAGarms 2019 8

Ideias Básicas

MAGarms 2019 9

Espectro de Potencia

MAGarms 2019 10

Função de Autocorrelação

MAGarms 2019 11

Filtro de Wiener

estimador linear

MAGarms 2019 12

Filtro de Wiener

MAGarms 2019 13

Filtro de Wiener

MAGarms 2019 14

Filtro de Wiener

MAGarms 2019 15

Filtro de Wiener

MAGarms 2019 16

Filtro de Wiener

MAGarms 2019 17

Smooth

Restauração de Imagens utilizando Filtro de Wiener em coordenadas canônicas com posto extremamente reduzido – Rogerio Caetano e Marcelo L. R. de Campos – PEE-COPPE/DEL-EE Universidade Federal RJ.

MAGarms 2019 18

Transformada z

MAGarms 2019 19

Discretização do tempo

FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA NO DOMÍNIO s

( )∑

∑

=

== m

j

j

n

i

i

sjb

siasF

0

0

)(

)(

Simulações -> discretizar tempo: variável T (intervalo de tempo entre amostragens) = resolução (passo de tempo em que são entrada, saída, variáveis internas etc.).

A Transformada de Laplace será “modificada” levando a Transformada z.

(1)

MAGarms 2019 20

Propriedades usadas da T Laplace

{ }L f t t F s e t s( ) ( )− = −0

0

{ }L tδ ( ) = 1

{ }L af t bg t aF s bG s( ) ( ) ( ) ( )+ = +

Deslocamento no tempo:

Função delta de Dirac:

Linearidade:

(i)

(ii)

(iii)

MAGarms 2019 21

Função discretizada (em t) Sinal x(t) contínuo -> função discretizada (frequência de amostragem fa = 1/T):

Definição de xd(t) (função discretizada):

x t x nT t nTdn

( ) ( ) ( )= −=

∞

∑ δ0

(2)

MAGarms 2019 22

Função discretizada (em s)

{ }

−== ∑∞

=0

)2( )()()()(n

dd nTtnTxLtxLsX δ

( ) ( ){ } ( )= − ==

∞

=

∞−∑ ∑( ) ( ),( )iii

n

ii i

n

nTsx nT L t nT x nT e0 0

δ

X s x nT ednTs

n( ) ( )= −

=

∞

∑0

Logo:

Resulta:

(3)

MAGarms 2019 23

X(z) = Tz de sequência discreta de xn

e )()( nxxnTx n =→ z eTs= (4)

Fazendo-se:

Resulta:

{ } ⇒= )(zXxZ n X sd ( ) ( ),( )→ 3 4 X z x znn( ) = −∑

Tsezd zXsX=

= )()(

(5)

e

MAGarms 2019 24

Propriedades usadas da Tz

{ }Z af n bg n aF z bG z( ) ( ) ( ) ( )+ = +

{ } ( )Z x n n z X zn( )− = −0

0

Deslocamento (no tempo):

Linearidade:

(a)

(b)

MAGarms 2019 25

Tz de y = dx/dt

∆≈⇒

−−≈≈−

TxZzY

Tkxkxkyky )( )1()()()1(

[ ]y k y kT

x k x k( ) ( ) ( ) ( )+ − ≈ − −12

1

Então:

ou (6)

MAGarms 2019 26

Obtenção de G(z) a partir de G(s)

{ } [ ]

[ ])()(2)()(

)1()(2)1()(

11)(),( zXzzXT

zYzzY

kxkxT

ZkykyZ

ba −− −=+⇒

−−=−+

Aplicando Tz na expressão (6):

1

1

112

)()()()( −

−

+−

=

∆

==∴zz

TzXTxZ

zXzYzG

Logo (7)

Mas G s

Y sX s

Ldxdt

X ss( )

( )( ) ( )

= =

= (8)

MAGarms 2019 27

Transformada z

(7) e (8) sugerem trocar s em G(s) pela expressão (9):

sT

zz

→−+

−

−

2 11

1

1 (9)

)9(

)()()( →=

sXsYsG

Resulta assim G(z):

∑ ∑= =

−− =+m

j

n

k

kj zkczXzjdzYdzY1 0

)()()()()0()(

Eliminando-se os denominadores

∑

∑

=

−

=

−

== m

j

j

n

k

k

zjd

zkc

zXzYzG

0

0

)(

)(

)()()(

MAGarms 2019 28

Transformada z

=

+ ∑∑=

−−

=

−−n

k

km

j

j zkczXZzjdzYdzYZ0

1

1

1 )()()()()0()(

{ } { } { }∑∑=

−−

=

−−− =+⇒n

k

km

j

jelinearidad zzXZkczzYZjdzYZd0

1

1

11 )()()()()()0(

∑ ∑= =

−=−+⇒m

j

n

ok

todeslocamen knxkcjnyjdnyd1

)()()()()()0(

Antitransformando:

Dividindo-se por d(0) e fazendo-se d(j)/d(0)= β(j) e c(k)/d(0)= α(k), finalmente obtém-se y(n):

∑ ∑= =

−+−−=m

j

n

kknxkjnyjny

1 0)()()()()( αβ

Note que y(n) para n∈ [0,∞) é a antitranformada de Y(z), isto é:

{ })()( 1 zYZny −=

(10)

MAGarms 2019 29

EDF de G(z) ≡ G(s).

Equação de Diferenças Finitas (EDF) de G(z) ≡ G(s):

∑

× × ×

× × ×

α0 α1 αn

-β1 -β2 -βm

z-1 z-1 z-1

z-1 z-1 z-1≡ atraso T

yn

xn xn-1

yn-1 yn-2

∑ ∑= =

−+−−=m

j

n

kknxkjnyjny

1 0)()()()()( αβ

MAGarms 2019 30

Exemplo

1/sC

R

0

1

X(s) Y(s)

Simular o circuito da Figura 5 com T = 0,5 e τ = RC = 1:

RCssRCsCR

sCsXsYsG =

+=

+=

+== τ

τ;

11

11

1

1

)()()(

1) Obter G(s)

2) Aplicar (9) para obter G(z)

( )( ) ( ) ( ) ( ) 1

1

11

1

1

1 21211

1121

1112

1)(−

−

−−

−

−

− −++

+=

++−

+=

++−

=zTT

zzzT

z

zz

T

zGτττ

τ

ou 1

10

110

)()()(

−

−

++

==zbbzaa

zXzYzG

TbTbaa ττ 21 21 ;1 0010 −=+===sendo

(11)

(12) MAGarms 2019 31

Exemplo

3) Aplicar (11) e (12) para obter yn:

110110{}1

101

10

1

)()()()( −−−− +=+⇒+=+

−

nnnnZ ybybxaxazYzbzYbzXzazXa

( ) 1110

11

0

1

0

0

21

21211

−−−−+

−++

+=−+= nnnnnnn y

T

TxxT

ybbx

bax

bay τ

τ

τ

Finalmente usando T = 0,5 e τ = RC = 1 na expressão (13) resulta:

( ) 11 6.02.0 −− ++= nnnn yxxy

(13)

(14)

MAGarms 2019 32

Exemplo

t xn xn-1 yn-1 yn= 0.2(xn+ xn-1)+0,6 yn-1

-0,5 0 0 0 0,2×0+0,6×0= 0

0,0 1 0 0 0,2×1+0,6×0= 0

0,5 1 1 0,2 0,2×2+0,6×0,20= 0,52

1,0 1 1 0,52 0,2×2+0,6×0,52= 0,71

1,5 1 1 0,71 0,2×2+0,6×0,71= 0,83

2,0 1 1 0,83 0,2×2+0,6×0,83= 0,90

2,5 1 1 0,90 0,2×2+0,6×0,90= 0,94

3,0 1 1 0,94 ---

A expressão (14) é utilizada para o calculo numérico do sinal de saída:

MAGarms 2019 33

Exemplo

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

-1 0 1 2 3 4

t=nT

ynyx

Sinal de saída obtido:

MAGarms 2019 34

Conclusões

Embora tenha se realizado este cálculo com o passo da variável tempo relativamente grande (T= 0,5) nota-se que o resultado da simulação yn acompanha razoavelmente o sinal real y(t).

Assim, com T assumindo um valor pequeno, por exemplo, 10-2, espera-se que o resultado y(t) da simulação torne-se bem próximo do seu valor real (veja planilha Excel correspondente).

MAGarms 2019 35