Apostila Transformada de Fourier

  • View
    261

  • Download
    2

Embed Size (px)

Text of Apostila Transformada de Fourier

Transformada de FourierReginaldo J. SantosDepartamento de Matem atica-ICExUniversidade Federal de Minas Geraishttp://www.mat.ufmg.br/~regi27 de novembro de 20102Sum ario1 Deni c ao e Propriedades 3Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Invers ao 16Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Convolu c ao 20Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 Aplica c oes ` as Equa c oes Diferenciais Parciais 244.1 Equac ao do Calor em uma barra innita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2 Equac ao da Onda em uma Dimens ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.3 Problema de Dirichlet no Semi-plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 Tabela de Transformadas de Fourier 306 Rela c ao com a S erie de Fourier e a Transformada de Fourier Discreta 317 Respostas dos Exerccios 3531 Deni c ao e Propriedadesf (x)f ()FFigura 1: Transformada de Fourier como uma caixaA transformada de Fourier de uma func ao f : R R (ou C) e denida porF( f )() = f () = 12

eixf (x)dx.para todo R tal que a integral acima converge. Representaremos a func ao ori-ginal por uma letra min uscula e a sua vari avel por x. Enquanto a transformada deFourier ser a representada pela letra correspondente com um chap eu e a sua vari avelpor . Por exemplo, as transformadas de Fourier das func oes f (x), g(x) e h(x) ser aorepresentadas por f (), g() e h(), respectivamente.Se f : R R, ent aoF( f )() = f () = 12

cos(x) f (x)dx i

sen(x) f (x)dx

,e f () e real se, e somente se, f e par. Neste caso tamb em f e par.V arios autores denem a transformada de Fourier de maneiras diferentes, mas ques ao casos particulares da f ormulaf () =

|b|(2)1a

f (x)eibxdx,4para diferentes valores das constantes a e b. Estamos usando aqui (a, b) = (0, 1).Algumas denic oes tamb em bastante usadas s ao com (a, b) = (0, 2) e (a, b) =(1, 1).Seja I um subconjunto dos n umeros reais. A func ao I : R Rchamada de fun c aocaracterstica de I e denida porI(x) =

1, se x I,0, caso contr ario.Exemplo 1. Seja a um n umero real positivo. Seja [0,a] : R R dada por[0,a](x) =

1, se 0 < x < a,0, caso contr ario.F([0,a])() = 12

eixf (x)dx = 12

a0eixf (x)dx= 12eixi

a0= 121 eiai , se = 0,F([0,a])(0) = 12

f (x)dx = a2.Exemplo 2. Seja a um n umero real positivo. Seja f : R R dada porf (x) = eaxu0(x) =

1, se x < 0eax, se x 0F( f )() = 12

eixf (x)dx = 12

0eixeaxdx= 12e(a+i)x(a + i)

0= 121a + i.Teorema 1 (Dilatac ao). Seja a uma constante n ao nula. Se a transformada de Fourier dafun c ao f : R R e f (), ent ao a transformada de Fourier da fun c aog(x) = f (ax) e g() = 1|a|f (a ), para R.Em particular F( f (x)) = f ().5Demonstrac ao. Se a > 0, ent ao g() = 12

eixf (ax)dx= 1a2

eix

a f (x

)dx

= 1af (a ).Se a < 0, ent ao g() = 12

eixf (ax)dx= 1a2

eix

a f (x

)dx

= 1af (a ).f (x)f (ax)f ()1|a|f (a )FFigura 2: Teorema da Dilatac aoExemplo 3. Seja a um n umero real positivo. Seja f : R R dada porf (x) = eaxu0(x) =

eaxse x < 01 se x 0Como f (x) = g(x), em que g(x) = eaxu0(x), ent ao pelo Exemplo 2 temos queF( f )() = F(g)() = 121a i6Exemplo 4. Seja a um n umero real positivo. Seja f : R R dada porf (x) = [a,0](x) =

1, se a < x < 00, caso contr arioComo [a,0](x) = [0,a](x), ent ao pelo Exemplo 1 temos quef () = F([a,0])() = F([0,a])() =

12eia1i , se = 0,a2, se = 0.Observe quelim0f () = f (0),ou seja, f () e contnua. Isto vale em geral.Teorema 2 (Continuidade). Se f : R R e tal que

| f (x)|dx < , ent ao f () econtnua.Teorema 3 (Linearidade). Se a transformada de Fourier de f (x) e f (), e a transformada deFourier de g(x) e g(), ent ao para quaisquer constantes e F(f + g)() = F( f )() + F(g)() = f () + g(), para R.Demonstrac ao.F(f + g)() = 12

eix(f (x) + g(x))dx= 2

eixf (x)dx + 2

eixg(x)dx= F( f )() + F(g)()7f (x)g(x)f (x) + g(x)f () g() f () + g()FFigura 3: Transformada de Fourier de uma combinac ao linearExemplo 5. Seja a um n umero real positivo. Seja [a,a] : R R dada por[a,a](x) =

1, se a < x < a0, caso contr arioComo [a,a](x) = [a,0](x) +[0,a](x), ent ao pelos Exemplos 1 e 4 temos queF([a,a])() = 12

eia1i + 1 eiai

= 22sen(a) , se = 0F([a,a])(0) = 2a2.Exemplo 6. Seja a um n umero real positivo. Seja f : R R dada porf (x) = ea|x|.Como f (x) = eaxu0(x) + eaxu0(x), ent ao pelos Exemplos 2 e 3 temos queF( f )() = 12

1a i + 1a + i

= 122a2+ a2.8Teorema 4 (Derivadas da Transformada de Fourier). Seja f () a transformada de Fourierde f (x).(a) Se

| f (x)|dx < e

|x f (x)|dx < , ent aoF(x f (x))() = i d fd().(b) Se tamb em

|x2f (x)|dx < , ent aoF(x2f (x))() = d2 fd2().Demonstrac ao. Pode ser demonstrado que sob as hip oteses acima a derivada pode sercalculada sob o sinal de integrac ao.(a)d fd() = 12

dd

eixf (x)

dx= i2

eixx f (x)dx= iF(x f (x))().(b)d2 fd2() = 12

d2d2

eixf (x)

dx= 12

eixx2f (x)dx= F(x2f (x))().9f (x)x f (x)x2f (x)f ()i f

()f

()FFigura 4: Derivadas da Transformada de FourierExemplo 7. Seja a um n umero real positivo. Seja f : R R dada porf (x) =

|x| se a < x < a0 caso contr arioObservamos quef (x) = |x|[a,a](x) = x[a,0](x) + x[0,a](x)= x[0,a](x) + x[0,a](x).Como para = 0 temos queF(x[0,a](x))() = i dd [0,a]() = i2dd

1 eiai

= i2a ei a i(1 ei a )(i)2 = 12i a ei a + ei a 12eF(x[0,a](x))() = F(x[0,a](x))() = 12i a ei a + ei a 12 ,10ent ao temos quef () = F(x[0,a](x))() +F(x[0,a](x))()= 12

i a ei a + ei a 12 + i a ei a + ei a 12

= 122 a sen (a ) + 2 cos (a ) 22 , para = 0f (0) = a22.Teorema 5 (Transformada de Fourier das Derivadas). Seja f : R R contnua comtransformada de Fourier f ().(a) Se f

(x) e seccionalmente contnua e limx| f (x)| = 0, ent aoF( f

)() = i f ().(b) Se f

(x) e contnua, f

(x) e seccionalmente contnua e limx| f

(x)| = 0, ent aoF( f

)() = 2 f ().Demonstrac ao. (a) Vamos provar para o caso em que f

(x) e contnua.F( f

)() = 12

eixf

(x)dx= 12eixf (x)

(i) 12

eixf (x)dx= i f (),pois limxeixf (x) = 0.(b) Vamos provar para o caso em que f

(x) e contnua. Usando o item anterior:F( f

)() = iF( f

)() = (i)2 f () = 2 f ().11f (x)f

(x)f

(x)f ()i f ()2 f ()FFigura 5: Transformada de Fourier das DerivadasCorol ario 6 (Transformada de Fourier da Integral). Seja f : R R contnua com trans-formada de Fourier f (). Se g(x) =

x0 f (t)dt e tal que limx|g(x)| = 0, ent aoF(g)() =f ()i , para = 0.Demonstrac ao. Pelo Teorema 5 temos quef () = F(g

)() = i g().De onde segue o resultado.Exemplo 8. Seja f (x) = eax2. Derivando obtemosf

(x) = 2ax f (x).Aplicando-se a transformada de Fourier a ambos os membros obtemosi f () = 2ai f

().Resolvendo esta equac ao diferencial obtemosf () = f (0)e24a .12Mas,f (0) = 12

eax2dx = 12

ea(x2+y2)dxdy

1/2= 12

20

0ear2rdrd

1/2= 12a2

20ear2

0d

1/2== 12a.LogoF(eax2)() = 12ae24a .Em particularF(ex22 )() = e22 .Teorema 7 (Translac ao). Seja a uma constante. Se a transformada de Fourier da fun c aof : R R e f (), ent ao(a) F( f (x a))() = eia f (), para R. e(b) F(eiaxf (x))() = f ( a).Demonstrac ao. (a)F( f (x a))() = 12

eixf (x a)dx= 12

ei(x

+a)f (x

)dx

= eia f ().(b)F(eiaxf (x))() = 12

eixeiaxf (x)dx= 12

ei(a)xf (x)dx = f ( a).13f (x)f (x a)f ()eia f ()FFigura 6: Teorema da Translac ao (a)f (x)eiaxf (x)f ()f ( a)FFigura 7: Teorema da Translac ao (b)14Exemplo 9. Seja f : R R dada porf (x) =

cos ax se b < x < b0 caso contr arioComof (x) = (cos ax)[b,b](x) =

eiax+ eiax2

[b,b](x),e pela linearidade da transformada de Fourier e pelo Teorema da Dilatac ao (Teorema1 na p agina 4), para = 0 temos queF([b,b])() = F

[0,b](x) +[0,b](x)

()= 12

eib1i + 1 eibi

= 22sen(b) , para = 0,F([b,b])(0) = 2b2ent ao, pelo Teorema da Translac ao (Teorema 7 (b) na p agina 12) e pela linearidade datransformada de Fourier, temos quef () = 12

F([b,b])( a) +F([b,b])( + a)

= 12

sen b( a) a + sen b( + a) + a

, para = af (a) = f (a) = 12

2b + sen2ab2a

.15Exerccios (respostas na p agina 35)1.1. Determine a transformada de Fourier das seguintes func oes f : R R(a) f (x) = (1 |