Series Fourier

Clculo Diferencial e Integral 4Rudimar Luiz Ns DAMAT - UTFPR

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1. SRIES

Sequncias infinitasUma sequncia infinita uma funo discreta cujo domnio o conjunto dos nmeros inteiros positivos.

_ n a n Z* , a ,

a n ! f n

n2 1 4 9 16 25 n 1 _ n a! 1 a _ n a! , , , , ,. a 3n 1 2 5 8 11 14

n 1 2 3 4 5 _ n a! a a _ n a! , , , , ,. 3 5 7 9 11 2n 1n ! lim n pg 2 n 1 n pg lim 1 1 2 n ! 1 2

n n 1 , , ,- 2 n 1 2n 3

{an} convergente

Sries infinitas

n !1

g

a n ! a1 a 2 a 3 . a n .

S1 ! a 1 S2 ! a1 a 2 S3 ! a 1 a 2 a 3 / Sn ! a1 a 2 a 3 . a n

n pg

lim S n ! Sn pg

lim a n ! 0

n pg

lim a n { 0

2n !1

g

1n 1

1 1 1 1 1 ! 1 2 3 4 . n 1 . ! 2 2 2 2 2

1 1 1 2

!2

1 1 1 1 1 1 n n 1 ! 1.2 2.3 3.4 4.5 . n n 1 . n !1an ! 1 1 1 ! n n 1 n n 1

g

1 1 1 1 1 1 1 S n ! a 1 a 2 a 3 . a n ! 1 . 2 2 3 3 4 n n 1 1 n Sn ! 1 ! n 1 n 1 n lim S n ! lim !1 n pg n pg n 1

Condies suficientes convergncia

Condies necessrias convergncia

Condies suficientes e necessrias convergncia

A srie geomtrica

a ar ar ar . ar2 3

n 1

.

Converge

r

1 1 r 1

a lim Sn ! n pg 1 r

Diverge

r u 1 r e -1 ou r u 1

Exemplos

2n !1

g

1n 1

1 1 1 1 1 ! 1 2 3 4 . n 1 . ! 2 2 2 2 2

1 1 1 2

!2

5 5 5 5 5 5 10 ! 10 ! 5 0, 5 ! 0,5555- ! - ! 9 9 10 100 1000 10000 1 1 10 10

Condio necessria convergncian pg

lim a n ! 0

Teste da divergncian pg

lim a n

no existe

n pg

lim a n { 0

O teste da integralTeoremaSeja f uma funo contnua, decrescente e de valores positivos para todo x1. A srie infinita

n !1

g

f n ! f f 2 . f n . 1

converge ou diverge se a integral imprpria abaixo for convergente ou divergente, respectivamente.

g

f x dx

1

A srie harmnica

divergentey x

n !1

g

1 1 1 1 1 ! 1 . n 2 3 4 5

1 lim ! 0 n pg n

g

1

1 dx ! lim b pg x

b

1

1 b dx ! lim? x A ! lim?ln b 0A! g ln 1 b pg bpg x

Convergncia absoluta e condicional

an

(1) (2)

a n ! a1 a 2 . a n .

TeoremaSe (2) converge, ento (1) tambm converge.

Exemplo

1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 . 2 3 4 5 6 7 81 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 . ! 2 3 4 5 6 7 8

n !1

g

1 T2 ! 2 6 n

n !1

g

2n n!

Srie de nmeros reais

n !1 g

g

2n 4 8 16 32 ! 2 n! 2! 3! 4! 5!

n !1g

sen nx n!

Srie de funes

n !1

sen nx sen 2 x sen 3x sen 4 x ! sen x n! 2! 3! 4!

Sries de funes

u x ! u x u x u x n 1 2 3 n !1

g

Convergncia uniforme

n !1

g

u n x

?a , bA

S n x ! u 1 x u 2 x u 3 x . u n x

lim S n x ! Sx n pg

Convergncia uniforme

I "0

x ?a , bA

N"0

S n x Sx I

n"Ng

NI, x

b a

n !1 g

g

u n x dx ! g

n !1

u n x dx a b

d dx

n !1

u n x !

n !1

d u n x dx

Teste M de Weierstrass (condies suficientes) Se existe uma sequncia de constantes Mn, n=1,2,3,..., tal que para todo x em um intervalo (i) (ii)

u n x e M n

n !1

g

M n convergeg

ento

n !1

u n x converge uniforme e absolutamente no

intervalo.

Teste M de Weierstrass

n !1

g

cosnx cos2 x cos3x cos4 x ! cosx . 2 2 2 2 n 2 3 4

cosnx 1 e 2 2 n n

1 T2 n2 ! 6 n !1g

2. SRIES DE FOURIER Funes peridicas Sries trigonomtricas A srie de Fourier Funes seccionalmente contnuas Srie de Fourier de senos e cossenos O fenmeno de Gibbs A identidade de Parseval Convergncia de sries Forma exponencial Aplicaes

Por que aproximar uma funo por uma srie?Para facilitar o tratamento matemtico do modelo.a0 f x ! 2

n !1

g

nT x nT x a n cos L b n sen L

Funes peridicasf : pf x P ! f x x, P " 0

y

x

Sries trigonomtricasa0 a 1 cosx b1sen x a 2 cos2 x b 2 sen 2 x a 3 cos3x b 3 sen 3x . 2

a0 2

?n !1

g

a n cosnx b n sen nx A

a0 2

n !1

g

nT x nT x a n cos L b n sen L

a0 2

n !1

g

nT A n sen Jn L

An ! a n bn2

2

an !

n

sen J n b n !

n

cosJ n

A srie de Fourier

u! nT x L du ! nT dx L

nT x cos dx ! 0, n { 0 L Ldx ! L du nTL

L

L nTx L nTx cos sen dx ! sen L ! nT ? nT sen nT A! 0 nT L L L

L

n!0

nTx cos dx ! L L

L

L

dx ! ?x A L ! L L ! 2LL L

u! nT x du !

nT x sen dx ! 0 dx dx ! du

nT

nT

nT x nT x sen dx ! ! ?cos nT cos nT A! 0 cos nT nT

n !0

nT x sen dx !

0dx ! 0

L

0, se m { n mT x nT x cos cos dx ! L, L L se m ! n { 0 L1 ?cosu v cosu v A 2

L

Lembrando que : cosu cosv !

1 mT x nT x cos cos dx ! 2 L L L

L

L

T T m n x m - n x cos cos dx ! 0 se m { n L L L L

m!n {0

1 nT x dx ! cos 2 2 L LL

L

2 nT x 1 cos 1 dx ! 2 L L

dx !L

1 L ?x A L ! L 2

m !n !0

1 mT x nT x cos cos dx ! 2 L L L

L

2dx ! ?x A L ! 2LL L

L

0, se m { n mT x nT x sen sen dx ! L, L L se m ! n { 0 L1 ?cosu v cosu v A 2 m - n T x m n T x cos cos dx ! 0 se m { n L L 1 2 nT x 1 cos L dx ! 2 L L

L

Lembrando que : sen u sen v !1 mT x nT x sen dx ! sen 2 L L L

L

L

m!n{0

1 2 nT x sen dx ! L 2 LL

L

1 L dx ! ?x A L ! L 2 L

L

m !n !0

1 mT x nT x sen sen dx ! 2 L L L

L

0dx ! 0L

L

mT x nT x cos sen dx ! 0 L L L

L

1 Lembrando que : sen u cosv ! ? u v sen u v A sen 2 1 mT x nT x sen cos dx ! 2 L L L

L

L

n m x T T n - m x sen sen dx !0 L L

Produto interno ou produto escalar

f | g !f | g !

a

b

f x g x dx

ab

f x g x dx ! 0

nT x f x ! sen L

nT x g x ! cos L

Coeficientes das srie de Fouriera0 2

n !1

g

nT x nT x a n cos L b n sen L L

1 a0 ! L

f x dx

L

1 an ! L1 bn ! L

nT x f x cos dx L LL

L

nT x f x sen dx L L

f x ! A

n !1

g

nT x nT x b n sen a n cos

mT x f x cos dx ! A L

mT x cos dx L I

n !1

g

mT x n T x mT x n T x a n cos cos sen dx cos dx b n L L L L

II

Considerando m0 em I e n=m em II:

1 mT x f x cos dx ! a m L a m ! L L L

L

mT x f x cos dx L L

L

1 an ! L

nT x f x cos dx L L

L

a !

L

L

f x dx

L

f x !L

n !1

g

nT x nT x a n cos b n sen L L

mT f x sen dx ! A L L

g n !1

mT sen dx L LL mT sen L L

L

nT mT sen cos dx L L L I

L

nT sen L

dx

Considerando n=m em I:

mT f x sen dx ! b m L L L

L

bm !

1 L

mT x f x sen dx L L

L

1 bn ! L

nT x f x sen dx L L

L

f x ! A

n !1

g

nT x nT x a n cos L b n sen L

L

f x dx ! A

L

L

dx L

n !1

g

a n

nT x cos dx b n L L

L

nT x sen dx L L L

L

f x dx ! 2AL

L

1 A! 2L

L

f x dx

L

a0 a 0 L ! 2AL A ! 2

ObservaesOs resultados encontrados continuam vlidos quando os limites de integrao L e L so substitudos por c e c + 2L, respectivamente.

aexeb

n !1

g

u n x

n !1

g

v n x g

h x ?u n x v n x Ah x v n x A

? n !1 gn !1

g

?u n x v n x Ah x u n x A

? n !1g n !1

Funes seccionalmente contnuas

Convergncia f(x) definida em (-L,L), exceto em um nmero finito de pontos; f(x) 2L-peridica fora de (-L,L); f(x) e f(x) so seccionalmente contnuas em (-L,L). A srie de Fourier converge para f(x) se x um ponto de continuidade; A srie de Fourier converge para a mdia dos limites laterais se x um ponto de descontinuidade.

y

x

Srie de Fourier da onda quadrada com n=5.

Exerccios

0 , - 5 x 0 f (x) ! , f x 10 ! f x 3, 0 x 5 Construa o grfico de f(x). f(x) satisfaz s condies de Dirichlet? Determine a srie de Fourier de f(x). Redefina f(x) para que a srie de Fourier venha a convergir para f(x) em -5x5.

f