Lab. de Hidrorrefino, Engenharia de Processos - Métodos … Coeficientes de Fourier 6. J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 18 Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier

1J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo

Métodos Matemáticos Aplicados a Processos Químicos e Bioquímicos

Capítulo IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier

DISCIPLINA

José Luiz de Medeiros e Ofélia Q.F. AraújoEngenharia Química – UFRJ

[email protected], [email protected]. 21-2562-7535


Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier1. Definições

{ }

{ }

{ }FourierdeSérie:.F.S

)x(funçõesdeortogonalfamíliaparaSímbolo:

IntegrávelQuadradodefunçãoparaSigla:.I.Q

)x(funçõesdefamíliaàassociado)(Intervalo:]b,a[

)0)x(p(funçõesdefamíliadapesoFunção:)x(p

]b,a[emxdefunçõesde,...)2,1,0n(initainfFamília:)x(

teindependenVariável:x

n

n

n

φ

φ

φ

⊥

ℜ⊂

≥

=



)x(sen)x(F,x)x(F.Ex)x(F)x(FÍmparé)x(F

)xcos()x(F,x)x(F.Ex)x(F)x(FParé)x(F

:ÍmparFunçãoeParFunção

3

2

==−=−⇒

===−⇒

0)0()0()0()0()0(

:0);()(:

0)0()(

=⇒−=⇒−=−

=−=−

=⇒

FFFFF

xComxFxFãoDemonstraç

FContínuaeÍmparéxF

0dy).y(Fdx).x(Fdy).y(Fdx).x(F

dx).x(Fdx).x(Fdx).x(Fdx).x(Fdx).x(F:ãoDemonstraç

0dx).x(FÍmparé)x(F

a

0

a

0

a

0

a

0

a

0

a

0

a

0

0

a

a

a

a

a

=−=−+

=−=+=

=⇒

∫∫∫∫

∫∫∫∫∫

∫

−

−−

−



1xdxdxx

1x

:x)x(psob]1,0[em.I.Qéx/1)x(g:2Exemplo

x

1dx

x

1

:1)x(psob]1,0[em.I.QéNãox/1)x(g:1Exemplo

dx)x(F).x(p.e.i;existedx)x(F).x(p

:quando)x(psob]b,a[em.I.Qé)x(F

10

1

0

1

02

2

2

1

0

1

02

b

a

2b

a

2

===

==

+∞=−=

==

∞<

∫∫

∫

∫∫

Função Q.I.



{ }

∫

∫

=>=

≠=

b

an

2n

b

amn

n

)mn(0Kdx)x().x(p

)mn(0dx)x().x().x(p

:)x(psob]b,a[em.I.QFunçõesdeOrtogonalFamíliaé)x(

φ

φφ

φ

Família Ortogonal de Funções

{ϕϕϕϕn(x)} é ⊥⊥⊥⊥

1a

1b



{ } 1)x(psob],[em.I.QFunçõesdeFamíliaé,...)2,1n()nx(sen =−⊥= ππ

)mn(0Kdx)nx(sen n2 =>=∫

−

π

π

∫−

≠=π

π

)mn(0dx)mx(sen).nx(sen

Família Ortogonal de Funções Exemplo




)mn(0m/n1

0dx)mx(sen).nx(sen

dxn/m

)mx(sen)nx(sen

n/m

)mx(sen)nxcos(dx)mx(sen).nx(sen

dxn/m

)mxcos()nxcos(dx)mx(sen).nx(sen

dxn/m

)mxcos()nxcos(

m

)mxcos()nx(sendx)mx(sen).nx(sen

22

222

≠=−

=

+−

=

=

+−−

=

∫

∫∫

∫∫

∫∫

−

−−

−−

−−

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

0

0

∫−

≠=π

π

)mn(0dx)mx(sen).nx(sen





∫

∫∫

−

−−

==

>=−

−−

=−

=

π

π

π

π

π

π

π

ππ

π

π

π

)mn(dx).mx(sen).nx(sen

0n4

)nx2(sen

2

xdx

2

)nx2cos(1dx)nx(sen2

0

∫−

=>=π

π

π )mn(0dx).mx(sen).nx(sen




{ }

∫

∫

==

≠=

b

a

2n

b

amn

n

)mn(1dx)x().x(p

)mn(0dx)x().x().x(p

:)x(psob]b,a[em.I.QFunçõesdeOrtonormalFamíliaé)x(

ψ

ψψ

ψ

Família Ortonormal de Funções

2a

2b



Converter Família Ortogonal de Funções em Família Ortonormal

{ }

∫

∫

=>=

≠=

b

a

nn

b

a

mn

n

mnKdxxxp

mndxxxxp

xpsobbaemIQFunçõesdeOrtogonalFamíliaéx

)(0)().(

)(0)().().(

:)(],[..)(

2φ

φφ

φ

n

nn

K

)x()x(seDefinindo

φψ =−

{ } :quetal)x(Teremos nψ



1K

Kdx)x().x(p

K

1dx)x().x(p

)mn(0dx)x().x().x(pKK

1dx)x().x().x(p

n

nb

a

2n

n

b

a

2n

b

amn

mn

b

amn

===

≠==

∫∫

∫∫

φψ

φφψψ

Converter Família Ortogonal de Funções em Família Ortonormal

{ψψψψn(x)} é Ortonormal




Família Ortonormal de Funções Exemplo

πψ

)nx(sen)x(seDefinindo n =−

==∫−

ππ

π

n2 Kdx)nx(sen

1)(],,[..)(

=−

xpsobemIQFunçõesdeOrtonormalFamíliaénxsen

πππ

1)(1

)().(

)(0)().(1

)()()(

22 ==

≠==

∫∫

∫∫b

a

b

a

n

b

a

b

a

mn

dxnxsendxxxp

mndxmxsennxsendxxxxp

pois

πψ

πψψ


Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier2. Série de Fourier

∞=

≠=

⊥

b

an

2n

b

amn

n

)mn(0Kdx)x().x(p

)mn(0dx)x().x().x(p

:)x(psob]b,a[em.I.QFunçõesdeFamíliaé)x(

φ

φφ

φ



∑∞

=

=1n

nn )x(A)x(E φ

#### 3: Considere a Série Infinita E(x) construída com {ϕϕϕϕn(x)}

#### 4: Considere o Resíduo de E(x) com respeito a F(x)

∑∞

=

−=−=ℑ1n

nn )x(A)x(F)x(E)x(F)x( φ

Note que a Série de E(x) poderá não convergir para certos x ou mesmo para nenhum x . Naturalmente, admitimos o contrário ...

#### 5: Considere a Medida da falta de aderência de E(x) a F(x) :

0dx).x().x(pb

a

2 >ℑ= ∫Ξ

3

4



∫ ∑

−=

∞

=

a

a

2

1nnn dx)x(A)x(F)x(p φΞ

#### 6: Calculamos este Funcional de Falta de Aderência a F(x)

#### 7: Devido à Ortogonalidade da Família :

∑∑ ∫

∫ ∫∑

∞

=

∞

=

∞

=

+

+−=

1n 1m

b

amnmn

a

a

b

an

1nn

2

dx).x()x()x(pAA

dx).x()x(F)x(pA2dx).x(F).x(p

φφ

φΞ

∑ ∫∫ ∫∑∞

=

∞

=

+−=1n

b

a

2n

2n

a

a

b

an

1nn

2 dx).x()x(pAdx).x()x(F)x(pA2dx).x(F).x(p φφΞ

5



}A{}A{}A{

de.Est.PtoMinmédiana)x(Min

nnn

ΞΞ ⇒⇒ℑ

#### 8: Obtemos coeficientes { An } para maximizar aderência da S.F.

}{

,...)2,1(0..

n

k

A

kA

EP ==∂

Ξ∂⇔Ξ



#### 8: Obtemos coeficientes { An } para maximizar aderência da S.F.

∑ ∫∫ ∫∑∞

=

∞

=

+−=1n

b

a

2n

2n

a

a

b

an

1nn

2 dx).x()x(pAdx).x()x(F)x(pA2dx).x(F).x(p φφΞ

,...)2,1k(0Ak

==∂

∂Ξ

⇔=∂

∂0

Ak

Ξ 0dx).x()x(pA2dx).x()x(F)x(p2b

a

2kk

b

ak =+− ∫∫ φφ

,...)2,1k(

dx).x()x(p

dx).x()x(F)x(p

Ab

a

2k

b

ak

k ==

∫

∫

φ

φCoeficientes de Fourier

6



Coeficientes { An } na Expansão de F(x) em {ϕϕϕϕn(x)} obtidos de modo a Minimizar o Funcional :

,...)2,1k(

dx).x()x(p

dx).x()x(F)x(p

Ab

a

2k

b

ak

k ==

∫

∫

φ

φCoeficientes de Fourier

∫ ∑

−=

∞

=

a

a

2

1nnn dx)x(A)x(F)x(p φΞ

∑∞

=

=1n

nn )x(A)x(E φ

Série de Fourier de F(x) em {ϕϕϕϕn(x)} Resumo

6

3

4



0dx)x(F).x(p

:quando),x(psob]b,a[emNulaFunçãoé)x(Fb

a

2 =∫

Função Nula

Note que F(x) = 0 é Função Nula; mas não necessariamente F(x)deve ser identicamente nula para ser Função Nula. A função seguinte é uma Função Nula em [a,b] sob p(x) e não é identicamente nula:

a bx

F(x)

7



0)().()(],[)( 2 =⇒ ∫b

a

dxxFxpxpsobbaemNulaFunçãoxF

Observamos também que qualquer função multiplicada por uma Função Nula é também uma Função Nula. Sendo F(x) Função Nula:

,...)2,1(0).().().( ==∫ ndxxxFxpb

a

nφ

{ } ).(],[)( xpsobbaemFamíliaxn ⊥φ

Isto é, a Função Nula é Ortogonal a Todos os Membros de uma Família Ortogonal de Funções.

8

Função Nula



Naturalmente cabe perguntar se a relação (8) valeria também para funções F(x) que não fossem Funções Nulas. Isto é, se haveria F(x)Ortogonal a toda uma Família Ortogonal de Funções, onde F(x) não é uma Função Nula.

,...)2,1(0).().().( ==∫ ndxxxFxpb

a

nφ

{ } ).(],[)( xpsobbaemFamíliaxn ⊥φ

,...)2,1k(0

dx).x()x(p

dx).x()x(F)x(p

Ab

a

2k

b

ak

k ===⇒

∫

∫

φ

φNeste caso, todos os coeficientes An da S.F. de F(x) valem Zero :



A Família { cos(nx) } (n=0,1,2,...) é Ortogonal em [-ππππ,ππππ ] com p(x)=1

,...)2,1,0(0

).(cos

).cos(.

).()(

).()()(

22

====

∫

∫

∫

∫

−

− k

dxkx

dxkxx

dxxxp

dxxxFxp

Ab

a

k

b

a

k

k π

π

π

π

φ

φ

0.)(cos),(0).cos().cos( 2 >≠= ∫∫−−

dxnxmndxmxnxπ

π

π

π

Mas os coeficientes de Fourier da função F(x) = x nesta Família são todos Nulos, embora esta função Não seja uma Função Nula :

Por que ?



Como visto, Não Basta a Ortogonalidade da Família {ϕϕϕϕn(x)} para garantir que qualquer função Q.I. tenha expansão em S.F. sobre os membros da Família.

O que é Necessário é que a Família, além de Ortogonal, seja Completa de acordo com a seguinte definição :

∫ ==b

a

n

n

ndxxxFxp

NulaFunçãoxF

paraapenasValereSegulaçãoaseCompletaserditaé

xppesosobbaemxOrtogonaisFunçõesdeFamíliaA

,...)2,1(0).().().(

:)(

intRe

),(],[)}({

φ

φ



Como visto, Não Basta a Ortogonalidade da Família {ϕϕϕϕn(x)} para garantir que qualquer função Q.I. possa tenha expansão em S.F. sobre os membros da Família.

O que é Necessário é que a Família, além de Ortogonal, seja Completa de acordo com a seguinte definição :

∫ ==b

a

n

n

ndxxxFxp

NulaFunçãoxF

paraapenasValereSegulaçãoaseCompletaserditaé

xppesosobbaemxOrtogonaisFunçõesdeFamíliaA

,...)2,1(0).().().(

:)(

intRe

),(],[)}({

φ

φ

i.e. para Todos os Membros da Família !



Teorema 4.1

.

)()(

.

,)(

).(],[

)}({

..)()()(

1

1

NulaFunçãoumapor

MáximonoxFdeDiferexESériedaSomaaEntão

TermoaTermo

IntegradaserpodendoeConvergentxASérieaSeja

xppesosobbaem

xOrtogonaisFunçõesdeCOMPLETAFamíliadatermosem

IQxFFunçãodaxAxEExpansãoaSeja

nnn

n

nnn

∑

∑

∞

=

∞

=

=

φ

φ

φ



Teorema 4.1 Demonstração

)}.({)(..;

)(

)()()(

)()()(

..Re

1

xdemembrosostodosaéxqueeiNulaFunção

umaéxquemostrardevemosTeoremaodemonstrarPara

xAxFx

xExFx

FSdasíduooSeja

n

nnn

φ

φ

⊥ℑ

ℑ

−=ℑ

−=ℑ

∑∞

=




:(.)int)().()( ∫ℑb

a

k dxegrandoexxpporxndoMultiplica φ

∑ ∫∫∫∞

=

−=ℑ1n

b

aknn

b

ak

b

ak dx)x()x()x(pAdx)x()x(F)x(pdx)x()x()x(p φφφφ

:FamíliadadadeOrtogonaliaUsando

∫∫∫ −=ℑb

a

kkk

b

a

k

b

a

k dxxxxpAdxxxFxpdxxxxp )()()()()()()()()( φφφφ




∫∫∫ −=ℑb

a

kkk

b

a

k

b

a

k dxxxxpAdxxxFxpdxxxxp )()()()()()()()()( φφφφ

:FourierdeesCoeficientosCom

,...)2,1(0

).()(

).()()(

2

===

∫

∫k

dxxxp

dxxxFxp

Ab

a

k

b

a

k

k

φ

φ

,...)2,1(

0)()()()()()()()()(

=

=−=ℑ ∫∫∫

k

dxxxFxpdxxxFxpdxxxxpb

a

k

b

a

k

b

a

k φφφ




NulanteIdenticameouNulaFunçãoxAxF

toPor

NulaFunçãoéxkdxxxxp

nnn

b

a

k

≡−

ℑ⇒==ℑ

∑

∫

∞

=1

)()(

tan

)(,...)2,1(0)()()(

φ

φ

Requisitos :(1) F(x) Q.I. em [a,b] sob p(x)(2) { ϕϕϕϕn(x) } Ortogonal em [a,b] sob p(x) e Completa(3) S.F. Converge e Integrável Termo a Termo



( ) 0dx)x(S)x(F)x(pn

limb

a

2n =−

∞→∫

Definição 4.1 : A Sequência de Funções Sn(x) é dita convergir na média para F(x) , Q.I. em [a,b] sob p(x), se :

Definição 4.2 : Se Sn(x) é a n-ésima Soma Parcial da S.F. de F(x), qualquer Q.I. em [a,b] sob p(x), em termos da Família Ortogonal {ϕϕϕϕn(x)}, em [a,b] sob p(x) :

9

∑=

=n

1kkkn )x(A)x(S φ

e Sn(x) Converge na Média para F(x), então {ϕϕϕϕn(x)} é Fechado.

10


A Igualdade de Parseval para Família Ortogonal Fechada. Seja {ϕϕϕϕn(x)}, Família Ortogonal em [a,b] sob p(x), Fechada;Seja F(x) Q.I. em [a,b] sob p(x); Então vale a Igualdade de Parseval abaixo: Teorema 4.2


∫∑∫∞

=

=b

a

nn

n

b

a

dxxxpAdxxFxp )()()()( 2

1

22 φ

:..,1)()( 2 clássicaPIasetemdxxxpOrtonormalFamíliaComb

a

n −=∫ φ

∑∫∞

=

=1

22 )()(n

n

b

a

AdxxFxp12

11


Demonstração : Teorema 4.2


( )

0)()()(lim

0)()()(lim

:)}({

)()(:)(..

.)}({).(],[)}({

2

1

2

1

=

−

∞→

=−

∞→

=

⊥

∫ ∑

∫

∑

=

=

dxxAxFxp

N

dxxSxFxp

N

FechadaéxComo

xAxSNOrdemdexFdeFSeAproximantoSeja

Fechadaétambémxxpsobbaeméx

b

a

N

nnn

b

a

N

n

N

nnnN

nn

φ

φ

φ

φφ




+

−

∞→

=

=

−

∞→

∑∑ ∫

∫∑∫

∫ ∑

= =

=

=

N

k

N

n

b

a

nknk

b

a

n

N

nn

b

a

b

a

N

nnn

dxxxxpAA

dxxxFxpAdxxFxp

N

dxxAxFxp

N

1 1

1

2

2

1

)()()(

)()()(2)()(

lim0

0)()()(lim

φφ

φ

φ




+−

∞→

=

−

∑ ∫∫∑∫==

N

n

b

a

nn

b

a

n

N

nn

b

a

dxxxpAdxxxFxpAdxxFxp

N

setornarelaçãoaFamíliadadadeOrtogonaliàDevido

1

22

1

2 )()()()()(2)()(lim0

:,

φφ

∫

∫= b

a

n

b

a

n

n

dxxxp

dxxxFxp

AFourierdeesCoeficientosCom

).()(

).()()(

:2φ

φ

+−

∞→

= ∑ ∫∫∑∫==

N

n

b

a

nn

b

a

n

N

nn

b

a

dxxxpAdxxxpAdxxFxp

N1

222

1

22 )()()()(2)()(lim0 φφ




+−

∞→

= ∑ ∫∫∑∫==

N

n

b

a

nn

b

a

n

N

nn

b

a

dxxxpAdxxxpAdxxFxp

N1

222

1

22 )()()()(2)()(lim0 φφ

−

∞→

= ∫∑∫=

b

a

n

N

nn

b

a

dxxxpAdxxFxp

N

)()()()(lim0 2

1

22 φ

∫∑∫∞

=

−=b

a

nn

n

b

a

dxxxpAdxxFxp )()()()(0 2

1

22 φ

∫∑∫∞

=

=b

a

nn

n

b

a


1

22 φ 11




∫∑∫∞

=

=b

a

nn

n

b

a


1

22 φ11

:

,1)()(:,, 2

ParsevaldeIgualdadedaclássicaformaasetem

dxxxpOrtonormaléFamíliaaenteadicionalmSeb

a

n

−

=∫ φ

∑∫∞

=

=1

22 ).().(n

n

b

a

AdxxFxp 12


Observação : Teorema 4.2


.)(],[)}({ COMPLETAexpsobbaemxpara

mostradaserpoderiatambémParsevaldeIgualdadeA

n ⊥φ

0)()()(:

.)()(,)}({

2

1

1

=

−

−=ℑ

∫ ∑

∑

∞

=

∞

=

b

a nnn

nnnn

dxxAxFxpNulaFunçãodedefiniçãoPela

NulaFunçãoéAxFxCompletaxSendo

φ

φφ

dxxxxpAA

dxxxFxpAdxxFxp

mnn m

b

a

mn

nn

b

a

n

b

a

).().().(

).().().(2).().(0

1 1

1

2

φφ

φ

∑∑ ∫

∑ ∫∫∞

=

∞

=

∞

=

+

−=




dxxxpAdxxxFxpAdxxFxp

dadeOrtogonaliPela

nn

b

a

nnn

b

a

n

b

a

).().().().().(2).().(0

:

2

1

2

1

2 φφ ∑ ∫∑ ∫∫∞

=

∞

=

+−=

∫

∫=

b

a

n

b

a

n

n

dxxxp

dxxxFxp

AFourierdeesCoeficientosCom

).()(

).()()(

:2φ

φ

dxxxpAdxxxpAdxxFxp nn

b

a

nnn

b

a

n

b

a

).().().().(2).().(0 2

1

22

1

22 φφ ∑ ∫∑ ∫∫∞

=

∞

=

+−=

dxxxpAdxxFxp nn

b

a

n

b

a

).().().().(0 2

1

22 φ∑ ∫∫∞

=

−=




dx).x().x(pAdx).x(F).x(p 2n1n

b

a

2n

b

a

2 φ∑ ∫∫∞

=

= 11

Clássica.P.Iasetem,1dx)x()x(pOrtonormalFamíliaComb

a

2k −=∫ φ

∑∫∞

=

=1n

2n

b

a

2 Adx).x(F).x(p 12

dxxxpAdxxFxp nn

b

a

n

b

a

).().().().(0 2

1

22 φ∑ ∫∫∞

=

−=


Seja {ϕϕϕϕn(x)}, Família Ortogonal em [a,b] sob p(x), Completa;Então {ϕϕϕϕn(x)} é também Fechado com respeito ao espaço de funções Q.I. em [a,b] sob p(x) Teorema 4.3


Seja {ϕϕϕϕn(x)}, Família Ortogonal em [a,b] sob p(x), Fechada com respeito ao espaço de funções Q.I. em [a,b] sob p(x).Então {ϕϕϕϕn(x)} é também Completa. Teorema 4.4



Construir a S.F. de F(x) = x com {ϕϕϕϕn(x)} = {sen(nx) (n=1,2,...)} U {cos(nx) (n=0,1,...)}. A Família {ϕϕϕϕn(x)} é Ortogonal em [-ππππ,ππππ ], com p(x)=1 e Completa. Exemplo 4.1

,...)2,1,0(0

).(cos

).cos(.

2

===

∫

∫

−

− k

dxkx

dxkxx

Ak π

π

π

π

∑ ∑∞

=

∞

=

+==1 0

)cos()()(,)(n n

nn nxAnxsenBxExxFEscrevemos

π

ππ

π

π

π

π

π

π

π

π

π

ππ

π

π

π

−−

−+

−−

=−

+−

−

==

∫

∫

∫

∫

−

−

−

−

k

kxsen

k

kxsen

k

kxx

dxkx

dxk

kx

k

kxx

dxkxsen

dxkxsenx

Bk

4

)2(

)()cos(

2

)2cos(1

)cos()cos(

).(

).(.2

2

0

0




∑∞

=

==1

)()(,)(n

n nxsenBxExxF

,...)2,1()cos(2

)cos()cos(

=−

=−−

= kk

kk

k

k

k

Bkπ

π

ππ

ππ

,...)2,1()1.(2)1.(2 1

=−

=−−

=+

kkk

Bkk

k

...,7

2,

3

1,

5

2,

2

1,

3

2,1,2 7654321 =−==−==−== BBBBBBB




∑∞

=

==1

)()(,)(n

n nxsenBxExxF ,...)2,1()1.(2)1.(2 1

=−

=−−

=+

kkk

Bkk

k

∑=

=N

nnN nxsenBxSNOdeFSeAproximant

1

)()(:)(..



Notar a Aderência Restrita ao Intervalo [-ππππ,ππππ ]



Construir a S.F. de F(x) = -1 (x0) [Não-Contínua]com {ϕϕϕϕn(x)} = {sen(nx) (n=1,2,...)} U {cos(nx) (n=0,1,...)}. {ϕϕϕϕn(x)} éOrtogonal em [-ππππ,ππππ ], com p(x)=1 e Completa. Exemplo 4.2

∑∑∞

=

∞

=

+=

+

=

01

)cos()()(

0,1

0,0

0,1

)(

nn

nn nxAnxsenBxE

x

x

x

xF




,...)2,1,0(0

).(cos

).cos(.

2

===

∫

∫

−

− k

dxkx

dxkxx

Ak π

π

π

π

∑∑∞

=

∞

=

+=

+

=

01

)cos()()(

0,1

0,0

0,1

)(

nn

nn nxAnxsenBxE

x

x

x

xFFunção Ímpar




∑∞

=

=

+

=

1

)()(

0,1

0,0

0,1

)(

nn nxsenBxE

x

x

x

xF

∑=

=N


1

)()(:)(..

Função Ímpar : Só termos Seno na S.F.




∑∞

=

=

+

=1

)()(,

0,1

0,0

0,1

)(n

n nxsenBxE

x

x

x

xF

π

ππ

π

ππ

π

π

ππ

π

π

π

−−

−−

=−

+−

==

∫

∫∫

∫

∫

−

−

−

−

k

kxsen

k

kx

k

kx

dxkx

dxkxsendxkxsen

dxkxsen

dxkxsenxF

Bk

4

)2(

0

)cos(0)cos(

2

)2cos(1

)()(

).(

).()(0

0

2

ππ

ππ

−+

−−

=

−+−

=kkkk

k

k

k

kB

kk

k

)1()1(2)cos()cos(2

( )kk kB )1(1

2−−=

π



∑=

=N


1

)()(:)(..

∑∞

=

=

+

=

1

)()(

0,1

0,0

0,1

)(

nn nxsenBxE

x

x

x

xF


( )kk kB )1(12

−−=π



Aderência Restrita ao Intervalo [-ππππ,ππππ ]


Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier3. Teorema de Sturm-Liouville

( ) { }

TrivialNãoSoluçãoviabilizarparabuscaranuméricoparâmetro

baemmenosaocontínuaéxqbaemcontínuassãoxpexr

tempomesmoaonulasnãotesconssãobb

tempomesmoaonulasnãotesconssãoaa

onde

bybbyb

ayaaya

HomogêneaseLinearesContornodeCondiçõesSob

yxpxqyxrdx

d

HomogêneaLinearEDOaSeja

−

=+

=+

=++

−

λ

λ

),()(];,[)()(

;tan,

;tan,

:

0)()(

0)()(

:

0)(.)().(

:2

21

21

)1(

21

)1(

21

)1(

Este Teorema justifica o surgimento de Família {ϕϕϕϕn(x)} Ortogonal em [a,b ], sob p(x), de EDO-2 Lineares Teorema 4.5

13

14



Este Teorema justifica o surgimento de Família {ϕϕϕϕn(x)} Ortogonal em [a,b ], sob p(x), de EDO-2 Lineares Teorema 4.5

,...,,:

),...(),(),(:)14()13.(

321

321

λλλλdevaloressrespectivopelosasviabilizad

xyxyxyEqdeTriviaisNãoSoluçõesasSejam +−

).(],[

)}({),14()13.(

xppesosobbaemFunçõesdeOrtogonalFamíliauma

definemxyEqdeTriviaisNãoSoluçõesasEntão n+−



Observações Teorema 4.5

Note que y(x) = 0 resolve trivialmente as Eqs. (13) e (14). Mas sóqueremos soluções não-triviais y(x) ≠ 0 .

Note que (13) é uma EDO-2 Linear e Homogênea; e que as Condições de Contorno (14) também são Equações Lineares, de Coeficientes Constantes, e Homogêneas.

Note que as constantes a1 e a2 não podem ser nulas simultaneamente; o mesmo acontecendo com b1 e b2 .



Demonstração Teorema 4.5

:

.:

,0)(0)(:)14()13.(

Assim

dediferentesvaloressrespectivoporasviabilizad

xyexyEqdeTriviaisNãoSoluçõesSejam

mn

mn

λλλ ≠

≠≠+−

( )

( )

0)()(

0)()(

0)()(

0)()(

)()().(

)()().(

)1(

21

)1(

21

)1(

21

)1(

21

)1(

)1(

=+

=+

=+

=+

−=+

−=+

bybbyb

bybbyb

ayaaya

ayaaya

yxpyxqyxrdx

d

yxpyxqyxrdx

d

nn

mm

nn

mm

nnnn

mmmm

λ

λ 13a

13b

14a

14d

14b

14c



Demonstração Teorema 4.5:)14()14(. comoescritasserpodembeaEqs

0)()(

0)()(

)1(

21

)1(

21

=+

=+

ayaaya

ayaaya

nn

mm15a

0)()(

0)()(

)1(

21

)1(

21

=+

=+

bybbyb

bybbyb

nn

mm

=

⇔

0

0

)()(

)()(

2

1

)1(

)1(

a

a

ayay

ayay

nn

mm

:)14()14(. comoescritasserpodemdecEqs

=

⇔

0

0

)()(

)()(

2

1

)1(

)1(

b

b

byby

byby

nn

mm 15b




( ) ( )

:(.).

)()().().( )1()1(

∫−

−=−

b

a

mnmnnmmn

dxemigualdadeestaseIntegrando

yyxpyxrdx

dyyxr

dx

dy λλ

:),()13(),()13( assubtraindoexyporbxyporandoMultiplica mn −

( ) ( ) dxyyxpdxyxrdx

dyyxr

dx

dy

b

a

mnmn

b

a

nmmn ∫∫ −=

− )()(.).().( )1()1( λλ

:esquerdoladonopartesdasmétodooCom

( )

( ) ∫∫

∫∫

−=

−=

b

a

nmmn

b

a

nm

b

a

nmnm

b

a

mn

dxyyxra

byyxrdxyxr

dx

dy

dxyyxra

byyxrdxyxr

dx

dy

)1()1()1()1(

)1()1()1()1(

).().(.).(

).().(.).(




∫−=−b

a

mnmnmnnm dxyyxpa

byyxr

a

byyxr

Obtemos

.)()().().(

:

)1()1( λλ

( )

( ) ∫−=−−

+−b

a

mnmnmnnm

mnnm

dxyyxpayayayayar

bybybybybr

.)()()()()()()(

)()()()()(

)1()1(

)1()1(

λλ



Demonstração Teorema 4.5:)15()15(., beaEqsdasSQHsosusamospontoNeste

15a

=

0

0

)()(

)()(

2

1

)1(

)1(

a

a

ayay

ayay

nn

mm

=

0

0

)()(

)()(

2

1

)1(

)1(

b

b

byby

byby

nn

mm

15b

0)()()()(0

0)()()()(0

:)(

)1()1(

2

1

)1()1(

2

1

=−⇒≠

=−⇒≠

=

−

bybybybyb

b

ayayayaya

a

ZeroDETSingularesseremamatrizessrespectivaasobrigam

quetriviaisnãosoluçõesporssatisfeitoserdevemSQHsEstes

mnnm

mnnm




( )

( ) ∫−=−−

+−b

a

mnmnmnnm

mnnm

dxyyxpayayayayar

bybybybybr

.)()()()()()()(

)()()()()(

)1()1(

)1()1(

λλ

⇒≠=− ∫ mnb

a

mnmn comodxyyxp λλλλ ,0.)()(

=−

=−⇒

0)()()()(

0)()()()()1()1(

)1()1(

bybybyby

ayayayaySQHsdosadeSingularidPela

mnnm

mnnm

0.)( =∫b

a

mn dxyyxp

Soluções não-triviais de um Problema Sturm-Liouville [PSL]yn(x) ≠ 0 e ym (x) ≠ 0, referentes a valores λλλλ distintos, λλλλn ≠ λλλλm , são funções ortogonais em [a,b] com peso p(x).



Portanto, para estabelecer o surgimento de Família {ϕϕϕϕn(x)}Ortogonal (em [a,b ], sob p(x)), em um dado Problema de Valor de Contorno (PVC) em EDO-2, deve-se estudá-lo cuidadosamente para verificar se ele é um Problema de Sturm-Liouville [PSL]. Isto é, para verificar se estamos diante de um Problema de Valor de Contorno com EDO-2 Linear Homogênea e Condições de

Contorno Lineares e Homogêneas.

Problemas PSL darão origem, ao serem resolvidos, a soluções ortogonais {ϕϕϕϕn(x)}. Estas soluções devem ser pesquisadas atribuindo-se série de valores adequados ao parâmetro λλλλconforme garantido pelo Teorema 4.5.



( ) { }

0)()(

0)()(

:

0)(.)().(

:2

)1(

21

)1(

21

)1(

=+

=+

=++

−

bybbyb

ayaaya

HomogêneaseLinearesContornodeCondições

yxpxqyxrdx

d

HomogêneaLinearEDO

λ

Recapitulando a forma de um Problema Sturm-Liouville [PSL]

13

14

TrivialNãoSoluçãoviabilizarparabuscaraparâmetro

baemcontínuaedadaxqbaemcontínuasedadasxpexr

tempomesmoaonulasnãodadasconstbb

tempomesmoaonulasnãodadasconstaa

ContornodeCondiçõesdeaplicaçãoparadadospontosba

onde

−λ

),()(];,[)()(

;,.,,

;,.,,

,

:

21

21



0)L(y,0)0(y

0y.y )2(

==

=+ λ

Exemplo 4.3 : Obter a Solução do Problema de Valor de Contorno abaixo:



0)L(y,0)0(y

0y.y )2(

==

=+ λ Exemplo 4.3

Resolução

( )

{{ 0b,1b,Lb0)L(y

0a,1a,0a0)0(y

0)x(q

1)x(p

1)x(r

0y.ydx

d

21

21

)1(

===⇒=

===⇒=

=

=

=

⇒=+ λ

#### 1: Reconhecemos neste PVC um PSL após colocação na forma:



0:3Caso

0:2Caso

0:1Caso

:emcasos3apresentaHomogênea2EDOdaCompleta.SolA

.:.C.EdaRaízes

0:ticaCaracterís.Eq0y.yemsedoSubstituin

)x.exp()x(y2)2(

>

=

<

−

−±=

=+⇒=+−

=

λ

λ

λ

λ

λθ

λθλ

θ

#### 2: Resolvendo PVC para EDO-2 Lin. Hom. com Coef. Const. :



[ ]

0)x(y0

0

C

CTrivial.SolaadmitesóSQH

)gularsinnãoM(0para0)Lexp()Lexp()M(DET

0

0

C

CM

0

0

C

C

)Lexp()Lexp(

11:SQHcomoCCs

0)Lexp(C)Lexp(C

0CC:)x(yparaCCs

)xexp(C)xexp(C)x(y.Hom.Compl.Sol

H2

1

2

1

2

1

21

21H

21H

=⇒

=



[ ]

0)x(y0

0

C


)gularsinnãoM(0L)M(DET

0

0

C

CM

0

0

C

C

L1

01:SQHcomoCCs

0C.LC

0C.0C:)x(yparaCCs

x.CC)x(y

)x0exp(.x.C)x0exp(C)x(y.Hom.Compl.Sol0

H2

1

2

1

2

1

21

21H

21H

21H

=⇒

=

≠=

=

∴

=

=+

=+

+=⇒

+=⇒=θ

#### 4: Caso 2 : λλλλ = 0 →→→→ 2 raízes reais iguais (raiz dupla) θθθθ = 0

Caso 2 sem y(x) ≠ 0



[ ]

0C,0C0)n(senC)ncos(C

0C.0C:.TrivNão.SolstemSQH

,...)3,2,1n(L

n,...L

.3,L

.2,L

.1L

.n

,...L

.3,L

.2,L

.1se0)M(DET)L(sen)M(DET

0

0

C

CM

0

0

C

C

)L(sen)Lcos(

01:SQHcomoCCs

0)L(senC)Lcos(C

0C.0C:)x(yparaCCs

)x(senC)xcos(C)x(y.Hom.Compl.Soli

2121

21

2

22

n2

22

2

22

2

22

nn

2

1

2

1

21

21H

21H

≠=⇒

=±+±

=+−

===⇒±=

±±±==⇒=

=

∴

=

=+

=+

+=⇒±=

ππ

πλ

πππλ

πλ

πππλλ

λλ

λλ

λλλθ

#### 5: Caso 3 : λλλλ > 0 →→→→ 2 raízes complexas conj. θθθθ = ±±±±( -λλλλ )1/2 = ±±±± i (λλλλ)1/2




Por q?

)L

xn(senC)x(y)

L

xn(senC)x(y)x(senC)x(y

,...)3,2,1n(L

n,...L

.3,L

.2,L

.1L

.n

2H2Hn2H

2

22

n2

22

2

22

2

22

nn

ππλ

πλ

πππλ

πλ

=⇒±=⇒=

===⇒±=

,...)2,1n()L

xn(sen)x(y

L

nn2

22

n ==⇒=ππ

λ

Caso 3 com y(x) ≠ 0




Por q?

)L

xn(senC)x(y)

L

xn(senC)x(y)x(senC)x(y

,...)3,2,1n(L

n,...L

.3,L

.2,L

.1L

.n

2H2Hn2H

2

22

n2

22

2

22

2

22

nn

ππλ

πλ

πππλ

πλ

=⇒±=⇒=

===⇒±=

,...)2,1n()L

xn(sen)x(y

L

nn2

22

n ==⇒=ππ

λ


Identifica-se a Família { yn(x) } sem C2



#### 6: Surge, portanto, deste PVC, a Família Ortogonal de Soluções :

,...)2,1n()}L

xn(sen{)}x(y{ n ==

π

1)x(ppesosob]L,0[emFamília =⊥

==

≠=

∫

∫L

0

2

L

0

)mn(2

Ldx).

L

xn(sen

)mn(0dx).L

xm(sen).

L

xn(sen

π

ππ

,...)2,1n()L

xn(sen)x(y

L

nn2

22

n ==⇒=ππ

λ



0)L(y,0)0(y

0y.y)1()1(

)2(

==

=+ λ

Exemplo 4.4 : Obter a Solução do Problema de Valor de Contorno abaixo:



Exemplo 4.4

Resolução

( )

{

{ 1b,0b,Lb0)L(y

1a,0a,0a0)0(y

0)x(q

1)x(p

1)x(r

0y.ydx

d

21)1(

21)1(

)1(

===⇒=

===⇒=

=

=

=

⇒=+ λ

#### 1: Reconhecemos neste PVC um PSL após colocação na forma :

0)L(y,0)0(y

0y.y)1()1(

)2(

==

=+ λ



0:3Caso

0:2Caso

0:1Caso

:emcasos3apresentaHomogênea2EDOdaCompleta.SolA

.:.C.EdaRaízes

0:ticaCaracterís.Eq0y.yemsedoSubstituin

)x.exp()x(y2)2(

>

=

<

−

−±=

=+⇒=+−

=

λ

λ

λ

λ

λθ

λθλ

θ

#### 2: Resolvendo PVC para EDO-2 Lin. Hom. com Coef. Const. :



[ ]

0)x(y0

0

C


0para0))Lexp()L(exp()M(DET0

0

C

CM

0

0

C

C

)Lexp()Lexp(:SQHcomoCCs

0)Lexp(C)Lexp(C

0CC

)xexp(C)xexp(C)x(yparaCCs

)xexp(C)xexp(C)x(y.Hom.Compl.Sol

H2

1

2

1

2

1

21

21

21)1(

H

21H

=⇒

=



[ ]

1y0

C)x(y0C,0CTrivialNão.SolaadmiteSQH

0)M(DET0

0

C

CM

0

0

C

C

10

10:SQHcomoCCs

)Lx(0CC.0

)0x(0CC.0

CC.0)x(yparaCCs

x.CC)x(y

)x0exp(.x.C)x0exp(C)x(y.Hom.Compl.Sol0

00

1H21

2

1

2

1

21

21

21)1(

H

21H

21H

=⇒=

=⇒=≠−

=⇒

=

∴

=

==+

==+

+=

+=⇒

+=⇒=

λ

θ

#### 4: Caso 2 : λλλλ = 0 →→→→ 2 raízes reais iguais (raiz dupla) θθθθ = 0

Caso 2 com y(x) ≠ 01y0 00 =⇒=λ



[ ]

0C,0C0)ncos(C)n(senC

0CC.0:.TrivNão.SolstemSQH

,...)3,2,1n(L

n,...

L.3,

L.2,

L.1

L.n

,...L

.3,L

.2,L

.1se0)M(DET)L(sen)M(DET

0

0

C

CM

0

0

C

C

)Lcos()L(sen

10:SQHcomoCCs

0)Lcos(C)L(senC

0CC.0

)xcos(C)x(senC)x(yparaCCs

)x(senC)xcos(C)x(y.Hom.Compl.Soli

2121

21

2

22

n2

22

2

22

2

22

nn

2

1

2

1

21

21

21)1(

H

21H

=≠⇒

=±+±−

=+−

===⇒±=

±±±==⇒=

=

∴

=

−

=+−

=+

+−=

+=⇒±=

ππ

πλ

πππλ

πλ

πππλλ

λλ

λλλλ

λ

λλλλ

λλλθ




)L

xncos(C)x(y)

L

xncos(C)x(y)xcos(C)x(y 1H1Hn1H

ππλ =⇒±=⇒=


,...)2,1n()L

xncos()x(y

L

nn2

22

n ==⇒=ππ

λ




)L

xncos(C)x(y)

L

xncos(C)x(y)xcos(C)x(y 1H1Hn1H

ππλ =⇒±=⇒=


,...)2,1n()L

xncos()x(y

L

nn2

22

n ==⇒=ππ

λ


Identifica-se a Família { yn(x) } sem C1



#### 6: Reunindo Casos 2 e 3 com Soluções Não-Triviais do PSL

==⇒=

==⇒=

,...)2,1n()L

xncos()x(y

L

n

)0n(1)x(y0

n2

22

n

00

ππλ

λ

Casos 2 e 3 com y(x) ≠ 0

,...)2,1,0n()L

xncos()x(y

L

nn2

22

n ==⇒=ππ

λ

⇓



,...)2,1,0n()L

xncos()x(y

L

nn2

22

n ==⇒=ππ

λ

,...)2,1,0n()}L

xn{cos()}x(y{ n ==

π

#### 7: Surge deste PVC, a Família Ortogonal de Soluções :

1)x(ppesosob]L,0[emFamília =⊥

===>==

≠=

∫ ∫

∫L

0

L

0

2

L

0

)0mn(Ldx.1),0mn(2

Ldx).

L

xn(cos

)mn(0dx).L

xmcos().

L

xncos(

π

ππ

Documents

Lab. de Hidrorrefino, Engenharia de Processos - Métodos … Coeficientes de Fourier 6. J.L. de Medeiros & Ofélia Q.F. Araújo 18 Cap. IV : Funções Ortogonais e Séries de Fourier