Centro Universitrio de Braslia UniCEUBFaculdade de Tecnologia e
Cincias Sociais Aplicadas FATECSPrograma de Iniciao Cientfica
Clculo De Esforos E Deformaes Em Lajes Usando Sries De
Fourier
Thiago Araujo Macedo
Braslia 2015
Centro Universitrio de Braslia UniCEUBFaculdade de Tecnologia e
Cincias Sociais Aplicadas FATECSPrograma de Iniciao Cientfica
Clculo De Esforos E Deformaes Em Lajes Usando Sries De
Fourier
Relatrio final apresentado Assessoria de Ps-Graduao e pesquisa
pela Faculdade de Tecnologia e Cincias Sociais Aplicadas FATECS
Thiago Araujo Macedo
Orientao: Jocinez Nogueira Lima
Braslia 20151. Resumo2. Sumrio3. Introduo4. Referencial
Terico4.1. Espao vetorial e ortogonalidadeO processo de
Gram-Schmidt demonstra que todo espao vetorial finito possui pelo
menos uma base ortogonal. (Silva, 2005)
(1)
Projeo ortogonal de em
(2)
Aplicao: Polinmios ortogonais em [-1,1]
(3)
(4)
(5)
As funes seno e cosseno so ortogonais entre si
4.2. Sries de Fourier4.2.1. Sries de Fourier 1DSegundo
(Figueiredo, 1977), as sries de funes trigonomtricas so casos
particulares de sries de funes ortogonais. Uma funo f(x), contnua,
pode ser aproximada tanto quanto se queira por um desenvolvimento
em srie de funes ortogonais de senos e cossenos.4.2.1.1. Condies de
fronteira de Dirichlet [a,b] pode decompor-se num nmero finito de
subintervalos nos quais verifica-se a continuidade de f(x); Nos
pontos eventualmente descontnuos em f(x), os limites e existem.
4.2.1.2. Srie de FourierDiz-se que f(x), , se desenvolvem em
sries de Fourier se forem conhecidos os coeficientes e tais
que:
(6)
(7)
(8)
4.2.2. Forma complexa das sries de FourierUtilizando-se a relao
de Euler ,a srie de Fourier pode ser reescrita na forma:
(9)
Onde,
(10)
Em que e, em geral, se estende f(x) de modo a desejar T como o
perodo de f(x).4.2.3. Sries de Fourier 2DAdmite-se o perodo nas
direes x e y como sendo para padronizarem-se as
equaes.Desenvolvendo-se as sries para a varivel x:(11)
Onde,(12)
(13)
E assim como f(x,y), estes coeficientes so continuamente
derivveis em y, podendo tambm desenvolver-se em sries:(14)
(15)
Adicionando todas as equaes, obtm-se:
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
Como as funes seno so mpares e as cosseno so pares, e ambas
diferem somente na fase, muitos dos termos da equao obtida sero
anulados, o que nos remete a concluso:(21)
Funo essa vlida para todo e .4.3. Equao de LaplaceSegundo
(Timoshenko, 1989), uma laje pode ser aproximada segundo o modelo
de placa fina. As placas finas satisfazem a hiptese de
love-kirchoff, que so uma srie de equaes diferenciais parciais
modeladoras das placas.Adotando-se a deformao no sentido vertical
para baixo, com os carregamentos consequentemente negativos, a
equao da deformao sob carregamento transversal tem a forma:(22)
Onde:(23)
E,(24)
Os esforos so dados por: (25)
(26)
(27)
(28)
(29)
As reaes de apoio:(30)
(31)
E a fora resultante:(31)
4.4. Aplicaes no caso de lajes com bordos simplesmente
apoiados4.4.1. Carga sinusoidal - Apoio simplesPara (Silva G. ,
2006), o caso de laje esttica, plana e macia com carregamento
sinusoidal o mais simples de ser estudado, como representada na
figura 1.4.1.
Figura 4.4.1 Representao de uma placa no plano cartesiano.Neste
caso, a equao de Laplace ser reescrita na forma:(32)
E as condies de contorno sero:(33)
(34)
A funo que satisfaz as condies de contorno da forma:(35)
Efetuando-se os devidos clculos, conclui-se que para o caso em
questo, a deformao pode ser devidamente aproximada pela
equao:(36)
Momentos:(37)
(38)
(39)
Esforo cortante:(40)
(41)
Fora resultante:(42)
4.4.2. Carregamento QualquerPara um carregamento qualquer, a
carga aplicada P(x,y) deve ser desenvolvida em uma srie dupla de
Fourier. Utilizando-se o princpio da sobreposio de efeitos, Claude
Louis Navier deduziu uma soluo geral (Timoshenko, 1989) de placas
como sendo:(43)
(44)
4.4.3. Carregamento Uniforme (Caso real)Neste caso, P(x,y) uma
constante de valor . O que conduz a soluo de Navier deformao mxima
que ocorre na placa em .(45)
Este caso aplicvel a qualquer laje, um exemplo de carregamento
uniforme seu peso prprio, como ilustra a figura 1.4.3:
Figura 1.4.3 Carregamento uniforme em uma placa simplesmente
apoiada em todos os bordos4.4.4. Carga concentradaAs sries de
Fourier falham quando se estudam carregamentos pontuais, visto que
estes so descontnuos. (Mansfield, 2005) deduziu a seguinte expresso
para um carregamento f(x,y) sendo aplicado em :(46)
4.5. Bordos opostos apoiadosDe acordo com (Timoshenko, 1989), a
soluo para uma laje com condies de apoio com bordos opostos
apoiados, ilustrado na figura 3, foi encontrada por Levy, e tem a
forma:(47)
Figura 3 Condies de contorno da soluo de LevyAs funes devem
satisfazer a equao (22), e as condies de contorno nas bordas
(48)
Desenvolvendo-se P(x,y) com a expresso acima, tm-se:
(49)
(50)
Onde a deformao, ou seja:
Esforo Cortante Momento Fletor Carregamento5. Metodologia de
pesquisaForam delimitados quatro cenrios de condies de contorno e,
a partir destes, efetuaram-se todos os clculos previstos.Os cenrios
foram delimitados de acordo com a tabela 5.1 e a figura 5.1:Cenrio
1Bordo 1Bordo 2Bordo 3Bordo 4Cenrio 3Bordo 1Bordo 2Bordo 3Bordo
4
EngastexxxxEngaste
LivreLivrexx
BalanoBalanoxx
Cenrio 2Bordo 1Bordo 2Bordo 3Bordo 4Cenrio 4Bordo 1Bordo 2Bordo
3Bordo 4
EngasteEngastexx
LivrexxxxLivre
BalanoBalanoxx
Tabela 5.1
Figura 5.1 Cenrios de clculoEm seguida, foram delimitados dois
casos de materiais, adotando-se no caso 1 um concreto com
fck=20MPa, e no caso 2 um concreto com fck=30Mpa, de acordo com o
representado na tabela 5.2:Caso 1Caso 2
Concreto:C20/25Concreto:C30/37
=2500kg/m3=2500kg/m3
E=30000MpaE=32800Mpa
=0,2=0,2
G=12500MpaG=13667Mpa
Fck=20MpaFck=30Mpa
Tabela 5.2Foram tambm definidos os carregamentos e as dimenses
das placas, utilizados em cada combinao de cenrios e casos na
tabela 5.3:Carregamento 1Dimenses 1
Tipo:Pontuala=8m
P(x,y)=22500kgfb=16m
x=4mT=7cm
y=8m
Carregamento 2Dimenses 2
Tipo:Distribudo Uniformea=4m
P(x,y)=1570kgf/m2b=7m
T=5cm
Carregamento 3Dimenses 3
Tipo:Pontuala=8m
P(x,y)=10000kgfb=16m
x=4mT=7cm
y=6m
Tipo:Pontual
P(x,y)=10000kgf
x=10m
y=2m
Tabela 5.3Aps os estudos serem devidamente delimitados,
procederam-se os clculos.Cada combinao Cenrio + Caso + Carregamento
mostrada abaixo foi resolvida utilizando-se um dos mtodos
referenciados na seo 4 deste trabalho, com auxlio de um algoritmo
desenvolvido em PASCAL incluso no Anexo A deste trabalho, e pelo
software SCIA Engineer, disponvel nos laboratrios do UniCEUB.Todos
os clculos tiveram seus valores tabelados e plotados em grficos,
para efeitos de comparao da acurcia dos diferentes mtodos.
Admitiu-se uma acurcia de 100% para o mtodo dos elementos finitos
utilizado pelo software. 6. ResultadosAps rigorosa aplicao da
metodologia supracitada, os resultados obtidos foram os seguintes:
Cenrio 1 + Caso 1 + Carregamento 1 Cenrio 1 + Caso 2 + Carregamento
1 Cenrio 1 + Caso 1 + Carregamento 2 Cenrio 1 + Caso 2 +
Carregamento 2 Cenrio 1 + Caso 1 + Carregamento 3 Cenrio 1 + Caso 2
+ Carregamento 3 Cenrio 2 + Caso 1 + Carregamento 1 Cenrio 2 + Caso
2 + Carregamento 1 Cenrio 2 + Caso 1 + Carregamento 2 Cenrio 2 +
Caso 2 + Carregamento 2 Cenrio 2 + Caso 1 + Carregamento 3 Cenrio 2
+ Caso 2 + Carregamento 3 Cenrio 3 + Caso 1 + Carregamento 1 Cenrio
3 + Caso 2 + Carregamento 1 Cenrio 3 + Caso 1 + Carregamento 2
Cenrio 3 + Caso 2 + Carregamento 2 Cenrio 3 + Caso 1 + Carregamento
3 Cenrio 3 + Caso 2 + Carregamento 3 Cenrio 4 + Caso 1 +
Carregamento 1 Cenrio 4 + Caso 2 + Carregamento 1 Cenrio 4 + Caso 1
+ Carregamento 2 Cenrio 4 + Caso 2 + Carregamento 2 Cenrio 4 + Caso
1 + Carregamento 3 Cenrio 4 + Caso 2 + Carregamento 3
7. Discusso dos resultados
8. Consideraes finais
9. Referncias
ANEXO AAlgoritmo escrito em PASCAL para o clculo iterativo do
somatrio duplo:Program SomaIterativa ;var p, pie, d, x, y, w, a, b,
E, u, h, num1, num2, expoente, soma_m, soma_n:real;numerador,
denominador, quociente:real;m, n, max:integer;function
pow(num1,num2:real):real;begin if (num1
