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1
O problema de contacto com atrito em termos de complementaridade
em cones de segunda ordem
Y. Kanno1, J.A.C. Martins2 e A. Pinto da Costa2*1Universidade de Quioto
Departamento de Engenharia Urbana e AmbientalQuioto, Japão
2Instituto Superior TécnicoDepartamento de Engenharia Civil e Arquitectura e ICIST
Lisboa, Portugal
Congresso de Métodos Computacionais em Engenharia
Laboratório Nacional de Engenharia Civil
Lisboa, 31 de Maio - 2 de Junho, 2004
2
• Evoluções quase-estáticas em sistemas de contacto com atrito
• O problema quase-estático incremental
• Atrito de Coulomb em 3D em termos de uma condição de complementaridade em cones de segunda ordem
• O problema incremental em 3D em termos de um SOCLCP
• Exemplos numéricos
SUMÁRIO
3
u =
uF
uC
r =
rF
rC
=
0
rC
uC =
ut
un
rC =
rt
rn
Evolução temporal dos deslocamentos u(t) e das reacções de contacto r(t) para uma dada variação temporal das forças
exteriores, aplicadas tão lentamente que as forças de inércia se podem desprezar.
Mu..
(t) = F(u(t),(t)) + r(t)
Condições iniciais admissíveis:
r(t = 0) = r0
u(t = 0) = u0
EVOLUÇÕES QUASE-ESTÁTICAS
C
F
o b s t á c u l o
nt
Condições de contacto e atrito
4
CONDIÇÕES DE CONTACTO E DE ATRITO
Atrito: rn ||rt|| e rt.vt + rn ||vt|| = 0
rt
vt
t1
t2
rn
(n)rt
vt = {0}
Contacto unilateral: un 0, rn 0, unrn = 0
t1
t2
n
obstáculo
1
vt
rt
rn
5
O PROBLEMA QUASE-ESTÁTICO INCREMENTAL
Calcular o incremento (u, r) do estado (u, r)para dado incremento F das forças exteriores F
ur
(u,r) (u, r)
Substituição das derivadas presentes no problema de evolução (i.e. na lei de atrito de Coulomb) por razões incrementais
6
O PROBLEMA QUASE-ESTÁTICO INCREMENTAL
Ku0 = f0 + r0
Equação de equilíbrio de um estado de equilíbrio (u0, r0) conhecido correspondente a forças exteriores f0:
Forma incremental das equações de equilíbrio: Ku = f + r
K = KF,F
KC,F
KF,C
KC,C
u = uF
uC
f = fF
fC
r = 0
rC
K = KC,C KC,FKF,FKF,C1
KuC = f + rC Equações de equilíbrio
condensadas no contacto:
7
CONES DE SEGUNDA ORDEM
Ln = {x = {x0, x1} Rn: x0 ||x1||}+
x1
x0
45o 45o
n = 3
x1
x0
45o 45o
n = 2
x0
n = 1
o o o
x1 = x1x1 = Ø x1 = {x11, x12}
L1 R1+ + L2 L3
+ +
8
ATRITO 3D EM TERMOS DE CONES DE SEGUNDA ORDEM
rn ||rt|| e rt.ut + rn ||ut|| = 0
rn ||rt||, n ||ut|| e (n,ut).(rn,rt) = 0
Condição de complementaridade
linear
L3+
L3+é convexo fechado e auto-dual
Cones de segunda ordem no espaço tridimensional
Uma variável extra (n) por cada nó candidato ao contacto
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CONTACTO UNILATERAL EM TERMOS DE CONES DE SEGUNDA ORDEM
un g 0, rn 0 e (un g). rn = 0
Condição de complementaridade
linear
L1+
Cones de segunda ordem no espaço unidimensional
L1+é convexo fechado e auto-dual
o
un g, rn
10
SECOND-ORDER CONE LINEAR COMPLEMENTARITY PROBLEM
x =
n
ut1
ut2
un
y =
rn
rt1
rt2
rn
KS = produto cartesiano de cones de segunda ordem
M =
0000
Kn,t1
Kt1,t1
Kt2,t1
Kn,t1
Kn,t2
Kt1,t2
Kt2,t2
Kn,t2
Kn,n
Kt1,n
Kt2,n
Kn,n
q =
fn
ft1
ft2
fn
SOCLCP:Calcular (x, y) R4n R4n , tal que
y = Mx + q
x KS, y KS, xTy = 0
c c
11
ALGORITMO E ALGUNS FACTOS
S. Hayashi, N. Yamashita, M. Fukushima (2003) A combined smoothing and regularization method for monotone second-order cone complementarity problems, Technical Report
2003-002, Dept. of Applied Mathematics and Physics, Kyoto University.
• Álgebra euclideana de Jordan em cones de segunda ordem
• Funções de suavização associadas a SOCCP’s
• Método de regularização que resolve uma
sucessão de SOCLCP()’s com 0+: y = (M + I)x + q
• Operador monótono convergência global
• Método de Newton
• Taxa de convergência quadrática
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BARRA EM ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÃO
0.01 MPa
0.05 MP
a
obstáculo
0.01 MPa
0.01 MP
a
obstáculo
0.01 MPa
0.01 MP
a
obstáculo
= 0.7
13
EVOLUÇÃO DAS TENSÕES DE CONTACTO
First loading
-0,015
0,000
0,015
0 100 200 300 400
Contact candidate region (mm)C
on
tact
st
ress
es
(MP
a)
0
1st increment
-0,015
0,000
0,015
0 100 200 300 400
Contact candidate region (mm)
Co
nta
ct s
tre
sse
s (M
Pa
)
1
2nd increment
-0,015
0,000
0,015
0 100 200 300 400
Contact candidate region (mm)
Co
nta
ct s
tre
sse
s (M
Pa
)
2
3rd increment
-0,015
0,000
0,015
0 100 200 300 400
Contact candidate region (mm)
Co
nta
ct s
tre
sse
s (M
Pa
)
3
4th increment
-0,015
0,000
0,015
0 100 200 300 400
Contact candidate region (mm)
Co
nta
ct s
tre
sse
s (M
Pa
)4
t/n
14
EVOLUÇÃO DAS TENSÕES DE CONTACTO
5th increment
-0,03
-0,02
-0,01
0,00
0,01
0,02
0,03
0 100 200 300 400
Contact candidate region (mm)
Conta
ct s
tress
es
(MP
a)
5 7th increment
-0,08
-0,04
0,00
0,04
0,08
0 100 200 300 400
Contact candidate region (mm)
Co
nta
ct s
tre
sse
s (M
Pa
)
7
8th increment
-0,10
-0,05
0,00
0,05
0,10
0 100 200 300 400
Contact candidate region (mm)
Co
nta
ct s
tre
sse
s (M
Pa
)
86th increment
-0,06
-0,03
0,00
0,03
0,06
0 100 200 300 400
Contact candidate region (mm)
Co
nta
ct s
tre
sse
s (M
Pa
)
6
15
TRELIÇAS TRIDIMENSIONAIS
Treliça 4 4
f
f/2f/4
f = 102.9 kN
Incremento 1 5.00
2 4.05
3 3.10
4 2.15
5 1.20
6 0.25
16
TRELIÇA 12 12
Deslocamentos totaisDeslocamentos incrementais
= 0.12
1 2 3
654
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COMENTÁRIOS FINAIS
• Formulação SOCLCP e algoritmo recente para o problema quase-estático incremental.
• Verdadeiro cone de atrito de Coulomb em 3D com formulação da Programação Matemática.
• Unificação da metodologia para 2D e 3D.
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PARA POUPAR TEMPO DE COMPUTAÇÃO
SOCMLCP:
FORMULAÇÃO E RESOLUÇÃO COMO UM PROBLEMA MISTO DE COMPLEMENTARIDADE LINEAR EM CONES DE SEGUNDA-ORDEM
Find (x, y) Rn +4n Rn +4n , such that
y = Mx + q
c c
x Rn KS, y Rn KS, xTy = 0
f f
f f
KS = produto cartesiano de cones de segunda ordem
