Geometria Espacial

Os ConesFABIANA DE SOUSA SANTOS GOANÇALVES

Cones no trânsito...

E mais ao sul do

País uma linda

catedral em forma de cone.

À noite e iluminada.

Cone circular      Dado um círculo C, contido num plano  , e um ponto V ( vértice)

fora de  , chamamos de cone circular o conjunto de todos os

segmentos  .

Cone circular

Cone circular• altura: distância h do vértice V ao

plano • geratriz (g):segmento com uma

extremidade no ponto V e outra num ponto da circunferência

• raio da base: raio R do círculo • eixo de rotação:reta determinada

pelo centro do círculo e pelo vértice do cone

Elementos do cone circular      Dado o cone a seguir, consideramos os seguintes elementos: •altura: distância h do vértice V ao plano  •geratriz (g):segmento com uma extremidade no ponto V e outra num ponto da circunferência•raio da base: raio R do círculo•eixo de rotação:reta  determinada pelo centro do círculo e pelo vértice do cone 

O cone é um sólido geométrico obtido da revolução de um triângulo em torno de seu eixo vertical. Os cones

podem ser classificados em: cone circular oblíquo e cone circular reto. Iremos focar nossos estudos sobre o cone

circular reto, que é obtido após a revolução de um triângulo retângulo em torno de seu eixo vertical. Por

apresentar uma das faces arredondadas, os cones também são denominados de corpos redondos.

A figura a seguir exibe a planificação de um cone

g2 = h2 + R2

Cone reto      Todo cone cujo eixo de rotação é perpendicular à base é chamado cone reto, também denominado cone de revolução. Ele pode ser gerado pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.

Definição: é um sólido formado por todos os segmentos de reta que tem extremidade em V

(vértice) é a outra em um ponto do círculo (base).

Cone Equilátero:O cone circular reto cujas secções meridianas são

regiões limitadas por triângulos equiláteros é chamado de cone equilátero. Logo, a geratriz é

igual ao dobro do raio, isto é, g = 2R.

Secção meridiana      A secção determinada, num cone de revolução, por um plano que contém o eixo de rotação é chamada secção meridiana.

  Se o triângulo AVB for equilátero, o cone também será equilátero:                                 

A B

V

Secção meridiana

Área do Cone  Desenvolvendo a superfície lateral de

um cone circular reto, obtemos um setor circular de raio g e

comprimento  : L = 2..R

 Assim, temos de considerar as seguintes áreas:a) área lateral (AL): área do setor circular AL = .R.g

b) área da base (AB):área do circulo do raio R AB = .R2

c) área total (AT):soma da área lateral com a área da baseAT = AL + AB = Rg + R2 AT = R.(g + R)

Áreas

Exemplo 1. Calcule a área total de um cone cujo raio da base mede 6cm e a altura 8cm.                                        Solução: Para calcular a área total do cone é preciso conhecer as medidas do raio da base e da geratriz. Como foram dados somente a medida do raio e da altura, precisamos determinar a medida da geratriz. Para isso utilizaremos a relação fundamental existente entre esses três elementos. g2 = h2 + r2

g2 = 82 + 62

g2 = 64 + 36g2 = 100g = 10 cm

Conhecidas as medidas do raio e da geratriz, basta aplicar a fórmula da área total. Segue que:

Exemplo 2. Determine a área total do cone abaixo. Solução: Pela figura temos que r = 40 cm e g = 70 cm. Como já conhecemos as medidas do raio da base e da geratriz, podemos aplicar diretamente a fórmula da área total.

Volume       Para determinar o volume do cone, vamos ver como calcular volumes de sólidos de revolução. Observe a figura:

         Sabemos, pelo Teorema de Pappus - Guldin, que, quando uma superfície gira em torno de um eixo e, gera um volume tal que: V = 2..d.S          Vamos, então, determinar o volume do cone de revolução gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno do cateto h:

d = distância do centro de

gravidade (CG) da sua superfície ao

eixo eS=área da superfície

        O CG do triângulo está a uma distância     do eixo de rotação.

Logo:

Fórmulas de áreas e volume:

DIVERSÃODE

CASA/AULA

1 – Um cone circular reto tem 10 cm de raio da base e 24 cm de altura. Calcule a área total e o volume desse cone.

g2 = h2 + r2

g2 = 242 + 102

g2 = 676g = 26 cm

AT = .r.(r + g)AT = .10.(10 + 26)AT = 360 cm2

2 – A superfície lateral de um cone é um setor circular de 12 cm e ângulo central de 120º. Calcule a área total desse cone.

.122 _____ 360ºAL _____ 120ºAL = 144. 3 AL = 48 cm2

AL = .r.g48. = .r.12r = 4 cm

AT = .r.(r + g)AT = .4.(4 + 12)AT = 64 cm2

3 – calcule a área total e o volume de um cone equilátero cuja geratriz mede 20 cm. (Obs.: em um cone equilátero, a geratriz é igual ao diâmetro da base.)

g = 2.rg = 20 cmR = 10 cm

g2 = h2 + r2

202 = h2 + 102

h2 = 300h = 10.3 cm

AT = .r.(r + g)AT = .10.(10 + 20)AT = 300 cm2

4 – Um cone é gerado pela rotação completa de um triângulo retângulo, de catetos medindo 15 cm e 8 cm, em torno do cateto maior. Calcule a área total e o volume desse cone.g2 = h2 + r2

g2 = 152 + 82

g2 = 225 + 64g2 = 289g = 17 cm

AT = .r.(r + g)AT = .8.(8 + 17)AT = 200 cm2

g

5 – Considere um triângulo retângulo de catetos medindo 5 cm e 12 cm. Gira-se o triângulo em torno do cateto maior, obtendo-se um cone circular reto. Analise as proposições abaixo, marcando (V) para as verdadeiras e (F) para as falsas. ( ) A geratriz do cone mede 13 cm.( ) A área lateral do cone é igual a 60 cm2.( ) O volume do cone é igual a 100 cm3.( ) A área total do cone é igual a 90 cm2.( ) O volume do cone obtido em torno do cateto menor é o mesmo que daquele que se obtém em torno do cateto maior.

FV

F

V

V

6 – Um cone reto tem 4 cm de altura e o raio da base mede 3 cm. Vamos calcular a área lateral e o volume:

g2 = 42 + 32

g2 = 16 + 9 = 25 g = 5 cmAL = .r.gAL = .3.5AL = 15 cm2

V = 1 . 9. 4 V = 12 cm3

3

7 – Vamos calcular o volume a área lateral de um cone reto cuja geratriz é igual ao diâmetro da base.

4r2 = h2 + r2

h2 = 3r2 h = r.3

AB = .r2 V = .r2.r3h = r.3 3 V = .r33 3

AL = .r.gAL = .r.2rAL = 2r2 cm2

8 – Calcule a área lateral e o volume de um cone equilátero, sabendo que o raio da base mede 5 cm.9 – Em um cone reto, o raio da base e a altura medem respectivamente 5 cm e 12 cm. Determine:a) Sua área lateral;b) Sua área total;c) Seu volume.10 – Em um cone reto, a área lateral é igual a 48 cm2 e o raio da base mede 6 cm. Calcule a geratriz.

11 – Em um cone reto, o raio da base é a metade da medida da geratriz e a área lateral 18 cm2 . Calcule o raio da base e o volume do cone. 12 – A base de um cone reto está inscrita em um quadrado de 6m de lado. Sabendo que a geratriz do cone mede 5m, calcule o volume e a área lateral do cone.

13 – Qual a geratriz de um cone equilátero cujo volume é igual a .3 cm3 ?

14 – Qual o volume de um cone circular reto inscrito em um cilindro de 4m de altura e raio da base igual a 3m ?

15 – Qual o volume de um cone reto inscrito em um cubo de 3m de aresta ?

16 – Uma ampulheta é formada por dois cones retos idênticos, tendo cada um deles 6 cm de diâmetro na base e 10 cm de altura. Um deles está completamente cheio de areia e esta ecoa para o outro cone à razão de 0,5 cm3 por segundo.O tempo necessário para escoar totalmente a areia de um cone para outro é:a) Menor que 2 min;b) Entre 2min e 3 min;c) Entre 3min e 4min;d) Entre 4min e 5 min;e) Maior que 5min.