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ANÁLISE NUMÉRICA DA FORMAÇÃO DE CONES DE

ÁGUA EM RESERVATÓRIOS DE PETRÓLEO

Ronnymaxwell Silva Gomes de Santana

Projeto de Graduação apresentado ao Curso de

Engenharia do Petróleo da Escola Politécnica,

Universidade Federal do Rio de Janeiro, como

parte dos requisitos necessários à obtenção do

título de Engenheiro.

Orientador: Prof. Paulo Couto, Dr. Eng

Rio de Janeiro

Março de 2014

ii

ANÁLISE NUMÉRICA DA FORMAÇÃO DE CONES DE

ÁGUA EM RESERVATÓRIOS DE PETRÓLEO


PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO

DE ENGENHARIA DO PETRÓLEO DA ESCOLA POLITÉCNICA DA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO, COMO PARTE DOS

REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE

ENGENHEIRO DO PETRÓLEO.

Examinado por:

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

MARÇO de 2014

iii

Santana, Ronnymaxwell Silva Gomes de

Análise Numérica da Formação de Cones de Água em Reservatórios de

Petróleo/ Ronnymaxwell Silva Gomes de Santana – Rio de Janeiro: UFRJ/

Escola Politécnica, 2014.

XIV, 110p.: il.: 29,7 cm

Orientador: Paulo Couto

Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso de

Engenharia do Petróleo, 2014.

Referências Bibliográficas: p.80 - 85

1. Cone de Água. 2. Simulação de Reservatórios. 3. Fluxo Bifásico. 4.

Coordenadas Cilíndricas. 5. Método dos Volumes Finitos. 6. Método IMPES.

I. Couto, Paulo. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola

Politécnica, Curso de Engenharia do Petróleo. III. Título.

iv

Dedicatória

Dedico este trabalho a meu pai, Ronildo, e a minha mãe, Ana Flor, pelo carinho e apoio

incondicional em todos os momentos de minha vida. Dedico, ainda, este trabalho a

minha avó Valdelice (In memoriam).

v

Agradecimentos

A Deus.

Ao meu pai, à minha mãe, à minha irmã.

À UFRJ, a eterna Universidade do Brasil.

Aos professores do curso de Engenharia do Petróleo, em especial ao meu orientador,

Professor Paulo Couto, pelo apoio vital e ensinamentos para o desenvolvimento deste

trabalho, bem como para o meu desenvolvimento acadêmico. Agradeço, ainda, ao

Professor Alexandre Leiras, por tudo que ele fez pelo curso de Engenharia de Petróleo

da UFRJ.

Ao LAMCE – COPPE/UFRJ e sua equipe, em especial ao Professor Luiz Landau, e à

Agência Nacional do Petróleo, Gás Natural e Biocombustíveis, que através do Programa

de Recursos Humanos PRH-02 ANP possibilitaram os recursos financeiros para a

realização deste trabalho.

Ao NIDF – COPPE/UFRJ e sua equipe, pelo espaço cedido e acolhimento, tornando-se

efetivamente minha segunda casa, e possibilitando a concretização deste projeto.

Aos meus amigos desde a época de colégio: Marcus Vinicius, Paulo Vinicius, Walter

Cavalieri. Muito obrigado por suas amizades!

Aos meus companheiros de curso, e às amizades formadas nestes longos, porém breves,

cinco anos de convivência. Em especial, Beatriz Manchester, Elísio Quintino, Julia

Stock, Marcelo Teles, Mateus Ramires, Philip Stape, Rafael Longhi, Raphael Salles,

Thiago Sauma. Meus sinceros agradecimentos por cada momento único, os quais

apenas vocês poderiam me proporcionar!

vi

Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como parte

dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro do Petróleo.

Análise Numérica da Formação de Cones de Água em Reservatórios de Petróleo


Março/2014

Orientador: Prof. Paulo Couto, Dr. Eng

Curso: Engenharia do Petróleo

A formação de cones de água em reservatórios de petróleo é uma das formas pela qual a

água é indesejavelmente produzida, encarecendo os custos de produção do óleo. O

presente trabalho tem por objetivo estudar e investigar este incômodo fenômeno,

utilizando para tal a simulação numérica de reservatórios. Fez-se uma revisão

bibliográfica sobre o tema, discutindo algumas das soluções propostas na literatura. Um

modelo físico na forma cilíndrica, bifásico com uma região de óleo e um aquífero de

fundo, e com um único poço produtor em seu centro foi designado para se analisar o

fenômeno. O modelo matemático envolveu o desenvolvimento da Equação da

Difusividade Hidráulica para óleo e água, lei que rege o escoamento de fluidos em

meios porosos. O modelo numérico utilizou o Método dos Volumes Finitos e a

abordagem IMPES para a aproximação da solução da equação supracitada. Destes três

modelos, as equações e matrizes resultantes foram implementadas no software Wolfram

Mathematica 8, onde o simulador foi construído. Usando o mesmo, procedeu-se com

uma análise de sensibilidade, onde se observou que as permeabilidades horizontal e

vertical, densidade/viscosidade do óleo, espessura da zona produtora e o esquema de

vazão/canhoneio adotado foram os parâmetros mais influentes no fenômeno. Ainda, o

custo de produção da água foi estimado, realizando uma análise econômica e

comparando esquemas de produção, concluindo-se que maiores vazões de óleo, mesmo

com a produção maior de água, são mais vantajosas economicamente e que esquemas de

completação dupla podem melhorar o lucro, principalmente a baixas vazões de

produção.

Palavras-Chave: Cone de Água, Simulação de Reservatórios, Fluxo Bifásico,

Coordenadas Cilíndricas, Método dos Volumes Finitos, Método IMPES.

vii

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of

the requirements for the degree of Petroleum Engineer.

Numerical Analysis of Water Coning Phenomenon in Oil Reservoirs


March/2014

Advisor: Paulo Couto, Dr. Eng

Course: Petroleum Engineering

The water coning in oil reservoirs is one of the forms that water is undesirably

produced, resulting in higher water-cuts and expensive oil production. The present work

studies and investigates this phenomenon, using the reservoir simulation to achieve this

objective. A literature review explains the physics behind the water coning, and shows

attempts of solving it. The physical model, a cylindrical oil reservoir and a bottom

aquifer, with only one producer well and no other sources or sinks was design to

analyze the problem. The mathematical model is based on the Diffusivity Hydraulic

Equation for both phases, the basic law that describes the fluid motion in porous media.

The numerical model that resolves those Equations uses the Finite Volume Method and

IMPES approach. From those three models, the resulting equations and matrixes were

implemented on Wolfram Mathematica 8 software, where the simulator was build.

Using the simulation model, a sensitivity analysis was conducted, showing that the

horizontal permeability, oil density/viscosity, pay-zone, oil flow rate and perforation

interval are the most influent parameters on water coning and breakthrough time.

Furthermore, some brazilian operating costs were applied to derive an economic

analysis, showing that higher oil rates yield better results for a simple perforation

pattern, and that dual completion techniques can be applied to low oil rate schemes to

improve the oil revenue.

Keywords: Water Coning, Reservoir Simulation, Two-Phase Flow, Cylindrical

Coordinates, Finite Volume Method, IMPES Method.

viii

Sumário

Lista de Figuras .................................................................................................................................... x

Lista de Tabelas ................................................................................................................................... xii

Nomenclatura .................................................................................................................................... xiii

Símbolos Gregos ................................................................................................................................ xiii

Subscritos .......................................................................................................................................... xiv

Sobrescritos ....................................................................................................................................... xiv

1 Introdução .................................................................................................................................... 1

1.1 Motivação e Objetivos ................................................................................................................ 2

1.2 Estrutura do Trabalho ................................................................................................................. 3

2 O Cone de Água ........................................................................................................................... 4

2.1 O Fenômeno Físico do Cone de Água ........................................................................................ 4

2.2 Revisão Bibliográfica .................................................................................................................. 6 2.2.1 Modelos Analíticos ................................................................................................................. 6

2.2.2 Modelos Numéricos ................................................................................................................ 8

2.2.3 Modelos Experimentais ........................................................................................................ 11

2.3 Soluções Propostas para Controle do Cone de Água ................................................................ 13

2.4 Considerações do Capítulo........................................................................................................ 17

3 Modelagem do Problema ........................................................................................................... 19

3.1 Modelo Físico ........................................................................................................................... 20 3.1.1 Geometria do Sistema ........................................................................................................... 20

3.2 Conceitos Físico-Matemáticos de Rochas e Fluidos ................................................................. 22 3.2.1 Propriedades das Rochas ...................................................................................................... 22

3.2.2 Propriedades dos Fluidos ...................................................................................................... 26

3.3 Modelo Matemático .................................................................................................................. 31 3.3.1 Considerações Iniciais .......................................................................................................... 31

3.3.1.1 Equação de Continuidade ............................................................................................ 32

3.3.1.2 Lei de Darcy .................................................................................................................. 35

3.3.1.3 Equação de Estado ....................................................................................................... 36

3.3.2 Equação da Difusividade Hidráulica .................................................................................... 37

3.4 Modelo Numérico ..................................................................................................................... 40 3.4.1 Método dos Volumes Finitos ................................................................................................ 40

3.4.2 O Método IMPES ................................................................................................................. 50


ix

4 Estudos de Caso ......................................................................................................................... 56

4.1 Construção do Simulador .......................................................................................................... 56 4.1.1 Dados de Entrada .................................................................................................................. 56

4.1.2 Grid Numérico ...................................................................................................................... 58

4.2 Análise de Sensibilidade ........................................................................................................... 64

4.3 Análise Econômica para a Completação Simples de Poço ....................................................... 69

4.4 Análise Econômica para a Completação Dupla de Poço .......................................................... 73


5 Conclusões .................................................................................................................................. 78

6 Bibliografia ................................................................................................................................. 80

Apêndice ............................................................................................................................................. 86

x

Lista de Figuras

Figura 1 - Projeções das demandas energéticas até o ano 2040 (Fonte: EIA, International Energy

Outlook [1]) ................................................................................................................................... 1

Figura 2 – O Cone de Água ........................................................................................................... 4

Figura 3 – Forças Atuantes no Contato Óleo Água em: (a) Condições Estáticas, (b) Condições

de Cone Instável, (c) Condições de Cone Estável ......................................................................... 5

Figura 4 – Exemplo do Processo de Discretização Numérica Tridimensional (adaptado de

Ertekin et al [9]) ............................................................................................................................ 9

Figura 5 – Modelo Experimental de Sobocinski e Cornelius (adaptado de Sobocinski, D. P. e

Cornelius A. J. [6]) ...................................................................................................................... 12

Figura 6 – Os Esquemas de Completação (a) Simples, (b) Dupla e (c) Loop de Água .............. 16

Figura 7 – Etapas para a Modelagem do Simulador Numérico .................................................. 19

Figura 8 – Esquema do Reservatório 3D e Visualização do Corte Radial 2D ............................ 20

Figura 9 – Curvas de Permeabilidade Relativa Usadas no Simulador ........................................ 25

Figura 10 – Viscosidades Utilizadas no Simulador ..................................................................... 28

Figura 11 – Fator Volume Formação para Óleo e Água do Modelo ........................................... 28

Figura 12 – Pressões Capilares adotadas no Modelo .................................................................. 30

Figura 13 – Relação entre Altura de Transição e Saturação ....................................................... 31

Figura 14 – Volume de Controle Cilíndrico (Fonte: Ertekin et al [9]) ....................................... 32

Figura 15 – Discretização Usada para o Método dos Volumes Finitos ...................................... 41

Figura 16 – Procedimento IMPES de Cálculo (adaptado de Hartmann H.G [40]) ..................... 51

Figura 17 – Tempo de Simulação para os Grids de Interesse ..................................................... 61

Figura 18 – Medição do Tempo de Breakthrough para o Caso Base .......................................... 65

Figura 19 - Perfis de Saturação ao Redor do Poço e Conificação de Água ................................ 65

Figura 20 - Análise de Sensibilidade para Diversos Parâmetros Testados ................................. 67

Figura 21 - Análise de Sensibilidade para o Intervalo de Canhoneio ......................................... 68

Figura 22 - Análise de Sensibilidade para a Vazão de Óleo ....................................................... 69

Figura 23 - Exemplificação do Cálculo de Alguns Intervalos de Canhoneio ............................. 70

xi

Figura 24 - Análise do Tempo de Breakthrough para Canhoneio Duplo .................................... 74

xii

Lista de Tabelas

Tabela 1 – Propriedades Físicas do Reservatório ........................................................................ 57

Tabela 2 – Dados do Sistema Poço-Reservatório ....................................................................... 58

Tabela 3 – Tempo de Simulação para 3 meses de produção e time-step de 1 dia ....................... 60

Tabela 4 - Discrepância Relativa para os Grids .......................................................................... 62

Tabela 5 - Comparação entre os Grids 15x10 e 20x20 para três meses de produção ................. 63

Tabela 6 - Comparação entre os Grids 15x10 e 20x20 para seis meses de produção ................. 64

Tabela 7 - Premissas Econômicas Adotadas ............................................................................... 71

Tabela 8 - Resultados Econômicos para o Canhoneio Simples .................................................. 71

Tabela 9 - Análise Econômica para Alguns Casos de Canhoneio Duplo .................................... 75

xiii

Nomenclatura A Coeficientes do Sistema Linear de Equações [(Pa.s)

-1]

A Área [m²]

B Coeficientes do Sistema Linear de Equações s-1

B Fator Volume Formação [m³/m³ std]

c Compressibilidade [Pa-1

]

g Gravidade [m/s²]

k Permeabilidade [ m²]

m Massa [kg]

P Pressão [Pa]

q Vazão [m³/d]

r Raio [m]

S Saturação [ ]

s Área da Superfície [m²]

t Tempo [s]

V Volume [m³]

z Altura [m]

Símbolos Gregos Porosidade [ ]

Diferença [ ]

Potencial ao Fluxo [Pa]

Viscosidade [Pa.s]

Azimute [ ]

Massa Específica [kg/m³]

Velocidade [m]

Transmissibilidade [(Pa.s)-1

]

xiv

Subscritos

b

Condição de Bolha do Reservatório

C

Posição Central

c Capilar

f Formação

e Posição Leste

n

Posição Norte

o Óleo

s Posição Sul

w

Água/Posição Oeste

ro

Relativa ao Óleo

rw

Relativa à Água

ref

Valor de referência

std

Nas Condições Padrão

wf

Fundo do Poço

wi

Água Inicial

ext

Externo

r Direção r

z Direção z

Direção θ

Direção β com Normal em α (para α, β = r, z, θ)

Sobrescritos

0 Condição Inicial

1

1 Introdução Segundo dados e previsões de [1], mesmo com a crise econômica de 2008-2009, estima-

se um aumento na demanda energética global em torno de 56% entre os anos de 2010 e

2040. E apesar do crescente uso de recursos renováveis, as projeções indicam que os

combustíveis fósseis se manterão como a principal fonte de energia global, suprindo

80% da demanda energética mundial, encabeçados petróleo e combustíveis líquidos,

como mostra a Figura 1:

Figura 1 - Projeções das demandas energéticas até o ano 2040 (Fonte: EIA,

International Energy Outlook [1])

No Brasil, encontra-se um cenário similar, e mesmo com o crescimento de fontes

alternativas e balanceada matriz energética quando comparado ao resto do mundo, a

maior fatia da demanda por energia ainda é suprida pelo petróleo, com 38,6% [2].

É fácil notar que a crescente necessidade por óleo pressionará a produção, exigindo

técnicas e métodos mais eficientes de explorar as reservas de hidrocarbonetos. No

cenário brasileiro, esta necessidade será impulsionada e traduzida pelas reservas do pré-

sal. De alto custo e elevada dificuldade envolvida, a economicidade é ainda mais crítica,

2

com cada etapa devendo ser minuciosamente estudada a fim de se evitar prejuízos e

desperdícios.

Uma das fontes de custo para a indústria do petróleo é a água, o maior subproduto da

produção de hidrocarbonetos, e com produção estimada em 3 vezes o volume mundial

de óleo produzido, chegando a uma razão de 7 barris de água para 1 barril de óleo no

caso dos Estados Unidos [3], de comprovada existência em diversos campos maduros.

A formação de cones de água em reservatórios de petróleo é uma das formas pela qual a

água é indesejavelmente produzida. Neste tipo de situação, a produção de água ocorre

devido a maior mobilidade ao escoamento que esta possui, quando comparada ao óleo,

o que leva ao deslocamento vertical do fluido presente no aquífero até a região

canhoneada de óleo, onde é produzida. O nome do fenômeno decorre do efeito visual da

subida de água, que lembra um cone.

Apesar da grande quantidade de pesquisa e estudos feitos, não existe uma solução

definitiva para o problema. Produzir a baixas vazões e canhonear o poço somente nas

regiões afastadas da zona de água são as propostas clássicas de se contornar o

fenômeno. Proposições mais recentes sugerem a utilização de múltiplas zonas de

canhoneio em um mesmo poço, como forma de separar a produção dos fluidos in-situ.

Em todos os casos, a mudança na estratégia de produção acarreta alteração dos custos

de preparação do poço, bem como no volume de hidrocarbonetos e água produzidos,

com um trade-off entre produzir mais agressivamente o reservatório (e lidar com maior

quantidade de água) ou fazê-lo de forma mais conservadora, com menor volume de

fluidos total produzido.

1.1 Motivação e Objetivos

O cone de água em reservatórios de petróleo apresenta-se como um problema atual,

complexo, e de alto interesse para uma indústria fortemente ligada à economicidade de

projetos, o que o torna extremamente relevante para se estudar. Ao longo dos anos,

diversos estudos trataram sobre o tema, mas com resultados por muitas vezes

conflitantes sobre a melhor ação a ser tomada diante do problema.

3

Assim, o objetivo do presente trabalho é ampliar os conhecimentos sobre o fenômeno

de cones de água em reservatórios de petróleo. Para tal, foi desenvolvido um simulador

de reservatórios a partir das equações fundamentais de fluxo em meios porosos, no qual

se permitisse a visualização dinâmica do fenômeno. Em seguida, utilizou-se o modelo

de simulação para a análise de sensibilidade da formação do cone de água. Por fim,

testou-se uma série de formas de canhoneio com o objetivo de se encontrar as formas

mais interessantes de se completar um poço, com base em critérios econômicos.

1.2 Estrutura do Trabalho

O trabalho seguiu a seguinte estrutura:

No capítulo 1, foi apresentada uma breve introdução ao problema de cones de água em

reservatórios de petróleo, objetivos e motivação que culminaram neste trabalho.

No capítulo 2, é feita uma descrição do fenômeno do cone de água em reservatórios de

óleo, juntamente com a revisão bibliográfica sobre o tema.

No capítulo 3, é apresentada a metodologia para a construção do simulador: os modelos

físico, matemático e numérico.

No capítulo 4, são apresentados os casos de estudo, resultados obtidos das simulações e

problemas encontrados na implementação do simulador.

No capítulo 5, são expostas as conclusões do trabalho e sugestões de temas futuros de

pesquisa.

4

2 O Cone de Água

2.1 O Fenômeno Físico do Cone de Água

Chama-se de conificação de água o efeito observado em reservatórios de óleo e gás

onde o contato entre a zona de hidrocarboneto e do aquífero do fundo eleva-se em

direção à região canhoneada, com parte da água bloqueando a produção de óleo/gás e

sendo produzida em seu lugar. A Figura 2 exibe esse comportamento: à esquerda, a

posição inicial do contato óleo-água; à direita, a sua representação após algum tempo de

produção, tomando uma forma de cônica.

Figura 2 – O Cone de Água

Um sistema físico como o da Figura 2 está sujeito à ação de três forças, principalmente:

gravitacionais, viscosas e capilares [4].

Em condições estáticas, a organização dos fluidos no reservatório ocorre de acordo com

as suas densidades, com a água posicionando-se abaixo do óleo [5]. Comumente, entre a

interface das fases, existe uma região de transição, de acordo com as propriedades das

rochas e fluidos, que é mantida em equilíbrio por conta das forças capilares e forças

gravitacionais, conforme a Figura 3.

5

A colocação da zona de óleo à produção induz um diferencial de pressão junto ao poço,

resultando no surgimento de forças viscosas (dinâmicas) no reservatório. Em certas

ocasiões, esta queda de pressão pode atingir a região do contato óleo-água,

desequilibrando-a, e com conseguinte elevação da água [4], [5], [6]. Como a propagação

dessa queda de pressão ocorre circunferencialmente, a intensidade das forças dinâmicas

resultantes é maior nas proximidades do poço [7], resultando assim, em maior subida da

água nesta região quando comparada às fronteiras externas do reservatório,

caracterizando a formação de um contato óleo-água na forma cônica.

Figura 3 – Forças Atuantes no Contato Óleo Água em: (a) Condições Estáticas, (b)

Condições de Cone Instável, (c) Condições de Cone Estável

Uma vez formado o cone, a subida de água ocorre até que as forças gravitacionais

equilibrem as forças viscosas. Se o equilíbrio for atingido antes que a água seja

produzida, então uma condição de cone estável será atingida. Este tipo de situação

depende do valor da vazão de produção, e só ocorre no regime estacionário, em que as

condições de produção e fronteira são mantidas constantes ao longo do tempo. O limite

6

para a ocorrência da estabilidade é conhecido como vazão crítica de produção de óleo,

acima do qual o sistema é instável [4], [5].

No entanto, a condição descrita no parágrafo anterior é dificilmente observada, por

requerer que as pressões e vazões de produção mantenham-se estabilizadas por um

longo tempo, nem sempre possível já que as condições de fluxo de fundo de poço

podem oscilar por efeitos fora do controle humano [4], [6]. Adicionalmente, para um

reservatório em que não haja manutenção de suas condições de borda (fronteira selada),

a depleção oriunda da produção acarreta em redução do valor da vazão crítica do

sistema, podendo um cone de água estável reverter para um esquema instável, o que é

chamado de cone de água “pseudo-estável” [4], [6].

Assim, a situação que mais ocorre na prática é a de cone instável, na qual o gradiente

viscoso mantem-se predominante e com a água paulatinamente subindo, até atingir a

região canhoneada na zona e óleo e ser produzida, situação conhecida na indústria como

breakthrough1 de água.

2.2 Revisão Bibliográfica

2.2.1 Modelos Analíticos

Diversos trabalhos se propuseram a estudar a conificação de água utilizando a

abordagem analítica, sendo alguns destacados a seguir. Soluções deste tipo envolvem

algum grau de simplificação, dada a complexidade do fenômeno e das equações que o

regem, o que pode limitar a aplicabilidade da resposta obtida [9]. No entanto, os

resultados podem ser utilizados de forma rápida, por meio de fórmulas e gráficos de

correlações, consumindo menos recursos do que simulações numéricas, e permitindo

uma quantificação dos efeitos do aquífero na estratégia de produção desejada.

1 "Tempo de Breakthrough" pode ser traduzido como "Tempo de Erupção" na literatura

portuguesa. Entretanto, será utilizada a forma estrangeira ao longo do texto.

7

Muskat e Wyckoff [5] foram os primeiros a estudar o cone de água, usando para tal a

formulação analítica. Como descrito pelos autores, a complicada teoria envolvida no

fenômeno torna a solução exata impraticável. Assim, eles conduzem sua análise

considerando a distribuição dos fluidos sem a ocorrência de breakthrough, resolvendo a

equação de equilíbrio na interface óleo-água nesta condição. Altura máxima atingida

pelo cone de água, existência de anisotropia simbolizada por camadas de folhelho,

vazões críticas e canhoneio parcial da zona de óleo são alguns dos pontos levantados e

discutidos, servindo de base para diversos estudos subsequentes.

Meyer e Garder [8] trataram o problema para os cones de água e gás, sob a hipótese de

que apenas uma das fases está escoando, com as outras consideradas estáticas, obtendo

assim, fórmulas para a vazão crítica dos sistemas óleo-água, gás-óleo, gás-água e gás-

óleo-água. Eles ainda sugerem a implementação de uma barreira impermeável de

cimento no fundo do poço, como forma de controle do cone de água, que funcionariam

similarmente às formações selantes de folhelhos destacadas por Muskat [5].

Dada a escassa quantidade de correlações analíticas após o breakthrough de água,

Bournazel e Jeanson [10], propuseram um método de avaliação da razão água-óleo

antes e após o breakthrough, combinando abordagens analíticas simplificadas, baseadas

no estudo de Sobocinski e Cornelius [6], e correlações experimentais com grupos

adimensionais e relações de similaridade. A aplicação do modelo obtido mostrou que a

densidade do óleo, vazão de produção e a razão de permeabilidades possuem alta

influência na conificação, e que o tamanho do aquífero, raio do poço e raio externo

pouco influenciam no fenômeno. Estudos mais recentes, como o de Ilke e Debasmita

[11] também tentam desenvolver correlações pós-breakthrough, de forma semi-analítica

(usam fórmulas iterativamente), como alternativa aos métodos numéricos.

Guo e Lee [12] destacaram a importância de se considerar os efeitos de canhoneio

limitado no poço, através de um modelo radial/esférico combinado, onde o gradiente

junto ao canhoneio desde o topo é radial, tornando-se esférico na extremidade

canhoneada mais próxima da água. Essa abordagem permitiu aos autores encontrar o

intervalo ótmo de canhoneio para uma maior vazão crítica como sendo um terço da zona

produtora, diferentemente das correlações anteriores, que previam as maiores vazões

8

críticas para intervalos canhoneados próximo de zero. Em trabalho posterior,

considerando formações de alta condutividade e anisotropia, a posição ótima encontrada

usando a metodologia de gradiente combinado foi metade do pay-zone [13], em

resultado muito próximo do modelo numérico radial de Abass e Bass [14].

2.2.2 Modelos Numéricos

Com a crescente evolução e aumento da capacidade de processamento dos

computadores nos últimos anos, custos decrescentes, possibilidade de descrição de

sistemas mais fidedignos à realidade do que as abordagens analíticas e avanço nas

técnicas de resolução numérica de equações diferenciais parciais, a simulação numérica

de reservatórios vem ganhando cada vez mais espaço como ferramenta de avaliação e

predição do comportamento de reservatórios [9], [15].

Assim, os modelos numéricos são aqueles que se utilizam das simulações

computacionais para extrair resultados e conclusões a cerca do problema estudado ou

estratégia analisada. A simulação computacional, por sua vez, se vale dos métodos

numéricos de resolução de equações, provendo soluções aproximadas para uma série de

problemas [9], [15].

Um simulador descreve o reservatório a ser estudado através de um número finito de

blocos em finitas posições no tempo. Cada bloco carrega, em uma determinada posição

e instante, as diversas propriedades do reservatório de forma constante. No contato entre

eles, uma série de equações são acopladas e resolvidas, determinando o fluxo de entrada

e saída de fluidos em cada bloco. A cada time-step (intervalo de tempo), as propriedades

são reavaliadas, determinando assim, a distribuição de pressões e saturações do

reservatório para alguns pontos do espaço e do tempo [16].

9

Figura 4 – Exemplo do Processo de Discretização Numérica Tridimensional

(adaptado de Ertekin et al [9])

Entretanto, os problemas de conificação possuem uma maior dificuldade de serem

modelados nos tradicionais simuladores numéricos. Isto decorre das elevadas

velocidades dos fluidos convergindo junto ao poço, o que pode gerar problemas de

convergência devido às pequenas dimensões dos blocos necessários para se modelar a

fronteira do poço (em sistemas radiais r-z). Assim, requer-se cuidado adicional ao se

utilizar os tradicionais métodos do tipo IMPES (Implicit Pressure Explicit Saturation),

limitando-se severamente os time-steps utilizados, ou mesmo escolhendo outros

métodos e procedimentos de resolução numérica [15], [17]. Mesmo assim, diversos

trabalhos utilizaram os métodos numéricos para investigação do fenômeno.

Sobocinski e Cornelius [6] estudaram o comportamento do contato óleo-água e

crescimento do cone com a produção. Combinando dados experimentais e resultados

computacionais de um modelo bidimensional, eles obtiveram uma correlação que

descreve a altura atingida pelo contato após um determinado tempo, podendo ser usada

para previsão do tempo de breakthrough, e visualização do perfil do cone. Mesmo com

o uso de grupamentos adimensionais, os resultados são melhores apenas em uma faixa

10

intermediária de valores, em decorrência da pequena variação nos parâmetros

possibilitada nos modelos.

Miller e Rogers [18] analisaram os efeitos de curto e longo prazo do cone de água na

performance dos poços de óleo. Utilizando um modelo de simulação totalmente

implícito, eles verificaram que um poço pode ser testado para altas vazões de óleo e em

seguida ser fechado ou ter sua vazão reduzida, levando assim a uma redução da razão

água-óleo aos valores antes do teste de poço. A análise de longo prazo concluiu que a

resposta do poço é mais afetada pela espessura da camada de óleo do reservatório. De

sua análise econômica, concluíram ainda que altas vazões de óleo, mesmo com a maior

produção de água, seria economicamente vantajoso.

Bryne Jr. E Morse [19] também defenderam a utilização de maiores vazões para a

produção de sistemas influenciados por conificação. Utilizando a eliminação gaussiana

para resolução da pressão e saturação do óleo, e limitando o time-step por um valor

arbitrário máximo de variação de saturação, os autores encontraram que o aumento da

razão água-óleo era decorrente dos maiores intervalos de canhoneio e de maiores

drawdowns (diferencial de pressão) junto ao poço, além de ser influenciada pela razão

de permeabilidades horizontal e vertical. Os autores não encontraram evidências de que

a recuperação final de óleo fosse afetada pelas maiores vazões de produção e atuação do

cone de água.

Aziz e Flores [20] observaram que a viscosidade do óleo é um importante parâmetro na

manutenção de baixas razões água-óleo. Suas simulações numéricas mostraram que um

reservatório acima da pressão de bolha (cuja viscosidade é mínima e constante)

apresenta melhor performance do que um sistema com liberação de gás (com crescente

viscosidade do óleo), que acarreta maiores razões água-óleo precocemente. Os autores

compararam seu modelo com as correlações de Sobocinski e Cornelius [6] e de

Bournazel e Jeanson [10], concluindo que ambas não eram acuradas.

Chappelear e Hirasaki [21] desenvolveram um modelo analítico de conificação,

assumindo equilíbrio vertical dos fluidos e fluxo segregado em toda a extensão do

reservatório, exceto junto ao poço. Os autores chegaram a uma correlação envolvendo a

11

razão água-óleo, vazão total de produção e a espessura média na zona de óleo, a qual

fora implementada e comparada com um simulador semi-implícito black-oil. Os

modelos apresentaram boa concordância entre si, além de indicaram maior influência da

permeabilidade horizontal no tempo de breakthrough, e pouca da permeabilidade

vertical.

2.2.3 Modelos Experimentais

Modelos experimentais tentam replicar, nas condições de laboratório, os fenômenos que

ocorrem no reservatório, dividindo-se entre os modelos análogos e físicos. Apesar de

estarem cada vez mais perdendo espaço para os modelos numéricos, o estudo

experimental sob a forma de modelos físicos ainda é executado [9].

Raros nos dias atuais, os modelos análogos buscavam simular as condições de

reservatório através de comparação e inferência com outros fenômenos físicos regidos

por leis similares a da mecânica dos fluidos, como a condução elétrica e de calor [9].

Estudos como o de Chierici et al. [22] utilizaram modelos deste tipo, determinando

correlações como a de vazões críticas para a conificação de água

Os modelos experimentais físicos fundamentam-se nas medições diretas do escoamento

dos fluidos. Devido às limitações de espaço, as dimensões físicas do aparato

experimental não são iguais as do meio real. Assim, para que os resultados obtidos em

laboratório sejam aplicáveis à realidade, o experimento deve ser conduzido de modo

que haja semelhança geométrica (proporcionalidade entre dimensões) e dinâmica

(proporcionalidade entre forças) entre o aparato e o modelo. Para o cone de água, as

razões entre raios externo e do poço, altura do aquífero e da zona de óleo, forças de

inércia e viscosas, representam algumas das condições a serem igualadas [6], [9],[23].

O aparato utilizado por Sobocinski e Cornelius [6] encontra-se esquematizado na Figura

5. Construído com material transparente, e preenchido com areia, o modelo permite a

visualização dinâmica da formação do cone de água. A produção é simulada pela

abertura de válvulas ligadas a uma bomba, permitindo que diversos esquemas de

12

canhoneio sejam testados, e as condições de fronteira são representadas pela injeção de

fluidos na extremidade externa do modelo.

Figura 5 – Modelo Experimental de Sobocinski e Cornelius (adaptado de

Sobocinski, D. P. e Cornelius A. J. [6])

Khan [23] utilizou um modelo similar para seu experimento de reservatórios

homogêneos, mas colocando a zona de óleo abaixo da zona de aquífero, como forma de

modelar melhor a capilaridade entre os fluidos, e permitir a modelagem da saturação

residual de óleo na porção de água, usando grãos de diferentes consolidações para as

fases. Os resultados encontrados por Khan mostram que a razão de mobilidade possui

grande influência na produção de água, com razões maiores produzindo cones mais

acentuados junto ao poço e razões menores que 1, cones mais achatados e espalhados

radialmente.

13

2.3 Soluções Propostas para Controle do Cone de Água

Com os resultados obtidos pelos diversos estudos sobre o tema, uma gama de

informações pode ser obtida sobre o processo de conificação de água em reservatórios

de petróleo. Hoje, sabe-se que variáveis como a permeabilidade horizontal, espessura da

zona produtora, viscosidade do óleo, vazão de produção e razão de mobilidade possuem

um papel determinante na evolução do cone e subsequente produção de água. Contudo,

os maiores esforços aplicados foram para se encontrar soluções que pudessem mitigar

ou mesmo resolver definitivamente este indesejado fenômeno, nem sempre atingindo os

resultados desejados, no entanto.

A vazão crítica é, dentre as soluções pesquisadas, a que mais atraiu a atenção dos

pesquisadores, resultando em diversos estudos e correlações, como os de Muskat e

Wyckoff [5], Meyer e Garder [8], Chierici et al. [22], Sobocinski e Cornelius [6],

Wheatley [24], Chaperon [25], Abass e Bass [14], Hoyland et al. [26], Guo e Lee [12],

Tabatabaei et al. [13]. Conforme descrito anteriormente, se um sistema produz com

vazão acima do valor crítico (vazão supercrítica), então haverá em algum momento a

produção de água decorrente da conificação., enquanto que para valores iguais ou

abaixo do crítico a produção ocorre livre de água. As diversas correlações tem por

objetivo fornecer uma rápida estimativa para engenheiros, norteando assim a vazão

ideal para desenvolvimento dos reservatórios.

Infelizmente, este tipo de abordagem possui algumas limitações e inconvenientes. De

fato, muitas correlações para a vazão crítica apresentam concordância com valores

obtidos em campo, mas existem consideráveis diferenças entre os valores previstos,

como exposto por Guo e Lee [12] e calculado por Joshi em [27], possivelmente

decorrente das hipóteses adotadas para a formulação [27]. Assim, deve se tomar cuidado

ao aplicar uma das fórmulas, especialmente se as condições do reservatório não forem

muito próximas ao do modelo escolhido. Além disso, questões econômicas podem

motivar que a produção se dê acima do valor crítico, usualmente baixo [27]. A produção

no valor crítico, portanto, dependeria muito mais da vontade de se produzir óleo

completamente livre de água do que uma otimização econômica da produção.

14

Além da limitação da vazão de produção, diversos outros métodos de mitigação foram

propostos. Guo e Lee [12] propuseram o uso de um canhoneio de poço limitado e longe

do contato óleo água, o que evita a produção de água mas não necessariamente

maximiza o lucro. Chaperon [25] sugeriu a utilização de poços horizontais, mostrando

que o mesmo permitia maiores vazões críticas em relação aos verticais, mas a elevação

de água (water cresting) aproximava-se mais dos canhoneados do que nos poços

tradicionais, o que poderia ser ainda mais problemático em casos de breakthrough e

controle da água produzida. Apesar disso, o estudo de campo de Moawad et al. [28]

mostrou sucesso com a perfuração de poços horizontais para substituição de poços

verticais em campos maduros, reduzindo o volume de água e aumentando a produção de

óleo.

Injeção de gases (CO2, N2, CH4) como forma de controle do cone de água também foi

proposta. Rajan e Luhning [29] utilizaram um aparato experimental e simulações

numéricas para analisar este fenômeno, encontrando que a injeção pode auxiliar a

mobilização de óleos pesados pela redução de sua viscosidade, inversão de

molhabilidade da rocha e redução da permeabilidade relativa à água, com menores

volumes desta produzida. Para óleos com gás dissolvido, os compostos injetados

tendem a escoar longe do contato óleo-água, reduzindo a eficiência do método.

Pirson e Mehta [30] utilizaram um simulador bifásico para estudar a viabilidade de

alguns métodos de produção com controle da água. O primeiro deles era a injeção de

óleo, que suprimia efetivamente a razão água-óleo por um fator de 4, mas apresentava

desvantagens econômicas por requerer que muito óleo fosse bombeado para o

reservatório. Tal desvantagem, contudo, poderia ser revertida se o óleo a ser injetado

fosse do próprio reservatório, através do uso de bombeio dentro do próprio poço.

Ainda, Pirson e Mehta analisaram a viabilidade das barreiras impermeáveis junto ao

poço, ideia sugerida por Muskat e Wyckoff [5] e Meyer e Garder [8], e estudada por

Karp et al. [31] . Em teoria, uma barreira colocada na região abaixo dos canhoneados

composta por cimento ou outro produto injetado no poço impediria o avanço da água,

funcionando similarmente às lentes de folhelhos em reservatórios, em efeito discutido

15

por Muskat. Porém, os resultados obtidos por Pirson e Mehta indicaram que esse tipo de

barreira não resolve o problema, apenas atrasando o breakthrough por algum tempo.

Por fim, os autores discutiram a utilização de uma coluna de produção completada

duplamente, a fim de segregar a produção de óleo e água. Seus resultados indicaram que

o óleo resultante desta abordagem seria mais puro, o que cortava os custos de separação

de superfície, mas o volume de água produzido era equiparável os esquemas de

produção convencionais.

Mesmo assim, estudos mais recentes mostraram que o canhnoneio múltiplo de poço

pode ser usado para se controlar o cone de água, através de técnicas conhecidas como

dowhole water sink (DWS) e downhole water loop (DWL).

O DWS fundamenta-se em equilibrar a queda de pressão que decorre da produção de

óleo. Para tal, o poço é completado em duas seções separadas (uma na altura da zona de

óleo, outra diretamente no aquífero) por um packer de produção, com óleo fluindo pela

seção superior (Figura 6, item b). A vazão de água é tal que equilibra a queda de pressão

decorrente da produção de óleo. Como resultado, o contato óleo-água mantem-se

estabilizado, sem a formação do cone de água [32], [33], [34], [35]. A viabilidade da

técnica foi mostrada por Swisher e Wojtanowicz [33] em seu estudo de campo, onde o

poço testado apresentou os excelentes resultados econômicos e produtivos.

16

Figura 6 – Os Esquemas de Completação (a) Simples, (b) Dupla e (c) Loop de Água

Ould-amer et al. [36] também investigaram a técnica de DWS, usando um simulador

numérico totalmente implícito para resolução das equações de pressão e saturação. As

simulações mostraram que o cone de água formado é menos acentuado e eleva-se longe

do poço, o que evita o breakthrough de água na zona de óleo.

Apesar de controlar a subida do contato óleo-água, a técnica de DWS exige que um

volume muito grande de água seja bombeado até a superfície, o que encarece o método.

Assim, visando contornar este inconveniente, as técnicas de downhole water loop

(DWL) foram criadas (Figura 6, item c).

O funcionamento do DWL é parecido com o do DWS, só que a água produzida é

reinjetada na porção inferior do aquífero através de uma bomba submersível, instalada

no fundo do poço. Assim, a produção de óleo ocorre concomitantemente a um loop de

17

produção/injeção de água, sem que a mesma seja elevada até a superfície, controlando a

conificação e a interferência da pressão nas proximidades do poço [34],[37].

Jin et al. [34] estruturaram um modelo analítico usando baseando-se no equilíbrio de

forças e balanço de energia ao longo do eixo vertical do poço. Com isso, eles

conseguiram encontrar as fórmulas para vazão crítica de óleo e de água do sistema, para

que a produção dos fluidos ocorra segregada. O espaçamento entre os pontos de

produção e injeção de água também foi avaliado, onde os autores concluíram que esta

razão é fundamental no aumento da vazão crítica admissível no sistema, em relação aos

poços convencionais, mesmo para aquíferos menos espessos, onde o espaçamento

permitido é menor.

Em trabalhos posteriores, Jin e Wojtanowicz [37] reconfirmaram os resultados acima,

através de uma análise nodal. No entanto, foi observado que as vazões de produção para

poços com DWL eram menores do que os com DWS, o que requereria, portanto, uma

análise econômica entre as duas abordagens. Tal comparação fora feita pelos autores em

[38], exibindo que tanto poços com DWS, quanto aqueles com DWL eram

economicamente mais vantajosos do que os poços tradicionais. Os resultados

econômicos dos dois métodos foram muito similares, com o DWL apresentando valores

presentes líquidos sutilmente maiores, por evitar a produção exagerada de água. Assim,

campos com alto custo para tratamento da água, e com mobilidades desfavoráveis para

o óleo seriam fortes candidatos ao uso do DWL ao invés do DWS.

2.4 Considerações do Capítulo

Este capítulo discorreu sobre o fenômeno do cone de água. Os princípios físicos que

envolvem a deformação do contato entre fluidos no reservatório e subsequente produção

de água foram discutidos.

Foi feita uma revisão bibliográfica sobre o tema, com a discussão de alguns dos

diversos trabalhos realizados. Foram apontados os estudos analíticos, experimentais e

numéricos, suas vantagens e desvantagens, e as diversas abordagens aplicadas.

18

Algumas das soluções apontadas pelos autores – canhoneio limitado, vazão crítica de

produção, injeção de gás, injeção de cimento e formação de barreira, injeção de óleo,

uso de poços horizontais, canhoneio múltiplo do poço – foram discutidas, suas

particularidades, problemas e sucessos obtidos, evidenciando a dificuldade em se

encontrar soluções para o fenômeno.

19

3 Modelagem do Problema Este capítulo tem por objetivo explicitar e tratar o fenômeno de cones de água em três

níveis – físico, matemático e numérico – conforme a Figura 7, partindo-se das

características descritas na revisão bibliográfica e atingindo-se o modelo final para

implementação do simulador. Cada etapa conta com uma descrição detalhada dos

passos seguidos e hipóteses adotadas, de modo a não fugir da realidade do problema e a

permitir sua resolução.

Figura 7 – Etapas para a Modelagem do Simulador Numérico

20

3.1 Modelo Físico

3.1.1 Geometria do Sistema

O primeiro passo para se modelar o problema é a definição da geometria a ser estudada,

bem como as condições inicial e de contorno adotadas, de modo que sejam coerentes

com o fenômeno em questão.

Neste estudo, optou-se pela geometria cilíndrica, bidimensional no raio (800 metros de

extensão) e na altura (50 metros de zona de óleo e 100 metros de aquífero). Esta escolha

se dá pelo fato de representarem as principais direções de escoamento em um

reservatório com aquífero de fundo, com o óleo escoando majoritariamente pela direção

radial e a subida da água pela direção vertical. Todo o fenômeno é admitido como sendo

isotérmico.

A grande vantagem deste modelo é permitir a simplificação no posterior tratamento

matemático-numérico sem, no entanto, fugir da realidade do problema. O escoamento

na direção circunferencial foi descartado, pois, conforme visto adiante, as propriedades

serão tratadas como homogêneas. Assim, pode-se pensar na visualização bidimensional

como um corte vertical do comportamento dos fluidos no reservatório, como mostra a

Figura 8:

Figura 8 – Esquema do Reservatório 3D e Visualização do Corte Radial 2D

21

Com a geometria em mente, podemos escrever as condições do tempo e espaço. Para o

tempo (condição inicial), é imediato que a pressão em todos os pontos seja igual à

pressão inicial ou estática do reservatório (igual a 2 x107

Pascais).

0)0,,( PtzrP (1)

Para o espaço, tem-se as condições de contorno interna e externa. A primeira descreve o

poço, como e onde o fluido é produzido, refletindo o caso de completação de interesse.

Porções canhoneadas possuem vazões de produção na zona de óleo (completação

simples) ou em ambas porções óleo e água (completação dupla). Na existência de

reinjeção de água junto à fronteira do poço, existe uma terceira região aberta, que visa à

manutenção da pressão do reservatório (loop de água).

Matematicamente, os pontos de canhoneio são descritos por condições de vazão não

nula ou pressão prescrita. Fora destes, a transmissibilidade de fluidos e vazões são

assumidas como zero.

zerotzrrq

sCanhoneadoNãoPontos

zeror

Ptzrrq

sCanhoneadoPontos

wf

rwfr

wf

),,(

),,(

(2)

As condições externas indicam o comportamento das fronteiras ao longo da depleção do

reservatório. Quando ocorre influxo capaz de manter a pressão externa estabilizada

(para uma vazão de produção constante), o regime é dito permanente. Caso a fronteira

seja selada, a pressão externa decai, caracterizando um regime pseudo-permanente [39],

sendo este último caso será adotado como base para desenvolvimento do simulador:

22

zeror

tzrPtzrrq

anentePseudoperm

PtzrrP

Permanente

rextr

ext

extext

),,(),,(

),,(

(3)

Definidas as condições inicial e de contorno, o próximo passo é desenvolver a Equação

da Difusividade Hidráulica, que rege o escoamento em meios porosos. Antes disso, no

entanto, serão definidas importantes propriedades e parâmetros presentes nesta equação.

3.2 Conceitos Físico-Matemáticos de Rochas e Fluidos

O conhecimento das propriedades das rochas, bem como os fluidos ali presentes, é de

vital importância para a predição do comportamento do reservatório quando submetido

à produção.

Neste trabalho, serão consideradas as chamadas rochas reservatório, que apresentam a

capacidade de armazenamento e transporte de fluidos necessários às atividades de

exploração petrolífera. Quanto aos fluidos, o sistema contará com a presença de óleo e

água apenas, descartando-se a existência tanto da capa de gás, quanto do gás em solução

no óleo, por questões numéricas (mais sobre isso será tratado adiante).

A seguir, serão apresentadas brevemente as propriedades relevantes do sistema para o

posterior equacionamento matemático-numérico. Para maiores detalhes e informações

não cobertas neste texto, sugere-se ao leitor a consulta a Ahmed[4], Rosa et al [39], a

Hartmann [40].

3.2.1 Propriedades das Rochas

As rochas são os elementos fundamentais para a existência de uma acumulação

petrolífera, desde a geração dos hidrocarbonetos até seu armazenamento e selamento em

uma trapa ou armadilha geológica [41]. O estudo delas, notadamente as rochas

23

reservatório, permite a correta quantificação das propriedades em subsuperfície, bem

como predição do volume da reserva e seu comportamento em produção [4].

Estas propriedades são avaliadas através dos chamados testemunhos, cilindros rochosos

coletados diretamente do reservatório e levados para laboratório a fim de se analisar as

diversas propriedades do campo, como porosidade, permeabilidade, saturação de

fluidos, ou ainda aquelas mais complexas, como pressões capilares e de sobrecarga,

curvas de permeabilidade de relativa de fluidos, molhabilidade da rocha e tensões

superficiais [4].

Duas das mais importantes propriedades correspondem à porosidade e à

permeabilidade. A primeira indica a fração do volume de vazios ou poros existente na

rocha, em relação ao seu volume total, podendo se contabilizar todos os poros existentes

(porosidade total) ou apenas aqueles que estão interconectados e são capazes de escoar

fluidos (porosidade efetiva). É, portanto, uma medida da capacidade total de

armazenamento de fluidos. De forma geral:

rocha

poros

V

V (4)

A porosidade efetiva é de maior interesse para a Engenharia de Reservatórios, por ser

mais representativa da máxima quantidade de fluido possível de ser produzida do que

pela porosidade total. No caso em estudo, será adotada uma porosidade efetiva de 20%,

homogênea ao longo do aquífero e da zona de óleo.

A segunda propriedade, permeabilidade, expressa a facilidade ao escoamento de fluidos

oferecida pela rocha, os caminhos que conectam os poros, permitindo a produção dos

fluidos ali contidos. Seu valor absoluto é expresso na forma tensorial, avaliado ponto-a-

ponto e com respeito a cada par normal-direção. Em coordenadas cilíndricas:

24

),,(),,(),,(

),,(),,(),,(

),,(),,(),,(

zrkzrkzrk

zrkzrkzrk

zrkzrkzrk

zzzzr

zr

rzrrrr

(5)

Será considerado para o caso base um valor de permeabilidade horizontal (radial) igual

a 152 milidarcys, e ainda, que a permeabilidade vertical valha um décimo desse valor,

15,2 milidarcy. Estes valores também serão homogêneos para todo o reservatório e

aquífero.

Os valores absolutos de permeabilidade são representativos da realidade do escoamento

quando apenas um único fluido encontra-se no meio poroso. Na existência de mais de

uma fase, deve-se corrigir o valor absoluto através das curvas de permeabilidade

relativa. De acordo com [42], formulações de Lei de Potência podem ser usadas para

este cálculo analítico, dentre as quais será utilizada neste trabalho a seguinte formulação

para o óleo:

3

11)(

wi

wiwwro

S

SSSk (6)

E para a permeabilidade relativa à água:

3

1)(

wi

wiwwrw

S

SSSk (7)

Assim, o valor efetivo de permeabilidade para uma fase corresponde à multiplicação do

tensor permeabilidade absoluta (5) pelo escalar correspondente valor relativo, (6) para o

óleo e (7) para a água.

Associada a estas duas propriedades, tem-se ainda o conceito de saturação de fluidos,

que indica o percentual volumétrico que uma determinada fase α ocupa, com respeito ao

volume poroso.

25

porosV

VS (8)

As saturações utilizadas no simulador variam de 20% em água, na região de óleo, até

atingir 100%, no aquífero. Assume-se a rocha como sendo molhável à água, o que

justifica a existência de uma pequena quantidade da mesma na zona de óleo. Ainda,

entre estas duas porções existe uma zona de transição, com crescentes percentuais de

saturação de água até atingir a base do aquífero, sendo calculadas a partir da pressão

capilar dos fluidos.

Os conceitos de saturação e permeabilidade relativa reforçam a compreensão dos

fenômenos que concernem ao cone de água e sua evolução. Como exibido pela Figura

9, saturações maiores de água favorecem o deslocamento da mesma, pelo aumento de

sua permeabilidade relativa. Com a exploração do óleo, a tendência é que as saturações

de água junto ao poço aumentem, situação ainda mais problemática para o caso de um

sistema com cone de água atuante, facilitando a produção deste indesejável fluido.

Figura 9 – Curvas de Permeabilidade Relativa Usadas no Simulador

26

3.2.2 Propriedades dos Fluidos

Juntamente com as rochas, os fluidos compõem o sistema de interesse para a

Engenharia de Reservatórios. Suas propriedades também podem ser avaliadas em

estudos de laboratório, através da coleta de amostra diretamente do campo, ou pela

utilização de correlações consagradas na literatura [4]. Como não houve qualquer tipo

de análise em laboratório neste trabalho, recorreu-se às correlações existentes.

A viscosidade do óleo, importante propriedade para a determinação da velocidade de

fluxo (conforme a Lei de Darcy, Seção 3.3.1.2), será considerada de acordo com a

correlação de Standing [43] , contabilizando a sua pequena variação ao longo da queda

de pressão do sistema, mas cancelando-se os termos de variação de temperatura, já que

o reservatório é considerado isotérmico durante a produção:

356,06,110)).038,0024,0(000145,0)(001,0( omombomo PP (9)

Onde om corresponde à viscosidade do óleo morto, assumido com Grau API de 30,2:

)33,8

43,0(

103

53,4

7

200][º

36010.8,132,0

API

FTAPIom

(10)

Para a água, no entanto, a sua viscosidade será assumida como constante, igual a 1

centipoise, para as condições de reservatório (ver Figura 10).

Vale destacar que estas condições de reservatório são bastante diferentes daquelas

encontradas em superfície, de modo que uma mesma massa de óleo ou de água possui

volumes distintos nestas duas condições. Para que os cálculos matemáticos sejam

coerentes, é necessário introduzir um fator que correlacione os volumes apresentados

pelos fluidos nestas duas condições, o fator volume formação. Para o óleo, a definição

geral deve levar em conta a existência de gás:

) ( ,

,

TanquepadrãoTPcondiçõesóleo

ioreservatórdeTPcondiçõesóleonodissolvidogásóleo

oV

VVB

(11)

27

,

,

padrãoTPcondiçõeságua

ioreservatórdeTPcondiçõeságua

wV

VB (12)

Lembrando que neste trabalho não foi considerada a existência de gás em solução e

capa de gás, com o limite inferior da pressão de fundo de poço igual à pressão de bolha

do sistema, 8 x106 pascal.

Logo, como a produção ocorre sempre acima da pressão de bolha, o fator volume

formação é depende principalmente da compressibilidade dos fluidos, resultando no

seguinte modelo, conforme [39]:

PPcBBPB oooo 000)( (13)

PPcBBPB wwww 000)( (14)

Onde c diz respeito à compressibilidade do fluido α, igual a 1,5x10-9

e 4,0x10-10

para

óleo e água (mais sobre a compressibilidade e massa específica será discutido na

formulação matemática, Seção 3.3.1.3), e 0

B o fator volume formação da fase α na

condição inicial ou estática do reservatório. A Figura 11 exibe o comportamento das

expressões (13) e (14).

28

Figura 10 – Viscosidades Utilizadas no Simulador

Figura 11 – Fator Volume Formação para Óleo e Água do Modelo

Por fim, resta analisar o modelo para descrição da interação entre os fluidos.

Quimicamente, serão desconsideradas quaisquer reações entre os fluidos (fases

imiscíveis) ou dos mesmos com as rochas do sistema. No entanto, fisicamente, serão

consideradas as forças de capilaridade e pressão capilar (além dá já mencionada

viscosidade).

29

Discutidas brevemente na revisão bibliográfica, estas forças são usualmente descartadas

pelos autores na análise do cone de água. No entanto, o estudo de Ling e Shen [44]

mostra que o desconhecimento ou desconsideração da capilaridade pode levar a erros

expressivos na predição de reservatórios, atingindo impressivos 300% em discrepância

nas vazões críticas de óleo calculadas e medidas em campo, por exemplo. Deste modo,

incluir-se-ão os efeitos capilares nesta modelagem.

A pressão capilar surge no contato entre fluidos imiscíveis, decorrente das tensões

interfaciais atuantes, de modo que a fase que não molha preferencialmente à rocha

possui maior pressão do que aquela que está em contato direto [4], [39].

Matematicamente:

molhantemolhantenãoc PPP (15)

Para a maioria dos reservatórios de petróleo, a rocha é molhável à água, esta adsorvida à

rocha, e o óleo como fase não molhante [39], de modo que o modelo aqui apresentado

se utilizará desta hipótese. Assim, como a fase molhante usualmente aloca-se nos poros

menores e menos abertos à produção [4], nem toda a água é possível de ser produzida, e

adota-se um valor de 15% para a saturação de água irredutível. Neste caso, os Modelos

de Lei de Potência também podem descrever a pressão capilar óleo-água, sendo

utilizado neste trabalho:

000 100

1

1,03,1

,

,

conataw

conataww

wcow

S

SSSP

(16)

Ainda, como mencionado na seção anterior, a capilaridade de fluidos permite o cálculo

da altura de transição entre o aquífero e o pay-zone. O sistema capilar de uma rocha

reservatório pode ser visto como diversos tubos conectados, cada um com um diferente

diâmetro e, consequentemente, com diferentes elevações da água, o que acarreta uma

transição óleo-água não abrupta, gerando a região de transição de saturações [4], [39].

Seu cálculo pode ser feito pela pressão capilar, para um determinado valor de saturação:

30

ow

wcw

g

SPSh

(17)

Entretanto, como visto nas duas Figuras a seguir, a capilaridade apresenta um

comportamento assintótico perto dos valores de saturação conata, de modo que o

crescimento no valor previsto pela Lei de Potência deixa de representar e aproximar o

comportamento real em reservatório. Isto fica evidente ao se avaliar a Equação (17) para

a saturação inicial de água na porção de óleo (20%), encontrando uma zona de transição

de 324 metros, maior do que o próprio aquífero modelado. Para se contornar este

problema, será fixada uma região de transição de cerca de 20 metros, com a variação

das saturações nos blocos ao longo da altura calculadas a partir de (17) e da Figura 13:

Figura 12 – Pressões Capilares adotadas no Modelo

31

Figura 13 – Relação entre Altura de Transição e Saturação

Uma vez descrito completamente os parâmetros mais relevantes, podemos prosseguir

com o equacionamento matemático do cone de água.

3.3 Modelo Matemático

3.3.1 Considerações Iniciais

Na Engenharia de Reservatórios, o escoamento de fluidos através dos poros das rochas

pode ser descrito através da conhecida Equação da Difusividade Hidráulica. Ela é

amplamente utilizada em simulações para a predição de vazões de produção e

distribuições de pressão no reservatório e campos estudados, relacionando as

propriedades rocha-fluido com a saturação e pressão em cada ponto e instante

analisados.

Conforme [9] e [39], sua formulação matemática advem de três equações fundamentais:

- Equação da Continuidade (Balanço de Massa)

- Lei de Darcy (Balanço de Momento)

- Equação de Estado

32

Os procedimentos adotados nos Capítulos 3.3 e 3.4 são similares àqueles aplicados por

Hartmann [40], que tratou numericamente a Equação da Difusividade Hidráulica, mas

para coordenadas cartesianas. Ainda, o tratamento matemático para obtenção desta

equação também fora baseado na análise de Ertekin et al [9].

3.3.1.1 Equação de Continuidade

Também conhecida como Lei da Conservação de Massa, esta equação descreve o

balanço de massa, de forma bastante intuitiva e simples, ao afirmar que a massa

acumulada de uma dada fase em um determinado volume de controle é igual à diferença

entre as massas de entrada e saída desta fase, acrescida de um termo fonte.

fontesaídaentradaacúmulo mmmm (18)

Cabe lembrar que o balanço de massa ocorre nos elementos do reservatório, mas as

propriedades e parâmetros do sistema, além das vazões de produção, são medidos nas

condições standard ou de superfície, de modo que se faz necessária a adição do fator

volume formação B para permitir a correta quantificação e modelagem matemática.

Para o processo de obtenção da Equação da Continuidade, considere um elemento de

controle cilíndrico, como exibido pela Figura 14:

Figura 14 – Volume de Controle Cilíndrico (Fonte: Ertekin et al [9])

33

Para esta geometria, os fluxos são considerados na direção radial, circunferencial e

vertical. Com respeito ao ponto central do volume infinitesimal, a diferença entre a

massa de entrada total e a saída para uma determinada fase é descrita como:

2/2/2/2/2/2/, zzzzrrrrsaídaentrada mmmmmmmm

(19)

Para uma direção qualquer, a vazão mássica medida em condições de superfície

equivale a:

A

Bm (20)

Assim, os termos da Equação (19) podem ser expandidos da forma:

2/2/

2/2/

rr

r

rr

rrrrr z

Brz

Brmm

(21)

2/2/

2/2/

zz

z

zz

zzzzz rr

Brr

Bmm

(22)

2/2/

2/2/

zr

Bzr

Bmm (23)

O termo de acúmulo é obtido através da variação volumétrica do fluido contido nos

poros das rochas. Como o problema tratado é bifásico, deve ser contabilizada a

saturação do fluido em questão. Se o volume de controle é assumido como constante ao

longo do tempo, escreve-se:

Vt

B

S

B

S

mttt

acúmulo

(24)

Por fim, como estamos tratando as fases como imiscíveis e não reagentes, a geração de

massa por reações químicas é nula. Porém, no âmbito da simulação de reservatórios, o

34

termo fonte pode contabilizar a massa decorrente da injeção ou produção de fluidos,

representando os possíveis poços e canhoneios existentes no volume de controle.

Assim:

stdpoçofonte qm ,

(25)

Onde a vazão stdpoçoq , é a vazão de produção ou injeção medida na cabeça do poço para

a fase considerada.

De posse das Equações (21), (22), (23), (24) e (25), sua substituição na Equação (18)

resulta em:

stdpoço

zz

z

zz

z

rr

r

rr

rttt

qzrB

zrB

rrB

rrB

zB

rzB

rVt

B

S

B

S

,

2/2/

2/2/

2/2/

(26)

O próximo passo envolve a divisão da Equação anterior pelo volume do elemento, V ,

que em coordenadas cilíndricas vale zrr :

V

q

z

BB

BB

r

r

Br

Br

rt

B

S

B

S

stdpoçozz

z

zz

z

rr

r

rr

r

ttt

,2/2/

2/2/

2/2/

1

1

(27)

35

Finalmente, tomando-se os limites quando r , , z e t tendem à zero e

considerando a vazão do poço calculada por unidade de volume, obtem-se a Equação da

Continuidade (28) considerando mais de uma fase e em coordenadas cilíndricas:

stdpoçozr q

BzBrBr

rrB

S

t,

11

(28)

Em que stdpoçoq , é a vazão do poço por unidade de volume.

Para a expressão anterior, o termo em colchetes é equivalente à divergência do vetor

B em coordenadas cilíndricas. Logo, a expressão da Equação da Conservação de

Massa para uma geometria qualquer é:

stdpoçoq

BB

S

t,

(29)

3.3.1.2 Lei de Darcy

Descrita pelo engenheiro francês Henry Darcy, a formulação que carrega seu nome é

largamente utilizada nos fenômenos de hidráulica e transporte de fluidos. Para a

Engenharia de Reservatórios, esta lei é de enorme importância, pois relaciona

diretamente a variação da pressão com as vazões e velocidades, um dos principais dados

a ser obtido das simulações numéricas.

A formulação geral desta Lei é dada por:

P

xk

(30)

Onde a função representa o potencial de escoamento do fluido, igual a:

)( refzzgP (31)

36

O potencial ao fluxo determina o sentido do escoamento no meio poroso, com os fluidos

escoando dos pontos de maior potencial para àqueles de menor valor. Quando o fluxo é

assumido na horizontal, a componente gravitacional é eliminada, resultando apenas em

gradientes de pressão. Na existência de fluxos verticais, como nos problemas

envolvendo conificação de fluidos, a gravidade atuante gera uma diferença nas pressões

iniciais do sistema, por conta do gradiente hidrostático, que é descontado na Lei de

Darcy.

Desta forma, para facilitação dos cálculos, as pressões iniciais do sistema usadas em

cálculo já descontarão a diferença decorrente da parcela hidrostática. Assim, a Lei de

Darcy a ser implementada no presente trabalho será:

P

kzrk r

, (32)

Onde rk representa a permeabilidade relativa à fase α do fluido.

3.3.1.3 Equação de Estado

As equações de estado descrevem como o volume de rochas e fluidos se comportam

com as variações de pressão e temperatura existentes no reservatório, através de uma

propriedade denominada compressibilidade. Como o sistema é assumido isotérmico,

apenas as variações de pressão são contabilizadas.

Para a água e o óleo, a pressão atua diretamente na variação de suas massas específicas.

Estes fluidos apresentam baixos valores de compressibilidade, quando comparados, por

exemplo, ao gás, e são modelados por:

.

1

constTPc

(33)

37

Para a rocha, formula-se expressão similar, mas contabilizando a compressibilidade

através da variação de sua porosidade:

.

1

constT

fP

c

(34)

Como os valores de compressibilidade são baixas para os fluidos (para o óleo, 1,5x10-9

Pa-1

e para a água, 4,0x10-10

Pa-1

), os mesmos podem ser considerados como pouco

incompressíveis, apresentando massas específicas praticamente constantes com a

posição (pressão) e tempo ( o será igual a 875 kg/m³ e w , 1000 kg/m³), hipótese a ser

aplicada no desenvolvimento da Equação da Difusividade Hidráulica.

3.3.2 Equação da Difusividade Hidráulica

De posse da Lei do Balanço de Massa, Lei de Darcy e Equações de Estado, podemos

agrupá-las de modo a obter a Equação da Difusividade Hidráulica considerada neste

trabalho. O primeiro passo é eliminar a velocidade de fluxo na Equação (29) através da

Equação (32):

stdpoço

r qPB

kzrk

B

S

t,

,

(35)

Em seguida, expandem-se os termos em parênteses da Equação anterior, através da

Regra da Cadeia:

stdpoço

r

r

qPB

kzrk

PB

kzrk

tB

S

B

S

t

,

,

,

(36)

A Equação (36) pode ser simplificada para fluidos pouco compressíveis. Como a massa

específica varia muito pouco neste caso, os termos t

e são muito pequenos,

38

portanto, as parcelas

P

B

k e

tB

S

podem ser desprezadas. Dividindo os

termos remanescentes por , chega-se finalmente à Equação da Difusividade

Hidráulica utilizada neste trabalho:

stdpoço

r qPB

kzrk

B

S

t,

,

(37)

Para o Modelo Matemático, a Equação (37) deve ser escrita para as fases óleo e água,

tendo como incógnitas as pressões e saturações de ambas as fases, oP , wP , oS e wS .

Como a obtenção de (37) foi feita de modo genérico, e tanto a água, quanto o óleo se

enquadram na hipótese usada (fluidos pouco compressíveis), tem-se a Equação da

Difusividade Hidráulica para óleo (38), e para a água (39):

stdoo

oo

ro

o

o qPB

kzrk

B

S

t,

,

(38)

stdww

ww

rw

w

w qPB

kzrk

B

S

t,

,

(39)

Adicionalmente, as propriedades das duas fases podem ser relacionadas por intermédio

da pressão capilar e da relação das saturações:

1 wo SS (40)

wocow PPP (41)

O leitor deve ter em mente que, para o caso mais geral (heterogêneo), existe uma

relação funcional entre os parâmetros e as incógnitas, da forma:

39

),(

),(

)(

)(

),(

ˆ

ˆ

)(

)(

)(

)(

),,(

,,

,,

tPqq

tPqq

Skk

Skk

zrkk

kkk

kkk

PBB

PBB

P

P

Pzr

ostdwstdw

ostdostdo

wrwrw

wroro

rww

roo

oww

ooo

oww

ooo

o

(42)

A grande dificuldade existente para obtenção da solução analítica do sistema (38), (39),

(40) e (41) fica evidente ao se considerar o conjunto de Equações (42), onde se observa

que a maioria dos parâmetros são funções das incógnitas a serem determinadas do

problema, pressão e saturação. No caso de permeabilidades relativas e vazões de

produção, por exemplo, esta dependência é mais crítica, por estarem sujeitos a grandes

variações em seus valores durante a vida produtiva do reservatório. Porosidades e

permeabilidades variam, ainda, ao longo da extensão do campo, e seus valores

geralmente são conhecidos apenas em alguns pontos (geralmente na localização dos

poços).

Portanto, o problema exposto pelas Equações (42) é de natureza não linear, englobando

termos de fraca linearidade (como fatores volume formações, viscosidades, densidades)

e forte linearidade (permeabilidades relativas, pressão capilar, transmissibilidades),

como descrito em [9]. Ainda, são evidentes as dificuldades em obtenção de uma solução

analítica exata, principalmente para predição das vazões após o breakthrough de água,

como visto na revisão bibliográfica, Seção 2.2. Somado a isto, a facilidade e crescente

uso da modelagem numérica, com excelentes resultados para estimativa da produção

são os fatores que justificam o tratamento numérico do sistema de equações supracitado,

realizado a seguir.

40

3.4 Modelo Numérico

3.4.1 Método dos Volumes Finitos

Como descrito na Seção 2.2.2, o tratamento numérico tem por objetivo prover uma

solução aproximada, porém condizente com a realidade, para o sistema de Equações

(38), (39), (40) e (41), dada sua complexidade. Devemos empregar uma das diversas

técnicas de discretização e resolução de Equações Diferenciais a fim de se construir o

modelo numérico e o simulador para o cone de água.

Os principais métodos de discretização são os de diferenças finitas, volumes finitos e

elementos finitos. O primeiro deles, mais antigo, usa a expansão em Séries de Taylor

para aproximar as derivadas existentes de acordo com um grid ou malha pontual, em

que os valores são conhecidos e calculados. O segundo, volumes finitos, descreve o

reservatório utilizando volumes de controle e assegurando a conservação de

propriedades, caso as posteriores integrações no espaço e no tempo sejam feitas

acompanhando cada uma das superfícies dos volumes de controle. Por fim, a abordagem

de elementos finitos também descreve o sistema de acordo com uma malha pontual,

mas a aproximação da solução é feita de acordo com o uso de funções polinomiais entre

os elementos, obtendo-se as variações das variáveis desconhecidas [45].

A escolha do método numérico é motivada por uma série de fatores, como o grau de

simplificação desejado, verossimilhança da resposta obtida com a resposta real, ou

mesmo tempo de simulação requerido. Para problemas envolvendo escoamento de

fluidos, a capacidade de lidar com a conservação de propriedades (como a massa) é um

ponto positivo dos métodos de volumes finitos quando comparados aos de diferenças

finitas, que ignora tal tipo de abordagem e discussão. Ainda, mesmo apresentando

melhor capacidade de descrição do espaço real, os métodos de elementos finitos são

menos populares que os de volumes finitos por requerer maior esforço computacional

[45].

Com isto em mente, escolhe-se o Método dos Volumes Finitos para a discretização das

equações, haja vista que o modelo físico tratado é simples, não exigindo uma malha

sofisticada tais como aquelas descritas por elementos finitos, e que a garantia do

41

balanço de massa é de vital importância para descrição do fenômeno, limitando a

aplicabilidade das diferenças finitas.

Para a posterior análise, considere o esquema da Figura 15, que mostra um padrão de

discretização de reservatório de acordo com o Método dos Volumes Finitos. O bloco

destacado corresponde a um corte do volume de controle cilíndrico, onde se evidenciam

os volumes adjacentes (direções norte, sul, leste e oeste), contando com um número ‘Nr’

de segmentos no raio e ‘Nz’ na altura, num total de Nr x Nz blocos. Similarmente à

Figura 15, o padrão de discretização utilizado no simulador será não uniforme para o

raio, de modo a representar os efeitos do escoamento junto à região canhoneada. O poço

não é modelado como um volume finito, sendo a sua pressão considerada para o cálculo

da condição interna do reservatório. Cada volume finito C apresenta propriedades

constantes, calculadas a partir de médias (não discutidas nesse trabalho).

Adicionalmente, o procedimento de resolução para as pressões será implícito, ou seja,

todas serão consideradas igualmente desconhecidas durante o cálculo em um passo de

tempo.

Figura 15 – Discretização Usada para o Método dos Volumes Finitos

42

Assim, prossegue-se com o tratamento da Equação da Difusividade Hidráulica para óleo

(38) e água (39). Usualmente, a saturação avaliada é a da água, enquanto que a pressão

medida é a do óleo. De tal modo, podemos utilizar as relações entre as fases (Equações

(40) e (41)) para eliminar oS e wP em (38) e (39):

stdoo

oo

ro

o

w qPB

kzrk

B

S

t,

, 1

(43)

stdwcowo

ww

rw

w

w qPPB

kzrk

B

S

t,

,

(44)

Ainda, antes de aplicarmos o método numérico, convem observar que , wB e oB são

geralmente conhecidos das análises PVT e sua dependência com wS e oP , e não pelo

tempo. De tal modo, aos termos transientes de (43) e (44) pode ser aplicada a Regra da

Cadeia com respeito a oP , resultando em:

stdoo

oo

rowow qP

B

kzrk

t

SC

t

PCS ,21

,)1(

(45)

stdwcowo

ww

rwwow qPP

B

kzrk

t

SC

t

PCS ,43

,

(46)

Onde:

oooo PBBPC

1)

1(1

oBC

2

owwo PBBPC

1)

1(3

(47)

43

wBC

4

Às Equações (45) e (46), será aplicado o Método dos Volumes Finitos. Integrando-as

com respeito ao volume de controle V em um intervalo de tempo t , tem-se:

dtdVqdVdtP

B

kzrk

dtdVt

SC

t

PCS

tt

tV

stdo

tt

tV

o

oo

ro

tt

tV

wow

,

21

,

)1(

(48)

dtdVqdtdVPP

B

kzrk

dtdVt

SC

t

PCS

tt

tV

stdw

tt

tV

cowo

ww

rw

tt

tV

wow

,

43

,

(49)

Para a integral no volume, aplica-se aos termos difusivos o Teorema da Divergência,

relacionando a parcela divergente das equações anteriores com respectivas integrais de

superfície ao longo dos volumes de controle:

tt

tV

o

oo

ro dVdtPB

kzrk

, SdP

B

kzrk

V

o

oo

ro

, (50)

V

cowo

ww

rwtt

tV

cowo

ww

rw SdPPB

kzrkdtdVPP

B

kzrk

,, (51)

Recordando-se da Figura 14, observa-se que o volume de controle cilíndrico apresenta 6

faces, cada uma com um distinto versor normal n̂ . Assim, a integral de superfície pode

ser simplificada para o seguinte somatório:

ii

i i

o

oo

ro

V

o

oo

ro SnPB

kzrkSdP

B

kzrk

ˆ,, 6

1

(52)

44

ii

i i

cowo

ww

rw

V

cowo

ww

rw SnPPB

kzrkSdPP

B

kzrk

ˆ,, 6

1

(53)

Agora, devemos avaliar cada uma das parcelas de (52) e (53). Para tal, são computados

os gradientes de oP e cowo PP em cada uma das seis direções de fluxo. No entanto,

como se supôs a inexistência de escoamento na direção circunferencial (Seção 3.1.1), os

gradientes

oPsão nulos, resultando em quatro parcelas:

CCC

s

o

oo

roz

CCC

n

o

oo

roz

CCC

C

w

o

oo

ror

CCC

C

e

o

oo

ror

ii

i i

o

oo

ro

rrz

P

B

kk

rrz

P

B

kk

zr

rr

P

B

kk

zr

rr

P

B

kk

SnPB

kzrk

)2

(

)2

(

ˆ,6

1

(54)

CCC

s

cowo

ww

rwz

CCC

n

cowo

ww

rwz

CCC

C

w

cowo

ww

rwr

CCC

C

e

cowo

ww

rwr

ii

i i

cowo

oo

ro

rrz

PP

B

kk

rrz

PP

B

kk

zr

rr

PP

B

kk

zr

rr

PP

B

kk

SnPPB

kzrk

)2

(

)2

(

ˆ,6

1

(55)

45

Às derivadas parciais restantes, aplica-se a aproximação por Séries de Taylor de

Primeira Ordem (lembrando que o cálculo das pressões é feito de forma implícita),

obtendo-se finalmente a discretização do termo difusivo do óleo:

CCC

sC

soCo

soo

roz

CCC

Cn

Cono

noo

roz

CCC

C

wC

woCo

woo

ror

CCC

C

Ce

Coeo

eoo

ror

ii

i i

o

oo

ro

rrzz

PP

B

kk

rrzz

PP

B

kk

zr

rrr

PP

B

kk

zr

rrr

PP

B

kk

SnPB

kzrk

2

2

)2

(

2

)2

(

2

ˆ,

,,

,,

,,

,,

6

1

(56)

E a discretização do termo difusivo da Equação da Água:

CCC

sC

scowCcowsoCo

sww

rwz

CCC

Cn

CcowncowCono

nww

rwz

CCC

C

wC

wcowCcowwoCo

www

rwr

CCC

C

Ce

CcowecowCoeo

eww

rwr

ii

i i

cowo

oo

ro

rrzz

PPPP

B

kk

rrzz

PPPP

B

kk

zr

rrr

PPPP

B

kk

zr

rrr

PPPP

B

kk

SnPPB

kzrk

2

2

)2

(

2

)2

(

2

ˆ,

,,,,

,,,,

,,,,

,,,,

6

1

(57)

46

Por fim, resta o tratamento dos termos transiente e de vazão das Equações (48) e (49)

para a integração no volume. O primeiro, por apresentar-se constante ao longo de todo

volume de controle para um mesmo instante de tempo, pode ser simplificado

imediatamente por CV , volume do elemento de controle com respeito à sua posição

central. As vazões stdoq , e stdwq ,

, por sua vez, foram calculadas por unidade volumétrica

durante o desenvolvimento da Equação da Continuidade (28). Logo, a integração no

volume resulta imediatamente em stdoq , e stdwq ,

, a vazão de produção do bloco para um

dado intervalo de tempo.

Portanto, após a integração no volume, as Equações (48)e (49) se tornam:

dtqdtSnP

B

kzrk

dtVt

SC

t

PCS

tt

tstdo

tt

tii

i i

o

oo

ro

tt

tC

wow

ˆ,

)1(

,

6

1

21

(58)

dtqdtSnPP

B

kzrk

dtVt

SC

t

PCS

tt

tstdw

tt

tii

i i

cowo

ww

rw

tt

tC

wow

ˆ,

,

6

1

43

(59)

Onde se utilizou os somatórios ao invés das expressões em (56) e (57) para facilitar a

visualização das equações.

Resta agora a integração com respeito ao tempo. Uma vez escolhido nível de cálculo

para as pressões (implícita), o integrando relativo ao termo difusivo independe do

tempo, e sua integral resulta em t . Novamente, o termo de vazão é integrado de

imediato, também em t , pois dentro de um mesmo time-step, a vazão é assumida

como constante.

47

Para a parcela transiente, no entanto, os termos t

Po

e

t

Sw

devem ser discretizados

antes de serem integrados. Outra simples expansão em Séries de Taylor, também

truncada em primeira ordem, gera:

t

SS

t

S

t

PP

t

P

www

ooo

0

0

(60)

Assim, as Equações (58) e (59) tornam-se:

tqtSnP

B

kzrk

tVt

SSC

t

PPCS

stdoii

i i

o

oo

ro

Cwwoo

w

,

6

1

0

2

0

1

0

ˆ,

)1(

(61)

tqtSnPP

B

kzrk

tVt

SSC

t

PPCS

stdwii

i i

cowo

ww

rw

Cwwoo

w

,

6

1

0

4

0

3

0

ˆ,

(62)

Substituindo as Equações (56) e (57) em (61) e (62), e dividindo tudo por tVC ,

tem-se para o óleo:

48

V

q

zzz

PP

B

kk

zzz

PP

B

kk

rr

rr

rr

PP

B

kk

rr

rr

rr

PP

B

kk

SSCPPCSt

stdo

CsC

soCo

soo

roz

CCn

Cono

noo

roz

CC

CC

wC

woCo

woo

ror

CC

CC

Ce

Coeo

eoo

ror

wwoow

,,,

,,

,,

,,

0

2

0

1

0

1

2

1

2

)2

(

2

)2

(

2

)1(1

(63)

E para a água:

V

qrr

zz

PPPP

B

kk

rrzz

PPPP

B

kk

zr

rrr

PPPP

B

kk

zr

rrr

PPPP

B

kk

SSCPPCSt

stdw

CCC

sC

scowCcowsoCo

sww

rwz

CCC

Cn

CcowncowCono

nww

rwz

CCC

C

wC

wcowCcowwoCo

www

rwr

CCC

C

Ce

CcowecowCoeo

eww

rwr

wwoow

,,,,,

,,,,

,,,,

,,,,

0

4

0

3

0

2

2

)2

(

2

)2

(

2

1

(64)

Para simplificação das expressões, agrupam-se os termos semelhantes de pressão, e

separam-se os termos conhecidos em constantes. De tal forma, após algumas

49

manipulações algébricas, obtemos as Equações discretizadas para o Óleo (65) e para a

Água (66):

C

stdo

wwCowooCop

CoCowowoeoeososonono

V

qSSCPPC

PPPPP

,0

,

0

,

,,,,,,,,,,

)()(

(65)

Ccow

C

stdw

wwCwwooCwp

CoCwwowweoewsoswnonw

DV

qSSCPPC

PPPPP

,

,0

,

0

,

,,,,,,,,,,

)()(

(66)

Onde i, é chamada de transmissibilidade da face de direção i para uma determinada

fase , uma medida da comunicação de fluidos entre os blocos:

woo

ror

CCwC

wo

eoo

ror

CCeC

eo

soo

roz

CsC

so

noo

roz

CnC

no

B

kk

rrrr

B

kk

rrrr

B

kk

zzz

B

kk

zzz

2

112

2

112

12

12

,

,

,

,

woeosonoCo ,,,,,

Coooo

wCop

PBBPt

SC

1)

1(

1 0

,

Co

CowBt

C

11,

(67)

50

www

rwr

CCwC

ww

eww

rwr

CCeC

ew

sww

rwz

CsC

sw

nww

rwz

CnC

nw

B

kk

rrrr

B

kk

rrrr

B

kk

zzz

B

kk

zzz

2

112

2

112

12

12

,

,

,

,

wwewswnwCw ,,,,,

Cowwo

wCwp

PBBPt

SC

1)

1(

0

,

Cw

CwwBt

C

11,

wcowwwecowewscowswncownwCcowCwCcow PPPPPD ,,,,,,,,,,,

(68)

Agora, precisamos empregar uma técnica para a resolução do sistema acoplado de

Equações discretizadas (65) e (66), calculando-se os valores de pressão e saturação em

cada bloco. Tal técnica deve considerar as pressões igualmente desconhecidas e

calculando-as simultaneamente para um mesmo time-step, de acordo com o

desenvolvimento matemático deste capítulo. No entanto, em nenhum momento da

aplicação do Método dos Volumes Finitos explicitou-se o tempo de cálculo das

saturações, sendo o cálculo da mesma determinado a partir da técnica de resolução a ser

empregada. Por questões de simplificação, aplicar-se-á o Método IMPES, discutido na

Seção subsequente.

3.4.2 O Método IMPES

Dentre as diversas técnicas existentes, o Método IMPES (Implicit Pressure, Explicit

Saturation) apresenta-se como uma das mais clássicas e populares técnicas para a

resolução de Equações discretas para fluxos multifásico, principalmente aquelas em que

os fluidos são pouco compressíveis ou incompressíveis, como (65) e (66) [46]. O

objetivo desta técnica é simplificar o sistema de equações, ao separar o cálculo da

51

pressão do da saturação. De tal modo, enquanto as pressões são resolvidas

implicitamente ao longo do reservatório, as saturações são calculadas de modo

explícito, usando os resultados já atualizados de pressão [9], [46], conforme o esquema

a seguir.

Figura 16 – Procedimento IMPES de Cálculo (adaptado de Hartmann H.G [40])

A simplicidade de implementação do método e baixo uso de memória computacional

são as grandes vantagens do método IMPES. Como desvantagens, contudo, destacam-se

a exigência de pequenas oscilações na saturação dentro de um time-step, bem como um

valor de vazão compatível com o mesmo, de modo que o volume a ser produzido não

exceda o volume poroso do bloco [17]. Assim, os esquemas IMPES para resolução de

problemas com conificação de alguma das fases estão sujeitos a pequenos time-steps, o

que pode ser proibitivo para longas simulações [46].

Mesmo com os problemas de time-step para os problemas de conificação (mais será

discutido adiante, na Seção 4.1.2), utilizaremos o procedimento IMPES, principalmente

por facilitar a resolução do sistema acoplado de Equações (65) e (66). Para tal, isolam-

se os termos de saturação em ambas as equações, e igualando-os, tem-se:

52

V

qDPPCP

PPPP

C

V

qPPCP

PPPP

C

stdw

CcowoCoCwpCoCw

wowweoewsoswnonw

Cww

stdo

oCoCopCoCo

wowoeoeososonono

Cow

,

,

0

,,,,

,,,,,,,,

,

,0

,,,,

,,,,,,,,

,

)(

1

)(

1

(69)

Agrupando os termos em comum de pressão, encontramos a equação de pressões para

cada volume finito:

CCoCwoweoesosnon BPAPAPAPAPA ,,,,, (70)

Sendo:

ew

Cww

Cow

eoeC

CA ,

,

,

,

ww

Cww

Cow

wowC

CA ,

,

,

,

nw

Cww

Cow

nonC

CA ,

,

,

,

sw

Cww

Cow

sosC

CA ,

,

,

,

CwpCw

Cww

Cow

CopCoC CC

CCA ,,

,

,

,,

V

q

V

q

C

CD

C

CPCC

C

CB

stdostdw

Cww

Cow

Ccow

Cww

Cow

oCopCwp

Cww

Cow

C

,,

,

,

,

,

,0

,,

,

,

(71)

Onde o cálculo das transmissibilidades e constantes C é feito por (67) e (68).

53

A Equação (70) é válida para cada volume finito usado na discretização do reservatório.

Uma forma eficiente de se visualizar estas diversas equações é utilizando a notação

matricial:

][]].[[ BPA (72)

Onde:

nxnAA

AAA

A

AAAA

AAA

AA

AAAA

AAAA

AAA

nnnn

nnnnnn

Nr

NrNrNrNrNrNrNr

NrNrNrNrNr

NrNrNrNr

Nr

Nr

Nr

...

.........

0

0

............

,1,

,11,12,1

3,3

3,22,21,22,2

2,11,11,1

,1,

3,34,33,32,3

2,23,22,21,2

1,12,11,1

(73)

1 ,

1,

,

3,

2,

1,

.

.

.

.

.

.

][

xnno

no

io

o

o

o

P

P

P

P

P

P

P

(74)

54

1

1

3

2

1

.

.

.

.

.

.

][

xnn

n

i

B

B

B

B

B

B

B

(75)

A matriz pentadiagonal ][A (73), de elementos jiA , , expressa a relação entre cada

volume de controle ‘i’ e os blocos adjacentes ‘j’, conforme a numeração adotada na

Seção 3.4.1. Sua diagonal principal equivale aos termos CA , completamente preenchida,

e as diagonais imediatamente à esquerda e à direita representam wA e eA

respectivamente, os blocos adjacentes no raio. Para elementos posicionados na fronteira

do reservatório, wA ou eA são iguais à zero pela inexistência de blocos adjacentes, o que

é representado pelos zeros em (73). As outras duas diagonais representam os termos

simbolizam sA (à esquerda) e nA (à direita), também existentes apenas para elementos

que não estejam na fronteira do sistema. Todos os outros espaços vazios na matriz ][A

valem zero.

Pela abordagem matricial, o cálculo das pressões implícitas decorre da resolução de

(72), realizada através da inversão matricial de ][A :

][][][ 1 BAP (76)

Finalmente, com as pressões conhecidas ponto a ponto, calcula-se explicitamente a

saturação do reservatório, usando a Equação para a Água (66):

55

V

qDPPCP

PPPP

CSS

stdw

CcowoCoCwpCoCw

wowweoewsoswnonw

Cww

ww ,

,

0

,,,,

,,,,,,,,

,

0

)(

1

(77)

O que encerra o procedimento de cálculo dentro de um time-step, de acordo com o

Método dos Volumes Finitos e a abordagem IMPES.

O papel do simulador, portanto, será o de resolver iterativamente as Equações (76) e

(77), recalculando os coeficientes (71) a cada etapa, para um determinado esquema de

produção. Os casos estudados serão expostos em detalhes no próximo capítulo.


Este capítulo descreveu os modelos físico, matemático e numérico para o cone de água.

Partindo-se do embasamento teórico fornecido pela revisão bibliográfica, foram feitas

as descrições na geometria do sistema, que levantaram os casos a serem estudados –

modelo físico. Foram explicitadas, ainda, as características dos fluidos e rochas

presentes no sistema.

Prosseguiu-se, então, com o modelo matemático. O equacionamento foi realizado a

partir dos dados do modelo físico, culminando com a Equação da Difusividade

Hidráulica, dada algumas hipóteses simplificadoras, mas que não alteram a natureza

física do problema.

Por fim, realizou-se o tratamento numérico, que visava solucionar o complexo modelo

matemático obtido. Aplicou-se o Método dos Volumes Finitos como forma de se obter a

solução numérica da Equação da Difusividade Hidráulica, contando ainda com o

procedimento IMPES para simplificação dos cálculos.

Desta análise, obtiveram-se as equações para o cálculo da pressão e saturação, a serem

aplicadas no simulador numérico, foco do próximo capítulo, visando estudar o

comportamento do reservatório, quando sujeito a alguns padrões de produção.

56

4 Estudos de Caso Uma vez completamente desenvolvidas as equações discretizadas que regem o

fenômeno da conificação de água em reservatórios de petróleo, o próximo passo

envolve sua utilização para predição das vazões de produção e comportamento das

pressões e saturações do reservatório quando submetido a determinados padrões de

produção.

Para tal, as Equações (76) e (77) e constantes presentes nas mesmas foram escritas no

software Wolfram Mathematica 8, bem como as propriedades físicas, descritas ao longo

da Seção 3.1, e subsequentes hipóteses matemáticas e numéricas, resultando em um

simulador numérico de produção de reservatórios, capaz de retratar diversos esquemas e

estratégias de produção, bem como mostrar a movimentação de fluidos no meio poroso,

de modo a visualizar dinamicamente o processo de conificação de água.

O presente capítulo discute brevemente o processo de construção do simulador, os casos

estudados e resultados obtidos.

4.1 Construção do Simulador

4.1.1 Dados de Entrada

Expostos ao longo da Seção 3.1, os dados de entrada físicos correspondem a todas as

propriedades relevantes da rocha do reservatório, do óleo e da água, bem como as

dimensões do sistema, tamanho da zona produtora e do aquífero (Tabela 1). Foram

implementados os modelos expressos anteriormente para a viscosidade (Figura 10),

fator volume formação (Figura 11), permeabilidades relativas (Figura 9), e pressões

capilares (Figura 12). Novamente destaca-se que a altura de transição do aquífero até a

zona de óleo fora aproximada por 20 metros, no lugar da utilização do seu modelo

previamente exposto, dada as condições e problemas expressos na Seção 3.2.2.

Cabe relembrar que o sistema é totalmente homogêneo. Logo, as propriedades listadas

na Tabela 1 são válidas ao longo de todo o reservatório. Ainda, é considerada uma

57

anisotropia nas permeabilidades radial (horizontal) e vertical, sendo esta igual a um

décimo do valor daquela.

Tabela 1 – Propriedades Físicas do Reservatório

Parâmetros

Valor Unidade

Raio do Reservatório

800 metros

Pay Zone 50 metros

Altura do Aquífero 100 metros

Raio do Poço 3,5 polegadas

Pressão Estática 2 x107 Pascal

Pressão de Bolha 8 x106 Pascal

Porosidade 0.2 -

Compressibilidade do Óleo 1,5x10-9

Pascal-1

Compressibilidade da Água 4x10-10

Pascal-1

Compressibilidade da Formação 4,4 x10-10

Pascal-1

Permeabilidade Horizontal 152 x10-15

metros quadrados

Permeabilidade Vertical 152 x10-16

metros quadrados

Massa Específica da Água 1 x103 kg/m³

Massa Específica do Óleo 0,875 x103 kg/m³

Grau API do Óleo 30,2 ºAPI

Saturação de Água na Região de Óleo 0,2 -

Fator Volume Formação da Água1 1,03 m³ std/ m³

Fator Volume Formação do Óleo1 1,103 m³ std/ m³

Viscosidade da Água 1 Centipoise

Viscosidade do Óleo1 3,5 Centipoise

Saturação de Água Conata 0,15 -

Altura da Zona de Transição2 20 metros

1medido nas condições iniciais do reservatório

2aproximado, medido a partir da base da zona de óleo

Um único poço é considerado em todas as simulações, sendo alocado no centro exato do

reservatório cilíndrico. No entanto, o seu intervalo de canhoneio e vazão de produção

serão variados ao longo dos casos estudados. O controle do poço será feito pela vazão

total de fluidos produzida na superfície, inicialmente igual à vazão de óleo, mas

correspondente à soma das vazões de óleo e água nos casos em que ocorre o

breakthrough de água. O sistema também será limitado para a pressão de fundo, com o

valor de 8 x106 Pascais, igual à pressão de bolha, com a produção ocorrendo sem a

liberação de gás. As fronteiras do sistema (acima da zona de óleo, abaixo do aquífero e

raio externo) são admitidas como seladas para o caso base. A transmissão de fluidos só

ocorre nas porções canhoneadas junto ao poço, tanto para produção, tanto para injeção

(para os esquemas de canhoneio múltiplo de poço). Por fim, destaca-se que a análise

58

será feita apenas no reservatório, não contemplando quaisquer sistemas de elevação e

escoamento de fluidos após a saída dos mesmos do reservatório.

Tabela 2 – Dados do Sistema Poço-Reservatório

Tipo

Grandeza Valor

Controle do Poço

Vazão de Produção do Poço Variável

Limite do Poço Pressão de Fundo de Poço 8 x106 Pa

4.1.2 Grid Numérico

Quando se aplica um método numérico para resolução de um determinado problema,

estamos trocando o conhecimento da solução exata em todos os pontos do tempo

espaço, o que nem sempre é possível ou viável de ser obtido, por uma solução

aproximada em determinadas posições.

Como descrito por Hartmann [40], cabe ao engenheiro de reservatórios definir o melhor

grid de simulação de modo a se obter as soluções nos pontos mais relevantes do

problema, ao adaptar o acurado modelo geológico em um modelo de simulação mais

“grosseiro”, o processo de Upscaling. Tal prática permite a viabilidade da simulação de

reservatórios, ao reduzir o tempo e esforço computacional sem, no entanto,

comprometer a precisão da solução demasiadamente.

A escolha da malha de simulação para os casos de estudo fundamentou-se nos seguintes

aspectos:

a discretização no espaço deve fundamentalmente representar os efeitos de

pressão comumente observados em reservatórios com fluxo cilíndrico,

englobando os pontos de interesse (junto ao poço, fronteiras, etc.), e prevendo

valores de vazões com pequenas discrepâncias em relação aos grids mais

refinados;

a discretização no tempo deve ser tal que permita a estabilidade e convergência

da solução, mas sem comprometer excessivamente o tempo de simulação,

quando comparado aos outros grids testados;

59

Como descrito na Seção 3.4.1, o grid radial é adotado com sendo mais refinado junto ao

poço, de modo a representar os efeitos do escoamento, com a dimensão dos blocos

organizada de acordo com uma função logaritmica. Para a altura, a divisão do espaço é

de forma homogênea, o que facilita a comparação entre os intervalos de canhoneio nos

estudos de caso.

Para a discretização no tempo, entretanto, diversos problemas limitaram o time-step

adotado, sendo o principal deles a adoção do Método IMPES para a formulação

numérica. Pelas simulações realizadas, observou-se que a convergência deixava de ser

assegurada para time-steps maiores do que 1 dia quando ocorria mudança brusca

mudança nas vazões de produção (ocorrência de breakthrough de água) ou quando a

variável de controle mudava para a pressão de fundo de poço (acentuada queda de

pressão no reservatório).

Como forma de contornar este inconveniente, dotou-se o simulador de um oscilador de

time-steps, cujo papel do mesmo seria o de reduzir o passo de tempo quando notada a

instabilidade da solução (início da produção de água), e retomando posteriormente ao

valor inicialmente definido. Mesmo assim, foi observado que após a estabilização das

vazões de produção nem sempre se garantia a convergência da solução para time-steps

maiores, levando a diversas oscilações no mesmo e, consequentemente, estendendo o

tempo total de simulação.

Diante de tais problemas, optou-se definitivamente pela utilização de um passo de

tempo de um dia, e um tempo total de simulação de cinco anos. Com tais parâmetros, a

convergência era garantida para a maioria dos grids de simulação a serem testados, bem

como havia a possibilidade de utilizar uma ampla faixa de vazões, desde 100 m³/d até

valores maiores, da ordem de 800 m³/d, e observação de seus efeitos a curto e médio

prazo.

Definido o fator limitante, resta agora a escolha da quantidade de volumes finitos para

se escrever a malha espacialmente. Inicialmente, foram escolhidos os seguintes grids

para teste (onde o primeiro número corresponde à quantidade de blocos no raio e o

segundo, na altura):

60

5 x 5 blocos

10 x 10 blocos

15 x 15 blocos

20 x 20 blocos

25 x 25 blocos

30 x 30 blocos

Inicialmente, testou-se o tempo necessário à simulação de três meses de produção do

reservatório para cada um dos grids utilizando o time-step de 1 dia em um caso sem a

ocorrência de breakthrough de água. Como se percebe na Tabela 3 e pela Figura 17, o

tempo computacional cresce exponencialmente de acordo com o refino do grid

numérico. Adicionalmente, o grid 30 x 30 necessitou de time-steps menores do que 1

dia para iniciar a simulação, levando a um tempo computacional significativo mesmo

para um pequeno intervalo de produção, o que praticamente inviabiliza o seu uso em

simulações de maior duração.

Tabela 3 – Tempo de Simulação para 3 meses de produção e time-step de 1 dia

Grid Numérico Tempo (segundos)

5 x 5 9

10x10 120

15x15 282

20x20 523

25x25 868

30x30 2180

61

Figura 17 – Tempo de Simulação para os Grids de Interesse

Por sua vez, na maioria das simulações, o grid 5 x 5 não apresentou resultados físicos

condizentes com a realidade, de modo que sua baixa precisão de resultados não justifica

o baixíssimo tempo computacional, também sendo descartado como opção de uso.

As quatro malhas restantes foram, então, submetidas a um simples teste de produção,

também para 3 meses, e utilizando vazões de produção distintas. O poço foi aberto em

toda sua extensão pela zona de óleo, de modo que ocorresse produção de água, a fim de

comparativo entre a discrepância dos resultados previstos pelas malhas (já que a

discrepância entre os grids era mínima para os casos em que não ocorria produção de

água).

Os resultados (representados na Tabela 4) indicam que a malha 20 x 20 apresentou

pequena discrepância quando comparada a 25 x 25, em especial para as maiores vazões

testadas, indicando ser uma boa escolha por conta do menor tempo de simulação aliado

ao resultado coerente obtido.

62

Tabela 4 - Discrepância Relativa para os Grids

63

Apesar da precisão obtida pela malha 20 x 20, o tempo computacional ainda seria um

fator proibitivo. De acordo com a Tabela 3, uma única simulação de 5 anos de produção

levaria aproximadamente 3 horas com este grid, limitando severamente a quantidade de

simulações possíveis de serem realizadas por conta do tempo. Assim, foram testados

outros grids a fim de saber se era possível obter os resultados similares aos apresentados

pela malha 20 x 20, mas com menor tempo computacional demandado.

Felizmente, dos diversos esquemas testados, encontrou-se que uma malha 15 x 10

apresentava resultados bastante similares ao grid anterior, além de reduzir o tempo total

da simulação proposta de 5 anos para aproximadamente 1 hora. Os testes preliminares,

também considerando canhoneio completo do poço e time-step de 1 dia evidenciam uma

proximidade nos resultados obtidos. Destaca-se, ainda, que a divergência apresentada

em alguns resultados da Tabela 5 (em especial para as menores vazões de produção) é

menor quando um maior tempo de simulação é realizado (comparar a redução da

discrepância para o resultado de 400m³/d entre a Tabela 5 e a Tabela 6), muito

possivelmente por conta da minimização dos efeitos oscilatórios durante o breakthrough

de água, que ocorre mais tardiamente para as vazões menores.

Finalmente, pelos motivos supracitados, definiu-se o grid de simulação como sendo 15

blocos no raio (em malha não uniforme, logarítmica) por 10 na altura, regular.

Tabela 5 - Comparação entre os Grids 15x10 e 20x20 para três meses de produção

64

Tabela 6 - Comparação entre os Grids 15x10 e 20x20 para seis meses de produção

4.2 Análise de Sensibilidade

A análise de sensibilidade para fenômenos físicos tem por objetivo identificar quais

parâmetros do sistema são responsáveis por alterar significativamente a resposta ou

resultado observado, tanto acelerando-a, quanto retardando-a. No caso do cone de água,

todos os parâmetros descritos ao longo das Seções 3.1 e 3.2 são candidatos à análise,

enquanto que a resposta corresponde à intensidade com a qual ocorre a elevação e

breakthrough de água. Assim, o cone de água será considerado muito sensível a

determinado parâmetro se uma pequena mudança no valor deste ocasionar uma grande

mudança no tempo para ocorrência de breakthrough de água no poço.

Neste trabalho, foram estudadas as influências da permeabilidade (horizontal e vertical),

tamanho do aquífero, porosidade, espessura da zona de óleo, raio externo do

reservatório, raio do poço, região canhoneada e vazão de produção, através de uma

análise univariada, a partir de um caso base (canhoneio de 60% da zona de óleo, com

vazão de produção de 500m³), cujo tempo de breakthrough é igual a 300 dias. Destaca-

se que devido à existência de uma quantidade de água inicial na zona de óleo e às

incertezas numéricas, o valor de água antes do breakthrough não é igual à zero. Assim,

o tempo para tal ocorrência é medido de acordo com dois critérios, principalmente:

análise do gráfico das vazões de produção (Figura 18) e observação da evolução dos

perfis de saturação ao redor do poço (Figura 19), de onde o tempo de breakthough é

aferido pelo aumento brusco nos valores de vazão de água.

65

Figura 18 – Medição do Tempo de Breakthrough para o Caso Base

Figura 19 - Perfis de Saturação ao Redor do Poço e Conificação de Água

66

Utilizando estes critérios, foram medidos os tempos de breakthrough, encontrando-se os

resultados da Figura 20.

Os resultados indicam que a densidade, permeabilidade horizontal, permeabilidade

vertical, espessura da zona de óleo são os parâmetros que ocasionaram significativas

mudanças no tempo de breakthrough de água, destacando-se os três primeiros. A

redução na densidade do petróleo (aumento de seu grau API) e aumento da

permeabilidade horizontal auxilia o escoamento radial do óleo por favorecer sua

mobilidade, retardando a subida de água e minimizando seus efeitos. Ainda, de acordo

com o modelo implementado (ver Equação (10)), a mudança na densidade do óleo está

intimamente ligada com o favorecimento de sua viscosidade, o que reforça este efeito.

A influência da permeabilidade vertical (representada no gráfico pela sua razão em

relação à permeabilidade horizontal) pode ser vista com maior intensidade para a faixa

abaixo da razão de 0,1, valor base do modelo, e com efeitos mais pronunciados na

resposta do cone de água. Com a redução da anisotropia e aumento da permeabilidade

vertical, a influência desta na subida de água é cada vez menor, de acordo com os

resultados.

O único parâmetro geométrico que provocou alteração significativa do influxo de água

foi a espessura da camada de óleo. Tamanho do aquífero (espessura), raio externo do

reservatório (tanto fronteiras seladas, quanto fronteiras sob influxo de água) e raio do

poço não influenciaram significamente no fenômeno.

67

Figura 20 - Análise de Sensibilidade para Diversos Parâmetros Testados

Finalmente, a mudança no intervalo de canhoneio e das vazões de produção também

modificou o comportamento da subida de água substancialmente. E diferentemente dos

parâmetros observados anteriormente, o esquema de produção pode ser mais facilmente

modificado de modo a controlar a conificação. De acordo com a Figura 21, a limitação

do intervalo de canhoneio impacta diretamente no cone de água, por reduzir as forças

68

viscosas atuantes no contato óleo-água, atrasando o breakthrough de água. Para

menores vazões, este efeito é ainda mais pronunciado.

Figura 21 - Análise de Sensibilidade para o Intervalo de Canhoneio

Já pela Figura 22, a influência da vazão é pronunciada apenas em baixos valores, mais

próximos do valor crítico/ pseudo-crítico de produção do sistema. Para vazões médias e

mais elevadas, a intensidade de subida da água se torna menos dependente, de modo que

se pode afirmar que o controle do cone de água pela vazão de produção torna-se menos

efetivo, sendo indicado mais indicado para tal, a limitação do canhoneio de poço.

69

Figura 22 - Análise de Sensibilidade para a Vazão de Óleo

4.3 Análise Econômica para a Completação Simples de Poço

O estudo de completação simples de poço objetiva comparar o comportamento da

produção com respeito à mudança na estratégia adotada. Fundamentalmente, retomamos

a questão levantada na introdução deste trabalho, a comparação se um esquema de

produção com maior volume de óleo e água produzidos é mais ou menos vantajoso do

que àqueles com menores volumes destes fluidos.

Para a determinação da estratégia de produção em canhoneio simples de poço, serão

considerados como elementos possíveis de serem modificados o intervalo canhoneado

(fração do reservatório que estará aberta à produção, sempre medido a partir do topo da

zona de óleo, como mostra o esquema na Figura 23) e a vazão total de líquidos a

produzida, corrigida por seus fatores volume formação para o cálculo dos volumes de

óleo e água.

70

Figura 23 - Exemplificação do Cálculo de Alguns Intervalos de Canhoneio

No entanto, faz-se necessário a adoção de um critério para ponderação dos volumes de

óleo e água produzidos, de modo a valorar o primeiro e onerar o segundo, e permitindo

a comparação das diferentes estratégias de produção. Para tal, utilizar-se-á a análise

econômica, pautada no valor presente líquido.

No presente estudo, foram adotados dois valores distintos para o preço de venda do

barril de óleo: 75 USD e 100 USD. Para a oneração pela produção de água, foram

considerados os custos de tratamento (5 USD por barril de água) e descarte (2 USD por

barril de água). Os custos operacionais (englobando tanques e separadores de água,

espaço em plataforma, dimensionamento do sistema de processamento e produção, etc.)

foram estimados em 4 USD por barril total produzido, no caso de razões água óleo

inferiores a 0,3, e em 11 USD para frações maiores de água produzida, para representar

encarecimento da produção decorrente da maior produção de água.

Adicionalmente, como consta na Tabela 7, será adotada uma taxa de atratividade de

10% ao ano para os 5 anos de produção simulados, bem como serão contabilizados os

impostos básicos aos quais a produção de hidrocarbonetos está sujeita. Não foi

contabilizada a chamada Participação Especial, pois os valores simulados sempre

estiveram abaixo da cota mínima para pagamento (por se tratar de uma simulação de

poço único).

71

Tabela 7 - Premissas Econômicas Adotadas

Premissas Econômicas

Preço do Óleo 75 USD/bbl de óleo (conservador)

100 USD/bbl de óleo (otimista)

Separação do Óleo 4 USD/ bbl de líquido (razão água/óleo < 0,3)

11 USD/ bbl de líquido (razão água/óleo > 0,3)

Tratamento e Descarte da Água 7 USD/ bbl de água

Taxa de Câmbio 1 USD = 2,2 BRL (calculada em setembro de 2013)

Taxa de Atratividade 10% ao ano

Critério de Comparação Valor Presente Líquido (VPL)

Impostos

Royalties 10% da receita bruta de óleo

PIS/PASEP/COFFINS 9,25% da receita bruta de óleo

Contrato Social 9% da receita bruta de óleo

Imposto de Renda aproximadamente 25% sobre o lucro

Fundamentado nestes dados, conduziram-se as simulações para o canhoneio simples de

poço, variando-se a vazão de produção e intervalo canhoneado. Foram testadas vazões

de produção desde 100m³/d de líquidos (aproximadamente 629 barris por dia) até

1000m³/d (6290 barris por dia), para canhoneios que variam de 10% a totalidade da

zona de hidrocarbonetos aberta à produção, totalizando cerca de 100 casos a serem

simulados inicialmente (Tabela 8):

Tabela 8 - Resultados Econômicos para o Canhoneio Simples

72

No entanto, nem todos os testes simulados foram expostos, como é perceptível pelos

quadrados em branco da Tabela 8. Nestas ocasiões, houve conflito no simulador entre a

pressão mínima de fundo de poço e a vazão de produção, de modo que fora impossível

de se simular os cinco anos propostos. Por consequência, as vazões possíveis de serem

produzidas eram demasiadamente menores do que as propostas logo no início da

simulação, impossibilitando sua comparação direta com os outros resultados, dada as

condições propostas (pressão de fundo limitada pela pressão de bolha e não utilização

de métodos de elevação artificial). A receita e lucro calculados, portanto, foram abaixo

dos valores indicados.

Dos resultados que foram possíveis de ser simulados é visível que, para um dado

intervalo canhoneado, o aumento da vazão sempre acarretou um resultado econômico

melhor, indiferente à produção de água ou ao preço do barril de óleo. No entanto, cabe

destacar que a adoção de vazões mais elevadas (900m³ e 1000m³) provocou uma

acentuada queda de produção e limitação da pressão de fundo logo no início da

simulação, breakthrough de água muito precoce, e aumento do water-cut até cerca de

50%, indicando que tais estratégias, apesar de melhores no curto e médio prazo, podem

não ser as mais indicadas em uma produção de longo prazo por não manterem as vazões

estabilizadas.

Para uma determinada vazão de produção, entretanto, os resultados foram bastante

dependentes do intervalo de canhoneio. A baixas vazões (100m³ e 200m³) a produção

simulada sempre fora melhor para os canhoneios mínimos, sempre com pressão de

fundo acima do valor mínimo, permitindo uma produção praticamente estável ao longo

dos cinco anos simulados. Para 100m³, inclusive, a resposta é quase independente do

canhoneio escolhido, muito provavelmente por se tratar de um valor de vazão perto do

crítico para o sistema, e que mesmo assim apresenta performance econômica muito

abaixo dos outros valores. Assim, a produção próxima do valor crítico, mesmo evitando

a produção de água, não é justificada economicamente.

Adicionalmente, o aumento na vazão de produção provoca uma mudança nesse padrão,

e canhoneios intermediários (de 40 a 70% da zona de óleo) passam a ter desempenhos

econômicos melhores. Para os resultados de 400m³ e 700m³, por exemplo, uma redução

73

de 10% na fração canhoneada leva a um pior resultado econômico, por limitar a pressão

de fundo de poço muito precocemente, e provocar acentuada queda das vazões

produzidas. A limitação da pressão de fundo de poço, ainda, sempre ocasionou o

aumento no water-cut, indicando que tal estratégia não é adequada para controle do

cone de água, nem justificável economicamente.

4.4 Análise Econômica para a Completação Dupla de Poço

O último estudo de caso considera a estratégia de canhoneio duplo de poço. Estamos

interessados em saber se tal tipo de técnica pode atrasar o breakthrough de água e

aumentar a recuperação de óleo e lucro, quando comparados ao padrão convencional de

canhoneio de poço. Para tal, serão considerados alguns esquemas de produção, contando

com baixas e altas vazões de produção, além de intervalos de canhoneio menores e mais

maiores.

Para os esquemas de canhoneio duplo, é suposta a existência de uma segunda região

canhoneada, alocada diretamente no aquífero (no simulador, a cerca de 30 a 40 metros

abaixo do contato óleo água estático), como exposto na Seção 2.3 deste texto. Ao se

colocar a água diretamente do aquífero em produção, espera-se que a atuação do cone

de água seja minimizada na zona de óleo, de modo que o canhoneio superior produza

com baixo water-cut. Outra vantagem deste método seria a de evitar os custos de

separação da água, bem como dimensionamento da plataforma para tal, de onde adviria

a rentabilidade do método. Entretanto, a produção de água do aquífero pode acarretar

perda de energia natural do reservatório, prejudicando a recuperação final. Com base

nestas premissas, alguns casos de produção foram simulados.

Primeiro, mediu-se a resposta do cone de água para este método. Os tempos de

breakthrough de água no canhoneio superior (Figura 24, onde o zero equivale à

produção sem o canhoneio na zona do aquífero) indicam que é necessário uma vazão de

produção do aquífero da ordem do dobro da vazão de produção do óleo para que ocorra

um atraso apreciável na subida de água. Ainda, o método atrasou mais eficientemente o

canhoneio mais estreito, muito possivelmente pelo maior espaçamento entre as duas

regiões de produção.

74

Figura 24 - Análise do Tempo de Breakthrough para Canhoneio Duplo

75

Em seguida, calculou-se a receita, os custos e o lucro, também utilizando os dados da

Tabela 7. A água produzida pela porção inferior não possui óleo associado, de modo

que seu custo de separação fora igualado à zero. Para um dado valor de produção de

óleo, foram testados distintos valores de produção de água pelo canhoneio inferior

(expressos por “Qinf” na Tabela 9), com os resultados expostos a seguir:

Tabela 9 - Análise Econômica para Alguns Casos de Canhoneio Duplo

76

Apesar de a escolha das vazões não contemplar todos os cenários possíveis, importantes

conclusões podem ser delineadas a partir da Tabela 9. A primeira delas é a de que o

método de completação dupla e produção concomitante de água e óleo é viável por

aumentar a recuperação de óleo (visível através do aumento da receita bruta, em relação

ao caso base) e não pela redução de custos (que aumentam pela produção excessiva de

água necessária ao funcionamento do método, mesmo com a redução dos custos de

separação).

Ainda referente à produção de água, a mesma deve ser aproximadamente da mesma

ordem de grandeza da produção de óleo para a economicidade da técnica (como notado

pelos casos em que a vazão de produção do óleo fora de 300 m³/d), de modo a aplicar

similares gradientes de pressão no contato entre os fluidos do reservatório.

No caso de maiores vazões intermediárias e mais altas (500m³ e 700m³) o método

apresentou-se menos vantajoso do que o caso base, muito provavelmente decorrente das

elevadas vazões de retirada de água provocar a depleção precoce do reservatório,

comprometendo a produção de óleo no canhoneado superior. Possivelmente, uma forma

de reduzir a produção de água demandada para o funcionamento do método nestes casos

seria mudando o espaçamento entre as duas regiões, dado os resultados expostos para a

vazão de 300m³/d, também na Tabela 9, onde o estreitamento do canhoneio de 80% –

Blocos 3 a 10 – para 40% – Blocos 7 a 10 – acarretou uma redução na vazão de água e

aumentou o lucro. Deste modo, o espaçamento entre as duas porções parecer ser o outro

ponto crítico para o sucesso ou fracasso do método, em conformidade com os resultados

de trabalhos anteriores.


Este capítulo abordou todos os estudos de casos realizados no simulador numérico,

desde a sua construção e implementação no software Wolfram Mahtematica 8, até a

obtenção de resultados.

77

Os dados e modelos de entrada foram descritos, bem como a estratégia adotada para a

escolha do grid de simulação, através de uma análise de convergência, baseada em

determinados critérios.

Em seguida, conduziu-se a análise de sensibilidade para o cone de água, reconfirmando

alguns dos resultados presentes na literatura. Por fim, realizaram-se os estudos de caso,

através de sucessivas simulações com a finalidade de se comparar diversas estratégias

de produção, com uma análise dos resultados obtidos no decorrer do capítulo.

78

5 Conclusões O presente trabalho contou com a simulação numérica de reservatórios sujeitos à

conificação de água, um tema de relevância para uma indústria altamente ligada à

economicidade de projetos como a petrolífera.

O modelo desenvolvido contou com um forte embasamento teórico, culminando com

um simulador que apresentou resultados, para a análise de sensibilidade, coerentes com

a literatura geral sobre o problema, ao destacar que a permeabilidade horizontal,

densidade/viscosidade do óleo, espessura da zona produtora e o esquema adotado de

vazão/canhoneio são os fatores de maior influência na formação do cone de água.

Para os esquemas de completação simulados, nota-se que existe uma relação muito

dependente entre a vazão de produção e o canhoneio de poço, sendo as melhores

estratégias aquelas que permitem evitam a produção de água antecipada sem requerer

uma queda de pressão acentuada no fundo do poço. Para a completação simples de

poço, altas vazões de produção apresentaram-se mais vantajosas economicamente do

que aquelas menores, mesmo com a maior vazão de água decorrente. Para a

completação dupla, as simulações indicaram que o método apresenta viabilidade

econômica, principalmente para baixas vazões de produção e que o mesmo depende

crucialmente da relação entre as vazões e espaçamento entre as zonas produtoras.

De forma geral, pode-se afirmar que a metodologia numérica adotada fora bem sucedida

com respeito ao uso do Método dos Volumes Finitos, onde não foram observados erros

ou divergências quanto ao valor total de fluidos produzidos (soma das correntes de água

e óleo) e volumes extraídos do reservatório. No entanto, é preciso destacar que a adoção

da metodologia IMPES prejudicou a convergência da resposta, levando a oscilações no

time-step e nas vazões de produção, especialmente durante o tempo em que as

saturações de água crescem ao redor do poço, até sua posterior estabilização.

É importante destacar que, apesar de este trabalho abarcar uma série de particularidades

sobre o fenômeno de cones de água, muito ainda pode e deve ser feito, especialmente na

direção de se modelar reservatórios mais reais, considerando camadas com diferentes

79

porosidades e permeabilidades (reservatório heterogêneo), efeitos de escoamento

esférico na extremidade do poço, existência de falhas, sistemas tridimensionais de

simulação, e mais estudos sobre técnicas mitigadoras, em particular os esquemas de

canhoneio múltiplo de poço (dupla e tripla). No âmbito computacional, sugere-se que a

utilização de modelos totalmente implícitos, a fim de se evitar os problemas

supracitados de elevados tempos computacionais e time-step, além de se permitir

simulações para predição de comportamentos em longo prazo.

Ainda, é desejado que os esforços conduzidos para resolução de problemas deste tipo

caminhem na direção da criação de códigos e algoritmos que permitam a otimização

direta do problema, encontrando os melhores esquemas de produção (vazão, intervalo

de canhoneio, número de zonas canhoneadas, etc.) de uma forma mais direta, sem a

realização de excessivas simulações.

80

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Documents

ANÁLISE NUMÉRICA DA FORMAÇÃO DE CONES DE ÁGUA …monografias.poli.ufrj.br/monografias/monopoli10009573.pdf · comparando esquemas de produção, concluindo-se que maiores vazões