1 Os contratos de crédito. 2 O contrato de crédito Existem três razões principais para a necessidade de haver contratos de crédito. –O ciclo de vida das

1

Os contratos de crédito

2

O contrato de crédito

• Existem três razões principais para a necessidade de haver contratos de crédito.– O ciclo de vida das pessoas– Poder ocorrer um período de “desemprego”

ou de despesas acrescidas (e.g., doença)– O capital ser produtivo

3

O ciclo de vida

• Uma das mais obvias razões para a a existência de empréstimos é o ciclo de vida das pessoas.

– As pessoas precisam de consumir sempre– Existem longos períodos em que não têm

rendimento (quando crianças e “velhos”)

4

O ciclo de vida

5

O ciclo de vida

• As pessoas, quando crianças, não têm rendimento suficiente para sobreviver, pedindo recursos emprestados– Em média, é-se “criança” durante 20 anos

• Quando trabalham, pagam as dívidas (de criança) e poupam alguns recursos (para a velhice)– Em média, é-se activo durante 45 anos

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O ciclo de vida

• Quando reformados, não têm suficiente rendimento para sobreviver, mas têm os recursos que pouparam (emprestaram)– Em média, a reforma dura 15 anos

• Esses recursos que vão-se esgotando

7

O desemprego

• O trabalho é a fonte mais importante de rendimento das famílias

• E, de repente, qualquer pessoa pode ficar desempregada.– A probabilidade será de 10%/ano

8

O desemprego

• E, depois, demora alguns meses a encontrar novo emprego– Em média, 12 meses

• E o salário é menor que o anterior – Menos 15%

• Será necessário poupar recursos para essa eventualidade. – Deverão ter uma poupança > 12 salários.

9

Cataclismos• Podem ocorrer imponderáveis

– O indivíduo pode adoecer, ficando sem poder trabalhar e necessitando de tratamento médico.

– Pode ter um acidente de automóvel, necessitando de pagar a reparação.

– Pode ter um incêndio em casa.

• É necessário ter uns activos de lado

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O capital ser produtivo

• O trabalho torna-se mais produtivo se for auxiliado por capital– máquinas e ferramentas, solo agrícola, etc.

• Se um indivíduo pedir emprestado dinheiro, pode comprar bens de capital e aumentar o seu rendimento– Mais tarde, pode devolver o dinheiro pedido

11

O capital ser produtivo

• Existem bens que custam “muito dinheiro” e duram muito tempo– Casas, carros, frigoríficos, televisores, etc.

• Estes bens “produzem” utilidade– As pessoas, sem dinheiro, estão disponíveis

para pedir empréstimos e pagar um pouco todos os meses.

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O empréstimo em dinheiro

• Numa sociedade “atrasada”, – Armazenam-se bens– Emprestam-se bens e serviços

• Numa sociedade monetarisada, empresta-se dinheiro

13


• O armazenamento de recursos tem custos muito elevados– A roupa passa de moda– A comida estraga-se– Os carros enferrujam

• É vantajoso emprestar dinheiro e mais tarde tê-lo de volta para comprar bens e serviços

14


• Poupar dinheiro não é o mesmo que poupar recursos escassos

• Se poupamos dinheiro, nós deixamos de consumir recursos (bens e serviços)

• Mas, a quem emprestamos, vai consumir esses recursos que poupamos.

15


• Como as pessoas são heterogéneas, haverá sempre algumas que precisam de pedir dinheiro– E.g., as criancinhas, os desempregados e

acidentados imprevidentes.

• Outras que precisam de guardar dinheiro– E.g., os activos previdentes.

16

A taxa de juro

17

A taxa de juro

• Quando eu empresto uma quantidade de dinheiro, não vou receber a mesma quantidade– A diferença denomina-se por JURO

• O Juro pode ser entendido como a remuneração de eu adiar o consumo

18

A taxa de juro

• Em termos económicos,

• quem empresta está a vender bens do presente em troca de bens do futuro

• quem pede emprestado está a comprar bens do presente em troca de bens do futuro

• Ou vice versa

19

A taxa de juro

• Então, o juro também pode ser entendido– como uma “taxa de cambio” intertemporal

1€ de agora vale 1.1€ do futuro

– como um “preço relativo” intertemporal– 1 camisola de agora vale 0.9 camisolas do

futuro

20

A taxa de juro

• O raciocínio em termos de “remuneração” é muito mais fácil de compreender que em termos de “preço relativo”

21

A taxa de juro

• O juro, em tese, tanto poderá ser positivo como negativo.

• Há razões para justificar ser positivos e razões para justificar ser negativo

• Historicamente é positivo

22

A taxa de juro

• Porque é positivo?

• Por três razões– A inflação– Haver alternativas remuneradas

• As pessoas preferem o presente ao futuro• O capital é produtivo

– Haver risco de incumprimento

23

Taxa de juro positiva

• Hoje faço anos e deram-me 1000€– Hipótese 1: entregam-mos agora.– Hipótese 2: entregam-mos daqui a 10 anos.

• Qual das hipóteses será preferível?

24

Taxa de juro positiva

• É preferível a hipótese 1

– A) O dinheiro vai desvalorizar– B) Podia depositá-lo a juros– C) O doador pode morrer (e a oferta falhar)

25

Inflação

• A) O dinheiro vai desvalorizar

– O valor do dinheiro resulta de podermos comprar bens e serviços.

– Como existe inflação (i.e., o preço dos bens e serviços aumenta com o tempo), a quantidade de bens que posso comprar diminui com o tempo.

– O valor do dinheiro diminui com o tempo

26

Inflação


• Inicialmente tenho V0 euros

• Os preços, em média, aumentam %.

• No fim do período terei que ter

V1 = V0 (1+ )

27

Inflação


• Exercício– Posso ter 1000€– Sendo que, em média, durante os próximos

10 anos os preços aumentarão 40%.– Quanto terei que ter ao fim deste tempo para

ter o mesmo poder aquisitivo?

28

Inflação

V1 = 1000 x (1 + 0.40) = 1400€

Teria que ter 1400€

29

Alternativa remunerada

• B) Podia depositá-lo a juros– O capital é produtivo.

• E.g., um agricultor se cavar com uma enxada consegue produzir mais do que se o fizer com um apenas um pau.

– O capital é escasso– Quem precisar de capital estará disponível a

pagar uma remuneração pelo seu “aluguer”.

30


• B) Podia depositá-lo a juros– É preferível consumir hoje. – As pessoas preferem o Presente ao Futuro

• No Futuro estamos mortos• No Futuro estamos velhos pelo que não apetecerá

– Quem faz o sacrifício de não consumir no presente precisa ser “remunerado”.

– Quem tem o benefício de consumir o que não tem (ainda) tem que “pagar”.

31


• B) Podia depositá-lo a juros

– Inicialmente tenho V0 euros– Apesar de os preços, em média, se

manterem, = 0%, um empresário de confiança paga-me como juro r%.

– No fim do período, terei

V1 = V0 (1+ r)

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Risco de incumprimento

• C) O doador pode morrer – O Futuro é incerto.

• A obrigação pode não ser cumprida

– Quando eu empresto dinheiro, estou a pensar receber o dinheiro mais os juros

– Mas posso não receber nenhum deles• Ou receber apenas parte

33


• C) O doador pode morrer– Vamos supor que eu emprestei V0 euros e

vou receber (penso eu) V1 euros.

– Existindo a probabilidade p de eu não receber nada, para, em média, ficar equivalente, terá que

V0 = 0 x p + V1 x (1 - p)

V1 = V0 / (1 - p)

34


• C) O doador pode morrer– Vamos supor que eu empresto 1000€– Existe a probabilidade de 10% de, decorrido o

prazo acordado, não receber nada– Qual terá que ser a soma prometida no fim do

prazo?

35


V1 = 1000 / (1 – 10%) = 1111.11€

Teriam que me prometer acrescentar 111.11€ de juros ao dinheiro que eu emprestei.

36

A taxa de juro

• Haverá razões para que a taxa de juro pudesse ser negativa?– O dinheiro que guardo em casa pode ser

roubado– Se houver poucas criancinhas e poucos

empresários, não há a quem emprestar dinheiro

• i.e., se não houver crescimento económico

37

A taxa de juro

• Haverá razões para que a taxa de juro pudesse ser negativa?

• Historicamente, os efeitos “negativos” são negligenciáveis face aos efeitos “positivos”

38

A taxa de juro

• AS unidades de juro são em termos de unidades de capital (dinheiro) por unidades de tempo.

• e.g., 0.10€ por cada 1.00€ e por cada ano– Seria uma taxa de juro de 10% ao ano

39

A taxa de juro

• Como o juro incorpora 3 elementos– A inflação– A remuneração do capital (o juro real)– O risco de não cobrança

• Em termos de taxas temos, num anoVfinal = Vinicial x (1+ ) x (1 + r) / (1 - p)

1+ i = (1+ ) x (1 + r) / (1 - p)

40

A taxa de juro

• Para valores de r, e p pequenos, é aceitável somas as 3 parcelas:

pri

pLnLnrLn

p

rLniLn

)1()1()1(

)1(

)1)(1()1(

41

A taxa de juro

• Supondo que eu empresto 1000€, durante 1 ano.– A inflação (prevista) é de 5% ao ano– O juro real (acordado) é de 2% ao ano– O risco de não cobrança é de 3% ao ano

• Qual a taxa de juro?

• Quanto dinheiro devo acordar receber?

42

A taxa de juro

A taxa de juro seria de10.41%:

1+i = (1+ 0.05) x (1 + 0.02) / (1 – 0.03)

i =10.412%

Devo exigir receber (daqui a um ano)

V1 = 1000 x (1+ 0.05) x (1 + 0.02) / (1 – 0.03)

V1 = 1104.12€

Os juros seriam 104.12€.

43

A taxa de juro

A soma das parcelas daria 10%

A taxa calculada é 10.412%

Quanto mais pequenas forem as parcelas, menor é a diferença

44

A taxa de juro

• Eu tenho 10 galinhas que posso comer (galinhas de hoje) ou emprestar e receber 11 galinhas daqui a um ano (galinhas do futuro).– i) Qual é a taxa de juro? – ii) Qual é o preço das galinhas do futuro

relativamente às galinhas do presente?

45

A taxa de juro

• i) A taxa de juro resolve 11 = 10.(1 + i)

i = 10%.

• ii) Compro 11 galinhas do futuro com 10 unidades “monetárias” (10 galinhas de hoje) pelo que preço de cada galinha do futuro será de 0,909 unidades “monetárias” (i.e., galinhas de hoje).

46

A taxa de juro

• Assumir um juro proporcional à duração do tempo e à quantidade emprestada tem problemas– O risco de grandes somas é mais que

proporcional ao risco das pequenas somas• Por causa da diversificação do risco

– O risco de longos prazos é mais que proporcional ao risco dos curtos prazos

• O futuro distante é menos previsível

47

A taxa de juro

• Mesmo assim, usa-se como referência para o juro uma taxa por unidade de tempo, normalmente o ano.– E.g. 4.47%/ano

• Podendo haver ajustamentos ao prazo e ao valor

48

A taxa de juro

• Taxa EURIBOR– É a taxa de juro por ano que os bancos sem

risco (first class credit standing) emprestam euros entre si

– É uma referência nos contratos com taxa de juro variável (e.g., crédito à habitação).

49

A taxa de juroEURIBOR a 6 meses desde o início de 2008

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

3,50

4,00

4,50

5,00

5,50

1-Jan-08 10-Abr-08 19-Jul-08 27-Out-08 4-Fev-09 15-Mai-09

EURIBOR-6meses, pp

50

A taxa de juroEURIBOR dependendo do prazo do contrato(Escalas: 30-06-2008 esquerda; 30-04-2009 direita)

4,0

4,2

4,4

4,6

4,8

5,0

5,2

5,4

1w 2w 3w 1m 2m 3m 4m 5m 6m 7m 8m 9m 10m 11m 12m

0,7

0,9

1,1

1,3

1,5

1,7

1,9

2,1

Prazo

30-06-2008

30-04-2009

51

A taxa de juro

• Taxa EURIBOR

– Como é uma taxa sem risco, os particulares acrescem um Spread à sua taxa que é a previsão que o emprestador tem do risco de não cobrança de cada cliente.

– Os depositantes recebem menos que a EURIBOR – “pagam” os serviços bancários

52

A taxa de juro

• Taxa de desconto do Banco Central– O BC controla a quantidade de papel moeda

em circulação,– i.e, controla o nível médio de preços– Não tem qualquer efeito real (monetaristas)

– Quando é definida, e.g., 4%/ano, o BC aceita liquidez a 3.5%/ano e cede liquidez a 4.5%/ano – denomina-se janela de desconto

53

A taxa de juro

• Taxa de desconto do Banco Central não é uma boa medida da taxa de mercado sem risco– A cedência de liquidez é de “último recurso”.– Ao fim de 60 dias, a taxa de juro aumenta 1

ponto percentual– Ao fim de 120 dias, aumenta mais 1 p.p.

54

A taxa de juro

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

01-01-2007 01-01-2008 31-12-2008

pp

Data

EURIBOR-6m

BCE+

BCE-

55

A taxa de juro

• O Credit Scoring é uma técnica de estimação da probabilidade de incumprimento.

• O Score é um índice que resulta de somar os efeitos de várias variáveis

56

A taxa de juro

• Ex.1.9: assuma o seguinte score:– PJA: Proporção dos juros e amortizações no

rendimento mensal– PDP: Proporção das dívidas no património– IM: Idade média do casal

• Score = 100PJA + 25PDP + IM

57

A taxa de juro

• score ≤ 80, o spread será de 0.75 pp• 80 < score ≤ 130, o spread será 1.75 pp • score > 130, o banco não concede crédito.

• Qual o spread de um casal, com 2M€/mês, património de 100M€, 26 + 30 anos, e que pedem 175M€ para comprar uma casa avaliada em 250M€?– Assuma uma prestação mensal de 6€/1M€.

58

A taxa de juro

• Como o Score

• p = 100x6x175/2000

+ 25.[175/(100 + 250)]

+ 28 = 93

está no intervalo ]80, 130],

o spread será de 1.75pp.

59

Questões a discutir

• A natalidade tem diminuído• As crianças sustentavam os pais na velhice

– Será culpa do estado por garantir a velhice com reformas e assistência?

– Por não garantir os pagamentos das dívidas dos filhos aos pais?

– Será culpa dos mercados financeiros por disponibilizarem activos sem risco?

60


• A poupança das famílias tem decrescido• Garantiam uma “eventualidade”• Permitiam comprar um “bens duradouros”

– Será culpa do estado ao garantir assistência médica e medicamentosa?

– De haver “subsídio de desemprego”?– De haver seguradoras?– De haver crédito bancário?

61


• Não há investimento

– Será culpa dos bancos favorecerem o crédito ao consumo?

– Será culpa do estado porque, os processos de falência são demorados, ineficientes, e favorece os trabalhadores em detrimento de quem emprestou o “capital”?

62

Capitalização e Desconto

63

Capitalização

• A taxa de juro é referida a uma unidade de tempo, normalmente um ano. – Se a duração do contrato for de vários anos

mas os juros forem pagos no final de cada ano

– Estamos sempre a voltar à situação inicial.

• Esta é a situação dita normal.

64

Capitalização

• Se os juros forem pagos apenas no fim do prazo contratado (de vários anos)

• Cada ano, o capital aumentará– Haverá lugar a juros dos juros não pagos.

• Esta é a situação capitalizada.

65

Capitalização Simples

• Neste caso, desprezamos os juros dos juros.

• Cada ano, os juros são o capital inicial a multiplicar pela taxa de juro anual

J = Vinicial.i

• No final de n anos, receberemos Jtotal = Vinicial.n.i e Vfinal.(1+ n.i)

itotal = n.i

66

Exercício

• Ex.1.4. Um empréstimo de 10M€ a 3 anos em que os juros são pagos no fim do período, capitalização simples.

• A taxa de juro foi 3.754%/ano; 4.217%/ano e 4.765%/ano, respectivamente.

• Qual a quantia a pagar?

67

Exercício

• R. Os juros serão

J = 10M€.(3.754% + 4.217% + 4.765%)

= 1273.60€

O capital final será

V = 10000€ + 1273.60€

=11273.60€.

68

Exercício

C3: =B3*B$1C6: =SUM(C3:C5)C7: =C6 + B1

69

Capitalização Composta

70

Capitalização Composta

• Neste caso, vamos considerar os juros dos juros.

• Cada ano, os juros acrescem ao capitalJt+1 = Vt.i

Vt+1 = Vt + Vt.i = Vt.(1+i)

• No final de n anos, receberemos Vfinal.=Vinicial.(1 + i)n, itotal = (1 + i)n - 1

71

Exercício

• Ex.1.5. Emprestando 25M€, a 5 anos à taxa de 5% ao ano, juros a pagar no fim do período com capitalização composta.– Denominam-se de juros postecipados

i) Qual o capital final a receber

ii) Determine a taxa de juro dos 5 anos e compare com a capitalização simples.

72

Exercício

• i) O capital final a receber será de

25000.(1 + 5%)5 = 31907,04€.

• ii) A taxa de juro do contrato será

(1+5%)5 –1 = 27,628%

com capitalização simples seria menor

= 5x5% = 25%.

73

Exercício

• Ex.1.6. Um empréstimo de 10M€ a 3 anos em que os juros são postecipados, capitalização composta.

• A taxa de juro foi 3.754%/ano; 4.217%/ano e 4.765%/ano, respectivamente.

• Qual a quantia a pagar?

74

Exercício

• O valor a receber será

V.(1+ 0.03754)*(1+ 0.04217)*(1+0.04765)

=11992.78€

75

Período de tempo fraccionário

• Na expressão da taxa de juro capitalizada de forma composta: itotal = (1 + i)n - 1

• O número de anos é inteiro.

• No entanto, podemos extrapolar o conceito de capitalização a fracções do ano.

76


• Sendo que empresto 1000€ durante 3 meses a uma taxa anual de 5%/ ano, quanto vou receber de juros (c. composta):

77


i = (1 + 5%)0.25 – 1 = 1,227% – 3 meses correspondem a 0.25 anos.

• Vou receber 12,27€ de juros

• Se capitalizasse esta taxa 4 vezes, obtinha os 5%

(1 + 1.227%)4 – 1 = 5%

78


• Ex.1.7. Num empréstimo de 100M€ foi acordado o pagamento mensal de juros à taxa média do último mês da EURIBOR a 3 meses e o capital no fim do prazo acordado.

• Supondo um mês em que a taxa de juro foi de 5.735%/ano, quanto foi pago de juros?

79


• R. A taxa mensal será

(1 + 5.735%)1/12 – 1 = 0.465796% – Um mês corresponde a 1/12 anos

465.80€ de juros referentes ao mês

80

Valor Futuro

• O valor que uma soma de dinheiro do presente terá no futuro

• Traduz o total a pagar pelo devedor no final do prazo acordado: – valor futuro do capital emprestado.

81

Valor Futuro

• Ex.1.8. Foram colocadas à venda obrigação do SCP de valor nominal de 5.00€ por 4.05€. Sabendo que o SCP resgata a obrigação ao par (i.e., paga os 5€) daqui a 3 anos, qual a taxa de juro desta aplicação?

82

Valor Futuro

• R. O valor futuro dos 4.05€ do presente serão 5.00€ pelo que a taxa de juro resolve:

• será 7.277%/ano:

1)05.4/5(5)1(05.4 3/13 ii

83

Valor Futuro

Ex.1.9. Um indivíduo deposita no início de cada mês 1000€ durante 60 meses.– As prestações são antecipadas

Supondo que a taxa de juro é de 4% ao ano, determine o valor futuro total das parcelas poupadas (i.e., quanto dinheiro terá no fim dos 60 meses)?

84

Valor Futuro

O valor futuro de 1000€ depositados no início do mês i é

O valor futuro total valerá

que, resolvido no Excel, resulta em 66395.68 €.

12/)160(%)41.(1000 iiVF

60

1

12/)160(%)41(1000i

iVF

85

Valor Futuro

C2: =B2*(1+4%)^((60-A2+1)/12) e copiava em coluna

C62: =Soma(B2:B61)]

86

Taxa de juro instantânea• Apesar de a taxa de juro i ser anualizada,

pode ser usada em contratos em que os juros são pagos com regularidade inferior

• Juros recebidos no final do primeiro período

nT 1

1)1(1)1(

1

nT ii

87

Taxa de juro instantânea• Juros recebidos no final do segundo

período

• O total de juros recebidos durante o ano, vem dado por,

kiniT

k nT

1)1(1)1(

1 1

1)1(1)1(

1

nT ii

88

Taxa de juro instantânea

• Por exemplo, se empresto 10M€ à taxa de juro de 5%/ano e quiser receber no fim de cada dia os juros, T=1/365, então durante um ano recebo:

€93.487

1%)51(365€10000 00274.0

k

89


• Quando o tempo se torna infinitesimal, esta medida k transforma-se na taxa de juro instantânea:

• A taxa de juro média virá dada por

)1(1)1(1

0iLni

TLimk T

T

1 kei

90


• De forma equivalente

1 kei

111)1(1

n

n

n

kikin

11lim

n

n n

ki

91


• A vantagem da taxa instantânea é poder ser utilizada em modelos em tempo contínuo (o que será feito em Macroeconomia e Matemática II).

92

Desconto

• Sendo que capitalizar é andar para a frente no tempo

• Descontar é andar no tempo para trás

• É, na taxa de juro capitalizada de forma composta: itotal = (1 + i)n - 1, assumir um número negativo de anos

93

Desconto – Valor passado

• Em termos económicos, pode traduzir o valor passado de uma quantidade de dinheiro presente

– Eu recebi hoje 1000€ de um valor que emprestei há 10 anos a 4% ao ano. Qual o capital que eu emprestei?

94

Desconto – Valor actual

• Também pode traduzir o valor actual (no presente) de uma quantidade de dinheiro que vou ter disponível no futuro

€56.675

%)41.(1000%)41.(1000 1010

V

VV

95


• No meu emprego, vão-me dar de prémio 100€, pagos daqui a 10 anos.

• Para uma taxa de juro de 6% ao ano, esses 100€ de daqui a 10 anos valem no presente

100€ x 1.06–10 = 55.84€.

96


• Ex.1.10. Um estudante, quando terminar o curso, vai receber de umas tias um prémio de 10000€. Supondo que pensa terminar o curso daqui a 30 anos e que a sua taxa de desconto é de 5% ao ano, qual será o seu valor actual?

97


• Posso “vender” este activo e receber no presente 2313.77€ (a outra pessoa que tenha 5% como taxa de desconto).

€77.2313

%)51.(10000 30

V

V

98


• Ex.1.11. Um indivíduo depositou num banco em 1940 uma soma. Sendo que esse banco devolveu 1milhão€ em 2008, qual terá sido a soma depositada?

99


• R. Descontando 1milhão€ para 1940, temos = 96395.38€.

€38.96395

%)5.31.(1000000 68

V

V

100

Pagamento da dívida Rendas

101

Rendas

• Já consideramos duas possibilidades para o pagamento da dívida.

• 1) Os juros são pagos periodicamente e o capital é pago no fim do prazo contrato.

• 2) O capital mais os juros são pagos no fim do prazo contrato.

102

Rendas

• Agora explorar uma outra possibilidade:

• É paga uma prestação em cada período• No final do prazo não há mais nada a pagar

– Cada prestação contêm juros e amortização do capital

• Denominamos este plano como uma Renda

103

Rendas

• Uma renda transforma uma determinada soma de dinheiro num rendimento.

• Um stock num fluxo

104

Rendas

• O Jardel, aos 26 anos de idade, ganhava 300mil€ por mês.

• Poderia ter constituído um depósito de 1.5 milhões de euros e

• Receber, a partir dos 35 anos, 600 prestações mensais de 10000€ cada.

105

Rendas

• As prestações podem ser

– regulares ou irregulares no tempo – constantes ou variáveis no valor– haver ou não diferimento de alguns

períodos– terem duração limitada ou serem perpétua

106

Rendas

• Emprestamos um capital que recuperamos na forma de uma renda (e.g., saiu-nos a lotaria);

• Pedimos um capital que pagamos na forma de uma renda (e.g., um crédito à habitação);

• Pagamos uma renda que recebemos no final na forma de um capital (e.g., para comprar um barco a pronto);

107

Rendas

• Recebemos uma renda que pagamos no fim na forma de um capital (e.g., para podermos viver à custa de uma herança que vamos receber no futuro);

• Receber uma renda que pagamos na forma de renda (e.g., para financiar os estudos).

108

Rendas

• Obtemos o valor actual da renda descontando todos os recebimentos ao instante de tempo presente.

• Podemos usar outro instante de tempo qualquer. Tem é que ser o mesmo para todas as prestações.

109

Rendas

• Ex.1.12. Determine, na aplicação financeira do Jardel, qual a taxa de juro implícita.

• É de 4.857% ao ano.

110

Rendas

111

Rendas

• Na coluna A estão os meses de vida, na B as quantias entregues, na C as quantias descontadas ao presente

• C2: =B2/(1+$E$1)^(A2-312) e copiava em coluna

• C710: =Soma(C2:C709)

• Uso a ferramenta “atingir objectivo” definindo C710 para 0 por alteração de E1.

112

Rendas

• Ex.1.13. Uma família adquiriu uma habitação mediante um empréstimo bancário de 150mil€ à taxa de juro de 5.5% anual a 50 anos. Qual a prestação mensal a pagar?

720.29€ / mês

113

Rendas

114

Rendas

• Na coluna A estão os meses, na B as quantias recebidas, na C as quantias descontadas ao presente

• B2: =E$3; C2: =B2/(1+$E$1)^A2 e depois copiamos ambas em coluna.

• C603: =Soma(C2:C602); E1: =(1+E2)^(1/12)–1.• Usava a ferramenta “atingir objectivo” definindo

C603 para 0 por alteração de E3.

115

Renda perpétua

• Numa renda perpétua, recebe-se uma prestação para sempre.

• Tem mais interesse teórico apesar de poder existir

• Sendo a taxa de juro i e os recebimentos no fim de cada período (i.e., postecipada), é uma situação idêntica a um depósito em que no fim de cada período, são pagos apenas os juros

116

Renda perpétua

• Como os juros de cada período valeriam

J = V.i

Podemos determinar o valor da renda (ou da taxa de juro implícita) (P=prestação, i=tx.juro, V=valor da renda):

V

Pi

i

PViVP .

117

Renda perpétua

• Ex.1.15. Um agricultor arrendou um terreno por 50€/mês para sempre. Supondo uma taxa de juro de 5% ao ano, qual será o valor presente do terreno?

118

Renda perpétua

• V = 50 / 0.407% = 12278.58€

119

Renda perpétua

• Se a renda for antecipada (a prestação é paga no princípio do período), teremos que somar uma parcela

)1( ii

PV

i

PPV

120

Renda perpétua

• Se houver deferimento de n períodos (tempo em que não é paga prestação), a renda terá que ser descontada

nii

PV )1(

121

Renda de duração limitada

• Com o conhecimento da expressão da renda perpétua

• Podemos calcular o valor de uma renda de duração limitada

• Compondo duas rendas perpétuas.

122


• Recebemos a prestação R entre o presente e o período N (postecipada).

• Para a taxa de juro i, determine o valor desta renda.

123


• É equivalente a receber uma renda perpétua a começar agora e

• pagar uma renda perpétua a começar no período N,

• Descontamos tudo ao presente.

124


])1(1[)1( NN ii

Pi

i

P

i

PV

Se a renda for paga no princípio do período (i.e., antecipada)?

Teremos que somar uma parcela.

125


)1.()1(1.

)1()1(

)1(1

)1(

)1(

iii

Pi

iiP

ii

PPV

N

N

N

126


• Ex.1.16. Um agricultor arrendou um terreno por 50€/mês, pago no fim do mês, até que o TGV lhe destrua o terreno (i.e., daqui a 25 anos). Supondo uma taxa de juro anual de 5%, qual será o valor presente do terreno?

127


• Já não preciso do Excel

• V = 50/0.407% x (1 – 1.00407–300) = 12278.58€ x 0.7047 = 8648.45€

• Mas podemos usá-lo para verificar

128


• C2: =B2*(1+$D$2)^-A2

129


• Ex.1.17. o Figo, entre os 25 e os 35 anos, depositou 100mil€/mês (i.e., 120 prestações).

• Com essa poupança vai receber uma renda de valor fixo entre os 35 anos e os 85 anos (600 prestações).

• Para uma taxa de juro anual de 4%, quanto vai receber por mês?

130


• Vamos usar como instante de referência os 25 anos (acabados de fazer)

• Vamos somar – Duas rendas de duração limitada– Ou quadro rendas perpétuas

Nota: Sem perda, vou usar anos para descontar e meses para a renda

131


€55889)04.104.1(

)04.11(100000

)04.104.1()04.11(100000

004.1%327.0

04.1%327.0

04.1%327.0

100

%327.0

100

6010

10

601010

601010

x

x

xxmilmil

132

Obrigações a taxa fixa

• Uma obrigação de taxa fixa consiste num activo que condensa uma entrega inicial e um recebimento futuro.

• O valor da obrigação é o valor actual do recebimento futuro– Altera-se com o decorrer do tempo e da tx.jr

de mercado

133


• Ex.1.18. Uma obrigação a 10 anos de valor nominal de 100€ reembolsável ao par (i.e., serão pagos 100€ daqui a 10 anos) vai ser vendida em leilão.

• Para uma remunerado a uma taxa média de 7.5%/ano, qual o preço máximo que o investidor está disponível a pagar?

134


• Vamos descontar os 100€ ao presente:

€52.48075.1100 10 V

135


• Passados 5 anos, qual será o valor da obrigação?

• Se o mercado justificar um aumento da taxa de juro em um ponto percentual, qual a desvalorização da obrigação?

136


• Já só faltam 5 anos para receber os 100€

• O aumento da taxa de juro desvaloriza a obrigação em 4.5%

€66.69075.1100 5 V

€50.66085.1100 5 V

137


• Se o investidor adquiriu a obrigação a 45€, qual a taxa de juro que pensava receber?

• E qual será se vender a obrigação depois da desvalorização?

138


• A taxa de juro prevista era

• E passou a ser

%31.8€45)1(100 10 iiV

%13.81)45/50.66(

)1(45/50.66

€45)1(50.66

5/1

5

5

i

i

iV

139

TAEG implícita no contrato

• TAEG – Taxa anual efectiva global

• –Taxa anual equivalente global

•

• Actualmente, é obrigatório que nos anúncios (de venda a crédito) seja afixado o preço a pronto pagamento e a taxa de juro implícita (efectiva) calculada com todas as despesas a incorrer pelo cliente

140


• Um televisor (ppp de 1190€), a crédito “paga na entrega 119€ mais 12 prestações trimestrais de 100€. Tem que pagar no fim do primeiro ano mais 50€”.

• Determine a TAEG deste contrato de crédito.

141


• Podemos indicar algebricamente o resultado

• Mas o mais fácil é determina-lo no Excel

0)1(50))1(1(

1001191190 412

ii

i

142


143


• Se a EURIBOR for de 5.5%/ano, qual é a probabilidade de incumprimento implícita neste contrato de crédito?

144


%879.4

%)386.101/(%)5.51()1(

)1/(%)5.51(%386.101

p

p

p

145


• Ex.1.25. Um anúncio dizia

“Telefone que lhe emprestamos 5000€ por apenas 150€ mensais (durante 60 meses, TAEG=29.28%)”.

• Confirme a TAEG.

146


0])1(1[150

5000

])1(1[150

5000

])1(1[

60

60

ii

ii

ii

RV N

Tem que se determinar no Excel

147


%46.291)1(%175.2 12 iii anual

148

Preços correntes e constantes

149


• A inflação (i.e., a subida generalizada dos preços dos bens e serviços) não tem efeito na afectação dos recursos escassos.

• Apenas a alteração dos preços relativos tem efeito.

150


• O aumento dos preços é calculado para um cabaz de bens e serviços, sendo um valor médio (pesos de 2005).

B6: =B2*$G$2+B3*$G$3+B4*$G$4+B5*$G$5

Rúbricas\ano 2005 2006 2007 2008 2009 PesosHabitação 345 € 367 € 389 € 372 € 339 € 40%Alimentação 641 € 654 € 663 € 669 € 652 € 21%Vestuário 245 € 240 € 243 € 247 € 251 € 22%Transportes 145 € 162 € 178 € 182 € 163 € 17%Preço médio 351 € 364 € 379 € 375 € 355 €

151


• Nesse sentido, calcula-se quanto o cabaz custava então e compara-se com quanto custa agora.

• Esse preço é normalizado a no ano base valer 100 (ou 1 ou 1000). B7: =B6/$B$6*100

• Rúbricas\ano 2005 2006 2007 2008 2009 PesosHabitação 345 € 367 € 389 € 372 € 339 € 40%Alimentação 641 € 654 € 663 € 669 € 652 € 21%Vestuário 245 € 240 € 243 € 247 € 251 € 22%Transportes 145 € 162 € 178 € 182 € 163 € 17%Preços 351 € 364 € 379 € 375 € 355 €IPC 100,00 103,79 107,80 106,67 101,22

152


• Denomina-se por Índice de Preços no Consumo, havendo outros índices de preços– E.g., na produção

153


• Os preços dos bens ou serviços observados no dia a dia denominam-se de “preços correntes” (ou “preços nominais”) e variam ao longo do tempo.

• E.g., há um ano a gasolina custava cerca de 1.50€ e agora custa cerca de 1.10€.

154


• Os preços corrigidos da inflação denominam-se de “preços constantes” ou “preços reais”.

155


• Para transformar preços correntes em preços reais utilizamos o índice de preços.

• Se precisarmos de transformar os preços correntes do período J, PJ, em preços reais com base no ano T, PJ

T, teremos que multiplicar o preço corrente pelo índice de preços do período T, IPT, e dividir pelo índice de preços do período J, IPJ, (não interessa qual o ano base do IP):

156


• Ex.1.26. O salário mínimo em 1974 era de 16,46€ e em 2009 é de 450,00€.

• IPC era 4.003 em 1974 (2000 como ano base) e é 125,16 em 2009 (mesmo ano base).

• compare, em termos reais (de 2000), o poder aquisitivos do SM nesses dois anos e a taxa de variação anual em termos nominais e reais.

• R. Relativamente a 2009, os 16.46€ de 1974 valem SM1974

2000= = 411,19€ que é maior que

• SM20092000= 450€*100/125,16=359.54€ pelo que o SM

diminuiu (em termos reais).

003.4

10046.16

157


• Se quiséssemos comparar em termos de preços reais do ano 2009 fazíamos

• os 16.46€ de 1974 valem a preços de 2009

• SM19742009= = 514,65€ que é maior que

• os 450€ de 2009 valem a preços de 2009

• SM20092009= 450€*125,16/125,16 = 450€

003.4

16,12546.16

158


• R. Relativamente à taxa de variação, no espaço de 35 anos, em termos nominais o SM aumentou 2634% (9,91%/ano) mas, em termos reais, diminuiu 12.5% (uma média de -0,38%/ano).– Tem na folha de excel a resolução

159


• B4: =B3*100/B2 e copiava em linha• D2: =C2/B2-1 e copiava em coluna• E2: =(C2/B2)^(1/35)-1 e copiava em linha• E5: =(1+E3)/(1+E2)-1

160


• A taxa de inflação é com base o IPC que é calculado pelo INE, com periodicidade mensal.

• Taxa de inflação homóloga – compara o IPC do mês corrente com o IPC do mês igual do ano anterior.

• Taxa de inflação média – é a média das 12 taxas de inflação homóloga.

• Taxa de inflação acumulada – é a variação percentual do IPC desde o principio do ano.

161


• Se, por exemplo, em Março de 2005 o IPC valia 128.7 e em Março 2006 passou a valer 131.4,

• então a taxa de inflação homóloga de Março entre estes dois anos foi de 131.4/128.7 – 1 = 2.1%.

162


• Interessará retirar a inflação da análise de equivalência das somas de valores dinheiro obtidas em instantes de tempo diferentes.

• E.g., precisamos saber se a renda de 60mil€ mensais dará ou não para comprar alguma coisa quando o Figo tiver 85 anos.

163

Taxa de inflação

• Como a taxa de inflação é calculada com o índice de preços, podemos utilizá-la na transformação de preços correntes em preços reais

• Ou mesmo refazer o IPC

11

11

11 1...11

nTTTT

TnT pp

164

Taxa de inflação

• Sendo IPT e, IPT+1

os índice de preços no início do período T e T+1, respectivamente

• Também calculamos a taxa de inflação durante o período T, T , por:

111

T

T

T

TTT IP

IP

IP

IPIP

165

Taxa de inflação

• Se, por exemplo, em 2005 o IPC valia 128.7 e em 2006 valia 131.4, então a taxa de inflação em 2005 foi de

131.4/128.7 – 1 = 2.1%.

166


• Se o preço corrente de um bem em 2006 foi de 150€, podemos saber a quanto correspondia em 2005 em termos reais (constantes) descontando este preço com a taxa de inflação

• O preço do bem, a preços de 2005, seria

€92.146%1.21150 12005

2006 p

167


• O preço de um bem era p2005 = 1.25€ e passou para p2006 = 1.30€.

Sendo que em 2005 a inflação foi de 2.1%, em termos reais, será que o preço deste bem aumentou (em termos reais)?

168


• O preço, em termos reais, aumentou 1.86%:

€273.1%1.2130.1 12005

2006 p

169


• Para transformar preços correntes do período T+n em preços constantes em referência ao período T, sabida a taxa de inflação para cada um dos n–1 períodos, temos:

11

11

111 1...11

nTTTT

TT pp

170


• Como a taxa de inflação é calculada “em cadeia”, a partir do Índice de Preços:

• Memorizar que se o IPC aumenta, o preço real diminui.

J

TJTJ

IP

IPpp

171

Salário Mínimo NacionalA preços correntes e constantes

172

Salário Mínimo NacionalA preços correntes e constantes

E3: =C4*$B$4/B4;

F3: =D4*$B$36/B4

E copiava ambas as expressões em coluna

173


• Ex.1.23. No exercício 1.17, vimos que o planeamento da reforma do Figo se traduz numa prestação mensal a preços correntes de 60mil€ até aos 85 anos.

• Prevendo-se uma taxa de inflação de 2% ano,

• i) Determine a preços constantes de agora, qual será o valor desse prestação (faltam 50 anos).

174


• Vamos descontar 60026€ ao presente com a taxa de inflação de 2%/ano como taxa de desconto:

• Em termos reais, corresponde a apenas 37% da primeira prestação.

mêsR /€22301%)21(60026 50

175


• Ex.1.21. ii) Supondo as mesmas entregas, determine um plano de reforma que mantenha o poder aquisitivo (igual em termos reais).

176


• Posso fazer a análise

• a “preços correntes” aumentando as prestações na taxa de inflação prevista

• Ou a “preços constantes” retirando a taxa de inflação da taxa de juro nominal

• Este “nominal” não é o mesmo conceito de quando falamos de capitalização

177


• Fazemos a análise a preços reais retirando a taxa de inflação da taxa de juro nominal. A taxa de juro real mensal é 0.0813%= ((1+3%)/(1+2%))^(1/12)-1.

€05,29453000813.11

000813.013945

13945)000813.11(0008135.0

600

600

xx

x

178


• A “preços correntes”, uso o Excel:

179


• B3: =$E$1*(1+$E$4)^A3;

• C3: =B3*(1+$E$5)^-A3 e depois copiamos em coluna;

• C603: =Soma(C2:C602) e usamos a ferramenta “Atingir objectivo”, definir a célula C603 para o valor 0 por alteração da célula E1

180


• Eu ter retirado a taxa de inflação à taxa de juro nominal (“preços constantes”) deu o mesmo resultado

181

Compatibilização de tramos da série com diferentes bases

• Com o acesso a fontes diferentes de informação e com o decorrer do tempo, as séries de preços mudam de base.

• Nessa alturas, o índice sofre uma quebra porque salta do valor do antigo tramo da série para 100 e são alterados os pesos relativos dos grupos agregados no índice (a representatividade de cada grupo no índice).

182


• Quando é preciso utilizar o número índice ao longo de todos os períodos, torna-se necessário compatibilizar os vários tramos da série à mesma base.

• A redução não é uma mudança para a mesma base porque não se tem em consideração que existem alterações dos ponderadores mas permite fazer uma transição suave entre os vários tramos da série.

183


• No sentido de tornar possível a compatibilização dos tramos, estes sobrepõem-se (pelo menos) durante um período.

• Temos que usar os períodos de sobreposição para calcular o valor do “salto” em termos relativo entre as séries e reduzi-lo a zero. Vejamos um exemplo de uma mudança de base.

184


185


• Ex.1.28. A série do IPC do banco mundial WB2008 (base o ano 2000) vale 4.00 para 1974 e vale 108.10 para 2002, e

• a série do INE (base o ano 2002) vale 116.187 para 2009 (media até abril), compare, em termos reais, o salário mínimo de 1974 (16.46€/mês) com o SM actual (450.00€/mês).

186


• R. Há uma salto em 2002 entre as séries pelo que o valor da série do INE compatibilizado ao da série do Banco Mundial será 116.19108.10/100 = 125.60. O valor a preços de 2009 dos 16.46€/mês será 16.46125.60/4.00 = 516.84€/mês.

187

Análise de investimentos

188


• um investimento é uma entrega de recursos em períodos mais próximos do presente que permite ter recebimentos mais afastados para o futuro

189


• Teremos uma contabilização das entregas e dos recebimentos

• com referência a um mesmo instante de tempo.

• Será necessário capitalizar uns valores e descontar outros

190


• Sendo que a análise é financeira, interessa saber as entregas e os recebimentos em dinheiro (i.e., saber o cash flow)

191

Valor actual líquido

• No Valor Actual

• Agregar todas as parcelas ao instante presente, descontadas ao presente

• É Liquido porque se amortiza o Capital

192


• Apesar de não haver um horizonte temporal de encerramento

• O risco aconselha a usarmos um horizonte temporal limitado.– 5 anos – 10 anos– 25 anos– 50 anos

193


• Ex.1.30. Sobre um investimento são previstas as seguintes entregas e recebimentos (mil €):

– i) Somando as entregas e os recebimentos qual o saldo do investimento?

194


• O saldo seria 175 mil€

• ii) Determine, para uma taxa de remuneração do capital de 10%, qual será o Valor Actual Líquido deste investimento

195


• O VAL seria de apenas 2921€

• B5: =B4-B3; B6: =B5*(1+$B$1)^-B2 e depois copiar em linha; B7: =Soma(B6:L6).

196


• A taxa de juro usada é elevada porque – os recebimentos são incertos – as entregas são certas

• A taxa de juro contém o risco do negócio– o VAL do investimento é comparável a um

activo sem risco (e.g., depósito a prazo).

• Para investimentos diferente, a taxa de juro será diferente.

197

Taxa interna de rentabilidade

• Quantifica a taxa que torna o VAL igual a zero.

• Estando o modelo implementado no Excel, determina-se a TIR facilmente com a ferramenta “Atingir objectivo”.

198

Taxa interna de rentabilidade

199

Exercício de recapitulação

200

Exercício -1

• Suponha que empresto 1000€.– A inflação (prevista) é de 2.5% / ano– O juro real (acordado) é de 2.0% / ano– O risco de não cobrança é de 7.0% / ano

• i) Quanto devo pedir de taxa de juro?

201

Exercício -1

A taxa de juro seria de10.41%:

i = (1+ 0.025) x (1 + 0.02) / (1 – 0.07)

i =11.869%

ii) Se acordar receber os 1000€ em 12 prestações trimestrais caindo a primeira depois de decorridos 2 anos do empréstimo, de quanto deve ser a prestação?

202

Exercício -1

A renda é antecipada

E começa daqui a dois anos

A taxa de juro trimestral é (1+11.869)0.25 -1 = 2.8435%

)1.()1(1. iii

P N

8)1).(1.()1(1. iiii

P N

203

Exercício -1

€11.121

1000028435.1028435.11028435.0

712

P

P

204

Exercício -1

205

Exercício -2

• Emprestando 25M€, a 5 anos à taxa de 4% / ano. A meio do prazo, recebo 5 M€.

Qual o capital final que vou receber?

206

Exercício -2

• O capital final a receber será de

25000.(1 + 4%)5 - 5000 .(1 + 4%)2.5 =

= 24901,22€.

[25000.(1 + 4%)2.5 - 5000] .(1 + 4%)2.5 =

= 24901,22€.

207

Exercício -3

• Vou receber 1000€ daqui a 10 anos. Para uma taxa de juro de 4€/ano, qual o valor actual dessa soma?

208

Exercício -3

• R. O valor dos 1000€ no presente resolve:

€56.675%)41(1000 10

209

Exercício -4

Um indivíduo deposita, durante 40 anos, 100€/mês para receber uma reforma mensal durante 15 anos.

Supondo que a taxa de juro é de 4% ao ano e a inflação de 2.5%, determine o valor da reforma a preços correntes e a preços constantes de agora.

210

Exercício -4

480180

480

)1()1(1

)1(1.100

ii

iR

0)1()1(1.)1(1.100 480180480 ii

i

Ri

i

Vou somar quatro rendas perpétuas ou duas de duração limitada:

211

Exercício -4

A preços correntes, i = 0,374%/mês

R = 854.67€ /mês

A preços reais, i = [(1+4%)/(1+2.5%)]1/12 -1

i = 0,0125%/mês

R = 277.90€/mês

212

Exercício -5

• Num investimento de 1000€ prevê-se que as vendas aumentem 25% ao ano e que o custo das vendas sejam 60%.

• As amortizações são constantes a 5 anos

• Calcule o VAL e a TIR

213

Exercício -5

214

Exercício -5

215

Exercício -5

D6: =C6*(1+$B$1)

C7: =C6*$B$2

C8: =C6-C7

C9: =$B$3/5

C10: =C8-C9

C11: =C10*25%

C12: =C10-C11

C13: =C12+C9

C14: =C13*(1+$B$4)^(-C5)

B15: =SOMA(B14:G14)

216

Exercício -5

• Aplico agora o modelo para determinar a TIR

Documents

1 Os contratos de crédito. 2 O contrato de crédito Existem três razões principais para a necessidade de haver contratos de crédito. –O ciclo de vida das