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Projeto de Sistemas de Controle - Método do Lugar das Raízes7.1. Introdução7.2. Considerações Preliminares do Projeto7.3. Compensação por Avanço de Fase7.4. Compensação por Atraso de Fase

Prof. André Marcato

Livro Texto: Engenharia de Controle Moderno – Quarta Edição – Editora Pearson Prentice Hall – Autor: Katsuhiko OGATA

Aula 3

São dispositivos inseridos no sistema com a finalidade de satisfazer determinadas

especificações. Exemplos:

Compensador de avanço de fase

Compensador de atraso de fase

Compensador de atraso e avanço de fase

Controladores PID

Os sistemas de controle são projetados para realizar tarefas que atendam restrições. Estas restrições são dadas pelas especificações de

desempenho. Exemplos:

Máximo sobre-sinal

Tempo de acomodação da resposta ao degrau

Erro estacionário numa entrada em rampa

Precisão

Estabilidade relativa

Velocidade de resposta

Introdução

Especificações de desempenhoEspecificações de desempenho

Projeto pelo método do lugar das raízesProjeto pelo método do lugar das raízes

Compensação de SistemasCompensação de Sistemas

Compensação em Série e ParaleloCompensação em Série e Paralelo

CompensadoresCompensadores

Procedimentos de ProjetoProcedimentos de Projeto

Pelo método tentativa e erro, estabelece-se um modelo matemático para o sistema de controle e ajusta-se os parâmetros do compensador.

• Etapa que mais consome tempo: Verificação do desempenho. Análise através do MATLAB a cada vez que os parâmetros são ajustados.

• Protótipo

• Teste do sistema em malha aberta

• Se a estabilidade absoluta do sistema em malha fechada estiver assegura, fecha-se a malha e realiza-se novo teste

• O desempenho real geralmente diverge do projetado teoricamente devido à não-linearidades, efeito de carga entre componentes,

parâmetros distribuídos, etc.

• Alterações no protótipos e novos testes.

Dispositivo físico com função de transferência projetada para atender determinadas configurações de desempenho. Podem ser

dispositivos eletrônicos (AmpOp); redes RC – elétricas, mecânicas, pneumáticas, hidráulicas ou combinação destas;

amplificadores. A escolha da tecnologia depende do tipo da planta (ex. existência de risco de explosão).

Redesenhar o lugar das raízes do sistema pela adição de pólos e zeros na função de

transferência de malha aberta, forçando o novo lugar das raízes a passar pelos pólos de malha

fechada desejados no plano s.

Aula 3

Considerações Preliminares do Projeto

Modificação da dinâmica da planta apesar de ser Modificação da dinâmica da planta apesar de ser simples, as vezes não é possível em situações simples, as vezes não é possível em situações práticas (a planta pode ser fixa e não permitir práticas (a planta pode ser fixa e não permitir modificações.modificações.

Nesta apresentação, serão abordadas Nesta apresentação, serão abordadas modificações pela inserção de um compensador.modificações pela inserção de um compensador.

A compensação fica reduzida ao projeto de um A compensação fica reduzida ao projeto de um filtro, cujas características tendem a compensar filtro, cujas características tendem a compensar os efeitos indesejáveis e inalteráveis da planta.os efeitos indesejáveis e inalteráveis da planta. Compensadores série por avanço; por atraso; por atraso Compensadores série por avanço; por atraso; por atraso

e avanço(seções 7.3 a 7.5). Problema: Escolha criteriosa e avanço(seções 7.3 a 7.5). Problema: Escolha criteriosa dos pólos e zeros do compensador Gdos pólos e zeros do compensador Gcc

Técnica de compensação paralelo (seção 7.6.)Técnica de compensação paralelo (seção 7.6.)

Aula 3

Método do Lugar das Raízes (LR)

O gráfico do LR pode indicar não ser O gráfico do LR pode indicar não ser possível alcançar o desempenho possível alcançar o desempenho desejado apenas pelo ajuste do ganho.desejado apenas pelo ajuste do ganho.

Para alcançar as especificações de Para alcançar as especificações de desempenho pode ser necessário desempenho pode ser necessário redesenhar o LR a partir da inserção de redesenhar o LR a partir da inserção de um compensador apropriado.um compensador apropriado.

Após o estudo do efeito da adição de Após o estudo do efeito da adição de pólos e/ou zeros no LR, pode-se pólos e/ou zeros no LR, pode-se determinar a localização dos pólos e/ou determinar a localização dos pólos e/ou zeros do compensador que vão zeros do compensador que vão remodelar o LR conforme desejado.remodelar o LR conforme desejado.

Aula 3

Efeitos da Adição de Pólos

A adição de um pólo à função de A adição de um pólo à função de transferência de malha aberta, tem o transferência de malha aberta, tem o efeito de deslocar o LR para direita.efeito de deslocar o LR para direita.

Diminuição da estabilidade relativaDiminuição da estabilidade relativa

Acomodação da resposta fica mais lentaAcomodação da resposta fica mais lenta

Aula 3

Efeitos da Adição de Zeros

Desloca o LR para a esquerdaDesloca o LR para a esquerda

Sistema fica mais estávelSistema fica mais estável

Acomodação da resposta mais rápidaAcomodação da resposta mais rápida

Aula 3

Revisão Capítulo 3

Seção 3.8

Sistemas Elétricos e Eletrônicos

Aula 3

Sistemas Elétricos e Eletrônicos

Leis de Kirchhoff das correntes e tensões

Um modelo matemático de um circuito elétrico pode ser obtido pela aplicação de uma ou ambas as Leis de Kirchhoff

Aula 3

Circuito RLC

Aplicando Laplace (condições iniciais nulas): Função de Transferência

Aula 3

Representação no Espaço de Estados

Aula 3

Função de Transferência de Elementos em Cascata(1)

Aula 3

Função de Transferência de Elementos em Cascata(2)

Aula 3

Função de Transferência de Elementos em Cascata(3)

Aula 3

Impedâncias Complexas (1)

Para obter as funções de transferência de circuitos elétricos, é possível escrever diretamente a transformada de laplace das equações, sem a necessidade de escrever as equações diferenciais.

Aula 3

Impedâncias Complexas (2)

Aula 3

Impedâncias Complexas – Exemplo (1)

Aula 3

Exemplo 3.10. (1)

Aula 3

Exemplo 3.10. (2)

Aula 3

Exemplo 3.10. (3)

Aula 3

Funções de Transferência de Elementos sem Carga em Cascata

Aula 3

Exemplo (1)

Aula 3

Exemplo (2)

Aula 3

Controladores Eletrônicos

Aula 3

Amplificadores Operacionais (1)

Aula 3

Amplificadores Operacionais (2)

Aula 3

Amplificadores Operacionais (3)

Aula 3

Amplificador Inversor (1)

Aula 3

Amplificador Inversor (2)

Aula 3

Amplificador Não-Inversor

Aula 3

Exemplo 3.11. (1)

Aula 3

Exemplo 3.11. (2)

Aula 3

Uso da Impedância para Obtenção das Funções de Transferência (1)

Aula 3

Uso da Impedância para Obtenção das Funções de Transferência (2)

Aula 3

Exemplo 3.12. (1)

Aula 3

Exemplo 3.12. (2)

Aula 3

Redes de Avanço ou Atraso Com Amplificadores Operacionais

Aula 3

Circuito Operacional Utilizado Como Compensador de Avanço ou Atraso (1)

Aula 3

Circuito Operacional Utilizado Como Compensador de Avanço ou Atraso (2)

Aula 3

Circuito Operacional Utilizado Como Compensador de Avanço ou Atraso (3)

Aula 3

Controlador PID com Amplificadores Operacionais (1)

Aula 3

Controlador PID com Amplificadores Operacionais (2)

Aula 3

Controlador PID com Amplificadores Operacionais (3)

Aula 3

Controlador PID com Amplificadores Operacionais (4)

Aula 3

Controlador PID com Amplificadores Operacionais (5)

Aula 3

Circuitos Operacionais que podem ser Utilizados como Compensadores (1)

Aula 3

Circuitos Operacionais que podem ser Utilizados como Compensadores (2)

Aula 3

Circuitos Operacionais que podem ser Utilizados como Compensadores (3)

Aula 3

FIM DA REVISÃO

Aula 3

Compensação por Avanço de Fase (1)

Aula 3

Compensação por Avanço de Fase (2)

Aula 3

Compensação por Avanço de Fase (3)

Aula 3

Técnicas de Compensação (1)

Aula 3

Técnicas de Compensação (2)

Aula 3

Exemplo 7.1. (1)

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Aula 3

Exemplo 7.1. (2)

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Aula 3

Exemplo 7.1. (3)

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Aula 3

Exemplo 7.1. (4)

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Dado que a FT de malha aberta do sistema original é G(s), a FT de malha aberta do sistema compensado será:

Existem muitos valores para T e que resultarão na contribuição angular desejada

aos pólos de malha fechada.

Aula 3

Exemplo 7.1. (5) – Procedimento para obter o maior possível valor de

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1. Trace uma reta horizontal passando por P. Reta PA2. Trace uma reta conectando o ponto P a origem.3. Trace a bissetriz PB do ângulo entre as retas PA e PO4. Desenhe duas retas PC e PD que formem ângulos /2 com a reta PB5. As interseções de PC e PD com o eixo real negativo fornecem as

localizações necessárias para o pólo e o zero da rede de avanço de fase.

6. O ganho de malha aberta será determinado pela condição de módulo

Aula 3

Exemplo 7.1. (6)

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Aula 3

Exemplo 7.1. (7)

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Aula 3

Exemplo 7.1. (8)

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Aula 3

Exemplo 7.1. (9)

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Aula 3

Exemplo 7.1. (10)

63

Aula 3

Compensação por Atraso de Fase (1)

Aula 3

Compensação por Atraso de Fase (2)

Foi utilizado no lugar de

Aula 3

Compensação por Atraso de Fase (3)

Esta técnica é utilizada quando o sistema apresenta característica de:

1. Resposta transitória satisfatórias

2. Regime permanente insatisfatórias

A compensação consiste em aumentar o ganho de malha aberta, sem alterar as relevantemente a resposta transitória

Aula 3

Compensação por Atraso de Fase (4)

O LR nas proximidades do pólos dominantes de malha fechada não deve ser modificado significativamente, mas o ganho de malha aberta deve ser aumentado o quanto necessário

Aula 3

Compensação por Atraso de Fase (5)

Para evitar uma modificação considerável no LR, a contribuição angular da rede de atraso de fase deve ser limitada a um valor pequeno (geralmente, em torno de 5%). Pólo e zero da rede de atraso próximos um

do outro e próximos a origem do plano s.

Com isto, os pólos de malha fechada do sistema compensado serão apenas um pouco deslocados das posições originais.

As características transitórias serão apenas um pouco alteradas.

Aula 3

Compensação por Atraso de Fase (6)

Se o pólo e zero do compensador estiverem muito próximos e considerando que um dos pólos dominantes seja s = s1, os módulos de

________________ serão quase iguais:

Aula 3

Compensação por Atraso de Fase (7)

Aula 3

Compensação por Atraso de Fase (8)

Aula 3

Procedimento de Projeto (1)

1. Desenhe o LR do sistema não compensado e localize os pólos dominantes de malha fechada sobre o LR.

2. Suponha que a FT do compensador de atraso de fase seja:

Aula 3

Procedimento de Projeto (2)

3. Calcule a particular constante de erro estático especificada no problema.

4. Determine o acréscimo no coeficiente de erro estático necessário.

5. Determine o pólo e zero do compensador que produzam o aumento necessário no valor de erro estático, sem modificar o LR.

6. Desenhe o novo LR e posicione os pólos dominantes de malha fechada.

7. Ajuste o ganho Kc do compensador.

Aula 3

Exemplo 7.2. (1)

Aula 3

Exemplo 7.2. (2) - LR

Aula 3

Exemplo 7.2. (3) – Pólos Dominantes Malha Fechada

Aula 3

Exemplo 7.2. (4) - Objetivos

Aula 3

Exemplo 7.2. (5)

Aula 3

Exemplo 7.2. (6)

Aula 3

Exemplo 7.2. (7)

Aula 3

Exemplo 7.2. (8)

Aula 3

Matlab 7.2.

Aula 3

Exemplo 7.2. (9)

Aula 3

Exemplo 7.2. (10)

Aula 3

Exemplo 7.2. (11)

Aula 3

Matlab

Aula 3

Exemplo 7.2. (12)

Aula 3

Matlab

Aula 3

Exemplo 7.2. (13)

Aula 3

Compensação por Avanço e Atraso (1)

Compensação por Avanço de Fase:

Aumenta a velocidade de resposta bem como a estabilidade do sistema

Compensação por Atraso de Fase

Melhora a precisão do sistema em regime permanente mas diminui a velocidade de resposta

Aula 3

Compensação por Avanço e Atraso (2)

Aula 3

Compensação por Avanço e Atraso (4)

Aula 3

Compensação por Avanço e Atraso (5)

TT11

TT11

TT22

TT22

Aula 3

Compensação por Avanço e Atraso (6)

Aula 3

Compensação por Avanço e Atraso (7)

Consideram-se dois casos:

Aula 3

Compensação por Avanço e Atraso (8)

É a combinação de um projeto de avanço e um projeto de atraso (procedimentos vistos anteriormente)

1. Com base nas especificações de desempenho, determine a localização desejada dos pólos dominantes

2. Determine a deficiência angular

3. Determine T1 e partir de . Em seguida, determine Kc para atender a condição de módulo. Suponha que num passo posterior, será escolhido um T2 de forma que o módulo para parte de atraso de fase seja igual a unidade.

Aula 3

Compensação por Avanço e Atraso (9)

4. Se a constante de erro Kv tiver sido especificada, determine o valor de que a satisfaça. Com o valor de b assim calculado, determine o valor de T2 de tal forma que a variação angular seja pequena e o módulo da etapa de avanço seja 1.

Já foram especificados no passo 3.

Aula 3

Compensação por Avanço e Atraso (10)

1. Com base nas especificações de desempenho, determine a localização desejada dos pólos dominantes

2. Equação é modificada para:

Aula 3

Compensação por Avanço e Atraso (11)

3. Determine a contribuição angular para a porção de avanço de fase do controlador.

4. Determine o valor de T2 de modo que a porção de atraso de fase do controlador tenha módulo 1 e determine os valores de T1 e de acordo com as equações abaixo

5. Com o valor de determinado, calcule o valor de T2 para que a porção de atraso do controlador tenha módulo 1 e sua influencia angular seja pequena.

O Valor de T2 não deve ser muito grande para que seja fisicamente realizável.

Aula 3

Exemplo 7.3. (1)

Aula 3

Objetivos:Objetivos:

Exemplo 7.3. (2)

Aula 3

Exemplo 7.3. (3)

Parte de avanço do compensador de

fase deve contribuir com 55o

Existem diversas possibilidades de escolha para o pólo e zero da porção de avanço do compensador. Neste exemplo será escolhido o ponto -0,5 para posicionar-se o zero (pois desta forma, ele coincide com um pólo do sistema original).

Por um cálculo através de análise gráfica, verifica-se que o pólo deve situar-se em 5,021.

Aula 3

Exemplo 7.3. (4)

Cálculo de Kc com base na condição de módulo:

Determina-se o valor de para satisfazer a constante de erro estático de velocidade:

Aula 3

Exemplo 7.3. (5)

Escolhe-se valor de T2 de tal modo que:

Aula 3

Exemplo 7.3. (6)

Aula 3

Exemplo 7.3. (7)

Aula 3

Exemplo 7.3. (8) – Gráfico do Lugar das

Raízes do Sistema Compensado

Aula 3

Exemplo 7.3. (9) – LG Próximo a Origem

Aula 3

Exemplo 7.3. (10) – Resposta ao Degrau

Aula 3

Exemplo 7.3. (11) – Resposta à Rampa

Aula 3

Exemplo 7.4. (1)

Aula 3

Exemplo 7.4. (2)

Aula 3

Exemplo 7.4. (3)

Aula 3

Exemplo 7.4. (4)

Aula 3

Exemplo 7.4. (5)

Aula 3

Exemplo 7.4. (6)

Aula 3

Exemplo 7.4. (7)

Aula 3

Exemplo 7.4. (8)

Aula 3

Compensação em Paralelo

O controlador (ou compensador) fica na malha interna

O projeto fica mais complicado?

Não! Pois a equação característica pode ser reescrita de forma que fique da mesma forma da equação característica do sistema compensado em série.

Aula 3

Princípio Básico de um Sistema Compensado em Paralelo

Compensação em Série

Aula 3

Princípio Básico de um Sistema Compensado em Paralelo

Compensação em Paralelo

Aula 3

Princípio Básico de um Sistema Compensado em Paralelo

Gf

Aula 3

Exemplo 7.5. (1)

Aula 3

Exemplo 7.5. (2)

Aula 3

Exemplo 7.5. (3)

Aula 3

Exemplo 7.5. (4)

Aula 3

Exemplo 7.5. (5)

Aula 3

Exemplo 7.5. (6)

Aula 3

Exemplo 7.5. (7)

Aula 3

Exemplo 7.5. (8)

Aula 3

Exemplo 7.5. (9)

Aula 3

Exemplo 7.5. (10)