AMEI Escolar

Matemática

9º Ano

Equações do 2º grau

Operações com polinómios. Casos

notáveis da multiplicação de polinómios.

Decomposição em factores (revisões)

Na escrita de polinómios as letras

representam números. As regras que se

aplicam nas operações com polinómios são

as regras da aritmética.

Conteúdos desta unidade:

Operações com

polinómios. Casos

notáveis da

multiplicação de

polinómios.

Decomposição em

factores (revisões);

Resolução de

equações do 2º grau

incompletas. Lei do

anulamento do

produto (revisões);

Resolução de

equações do 2º grau

completas: fórmula

resolvente;

Resolução de

problemas do 2º grau.

Exercícios resolvidos – Operações com polinómios (propriedade distributiva)

Apresenta-se a expressão.

Efectua-se o produto de polinómios.

Reduzem-se os termos semelhantes.

Apresenta-se a expressão.

Efectua-se o produto de polinómios.

Reduzem-se os termos semelhantes.

Exercícios resolvidos – Casos notáveis da multiplicação com polinómios

Apresenta-se a expressão.

Aplica-se a fórmula do quadrado

do binómio.

Simplificam-se os cálculos.

Apresenta-se a expressão.

Aplica-se a fórmula da diferença de

quadrados.

Simplificam-se os cálculos.

Resolução de equações do 2º grau incompletas. Lei do

anulamento do produto (revisões)

Exercícios resolvidos – Decomposição em factores (factorização)

Apresenta-se a expressão.

Aplica-se a propriedade

distributiva.

Apresenta-se a expressão.

Aplica-se a Aplica-se a fórmula da

diferença de quadrados.

Apresenta-se a expressão.

Aplica-se a fórmula do quadrado

do binómio.

Exercícios resolvidos – Lei da anulamento do produto

Apresenta-se a expressão.

Aplica-se a lei do anulamento do

produto.

Simplificam-se os cálculos.

Exercícios resolvidos – Equações do 2º grau incompletas

Equações do tipo

Apresenta-se a expressão.

Simplificam-se os cálculos (0 é o

único número que ao quadrado dá

0).

Apresenta-se a solução.

Resolução de equações do 2º grau completas: fórmula

resolvente

Podemos resolver qualquer equação do 2º grau utilizando a fórmula

resolvente. Esta fórmula tem particular interesse para a resolução de

equações do 2º grau completas. A fórmula resolvente é seguinte:

Para resolvermos uma equação com a fórmula resolvente, o primeiro

passo é transformar a equação numa equação do tipo . Depois basta substituir os termos , e pelos valores

correspondentes na fórmula e resolver a equação. Repara:

Exercícios resolvidos – Equações do 2º grau incompletas

Equações do tipo

Apresenta-se a expressão.

Factoriza-se o 1º membro.

Aplica-se a lei do anulamento do

produto.

Apresenta-se a solução.

Equações do tipo

Apresenta-se a expressão.

Factoriza-se o 1º membro.

Aplica-se a lei do anulamento do

produto.

Apresenta-se a solução.

Exercício Resolvido

Resolve as seguintes equações usando a fórmula resolvente.

a) a = 1; b = 4; c = -5

Exercício Resolvido (continuação)

a

C.S. =

b)

a = 1; b = 4 ; c = -21

C.S.=

c) a = 1; b = 0 ; c = -4

As equações de 2º grau podem ser classificadas em possíveis e

impossíveis. As equações possíveis podem ter 2 soluções iguais ou

diferentes. Quando uma equação tem 2 soluções iguais diz-se que

tem uma solução dupla. Uma equação impossível não tem soluções.

Exercício Resolvido (continuação)

c)

C.S. =

Exercício Resolvido

Resolve as seguintes equações do 2º grau utilizando a fórmula resolvente e

classifica.

a) a = 1; b = -5; c = 6

C.S. = A equação tem duas soluções diferentes. A equação é possível.

Exercício Resolvido (continuação)

c) a = 9; b = -6 ; c = 1

C.S. =

A equação tem uma solução dupla. A equação é possível.

b) a = 1; b = -2; c = 5

C.S. = Como não há nenhum número real que elevado ao quadrado dê um

número negativo, a expressão não tem significado em . A equação não

tem soluções. A equação é impossível.

O binómio é chamado de binómio discriminante ( pois é ele que determina quantas soluções tem a equação. Se

é maior que 0, então a equação tem duas soluções diferentes. Se

é igual a 0, então a equação tem uma solução dupla. Se é menor

que 0, então a equação não tem soluções. Assim, podemos calcular o

número de soluções de uma equação sem a resolver, calculando

apenas o valor de .

Exercício Resolvido

Calcula o número de soluções das seguintes equações a partir do binómio

discriminante, sem as resolver.

a) a = 3; b = 6; c = 3

R: A equação é possível e tem uma solução dupla.

b) a = 1; b = 4; c = -3

R: A equação é possível e tem duas soluções diferentes.

c) a = 2; b = 5; c = 4

R: A equação é impossível, por isso não tem soluções.

Exercícios 1:

1. Resolve, utilizando a fórmula resolvente, cada uma destas equações do 2º

grau e classifica-as.

a)

Exercícios 1 (continuação)

b)

c)

2. Calcula o número de soluções das seguintes equações utilizando o binómio

discriminante, sem as resolver.

a)

Resolução de problemas do 2º grau

Um problema é do 2º grau se para a sua resolução se forma uma

equação do 2º grau. Na resolução de um problema ajuda:

fazer um esquema ou desenho de modo a compreender melhor

o enunciado;

identificar os dados e a incógnita;

formar a equação;

resolver a equação;

interpretar as soluções da equação no contexto do problema.

Exercícios 1 (continuação):

b)

Exercício Resolvido

O Sr. Manuel decidiu ampliar o seu terreno quadrangular aumentando 8 metros

ao lado. Assim, o novo terreno do Sr. Manuel é de 625 m2.

- Qual era o comprimento do lado inicialmente?

x comprimento inicial do lado do terreno

Exercício Resolvido (continuação)

a = 1; b = 16; c = -561

C.S. =

A solução -33 não serve para o problema em questões pois os comprimentos

não podem ser negativos.

R: Inicialmente o terreno tinha 17 metros de lado.

Exercícios 2:

1. Descobre quais os números que se tratam nestes problemas.

a) A soma de um número com o seu quadrado é 156. Qual é esse número?

b) A diferença entre o quadrado de um número e 30 é igual ao próprio

número. Qual é o número?

2. Um quadrado tem de lado x cm. Aumentando 6 cm ao comprimento do

lado, obtêm-se um quadrado de 121cm2. Determina x.