107484 Controle de Processos - Aula: graus de liberdade ...L[·]: operador matem´atico que representa o sistema u: entrada K: escalar Princ´ıpio da superposic˜ao L[K 1u 1 +K 2u

107484 – Controle de Processos

Aula: graus de liberdade, variaveis de desvio e linearizacao

Prof. Eduardo Stockler Tognetti

Departamento de Engenharia EletricaUniversidade de Brasılia – UnB

1o Semestre 2018

E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 1/20

Sumario

1 Graus de liberdade

2 Linearizacao de sistemas com uma variavel

3 Variaveis de desvio

4 Linearizacao de processos multivariaveis

5 Espaco de estados


Analise de graus de liberdade

Os graus de liberdade de um processo sao as variaveis independentes que devemser especificadas para definir o processo completamente (resposta do conjunto deequacoes que representam a dinamica do sistema).

O controle do processo nos pontos fixos especificados so e obtido se, e somentese, todos os graus de liberdade tiverem sido especificados.

Graus de liberdade

graus de liberdade = no. vars. independentes - no. eqs. independentes

f = V − E

Casos

1 f = 0: processo exatamente especificado

2 f > 0: processo sub-especificado (infinitas solucoes)

3 f < 0: processo super-especificado (sem solucao)


Analise de graus de liberdade

Observacoes:

Determinacao incorreta se informacoes relevantes forem desprezadas ouequacoes redundantes incluıda.

Lei de controle introduz equacao adicional entre as variaveis medidas emanipuladas e reduz por 1 os graus de liberdade do processo.

Manipulacao dos graus de liberdade

Em geral f > 0. Ha duas formas de se diminuir f (aumentar E):

1 Ambiente externo (variaveis de disturbio): d(t) = f (t)

f = f0 − Nd

2 Objetivos (leis) de controle (variaveis manipuladas): mv(t) = f (yi )

f = f0 − Nmv

Graus de liberdade de controle (fc): variaveis que podem ser controladas deforma independente fc = f − Nd .

Usualmente, mas nao sempre, fc = Nmv


Sumario





5 Espaco de estados


Sistema linear

Um sistema e dito linear se satisfaz as propriedades:

1 Aditividade:L[u1 + u2] = L[u1] + L[u2]

2 Homogeneidade:L[Ku] = KL[u]

L[·]: operador matematico que representa o sistemau: entradaK : escalar

Princıpio da superposicao

L[K1u1 + K2u2] = K1L[u1] + K2L[u2]

Um sistema que nao verifique qualquer uma destas propriedades e dito nao-linear


Linearizacao de sistemas com uma variavel

Seja o processodx

dt= f (x)

Ponto de linearizacao: (x0, f (x0))

Proximo de x0:

f (x) ≃ f (x0) +

(∂f

∂x

)

x0

(x − x0)

Expandindo a funcao nao-linear f(x) numa serie de Taylor em torno de x0

f (x) = f (x0)+

(∂f

∂x

)

x0

(x− x0)+

(∂2f

∂x2

)

x0

(x − x0)2

2!+ · · ·+

(∂nf

∂xn

)

x0

(x − x0)n

n!

Negligenciando termos de ordem maior ou igual a dois

f (x) ≈ f (x0) +

(∂f

∂x

)

x0

(x − x0)

A aproximacao e exata somente no ponto de linearizacao (x0).



Exemplo: dinamica do nıvel de um tanque

Assuma fe constante

Adh(t)

dt= fe − f (t)

dh(t)

dt=

fe

A− f (t)

A

Se f (t) = αh(t) (α constante):

dh(t)

dt= g(h), g(h) =

fe

A− αh(t)

A(sist. linear)

Se f (t) = β√

h(t):

g(h) =fe

A− β

√h(t)

A(sist. nao-linear)



Exemplo: dinamica do nıvel de um tanque

Expandindo β√

h(t) em serie de Taylor em torno de h0:

β√

h(t) = β√h0 +

(

d(β√

h(t))

dh

)

h(t)=h0

(h(t)− h0) + · · ·

β√

h(t) ≈ β√h0 +

β

2√h0

(h(t)− h0)

Substituindo no sistema nao-linear:

Adh(t)

dt= fe − β

√h0 −

β

2√h0

h(t) +β

2√h0

h0

dh(t)

dt=

fe

A− β

√h0

A+

β

2A√h0

h0

︸︷︷︸

termo constante

− β

2A√h0

h(t)



Observe que o resultado seria o mesmo se expandıssemos em serie de Taylorg(h):

g(h) ≈ g(h0) +dg(h)

dh(h(t)− h0)

g(h) ≈ fe

A− β

√h0

A− β

2A√h0

(h(t)− h0)

Logo, o sistema resultante e afim devido a presenca de termos constantes

dh(t)

dt=

fe

A− β

√h0

A︸︷︷︸

termo constante

− β

2A√h0

h(t)− h0

︸︷︷︸

termo constante


Sumario





5 Espaco de estados


Variaveis de desvio

Interesse em estudar a resposta do sistema as variaveis de entrada deseja-seeliminar o efeito das condicoes iniciais na resposta.

Suponhadx

dt= f (x) (1)

Valor em regime permanente: x

Entaodx

dt= f (x) = 0 (2)

Considere x o ponto de linearizacao do sistema (1), ou seja, x0 = x . Entao

dx

dt= f (x) +

(df

dx

)

x

(x − x) (3)


Variaveis de desvio

Subtraindo (2) de (3) e considerando

dx

dt=

d(x − x)

dt, pois

dx

dt= 0

tem-sed(x − x)

dt=

(df

dx

)

x

(x − x)

Definindo a variavel de desvio

x , x − x

Entaodx

dt=

(df

dx

)

x

x

A variavel de desvio descreve a magnitude do deslocamento do sistema doponto de operacao desejado.


Variaveis de desvio

Exemplo: dinamica de nıvel de um tanque com fluxo de

entrada constante

Seja fe constante,

Adh(t)

dt= g(h), g(h) = fe − β

√

h(t) (4)

Em regime permanente g(h) = fe − β√

h = 0 (5)

Sistema linearizado, em que h(t) = h(t)− h,

Ad h(t)

dt= g(h) +

dg(h)

dh(h(t)− h) = fe − β

√

h − β

2√hh(t) (6)

Subtraindo (5) de (6) tem-se o sistema linear

Adh(t)

dt= − β

2√hh(t) (7)


Sumario





5 Espaco de estados


Linearizacao de processos multivariaveis

Revisao: Caso monovariavel

Sistema nao-linear:dx

dt= f (x), x ∈ R

Ponto de operacao em regime permanente: x

Ponto de linearizacao: x0

Sistema linearizado:dx

dt= f (x0) +

(df

dx

)

x0

(x − x0)︸︷︷︸

x

Se x0 = x ⇒ f (x0) = 0 ⇒ dx

dt=

(df

dx

)

x0

x



Caso multivariavel

dx

dt= f (x), x ∈ R

n

f (x) =

f1(x)...

fn(x)

, x =

x1...xn

Exemplo: x ∈ R2

dx1

dt= f1(x1, x2)

dx2

dt= f2(x1, x2)



Linearizando em torno de x0 =

[x10x20

]

:

f1(x1, x2) = f1(x10, x20) +

(∂f1∂x1

)

x0

(x1 − x10)

+

(∂f1∂x2

)

x0

(x2 − x20) +

(∂2f1

∂x21

)

x0

(x1 − x10)2

2!

+

(∂2f1

∂x22

)

x0

(x2 − x20)2

2!+

(∂2f1

∂x1, ∂x2

)

x0

(x1 − x10)(x2 − x20) + · · ·

Idem para f2(x1, x2).

Seja o sistema em estado estacionario

{

f1(x1, x2) = 0

f2(x1, x2) = 0



Considerando o ponto de linearizacao como sendo o ponto de operacao x , ou seja,

x10 = x1 e x20 = x2

e definindo x1 = x1 − x1 e x1 = x1 − x1, tem-se o sistema linear

dx1

dt=

(∂f1∂x1

)

x

x1 +

(∂f1∂x2

)

x

x2

dx2

dt=

(∂f2∂x1

)

x

x1 +

(∂f2∂x2

)

x

x2

ou de forma simplificada

dx

dt= Ax , A =

[∂f

∂x

]

x

=

(∂f1∂x1

)

x

(∂f1∂x2

)

x(∂f2∂x1

)

x

(∂f2∂x2

)

x

, x =

[x1x2

]


Variaveis de desvio

Exemplo: dinamica de nıvel de um tanque com fluxo de

entrada variavel

Seja fe(t) variavel,

Adh(t)

dt= g(h, fe), g(h, fe) = fe(t)− β

√

h(t) (8)

Em regime permanente g(h, fe) = fe − β√

h = 0 (9)

Sistema linearizado, em que h(t) = h(t)− h e fe(t) = fe(t)− fe

Ad h(t)

dt= g(h, fe) +

∂g(h, fe)

∂fe(fe(t)− fe) +

∂g(h, fe)

∂h(h(t)− h) (10)

Como g(h, fe) = 0, tem-se o sistema linear

Adh(t)

dt= fe(t)− β

2√hh(t) (11)


Exemplo

Seja o sistema nao-linear

dx1

dt= f1(x1, x2,m1,m2, d1)

dx2

dt= f2(x1, x2,m1,m2, d2)

Assumindo que o ponto de linearizacao p0 = (x10, x20,m10,m20, d10, d20) corres-ponde ao ponto de estado estacionario p = (x1, x2, m1, m2, d1, d2) e definindo asvariaveis de desvio, tem-se o sistema linearizado

dx1

dt= a11x1 + a12x2 + b11m1 + b12m2 + e1d1

dx2

dt= a21x1 + a22x2 + b21m1 + b22m2 + e2d2

em que aij =

(∂fi∂xj

)

p

, bij =

(∂fi∂mj

)

p

, ei =

(∂fi∂di

)

p


Sumario





5 Espaco de estados


Representacao em espaco de estados

Para o exemplo anterior considere ainda que as variaveis medidas sao represen-tadas por y , as manipuladas por m e os disturbios por d e os estados por x ,

dx1

dt= f1(x1, x2,m1,m2, d1)

dx2

dt= f2(x1, x2,m1,m2, d2)

y = g(x1, x2,m1,m2, d2)

Sistema linearizado na representacao espaco de estados em torno de p = (x , u, w)com x = (x1, x2), u = (m1, m2) e w = (d1, d2)

[dx1/dtdx2/dt

]

︸︷︷︸

˙x

=

[a11 a12a21 a22

]

︸︷︷︸

A

[x1x2

]

︸︷︷︸

x

+

[b11 b12b21 b22

]

︸︷︷︸

B

[m1

m2

]

︸︷︷︸

u

+

[e1e2

]

︸︷︷︸

E

[d1

d2

]

︸︷︷︸

w

Em que

x =

[x1 − x1x2 − x2

]

, u =

[m1 − m1

m2 − m2

]

, w =

[d1 − d1d2 − d2

]


Representacao em espaco de estados

Em forma compacta

˙x = Ax + Bu + Ew

y = Cx + Du + Fw

em que as matrizes jacobianas sao dadas por

A =

[∂f

∂x

]

p

, B =

[∂f

∂u

]

p

, E =

[∂f

∂w

]

p

, C =

[∂g

∂x

]

p

, D =

[∂g

∂u

]

p

, F =

[∂g

∂w

]

p

Pode-se tambem considerar

˙x = Ax +[

B E][

u

w

]

y = Cx +[

D F

][

u

w

] ⇒{˙x = Ax + Bu

y = Cx + Du


Resposta no espaco de estados

Seja um sistema linear invariante no tempo{

x(t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t) + Du(t)x0 = x(0)

A saıda do sistema para uma condicao inicial x(0) e uma entrada u(t) e dadapor

x(t) = eAtx(0) +

∫ t

0

eA(t−τ)

Bu(τ )dτ

y(t) = Cx(t) + Du(t)

A resposta de um sistema com entrada nula x(t) = Ax(t) para uma condicaoinicial x(0) e dada por

x(t) = eAtx(0)

A exponencial de matriz eAt tem termos que sao combinacoes lineares de seusautovalores e respectivas derivadas. Se A tem um autovalor λ1 com ındice n1,entao as entradas de eAt sao combinacoes lineares de {eλ1t , teλ1t , · · · , tn1−1eλ1t}.


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