1.3 – Variação da pressão com a profundidade

UFABC – Fenômenos Térmicos – Prof. Germán Lugones MÓDULO 1 – MECÂNICA DOS FLUIDOS

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Sabemos pela experiência a pressão em um fluido varia com a altura:

- A pressão atmosférica em altitudes elevadas é menor que a pressão atmosférica ao nível do mar.

- Quando alguém mergulha em águas profundas, seus ouvidos s e n t e m q u e a p re s s ã o e s t á crescendo com o aumento da profundidade.

Mostraremos agora matematicamente como a pressão em um fluido em repouso aumenta com a profundidade.

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Variação da pressão no interior de um fluido em repouso em função da altura.

Suponhamos que a densidade e a aceleração da gravidade sejam constantes em todos os pontos do fluido.

Adotamos: - origem do sistema de

coordenadas ( ) na superfície de separação entre a água e o ar.

- Eixo positivo para acima.

!g

y = 0

Consideramos um elemento de fluido como o mostrado na figura. Ele tem a forma de um cilindro imaginário de área transversal A. A “base" do cilindro está na profundidade e a “tampa” em . y2 y1

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As forças que atuam sobre o elemento de fluido são:

- força sobre a cara superior. - força sobre a cara inferior. - Peso . - forças sobre os lados do

elemento de fluido.

F1F2mg

Quando o fluido está em repouso, qualquer elemento de fluido está em equilíbrio (soma de forças igual a zero).

O elemento de fluido está em equilíbrio ! a soma de forças na direção deve ser igual a zero:

y

F2 = F1 + mg

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Agora reescrevemos a equação fazendo as seguintes substituições:

F2 = F1 + mg

F2 = P2AF1 = P1A

mg = !Vg = !A(y1 " y2)g

Substituindo obtemos:

Portanto:

P2A = P1A + !Ag (y1 " y2)

P2 = P1 + !g (y1 " y2)

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Às vezes é mais conveniente expressar a equação anterior em termos da profundidade abaixo da superfície do fluido.

• Seja a pressão em um ponto do fluido localizado à profundidade . • Na superfície do fluido a pressão é a pressão atmosférica . • Na equação anterior substituímos: .

Dessa forma obtemos:

h

P hP0

y1 = 0, p1 = p0, y2 = " h, p2 = p

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Às vezes é mais conveniente expressar a equação anterior em termos da profundidade abaixo da superfície do fluido.

• Seja a pressão em um ponto do fluido localizado à profundidade . • Na superfície do fluido a pressão é a pressão atmosférica . • Na equação anterior substituímos: .

Dessa forma obtemos:

h

P hP0

y1 = 0, p1 = p0, y2 = " h, p2 = p

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Comentários:

- A pressão em uma profundidade é maior que a pressão na superfície.P h P0

Capítulo 14 – Mecânica dos fluidos 85

Dividindo pela área A e reagrupando os termos, obtemos

dP

dy= -rg (14.4)

Esta equação mostra que, quando y aumenta, P diminui; ou seja, à medida que subimos através do fluido, a pressão diminui, como era de se esperar. Se P1 e P2 forem, respectivamente, as pressões nas alturas y1 e y2, e se r e g permanecerem constantes, então

P2 - P1 = -rg(y2 - y1) (14.5)Diferença de pressão entre dois pontos em um !uido de densidade uniforme

Aceleração decorrente da gravidade (g 7 0)

Densidade uniforme do !uido

Alturas dos dois pontos

Costuma ser mais conveniente expressar a Equação 14.5 em termos da pro-fundidade abaixo da superfície do fluido (Figura 14.5). Considere o ponto 1 em qualquer nível do fluido e seja P a pressão nesse nível. Considere o ponto 2 na superfície do fluido, onde a pressão é P0 (subscrito 0 para a profundidade zero). A profundidade do ponto 1 abaixo da superfície do fluido é h ! y2 – y1, e a Equação 14.5 pode ser escrita na forma

P0 – P ! –rg (y2 – y1) ! – rgh ou

P = P0 + rgh (14.6)Pressão na profundidade h em um !uido com densidade uniforme

Pressão na superfície do !uido Aceleração decorrente da gravidade (g 7 0)

Profundidade abaixo da superfície

Densidade uniforme do !uido

A pressão P em uma profundidade h é maior que a pressão P0 na superfície, e a diferença entre elas é rgh. Observe que a pressão em qualquer dos dois pontos do fluido é sempre igual em todos os pontos no mesmo nível do fluido. A forma do recipiente não altera essa pressão (Figura 14.6).

A Equação 14.6 mostra que, se aumentarmos o valor da pressão P0 no topo da superfície, possivelmente usando um pistão que se adapta firmemente ao interior do recipiente e empurra a superfície do fluido para baixo, a pressão P em qualquer profundidade do fluido aumenta de um valor exatamente igual ao do aumento da pressão. Esse fato é chamado de lei de Pascal.

LEI DE PASCAL: a pressão aplicada a um fluido no interior de um recipiente é transmitida sem nenhuma diminuição a todos os pontos do fluido e para as paredes do recipiente.

Um elevador hidráulico (Figura 14.7) ilustra a lei de Pascal. Um pistão, cuja seção reta possui pequena área A1, exerce uma força F1 sobre a superfície de um líquido como um óleo. A pressão aplicada P ! F1/A1 é transmitida integralmente através dos tubos até um pistão maior com área A2. A pressão aplicada nos dois cilindros é a mesma, logo

P =F1

A1=

F2

A2 e F2 =

A2

A1 F1 (14.7)

O elevador hidráulico é um dispositivo que multiplica o valor de uma força, e o fator de multiplicação é dado pela razão entre as áreas dos dois pistões. Cadeiras de dentista, elevadores de carro, macacos hidráulicos, diversos elevadores e freios hidráulicos são exemplos de aplicação desse princípio.

Diferença de pressão entre os níveis 1 e 2:P2 - P1 = -rg(y2 - y1)

A pressão é maior no nível mais baixo.

A uma profundidade h, a pressão P é igual à pressão de superfície P0 mais a pressão rgh decorrente do !uido sobreposto: P = P0 + rgh.

P2 = P0

P1 = P

y1

y2

y2 - y1 = h

2

1

Fluido, densidade r

Figura 14.5 Como a pressão varia com a profundidade em um fluido com densidade uniforme.

A pressão na base de cada coluna de líquido possui o mesmo valor P.

A pressão no topo de cada coluna de líquido é a pressão atmosférica, P0.

A diferença entre P e P0 é rgh, onde h é a distância do topo à base da coluna de líquido. Logo, todas as colunas apresentam a mesma altura.

h

Figura 14.6 Todas as colunas de fluido apresentam a mesma altura, independentemente de sua forma.

Book_SEARS_Vol2.indb 85 02/10/15 1:49 PM

- Observe que a pressão em uma determinada profundidade no fluido depende dessa profundidade, mas não de qualquer dimensão horizontal. Logo, a forma do recipiente não altera a pressão na profundidade h .

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Lei de Pascal:

- Suponhamos que aumentamos o valor da pressão na superfície do fluido, usando um pistão e empurrando a superfície para baixo.

- Pela equação vemos que a pressão em qualquer profundidade aumenta de um valor exatamente igual ao do aumento de .

- Esse fato é chamado de lei de Pascal: "Uma mudança na pressão aplicada a um fluido é transmitida sem diminuição para todos os pontos no fluido e para as paredes do recipiente".

P0

P = P0 + !ghP

P0

366 CHAPTE R 14 FLU I DS

into Eq. 14-7, finding thatpg ! p " p0 ! rgh, (14-10)

where r is the density of the liquid in the tube. The gauge pressure pg is directlyproportional to h.

The gauge pressure can be positive or negative, depending on whether p # p0 or p $ p0. In inflated tires or the human circulatory system, the (absolute)pressure is greater than atmospheric pressure, so the gauge pressure is a positivequantity, sometimes called the overpressure. If you suck on a straw to pull fluid upthe straw, the (absolute) pressure in your lungs is actually less than atmosphericpressure.The gauge pressure in your lungs is then a negative quantity.

14-6 Pascal’s PrincipleWhen you squeeze one end of a tube to get toothpaste out the other end, you arewatching Pascal’s principle in action. This principle is also the basis for theHeimlich maneuver, in which a sharp pressure increase properly applied to theabdomen is transmitted to the throat, forcefully ejecting food lodged there.The principle was first stated clearly in 1652 by Blaise Pascal (for whom the unitof pressure is named):

Fig. 14-7 Lead shot (small balls of lead)loaded onto the piston create a pressurepext at the top of the enclosed (incompress-ible) liquid. If pext is increased, by addingmore lead shot, the pressure increases bythe same amount at all points within theliquid.

Lead shot

Piston

P p

h

pext

Liquid

di

Input

Ai do

Oil

Ao

Output

Fi

Fo A small input force produces ...

... a large outputforce.

Fig. 14-8 A hydraulic arrangement thatcan be used to magnify a force .The workdone is, however, not magnified and is thesame for both the input and output forces.

F:

i

A change in the pressure applied to an enclosed incompressible fluid is transmittedundiminished to every portion of the fluid and to the walls of its container.

Demonstrating Pascal’s PrincipleConsider the case in which the incompressible fluid is a liquid contained in a tallcylinder, as in Fig. 14-7.The cylinder is fitted with a piston on which a container oflead shot rests.The atmosphere, container, and shot exert pressure pext on the pis-ton and thus on the liquid.The pressure p at any point P in the liquid is then

p ! pext % rgh. (14-11)

Let us add a little more lead shot to the container to increase pext by an amount&pext. The quantities r, g, and h in Eq. 14-11 are unchanged, so the pressurechange at P is

&p ! &pext. (14-12)

This pressure change is independent of h, so it must hold for all points within theliquid, as Pascal’s principle states.

Pascal’s Principle and the Hydraulic LeverFigure 14-8 shows how Pascal’s principle can be made the basis of a hydrauliclever. In operation, let an external force of magnitude Fi be directed downwardon the left-hand (or input) piston, whose surface area is Ai. An incompressibleliquid in the device then produces an upward force of magnitude Fo on the right-hand (or output) piston, whose surface area is Ao. To keep the system in equilib-rium, there must be a downward force of magnitude Fo on the output piston froman external load (not shown). The force applied on the left and the downwardF

:i

force from the load on the right produce a change &p in the pressure of the liq-uid that is given by

,

so . (14-13)Fo ! Fi Ao

Ai

&p !Fi

Ai!

Fo

Ao

F:

o

halliday_c14_359-385hr.qxd 26-10-2009 21:40 Page 366

P0

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- Exemplo: apertar os lados do tubo de pasta de dente. O aumento da pressão sobre os lados do tubo aumenta a pressão no tubo todo, o que empurra um fluxo de pasta de dentes para fora da abertura.

-

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