ANÁLISE TEÓRICA DO COMPORTAMENTO OPERACIONAL …saturno.unifei.edu.br/bim/0031211.pdf · µ0 Viscosidade aparente à temperatura T0 e pressão P0 15 µ ef Viscosidade aparente efetiva

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

ANÁLISE TEÓRICA DO COMPORTAMENTO OPERACIONAL DE MANCAIS RADIAIS HIDRODINÂMICOS OPERANDO

COM LUBRIFICANTES NÃO-NEWTONIANOS

MÁRCIO RODRIGUES RAIMUNDO

ORIENTADOR: PROF. Dr. PAULO FERNANDES SILVA CO-ORIENTADOR: PROF. Ph.D. VILMAR ARTHUR SCHWARZ

ITAJUBÁ - MG 2002

Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Mauá – Bibliotecária Margareth Ribeiro- CRB_6/1700

R153a Raimundo, Márcio Rodrigues Análise teórica do comportamento operacional de mancais radiais hidrodinâmicos operando com lubrificantes Não- Newtonianos / por Márcio Rodrigues Raimundo ; orientado por Paulo Fernandes Silva e co-orientado por Vilmar Arthur Schwarz. -- Itajubá, MG : UNIFEI, 2002. 177 p. il.

Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de

Itajubá.

1. Mancais radiais. 2. Lubrificantes Não-Newtonianos.

3. Modelo Power Law. I. Silva, Paulo Fernandes,

AGRADECIMENTOS

Aos muitos que, de alguma forma, contribuíram para a realização deste

trabalho de dissertação; em particular:

Aos orientadores Prof. Dr. Paulo Fernandes Silva e Prof. PhD. Vilmar Arthur

Schwarz, pelo apoio e orientação durante a elaboração deste trabalho;

Ao Prof. Dr. Genésio José Menon pelo incentivo e apoio prestado desde o

início do mestrado;

Ao bolsista de iniciação científica FAPEMIG, Hélio Henrique Rabelo, pela

contribuição de sua pesquisa ao presente trabalho;

A todos os professores e funcionários da UNIFEI que, direta ou indiretamente,

contribuíram para a realização deste trabalho;

À Companhia Brasileira de Alumínio, nas pessoas dos Engenheiros José

Eustáquio Fernandes e Luís Sílvio Pozzi, pelo apoio e estímulo para o término deste

trabalho;

Em especial a Deus, fonte de toda a vida, pela saúde e força nos momentos

difíceis.

Aos meus pais

Benedito e Célia

Aos meus irmãos

Mara, Marcos, Mauro e Míriam

RESUMO

No presente trabalho é apresentado um modelo teórico para analisar o

comportamento operacional de mancais radiais hidrodinâmicos operando com

lubrificantes não-Newtonianos modelo power law.

A equação de Reynolds da lubrificação hidrodinâmica modificada para fluidos

não-Newtonianos modelo power law é resolvida através do método de diferenças

finitas e do esquema de sobrerelaxação sucessiva.

No modelo teórico são considerados os efeitos das temperaturas do óleo

lubrificante de suprimento e de recirculação para a determinação da temperatura

efetiva do filme de óleo lubrificante que é realizada através de um procedimento

iterativo, cujo critério de parada é a sua convergência, ou seja, o estabelecimento da

condição de operação em regime.

Com base neste modelo teórico um programa computacional foi desenvolvido,

em linguagem FORTRAN, para simular o comportamento operacional de mancais

radiais finitos operando com lubrificantes não-Newtonianos, dos tipos

pseudoplásticos 1<n e dilatantes 1>n , bem como um óleo mineral comum, ou seja,

fluido Newtoniano 1=n .

Três casos são analisados: a solução isotérmica, a solução adiabática e uma

solução intermediária na qual admite-se que apenas uma certa parcela do calor

gerado pelo atrito fluido contribui para a elevação de temperatura do óleo

lubrificante.

Várias simulações computacionais foram realizadas, com o objetivo de

analisar a influência do índice de característica reológica n sobre o comportamento

operacional de um mancal radial hidrodinâmico em diversas condições de projeto e

operação.

i

ABSTRACT

A theoretical model for the analysis of the operational behavior of journal

bearing operating with non-Newtonian lubricant obeying the power law model is

presented in this work.

The finite difference method and successive over-relaxation scheme solve the

basic modified Reynolds equation for hydrodynamic lubrication with non-Newtonian

fluid obeying the power law model.

In the theoretical model, the effects of the supply and recirculating lubricant oil

temperatures are taken into account to the calculation of the oil film effective

temperature. The solution is taken by an iterative method, whose stopping criterion is

the convergence of the effective operating temperature of the journal bearing oil film,

i.e., the establishment of the operation condition in steady-state.

A computational model is developed in FORTRAN to simulate the operational

behavior of journal bearing with non-Newtonian lubricants, pseudoplastics 1<n and

dilatants 1>n , as well as a common mineral oil, i.e., Newtonian fluid 1=n .

Three cases are analysed: the isotermic solution, the adiabatic solution and an

intermediary solution that take on only a certain generated heat amount for the fluid

friction contribute to the lubricant oil temperature increasing.

Many computational simulations are carried out to analyse the flow behavior

index n influence about the operational behavior of a journal bearing in some project

and operating conditions.

ii

CONTEÚDO

Página

RESUMO ............................................................................................................ i

ABSTRACT ......................................................................................................... ii

CONTEÚDO ........................................................................................................ iii

SIMBOLOGIA ...................................................................................................... vi

ÍNDICE DE FIGURAS ......................................................................................... x

ÍNDICE DE TABELAS ......................................................................................... xiii

CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO

1.1 - Generalidades .................................................................................. 1

1.2 - Revisão Bibliográfica ........................................................................ 2

1.3 - Revisão do Comportamento e Características dos Lubrificantes .... 7

1.4 - Objetivos do Trabalho ...................................................................... 19

1.5 - Delineamento do Trabalho ............................................................... 21

CAPÍTULO 2 - FORMULAÇÃO DO PROBLEMA

2.1 - Dedução da Equação Bidimensional de Reynolds Modificada

para Fluidos Não-Newtonianos, Modelo Power Law ........................ 24

2.2 - Modelo Físico .................................................................................... 39

2.3 - Equações Governantes e Condições de Contorno ........................... 43

2.4 - Procedimento Iterativo para Obtenção dos Parâmetros

Resultantes ....................................................................................... 46

iii

Página

CAPÍTULO 3 – SOLUÇÃO NUMÉRICA DA EQUAÇÃO DE REYNOLDS

3.1 – Adimensionalização das Equações Governantes .......................... 51

3.2 – Discretização por Diferenças Finitas da Equação de Reynolds .... 54

3.3 - Cálculo dos Parâmetros Resultantes .............................................. 60

CAPÍTULO 4 - RESULTADOS

4.1 – Introdução ....................................................................................... 83

4.2 – Definição da Malha Computacional ................................................ 84

4.3 - Análise Comparativa dos Resultados .............................................. 84

4.4 - Resultados do Presente Trabalho ................................................... 86

CAPÍTULO 5 - CONCLUSÕES E SUGESTÕES

5.1 – Conclusões ...................................................................................... 133

5.2 - Sugestões para Trabalhos Futuros .................................................. 134

APÊNDICES

A1 - Hipóteses Simplificadoras Impostas à Equação da

Continuidade e às Equações da Conservação da q.d.m. ................. 136

A2 - Dedução da Equação da Espessura do Filme de

Óleo )(θhh = ................................................................................. 139

A3 - Integração pelo Método de Simpson .................................................. 141

iv

Página

A4 – Aproximação das Derivadas por Diferenças Finitas ...................... 143

A5 – Especificação dos Parâmetros do Mancal

e do Óleo Lubrificante .................................................................... 146

A6 – Programa Computacional ............................................................. 147

A7 – Tabelas dos Parâmetros Resultantes para os Índices de

Característica Reológica n = 0,8; 0,9; 1,0 e 1,1 ............................. 157

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................. 174

v

SIMBOLOGIA

Caracteres Latinos

Símbolo Descrição Página

a,b Constantes 15

DCBA ii ,,, Constantes do processo iterativo do cálculo da pressão 55

c Folga radial 40

pC Calor específico do óleo lubrificante 79

,..,, 321 CCC Constantes 33

D Diâmetro do mancal 22

d Diâmetro do eixo 40

ijd Tensor taxa de deformação 26

e Excentricidade 40

F Capacidade de carga 40

F Capacidade de carga adimensional 63

f Coeficiente de atrito 41

..,, 210 fff Parâmetros da regra de Simpsom 64

aF Força de atrito 68

aF Força de atrito adimensional 68

Fr Componente radial da capacidade de carga 60

rF Componente radial adimensional da capacidade de carga 61

Ft Componente tangencial da capacidade de carga 60

tF Componente tangencial adimensional da

capacidade de carga 61

h Espessura do filme de óleo 22

0h Espessura mínima do filme de óleo 40

H Espessura adimensional do filme 51

vi

fH Perda de potência 41

fH Perda de potência adimensional 71

I Invariante do tensor taxa de deformação 26

i Índice da direção circunferencial do mancal 26

j Índice da direção axial do mancal 26

k Número da iteração do processo iterativo 47

L Comprimento axial do mancal 22

m Viscosidade absoluta do óleo 9

m Viscosidade absoluta adimensional 51

0m Viscosidade absoluta do óleo à temperatura de referência 51

efm Viscosidade efetiva absoluta 41

21,mm Viscosidades absolutas às temperaturas 1T e 2T 46

n Índice de característica reológica do lubrificante 9

N Velocidade de rotação do eixo 40

P Pressão do filme de óleo 14

P Pressão adimensional do filme 51

maxP Pressão máxima do filme 40

ijP Pressão adimensional nó ),( ji da malha computacional 54

lQ Vazão lateral (ou axial) de lubrificante 41

lQ Vazão lateral adimensional 79

recQ Vazão de recirculação (ou circunferencial de saída) 41

recQ Vazão de recirculação adimensional 76

sQ Vazão de suprimento 41

tQ Vazão total (ou circunferencial de entrada) 41

tQ Vazão total adimensional 74

xq Vazão na direção radial 38

zq Vazão na direção axial 38

R Raio do mancal 40

vii

s Número de intervalos da malha na direção circunferencial 54

S Número de Sommerfeld 66

t Número de intervalos da malha na direção axial 54

T Temperatura do filme 14

0T Temperatura de referência 15

efT Temperatura efetiva do filme lubrificante 41

mistT Temperatura da mistura de óleo 47

recT Temperatura de recirculação do óleo 47

sT Temperatura do óleo de suprimento 40

u Componente de velocidade na direção x 9

U Velocidade tangencial do eixo 24

00 ,wu Componentes de Couette da velocidade em x e z 30

11, wu Componentes de Poiseuille da velocidade em x e z 30

v Componente de velocidade na direção y 24

w Componente de velocidade na direção z 24

otW Parâmetro de relaxação do processo iterativo 59

x Coordenada na direção circunferencial (movimento) 24

y Coordenada da direção radial 9

z Coordenada na direção axial 24

Caracteres Gregos

Símbolo Descrição Página

α Constante do processo iterativo do cálculo da pressão 60

β Constante da lei exponencial para a viscosidade

do óleo lubrificante 15

δ Parâmetro da regra de Simpsom 64

T∆ Elevação de temperatura 41

viii

T∆ Elevação de temperatura adimensional 81

θ∆ Incremento de posição na direção circunferencial 54

z∆ Incremento de posição na direção axial 54

ε Excentricidade específica do mancal 40

γ Constante da relação viscosidade-pressão 16

φ Ângulo de carga 41

Ψ Fator de convergência do processo iterativo

para o cálculo da pressão 60

λ Constante empírica da parcela de calor gerado retirado

pelo óleo lubrificante 47

µ Viscosidade aparente 9

µ Viscosidade aparente adimensional 74

0µ Viscosidade aparente à temperatura 0T e pressão 0P 15

efµ Viscosidade aparente efetiva 50

0π , 1π Pressões de referência da expansão em série da

pressão exata 31

ρ Densidade do óleo lubrificante 79

θ Ângulo de posição de pressão circunferencial 22

maxθ Ângulo de posição da pressão máxima medido a partir

da linha de centros 'OO 40

maxPθ Posição angular da pressão máxima 62

'θ Ângulo definido pela região de pressão na condição de

contorno de Reynolds ( )'θπ + 42

σ Parâmetro de perturbação da expansão em série 29

τ Tensão de cisalhamento do filme lubrificante 9

ω Velocidade angular 51

ix

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura Página

1.1 - Configurações típicas de hidrocarbonetos ............................................. 8

1.2 - Tensão de cisalhamento versus taxa de deformação .......................... 12

1.3 - Curvas de histerese ............................................................................... 13

1.4 - Comportamento da viscosidade em função da temperatura ................. 16

1.5 - Viscosidade versus taxa de deformação para fluido

lubrificante Newtoniano ......................................................................... 17


lubrificante não-Newtoniano pseudoplástico ......................................... 18


lubrificante não-Newtoniano dilatante ................................................... 18

2.1 - Superfícies em movimento relativo ....................................................... 24

2.2 - Geometria do mancal radial hidrodinâmico ........................................... 42

2.3 - Distribuição de pressão do filme lubrificante no plano médio

do mancal ( z = L/2 ) e condições de contorno no plano ( z,θ ) ............ 44

2.4 - Gráfico tridimensional da distribuição de pressão no plano ),( zθ ......... 45

2.5 - Diagrama de blocos do processo iterativo ............................................ 50

3.1 - Malha para solução computacional ....................................................... 54

3.2 - Distribuição adimensional de pressão no plano médio do mancal

e condições de contorno de pressão no plano ( z,θ ) ........................... 55

3.3 - Distribuição de pressão e componentes de carga ................................ 62

3.4 - Componentes de vazão de lubrificante e temperaturas

correspondentes .................................................................................... 73

4.1 - Capacidade de carga adimensional do mancal em função dos casos

térmicos , para L/D =1 e n =0,8 ........................................................... 90


térmicos , para L/D =1 e n=1,0 ........................................................... 91

x


térmicos , para L/D =1 e n=1,1 ........................................................... 92

4.4 - Distribuição de pressão adimensional no plano médio do mancal

em função dos casos térmicos, para L/D = 1, n =0,8 e ε =0,7 ............. 93





4.7 - Número de Sommerfeld em função do índice de característica

reológica n para relação L/D =1 ......................................................... 102

4.8 - Capacidade de carga adimensional em função do índice de

característica reológica n para relação L/D =1 ................................... 103

4.9 - Vazão circunferencial de entrada adimensional em função do

índice de característica reológica n para relação L/D =1 .................... 104

4.10 - Vazão lateral adimensional em função do índice de característica

reológica n para relação L/D =1 .......................................................... 105

4.11 - Pressão máxima adimensional do filme em função do índice de

característica reológica n para relação L/D =1 ................................... 106


em função do índice de característica reológica n para relação

L/D = 1 e ε=0,7................................................................................... 107

4.13 - Coeficiente de atrito em função do índice de característica

reológica n para relação L/D = 1 ........................................................ 108

4.14 - Perda de potência adimensional em função do índice de

característica reológica n para relação L/D = 1 ................................. 109

4.15 - Elevação de temperatura adimensional em função do índice de

característica reológica n para relação L/D = 1 .................................. 110

4.16 - Temperatura efetiva do filme em função do índice de


4.17 - Viscosidade efetiva aparente em função do índice de


xi

4.18 - Capacidade de carga adimensional em função da relação L/D

do mancal para n =0,8 ....................................................................... 113


do mancal para n =1,0 ....................................................................... 114


do mancal para n =1,1 ....................................................................... 115

4.21 - Temperatura efetiva do filme em função da relação L/D

do mancal para n =0,8 ....................................................................... 116


do mancal para n =1,0 ....................................................................... 117


do mancal para n =1,1 ....................................................................... 118

4.24 - Temperatura efetiva do filme em função da rotação do mancal

para relação L/D =1 e n =0,8 ............................................................ 119


para relação L/D =1 e n =1,0 ............................................................. 120


para relação L/D =1 e n =1,1 ............................................................. 121

4.27 - Capacidade de carga adimensional do mancal em função da

temperatura do óleo de suprimento para L/D = 1 e n = 0,8 .............. 122





4.30 - Perda de potência adimensional em função da temperatura

de suprimento do óleo lubrificante para L/D = 1 e n = 0,8 ................. 125


de suprimento do óleo lubrificante para L/D = 1 e n = 1,0 ................. 126


de suprimento do óleo lubrificante para L/D = 1 e n = 1,1 ................ 127

4.33 - Temperatura efetiva do filme em função da temperatura de

suprimento do óleo lubrificante para L/D = 1 e n = 0,8 ..................... 128

xii





4.36 - Temperatura efetiva do filme versus temperatura do óleo

de suprimento para L/D=1 e ε=0,7 ................................................... 131

4.37 - Temperatura efetiva do filme versus rotação do mancal para

L/D=1 e ε=0,7 ................................................................................... 132

A2.1 - Configuração básica de um mancal radial hidrodinâmico ................. 139

A3.1 - Nomenclatura da função )(uf para regra de Simpson ................... 141

A4.1 - Aproximação por diferenças finitas .................................................. 144

ÍNDICE DE TABELAS

Tabela Página

4.1 - Definição das malhas computacionais ........................................... 84

4.2 - Comparação do número de Sommerfeld para L/D = 1.................... 85

4.3 - Comparação do ângulo de carga φ para L/D = 1........................... 85

4.4 - Caso isotérmico (L/D =1) ................................................................ 87

4.5 - Caso intermediário (L/D =1) ........................................................... 87

4.6 - Caso adiabático (L/D =1) ................................................................ 87

A7.1 - Parâmetros resultantes para L/D = 1/4 e n = 0.8 ........................... 158


A7.3 - Parâmetros resultantes para L/D = 1 e n = 0.8 .............................. 160






xiii









xiv

83

CAPÍTULO 4

RESULTADOS

4.1- Introdução

Após as etapas de formulação do problema, definição do procedimento

iterativo para o estabelecimento da condição de regime, apresentação do

desenvolvimento de um modelo numérico para a solução da equação governante,

cálculo dos parâmetros resultantes e desenvolvimento do programa computacional;

segue-se no presente capítulo a apresentação e análise dos resultados, obtidos

através de várias simulações computacionais, tomando por base as características

do mancal e lubrificante no Apêndice A5.

O comportamento dos parâmetros resultantes do mancal radial hidrodinâmico

é analisado principalmente em função de várias excentricidades específicas e

relações DL / do mancal. Investiga-se também a influência do índice de

característica reológica n do óleo lubrificante, no comportamento operacional do

mancal. Além disso, três tipos de abordagens são implementadas: a solução

isotérmica onde não é considerada a variação da viscosidade do óleo lubrificante

com a temperatura, a solução adiabática onde todo o calor gerado pelo atrito fluido é

transferido para o óleo lubrificante e por ele é carregado para fora do mancal e a

solução intermediária onde apenas parte do calor gerado contribui para a elevação

de temperatura do óleo lubrificante. Nas soluções adiabática e intermediária são

determinadas as temperaturas efetivas do óleo lubrificante, na condição de operação

em regime, e as suas correspondentes viscosidades usando-se a equação de

Walther.

Os resultados são apresentados em forma de tabelas e gráficos para permitir

a comparação com os resultados obtidos por outros pesquisadores e para facilitar a

realização de análises preditivas do comportamento operacional de um mancal radial

hidrodinâmico em diversas condições de operação.

84

4.2 – Definição da Malha Computacional

Antes da simulação computacional definitiva foi feito um estudo do

comportamento de alguns parâmetros resultantes (número de Sommerfeld e

temperatura efetiva) com relação ao grau de refinamento da malha computacional

utilizada. Com isso, através da convergência destes parâmetros determinaram-se as

seguintes malhas computacionais a serem usadas nas simulações, conforme mostra

a tabela 4.1.

Tabela 4.1 – Definição das Malhas Computacionais

L / D n = 0,8 n = 0,9 n = 1,0 n = 1,1

1/4 29 x 9 35 x 11 29 x 9 45 x 15

1/2 35 x 11 35 x 11 45 x 15 35 x 11

1 35 x 11 45 x 15 35 x 11 35 x 11

2 45 x 15 45 x 15 35 x 11 35 x 11

4.3 - Análise Comparativa dos Resultados

Através de um programa computacional, desenvolvido em linguagem

FORTRAN, simulou-se o comportamento operacional de mancais radiais

hidrodinâmicos com relações DL / iguais a 1/4, 1/2 , 1 e 2, para excentricidade

específica ε variando de 0,1 a 0,9 e para óleos lubrificantes com índices de

característica reológica n iguais a 0,8; 0,9; 1,0 e 1,1 (demais dados no Apêndice

A5).

Para comprovar a validade dos resultados obtidos no presente trabalho, os

mesmos foram comparados com resultados obtidos por outros pesquisadores, tais

como Dien e Elrod [13] e Raghunandana e Majumdar [26]. Para tal, foram utilizados

como parâmetros de comparação o número de Sommerfeld e o ângulo de carga φ ,

obtidos através da solução intermediária, para um mancal radial hidrodinâmico com

relação DL / =1, operando com um óleo não-Newtoniano do tipo pseudoplástico

8,0=n e com um óleo mineral comum, ou seja, um óleo lubrificante Newtoniano

85

0,1=n . As tabelas 4.2 e 4.3 ilustram esta análise comparativa, mostrando também

os desvios ocorridos entre os resultados.

Tabela 4.2 – Comparação do número de Sommerfeld para um mancal com L/D =1

n ε S [13] S [26] S [presente] Desvio [13] Desvio [26]

0,4 0,290 0,2841 0,287 -1,03% 1,02%

0,6 0,140 0,1406 0,142 1,42% 0,99%0,8

0,8 0,059 0,0566 0,058 -1,69% 2,47%

0,4 0,260 0,2593 0,261 0,38% 0,65%

0,6 0,120 0,1203 0,121 0,83% 0,58%1,0

0,8 0,045 0,0428 0,044 -2,22% 2,80%

Analisando a tabela 4.2 verifica-se uma boa concordância dos resultados

obtidos no presente trabalho em relação ao número de Sommerfeld, parâmetro dos

mais importantes para o projeto e análise do comportamento operacional de um

mancal radial hidrodinâmico. Pode-se notar que o maior desvio ocorreu para 0,1=n

e 8,0=ε , o qual foi de –2,22% em relação aos resultados obtidos por Dien e Elrod

[13] e 2,80% em relação aos resultados de Raghunandana e Majumdar [26].

Tabela 4.3 – Comparação do ângulo de carga φ para um mancal com L/D=1,0

n ε φ ( ° ) [13] φ ( ° ) [presente] Desvio [13]

0,2 74,2 74,16 -0,05%

0,4 63,9 63,94 -0,06%

0,6 52,7 52,73 -0,05%

0,8 39,3 38,82 -1,22%

0,8

0,9 29,8 28,47 -4,46%

0,2 73,8 73,82 0,02%

0,4 62,5 62,61 0,17%

0,6 50,5 50,24 -0,51%

0,8 36,4 35,93 -1,29%

1,0

0,9 26,5 25,24 -4,75%

86

Novamente pode-se verificar a boa concordância dos resultados obtidos

para o ângulo de carga φ , neste caso o maior desvio foi de –4,75% para 0,1=n e

9,0=ε , em relação aos resultados obtidos por Dien e Elrod [13].

4.4 – Resultados do Presente Trabalho

No item anterior foi certificada a validade dos resultados obtidos no presente

trabalho, comparando-os com os resultados obtidos por outros pesquisadores.

Procede-se agora a apresentação e análise dos resultados obtidos no presente

trabalho. Serão apresentados resultados de simulações computacionais do

comportamento operacional de um mancal radial hidrodinâmico em várias condições

de projeto e operação. Os parâmetros resultantes do mancal serão calculados e

analisados em função da variação da relação DL / , da excentricidade específica εe do índice de característica reológica n do óleo lubrificante. Do ponto de vista

térmico são analisados os casos isotérmico, intermediário (temperatura média) e

adiabático.

Primeiramente serão apresentados resultados de alguns parâmetros

relativos às três abordagens estudadas, ou seja, caso isotérmico, caso adiabático e

caso intermediário. Neste último, é determinada a temperatura efetiva média do filme

de óleo e sua correspondente viscosidade. Desta forma têm-se resultados mais

reais, quando comparados com os casos extremos, os quais não superestimam nem

subestimam a capacidade de carga do mancal. As tabelas 4.4, 4.5 e 4.6 mostram

uma comparação dos 3 casos descritos em relação aos parâmetros resultantes

capacidade de carga adimensional,F , e pressão máxima adimensional do

filme, maxP , para relação 1/ =DL , CTs °= 38 , 1500=N rpm e para três valores

do índice de característica reológica n = 0,8; 1,0 e 1,1 (não-Newtoniano

pseudoplástico, Newtoniano e não-Newtoniano dilatante, respectivamente). A seguir,

são apresentados também alguns gráficos comparativos destes parâmetros relativos

as três abordagens em estudo para uma melhor visualização de seus

comportamentos.

87

Tabela 4.4 – Caso isotérmico ( 1/ =DL )

ε 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

n =0,8 0,205 0,430 0,687 1,012 1,440 2,047 3,059 5,010 10,738

n =1,0 0,217 0,458 0,747 1,115 1,629 2,401 3,759 6,591 16,088Fn =1,1 0,223 0,472 0,771 1,164 1,709 2,585 4,151 7,513 19,615

n =0,8 0,188 0,402 0,662 1,015 1,541 2,370 3,857 7,460 20,716

n =1,0 0,201 0,434 0,735 1,155 1,802 2,919 5,057 10,525 34,494maxP

n =1,1 0,207 0,450 0,766 1,225 1,921 3,214 5,763 12,382 44,116

Tabela 4.5 – Caso intermediário ( 1/ =DL )

ε 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

n =0,8 0,155 0,365 0,614 0,920 1,329 1,913 2,860 4,684 10,039

n =1,0 0,085 0,228 0,424 0,682 1,037 1,588 2,491 4,263 9,664Fn =1,1 0,050 0,145 0,281 0,468 0,736 1,149 1,832 3,148 7,149

n =0,8 0,143 0,341 0,591 0,922 1,422 2,216 3,606 6,975 19,367

n =1,0 0,079 0,216 0,418 0,707 1,148 1,931 3,351 6,807 20,721maxP

n =1,1 0,047 0,138 0,279 0,492 0,827 1,429 2,544 5,187 16,079

Tabela 4.6 – Caso adiabático ( 1/ =DL )

ε 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

n =0,8 0,154 0,359 0,597 0,898 1,297 1,860 2,780 4,514 9,448

n =1,0 0,082 0,215 0,394 0,624 0,935 1,379 2,158 3,561 7,746Fn =1,1 0,048 0,135 0,252 0,413 0,634 0,962 1,477 2,470 5,336

n =0,8 0,141 0,335 0,575 0,900 1,387 2,153 3,505 6,721 18,227

n =1,0 0,076 0,204 0,388 0,646 1,035 1,676 2,903 5,687 16,608maxP

n =1,1 0,045 0,128 0,251 0,435 0,713 1,196 2,051 4,072 12,001

88

Nas figuras 4.1 a 4.6, a seguir, são analisados os comportamentos dos

parâmetros capacidade de carga adimensional, F , e distribuição de pressão

adimensional no plano médio do mancal, P , em função das três soluções

estudadas do ponto de vista térmico. A capacidade de carga é apresentada em

função da excentricidade específica, ε , e a distribuição de pressão em função do

ângulo circunferencial θ para ε =0,7 e em ambos os casos para relação L/D =1,

CTs °= 38 e n = 0,8; 1,0 e 1,1.

A análise das figuras 4.1 a 4.3 permite-nos observar que a capacidade de

carga adimensional do mancal apresenta dois comportamentos distintos em relação

aos casos térmicos estudados. Para os casos adiabático e intermediário a

capacidade de carga adimensional do mancal aumenta com a redução do índice de

característica reológica, n , do óleo lubrificante, enquanto que para o caso

isotérmico ocorre o inverso. Verifica-se desta forma que a solução isotérmica não é

uma boa aproximação para os resultados, pois apenas para o óleo lubrificante

pseudoplástico, n = 0,8, ela fornece resultados mais próximos aos das soluções

intermediária e adiabática. Para os óleos minerais comuns (Newtonianos n =1) e os

óleos não-Newtonianos dilatantes (n >1) a solução isotérmica fornece resultados

com erros consideráveis. Assim, a solução intermediária é a que fornece o resultado

mais próximo do real, para qualquer valor do índice de característica reológica n ,

visto que é uma teoria que não adota hipóteses extremas sobre a forma de

dissipação do calor gerado pelo atrito viscoso do óleo lubrificante, como são os

casos isotérmico e adiabático. É necessário destacar que, devido ao parâmetro

adimensional definido para a capacidade de carga, o comportamento da mesma na

forma dimensional é o inverso, ou seja, quando se aumenta o índice de

característica reológica n do lubrificante a capacidade de carga dimensional do

mancal também aumenta.

Analisando as figuras 4.4 a 4.6, sobre a distribuição de pressão

adimensional no plano médio do mancal, observa-se novamente que o caso

isotérmico apresenta um comportamento inverso aos casos adiabático e

intermediário, pois na solução isotérmica a pressão adimensional em uma

89

determinada posição circunferencial θ aumenta com o aumento do índice de

característica reológica, n , do óleo lubrificante. Verifica-se também nestas figuras a

diferença das três abordagens estudadas, mostrando que a solução intermediária é

a que fornece resultados mais realísticos pois não superestima nem subestima os

valores das pressões hidrodinâmicas do mancal. Com relação aos valores

dimensionais das pressões, verifica-se novamente um comportamento inverso ao

comportamento adimensional, em virtude do parâmetro de adimensionalização

adotado para a pressão.

90

Figura 4.1

91

Figura 4.2

92

Figura 4.3

93

Figura 4.4

94

Figura 4.5

95

Figura 4.6

96

De acordo com os resultados apresentados anteriormente e segundo

pesquisadores, a solução intermediária adotada no presente trabalho, do ponto de

vista térmico para qualquer valor do índice de característica reológica, n , é a

solução mais realista. Portanto, os gráficos em seguida e as tabelas apresentadas

no apêndice A7, bem como a discussão dos resultados, serão deste ponto em diante

sempre referentes ao caso intermediário.

Nas figuras 4.7 a 4.17, em seguida, serão analisados os comportamentos de

vários parâmetros resultantes em função do índice de característica reológica, n , do

óleo lubrificante para uma relação L/D fixa do mancal igual a 1, CTs °= 38 e para

vários valores da excentricidade específica, ε . Três óleos lubrificantes de índice de

característica reológica, n , diferentes serão utilizados nesta análise; um óleo não-

Newtoniano pseudoplástico, n=0,8; um óleo Newtoniano, n=1,0; e um óleo não-

Newtoniano dilatante, n=1,1.

A figura 4.7 mostra o comportamento de um parâmetro importante e muito

usado por pesquisadores e projetistas como elemento base na análise preditiva de

mancais, ou seja o número de Sommerfeld, S . Pela análise da figura verifica-se que

o número de Sommerfeld aumenta com a redução do índice de característica

reológica, n , e diminui com o aumento da excentricidade específica, ε .

O comportamento da capacidade de carga adimensional, F , do mancal é

analisado na figura 4.8. Vê-se pelo gráfico que a capacidade de carga adimensional

do mancal aumenta com a redução do índice de característica reológica, n , e com o

aumento da excentricidade específica, ε . Porém, mais uma vez vale ressaltar que,

na forma dimensional, o comportamento é o inverso, ou seja , a capacidade de carga

dimensional do mancal aumenta com o aumento do índice de característica

reológica, n , do óleo lubrificante. Desta forma conclui-se que a utilização de óleos

lubrificantes não-Newtonianos dilatantes conferem ao mancal uma maior capacidade

de carga quando comparados aos óleos minerais comuns Newtonianos ou aos óleos

lubrificantes não-Newtonianos do tipo pseudoplásticos.

97

A figura 4.9 mostra o comportamento da vazão adimensional de entrada, tQ .

Verifica-se que a vazão adimensional de entrada aumenta com o aumento da

excentricidade, ε , e do índice de característica reológica, n .

A figura 4.10 ilustra o comportamento da vazão adimensional lateral, lQ . A

vazão adimensional lateral aumenta com o aumento da excentricidade específica, ε ,

e também é maior para maiores índices de característica reológica, n , porém com

menor influência que a excentricidade.

Na figura 4.11 é apresentado o comportamento da pressão máxima

adimensional, maxP , do mancal. Observa-se que a pressão máxima adimensional

aumenta com o aumento da excentricidade específica, ε , e é maior para menores

índices de característica reológica, n , porém, como já comentado anteriormente,

devido ao parâmetro de adimensionalização para a pressão, o comportamento da

mesma na forma dimensional é o inverso com relação ao índice de característica

reológica. Ou seja, para o óleo de maior índice de característica reológica (não-

Newtoniano dilatante) a pressão máxima dimensional é maior. Este parâmetro é

muito importante, pois serve de base para o dimensionamento do material do

revestimento interno do mancal.

A distribuição de pressão adimensional no plano médio do mancal, P , ao

longo da direção circunferencial, θ , é mostrada na figura 4.12 para excentricidade

específica ε = 0,7. Nota-se que lubrificantes com menores índices de característica

reológica proporcionam pressões hidrodinâmicas adimensionais maiores (em termos

dimensionais, menores) em toda a região da cunha de óleo do mancal e que o

ângulo θ da pressão máxima fica aproximadamente entre 150° e 160 °. Isto

confirma a conclusão de que os óleos não-Newtonianos dilatantes proporcionam

maior capacidade de carga ao mancal, relativamente aos Newtonianos e aos não-

Newtonianos pseudoplásticos.

A figura 4.13 apresenta a variação do coeficiente de atrito, )/( cRf , do

mancal, parâmetro este muito importante na determinação da perda de potência do

98

mesmo. Observa-se que o coeficiente de atrito aumenta com a diminuição da

excentricidade específica, ε , e do índice de característica reológica, n , do

lubrificante.

A figura 4.14 nos mostra que a perda de potência adimensional do mancal,

fH , aumenta com a redução do índice de característica reológica, n , do

lubrificante, para uma excentricidade fixa. Na forma dimensional, a perda de

potência diminui com a redução do índice de característica reológica. Com relação a

excentricidade específica, ε , a perda de potência adimensional aumenta com o

aumento da excentricidade.

A elevação de temperatura adimensional, T∆ , do óleo lubrificante tem seu

comportamento mostrado na figura 4.15. Através deste parâmetro determina-se a

temperatura efetiva do filme de óleo lubrificante. Nota-se que a medida que a

excentricidade específica aumenta a elevação de temperatura adimensional diminui.

O mesmo acontece em relação ao índice de característica reológica, n , ou seja, a

elevação de temperatura adimensional diminui com o aumento do índice n . Na

forma dimensional, também ocorre o inverso.

A figura 4.16 apresenta o comportamento da temperatura efetiva

(dimensional) do filme de óleo lubrificante do mancal, efT , parâmetro este que influi

diretamente na viscosidade efetiva do filme e consequentemente na especificação

do lubrificante mais adequado. Observa-se que a temperatura efetiva diminui com o

aumento da excentricidade específica até um certo valor, passa por um mínimo

próximo a ε = 0,7 e então aumenta novamente. Nota-se ainda que o aumento do

índice de característica reológica, n , aumenta a temperatura efetiva do filme e que o

óleo pseudoplástico, n=0,8, apresenta uma maior estabilidade térmica em relação a

condição operacional (excentricidade específica de trabalho).

A figura 4.17 mostra o comportamento da viscosidade efetiva aparente do

lubrificante, efµ , na forma dimensional. Observa-se novamente que o óleo

pseudoplástico, n=0,8, apresenta-se mais estável que os demais visto que sofre

99

pequena variação da viscosidade com a excentricidade. Nota-se também que para

uma mesma excentricidade específica, ε , a viscosidade efetiva aparente é maior

para maiores índices de característica reológica, n , e que a mesma aumenta com a

excentricidade até um certo valor e então diminui novamente, passando por um

máximo para uma excentricidade entre 0,6 e 0,7.

As figuras 4.18 a 4.23 mostram a influência da relação L/D do mancal no

comportamento dos parâmetros resultantes capacidade de carga adimensional, F ,

e temperatura efetiva do filme, efT , para CTs °= 38 e n=0,8; 1,0 e 1,1 em função

da excentricidade, ε . Serão analisadas as relações L/D =1/4, 1/2, 1 e 2.

Verifica-se pelas figuras 4.18 a 4.20 que para os três índices n a capacidade

de carga adimensional do mancal aumenta com o aumento da relação L/D do

mancal e da excentricidade específica, ε . Na forma dimensional, a influência da

relação L/D também é a mesma.

Observando as figuras 4.21 a 4.23 nota-se que a temperatura efetiva do

filme, efT , aumenta com o aumento da relação L/D do mancal e que para uma

relação L/D fixa a temperatura efetiva passa por um mínimo próximo a

excentricidade ε =0,7. Verifica-se ainda que a temperatura efetiva apresenta, para

uma determinada excentricidade fixa, uma tendência de convergência à medida que

a relação L/D diminui.

As figuras 4.24 a 4.26 mostram o comportamento da temperatura efetiva do

filme de óleo, efT , com a variação da velocidade de rotação do eixo do mancal

para relação L/D =1, CTs °= 38 e n=0,8; 1,0 e 1,1. Observa-se que o aumento da

rotação do eixo eleva a temperatura efetiva do filme de óleo para os três valores de

n e que a medida que a excentricidade específica, ε , aumenta, a temperatura

efetiva do filme diminui até um certo valor e então aumenta novamente, passando

por um mínimo em uma excentricidade entre 0,6 e 0,7.

100

As figuras 4.27 a 4.35 mostram o comportamento dos parâmetros

resultantes capacidade de carga adimensional, F , perda de potência

adimensional, fH , e temperatura efetiva do filme, efT , quando se varia a

temperatura do óleo de suprimento do mancal, sT , para uma relação L/D =1, rotação

de 1500 rpm e n=0,8, 1,0 e 1,1.

Analisando-se as figuras 4.27 a 4.29 verifica-se que para o óleo lubrificante

pseudoplástico, n=0,8, a capacidade de carga adimensional, F , do mancal

aumenta com a redução da temperatura do óleo de suprimento, sT . Para os óleos

Newtoniano, n=1, e não-Newtoniano dilatante, n=1,1, ocorre um comportamento

inverso, ou seja, a capacidade de carga adimensional, F , diminui. Na forma

dimensional, no entanto, é possível verificar através da equação de

adimensionalização que para qualquer dos índices de característica reológica, n , a

capacidade de carga aumenta com a redução da temperatura do óleo de

suprimento, sT .

As figuras 4.30 a 4.32 nos mostra que para o óleo lubrificante

pseudoplástico, n=0,8, a perda de potência adimensional aumenta com a redução

da temperatura do óleo de suprimento, sT . Um comportamento inverso ocorre para

os óleos Newtoniano, n=1, e não-Newtoniano dilatante, n=1,1. Novamente é

importante ressaltar que na forma dimensional a perda de potência aumenta com o

aumento da temperatura de suprimento do óleo lubrificante.

Uma análise das figuras 4.33 a 4.35 permite-nos observar que a temperatura

efetiva do filme, efT , aumenta com o aumento da temperatura do óleo de

suprimento, sT . Mostra ainda, mais uma vez, a maior estabilidade térmica do óleo

pseudoplástico, n=0,8, em relação a condição de operação (excentricidade

específica ε ) do mancal quando comparado com os óleos Newtoniano ou não-

Newtoniano do tipo dilatante.

101

A figura 4.36 mostra o comportamento da temperatura efetiva do filme de

óleo versus temperatura do óleo de suprimento para diferentes índices de

característica reológica. Verifica-se novamente uma menor temperatura efetiva para

o óleo não-Newtoniano do tipo pseudoplástico, n=0,8; para qualquer valor da

temperatura do óleo de suprimento.

O comportamento da temperatura efetiva do filme de óleo versus rotação do

mancal é mostrado na figura 4.37, em função do índice de característica reológica. A

figura mostra, mais uma vez, a maior estabilidade térmica do óleo não-Newtoniano

do tipo pseudoplástico, uma vez que há pequena variação da temperatura efetiva do

filme com o aumento da rotação do mancal.

51

CAPÍTULO 3

SOLUÇÃO NUMÉRICA DA EQUAÇÃO DE REYNOLDS

3.1 - Adimensionalização das Equações Governantes

A fim de obter uma solução de maior generalidade e para que fique claro qual

é o conjunto mínimo de variáveis que governam o fenômeno é necessário resolver a

equação de Reynolds na sua forma adimensional. Para isso, definem-se os

seguintes parâmetros adimensionais :

R

x=θ (3.1a)

L

zz = (3.1b)

c

hH = (3.1c)

21

0

= −

c

R

c

Um

PP

n

ω (3.1d)

( )

0

2log.110

0

106.0

mm

mm

KTK

+−

==

+

(3.1e)

Substituindo as equações (3.1) na equação (2.55), obtém-se :

52

( )

( )θ

ω

θω

θ

∂∂=

∂∂

∂∂+

+

∂∂

∂∂

−+

−+

H

R

Ummc

z

P

c

R

c

Um

LcH

zL

P

c

R

c

Um

Rn

cH

R

nnn

nn

021

02

21

0

2

61

1

(3.2)

Manipulando algebricamente a equação (3.2) e lembrando que

NeRNU πωπ 22 == , pode-se chegar facilmente à equação a seguir:

θθθ d

dH

z

P

m

H

zL

dP

mn

H nn

64

1 222

=

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂ ++

(3.3)

A equação (3.3) é a equação de Reynolds da lubrificação hidrodinâmica

modificada para fluidos não-Newtonianos modelo power law, na forma adimensional.

As condições de contorno definidas pelas equações (2.58), agora nas formas

adimensionalizadas, tomam a seguinte forma:

πθθπθ 20,1,00 ' ≤≤+==== ezzemP (3.4a)

'00 θπθθθ

+===∂∂

eemP

(3.4b)

Considerando que o mancal está perfeitamente alinhado, ou seja, que a

espessura do filme H é função somente de θ , a equação (3.3) resulta em:

θθθθ d

dH

z

P

m

H

L

dP

mn

HP

d

dHH

mn

n nnn 6

4

122

222

2

221 =

∂∂

+

∂∂+

∂∂+ ++

+ (3.5)

Conforme deduzido no apêndice A2, a espessura do filme de óleo, h , em

uma posição circunferencial θ qualquer, é dada por:

53

( )θε cos1+= ch (3.6a)

De acordo com as equações (3.1c) e (3.6a), a espessura adimensional do

filme de óleo é dada por:

θε cos1+=H (3.6b)

Assim,

( ) 11 cos1 ++ += nnH θε (3.7)

( ) 22 cos1 ++ += nnH θε (3.8)

θεθ

sen−=d

dH (3.9)

Substituindo-se as equações (3.7), (3.8) e (3.9) na equação (3.5), obtém-se:

( )( ) ( ) 22

22

2

2

cos1

sen6

4

1

cos1

sen2++

−=∂∂

+

∂∂+

∂∂

++−

n

nm

z

Pn

L

dPPn

θεθε

θθθεθε

(3.10a)

ou

Cz

PB

PPA =

∂∂+

∂∂+

∂∂

2

2

2

2

θθ (3.10b)

onde:

( )θε

θεcos1

sen2

++−= n

A (3.11a)

nL

dB

2

4

1

= (3.11b)

( ) 2cos1

sen++

−=n

nmC

θεθε

(3.11c)

Figura 3.4 – Componentes de vazão de lubrificante e temperaturas correspondentes

OO'

N

L

Trec

Qrec Qt

Tmisthmax

ho

QsTs

Ql

Tl

Ql

Tl

φ

θ

'θ

73

Figura 3.3 – Distribuição de pressão e componentes de carga

Pmax

Fr

ho

N

o' o

F

Ft

φ

πθ 2;0=

maxθ

'θ

'θπθ +=

maxPθ

62

Figura 2.4 – Gráfico tridimensional da distribuição de pressão no plano ),( zθ

0

'θπ +

π2

0

L

45

(a) (b)

Figura 2.3 – (a) Distribuição de pressão do filme lubrificante no plano médio do mancal ( 2/Lz = )

(b) Condições de contorno no plano ),( zθ

�

44

P=0

0

P

P=0

P=0

P=0 L

0 �+� 2�

z

2��+�’ � �0

DomínioComputacional

Figura 2.2 – Geometria do mancal radial hidrodinâmico

Vista FrontalVista Lateral

x z

y

L

D

N

F

oo'

e

h 0

d

φπθ 2;0=

φ

'θ

πθ =

42

Figura 4.37 – Temperatura efetiva do filme efT versus rotação N . ( L/D =1 e ε =0,7 )

1000 1500 2000 2500 3000 350035

40

45

50

55

60

65

70

75

80

n = 0.8n = 1.0n = 1.1

)(rpmN

)( CTef °

132

Figura 4.36 – Temperatura efetiva do filme efT versus temperatura de suprimento ST . ( L/D =1 e ε =0,7 )

25 30 35 40 45 50 5525

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

n = 0.8n = 1.0n = 1.1

)( CTs °

)( CTef °

131

Figura 4.35 – Temperatura efetiva do filme efT em função da temperatura do óleo de suprimento. ( L/D =1 e 1,1=n )

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 150

55

60

65

70

75

80

85

90

95

Ts = 30° CTs = 38° CTs = 45° C

ε

)( CTef °

130


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 140

45

50

55

60

65

70

75

Ts = 30° CTs = 38° CTs = 45° C

ε

)( CTef °

129


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 130

35

40

45

50

55

Ts = 30° CTs = 38° CTs = 45° C

ε

)( CTef °

128

Figura 4.32 – Perda de potência adimensional fH em função da temperatura do óleo de suprimento. ( L/D =1 e 1,1=n )

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11

2

3

4

5

6

7

8

Ts = 30° CTs = 38° CTs = 45° C

ε

fHU

c

URLm

HH

n

ff

=

0

127


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Ts = 30° CTs = 38° CTs = 45° C

ε

fHU

c

URLm

HH

n

ff

=

0

126


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 14

5

6

7

8

9

10

11

12

Ts = 30° CTs = 38° CTs = 45° C

ε

fH

Uc

URLm

HH

n

ff

=

0

125

Figura 4.29 – Capacidade de carga adimensional F em função da temperatura do óleo de suprimento. ( L/D =1 e 1,1=n )

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Ts = 30° CTs = 38° CTs = 45° C

ε

F

20

1

RLmU

cFF

n

n+=

124

Figura 4.28 – Capacidade de carga adimensional F em função da temperatura do óleo de suprimento. ( L/D =1 e 0,1=n )

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Ts = 30° CTs = 38° CTs = 45° C

ε

F

20

1

RLmU

cFF

n

n+=

123

Figura 4.27 – Capacidade de carga adimensional F em função da temperatura do óleo de suprimento (L/D =1 e 8,0=n )

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Ts = 30° CTs = 38° CTs = 45° C

ε

F

20

1

RLmU

cFF

n

n+=

122

Figura 4.26 – Temperatura efetiva do filme efT em função da rotação do mancal. ( L/D =1 e n = 1,1 )

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 150

60

70

80

90

100

110

120

900 rpm1500 rpm3600 rpm

ε

)( CTef °

121


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

45

50

55

60

65

70

75

80

85

900 rpm1500 rpm3600 rpm

ε

)( CTef °

120


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 138

40

42

44

46

48

50

900 rpm1500 rpm3600 rpm

ε

)( CTef °

119

Figura 4.23 – Temperatura efetiva efT em função da relação L/D do mancal. ( n = 1,1 )

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 155

60

65

70

75

80

85

90

95

100

105

L/D = 1/4L/D = 1/2L/D = 1L/D = 2

ε

)( CTef °

118


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

45

50

55

60

65

70

75

L/D = 1/4L/D = 1/2L/D = 1L/D = 2

ε

)( CTef °

117


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 138

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

L/D = 1/4L/D = 1/2L/D = 1L/D = 2

ε

)( CTef °

116

Figura 4.20 – Capacidade de carga adimensional F em função da relação L/D do mancal. ( n = 1,1 )

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

L/D = 1/4L/D = 1/2L/D = 1L/D = 2

ε

F

20

1

RLmU

cFF

n

n+=

115


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

2

4

6

8

10

12

L/D = 1/4L/D = 1/2L/D = 1L/D = 2

ε

F

20

1

RLmU

cFF

n

n+=

114


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

2

4

6

8

10

12

L/D = 1/4L/D = 1/2L/D = 1L/D = 2

ε

F

20

1

RLmU

cFF

n

n+=

113

Figura 4.17 – Viscosidade efetiva aparente efµ em função do índice de característica reológica n . ( L/D =1 )

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

n = 0.8n = 1.0n = 1.1

ε

)(cPefµ

112

Figura 4.16 – Temperatura efetiva do filme efT em função do índice de característica reológica n . ( L/D =1 )

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 135

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

n = 0.8n = 1.0n = 1.1

ε

)( CTef °

111

Figura 4.15 – Elevação de temperatura adimensional T∆ em função do índice de característica reológica n . ( L/D =1 )

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

n = 0.8n = 1.0n = 1.1

ε

T∆

−

=∆

t

lt

Q

QLNcR

Qc

Rf

T

2

11

4π

110

Figura 4.14 – Perda de potência adimensional fH em função do índice de característica reológica n . ( L/D =1 )

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

n = 0.8n = 1.0n = 1.1

ε

fHU

c

URLm

HH

n

ff

=

0

109

Figura 4.13 - Coeficiente de atrito )/( cRf em função do índice de característica reológica n . ( L/D =1 )

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

5

10

15

20

25 n = 0.8n = 1.0n = 1.1

( )cRf /

ε

F

F

c

RcRf a

=)/(

108

Figura 4.12 – Distribuição de pressão no plano médio do mancal para excentricidade 0.7em função do índice de característica reológica n . ( L/D =1 )

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 2200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

n = 0.8n = 1.0n = 1.1

)(grausθ

P21

0

= −

c

R

c

Um

PP

n

ω

107

Figura 4.11 – Pressão máxima adimensional do filme maxP em função do índice de característica reológica n . ( L/D =1 )

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

n = 0.8n = 1.0n = 1.1

ε

maxP

21

0

= −

c

R

c

Um

PP

n

ω

106

Figura 4.10 – Vazão lateral adimensional lQ em função do índice de característica reológica n . ( L/D =1)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

n = 0.8n = 1.0n = 1.1

ε

lQ

LNcR

QQ ll =

105

Figura 4.9 – Vazão circunferencial de entrada adimensional tQ em função do índice de característica reológica n . ( L/D =1 )

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 13.2

3.4

3.6

3.8

4

4.2

4.4

4.6

4.8

5

n = 0.8n = 1.0n = 1.1

ε

tQ

LNcR

QQ tt =

104

Figura 4.8 – Capacidade de carga adimensional F em função do índice de característica reológica n . ( L/D =1 )

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

n = 0.8n = 1.0n = 1.1

ε

F

20

1

RLmU

cFF

n

n+=

103

Figura 4.7 - Número de Sommerfeld S em função do índice de característica reológica n . ( L/D =1 )

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1

1.5

n = 0.8n = 1.0n = 1.1

ε

S

F

mS

π=

102

Figura 4.6 – Distribuição de pressão no plano médio do mancal em função dosCasos térmicos, para L/D = 1, n = 1,1 e ε = 0,7

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 2200

1

2

3

4

5

6

Caso isoté rmicoCaso intermediá rioCaso adiabá tico

P

)(grausθ

21

0

= −

c

R

c

Um

PP

n

ω

95

Figura 4.5 – Distribuição de pressão adimensional no plano médio do mancal em funçãodos casos térmicos, para L/D = 1, n = 1,0 e ε = 0,7

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 2200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

Caso isoté rmicoCaso intermediá rioCaso adiabá tico

P

)(grausθ

21

0

= −

c

R

c

Um

PP

n

ω

94

Figura 4.4 – Distribuição de pressão adimensional no plano médio do mancal em função dos casos térmicos, para L/D = 1, n = 0,8 e ε = 0,7

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 2200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Caso Isoté rmicoCaso Intermediá rioCaso adiabá tico

P

)(grausθ

21

0

= −

c

R

c

Um

PP

n

ω

93

Figura 4.3 – Capacidade de carga adimensional do mancal em função dos casos térmicos, para L/D = 1 e n = 1,1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Caso Isoté rmicoCaso Intermediá rioCaso Adiabá tico

F

ε

20

1

RLmU

cFF

n

n+=

9192


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

2

4

6

8

10

12

14

16

Caso Isoté rmicoCaso Intermediá rioCaso Adiabá tico

F

ε

20

1

RLmU

cFF

n

n+=

9091


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Caso IsotermicoCaso Intermediá rioCaso Adiabatico

F

ε

20

1

RLmU

cFF

n

n+=

90

174

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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54

3.2 – Discretização por Diferenças Finitas da Equação de Reynolds

Para colocar a equação (3.10b) na forma de diferenças finitas devemos

discretizar a distribuição de pressão ( ( )zPP ,θ= ), conforme mostra a figura 3.1.

Figura 3.1 – Malha para a solução computacional

Onde:

i = 1, 2, 3, ....., 1+s ;

j = 1, 2, 3, ....., 1+t ;

s é o número de intervalos na direção circunferencial ;

t é o número de intervalos na direção axial ;

1+s é o número de nós na direção circunferencial ;

1+t é o número de nós na direção axial.

Desta forma, a posição circunferencial e a posição axial de cada ponto nodal

é dada por:

Pi-1,jj

3

1

2

0

1 2 3 4

0

t+1

t

j

1

z

Pi+1,j

i s

Pi,j-1

s+1 i

Pi,j

Pi,j+1

sπθ 2=∆

tz 1=∆

π2 θ'θπ +

55

( ) ( )s

iiπθθ 2

11 −=∆−= (3.12a)

( ) ( )t

jzjz

11

−=∆−= (3.12b)

Substituindo-se a equação (3.12a) nas equações (3.11a) e (3.11c), obtém-se:

( ) ( )

( )

−+

−+−

=

si

sin

Ai πε

πε

21cos1

21sen2

(3.13a)

( )

( )2

21cos1

21sen6

+

−+

−−

=ni

si

sinm

Cπε

πε (3.13b)

As condições de contorno de Reynolds na forma adimensional, dadas pelas

equações (3.4a) e (3.4b), podem ser representadas graficamente como mostra a

figura 3.2.

(a) (b)

Figura 3.2– (a) distribuição adimensional de pressão no plano médio do mancal

(b) condições de contorno de pressão no plano ( )z,θ

0

z

0=P

1 0=P

0=P

π2'θπ +θ

P

00 π

θπ2'θπ +

0=P

56

Para colocar os diferenciais parciais da grandeza P em forma de diferenças

finitas desenvolve-se em série de Taylor a grandeza P , da seguinte forma:

Na direção θ tem-se que;

....!2

2

2

2

,,1 +∆∂∂+∆

∂∂+=+

θθ

θθ

PPPP jiji (3.14a)

....!2

2

2

2

,,1 +∆∂∂+∆

∂∂−=−

θθ

θθ

PPPP jiji (3.14b)

ou

)(!2

31

2

2

2

,,1 θθθ

θθ

∆+∆∂∂+∆

∂∂+=+ E

PPPP jiji (3.15a)

)(!2

32

2

2

2

,,1 θθθ

θθ

∆+∆∂∂+∆

∂∂−=− E

PPPP jiji (3.15b)

onde )( 31 θ∆E e )( 3

2 θ∆E representam erros de terceira ordem.

Subtraindo-se a equação (3.15a) de (3.15b), obtém-se:

( )21,1,1 2 EEP

PP jiji −+∆∂∂=− −+ θθ

(3.16a)

assim,

( )θθθ ∆

−+

∆−

=∂∂ −+

2212,1,1 EEPPP jiji

(3.16b)

O segundo termo do lado direito da equação (3.16b) representa erros de

segunda ordem, os quais são desprezados resultando em:

57

θθ ∆−

=∂∂ −+

2,1,1 jiji PPP

(3.17)

Somando-se as equações (3.15a) e (3.15b), obtém-se:

( )43

2

2

2

,,1,1 !222 EE

PPPP jijiji ++∆

∂∂+=+ −+

θθ

(3.18a)

assim,

( )243

2

,1,,1

2

2 2

θθθ ∆+

+∆

+−=

∂∂ −+ EEPPPP jijiji

(3.18b)

Sendo E 3 e E 4 erros de quarta ordem, o segundo termo do lado direito da

equação (3.18b) representa erros de segunda ordem, os quais são desprezados

resultando em:

2,1,,1

2

2 2

θθ ∆

+−=

∂∂ −+ jijiji PPPP

(3.19)

Analogamente, na direção z , tem-se:

z

PP

z

P jiji

∆−

=∂∂ −+

21,1,

(3.20)

e

21,,1,

2

2 2

z

PPP

z

P jijiji

∆

+−=

∂∂ −+

(3.21)

Substituindo-se as equações (3.17), (3.19) e (3.21) na equação (3.10b),

obtém-se:

58

ijijiji

jijijijijii

Cz

PPPB

PPPPPA

=

∆

+−+

+

∆

+−+

∆−

−+

−+−+

2,1,1,

2,1,,1,1,1

2

2

2 θθ (3.22)

Manipulando-se algebricamente e explicitando-se jiP , , obtém-se:

( )[ ] ( )[ ]{( ) } ( )[ ]222

1,1,

22,1

2,1

2,

42

222

θθ

θθθ

∆+∆∆++

+∆∆−∆∆−+∆+∆=

+−

−+

BzBPP

zCPzAPzAP

jiji

ijiijiiji (3.23)

ou

( ) ijijijiijiiji CPPCPCPCP 4321 1,1,,1,1, ++++= −+−+ (3.24)

onde :

)(4

122 θ∆+∆

=Bz

D (3.25a)

( )[ ]DzAC ii221 ∆+∆= θ

(3.25b)

( )[ ]DzAC ii222 ∆∆−= θ

(3.25c)

DBC )2(3 2θ∆= (3.25d)

DzCC ii )2(4 22∆∆−= θ (3.25e)

A equação (3.24) é a equação de Reynolds discretizada na forma de

diferenças finitas.

Conforme as condições de contorno estabelecidas anteriormente, as

pressões nodais, jiP , , serão sempre nulas ou positivas. Com relação a 0=∂∂θP

em

59

0=θ e 'θπθ += , é uma condição natural e satisfeita automaticamente, veja

Pinkus e Sterlicht [31].

Assim,

∀+==∀+==

=itjejpara

jsieiparaP ji ,11

,110, (3.26)

No caso de um programa computacional, a condição de contorno é imposta

fazendo-se 0, =jiP ( para 1=i a 1+s e 1=j a 1+t ). Assim, as pressões

nodais jiP , serão calculadas para 2=i a s e 2=j a t , obedecendo o seguinte

critério: se 0, ≤jiP , fazer 0, =jiP .

Conforme pode-se observar, a equação (3.24) representa um sistema de

equações algébricas, o qual é solucionado no presente trabalho utilizando-se o

método iterativo de Gauss-Seidel. No nosso caso específico é utilizado também o

esquema de sobre-relaxação sucessiva (SOR). O objetivo do método SOR é

acelerar o processo de convergência das pressões nodais (obtidas através do

método de Gauss-Seidel), podendo também resultar em uma considerável

desaceleração caso o fator de sobre-relaxação não seja o mais adequado. O

esquema de cálculo é o seguinte:

)()1( 1,,

1,,

−− −−+= kji

kjiot

kji

kji PPWPP (3.27)

sendo,

ikji

kji

kjii

kjii

kji CPPCPCPCP 4)(321 1,

11,,1

1,1, ++++= −

−+−

−+ (3.28)

onde;

k = 1, 2, 3, ...... representa as iterações;

k indica a iteração atual;

1−k indica a iteração anterior;

otW é o fator de sobre-relaxação

60

O valor de otW normalmente está compreendido entre 1 e 2. Uma das formas

de prever o valor de otW é o proposto por Lloyd e McCallion [32];

( )

−−=2

2/12112

αα

otW (3.29)

onde,

+

+

−=2

2

22

2

4

1

L

Nds

L

d

π

ππ

α (3.30)

Como em toda solução através de um método iterativo, os cálculos são

repetidos até a convergência. Para tanto, é necessário que se imponha um critério

de parada, o qual pode ser estabelecido pela seguinte equação;

kji

kji

kji PPP ,

1,, Ψ≤− − (3.31)

onde Ψ é o fator de convergência (“erro”) do processo iterativo.

De posse da distribuição de pressão, podem-se determinar vários outros

parâmetros de interesse à análise preditiva do comportamento operacional de um

mancal radial hidrodinâmico, tais como: capacidade de carga, vazões, coeficiente de

atrito, número de Sommerfeld, etc.

3.3 – Cálculo dos Parâmetros Resultantes

3.3.1 – Capacidade de carga

A figura 3.3 mostra a distribuição de pressão e as componentes de carga

radial, Fr , e tangencial, Ft , de um mancal radial hidrodinâmico.

61

A capacidade de carga, F , do mancal pode ser representada em termos de

suas componentes radial e tangencial, da seguinte forma:

22 FtFrF += (3.32)

e o ângulo de carga (atitude) φ é dado por:

= −Fr

Ft1tanφ (3.33)

A componente radial da capacidade de carga, Fr , é calculada como segue:

∫ ∫==L

dzdRPFFr0

2

0coscos

πθθθ (3.34)

Considerando os parâmetros adimensionais definidos pelas equações (3.1),

pode-se obter a componente radial adimensional da capacidade de carga, rF :

∫ ∫==+ 1

0

2

020

1

cos zddPRLmU

cFrrF

n

n

θθπ

(3.35)

Analogamente, a componente tangencial da capacidade de carga, Ft , é dada

por:

∫ ∫==L

zddRPFFt0

2

0sensen

πθθθ (3.36)

Na forma adimensional:

∫ ∫==+ 1

0

2

020

1

sen zddPRLmU

cFttF

n

n

θθπ

(3.37)

62

Figura 3.3

63

Logo, a capacidade de carga adimensional, F , é dada por:

222

0

1

tFrFRLmU

cFF

n

n

+==+

(3.38)

Assim, para calcular a capacidade de carga adimensional, F , é necessário

resolver as equações (3.35) e (3.37), obtendo-se as suas componentes radial, rF , e

tangencial, tF . A resolução destas equações é efetuada através da regra de

integração numérica de Simpson. Das equações (3.12) sabe-se que:

( ) ( )s

iiπθθ 2

11 −=∆−= (3.39a)

( ) ( )t

jzjz

11

−=∆−= (3.39b)

Utilizando-se das equações (3.39) pode-se reescrever a equação (3.35), a

qual determina a componente radial da capacidade de carga do mancal, da seguinte

forma:

( )∫ ∫+=

=

+=

=

−=

1

1

1

1,

21cos

tj

j

si

iji zdd

siPrF θπ

(3.40)

Tomando-se a primeira integral, tem-se:

( )∫+=

=

−=

1

1, 1

2cos

si

ijij di

sPrF θπ

(3.41)

Pela regra de integração numérica de Simpson, mostrada no apêndice A3,

tem-se que:

+++= ∑ ∑

=

−

=−

n

k

n

k

kknj ffffrF1

1

1

21220 243

δ (3.42)

64

onde:

s

πθδ 2=∆= (3.43a)

010 == Pf (3.43b)

012 == +sn Pf (3.43c)

∑∑+=

=−−

=−

−=+++=

12

2

221231

1

1232

2cos.........si

i

in

n

k

k s

iPffff π (3.43d)

∑∑=

=−−

−

=

−=+++=

2

2

122242

1

1

222

2cos.........si

i

in

n

k

k s

iPffff π (3.43e)

Portanto, aplicando-se a regra de Simpson, a equação (3.41) toma a seguinte

forma:

∑∑+=

=−

=

=−

−+

−=

12

2

22

2

2

1232

2cos3

8222cos

3

4si

i

i

si

i

ij s

iP

ss

iP

srF ππππ

(3.44)

e, a equação (3.40):

∫+=

==

1

1

tj

jj zdrFrF (3.45)

Substituindo-se agora a equação (3.44) na equação (3.45), obtém-se a

componente radial da capacidade de carga, rF , do mancal. Para isso, deve-se

aplicar novamente a regra de Simpson integrando-se jrF em relação a z .

Analogamente, tem-se:

65

tz1=∆=δ (3.46a)

10 Frf = (3.46b)

12 += tn Frf (3.46c)

∑∑+=

=−−

=− =+++=

12

2

221231

1

12 ......tj

j

jn

n

k

k Frffff (3.46d)

∑∑=

=−−

−

=

=+++=2

2

122242

1

1

2 ......tj

j

jn

n

k

k Frffff (3.46e)

Portanto, aplicando-se novamente a regra de Simpson, a equação (3.45)

toma a seguinte forma:

+++= ∑∑

+=

=−

=

=−+

12

222

2

21211 42

3

1tj

jj

tj

jjt FrFrFrFr

trF (3.47)

Utilizando-se das equações (3.39) pode-se reescrever a equação (3.37), a

qual determina a componente tangencial da capacidade de carga do mancal, da

seguinte forma:

( )∫ ∫+=

=

+=

=

−=

1

1

1

1,

21sen

tj

j

si

iji zdd

siPtF θπ

(3.48)

Através de um procedimento análogo ao cálculo da componente radial da

capacidade de carga, obtém-se que:

+++= ∑∑

+=

=−

=

=−+

12

222

2

21211 42

3

1tj

jj

tj

jjt FtFtFtFt

ttF (3.49)

66

3.3.2 – Posição Angular da Espessura Mínima do Filme de Óleo

A posição angular da linha de ação da carga,F , com relação à posição de

espessura mínima do filme de óleo (ponto de maior proximidade entre o eixo e o

mancal) é o ângulo de carga φ . De acordo com a figura 3.3, tem-se:

= −Fr

Ft1tanφ (3.50a)

ou

= −rF

tF1tanφ (3.50b)

3.3.3 – Número de Sommerfeld

O Número de Sommerfeld ou número característico do mancal, S , é um

agrupamento adimensional dos parâmetros independentes fixados pelo projetista o

qual é definido pela seguinte relação:

2

=c

R

P

NS

µ (3.51)

onde :

Ld

FP = , é a pressão específica média do mancal e,

1−

=

n

c

Umµ , de acordo com a hipótese de alta dominância de Couette.

Assim,

21

=

−

c

R

c

U

F

mNLdS

n

(3.52)

67

Substituindo-se a equação (3.38) na equação (3.52) e lembrando que

dNU π= e 0m

mm = , obtém-se:

F

mS

π= (3.53)

3.3.4 – Força de Atrito e Coeficiente de Atrito

Até mesmo na lubrificação hidrodinâmica plena, na qual ocorre a separação

total entre as superfícies do eixo e da bucha, há uma resistência à rotação do eixo

devido ao cisalhamento do filme de óleo lubrificante, onde a tensão de cisalhamento

é dada por:

y

u

y

um

n

∂∂

∂∂=

−1τ (3.54)

Conforme a geometria definida na figura 2.1, a taxa de deformação y

u

∂∂

é

negativa, com isso a equação (3.54) pode ser reescrita da seguinte forma:

n

y

um

∂∂−−=τ (3.55)

Da equação (2.39) tem-se que:

( )hyyx

P

U

h

mnh

yUu

n

−∂∂

+

−=

−2

1

2

11 (3.56)

onde :

( )h

U

x

Phy

U

h

mny

u n

−∂∂−

=

∂∂ −

22

1 1

(3.57)

68

Assim, a tensão de cisalhamento em 0=y é dada por:

nn

y

n

y h

U

x

P

U

h

nm

hm

y

um

+

∂∂

−=

∂∂−−=

−

==

1

0

0 2τ (3.58)

A expressão que fornece a força de atrito, Fa , é obtida integrando-se a

tensão cisalhante, τ , ao longo da superfície do mancal, da seguinte forma:

∫ ∫=L R

dzdxFa0

2

0

πτ (3.59)

Substituindo-se a expressão (3.58) na equação (3.59), obtém-se:

∫ ∫

+

∂∂

−=

−L Rnn

dzdxh

U

x

P

U

h

mn

hmFa

0

2

0

1

2

π (3.60)

A equação (3.60) pode ser rescrita na sua forma adimensional utilizando-se

para isso os parâmetros adimensionais definidos nas equações (3.1), obtendo-se

assim:

zddP

nm

H

H

m

c

URLm

FaaF

nn

nnθ

θ

π

+

∂∂−=

=+

∫ ∫ 12

11

0

2

0

0

(3.61)

A solução da equação (3.61) é realizada utilizando-se a regra de integração

numérica de Simpson, mostrada no apêndice A3. Utilizando-se as equações (3.39)

pode-se reescrever a equação (3.61), obtendo-se assim:

zddP

nm

H

H

maF

tj

j

nsi

i

jini

ni

θθ∫ ∫

+=

=

+=

=

+

+

∂∂

−=1

1

1

1

,1

12

(3.62)

Tomando-se a primeira integral, tem-se:

69

θθ

dP

nm

H

H

maF

nsi

i

jini

ni

j ∫+=

=

+

+

∂∂

=1

1

,1

12

(3.63)

Aplicando-se a regra de Simpson, tem-se:

s

πδ 2= (3.64a)

nn

n

PP

nm

H

H

mf

+

∆−=

+1

212

11

10 θ

(3.64b)

nss

ns

ns

nPP

nm

H

H

mf

+

∆

−= +

++

+1

21

11

12 θ

(3.64c)

ns

i

iini

ni

n

n

k

kPP

nm

H

H

mffff ∑∑

+

=

−−+−

−−

=−

+

∆−=+++=

12/

2

3212122

221231

1

12 122

...θ

(2.64d)

ns

i

iini

ni

n

n

k

kPP

nm

H

H

mffff ∑∑

=

−+−

−−

−

=

+

∆

−=+++=

2/

2

222112

122242

1

1

2 122

.....θ

(2.64e)

Portanto, a equação (3.63) resulta em:

( )

ns

i

iini

ni

ns

i

iini

ni

nj

PP

nm

H

H

m

s

PP

nm

H

H

m

sff

saF

∑

∑+

=

−−+−

−

=

−+−

−

+

∆−

+

+

+

∆

−++=

12/

2

3212122

22

2/

2

222112

1220

1223

8

1223

4

3

2

θπ

θππ

(3.65)

Assim, a equação (3.62) toma a seguinte forma:

70

∫+=

=−=

1

1

tj

jj zdaFaF (3.66)

Aplicando –se novamente a regra de Simpson, tem-se:

t

1=δ (3.67a)

10 Faf = (3.67b)

12 += tn Faf

22

12/

2

1231

1

12 ..... −

+

=−

=− ∑∑ =+++= j

t

j

n

n

k

k Faffff (3.67c)

∑∑=

−−

−

=

=+++=2/

2

122242

1

1

2 .....t

j

jn

n

k

k Faffff (3.67d)

Finalmente, a expressão para o cálculo da força de atrito adimensional, aF ,

resulta em:

+++= ∑ ∑

=

+

=−−+

2/

2

12/

2221211 42

3

1t

j

t

jjjt FaFaFaFa

taF (3.68)

O coeficiente de atrito, f , conforme a definição básica, é a relação direta e

unívoca entre a força de atrito e a carga aplicada no mancal. Em termos dos

parâmetros adimensionais, tem-se:

F

aFf = (3.69)

71

Para o caso de lubrificação plena o coeficiente de atrito, f , é da ordem de

0,001. Assim, por questões de grafia, costuma-se multiplicar f por

c

R, que é da

ordem de 103. Portanto:

F

aF

c

R

c

Rf

=

(3.70)

3.3.5 – Perda de Potência

A perda de potência devido ao atrito viscoso gerado pelo movimento do eixo é

igual ao produto da força de atrito,Fa , pela velocidade tangencial,U . Assim, pode-

se escrever:

FaUH f = (3.71)

De acordo com a equação (3.61), a perda de potência adimensional, fH , é

dada por:

Uc

URLm

HH

nf

f

=

0

(3.72)

3.3.6 – Vazões de lubrificante

As vazões de lubrificante em um mancal radial hidrodinâmico podem ser

divididas, ou classificadas, nas seguintes componentes:

- Vazão de suprimento, sQ ;

72

- Vazão circunferencial de entrada ou vazão total, tQ , na posição de espessura

máxima do filme;

- Vazão lateral ou axial, lQ ;

- Vazão circunferencial de saída ou vazão de recirculação, recQ , na posição

'θπθ += .

De acordo com a figura 3.4, pode-se estabelecer as seguintes relações entre

as vazões acima definidas:

rectl QQQ −= (3.73)

e

sl QQ = (3.74)

A vazão circunferencial na entrada da cunha de óleo lubrificante, tQ , na

posição angular 0=θ , pode ser calculada pela seguinte equação:

dzqQL

xt00 =

∫=θ

(3.75)

Substituindo-se a equação (2.51a) na equação (3.75), obtém-se:

dzx

P

mnU

hhUQ

L

n

n

t

00 1

2

122=

−

+

∫

∂∂−=

θ

(3.76)

Lembrando-se da hipótese de escoamento com alta dominância de Couette;

11 −−

=

∂∂=

nn

c

Um

y

umµ (3.77)

a equação (3.76) toma a seguinte forma:

73

Figura 3.4

74

dzx

P

cn

hUhQ

L

n

n

t ∫=

−

+

∂∂−=

00

1

2

122θµ

(3.78)

Definindo-se como viscosidade aparente adimensional a relação;

1

0

−

=

n

U

c

m

µµ (3.79)

e substituindo os parâmetros adimensionais definidos pelas equações (3.1) e (3.79)

na equação (3.78), obtém-se a vazão total na sua forma adimensional:

0

1

0

2

6=

+

∂∂−== ∫

θθµ

ππ zdP

n

HH

LNcR

QQ

nt

t (3.80)

De acordo com a equação (3.6b) a equação (3.80) resulta em:

( ) ( ) ∫ ∂∂+−+==

+ 1

0

2

6

11 zd

P

nLNcR

QQ

nt

t θµεπεπ (3.81)

A equação de aproximação de diferenças progressivas de três pontos,

equação (A4.11) do Apêndice A4, estabelece que:

( ) ( ) ( )[ ]θθθθθθθ

PPPP

3242

1 −∆+−∆+∆

=∂∂

(3.82)

Utilizando-se das equações (3.39) e da equação (3.82) a integral do segundo

termo da equação (3.81), toma a seguinte forma:

( )∫∫+=

==−−=

∂∂ 1

1,1,3,2

1

0 0

344

tj

jjjj zdPPP

szd

P

πθ θ (3.83)

A equação (3.83) é resolvida utilizando-se a regra de integração numérica de

Simpson, de tal forma que:

75

t

1=δ (3.84a)

[ ]1,11,31,20 344

PPPs

f −−=π

(3.84b)

[ ]1,11,31,22 344 +++ −−= tttn PPPs

fπ

(3.84c)

∑∑+

=−−−−

=− −−=+++=

12

2

22,122,322,21231

1

12 344

...t

j

jjjn

n

k

k PPPs

ffffπ

(3.84d)

∑∑=

−−−−

−

=

−−=+++=2

2

12,112,312,22242

1

1

2 344

...t

j

jjjn

n

k

k PPPs

ffffπ

(3.84e)

Portanto a equação (3.83), resulta em:

[ ] [ ]

−−+

+

−−+

+−− +−−=

∂∂

∑

∑

∫

+

=−−−

=−−−

+++=

12

2

22,122,322,2

2

2

12,112,312,2

1,11,31,21,11,31,2

1

0 0

344

4

344

2

344

3443

1

t

j

jjj

t

j

jjj

ttt

PPPs

PPPs

PPPs

PPPs

tzd

P

π

π

ππθ θ

(3.85)

Finalmente, a equação (3.81) que fornece a vazão circunferencialadimensional na entrada da cunha de óleo, tQ , é dada por:

76

( ) ( ) [ ]{

[ ]

−−+

+

−−+−−

+−−+−+=

∑

∑

+

=−−−

=−−−+++

+

12

2

22,122,322,2

2

2

12,112,312,21,11,31,2

1,11,31,2

2

344

34234

34126

11

t

j

jjj

t

j

jjjttt

n

t

PPP

PPPPPP

PPPt

s

nQ

µεεπ

(3.86)

A vazão circunferencial na saída da cunha de óleo lubrificante ou vazão de

recirculação, recQ , na posição angular 'θπθ += , é calculada pela seguinte

equação:

dzqQL

xrec'0 θπθ +=

∫= (3.87)

Substituindo-se a equação (2.51a) na equação (3.87), obtém-se:

dzx

P

cn

hhUQ

L

n

n

rec ∫+=

−

+

∂∂−=

0'

1

2

122θπθµ

(3.88)

Substituindo os parâmetros adimensionais definidos pelas equações (3.1) e

(3.79) na equação (3.88), obtém-se a vazão de recirculação na sua forma

adimensional:

'

1

0

2

6θπθ

θµππ

+=

+

∂∂−== ∫ zdP

n

HH

LNcR

QQ

nrec

rec (3.89)

De acordo com a equação (3.6b), a equação (3.89) resulta em:

77

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ∫ ∂∂++−++==

+ 1

0

2

6

'cos1'cos1 zd

P

nLNcR

QQ

nrec

rec θµθπεπθπεπ (3.90)

De acordo com a equação (3.39a), para 'θπθ += , ( )

'12

'i

si =++=

πθπ

.

É importante observar que o valor de 'θ é calculado em função da posição

nodal i cujo primeiro valor de pressão seja nulo ou negativo.

De acordo com as equações (3.39a) e (3.39b), a equação (3.90) toma a

seguinte forma:

[ ] zdPPPs

zdP

ji

tj

jjiji ,'

1

0

1

1,2',1'

'

344

−−=∂∂∫ ∫

+=

=++

+= πθ θπθ (3.91)

A integral da equação (3.91) é resolvida utilizando-se regra de integração

numérica de Simpson, de tal forma que:

t

1=δ (3.92a)

[ ]1,'1,2'1,1'0 344 iii PPPs

f −−= ++π (3.92b)

[ ]1,'1,2'1,1'2 344 +++++ −−= tititin PPPs

fπ

(3.92c)

(

)22,'22,2'

12

2

22,1'1231

1

12

3

44

...

−−+

+

=−+−

=−

−−

+=+++= ∑∑jiji

t

j

jin

n

k

k

PP

Ps

ffffπ (3.92d)

(

)12,'12,2'

2

2

12,1'2242

1

1

2

3

44

...

−−+

=−+−

−

=

−−

+=+++= ∑∑jiji

t

j

jin

n

k

k

PP

Ps

ffffπ

(3.92e)

78

Portanto, a equação (3.91), resulta em:

[ ]{

[ ]

( )

( )

−−++

+

−−+

+−−+

+−−=∂∂

−−+

+

=−+

−−+=

−+

+++++

+++=

∑

∑

∫

22,'22,2'

12

2

22,1'

12,'12,2'

2

212,1'

1,'1,2'1,1'

1,'1,2'1,1'

1

0 '

344

342

34

3412

jiji

t

j

ji

jiji

t

jji

tititi

iii

PPP

PPP

PPP

PPPt

szd

P

πθ θπθ

(3.93)

Finalmente, a equação (3.90) que fornece a vazão circunferencialadimensional na saída da cunha de óleo, recQ , é dada por:

( )( ) ( )( )

[ ]{ [ ]

−−+

+

−−+

+−−+−−

⋅++−++=

∑

∑

+

=−−+−+

=−−+−+

+++++++

+

12

2

22,'22,2'22,1'

2

2

12,'12,2'12,1'

1,'1,2'1,1'1,'1,2'1,1'

2

344

342

343412

6

'cos1'cos1

t

j

jijiji

t

j

jijiji

tititiiii

n

rec

PPP

PPP

PPPPPPt

s

nQ

µθπεθπεπ

(3.94)

Devido ao gradiente axial de pressão, certa parte do lubrificante escoa

axialmente para as laterais do mancal, constituindo a vazão lateral ou axial, lQ , a

qual é calculada por:

79

rectsl QQQQ −== (3.95)

ou, na forma adimensional:

rectl

l QQNLcR

QQ −== (3.96)

3.3.7 – Elevação de temperatura do óleo lubrificante

A elevação de temperatura do óleo lubrificante, desde a posição φθ −= até a

posição φπθ −= 2 , é calculada aqui fazendo-se uso da Teoria Adiabática de Coop

[33], a qual admite que todo o calor gerado no mancal pelo atrito viscoso do fluido é

totalmente transferido para o óleo lubrificante e é então retirado por este através da

vazão lateral, ou axial; conforme mostra a figura 3.4.

Esta hipótese de mancal com superfícies adiabáticas proporciona um caráter

conservativo à solução de problemas de lubrificação hidrodinâmica, uma vez que se

considera uma elevação de temperatura do óleo lubrificante acima da real. Desta

forma, tanto a viscosidade efetiva do óleo lubrificante quanto a capacidade de carga

do mancal são subestimadas.

A elevação de temperatura do óleo lubrificante é calculada em função do

trabalho realizado sobre o mesmo, ou seja fazendo-se um balanço de energia no

mancal, da seguinte forma:

lplrecprecmistptf TCQTCQTCQH ρρρ +=+ (3.97)

Considerando que a temperatura lT do óleo lubrificante que sai pela lateral do

mancal é igual à temperatura efetiva do filme de óleo, efT , dada pela equação

(2.62), obtém-se para 5,0=λ :

80

2

TTT mistef

∆+= (3.98)

sendo a elevação de temperatura T∆ e a temperatura de mistura mistT dadas

respectivamente pelas equações (2.63) e (2.64).

Assim, da equação (2.63) tem-se:

mistrec TTT −=∆ (3.99)

Substituindo a equação (3.99) na equação (3.98), obtém-se:

( )mistrecmistef TTTT −+=2

1 (3.100)

e, da equação (3.95) tem-se:

ltrec QQQ −= (3.101)

Substituindo-se agora as equações (3.100) e (3.101) na equação (3.97),

resulta:

( )

+

+−=+2

recmistplrecpltmistptf

TTCQTCQQTCQH ρρρ (3.102)

Reagrupando os termos e considerando a equação (3.99), pode-se rescrever

a equação (3.102) da seguinte forma:

2

TCQTCQH plptf

∆−∆= ρρ (3.103)

Portanto, a elevação de temperatura do óleo, T∆ , será dada por:

81

−

=∆

t

ltp

f

Q

QQC

HT

2

11ρ

(3.104)

Sendo af FUH = onde; NRU π2= e dLPfFfFa == pode-se definir

a elevação de temperatura adimensional pela seguinte relação:

−

=∆

=∆

t

lt

p

Q

QQ

NRLf

P

TCT

2

11

4 2πρ (3.105)

Escrevendo de uma outra forma vem:

−

=∆

=∆

t

lt

p

Q

QLNcR

Qc

Rf

P

TCT

2

11

4πρ (3.106)

3.3.8 – Pressão máxima e posição angular de máxP

Uma vez determinada a distribuição de pressão nos pontos nodais do domínio

computacional, é possível obter a pressão hidrodinâmica máxima, máxP , ao longo da

superfície do mancal. Devido a hipótese de simetria axial (mancal perfeitamente

alinhado), esta pressão hidrodinâmica máxima estará localizada no plano médio do

mancal. Pode–se também determinar o ângulo da posição de pressão máxima,

maxθ , medido a partir da linha de centros '00 , conforme figura 3.3. Deve-se ressaltar

que o grau de precisão de máxP e maxθ , ou seja, a localização do ponto onde

0=∂∂θP

, tem relação direta com o grau de refinamento adotado na definição da

malha do domínio computacional.

82

O ângulo de posição da pressão máxima medido a partir da linha de ação da

carga, maxPθ , será dado, conforme figura 3.3, por:

φπθθ +−= maxmaxP (3.107)

onde, φ é o ângulo de carga dado pela equação (3.50b).

24

CAPÍTULO 2

FORMULAÇÃO DO PROBLEMA

2.1 - Dedução da Equação Bidimensional de Reynolds Modificada para

Fluidos Não-Newtonianos, Modelo Power Law

Seja o sistema de eixos em coordenadas cartesianas mostrado na figura

2.1 onde duas superfícies quaisquer, em movimento relativo, são separadas por

um filme fluido de espessura ( )zxhh ,= .

yy

h

xx

z

v

wu

Figura 2.1 - Superfícies em movimento relativo

As condições de contorno de velocidade consideradas são:

0,0,0: ==== wvuhy (2.1a)

0,0,:0 ==== wvUuy (2.1b)

onde u , v e w são as componentes de velocidade nas respectivas direções x , y

e z dos eixos coordenados.

25

Para deduzir a equação isotérmica de Reynolds da lubrificação

hidrodinâmica para fluidos não-newtonianos modelo power law, proposta por Dien

e Elrod [13] a imposição de algumas hipóteses simplificadoras, usuais da

lubrificação hidrodinâmica, são necessárias. A definição destas hipóteses e a sua

imposição na equação da continuidade e nas equações da conservação da

quantidade de movimento estão mostradas no Apêndice A1, o que resulta nas

seguintes equações:

Equação da continuidade

0=∂∂+

∂∂

z

w

x

u (2.2)

Equações da conservação da quantidade de movimento

na direção x :

yx

P yx

∂∂

=∂∂ τ

(2.3a)

na direção y :

0=∂∂

y

P (2.3b)

na direção z :

yz

P yz

∂

∂=

∂∂ τ

(2.3c)

A equação (2.3b) indica que a pressão hidrodinâmica P depende apenas

de x e z , isto é, ),( zxPP = . Isto equivale a considerar apenas as tensões no

plano zx ( yxτ e yzτ ).

26

Conforme Bird et alli [28] a relação entre a tensão de cisalhamento e a taxa

de deformação, ou seja, a equação constitutiva de um fluido incompressível não-

Newtoniano, modelo power law, é dada por:

( ) ij

n

ijijij dddm 2

1:2

−=τ (2.4)

sendo a viscosidade aparente µ dependente do segundo invariante do tensor

taxa de deformação, a qual é dada por:

( ) 2

1:2

−=

n

ijij ddmµ (2.5)

onde m é a viscosidade absoluta ou dinâmica a uma temperatura T qualquer,

ijd é o tensor taxa de deformação, ijij ddI := é o segundo invariante do tensor

taxa de deformação, ji , são índices relacionados aos eixos coordenados

),,( zyx e n é o índice de característica reológica do fluido.

O segundo invariante do tensor taxa de deformação ( jiij dd : ) é simétrico,

e é calculado da seguinte forma;

2222223

1

3

1

222: yzxzxyzzyyxx

i j

ijijijij ddddddddddI +++++=== ∑∑= =

(2.6)

onde, o tensor taxa de deformação é dado por;

∂∂

+

∂∂=

i

j

j

iij X

U

X

Ud

2

1 (2.7)

assim,

27

x

udxx ∂

∂= (2.8a)

y

vd yy ∂

∂= (2.8b)

z

wdzz ∂

∂= (2.8c)

∂∂+

∂∂==

x

v

y

udd yxxy 2

1 (2.8d)

∂∂+

∂∂==

z

u

x

wdd zxxz 2

1 (2.8e)

∂∂+

∂∂==

y

w

z

vdd zyyz 2

1 (2.8f)

Considerando as hipóteses simplificadoras 3 e 4 definidas no Apêndice A1,

o segundo invariante ou o duplo produto interno do tensor taxa de deformação

resulta em:

∂∂+

∂∂==

22

2

1:

y

w

y

uddI ijij (2.9)

Da equação (2.4) e (2.5) tem-se que;

ijij dµτ = (2.10)

assim,

28

y

u

y

um

n

yx ∂∂

∂∂=

−2

12

τ (2.11a)

e

y

w

y

wm

n

yz ∂∂

∂∂=

−2

12

τ (2.11b)

Para dar uma maior generalidade à formulação do problema, costuma-se

escrever as equações (2.11a) e (2.11b) da seguinte forma:

y

u

y

um

n

yx ∂∂

∂∂=

−1τ (2.12a)

e

y

w

y

wm

n

yz ∂∂

∂∂=

−1τ (2.12b)

onde a viscosidade aparente µ é dada por:

12

12 −

−

∂∂=

∂∂=

nn

y

um

y

umµ (2.13a)

ou

12

12 −

−

∂∂=

∂∂=

nn

y

wm

y

wmµ (2.13b)

Desta forma, pode-se escrever:

29

y

uyx ∂

∂= µτ (2.14a)

e

y

wyz ∂

∂= µτ (2.14b)

Utilizando-se das equações (2.14a) e (2.14b), as equações (2.3a), (2.3b) e

(2.3c) tomam a seguinte forma:

na direção x ,

∂∂

∂∂=

∂∂

y

u

yx

P µ (2.15a)

na direção y ,

0=∂∂

y

P (2.15b)

na direção z ,

∂∂

∂∂=

∂∂

y

w

yz

P µ (2.15c)

Conforme proposto por Dien & Elrod [13], a solução aproximada das

equações (2.15a) e (2.15c) pode ser obtida fazendo-se a hipótese de alta

dominância de Couette no escoamento e utilizando-se o método de pequenas

perturbações. Para tal, admite-se que as variáveis dependentes do problema

possam ser expandidas em termos de uma pequena perturbação, σ . Esta

hipótese inicial é razoável, pois quando a velocidade relativa entre as superfícies

é grande, pode-se aplicar a condição de deslizamento puro, ou seja, considerar

que as taxas de deformação no fluido são geradas principalmente devido ao

movimento relativo entre as superfícies.

30

No caso das componentes de velocidade u e w , a expansão resulta em:

....10 ++= uuu σ (2.16a)

....10 ++= www σ (2.16b)

onde 0u e 0w são as componentes arbitrárias de Couette de acordo com a

hipótese de alta dominância de Couette, 1u e 1w são as componentes de

Poiseuille.

Assim, as condições de contorno de velocidade dadas pelas equações

(2.1a) e (2.1b) tomam a seguinte forma:

0 w ,0 w ,0u,Uu:0y 1010 ===== (2.17a)

0 w ,0 w ,0u,0u:hy 1010 ===== (2.17b)

Considerando agora o segundo invariante do tensor taxa de deformação, a

expansão resulta em:

10 III σ+= (2.18a)

ou

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂+

∂∂=

y

w

y

w

y

u

y

u

y

w

y

uI 1010

20

20 σ (2.18b)

Como a viscosidade é função do segundo invariante, podemos escrever

que:

( )....10 ++= II σµµ (2.19)

A equação (2.18a) indica que I é igual a 0I na sua vizinhança. Portanto,

aplicando a expansão à viscosidade, obtém-se:

31

( ) ( )0

10II

uIII

∂∂+= σµµ (2.20a)

ou

10 µσµµ += (2.20b)

onde;

0

11II

uI

∂∂=µ (2.21)

Das equações (2.13a) e (2.13b), obtém-se:

10

2

12

00

−−

∂∂=

∂∂=

nn

y

um

y

umµ (2.22a)

ou

10

2

12

00

−−

∂∂=

∂∂=

nn

y

wm

y

wmµ (2.22b)

O gradiente de pressão pode também ser expandido em termos de uma

pequena perturbação e determinado da seguinte forma:

....10 +∂∂+

∂∂

=∂∂

xxx

P πσπ

(2.23a)

e

....10 +∂∂+

∂∂

=∂∂

zzz

P πσπ

(2.23b)

onde 0π e 1π são as pressões de referência.

32

Pode-se deduzir que as derivadas x∂

∂ 0π e z∂

∂ 0π são iguais a zero, pois as

componentes 0u e 0w estão relacionadas à hipótese de escoamento com alta

dominância de Couette, a qual depende somente da velocidade relativa entre as

superfícies.

Substituindo-se as equações (2.16a), (2.16b), (2.20b), (2.23a) e (2.23b)

nas equações de movimento (2.15), direções x e z , e considerando 02 ≅σ ,

pode-se chegar as seguintes equações:

na direção x :

∂∂

+∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

y

u

y

u

y

u

yx0

11

00

01 µσµσµπσ (2.24a)

na direção z :

∂∂

+∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

y

w

y

w

y

w

yz0

11

00

01 µσµσµπσ (2.24b)

Lembrando que o parâmetro σ é muito pequeno, pode-se escrever que:

000 =

∂∂

∂∂

y

u

yµ (2.25a)

e

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

y

u

y

u

yx0

11

01 µµπ

(2.25b)

A equação (2.25a) pode ser integrada duas vezes em y , pois 0µ é função

apenas de 0I , ou seja, função de y

u

∂∂ 0 , que possui um valor constante. Portanto,

integrando-se duas vezes a equação (2.25a), obtém-se:

33

02100 =++ CyCuµ (2.26)

Aplicando-se as condições de contorno definidas em (2.17a) e (2.17b),

conclui-se que:

h

UC 01

µ= (2.27a)

e

UC 02 µ−= (2.27b)

Substituindo-se as constantes de integração 1C e 2C na equação (2.26),

obtém-se a componente de velocidade na direção x , devido ao efeito de Couette,

0u :

−=

h

yUu 10 (2.28)

Levando as equações (2.21) e (2.22a) na equação (2.25b), obtém-se:

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

∂∂=

∂∂ −

y

u

yI

y

u

y

um

yx I

n0

0

11

101 µπ

(2.29)

Das equações (2.18a) e (2.18b) obtém-se:

y

u

h

UI

∂∂−= 1

1 (2.30)

Através das equações (2.5) e (2.13a) pode-se obter na vizinhança de 0I , a

seguinte relação:

34

( ) ( ) ( )3

02

32

02

3

00

111−

−−

∂∂−=

∂∂−=−=

∂∂ n

nn

I y

unm

y

unmInm

I

µ (2.31)

Substituindo-se as equações (2.30) e (2.31) na equação (2.29), obtém-se:

( )

∂∂

∂∂

−∂∂

−+

∂∂

∂∂

∂∂=

∂∂ −−

y

u

y

unm

y

u

h

U

y

u

y

um

yx

nn0

3011

101 1

π (2.32)

ou

( )

−−−

∂∂

−+

∂∂−

∂∂=

∂∂ −−

h

U

h

Unm

y

u

h

U

y

u

h

Um

yx

nn 311

11 1

π (2.33)

ou ainda

( )

∂∂

−+

∂∂

∂∂=

∂∂ −−

y

u

h

Unm

y

u

h

Um

yx

nn1

11

11 1

π (2.34)

Reagrupando os termos da equação (2.34), obtém-se:

∂∂

∂∂=

∂∂ −

y

u

h

Unm

yx

n1

11π (2.35a)

ou

xU

h

nmy

u n

∂∂

=

∂∂ −

11

21

2 1 π (2.35b)

Sendo 1π independente de y , pode-se integrar a equação (2.35b) duas

vezes em y , obtendo-se:

35

2121

1

1 2

1CyCy

xU

h

nmu

n

++∂∂

=

− π (2.36)

Aplicando-se as condições de contorno definidas pelas equações (2.17a) e

(2.17b), obtém-se:

xU

h

nm

hC

n

∂∂

−=

−1

1

1 2

π (2.37a)

02 =C (2.37b)

Substituindo-se as equações (2.37a) e (2.37b) na equação (2.36), obtém-

se a componente de velocidade na direção x , devido ao efeito de Poiseuille, 1u :

( )hyyxU

h

nmu

n

−∂∂

=

−21

1

1 2

1 π (2.38)

Levando as equações (2.28) e (2.38) na equação (2.16a) e lembrando que

x

P

x ∂∂=

∂∂ 1πσ , obtém-se o perfil de velocidade na direção x :

( )hyyx

P

U

h

mnh

yUu

n

−∂∂

+

−=

−2

1

2

11 (2.39)

Analogamente ao procedimento adotado para a equação de movimento na

direção x , a equação de movimento na direção z resulta em:

000 =

∂∂

∂∂

y

w

yµ (2.40a)

e

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

y

w

y

w

yz0

11

01 µµπ

(2.40b)

36

Como 0µ independe de y , pode-se integrar a equação (2.40a) duas vezes

em relação a y obtendo-se assim a seguinte equação:

02100 =++ CyCwµ (2.41)

Aplicando-se as condições de contorno definidas em (2.17a) e (2.17b),

obtém-se:

01 =C (2.42a)

e

02 =C (2.42b)

Substituindo-se estas constantes de integração na equação (2.41), obtém-

se a componente de velocidade na direção z , devido ao efeito de Couette, 0w :

00 =w (2.43)

Substituindo-se as equações (2.21) e (2.22b) na equação (2.40b), obtém-

se:

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

∂∂=

∂∂ −

y

w

II

y

w

y

wm

yz I

n0

01

11

01 µπ (2.44a)

ou

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

∂∂=

∂∂ −

y

w

II

y

w

y

um

yz I

n0

01

11

01 µπ (2.44b)

Levando em consideração as equações (2.28) e (2.43), a equação (2.44b)

toma a seguinte forma:

37

∂∂−

∂∂=

∂∂ −

y

w

h

Um

yz

n1

11π (2.45a)

ou

zU

h

my

w n

∂∂

=

∂∂ −

11

21

2 1 π (2.45b)

Como 1π não depende de z , pode-se integrar a equação (2.45b) duas

vezes em y , obtendo-se:

2121

1

1 2

1CyCy

zU

h

mw

n

++∂∂

=

− π (2.46)

Aplicando as condições de contorno definidas em (2.17a) e (2.17b), obtém-

se:

zU

h

m

hC

n

∂∂

−=

−1

1

1 2

π (2.47a)

02 =C (2.47b)

Substituindo-se as equações (2.47a) e (2.47b) na equação (2.46) obtém-se

a componente de velocidade na direção z , devido ao efeito de Poiseuille, 1w :

( )hyyzU

h

mw

n

−∂∂

=

−21

1

1 2

1 π (2.48)

Levando as equações (2.43) e (2.48) na equação (2.16b) e lembrando que

z

P

z ∂∂=

∂∂ 1πσ , obtém-se o perfil de velocidade na direção z :

38

( )hyyz

P

U

h

mw

n

−∂∂

=

−2

1

2

1 (2.49)

Obtidos os perfis de velocidade nas direções x e z , pode-se determinar as

respectivas vazões. Define-se as vazões por unidade de comprimento como:

dyuqh

x ∫= 0 (2.50a)

e

dywqh

z ∫= 0 (2.50b)

Substituindo-se as equações (2.39) e (2.49) respectivamente em (2.50a) e

(2.50b), obtém-se:

x

P

nUm

hUhq

n

n

x ∂∂−= −

+

1

2

122 (2.51a)

e

z

P

mU

hq

n

n

z ∂∂−= −

+

1

2

12 (2.51b)

Integrando-se a equação da continuidade, dada pela equação (2.2), em y ,

de 0 a h , obtém-se:

000

=∂∂+

∂∂ ∫∫ dy

z

wdy

x

u hh (2.52)

Aplicando-se a regra de Leibnitz em cada um dos termos da equação

(2.52) e substituindo as condições de contorno (2.1a) e (2.1b), obtém-se:

39

( )x

q

x

hhudyu

xdy

x

u xh h

∂∂

=∂∂−

∂∂=

∂∂∫ ∫0 0

(2.53a)

( )z

q

z

hhwdyw

zdy

z

w zh h

∂∂=

∂∂−

∂∂=

∂∂∫ ∫0 0

(2.53b)

Substituindo as equações (2.53a) e (2.53b) na equação (2.52), obtém-se:

0=∂∂+

∂∂

z

q

x

q zx (2.54)

Finalmente, substituindo-se as equações (2.51a) e (2.51b) na equação

(2.54), obtém-se a seguinte equação:

x

hU

z

P

m

h

zx

P

nm

h

xn

nn

∂∂=

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂ ++

622

(2.55)

a qual, é a equação bidimensional de Reynolds da lubrificação hidrodinâmica,

modificada para fluidos não-newtonianos modelo power law, proposta por Dien e

Elrold [13].

Observe que quando 1=n , ou seja, quando o óleo lubrificante for

considerado um fluido Newtoniano a equação (2.55) recai na equação clássica de

Reynolds da lubrificação hidrodinâmica.

2.2 – Modelo Físico

A configuração básica de um mancal radial hidrodinâmico em operação e

alguns dos principais parâmetros físicos e geométricos deste são apresentados

na figura 2.2, onde x é coordenada circunferencial, y é a coordenada radial e z

é a coordenada axial.

0

0

40

Conforme pode-se observar na figura 2.2, um mancal hidrodinâmico em

operação apresenta o eixo (munhão) localizado excentricamente em relação a

bucha. Se este mancal estiver perfeitamente alinhado a espessura do filme de

óleo lubrificante é uma função da coordenada circunferencial x , ou seja, ( )xhh = .

O apêndice A2 apresenta a dedução da equação da espessura do filme de óleo

lubrificante, a qual é dada por:

( )θε cos1+= ch (2.56)

onde, R

x=θ , c é a folga radial e ε é a excentricidade específica do mancal.

Ao projetar um mancal radial hidrodinâmico, o projetista fixa previamente

alguns parâmetros, normalmente chamados de parâmetros independentes, os

quais são:

• Diâmetro da bucha, D ;

• Diâmetro do eixo, d ;

• Folga radial, ( )2

dDc

−= ;

• Comprimento da bucha , L ;

• Viscosidade plástica (ou absoluta) do óleo lubrificante, m ;

• Temperatura de suprimento do óleo lubrificante, sT ;

• Velocidade de rotação do eixo, N ;

• Capacidade de carga do mancal, F ;

A partir destes dados de projeto, é possível obter os parâmetros resultantes

ou também chamados de parâmetros dependentes, os quais são:

• Excentricidade específica do mancal, c

e=ε ;

• Espessura mínima do filme, 0h ;

• Pressão hidrodinâmica máxima, maxP ;

• Posição angular de maxmax ,θP ;

41

• Posição angular de 0h , φ ;

• Vazão lateral, lQ ;

• Vazão total, tQ ;

• Vazão de recirculação, recQ ;

• Vazão de suprimento, sQ ;

• Coeficiente de atrito, f ;

• Perda de potência, fH ;

• Elevação de temperatura, T∆ ;

• Temperatura efetiva, efT ;

• Viscosidade efetiva, efm .

Com base no comportamento destes parâmetros pode-se realizar análises

preditivas do comportamento operacional de mancais radiais hidrodinâmicos em

várias condições de projeto e operação.

42

Figura 2.2

43

2.3 – Equações Governantes e Condições de Contorno

Conforme deduzido no item 2.1, a equação bidimensional de Reynolds da

lubrificação hidrodinâmica, modificada para fluidos não-Newtonianos modelo

power law, é dada por:

x

hmU

z

Ph

zx

P

n

h

xnn

n

∂∂=

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂ +

+62

2

(2.57)

Para simular o comportamento operacional de um mancal radial

hidrodinâmico finito é necessário solucionar a equação (2.57), a qual só pode ser

realizada através de um método aproximado, ou seja, através de um método

numérico.

A condição de contorno adotada no presente trabalho para a obtenção da

solução da equação (2.57) é a condição de Reynolds, a qual está representada

na figura 2.3. Esta figura apresenta a distribuição de pressão no plano médio

( 2/Lz = ) do mancal e as condições de contorno no plano ( zx, ) , onde θRx = . A

distribuição de pressão para o plano desenvolvido ( z,θ ) pode ser melhor

visualizada no gráfico tridimensional da figura 2.4 .

Portanto, de acordo com a figura 2.3, as condições de contorno de

Reynolds são dadas por:

( ) RxRexLzzemP πθπ 20,,00 ' ≤≤+==== (2.58a)

( )Rxexemx

P '00 θπ +===∂∂

(2.58b)

onde 'θ é um ângulo que define a posição circunferencial, no plano médio do

mancal, a partir da qual a pressão hidrodinâmica passa a ser nula. Quando

0'=θ , a condição de contorno passa a ser a de meio Sommerfeld.

44

Figura 2.3

45

Figura 2.4

46

2.4 – Procedimento Iterativo para Obtenção dos Parâmetros Resultantes

É sabido que os efeitos térmicos na lubrificação hidrodinâmica não devem ser

desprezados, pois a temperatura média do filme de óleo de um mancal em operação

pode afetar em muito a sua capacidade de carga e a espessura do filme de óleo

lubrificante.

Quando um mancal hidrodinâmico é colocado em operação, o óleo

lubrificante sofre uma variação substancial de temperatura durante operação até

atingir a condição de regime. Por isso, qualquer que seja o modelo teórico para

prever o comportamento operacional de um mancal hidrodinâmico, este deve estar

inserido em um procedimento iterativo para a determinação dos parâmetros

resultantes na condição de operação em regime.

Tudo isso ocorre devido a grande dependência entre a viscosidade do óleo

lubrificante e a temperatura. Existem na literatura várias formas aproximadas de

expressar a dependência da viscosidade com a temperatura, através de gráficos ou

através de relações empíricas. Uma das relações empíricas comumente utilizada e

que dá bons resultados para uma faixa relativamente ampla de temperatura é a

equação de Walther da ASTM, a qual estabelece que:

( )

+−=

+ 2log.110106.0KTK

m (2.59)

onde m é a viscosidade dinâmica (em cP) do óleo à temperatura absoluta T e, 1K

e 2K são constantes que dependem do óleo lubrificante.

Conhecendo-se os valores das viscosidades 1m e 2m , respectivamente nas

temperaturas 1T e 2T , pode-se calcular as constantes 1K e 2K da seguinte forma :

( )( )

++=

2

1

2

11 log

6.0log

6.0loglog

T

T

m

mK (2.60a)

47

( )( ) ( )( ) 1

2

1

2

112 log.log

6.0log

6.0loglog6.0loglog T

T

T

m

mmK

++−+= (2.60b)

Além de analisar os efeitos térmicos no comportamento operacional de um

mancal radial hidrodinâmico, no presente trabalho analisam-se também os efeitos

da utilização de lubrificantes não-Newtonianos; onde a viscosidade varia com a taxa

de deformação.

A equação (2.13a) estabelece esta relação de dependência, a qual levando-

se em conta a hipótese de escoamento com alta dominância de Couette, toma a

seguinte forma aproximada:

1−

=

n

c

Umµ (2.61)

onde U é a velocidade tangencial do eixo e c é a folga radial do mancal.

O cálculo da elevação de temperatura, T∆ , é realizado levando-se em

consideração os efeitos das temperaturas dos óleos de suprimento, sT , e

recirculação, recT .

A equação para o cálculo da temperatura efetiva do mancal radial

hidrodinâmico operando em regime foi obtida através de um balanço de energia

conforme Raimondi e Boyd [29], a qual tem a seguinte forma:

)()1()1( kkmist

kef TTT ∆+= ++ λ (2.62)

onde:

λ é uma constante empírica que define a parcela do calor gerado que é

retirado pelo óleo lubrificante;

)(kT∆ é a elevação de temperatura na iteração k ;

48

)1( +kefT é a temperatura efetiva na iteração 1+k ;

)1( +kmistT é a temperatura resultante da mistura do óleo de suprimento com o

óleo de recirculação na posição φθ −= ( iteração 1+k ).

O valor da constante empírica λ , segundo resultados experimentais, varia

para cada mancal específico e é bastante influenciado pela velocidade de rotação e

pela folga construtiva do mancal. Conforme Raimondi e Boyd [29], 5,0=λ e segundo

Cameron [30], 8,0=λ . No presente trabalho será adotado 5,0=λ .

A temperatura mistT é resultante da mistura do óleo de suprimento com o óleo

de recirculação. Assim, tem-se as seguintes relações :

)()()( kkmist

krec TTT ∆+= (2.63)

t

slk

recreckmist Q

TQTQT

+=+)(

)1( (2.64)

onde :

recT é a temperatura do óleo de recirculação;

sT é a temperatura do óleo de suprimento;

recQ é a vazão de recirculação;

lQ é a vazão lateral ou axial de óleo;

tQ é a vazão total de óleo lubrificante.

As equações (2.62), (2.63) e (2.64) caracterizam o processo iterativo utilizado

para calcular a temperatura efetiva, efT , de um mancal radial hidrodinâmico

operando em regime. Tal procedimento, ilustrado na figura 2.5, pode ser resumido

na seguinte seqüência de cálculos:

49

Passo 1 – Admite-se um valor inicial para efT e para mistT , se possível com

base em dados experimentais;

Passo 2 – Calculam-se as viscosidades efetivas dinâmica e aparente, efm e

efµ correspondentes, através das equações (2.59) e (2.61);

Passo 3 – Calcula-se a distribuição de pressão, ( )zPP ,θ= , através das

equações de diferenças finitas desenvolvidas nos itens 3.1 e 3.2 do capítulo 3.

Passo 4 – Calculam-se a capacidade de carga do mancal, número de

Sommerfeld, força de atrito, coeficiente de atrito, perda de potência e por fim a

elevação de temperatura T∆ , através da equação (3.104);

Passo 5 – Calculam-se as temperaturas recT , mistT e efT , respectivamente

pelas equações (2.63), (2.64) e (2.62);

Passo 6 – Faz-se o teste de convergência de efT ;

Passo 7 – Atualiza-se a temperatura efetiva efT para reiniciar o processo

iterativo;

Passo 8 – Após a convergência da temperatura efetiva, calculam-se os

demais parâmetros resultantes do comportamento operacional do mancal radial

hidrodinâmico.

50

Iníciok =1

Admite-se um valor

inicial para )(kefT e

)(kmistT

Cálculo de efm e efµ

)( )(kefef Tfm =

),( yumf efef ∂∂=µ

Cálculo da distribuição de pressão( )zPP ,θ=

Cálculo da elevação de temperatura )(kT∆

Cálculo da )(krecT ,

)1( +kmistT e )1( +k

efT

2.0.)()1( =≤−+ tolErroTT kef

kef

Cálculo dos demais parâmetros resultantes

Fim

Sim

1

)1()(

+=

= +

kk

TT kef

kef

Figura 2.5 – Diagrama de blocos do procedimento iterativo

Não

133

CAPÍTULO 5

CONCLUSÕES E SUGESTÕES

5.1 - Conclusões

No presente trabalho foi apresentado um estudo teórico sobre a lubrificação

hidrodinâmica de mancais radiais operando com lubrificantes não-Newtonianos,

descritos pelo modelo power law.

O principal objetivo deste trabalho foi analisar o efeito do índice de

característica reológica, n , do óleo lubrificante no comportamento operacional de um

mancal radial hidrodinâmico, em várias condições de projeto e operação. Assim,

foram analisados mancais radiais hidrodinâmicos operando com lubrificantes não-

Newtonianos dos tipos pseudoplástico (n<1) e dilatante (n>1), bem como com um

óleo mineral comum (lubrificante Newtoniano, n=1).

Inicialmente, o comportamento do mancal foi analisado sob três abordagens

diferentes do ponto de vista térmico. Foram implementadas as soluções isotérmica,

adiabática e uma solução intermediária para a equação de Reynolds. Esta análise

revela o quanto é importante considerar os efeitos térmicos na previsão do

comportamento operacional de um mancal hidrodinâmico. Outra conclusão

importante neste ponto, é que os efeitos térmicos são mais acentuados nos mancais

operando com lubrificantes Newtonianos (n=1) e não-Newtonianos do tipo dilatante

( n>1). Ou seja, a influência da variação de alguns parâmetros operacionais e de

projeto na temperatura efetiva do filme de óleo é bem menor para mancais operando

com lubrificantes não-Newtonianos do tipo pseudoplástico.

Posteriormente a esta análise, todas as simulações do comportamento

operacional do mancal foram realizadas usando-se a solução intermediária proposta

pelo presente trabalho. Através destas simulações pode-se concluir que o índice de

134

característica reológica do óleo lubrificante tem grande influência sobre o

comportamento operacional de um mancal radial hidrodinâmico. A variação térmica

do filme lubrificante é bem mais acentuada para altos valores do índice de

característica reológica quando se tem uma variação sobretudo das condições de

operação, tais como, excentricidade específica de trabalho, temperatura do óleo de

suprimento e velocidade de rotação do eixo. Outra conclusão importante é que os

mancais radiais hidrodinâmicos operando com lubrificante não-Newtoniano do tipo

pseudoplástico (n<1) apresentam menor capacidade de carga, porém, menor

temperatura efetiva e maior estabilidade em qualquer condição de carregamento e

operação. Por outro lado, os lubrificantes não-Newtonianos do tipo dilatante

conferem maior capacidade de carga ao mancal, apesar de serem mais instáveis

termicamente.

Conlui-se ainda, para finalizar, através de alguns gráficos apresentados no

capítulo 4, que a faixa ideal de trabalho para a excentricidade específica do mancal

fica entre 0,6 e 0,7, uma vez que nesta faixa a temperatura efetiva do filme de óleo é

mínima, principalmente para os óleos lubrificantes Newtonianos e não-Newtonianos

do tipo dilatante.

5.2 - Sugestões para Trabalhos Futuros

Considerando que a maioria dos óleos lubrificantes comerciais possuem

aditivos para atender determinadas exigências de aplicação e que, portanto, exibem

um comportamento reológico não-Newtoniano, nem sempre especificado em seus

dados técnicos, o presente trabalho sugere que se avalie e considere, sempre que

possível, o comportamento reológico do óleo lubrificante a ser utilizado em

aplicações ou em simulações teóricas do comportamento operacional de mancais.

Com relação à modelagem teórica e simulação computacional do

comportamento operacional de mancais radiais hidrodinâmicos, o presente trabalho

sugere as seguintes considerações para trabalhos futuros:

135

Considerar na modelagem teórica e computacional a variação tridimensional da

temperatura do filme de óleo lubrificante além dos efeitos não-Newtonianos. Para

tanto, é necessário resolver a equação modificada de Reynolds para fluidos não-

Newtonianos, modelo power law, acoplada a equação da energia para o filme

fluido (domínio fluido) e para o eixo e a bucha (domínio sólido).

Considerar os efeitos das distorções térmicas e elásticas sobre o comportamento

operacional do mancal. Isso possibilita uma previsão de folgas construtivas e

operacionais mais adequadas.

Analisar os efeitos da lubrificação hidrodinâmica, com lubrificantes não-

Newtonianos sobre o comportamento dinâmico do mancal.

Analisar os efeitos da presença de desalinhamento no mancal, parâmetro este

sempre presente na prática.

Utilizar parâmetros de adimensionalização para as variáveis do problema tais que

se possa ter uma relação diretamente proporcional entre os parâmetros

adimensionais e os parâmetros dimensionais, a fim de facilitar a análise do

comportamento operacional do mancal.

1

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

1.1 - Generalidades

O principal objetivo da lubrificação com filme fluido é separar superfícies

metálicas em movimento relativo, minimizando-se assim o atrito e o desgaste das

mesmas. No caso específico da lubrificação hidrodinâmica a formação e a

manutenção do filme de óleo lubrificante depende, principalmente, dos parâmetros

geométricos do mancal e da viscosidade do óleo lubrificante utilizado.

Um dos grandes problemas da lubrificação hidrodinâmica, em mancais que

operam com altas cargas e velocidades, está relacionado com o índice de

viscosidade do óleo lubrificante especificado, ou seja, com o grau de dependência

entre a viscosidade e a temperatura. É sabido que a viscosidade do óleo lubrificante

diminui com o aumento de temperatura; e que a grande conseqüência desta relação

de dependência é uma diminuição apreciável na capacidade de carga do mancal e

conseqüente diminuição da espessura mínima do filme de óleo, podendo até

culminar com o rompimento do filme de óleo e o gripamento do mancal.

Para minimizar este problema são adicionados polímeros aumentadores do

índice de viscosidade aos óleos minerais ou especificam-se óleos lubrificantes

totalmente sintéticos. Estes lubrificantes comportam-se como um fluido não-

Newtoniano independente do tempo, isto é, a relação entre a tensão de

cisalhamento e a taxa de deformação é não linear, e portanto, a viscosidade destes

lubrificantes além de variar com a temperatura, mesmo que em menor grau, varia

também com a taxa de deformação.

Assim sendo, os efeitos térmicos e a influência dos lubrificantes não-

Newtonianos na lubrificação hidrodinâmica não devem ser desprezados e a

2

determinação da temperatura efetiva do filme de óleo lubrificante e a correspondente

viscosidade efetiva do mesmo durante operação em regime são parâmetros de

fundamental importância para o projeto e análise do comportamento operacional de

mancais.

1.2 - Revisão Bibliográfica

Os princípios físicos e matemáticos da teoria clássica da lubrificação

hidrodinâmica, estabelecidos por Reynolds [01] em 1886, foram desenvolvidos para

fluidos Newtonianos e portanto, não são adequados para prever com precisão o

comportamento operacional de mancais operando com lubrificantes não-

Newtonianos. Atentos a este fato, vários pesquisadores têm se dedicado a analisar

as influências da utilização de lubrificantes não-Newtonianos na lubrificação

hidrodinâmica.

Em 1962, Ng e Saibel [02] e em 1965, Hsu e Saibel [03] analisaram os efeitos

dos lubrificantes não-Newtonianos no comportamento operacional de mancais

hidrodinâmicos de sapatas infinitamente largas, para duas relações não lineares

entre a tensão cisalhante e a taxa de deformação.

Em 1963, Tanner [04] utilizou a teoria dos mancais curtos de Dubois e Ocvirk

para obter as características de um mancal radial operando com lubrificantes não-

Newtonianos modelo power law. Posteriormente, em 1965, Tanner [05] analisou o

comportamento do mesmo mancal levando em consideração a variação da

viscosidade com a taxa de deformação e com a temperatura.

Em 1971 e 1974, Wada e Hayashi [06] e [07] apresentaram nestes

respectivos trabalhos análises teóricas e experimentais sobre a lubrificação

hidrodinâmica de mancais radiais finitos operando com lubrificantes pseudoplásticos,

comprovando assim a aplicabilidade de seu modelo teórico.

3

Em 1973, Marnell [08] usou o modelo power law para descrever o

comportamento do fluido synovial em seus estudos do comportamento tribológico de

juntas de seres humanos.

Em 1975, Swamy et alli [09] analisaram mancais radiais finitos operando com

lubrificantes não-Newtonianos modelo power law e traçaram curvas de seu

comportamento operacional e em 1977, em um trabalho complementar, Swamy et

alli [10] usaram a relação tensão cisalhante versus taxa de deformação de terceira

ordem de Rivlin-Ericksen para obter a capacidade de carga de um mancal radial

finito.

Em 1979, Safar [11] deduziu a sua equação modificada de Reynolds para

lubrificantes não-Newtonianos modelo power law. Em seu trabalho as equações de

movimento para um mancal radial infinitamente largo foram resolvidas admitindo-se

uma aproximação polinomial para o perfil de velocidade sendo que este resulta da

superposição das componentes de velocidade devido aos efeitos de Couette e

Poiseuille.

Em 1982, Tayal et alli [12] analisaram o comportamento de mancais radiais

finitos usando o método de elementos finitos, para sete modelos diferentes de

fluidos não-Newtonianos.

Em 1983, Dien e Elrod [13] deduziram a equação modificada de Reynolds da

lubrificação hidrodinâmica para fluidos não-Newtonianos modelo power law. Eles

utilizaram para isso um método aproximado, baseado no método de perturbações de

primeira ordem, e admitiram que a taxa de deformação do fluido é gerada

principalmente pelo movimento relativo das superfícies do mancal. Em seu trabalho

foi simulado o comportamento operacional de um mancal radial operando com

lubrificantes não-Newtonianos modelo power law (pseudoplásticos 1<n ), para uma

variedade de relações DL , excentricidades e índices de características reológicas.

É importante observar que a teoria de Dien e Elrod [13] se aplica tanto para

escoamentos de fluidos não-Newtonianos com alta dominância de Couette como

para escoamentos de fluidos Newtonianos com componentes arbitrárias de Couette

4

e Poiseuille. A sua teoria combina simplicidade e generalidade, tanto que, a sua

equação modificada de Reynolds para fluidos não-Newtonianos modelo power law é

muito usada atualmente nos trabalhos sobre lubrificação não-Newtoniana.

Em 1984, Bourgin e Gay [14] analisaram a influência dos lubrificantes não-

Newtonianos sobre a distribuição de pressões e a capacidade de carga de mancais

radiais finitos, utilizando o método de elementos finitos. Os resultados numéricos

foram comparados com outros resultados teóricos preestabelecidos para

lubrificantes Newtonianos. Eles concluíram que, para uma dada excentricidade

específica, os efeitos não-Newtonianos tendem a aumentar o ângulo de ação de

carga e diminuir a capacidade de carga do mancal.

Em 1985, Buckholz [15] realizou uma investigação teórica do comportamento

operacional de mancais radiais curtos operando com lubrificantes não-Newtonianos

modelo power law. Ele utilizou o método de expansão assintótica para resolver a

equação de Reynolds modificada, determinando a distribuição de pressão sem

recorrer a soluções numéricas. Dentre outros resultados, concluiu-se que os fluidos

não-Newtonianos pseudoplásticos )1( <n proporcionam aos mancais menores

capacidades de carga relativamente ao fluido Newtoniano.

Em 1986, Buckholz [16] estudou a lubrificação de um mancal plano finito

utilizando o modelo power law para os lubrificantes não-Newtonianos. Neste trabalho

ele analisa a influência da utilização de lubrificantes não-Newtonianos sobre a

capacidade de carga e força de atrito.

Em 1986, Buckholz e Lin [17] apresentaram um estudo teórico dos efeitos do

desalinhamento na capacidade de carga e cavitação de mancais radiais operando

com lubrificantes não-Newtonianos modelo power law.

Em 1987, Jang e Chang [18] realizaram uma análise adiabática para um

mancal radial hidrodinâmico de largura finita operando com lubrificantes não-

Newtonianos modelo power law, onde a viscosidade do filme lubrificante foi

calculada em função da temperatura e da taxa de deformação através de uma

5

relação exponencial. O comportamento operacional do mancal foi obtido através da

solução simultânea da equação de Reynolds modificada para lubrificantes não-

Newtonianos modelo power law e equação da energia, utilizando-se o método de

diferenças finitas. Foram simulados o comportamento do mancal operando com

lubrificantes pseudoplásticos 1<n , dilatantes 1>n e Newtonianos 1=n , para dois

tipos de soluções clássicas; solução adiabática e solução isotérmica. E neste mesmo

ano, Jang e Chang [19] analisaram os efeitos do desalinhamento em mancais radias

hidrodinâmicos operando com lubrificantes não-Newtonianos modelo power law.

Em 1988, Jianming e Gaobing [20] apresentaram uma análise do

comportamento operacional de um mancal de Rayleigh operando com lubrificantes

não-Newtonianos modelo power law, com o objetivo de otimizar a forma geométrica

do filme de óleo em função de uma capacidade de carga máxima.

Em 1992, Tripp e Melodick [21], realizaram medidas da espessura mínima do

filme de óleo de um mancal radial hidrodinâmico operando com lubrificantes não-

Newtonianos e Newtonianos disponíveis no mercado, em condições estáticas e

dinâmicas. Nesta análise pode-se concluir que a espessura do filme de óleo do

mancal operando com lubrificante não-Newtoniano é dominada pela relação de

dependência entre a viscosidade e a taxa de deformação.

Em 1993, Johnson e Mangkoesoebroto [22] apresentaram uma análise da

teoria da lubrificação para fluidos não-Newtonianos modelo power law aplicada ao

escoamento entre placas rígidas infinitamente largas. Nesta análise eles utilizaram o

valor absoluto na equação constitutiva do fluido não-Newtoniano modelo power law,

dando maior generalidade a mesma. Para ilustrar o modelo teórico, eles analisaram

o comportamento da distribuição de pressões em um mancal de deslizamento

hidrodinâmico com forma geométrica parabólica para o filme de óleo e calcularam o

gradiente de pressão e a distribuição de velocidades para um fluxo de massa

estabelecido.

Em 1994, Ju e Weng [23] apresentaram uma análise do comportamento

termohidrodinâmico de mancais radiais finitos operando com lubrificantes não-

Newtonianos modelo power law, usando o método de volume de controle (algoritmo

6

de Elrod) para solucionar a equação modificada de Reynolds. Em seu trabalho eles

concluíram que os efeitos térmicos são mais pronunciados para altos valores do

índice de característica reológica e altas excentricidades.

Em 1994, Hashimoto [24], analisou os efeitos da lubrificação não-Newtoniana

em mancais planos de deslizamento hidrodinâmico infinitamente largos. O seu

modelo teórico foi desenvolvido levando em consideração os efeitos inerciais e

utilizando a equação constitutiva de Rabinowitsch para os fluidos não-Newtonianos.

A sua equação de Reynolds modificada foi solucionada analiticamente utilizando-se

a técnica de perturbações.

Em 1996, Li et alli [25] estudaram os efeitos da rugosidade superficial em

mancais radiais operando com lubrificantes não-Newtonianos modelo power law.

Eles utilizaram o método de volume de controle (algoritmo de Elrod) para resolver a

equação modificada de Reynolds e determinar a região de cavitação do

escoamento. Analisaram também a influência do sentido da rugosidade (transversal

ou longitudinal) no contorno de ruptura do filme.

Em 1999, Raghunandana e Majumdar [26] investigaram a estabilidade de

mancais radiais hidrodinâmicos finitos operando com lubrificantes não-Newtonianos

modelo power law usando uma análise transiente não linear para simular a trajetória

do centro do eixo e assim determinar os parâmetros de estabilidade do mancal em

função da velocidade.

Em 2001, Silva et alli [27] analisaram o comportamento operacional de um

mancal plano infinitamente largo operando com lubrificantes não-Newtonianos

modelo power law (lubrificantes dilatantes e pseudoplásticos) bem como com um

lubrificante Newtoniano.

7

1.3 – Revisão do Comportamento e Características e dos Lubrificantes

1.3.1- Introdução

Os lubrificantes são substâncias colocadas entre duas superfícies para evitar

contato direto entre elas, com o objetivo de reduzir o atrito e o desgaste. Os

lubrificantes podem ser fluidos ou sólidos.

Os lubrificantes fluidos são usados tanto na lubrificação hidrostática como na

hidrodinâmica. Estes podem ser subdivididos em lubrificantes líquidos e lubrificantes

gasosos. Os lubrificantes líquidos são mais freqüentemente empregados,

principalmente, os óleos minerais. Atualmente, os óleos sintéticos vêm substituindo

os óleos minerais devido às suas melhores propriedades.

Os lubrificantes minerais são obtidos através dos processos de destilação e

refinamento do petróleo cru, o qual é separado em frações de progressiva

volatilidade, com eliminação de partes indesejáveis. Tais lubrificantes são

constituídos de hidrocarbonetos e, dependendo da estrutura básica da cadeia,

podem ser: parafínicos, naftênicos ou aromáticos. Os hidrocarbonetos parafínicos

geralmente predominam nos lubrificantes minerais. A figura 1.1 mostra as

configurações típicas destes hidrocarbonetos.

Os lubrificantes sintéticos possuem melhor performance quando comparados

com os lubrificantes minerais, porém são mais caros. Eles são freqüentemente

usados em condições extremas, por exemplo em casos de alta pressão e/ou

temperatura. Os lubrificantes sintéticos incluem os seguintes compostos:

hidrocarbonetos sintéticos, ésteres orgânicos, ésteres fosfáticos, poliglicóis e

silicones. Vários lubrificantes sintéticos podem também ser usados como aditivos.

8

(a)

(c)

(b)

Figura 1.1 - Configurações típicas de hidrocarbonetos: (a) naftênico;

(b) aromático e (c) parafínico.

1.3.2- Lubrificantes fluidos

Um fluido é qualquer material que submetido à ação de uma força ou tensão

de cisalhamento estará sujeito a uma deformação contínua. A resistência à

deformação ou escoamento é o índice de consistência ou viscosidade do fluido. Um

fluido perfeito ou ideal é aquele que não apresenta resistência ao cisalhamento.

Desta forma, podem-se classificar os fluidos de acordo com a relação tensão de

cisalhamento versus taxa de deformação, da seguinte forma:

a) Fluido Newtoniano: é caracterizado por uma relação linear entre a tensão

cisalhante e a taxa de deformação;

b) Fluido não-Newtoniano: é caracterizado por uma relação não linear entre a

tensão cisalhante e a taxa de deformação.

A água e a maioria dos óleos minerais comuns são exemplos de fluidos

Newtonianos. Os fluidos não-Newtonianos compreendem os óleos minerais com

9

adição de polímeros aumentadores do índice de viscosidade, as graxas, os

lubrificantes sintéticos, o líquido sinovial de juntas de animais, etc.

Numerosas equações empíricas têm sido propostas para representar as

relações entre a tensão τ e a taxa de deformação yu ∂∂ , para os fluidos não-

Newtonianos. Entre os modelos reológicos usados na lubrificação de mancais que

operam com lubrificantes não-Newtonianos, o modelo power law (Ostwald) tem sido

bastante utilizado, pois apresenta uma boa aproximação para a relação tensão de

cisalhamento versus taxa de deformação. As relações constitutivas da tensão de

cisalhamento τ e da viscosidade aparente µ (o termo viscosidade aparente para

fluidos não-Newtonianos é definido como a viscosidade que o fluido teria se fosse

Newtoniano) para um fluido não-Newtoniano modelo power law são dadas,

respectivamente, por:

y

u

y

um

y

um

nn

∂∂

∂∂=

∂∂=

−−

12

12

τ (1.1)

1−

∂∂=

n

y

umµ (1.2)

onde m é a viscosidade plástica do fluido, a qual é constante e não depende da taxa

de deformação e n é o índice de característica reológica do fluido. A equação (1.1)

recai na lei da viscosidade de Newton quando 1=n , o que implica em µ=m .

Além do modelo power law vários outros modelos reológicos foram

estabelecidos para descrever o comportamento dos fluidos não-Newtonianos.

Alguns exemplos são citados a seguir:

• Modelo de Bingham Generalizado – Viscoplástico

10

y

u

y

um

n

y ∂∂

∂∂=−

−1

ττ

• Power-series

....5

5

3

31 +

∂∂+

∂∂+

∂∂=

y

uC

y

uC

y

uCτ

• Kreiger-Dougherty

τττ

µµµµ

+=

−−

∞

∞

C

C

0

• Ellis

( ) nnm /1

0

11 −−+= τµµ

• Casson

y

uy

∂∂+= ∞µττ

• Reiner

−

−−=

∞∞ 2

2

0exp

1111

x

τµµµµ

• Oldroyd

11

∂

∂+

∂

∂+=

2

2

2

1

0

1

1

yua

yua

µµ

Os fluidos não-Newtonianos são comumente classificados, do ponto de vista

reológico, como tendo comportamento independente do tempo, dependente do

tempo ou ainda viscoelástico.

a) Fluidos com Comportamento Independente do Tempo

São os fluidos nos quais a taxa de deformação em um dado ponto é

dependente apenas da tensão de cisalhamento instantânea resultante. Podem ser

subdivididos em:

- Pseudoplásticos (shear thinning): a viscosidade diminui com o aumento da taxa

de deformação (tornam-se finos com a aplicação da tensão cisalhante). São

caracterizados pelo índice de característica reológica 1<n ;

- Dilatantes (shear thickening): a viscosidade aumenta com o aumento da taxa de

deformação (tornam-se espessos com a aplicação da tensão cisalhante). São

caracterizados pelo índice de característica reológica 1>n ;

- Viscoplásticos: comportam-se como sólidos até que seja excedido um valor

mínimo de tensão cisalhante, a partir do qual inicia-se o escoamento de um fluido

Newtoniano viscoso de viscosidade µp. Um exemplo conhecido é o modelo Plástico

de Bingham.

Os três tipos de fluidos independentes do tempo são mostrados na figura 1.2,

juntamente com o fluido Newtoniano.

12

Figura 1.2 – Tensão de cisalhamento τ versus taxa de deformação yu ∂∂

b) Fluidos com Comportamento Dependente do Tempo

São fluidos que apresentam uma viscosidade aparente dependente não

apenas da taxa de deformação, mas também do tempo pelo qual a tensão

cisalhante foi aplicada. Existem dois tipos básicos de fluidos com comportamento

dependente do tempo, os fluidos tixotrópicos e os fluidos reopécticos. Em um fluido

tixotrópico a tensão de cisalhamento diminui com o tempo enquanto em um fluido

reopéctico a tensão de cisalhamento aumenta com o tempo. A figura 1.3 mostra as

curvas características do escoamento de fluidos tixotrópicos e reopécticos,

conhecidas como curvas de histerese.

Taxa de deformação

Ten

são

de c

isal

ham

ento

Plástic

o de Bingham

Fluido Pseudoplástico

(n<1

)

Fluido Newtonian

o (n=1

)

Fluido Dila

tante (n>1)

13


Ten

são

(a)


Ten

são

(b)

Indica a direção do cisalhamento aplicado

Figura 1.3 - Curvas de histerese: (a) fluidos tixotrópicos e (b) fluidos reopécticos

c) Fluidos com Comportamento Viscoelástico

Os fluidos viscoelásticos apresentam propriedades típicas tanto de materiais

viscosos como de materiais elásticos. Estes fluidos escoam quando estão sujeitos a

uma tensão cisalhante; entretanto, uma parcela de suas deformações se recupera

gradualmente quando a tensão cisalhante é removida. O modelo mais simples de

um fluido viscoelástico é o modelo do líquido de Maxwell, o qual estabelece que o

fluido é Newtoniano em viscosidade e obedece à lei de Hooke para o

comportamento elástico. A relação tensão cisalhante versus taxa de deformação é

dada por:

y

u.

∂∂=

+ µτ

λµτ (1.3)

onde .τ é a derivada no tempo do estado de tensão, µ é a viscosidade e λ é o

módulo de rigidez. Se o escoamento é permanente, y

u

∂∂= µτ , o material se

14

comporta como um fluido Newtoniano, mas quando a tensão cisalhante varia com o

tempo, um efeito elástico é considerado na análise. Fisicamente, a constante ( )µλ

representa um tempo de relaxamento. Se o movimento é cessado, 0yu =∂∂ e a

tensão cisalhante decresce, de acordo com a expressão ( )µλττ.

−= , onde ( )µλ é

a constante de tempo para o decaimento.

1.3.3- Viscosidade

A viscosidade representa o atrito interno de um fluido, ou seja, a resistência à

taxa de deformação ou escoamento. Por isso, a viscosidade é um dos parâmetros

mais importantes para a seleção de um óleo lubrificante.

Para o caso de um lubrificante não-Newtoniano, a viscosidade é função da

temperatura, pressão e taxa de deformação, podendo-se escrever:

∂∂=y

uPT ,,µµ (1.4)

A viscosidade de um lubrificante fluido diminui com o aumento da

temperatura. As variações de temperatura podem ser causadas por variações de

temperatura do ambiente externo ou pelo calor gerado através do atrito viscoso.

Várias formas aproximadas de expressar a dependência da viscosidade de

um lubrificante com a temperatura estão disponíveis na literatura. Estas relações de

dependência são apresentadas em forma de gráficos ou através de relações

empíricas tais como:

A equação padrão de Walther (ASTM),

15

( )2110106.0KTLogK

m+

+−= (1.5)

onde m é a viscosidade dinâmica do óleo lubrificante à temperatura absoluta T , 1K

e 2K são constantes que dependem do tipo de óleo.

A equação de Vogel,

( )θ+= T

b

emm 0 (1.6)

onde 0m é a viscosidade dinâmica do óleo lubrificante à temperatura de referência

0T , b e θ são constantes que dependem do tipo de óleo.

A equação proposta por Jang e Chang [18],

)0(0

TTemm −−= β (1.7)

onde 0m é a viscosidade dinâmica do óleo lubrificante à temperatura de referência

0T e β é uma constante que depende do tipo de óleo.

Atualmente, alguns componentes químicos são adicionados aos lubrificantes

para melhorar as suas características. Estes componentes químicos são

denominados aditivos como é o caso dos aditivos para aumentar o índice de

viscosidade, que conferem ao óleo lubrificante uma menor variação da viscosidade

com a temperatura. São geralmente polímeros orgânicos de alto peso molecular,

solúveis em óleos. A figura 1.4 ilustra o comportamento da viscosidade versus

temperatura para três óleos diferentes.

16

Vis

cosi

dade

Temperatura

B

A

C

Figura 1.4 - Comportamento da viscosidade em função da variação de temperatura para:

A - óleo mineral comum, B - óleo mineral com um aditivo aumentador do índice

de viscosidade, C - óleo sintético a base de silicone

A viscosidade dos óleos lubrificantes também varia com a pressão, e uma

relação empírica bastante usada para caracterizar esta relação de dependência

viscosidade-pressão é a equação de Barus.

Pemm γ0= (1.8)

onde 0m é a viscosidade dinâmica à pressão de referência e γ é uma constante que

depende do tipo de óleo.

É importante observar que desvios consideráveis da relação acima podem ser

encontrados. Os óleos lubrificantes naftênicos são mais sensíveis à pressão do que

os lubrificantes parafínicos.

Para o caso de óleos minerais a constante γ é determinada com base na lei

de Wooster.

17

( ) 80 10log.965.06.0 −+= mγ (1.9)

Com relação à variação da viscosidade aparente do óleo lubrificante com a

taxa de deformação, o modelo power law estabelece que:

1−

∂∂=

n

y

umµ (1.10)

Para o caso de um fluido lubrificante Newtoniano ( 1=n ) a viscosidade é

constante, ou seja, não depende da taxa de deformação. A viscosidade aparente µ

é igual a viscosidade dinâmica m . A figura 1.5 ilustra este comportamento.


Vis

cosi

dade

Figura 1.5 - Viscosidade versus taxa de deformação para fluido lubrificante Newtoniano

Para o caso de fluidos lubrificantes não-Newtonianos pseudoplásticos ( )1<n

a viscosidade diminui com o aumento da taxa de deformação. Este efeito é

conhecido como “shear-thinning” ou afinamento do óleo lubrificante. A figura 1.6

ilustra este comportamento.

18


Vis

cosi

dade

Figura 1.6 - Viscosidade versus taxa de deformação para fluido lubrificante não-Newtoniano

pseudoplástico

Para o caso de fluidos lubrificantes não-Newtonianos dilatantes ( )1>n

acontece o oposto, a viscosidade aumenta com o aumento da taxa de deformação.

Assim, ocorre o espessamento do óleo lubrificante ou o efeito “shear-thickning”. A

figura 1.7 ilustra este comportamento.


Vis

cosi

dade

Figura 1.7 - Viscosidade versus taxa de deformação para fluido lubrificante não-Newtoniano

dilatante

19

1.4- Objetivos do Trabalho

É muito importante, para quem projeta e utiliza mancais hidrodinâmicos,

poder realizar análises preditivas do seu comportamento operacional. Muitos dos

parâmetros envolvidos nesta análise estão relacionados com os chamados

parâmetros independentes, os quais são fixados na fase de projeto do mancal. Os

demais parâmetros, convencionalmente chamados de parâmetros resultantes, são

calculados em função dos parâmetros independentes. Para tal, é necessário

desenvolver um modelo teórico que possibilite prever o comportamento operacional

de mancais e com base nos resultados obtidos realizar algumas análises.

Vários são os fatores que influenciam, com maior ou menor complexidade, o

comportamento operacional de um mancal hidrodinâmico. A maior dificuldade que se

apresenta ao projetista de um mancal reside no fato de que a viscosidade dos óleos

lubrificantes varia com a temperatura, a qual depende da perda de potência e que

por sua vez depende da viscosidade. Isso gera um problema envolvendo variáveis

acopladas não linearmente, o qual deve ser resolvido iterativamente. Além disso, no

caso específico de mancais hidrodinâmicos operando com lubrificantes não-

Newtonianos modelo power law, deve ser considerado ainda a variação da

viscosidade aparente com a taxa de deformação.

Estes fatores motivaram o desenvolvimento do presente trabalho juntamente

com o fato de nos últimos anos, a utilização dos lubrificantes sintéticos os quais

apresentam um comportamento não-Newtoniano, ter se tornado cada vez mais

primordial em virtude da crescente exigência de alta performance dos óleos

lubrificantes.

Com base nestes aspectos, se propôs o desenvolvimento do presente

trabalho, o qual tem como principais objetivos:

a) Apresentar a dedução da equação bidimensional de Reynolds modificada para

fluidos não-Newtonianos modelo power law e, através desta, apresentar um

20

modelo teórico capaz de representar o comportamento operacional de um

mancal radial hidrodinâmico;

b) Definir um procedimento iterativo para determinar a temperatura efetiva do filme

de óleo lubrificante, bem como a correspondente viscosidade efetiva do mesmo

durante a operação em regime de um mancal radial hidrodinâmico;

c) Aplicar o método de diferenças finitas para resolver numericamente a equação de

Reynolds modificada para fluidos não-Newtonianos;

d) Desenvolver um programa computacional que permita simular o comportamento

operacional de mancais radiais hidrodinâmicos operando com lubrificantes não-

Newtonianos modelo power law, determinando principalmente a temperatura

efetiva do filme de óleo e sua correspondente viscosidade efetiva;

e) Simular computacionalmente o comportamento operacional de um mancal radial

hidrodinâmico operando com lubrificantes não-Newtonianos modelo power law,

analisando as influências dos diversos parâmetros envolvidos, tais como:

dimensões do mancal, características reológicas do óleo lubrificante e condições

de operação;

f) Realizar simulações utilizando as hipóteses clássicas isotérmica e adiabática, e

simulações utilizando um procedimento intermediário, proposto no presente

trabalho;

g) Verificar a validade dos resultados do presente trabalho através de comparações

com os resultados obtidos por outros pesquisadores;

h) Apresentar os resultados em forma de gráficos e/ou tabelas para uma faixa

relativamente ampla de relações DL / e de condições de operação,

possibilitando a realização de análises preditivas do comportamento operacional

de mancais radiais hidrodinâmicos operando com lubrificantes Newtonianos e

não-Newtonianos.

21

1.5- Delineamento do Trabalho

Antes de iniciar os tópicos centrais do presente trabalho, isto é, antes de

apresentar o desenvolvimento da formulação do problema e do método de solução

adotado na obtenção dos resultados e posterior análise; é importante mostrar como

os textos estão delineados. Para organizar de forma clara e objetiva o presente

trabalho, dividiu-se o mesmo nos seguintes capítulos referentes ao problema em si:

Capítulo 2 – Formulação do Problema

Este capítulo trata inicialmente da apresentação da dedução da equação

bidimensional de Reynolds modificada para fluidos não-Newtonianos modelo power

law, proposta por Dien e Elrod [13]. Em seguida é definido o modelo físico do mancal

a ser estudado juntamente com os vários parâmetros envolvidos na formulação do

problema e na análise preditiva do comportamento operacional de mancais radiais

hidrodinâmicos. Com o modelo físico definido, são apresentadas as equações

governantes e as condições de contorno que governam o problema. Para finalizar o

capítulo, apresenta-se o procedimento iterativo adotado na solução do problema e

na obtenção dos parâmetros resultantes utilizados na análise.

Capítulo 3 – Solução Numérica da Equação de Reynolds

Neste capítulo é apresentado o método de solução adotado para as equações

governantes do problema, as quais foram adimensionalizadas para obtenção de

uma solução com maior generalidade. A equação de Reynolds modificada para

fluidos não-Newtonianos modelo power law é discretizada usando-se o método de

diferenças finitas e o sistema de equações algébricas resultante é resolvido

utilizando-se o método iterativo de sobrerelaxação sucessiva (SOR). Finalizando o

capítulo, são definidos todos os procedimentos de cálculo dos parâmetros

resultantes necessários à análise do comportamento operacional de um mancal

radial hidrodinâmico.

22

Capítulo 4 – Resultados

O capítulo 4 trata da apresentação e discussão dos resultados obtidos

computacionalmente relativos aos parâmetros resultantes. Primeiramente é feita

uma análise comparativa dos resultados obtidos no presente trabalho com

resultados preestabelecidos por outros pesquisadores. Verificada a boa

concordância dos resultados com trabalhos prévios, são feitas várias simulações do

comportamento operacional do mancal com as relações DL / = 1/4, 1/2, 1 e 2,

excentricidades específicas variando de 0,1 a 0,9 e com índices de característica

reológica do lubrificante n= 0,8; 0,9; 1,0 e 1,1. Apresenta-se ainda neste capítulo um

estudo comparativo da solução adotada no presente trabalho com as soluções

clássicas isotérmica e adiabática da equação de Reynolds. Os resultados obtidos

são apresentados em uma série de tabelas e gráficos e são discutidos quanto à

influência de cada parâmetro no comportamento operacional do mancal.

Capítulo 5 – Conclusões e Sugestões

Neste capítulo são apresentadas as principais conclusões obtidas através da

análise dos resultados apresentados em tabelas e gráficos. Apresenta-se também

algumas sugestões de estudos mais aprofundados para trabalhos futuros no

assunto.

Apêndices

O apêndice A1 apresenta algumas hipóteses simplificadoras impostas à

equação da continuidade e às equações da conservação da q.d.m. para dedução da

equação de Reynolds modificada para fluidos não-Newtonianos modelo power law.

No apêndice A2 é deduzida a equação da espessura do filme de óleo ao

longo da direção circunferencial, ))(( θθ hh = , do mancal.

Uma teoria básica mostrando um método de solução para integrais é

apresentada no apêndice A3. A técnica utilizada é a integração pelo método de

23

Simpson para cálculo da capacidade de carga do mancal, força de atrito e

componentes de vazão do lubrificante.

O apêndice A4 apresenta uma técnica numérica de aproximação de

derivadas por diferenças finitas para solução da equação de Reynolds da

lubrificação hidrodinâmica.

No apêndice A5 são apresentadas as especificações dos parâmetros físicos

do mancal bem como as características dos óleos lubrificantes utilizados nas

simulações.

O apêndice A6 mostra alguns aspectos computacionais gerais incluindo a

listagem do programa desenvolvido em linguagem FORTRAN para solução

numérica das equações governantes e cálculo dos parâmetros resultantes através

de um processo iterativo.

O apêndice A7 apresenta as tabelas dos parâmetros resultantes para os

índices de característica reológica simulados, n= 0,8; 0,9; 1,0 e 1,1.

Documents

ANÁLISE TEÓRICA DO COMPORTAMENTO OPERACIONAL …saturno.unifei.edu.br/bim/0031211.pdf · µ0 Viscosidade aparente à temperatura T0 e pressão P0 15 µ ef Viscosidade aparente efetiva