13 - Introdução Às Funções - 18 Pag

7/25/2019 13 - Introduo s Funes - 18 Pag

1/18

Introducao as funcoesMO DULO 1 - AULA 13

Aula 13 Introducao as funcoes

Objetivos:

Apos estudar esta aula voce sera capaz de:

Distinguir entre uma relacao e uma funcao entre dois conjuntos.

Definir domnio, contradomnio e esbocar graficos de funcoes.

Produto cartesiano

Dados dois conjuntos nao vaziosA e B, o produto cartesiano de A por

B e o conjunto formado pelos pares ordenados, nos quais o primeiro elemento

pertence a A e o segundo elemento pertence a B .

A B={(x, y)|xA e yB}.

Exemplo: Se A={1, 2}e B={a,b,c}, entao:

A B={(1, a);(1, b);(1, c);(2, a);(2, b);(2, c)}e

B A={(a, 1);(a, 2);(b, 1);(b, 2);(c, 1);(c, 2)}

Notas:

1) De modo geral A B=B A.

2) Se A = ou B =, por definicao A B =, isto e, A = ou B=.

3) Se A = B podemos escrever o produto cartesiano A Acomo A2, istoe, A A= A2.

4) O produto cartesiano de duas copias do conjunto de numeros reais R,

fornece

R2 ={(x, y)|x R e y R}.

Como vimos na Aula 1, os numeros reais podem ser identificados com

uma reta. Tambem R2, pode ser identificado com um plano, atraves deum sistema de coordenadas. Veja a figura abaixo, onde o ponto P do


2/18

Introducao as funcoes

plano e identificado com um par de numeros reais: P = (x, y). Veja a

representacao do ponto Q = 1, 1

2.

Ae B saon(A) en(B) entao

para o numero de elementos de A B vale n(A B) =n(A) n(B).

Relacoes

Dados dois conjuntos Ae B, uma relacao R sobre Ae B (ou de Aem

B) e uma relacao que associa elementos xA a elementos yB, medianteuma lei previamente determinada (lei de associacao ou de relacao).

Como voce vera, atraves de exemplos, toda relacao de A em B deter-

mina um subconjunto de A B.

Exemplo: A={1, 0, 1, 3}B={0, 1, 9, 10}

Determine

a) R1 ={(x, y)A B|y = x2}Solucao:

R1 ={(1, 1), (0, 0), (1, 1), (3, 9)}

b) R2 =

{(x, y)

A

B

|x =

y

}Solucao:

R2 ={(1, 1), (3, 9), (0, 0)}

Domnio e imagem ou contradomnio

Dada uma relacao R de A em B, chama-se domnio de R ao conjunto

D de todos os elementos de A que aparecem como primeiros elementos nos

pares ordenados de R.

xD y, yB|(x, y)R.

C E D E R J


3/18


Denominamos imagem da relacao R (ou contradomnio) ao conjunto

Im de todos os elementos de B que aparecem como segundos elementos nos

pares ordenados de R.

yIm x, xA|(x, y) R.

Exemplo: Sejam A={0, 1, 2}, B ={1, 1, 2, 2, 6} e R={(0, 1), (0, 1), (2, 2), (2, 2)}.Entao

D={0, 2) e Im ={1, 1, 2, 2}.

Representacao grafica e diagramas de uma relacao

Para o ultimo exemplo dado podemos associar a representacao grafica

e o diagrama

y

2

1

1

2

-1

-2

x

Funcao e uma relacao com propriedades especiais. Uma relacao R do

conjunto Ano conjunto B e uma funcao se

I) o domnio da relacao R, D(R) =A;

II) para cada elemento xD(R) existe um unicoyB tal que (x, y)R

III) a imagem da relacao R, Im(R)B .

Uma relacaoR de Ae B que e uma funcao e mais comumente represen-

tada pela letra fe do seguinte modo: f: AB , onde, xy =f(x). Istosignifica que, dados os conjuntosAe B, a funcao tem a lei de correspondenciay = f(x).


4/18


Exemplo: Sejam os conjuntosA ={0, 1, 2}e B ={0, 1, 2, 3, 4, 5}; vamos con-siderar a funcao f: A B definida por y = x + 1, ou seja,f(x) =x + 1

5

= 0y = 0 + 1 = 1x= 1y = 1 + 1 = 2x= 2y = 2 + 1 = 3

O conjunto A e o domnio da funcao.

O conjunto{1, 2, 3}, que e um subconjunto de B, e denominado con-junto imagem da funcao, que indicamos por Im. No exemplo acima,

Im ={1, 2, 3}.

Representacao de funcoes por diagramas

Um diagrama de setas representando uma relacao de um conjunto A

em um conjunto B e uma funcao se:

(I) De cada elemento de Aparte exatamente uma unica seta.

(II) Nenhuma seta termina em mais de um elemento de B

A B A B

funo funo

A B

no funo

A B

no funo

Representacao Grafica

Dados subconjuntos A e B de numeros reais e uma funcao f: AB ,podemos representar a funcao graficamente como pontos do plano. No eixohorizontal representamos o domnio e no eixo vertical, o contradomnio.

C E D E R J


5/18


Exemplo: A={1, 0, 2} e B={1, 0, 1, 2, 3, 4}e f(x) =x + 1, vem que

x=1y = 0x= 0y = 1x= 2y = 3

y=f(x)

2

1

1 3

2

3

-1 x

f ={(1, 0), (0, 1), (2.3)} e os tres pontos assinalados formam o grafico dafuncao.

Observacao sobre graficos: Sabemos que um dos requisitos ao qual uma relacao

deve satisfazer para ser uma funcao, x y = f(x), e que a cada x devecorresponder um unico y. Esta propriedade tem a seguinte interpretacao:

toda reta vertical passando pelo domnio intercepta o grafico da funcao em

exatamente um ponto.

Exemplos:

a) A relacao f de A em R, f(x) = x2 com A ={x R| 1 x 2},

representada abaixo e funcao, pois toda reta vertical passando por pontos deabscissa xA encontra o grafico de fnum so ponto.

y

2-1 x

b) O grafico da relacao Rde Aem R representada abaixo x2 + y2 = 1, onde

A ={x R| 1 x 1} nao e funcao, pois ha retas verticais passandopor pontos de Aque encontram o grafico de Rem dois pontos.

y

-1 1 x


6/18


Esboco do Grafico de uma Funcao

Para esbocarmos o grafico cartesiano de uma funcaof

, atribuimos valo-res convenientes ax no domnio da funcao e determinamos os correspondentes

valores de y = f(x). O grafico, entao, e constitudo pelos pontos representa-

tivos dos pares (x, y).

Exemplo: (a) Se a funcao f: A B, e tal que x y = 2x, onde A ={0, 1, 2, 3}, B ={1, 0, 2, 4, 6}. E possvel calcular todos os pontos dografico cartesiano de f. Veja a tabela de valores abaixo.

x 0 1 2 3

y 0 2 4 6

Nesta situacao, representamos, ponto a ponto, a funcao.

y

2

1

10 3

2

3

4

5

6

x

(b) Seja f: R R x y = 2x. Para esta funcao e impossvel construiruma tabela indicando explicitamente todos os pontos do grafico. No en-

tanto podemos, com alguns pontos auxiliares, deduzir a forma do grafico f.Usando os valores ja calculados na tabela do exemplo a), esbocamos o grafico.

y

-1

10

2

-2

x

C E D E R J


7/18


Exerccios Resolvidos

1. Seja a funcao f: R

R

xy = x2 x

a) Calcular f(6), f

1

2

, f(

2), f(

3 2).

b) Determinar os elementos de D(f) cuja imagem pela fvale 2.

Solucao:

a) Para calcularmos a imagem de 6 pela f, basta substituir x por 6 em

f(x) =x2 x,f(6) = 62 6 = 30.

Do mesmo modo,

f

1

2

=

1

2

21

2=

1

41

2=1

4,

f(

2) = (

2)2

2 = 2

2 ,

f(

3 2) = (

3 2)2 (

3 2)= 3 43 + 4 3 + 2= 9 5

3 .

b) f(x) = 2x2 x= 2,x2 x 2 = 0

x=b b2 4ac

2a

x=1 1 + 8

2 =

1 32

x1 = 2, x2 =1sao os dois valores solucao.

2. Seja a funcao f: [0, ) R dado por f(x) = x2 x + 1

x + 1 Calcule

f(0), f

1

2

e f(

2 1).

Solucao:

a) f(0) =02 0 + 1

0 + 1 = 1.


8/18


9/18


Exemplos: Defina os domnios das funcoes abaixo.

a) f(x) = x + 3x 2

Basta impor que o denominador nao pode ser nulo: x 2= 0x= 2

Portanto, D(f) ={x R |x= 2}= R {2}.

b) f(x) =

2x 6Em R, o radicando de uma raiz quadrada nao pode ser negativo. Por-

tanto,

2x 602x6x3

Portanto, D(f) ={x R |x3}= [3, +).

c) f(x) = 3

2x 1O radicando de uma raiz de ndice mpar pode ser negativo ou nulo ou

positivo, ou seja, 2x

1 pode assumir todos os valores reais.

Portanto, D(f) = R.

d) f(x) =4

3 x22x + 1

Como as razes envolvidas sao todas de ndice par, e exigencia que os

radicandos sejam nao negativos. Alem disso, o denominador deve ser

nao nulo. Assim,

3

x2

0 e 2x + 1 > 0

Ou seja, 3x2 e x > 12

.

Veja as representacoes graficas:

-V3 V3

e

1/2

nio. Ou seja

D(f) =

x R | 12

< x 3


10/18


Exerccios - Serie A

1. Sejam A ={

xZ

| 2

x

2}

, B ={

xZ

| 6

x

6}

e a

relacao R={(x, y)A B|x = y + y2}. Solicita-se:a) Enumerar os pares ordenados de R.

b) Indicar os conjuntos Domnio e Imagem.

2. Defina os maximos subconjuntos de numeros reais que sao domnios

das funcoes abaixo:

a) f(x) =2x 3

x 2 b) f(x) =

5

x + 2

3. Considere as relacoes G, H, J, Mdo conjunto A no conjunto B con-forme os graficos abaixo. Identifique as funcoes.

y

x

relao G

B

y

a x

relao H

B

AA

y

x

relao J

B

y

x

relao M

B

A A

4. Seja Zo conjunto dos numeros inteiros e sejam os conjuntos A ={xZ | 1< x2}e B ={3, 4, 5}se D={(x, y)(A B)|yx + 4}.Entao:

a) D= A Bb) D tem 2 elementos

c) D tem 1 elemento

d) D tem 8 elementos

e) D tem 4 elementos

5. y = 4x

12x 3 define uma relacao H R R, onde R sao os numerosreais. Determine o numero real x, tal que (x, 1)H.a) x= 0 b) x= 1 c) x=1 d) x= 5 e) x=5

C E D E R J


11/18


6. Determinado-se os pares (x, y) de numeros reais que satisfazem as

condicoes

x

2 + y2 1y= x

, temos:

a) 2 pares b) nenhum par c) 3 pares d) infinitos pares e) 1 par

7. Estabelecer se cada um dos esquemas abaixo define ou nao uma funcao

de A={1, 0, 1, 2}em B={2, 1, 0, 1, 2, 3}. Justificar.A

a) b)R

-10

1

2

-2-1

0

2

1

SB

3

-10

1

2

-2-1

0

1

A B

2

3

A

c) d)T

-1

0

1

2

-2

-1

0

2

1

VB

3

-1

0

1

2

-2

-1

0

1

A B

2

3

8. (UFF-93 1a fase) Considere a relacao f de M em N, representada no

diagrama abaixo:

M N

x

y

z

w

k

t

p

q

r

s

1

2

3

4

5

Para que fseja uma funcao de M em N, basta:

a) apagar a seta (1) e retirar o elemento s

b) apagar as setas (1) e (4) e retirar o elemento k

c) retirar os elementos k e s

d) apagar a seta (4) e retirar o elemento k

e) apagar a seta (2) e retirar o elemento k


12/18


9. (PUC-95) Dentre os 4 desenhos a seguir:

y

x

y

x

III

y

x

y

x

III IV

y = f(x).

b) I, III e IV podem ser graficos de funcoes da forma y = f(x).

c) Nenhum deles pode ser grafico de funcoes da forma y= f(x).

d) II e IV nao podem ser graficos de funcoes da forma y= f(x).

e) Nenhuma das respostas acima.

10. (UFF-94-1a fase) O grafico que melhor representa a funcao polinomial

p(x) = (x 1)2(x 4)(x + 49

) e:

A)y

x

B)y

x0 0

C)y

x

D)y

x0 0

E)y

x0

a) y = x2

1, D= R

b) f(x) =x 2, sendo D= [2, 2]

C E D E R J


13/18


12. Determine a e b, de modo que os pares ordenados (2a1, b+ 2) e(3a + 2, 2b 6) sejam iguais.

13. Determinar xe y, de modo que:

a) (x + 2, y 3) = (2x + 1, 3y 1)

b) (2x, x 8) = (1 3y, y)

c) (x2 + x, 2y) = (6, y2)

14. Se os conjuntos A e B possuem, respectivamente, 5 e 7 elementos,calcule o numero de elementos de A B.

15. (UFF/95 - 1a fase) Em um certo dia, tres maes deram a luz em uma

maternidade. A primeira teve gemeos; a segunda, trigemeos e a ter-

ceira, um unico filho. Considere, para aquele dia, o conjunto das tres

maes, o conjunto das seis criancas e as seguintes relacoes:

I) A que associa cada mae a seu filho;

II) A que associa cada filho a sua mae;

III) A que associa cada crianca a seu irmao.

Sao funcoes:

a) somente a I b) somente a II c) somente a III d) todas e) nenhuma

16. (PUC) Entre os graficos abaixo, o unico que pode representar uma

funcao de variavel real e:

x

a) y b) c)

x

y

x

y

d) y

x

e) y

x


14/18


17. (UERJ/93) A funcao fdefinida no conjunto dos inteiros positivos por:

f(n) =

n

2, se n for par

3n + 1, se nfor mpar

O numero de solucoes da equacao f(n) = 25 e:

a) zero b) um c) dois d) quatro e) infinito

18. (UFC-CE) Qual dos graficos a seguir nao pode representar uma funcao?

a) y b) y c) y d) y e) y

l

f(x) =

1 se x e racional

0 se x e irracional

Podemos afirmar que:

a) f(2, 3) = 0b) f(3, 1415) = 0

c) 0f(a) + f(b) + f(c)3d) f[f(a)] = 0

e) f(0) + f(1) = 1

20. (SANTA CASA-82) Sejafuma funcao de Z em Z, definida por

f(x) =

0, se x e par

1, se x e mpar

Nestas condicoes, pode-se afirmar que:

a) f e injetora e nao sobrejetora

b) f e sobrejetora e nao injetora

c) f(5) f(2) = 1

d) f(f(x)) = 0, x R

e) O conjunto-imagem de f e{0, 1}

C E D E R J


15/18


21. (FUVEST-82) O numero real e solucao simultanea das equacoes

f(x) = 0 e g(x) = 0 se e somente se e raiz da equacao:

a) f(x) + f(x) = 0

b) [f(x)]2 + [g(x)]2 = 0

c) f(x) g(x) = 0

d) [f(x)]2 [g(x)]2 = 0

e) f(x) g(x) = 0

22. (PUC-93) Entre as funcoes T: R2 R2 abaixo, NAO e injetora adefinida por:

a) T(x, y) = (x, 0)

b) T(x, y) = (y, x)

c) T(x, y) = (2x, 2y)

d) T(x, y) = (y, x)e) T(x, y) = (x + 1, y+ 1)

Exerccios - Serie B

1. (UNIFICADO-92) Qual dos graficos abaixo representa, em R2 as solucoes

da equacao y2 =x(x2 1).A)

y

x

B)

y

x

D)

y

x

C)

y

x

E)

y

x

f, de R em R, tal que f(x+ 1) =

f(x) + 2 e f(2) = 3. Entao, f(50) e igual a:

a) 105 b) 103 c) 101 d) 99 e) 97

3. (FUVEST-SP) Sejafuma funcao tal que f(x + 3) =x2 + 1 para todo

x real. Entao f(x) e igual a:

a)x22 b) 103x c)3x2 + 16x20 d)x2 6x +10 e)x2 + 6x16


16/18


4. (UGF-96-2o Sem.) Se f(3x) =x

2+ 1 entao f(x 1) e igual a:

a)

x + 5

6 b)

3x

1

2 c)

5x + 3

2 d)

3x

2 e) 3x 25. Se f(n+ 1) =

2 f(n) + 12

para n = 1, 2, 3, . . . e se f(1) = 2, entao o

valor de f(101) e:

a) 49 b) 50 c) 53 d) 52 e) 51

6. (FUVEST/93) Uma funcao de variavel real satisfaz a condicao

f(x+1) =f(x)+f(1), qualquer que seja o valor da variavelx. Sabendo

que f(2) = 1 podemos concluir que f(5) e igual a:

a) 12

b) 1 c) 53

d) 5 e) 10

7. (UFF/96) Para a funcao f: N N, que a cada numero natural nao-nulo associa o seu numero de divisores, considere as afirmativas:

I) existe um numero natural nao-nulontal que f(n) =n.

II) f e crescente

III) f nao e injetiva.

Assinale a opcao que contem a(s) afirmativa(s) correta(s):

a) apenas II b) apenas I e III c) I, II e III

d) apenas I e) apenas I e II

8. (UFMG) A funcao f: R R associa a cada numero real x o me-nor inteiro maior do que 2x. O valor de f(2) + f

1

5

+ f

2

3

e:

9. (UFRJ/93) Uma funcao f(x) tem o seguinte grafico:

g(x) =f(x + 1).

a) Determine as razes da equacao g(x) = 0

b) Determine os intervalos do domnio de g (x) nos quais esta funcao eestritamente crescente.

C E D E R J


17/18


10. (CESGRANRIO) Seja f(x) a funcao que associa, a cada numero real

x, o menor dos numeros (x + 1) e (x + 5). Entao o valor maximo def(x) e:

a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7

11. Definimos: f: N N

f(0) = 1

f(n + 1) = 2f(n)

Calcule f(3).

12. (FEI-73) Chama-se ponto fixo de uma funcao fum numero real x tal

que f(x) =x. Os pontos fixos da funcao f(x) = 1 +1

x sao:

a) x=1

b) x=1 5

2

c) nao tem ponto fixo

d) tem infinitos pontos fixos

13. (PUC-92) Um reservatorio tem a forma de um cone de revolucao de eixo

vertical e vertice para baixo. Enche-se o reservatorio por intermedio

de uma torneira de vazao constante. O grafico que melhor representa

o nvel da agua em funcao do tempo, contado a partir do instante em

que a torneira foi aberta e:

A)nvel

tempo

B)nvel

tempo

C)nvel

tempo

D)nvel

tempo

E)nvel

tempo


18/18


Gabarito

Serie A

1. a) R ={(2, 2), (0, 1), (0, 0), (2, 1)}. b) D(R) ={0, 2}, Im(R) ={2, 1, 0, 1}. 2. a) D(f) ={x R| x= 2} = (, 2)(2, ).b) D(f) ={x R|x >2}= (2, ). 3. Apenas G e funcao. 4. d)5. c) 6. d) 7. a) nao b) nao c) sim d) sim. 8. d) 9.b) 10. d)

11.

a =3; b = 8 13. a) x = 1 e y =1 b) x = 5 e y =3,c) x = 3 ou x = 2 e y = 0 o u y = 2, d) x =2 e y =3.14. 35 15. b) 16. d) 17. b) 18. c) 19. c) 20. e) 21. b) 22. a)

Serie B

1. a) 2. d) 3 d) 4. a) 5. d) 6. c) 7. b) 8. -2

9. a) x {2, 0, 3} b) (3, 1) e (0,1) 10. b) 11. f(3) = 1612. b) 13. b)

Auto-avaliacao

Antes de passar a aula seguinte, voce deve resolver todos os exerccios

da Serie A. A Serie B fica como exerccio de aprofundamento.

C E D E R J

Documents

13 - Introdução Às Funções - 18 Pag