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7/25/2019 14 - Funes Compostas e Inversa - 12 Pag
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Funcoes composta e inversaMO DULO 1 - AULA 14
Aula 14 Funcoes composta e inversa
Objetivos:
Sao objetivos desta aula possibilitar que voce:
Entenda e trabalhe com o conceito de funcao composta. Possa decidir quando uma funcao possui ou nao inversa. Entenda os conceitos de funcao sobrejetiva, injetiva e bijetiva e de
funcao inversa.
Possa resolver problemas envolvendo funcoes inversas e possa represen-tar graficamente as solucoes.
Funcao composta
Considere fuma funcao do conjuntoAno conjuntoB e g uma funcao
do conjunto B no conjunto C. Entao a funcao h de A em C, h a funcao
composta de f e g, pode ser definida por
h(x) =g(f(x)).
Notacao: h= g f.No diagrama abaixo esta representada a composicao def em g.
A fB gC
gf
Exemplos
(i) Se
h= g f e tal que
1
0
2
a
b
c
d
h
A
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Funcoes composta e inversa
(ii) Suponha Z o conjunto dos numeros inteiros,f: Z Z f(x) =x 2g : Z Z g(x) =x3
entao a funcao composta h : Z Z pode ser calculada porh(x) =g(f(x))
h(x) =g(x 2)h(x) = (x 2)3
Exerccios resolvidos
(i) Sejam as funcoes f: R R e g : R R definidas por f(x) =x2
1 eg(x) =x+ 3.
a) obter a funcao composta h = g f e m= f gb) calcule h(2) e m(3)c) existem valoresxR tais que h(x)=0?
Solucao:
a) h(x) =g(f(x)) =g(x2
1) =x2
1 + 3
h(x) =x2 + 2
m(x) =f(g(x)) =f(x+ 3) = (x + 3)2 1
m(x) =x2 + 6x + 9 1 =x2 + 6x + 8
b) h(2) = 22 + 2 = 4
m(3) = (3)2 + 6(3) + 8
m(3) = 9 18 + 8 = 1c) h(x) = 0x2+2 = 0 (esta equacao nao tem solucao x R). Resposta:
Nao.
(ii) Sejamf: R Re g : R R. Sabendo-se que f(x) = 5 + x2 e que aimagem da funcao f g e o intervalo real [+5, +3], a alternativa querepresenta a imagem da funcao g e:
a) [+
5, +3] b) [2.+ 2]c) [2, +5] d) [5, +2]e) [5, +5]
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Funcoes composta e inversaMO DULO 1 - AULA 14
Solucao:g f
Im(fog)
R RR3.V5
g(x) = f(g(x)) = 5 + g2(x). Logo 5 5 + g2(x) 355 + g2(x)9Entao 0g2(x)4. Os valores deg(x) que verificam a desigualdadeacima sao2g(x)2.Logo, Im g(x) = [2, 2]. Resposta b).
(iii) Sejam as funcoes f: R R e g : R R definidas por
f(x) =
x2 se x0x se x
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Funcoes composta e inversa
Funcoes sobrejetora, injetora e bijetora
Uma funcao f: A B e sobrejetora se Im(f) = B. Isto para todoelementoyB existe xA tal que f(x) =y.Uma funcao g : AB e injetora (ou injetiva) se elementos diferentes
x1 e x2 do domnio A dao como imagens elementos g(x1) e g(x2) tambem
diferentes. Isto e, vale a propriedade:
x1, x2A, x1=x2g(x1), g(x) Im(g) e g(x1)=g(x2).
Uma funcao f: A
B que tem ambas as propriedades injetora e so-
brejetora, e dita uma funcao bijetora.
Exemplos: Sejam A ={0, 1, 2}, B ={1, 2, 3} e f, g : A B como nosdiagramas abaixo.
A funcao f nao e injetora, nem sobrejetora. A funcao g e bijetora.
1
0
2
Af
B
1
2
3
D = AIm = B
1
0
2
A B
1
2
3
D = AIm = B
g
etora, inje-
tora ou bijetora
Sejay =f(x) uma funcao. Considere seu grafico, representado abaixo.
Se as retas paralelas a Ox e passando pelo contradomnio de f encon-
tram o grafico def em pelo menos um ponto, f e sobrejetora.
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Funcoes composta e inversaMO DULO 1 - AULA 14
Se as retas paralelas a Oxencontram o grafico de f no maximo em um
ponto,f e injetora.y
x0
f
D(f)
CD(f)=Im
Ox e passando pelo contradomnio de f encon-
tram o grafico de f em exatamente um so ponto, f e bijetora.y
x0
f
D(f)
Im(f)
Uma funcao f: A B e uma relacao entre os conjuntos A e B compropriedades especiais. fcomo relacao e um subconjunto deAB. Os paresordenados (x, y) deste subconjunto sao tais que y =f(x).
Por exemplo, se A = {1, 1, 2}, B = {1, 0, 1, 4} e f(x) = x2.Enquanto relacao, f se escreve como f ={(1, 1), (1, 1), (2.4)}. Suponhaque as coordenadas sao trocadas para obter uma nova relacao g .
g={(1, 1), (1, 1), (4, 2)}.Em que condicoes podemos garantir que, apos a inversao, g e ainda uma
funcao (e nao meramente uma relacao?) Nos casos afirmativos g e chamada
funcao inversa de fe geralmente denotada por f1.
Se voce pensar um pouquinho vai chegar a conclusao de que g e uma
nova funcao apenas no caso em que a funcao f for bijetora. Entre outras
palavras, somente as funcoes bijetorasfpossuem uma inversa f1.
Vamos tentar te convencer da validade desta resposta atraves de dia-gramas.
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Funcoes composta e inversa
Caso (I): Se f nao e injetora entao nao existe inversa. Veja um exemplo,
representado no diagrama a seguir, onde
A={a,b,c} e B ={1, 2}A funcao inversa nao pode ser definida para o elemento 1, pois f(a) =
f(b) = 1.
: Se f nao e sobrejetora entao nao existe inversa. Veja um exemplo,
representado no diagrama abaixo, onde
A={a,b,c} e B={1, 2, 3, 4}A funcao inversa nao pode ser definida em 4 B.
f1(4) =?
f: A B, possui a funcao inversa f1 se esomente se f e bijetora.
Sejaf:AB uma funcao bijetora. Entao a funcao inversaf1 : BAtem as seguintes propriedades:
(i) f1 e uma funcao bijetora de B em A.
(ii) D(f1) = Im(f) =B.
(iii) Im(f1) =D(f) =A.
A relacao entre os pares ordenados de f e f1 pode ser expressa simbolica-
mente por
(x, y)f (y, x)f1ou
y = f(x) x= f1(y)
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Funcoes composta e inversaMO DULO 1 - AULA 14
Exemplos. (i) Qual a funcao inversa da funcao bijetora f : R R definidapor f(x) = 3x + 2?
Solucao: se y=f(x) entao f1(y) =x.
Partindo de y=f(x), y= 3x + 2, procuramos isolar x.
y= 3x + 2 x= y 23
Logo,f1(y) =x =y 2
3Nota: Como a variavel pode indiferentemente ser trocada tambem podemos
escrever
f1(x) =x 2
3
(ii) Qual e a funcao inversa da funcao bijetora em f : R R definida porf(x) =x3?
Solucao: y = f(x) =x3, logo,x= 3
y.
Portantof1(y) =x = 3
y. Ou seja, f1(x) = 3
x.
(iii) Um exemplo importante e o da funcao identidade. I : R R, I(x) =x.Isto e, se escrevermos y = I(x), temos que y = x. A representacao grafica
desta funcao resulta na bissetriz do primeiro quadrante. Veja a figura abaixo.
x2
2
y=x
y
E claro queI1 =I. Isto e, a funcao identidade e sua inversa coincidem.
Observacoes Importantes
(i) Um exame do grafico abaixo nos leva a conclusao que os pontos (x, y)
e (y, x) do plano, abaixo representados, sao simetricos com relacao a reta
y = x.
yx0
x
y
(y,x)
(x,y) y=x
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Funcoes composta e inversa
Lembrando a relacao
(x, y)
f
(y, x)
f1
podemos concluir que, no plano, os pontos que representam uma funcao e
sua inversa sao simetricos em relacao a reta y = x. Isto e, os graficos que
representam f e f1 sao simetricos em relacao a reta bissetriz do 1o e 4o
quadrante.
(ii) Sejamf:AB e a funcao inversaf1 :BA. Entaoff1 :BBe f1 f: AA sao funcoes identidade. De fato
y=f(x) x= f1(y),
implica quef f1(y) =f(x) =y
e entao f f1 = Id.Tambem
f1 f(x) =f1(y) =xe entao f1 f = Id.Exemplo:
Seja a funcao f em R definida por f(x) = 2x
3. Construir num mesmo
plano cartesiano os graficos def e f1.
Solucao:
f(x) = 2x 3x y
-1 -5
0 -3
1 -1
2 13 3
4 5
f1 (x) =x+ 3
2
x y
-5 -1
-3 0
-1 1
1 23 3
5 4
yf y=x
x
f-1
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Funcoes composta e inversaMO DULO 1 - AULA 14
Exerccios - Serie A
1. Dadosf(x) =x2
1, g(x) = 2x. Determine:
a) f g(x) b) f f(x) c) g f(x) d) g g(x).
2. (UFF 96 - 2afase) Sendofa funcao real definida porf(x) =x26x+8,para todos os valoresx >3. Determine o valor de f1(3).
3. (UNI-RIO 97 - 1a fase) A funcao inversa da funcao bijetora f: R{4} R {2}definida por f(x) =2x 3
x + 4 e:
a) f1(x) = x+ 42x + 3
b) f1(x) = x 42x 3 c) f
1(x) =4x+ 32 x
d) f1(x) =4x+ 3
x 2 e) f1(x) =
4x + 3
x+ 2
4. (UFF 2001) Dada a funcao real de variavel real f, definida por
f(x) =x+ 1
x 1 , x= 1:
a) determine (f f)(x) b) escreva uma expressao para f1(x).
5. (UFRS - 81) SeP(x) =x3 3x2 + 2x, entao{x R |P(x)> 0} e:a) (0,1) b) (1,2) c) (, 2)(2, ) d) (0, 1)(2, ) e) (, 0)(1, 2).
6. Se f(x) = 3x, entao f(x+ 1) f(x) e:a) 3 b) f(x) c) 2f(x) d) 3f(x) e) 4f(x)
7. (FUVEST SP) Se f: R R e da forma f(x) = ax+b e verifica
f[f(x)] =x+ 1, para todo real, entao a e bvalem, respectivamente:a) 1 e
1
2 b)1 e 1
2 c) 1 e 2 d) 1 e2 e) 1 e 1
8. (FATEC SP) Seja a funcao f tal que f: (R {2}) R, ondef(x) =
x 2x+ 2
O numero realx que satisfaz f(f(x)) =1 e:a)4 b)2 c) 2 d) 4 e) n.d.a.
9. Determine o domnio de cada funcao:
I)f(x) =|x| II)f(x) = x2 4 III)f(x) = 1/x IV)f(x) =x/x
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Funcoes composta e inversa
10. Nos graficos abaixo determine D(f) e Im(f)
0
y
x
I)
f
1
y
x
II)
f
1
12
-5 1
2
-1
3
f(x + 1) =3x+ 5
2x+ 1 (x=1/2), o domnio de f(x) e o conjunto dos
numeros reaisxtais que:
a) x= 1/2 b)x=1/2 c)x=5/3 d)x= 5/3 e) x=3/5
Exerccios - Serie B
1. Sejam as funcoes reaisg(x) = 2x 2 e (f g)(x) =x2 2x. Determinea expressao de f.
2. (UFF 96 - 2afase) Dadas as funcoes reais de variavel realfeg definidas
por f(x) =x2
4x + 3, com x2 e g(x) = 2 + 1 + x, com x 1,determine:
a) (g f)(x) b) f1(120)
3. Dada a funcao f(x) =
9 x2, para qualquer numero real x, tal que|x| 3, tem-se:
a)f(3x) = 3f(x) b)f(0) =f(3) c)f1(x) =f
1
x
, sex= 0
d) f(x) =f(x) e) f(x 3) =f(x) f(3)
4. (CE.SESP-81) Seja f: N Z, a funcao definida por
f(0) = 2
f(1) = 5
f(n + 1) = 2f(n) f(n 1)
o valor de f(5) e:
a) 17 b) 6 c) 5 d) 4 e) 10
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Funcoes composta e inversaMO DULO 1 - AULA 14
5. (MACK SP) Sendof(x 1) = 2x + 3 uma funcao de Rem R, a funcaoinversa f1(x) e igual a:
a) (3x+1) 21 b) (x5) 21 c) 2x+2 d) x 32
e) (x+3) 21
6. (CESGRANRIO) Considere as funcoes
f: R R g : R Rx2x+ b xx2
onde b e uma constante. Conhecendo-se a composta
g
f: R
R
xg(f(x)) = 4x2 12x + 9podemos afirmar que b e um elemento do conjunto:
a) (4, 0) b) (0,2) c) (2,4) d) (4, +) e) (, 4)
7. Considere a funcao f: N N definida por:
f(x) =
x
2, se x e par
x+ 1
2 , se x e mpar
onde N e o conjunto dos numeros naturais. Assinale a alternativa
verdadeira:
a) A funcao f e injetora.
b) A funcao f nao e sobrejetora.
c) A funcao f e bijetora.
d) A funcao f e injetora e nao e sobrejetora.
e) A funcao f e sobrejetora e nao e injetora.
8. O domnio da funcao y =
x+ 1
x2 3x + 2 e o conjunto:
a){x R | 1x 2}
b){x R | 1x1 x2}
c){x R |x 1 x2}
d)
{x
R
| 1
x
1
}e)
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f: (0; +) (0;+) a funcao dada porf(x) =
1
x2 e f1 a funcao inversa de f. O valor de f1(4) e:
a) 1/4 b) 1/2 c) 1 d) 2 e) 4
10. (UFMG-80) Seja f(x) = 1
x2 + 1Se x= 0, uma expressao paraf(1/x)
e:
a) x2 + 1 b) x2 + 1
x2 c)
x2
x2 + 1 d)
1
x2+ x e)
1
x2 + 1
11. Considere a funcaoF(x) =|x2 1|definida em R. SeFF representaa funcao composta de F com F, entao:
a) (F F)(x) =x|x2 1|, x Rb) y R |(F F)y= yc) F F e injetorad) (F F)(x) = 0 apenas para 2 valores reais de xe) todas as anteriores sao falsas.
Gabarito
Serie A
1. a) f g(x) = 4x2 1 b) f f(x) = x4 2x2 c) g f(x) = 2x2 2d) g g(x) = 4x 2. 5 3. c) 4. a) (f f)(x) = x b) f1(x) = x+ 1
x 15. d) 6. c) 7. a) 8. c) 9. I) R, II){x R| x 2 e x 2},III) R, IV) R+ 10. I)D(f) = [5, 1], Im(f) = [0, 12] II)D(f) = [0, 3],Im(f) = [1, 2] 11. a)
Serie B
1. f(x) = 1
4x2 1 2. a) (g f)(x) =x b) 13 3. d) 4. a) 5. b)
6. a) 7. e) 8. a) 9. b) 10. c) 11. e)
Auto-avaliacao
Antes de passar a aula seguinte, voce deve resolver todos os exerccios
da Serie A. A Serie B fica como exerccio de aprofundamento.