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Prof. DR. Carlos Aurélio Nadal - Sistemas de Referência e Tempo em Geodésia – Aula 05
Posicionamento na Terra Elipsóidica
1.3 Posicionamento na Terra
Elipsóidica
Na cartografia utiliza-se como
modelo matemático para a forma da
Terra o elipsóide de revolução
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
O SISTEMA GPS EFETUA MEDIÇÕES GEODÉSICAS
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Qual é a forma da
Terra?
A superfície topográfica da Terra apresenta uma forma
muito irregular, com elevações e depressões.
Qual é a representação
matemática da
superfície de referência
para a cartografia?
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
esfera
elipsóide
geóide
Terra
Modelos utilizados para a Terra
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
O GEÓIDE
Geóide: superfície cuja normal coincide
com a vertical do lugar
Dada a heterogeneidade da crosta terrestre, o geóide ainda é uma
superfície irregular sem representação matemática
O geóide é uma superfície
equipotencial coincidente
com o nível médio do mar.
g
V
V´
Superfície
equipotencial
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Eixo de rotação
O
b
P
a
r1 r2
F1 F2
f = (a-b)/a
e = [(a2-b2)1/2]/a = 2f - f2
r1 + r2 = 2a a = semi-eixo maior
b = semi-eixo menor
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Elipsóide de revolução
Uma elipse gira em torno do seu eixo maior
Prof .M A Zanetti
Círculo máximo
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Visão 3D do elipsóide de revolução
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Normal a um ponto do elipsóide
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Geometria do elipsóide
• O achatamento f é definido por:
• A primeira excentricidade e2 ao quadrado é dada por:
• A segunda excentricidade ao quadrado e’2 é obtida por:
a
baf
22 2 ffe 2
22
2
a
bae
2
222'
b
bae
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
O raio de curvatura da seção primeiro vertical N ou grande normal é dado por:
é a latitude geodésica do ponto P
• O raio de curvatura da seção meridiana M é calculado por:
E o raio médio de curvatura RM é dado por:
2/122 sen1 e
aN
2/322
2
)sen1(
)1(
e
eaM
NMRM
N
A
M
A
R
2sen2cos1
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Parâmetros dos principais elipsóides usados no Brasil
a- b = diferença entre o semi-eixo maior e o menor
f = achatamento do elipsóide
e2 = excentrecidade ao quadrado
Sistema
Geodésico
Córrego Alegre SAD-69 SIRGAS
elipsóide Hayford Referencia 1967 GRS-80
a 6378388,000m 6378160,000m 6378137,000m
b 6356911.946m 6356774.719m 6356752.298m
f 1/297 1/298.25 1/298,25722356
e2 0.006722670 0.0066946053 0.006694385
a-b 21476.054m 21385.281m 21384.702m
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
SISTEMA DE COORDENADAS GEODÉSICAS
pn
ps
q q’
Meridiano de
Greenwich
normal
p’
t
Superfície
física
p
= latitude geódésica
= longitude geodésica
pp’ = altitude elipsoidal
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Definição de latitude geodésica (
Latitude geodésica é o ângulo formado entre a normal e sua
projeção no plano do equador terrestre.
normal
equador
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
• A latitude geocêntrica
tgetg )1( 2
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Definição de longitude geodésica
Longitude geodésica é o ângulo diedro formado entre o meridiano
de Greenwich e o meridiano do ponto considerado.
pn
ps
q q’
Meridiano de
Greenwich
normal
p’
t
Superfície
física
p
Meridiano do
ponto p’
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Definição de distância no elipsóide: geodésica
pn
ps
q q’
geodésica
normal
p’
t
Superfície
física
p
T
’
T
Geodésica é uma curva reversa no espaço
Menor distância entre dois pontos no elipsóide
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Definição de azimute geodésico entre dois pontos
pn
ps
q q’
ATP
normal
p’
t
Superfície
física
p
T’
’
T
APT
APT = ATP ±180+
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS
GEODÉSICO (CG)
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
DETALHES DO SISTEMA DE COORDENADAS
CARTESIANAS GEODÉSICO
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Transformação de coordenadas geodésicas em
cartesianas tridimensionais
XP = (N + h) cos cos
YP = (N + h) cos sen
ZP = [N (1 – e 2 ) + h) sen
onde:
N = grande normal
h = altitude elipsoidal ou geométrica
e = excentricidade do elipsóide
2/122 sen1 e
aN
a
baf
22 2 ffe
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Transformação de coordenadas cartesianas
tridimensionais em geodésicas ZP + e´ 2 b sen3
tg =
p - e 2a cos3
YP
tg =
XP
p
h = - N
cos
ZP a
p = XP+YP = arctg
p b 2
222'
b
bae
22 2 ffe
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Desvio da vertical (i)
p geóide
elipsóide
vertical normal
i
Superfície
física
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Superfície
terrestre
geóide
elipsóide
Fonte: Move3 Manual
No ponto A
HA= altitude ortométrica
hA= altitude geométrica
NA= ondulação geoidal
Sistema
GNSS
Nivelamento
geométrico
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Gravimetria – Almirante Tamandaré-
Paraná
Astronomia- Observação ao
Sol - Atol das Rocas
Métodos de determinação do Geóide
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Estação: UFPR - RBMC
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
http://www.ibge.gov.br/home/geociencias/geodesia/modelo_geoidal.shtm
MAPGEO2010 – MODELO GEOIDAL DO BRASIL
Para o ponto UFPR-RBMC
NA=3,67m
hA =925,81
HA=925,81-3,67
HA= 922,14m
Executar
Escolha do
referencial
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Definição de um datum vertical: o nível médio das águas
do mar, aproximação do geóide, é usado como referência
para as altitudes ortométricas (altitude zero)
bóia
orifício
roda dentada
Porta -ADR aquisição
de dados a cada 6 min
caixa protetora
do instrumento
régua de maré
pier
Mira topográfica
Observador (leituras diárias)
Nível topográfico Réguas ou miras
RN
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
geóide
Régua
maregráfica RN 001
Régua mare - 5,00
geóide 0,80
Datum = 4,20
Ré + 2,75
Hi = 6,95
Vante - 1,32
RN001 = 5,63
2,75 1,32
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
O Datum vertical do Brasil é o nível médio das águas do
mar observadas no marégrafo de Imbituba-SC
As altitudes do terreno são determinadas em relação ao nível médio
das águas do mar em Imbituba-SC, por meio de operações precisas de
nivelamento geométrico.
Estabeleceu-se no Brasil uma rede de nivelamento de precisão
formada por RNs (referência de nível).
DATUM VERTICAL BRASILEIRO
Nas cartas aparece a altitude ortométrica (relativa ao geóide)
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Marégrafo de Imbituba-SC
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Vista do Pier do Porto
RN - 01
Porta de acesso
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Rede Maregráfica Permanente para Geodésia – RMPG http://www.ibge.gov.br/home/geociencias/geodesia/rmpg/rmpg_est.shtm
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
R.PR – 1/2005 – Resolução do IBGE
- fica estabelecido como novo sistema de referência
geodésico para o SGB e para o Sistema
Cartográfico Nacional (SCN) o Sistema de
Referência Geocêntrico para as Américas
(SIRGAS), em sua realização do ano de 2000
(SIRGAS2000). Para o SGB, o SIRGAS2000
poderá ser utilizado em concomitância com o
sistema SAD 69. Para o Sistema Cartográfico
Nacional (SCN), o SIRGAS2000 também poderá
ser utilizado em concomitância com os sistemas
SAD 69 e Córrego Alegre, conforme os parâmetros
definidos nesta Resolução.
- período de transição, não superior a dez anos.
Sistemas de Referência Geodésico em uso no Brasil
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Caracterização do SIRGAS2000
• Sistema Geodésico de Referência: Sistema de
Referência Terrestre Internacional - ITRS
(International Terrestrial Reference System)
• Figura geométrica para a Terra:
Elipsóide do Sistema Geodésico de Referência de
1980 (Geodetic Reference System 1980 – GRS80)
Semi-eixo maior a = 6.378.137 m
Achatamento f = 1/298,257222101
• Origem: Centro de massa da Terra
• Orientação:Pólos e meridiano de referência
consistentes em ±0,005” com as direções definidas
pelo BIH (Bureau
International de l´Heure), em 1984,0.
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
• Estações de Referência:
As 21 estações da rede continental SIRGAS2000,
estabelecidas no Brasil constituem a estrutura de
referência a partir da qual o sistema SIRGAS2000
é materializado em território nacional.
• Época de Referência das coordenadas: 2000,4
• Materialização: Estabelecida por intermédio de
todas as estações que compõem a Rede
Geodésica Brasileira, implantadas a partir das
estações de referência.
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Estações de Referência SIRGAS2000
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Rede Brasileira de
Monitoramento
Continuo do
Sistema GNSS
http://www.ibge.gov.br/home
/geociencias/geodesia/rbmc/r
bmc_est.php
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Caracterização dos Sistema Córrego Alegre
• Figura Geométrica para a Terra: Elipsóide Internacional
de Hayford, 1924
Semi eixo maior a = 6.378.388 m
Achatamento f = 1/297
• Parâmetros referentes ao posicionamento espacial do
elipsóide:
Orientação Topocêntrica
Ponto Datum = Vértice de triangulação Córrego Alegre
G = A = 19o 50’ 15,14” S
G = A = 48o 57’ 42,75” W
N = 0 m
Onde:
G = Latitude Geodésica A = Latitude Astronômica
G = Longitude Geodésica A = Longitude Astronômica
N = Ondulação Geoidal
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Caracterização dos Sistema Datum Sul-Americano de
1969 (South American Datum of 1969 – SAD 69)
• Figura geométrica para a Terra: Elipsóide Internacional de
1967
Semi eixo maior a = 6.378.160 m
Achatamento f = 1/298,25
• Parâmetros referentes ao posicionamento espacial do
elipsóide:
Orientação geocêntrica
Eixo de rotação paralelo ao eixo de rotação da Terra;
plano meridiano origem paralelo ao plano meridiano de
Greenwhich, como definido pelo BIH.
Orientação topocêntrica
Ponto Datum = Vértice de triângulação Chuá
G = 19º 45' 41,6527" S G = 48º 06' 04,0639" W
A = 19º 45’ 41,34” S A = 48º 06’07,80” W
AG = 271° 30' 04,05" SWNE para VT-Uberaba
N = 0,0 m
A = Azimute Geodésico
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Datum horizontal do Sistema Geodésico Brasileiro, definido
no Vértice de Triangulação Chuá (MG). (Fonte: IBGE)
Marco Zero do Brasil possui altura elipsoidal (SAD69) e altura
geoidal zero, está sobre o geóide e o elipsóide SAD69.
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Referencial Altimétrico
Nos sistemas Córrego Alegre, SAD 69 e SIRGAS2000, o
referencial altimétrico a ser utilizado coincide com a
superfície equipotencial do campo de gravidade da Terra
que contém o nível médio do mar definido pelas
observações maregráficas tomadas na baía de Imbituba,
no litoral do Estado de Santa Catarina, de 1949 a 1957.
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
World Geodetic System de 1984
Sistema Geodésico associado ao GPS com
efemérides transmitidas – broadcast ephemeris
Geocêntrico
a = 6378137m - semi-eixo maior
f = 1/298,257223563 - achatamento
we=7292115 x 10-8 rad/s - velocidade angular da Terra
GM = 3986004,418 x 108 m3/s2 - Constante gravitacional
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Transformação de coordenadas de pontos nos
diferentes referenciais
, , h conhecidos
no sistema
geodésico A
Coordenadas
cartesianas XA,YA,ZA
transformação
translação parâmetros
XB= XA+ X
YB= YA+ Y
ZB= ZA+ Y
Coordenadas
cartesianas XB,YB,ZB
, , h conhecidos
no sistema
geodésico B
transformação
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
• SAD 69 para SIRGAS2000 • SIRGAS2000 para SAD 69
a1 = 6.378.160 m a1 = 6.378.137 m
f1 = 1/298,25 f1 = 1/298,257222101
a2 = 6.378.137 m a2 = 6.378.160 m
f2 = 1/298,257222101 f2 = 1/298,25
. X = - 67,35 m .X = + 67,35 m
. Y = + 3,88 m . Y = - 3,88 m
. Z = - 38,22 m . Z = + 38,22 m
Parâmetros de Transformação entre o SAD 69 e o
SIRGAS2000
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
PARÂMETROS DE TRANSFORMAÇÃO ENTRE
SAD69 E OUTROS SISTEMAS DE REFERÊNCIA
PARÂMETROS Córrego Alegre Astro Datum Chuá WGS84
DX (m) 138,0 77,0 -66,87
DY (m) -164,4 -239,0 4,37
DZ (m) -34,0 -5,0 -38,52
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
EXEMPLO DE TRANSFORMAÇÃO DE
ALTITUDE GEOMÉTRICA EM ORTOMÉTRICA
As coordenadas de um ponto situado no Rio Chapecó,
obtidas por rastreio GPS no SAD-69 resultaram em:
= 26 4648,81504 = 5203 38,83019
h=813,75 m
Por se tratar de RN, conhece-se H=808,1965
Do programa do IBGE MAPGEO2004 obtém-se
N = +5,60 m
Como
H=h-N
H=813,75-5,60 H = 808,15 m
Diferença: d=0,0465m d=4,65cm
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
CALCULAR AS COORDENADAS CARTESIANAS
ORTOGONAIS TRIDIMENSIONAIS DO PONTO = 26 4648,81504 = 5203 38,83019 h=813,75 m
referenciadas ao SAD-69.
XP = (N + h) cos cos
YP = (N + h) cos sen
ZP = [N (1 – e2 ) + h) sen
a= 6.378.160 m
e2= 0.0066946053
N = 6382498,631 m
XP = 3503671,313 m
YP = -4494314,786 m
ZP = -2856873,785 m
2/122 sen1 e
aN
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Calcular as coordenadas geodésicas da estação Chapecó, na
data de 29 de maio de 2013, atualizadas pelo movimento de
placas tectônicas.
Obtém-se do descritivo da estação SCCH as seguintes
informações:
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Do site do SIRGAS:
http://www.sirgas.org/index.php?id=54
X (t) = X (t0) + (t - t0) * Vx
Y (t) = Y (t0) + (t - t0) * Vy
Z (t) = Z (t0) + (t - t0) * Vz
Sendo t a época da observação e to a época 2000,4 (do
SIRGAS2000), Vx, Vy e Vz as componentes da velocidade
fornecidas pelo modelo VMS2009.
Para o dia 29 de maio de 2013, teremos:
t = 2013+(31+28+31+30+29)/365
t = 2013,4
t-to = 2013,4-2000,4 = 13 anos
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
A velocidade da estação Chapecó obtida com o
software VMS2009
Vx=0.0017m/a Vy= -0.0057m/a Vz= 0.0109m/a
X= 3450305,441+ 13*0,0017 = 3450305,4631
Y=-4512731,664 - 13*0,0057= -4512731,7381
Z=-2892128,265 + 13*0,0109= -2892128,1233
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Transformação de X,Y,Z em Φ,λ e h.
p = XP+YP p= 5680612,249 m
ZP a
= arctg
p b
= -0,472278261 rad = -27,05955111°
ZP + e´ 2 b sen3
tg =
p - e 2a cos3
2
222'
b
bae
22 2 ffe
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
= -27° 08´ 15,23154ʺS 15,2367ʺ
YP
tg =
XP
= -52° 35´ 58,22529ʺW 58,2243ʺ
p
h = - N
cos
N= 6382583,338 m h= 744,2398m 744,24m
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Posicionamento na Terra Elipsóidica
Calcular o comprimento, o azimute e o ângulo vertical da
linha de base que une os pontos UFPR e Chapecó da
RBMC.
COORDENADA UFPR CHAPECÓ
X(m) 3763751,681 3450305,441
Y(m) -4365113,832 -4512731,664
Z(m) -2724404,715 -2892128,265